WordPress.com · Web view2015/11/08  · L’indice de réfraction du prisme pour la lumière...

13
6 LE PRISME A –L’essentiel du cours 6.1 Les généralités 6.1.1 Les définitions On appelle prisme tout milieu transparent, homogène et isotrope, limité par deux surfaces planes non parallèles (doc.6.1). Il est caractérisé par son indice de réfraction n et par son angle A. 6.1.2 Les effets d’un prisme sur la lumière Le prisme produit un double phénomène : la déviation de la lumière (doc.6.2), la dispersion de la lumière blanche (doc.6.3). 6.2 La déviation de la lumière 6.2.1 Les conditions d’étude − L’indice du prisme supérieur à 1 et les deux faces baignées par l’air. − La lumière monochromatique. − Les rayons lumineux situés dans un plan de section principale. 1

Transcript of WordPress.com · Web view2015/11/08  · L’indice de réfraction du prisme pour la lumière...

PAGE

8

6 LE PRISME

A –L’essentiel du cours

6.1 Les généralités

6.1.1 Les définitions

On appelle prisme tout milieu transparent, homogène et isotrope, limité par deux surfaces planes non parallèles (doc.6.1).

Il est caractérisé par son indice de réfraction n et par son angle A.

6.1.2 Les effets d’un prisme sur la lumière

Le prisme produit un double phénomène :

( la déviation de la lumière (doc.6.2),

( la dispersion de la lumière blanche (doc.6.3).

6.2 La déviation de la lumière

6.2.1 Les conditions d’étude

− L’indice du prisme supérieur à 1 et les deux faces baignées par l’air.

− La lumière monochromatique.

− Les rayons lumineux situés dans un plan de section principale.

6.2.2 La marche d’un rayon lumineux

1. En I, le rayon incident pénètre toujours dans le prisme, quelle que soit i. L’angle de réfraction r ≤θ.

2. En I’, le rayon émerge dans l’air si r’≤θ. Sinon il y a réflexion totale.

3. Le rayon émergent est rabattu vers la base du prisme.

4. Un rayon incident situé dans le plan d’une section principale, traverse le prisme et en émerge sans quitter cette section principale.

5. La déviation est l’angle D que fait le rayon émergent I’R avec le rayon incident SI (doc.6.4).

6.2.3 Les formules du prisme

6.2.4 Le cas d’un prisme de petit angle

La déviation d’un rayon de faible incidence par un prisme de petit angle est indépendante de l’incidence (doc.6.5)

6.2.5 La généralisation des formules

Les angles i, i’, r, r’ sont positifs si les rayons ont, par rapport aux normales, la disposition de la figure ci-contre, négatifs dans le cas contraire.

6.2.6 Les conditions d’émergence

1. Aucun rayon ne peut émerger d’un prisme dont l’angle est supérieur au double de l’angle de réfraction limite θ. Il faut donc que :

A ≤ 2 θ.

2. Pour qu’un rayon puisse émerger par la seconde face du prisme, l’angle d’incidence i doit satisfaire à la condition (doc.6.6 et 6.7) :

io ≤ i ≤ 90(

avec sin io = n ∙ sin (A − θ).

6.2.7 L’étude expérimentale de la déviation

La déviation :

( croît avec l’angle A du prisme (doc.6.8),

( croît avec l’indice n du prisme (doc.6.9),

( passe par un minimum quand l’angle d’incidence i varie de i( à 90( (doc.6.10).

Variation avec l’indice n du prisme : n3 > n2 > n1 ( D3 > D2 > D1.

Variation avec l’angle d’incidence i.

Au minimum de déviation on a (doc.6.11) :

i = i’= im; r = r’= A/2 et A = 2 rm; Dm = 2im − A.

6.2.8 Application à la mesure des indices

B –Problèmes résolus

6.1

1) On considère un prisme d’angle au sommet A= 30( sur la face antérieure duquel tombe normalement un pinceau de lumière de sodium. Connaissant l’indice de réfraction du prisme, n = 1,5, on déterminera l’angle d’émergence et la déviation D.

2) Quelle valeur faudrait-il donner à n pour que, toutes les autres conditions restant les mêmes, le rayon émergent sorte en rasant la face postérieure du prisme ?

3) Quel doit être l’angle au sommet du prisme, d’indice n = 1,5, pour que, avec la même incidence que précédemment, le rayon émergent rase la face postérieure du prisme ?

1) Après avoir traversé sans déviation la première face du prisme (i = 0( ( r = 0(), le rayon II’ forme l’angle r’ avec la normale NN’ à la seconde face du prisme (doc.6.12).

L’angle d’incidence r’, sur la seconde face, a pour valeur :

A = r + r’ ( r’ = A − r,

r’ = 30( − 0( = 30( .

Calculons l’angle limite de ce prisme:

sin θ = 1/n = 1/1,5 ( 0,667 ; d’où θ ( 42( .

Puisque r’< θ, le rayon II’ émerge par la seconde face suivant I’R en formant avec la normale NN’ l’angle de réfraction i’, tel que :

sin i’ = n sin r’ = 1, 5 ( ½ = 0,750; d’où i’( 48, 6(.

La déviation à travers ce prisme a donc pour valeur:

D = i + i’− A = 0( + 48,6( − 30( = 18,6( .

2) Le rayon II’, qui rencontre la face AI’ sous l’angle r’= 30(, est réfracté sous l’angle i’= 90( (doc.6.13) si l’indice, qui satisfait à la condition

3) Le rayon II’ rencontre la seconde face sous une incidence r’ égale à l’angle A’ du prisme (r = 0(). Le rayon émerge en rasant la face de sortie (i’= 90(), si l’angle r’ satisfait à la condition

sin i’ = n sin r’.

L’angle A’ du prisme a pour valeur:

A’ = r’ ( 42( .

6.2

Un prisme a pour angle au sommet A=75( et pour indice de réfraction .Un rayon lumineux tombe sur le prisme sous une incidence rasante (i=90(). Étudier la marche de ce rayon et calculer l’angle d’émergence i’. En déduire les limites entre lesquelles doit être compris l’angle d’incidence i d’un rayon lumineux, pour que ce dernier traverse le prisme.

Le rayon incident pénètre dans le prisme en formant avec la normale l’angle de réfraction limite θ, tel que :

Le rayon réfracté II’ rencontre la seconde face du prisme en formant avec la normale l’angle r’, qui vaut :

A = θ + r’ ( r’= A − θ = 75( − 45( = 30( .

Puisque r’< θ, le rayon II’ émerge par la seconde face du prisme suivant I’R, en formant avec la normale un angle i’ qui satisfait à la condition

sin i’= n sin r’.

La valeur minimale de l’angle d’incidence io, pour laquelle il y a encore émergence par la seconde face du prisme (émergence rasante), est donnée par le principe du retour inverse de la lumière (doc.6.14).

io = i’ = 45(.

REMARQUE.- On aurait pu trouver io en appliquant la relation

Pour que les rayons incidents émergent du prisme, il faut que:

45( ( i ( 90( .

6.3

La section principale d’un prisme en cristal est un triangle isocèle dont les côtés égaux ont pour longueur 5,0 cm et la base 0,3 cm. Sur l’une des grandes faces du prisme, on fait tomber normalement un rayon lumineux et l’on constate qu’à l’émergence sur l’autre face, ce rayon fait avec la direction du rayon incident un angle de 2,15(.

Calculer l’indice de réfraction du cristal à 0,01 près.

D’après les dimensions indiquées, ont peut confondre la hauteur du triangle avec le côté. L’angle A du prisme vaut donc sensiblement (doc.6.15) :

La déviation à travers un prisme de petit angle est donnée par la relation

D = A (n − 1).

D’où : 2,15( = 3,44( (n − 1),

6.4

Deux prismes A et B, dont les angles sont disposés en sens contraires, sont accolés : A= 3( et B = 2,5(.

Le premier A, d’indice n = 1,50, reçoit un pinceau de lumière jaune sous une incidence normale ; quel doit être l’indice n’ du second B, pour que le pinceau émergent ne soit pas dévié ?

Puisque le pinceau émergent n’est pas dévié, il est donc parallèle au pinceau incident. Pour qu’il soit ainsi, il faut que les déviations, à travers les prismes A et B, soient égales et de sens contraires (doc.6.16).

Les déviations sont de sens contraires, puisque les angles des prismes A et B sont opposés l’un à l’autre. La seule condition est donc :

D à travers A = D à travers B.

Or, la déviation à travers un prisme de petit angle est donnée par la relation

D = A (n − 1) = B (n’ − 1).

D’ où : 3( (1,50 − 1) = 2,5( (n’ − 1),

6.5

Un prisme en verre, d’indice n, a pour section principale un triangle ABC d’angle A = 90( et B = 75(.

On étudie le trajet d’un rayon lumineux SI, situé dans le plan de section principale. Celui-ci arrive sur AB sous une incidence i, se réfracte en IJ tel que IJN = 45( et subit la réflexion totale sur BC. Il émerge du prisme en K selon le rayon KR.

1) A quelles conditions doivent satisfaire i et n ?

2) Quelle déviation le rayon SI a-t-il subie à la traversée du prisme ?

Le rayon incident SI pénètre dans le prisme selon l’équation (doc.6.17) :

sin i = n sin r.

L’angle de réfraction r étant de

B = r + r’ ( r = 75( − 45( = 30( ,

l’équation précédente devient :

sin i = n sin 30( = n ( ½ = n/2.

Puisque le rayon réfracté IJ subit la réflexion totale en J, on a :

45( > θ (angle limite).

D’où : sin 45( > sin θ.

Pour que le rayon réfracté IJ subisse la réflexion totale en J, il faut donc que :

i > 45( et n > 1,414.

2) Après sa réflexion en J, le rayon lumineux arrive en K sur la face AC sous l’incidence r( qui vaut :

r( = 180( − (90( + 15( + 45() = 30( (triangle JKC).

Ce rayon émerge du prisme en formant avec la normale en K un angle de réfraction i( = i, d’après le principe du retour inverse de la lumière (Voir question 1).

Dans son trajet SIJKR, le rayon lumineux considéré est dévié :

− en I, de d1 = i – r = i – 30( vers le bas,

− en J, de d2 = 180( – 2r’ = 180( – 90( = 90( vers le bas,

− en K, de d3 = i( – r( = i – 30( vers le haut.

En définitive, le rayon est rabattu vers le bas de :

D = d1 + d2 – d3.

D = (i – 30() + 90( – (i – 30() = 90( .

La direction du rayon incident SI est perpendiculaire à celle du rayon émergent KR.

La dispersion de la

lumière blanche

par le prisme.

6.6

Un prisme a pour section droite constituée par un triangle équilatéral ABC. Soit i l’angle d’incidence sur la face AB du rayon SI auquel correspond la déviation minimale.

1) L’expérience ayant montré que cette déviation minimale a pour valeur 60(, en déduire la valeur de l’angle i et celle de l’indice n du prisme.

2) On argente la face AC ; indiquer comment le rayon considéré SI sort du système après s’être réfléchi sur la face AC.

3) On fait ensuite reposer ABC sur la face hypoténuse BC d’un prisme dont la section droite est un triangle isocèle rectangle BDC et dont l’indice est n’= . Comment le rayon SI se propage-t-il dans le système ainsi constitué et comment en sort-il ?

4) Au-dessous de quelle valeur devrait être l’indice du prisme BDC pour qu’il y ait réflexion totale sur BC pour le rayon considéré ? Comment, dans ce dernier cas, sortirait-il du système ?

1) Quand le prisme est au minimum de déviation, le rayon intérieur II’ est normal au plan bissecteur du prisme ; on a donc (doc.6.18) :

i = i’= im et r = r’= rm.

Avec une déviation minimale Dm= 60(, l’angle d’incidence aura pour valeur :

La valeur de l’indice n du prisme serait :

2) Le rayon incident SI se réfracte suivant II1. Il se réfléchit, sur la face argentée, en I1 en formant avec la normale I1N un angle de 30(, égal à l’angle d’incidence (complément de II1A = 60(). Ce rayon réfléchi arrive en I2 sur la face BC sous une incidence de 30((complément de I1I2C = 60(). Il émerge du prisme sous un angle i’= 60(, d’après le principe du retour inverse de la lumière (doc.6.19).

Dans son trajet SII1I2R, le rayon lumineux est donc dévié de :

D = (60(−30() + (180(− 60() + (60(− 30() = 180( (prob. 6.5).

Le rayon émergent I2R est donc parallèle au rayon incident SI mais de sens contraire.

3) Le trajet II1I2 du rayon incident est le même qu’au 2). En I2, le rayon lumineux, qui forme un angle d’incidence aussi de 30( (complément de I1I2C = 60(), rencontre un milieu moins réfringent (n’ < n). Il ne se réfracte que si 30(( θ (angle limite du second milieu par rapport au premier) (doc.6.20).

Calculons l’angle limite θ :

Puisque 30(< θ, une réfraction se produit en I2 selon l’équation :

i sin 30( = n’ sin i’

Le rayon réfracté I2I3 arrive perpendiculairement sur la face BD, puisque le prisme BDC est rectangle isocèle ; il sort en I3 sans subir de déviation.

Le support du rayon émergent I2I3 forme avec celui du rayon incident SI un angle de :

α = 60( − 45( = 15( .

REMARQUE.- Le rayon est donc dévié de : d = 180( −15( = 165( .

4) Pour qu’il y ait réflexion totale en I2, il faudrait que : 30( ( θ.

D’où : n’ ( 0,866.

REMARQUE.- Cette valeur de l’indice n’a aucune signification physique et son choix arbitraire est dans le but de simplifier les calculs, simplification obtenue ici par l’utilisation d’angles remarquables.

En supposant l’expérience précédente possible, le rayon subissant la réflexion totale en I2 arriverait sur la face AB du prisme sous une incidence de 30( et sortirait sous une incidence de 60(, d’après le principe du retour inverse de la lumière.

La direction du rayon émergent I3R formerait avec celle du rayon incident SI un angle de 120( (doc.6.21).

C –Problèmes proposés

6.7

Un faisceau de lumière monochromatique tombe sur une face d’un prisme d’angle A=60o et d’indice

1) Déterminer la marche de la lumière dans les deux cas : a) i = 60o ; b) i = 90o.

2) Calculer l’angle d’incidence pour que i’= 90o.

3) Calculer i pour que la déviation soit minimale et donner la valeur de cette déviation.

( Rép.- 1) a) 32,4( , b) 51,5( ; 2) 21,5( ; 3) 45( , 30( .

6.8

Un polyprisme est formé par la superposition de trois prismes de même angle A=60o, mais d’indices différents : n1=1,65, n2 =1,59 et n3 =1,52. Les trois prismes reçoivent les rayons d’une même source sous la même incidence i = 48o. Calculer les trois déviations D1, D2 et D3 (doc.6.22).

( Rép.- D1=53( ; D2=46( ; D3=39( .

6.9

Un prisme de verre, d’indice, a pour section droite un triangle rectangle isocèle ABC, et repose sur sa face hypoténuse BC supposée horizontale. Contre la face AB est appliquée une cuve également prismatique ABD, dont la paroi BD est verticale, et qui contient un liquide d’indice .Un rayon de lumière simple SI tombe normalement sur la face BD, et pénètre dans la cuve (doc.6.23). Dire :

1) si ce rayon pénétrera dans le prisme de verre, et pourquoi ;

2) par quelle face il en sortira, et pourquoi ;

3) quel angle le rayon émergeant finalement du prisme fera

avec le rayon incident SI.

( Rép.- 1) r=60( ; 2) i’=45( (AC) ; 3) Rayons émergent et incident parallèles.

6.10

On dispose d’un prisme d’angle A=60o.

1) On sait que la déviation minimale est Dm=40o. Calculer l’indice n. Quelles sont les valeurs des angles i et i’ correspondant au minimum de déviation ?

2) On fait varier i de 0o à 90o. A partir de quelle valeur, i0 , de i obtiendra-t-on un rayon émergent correspondant à l’incidence i0 ? Qu’advient-il des rayons incidents ayant un angle d’incidence compris entre 0o et i0 ?

( Rép. - 1) n=1,532, i=i’=50( ; 2) i0=30(20’, D0=60(20’, (Voir § 6.2.6 /2/).

6.11

On considère un prisme d’angle au sommet A=60o et dans un plan perpendiculaire à son arête un faisceau de rayons incidents convergeant en un point I de la face d’entrée AB. On supposera le faisceau limité par la normale en I et la partie IB de cette face.

1) Tracer la marche du faisceau à travers le prisme. Déterminer les positions des rayons qui limitent le faisceau à l’intérieur et à l’extérieur du prisme.

On prendra pour indice de ce prisme :

2) Déterminer aussi la position du rayon incident correspondant au minimum de déviation ; calculer cette déviation.

3) Que deviendrait ce dernier rayon si l’on accolait au prisme d’angle A un prisme de même angle A’ et de même indice, de manière que la face de sortie du prisme A’ soit parallèle à la face d’entrée du prisme A ? Déterminer la position du rayon émergent par rapport au rayon incident.

On donne : AI = 3,0cm et AA’= 5,0cm.

( Rép.- 1) i0= 21(28’ , 0(( r ( 15(:réflexion totale , 15(( r ( 45( :réfraction ; 2) im=45( , Dm=30( ; 3) Parallèle à l’incident , x (1,3cm .

6.12

Soient deux prismes identiques, d’indice , dont les sections droites sont des triangles rectangles ABC et A’B’C’ ; les angles A et A’ sont droits, les angles B et B’ sont égaux à 30o.

1) On les accole de façon à former un prisme unique d’angle au sommet 60o (doc.6.24). On demande l’angle d’incidence im des rayons qui traversent ce prisme unique au minimum de déviation et la valeur de cette déviation minimale.

2) Les prismes sont disposés comme dans le document 6.25, l’angle ACA’ est égal à 150o. Tracer la marche d’un rayon lumineux qui tombe normalement sur la face AB et indiquer sa déviation après la traversée des deux prismes.

( Rép.- 1) im=45( , Dm=30( ; 2) D=30( .

6.13

On utilise un prisme en matière plastique transparente, d’indice absolu n=1,5. Sa section principale est un triangle ABC rectangle en A et tel que l’angle B soit égal à 70o. Un rayon lumineux SI, dans le plan ABC, rencontre le prisme en I, sur le côté AB, perpendiculairement à AB.

1) Etudier la marche de la lumière jusqu’à ce qu’elle ressorte du prisme.

2) On plonge le bloc de plastique dans un liquide d’indice absolu n’. Le rayon incident SI est toujours perpendiculaire à AB. Entre quelles limites doit être compris l’indice n’, si on veut que la lumière subisse une réflexion totale et une seule ? L’eau d’indice 1,33 convient elle ?

( Rép.-1) 48,6( ; 2) 1,15 ( n’( 1,41 ; oui.

6.14

On dispose d’un prisme en verre, d’indice de réfraction n = 1,331 et d’angle A = 45o. L’indice n a été mesuré avec une lumière jaune monochromatique. On éclaire le prisme par un faisceau de lumière monochromatique jaune perpendiculairement à la surface de séparation air-verre. On représente ce faisceau par un rayon.

1) Construire géométriquement la prolongation du rayon lumineux à l’intérieur du prisme. Justifier la construction.

2) Déterminer l’angle avec lequel le rayon sort du prisme. Faire un schéma et justifier la construction en utilisant la seconde loi de Descartes.

3) On remplace le faisceau de lumière jaune par un faisceau laser de lumière rouge. L’indice de réfraction du verre vaut maintenant n’=1,286. Comparer le trajet de ce faisceau lumineux à celui du faisceau précédent.

4) Que se passerait-il si le faisceau était constitué de lumière blanche ?

( Rép.- 1) i=r=0( ; 2) i’=70( ; 3) i’=65( ; 4) Dispersée.

6.15

On dispose d’un prisme que l’on éclaire à l’aide de différentes sources de lumière.

1) On éclaire le prisme avec la lumière d’un laser. La lumière sort du prisme. Comparer la lumière entrant dans le prisme et la lumière sortant du prisme.

2) On utilise maintenant un faisceau de lumière émise par une lampe halogène. Que constate-t-on à la sortie du prisme ? Justifier la réponse.

3) La lumière qui sort du prisme est monochromatique. Que peut-on dire de la lumière entrant dans le prisme ?

( Rép.- 1) Lumière sortant monochromatique déviée; 2) Lumière déviée et dispersée ; 3) monochromatique.

6.16

L’angle au sommet A d’un prisme vaut 45o. On éclaire une de ses faces à l’aide d’une lumière monochromatique violette. L’indice de réfraction du prisme pour la lumière violette est 1,680.

1) Le faisceau incident éclaire le prisme perpendiculairement à la face d’entrée. Représenter sur un schéma le prisme et le rayon lumineux avant et après la première surface de séparation air-verre (doc.6.26).

2) Vérifier que l’angle r’ vaut 45o. Montrer qu’il n’y a pas d’angle mathématiquement possible pour que la lumière violette sorte du prisme.

3) Quel devrait être l’angle maximal du prisme pour que le faisceau en sorte ?

Aide : montrer que r’=A, quel que soit l’angle A.

4) Pour cet angle, que se passerait-il si l’on éclairait le prisme sous la même incidence, mais avec une lumière blanche ? On rappelle que la lumière violette est déviée plus que toutes les autres lumières.

( Rép.- 1) i=r=0( ; 2) Somme des angles du triangle, impossible : réflexion totale ; 3) A=36,5( ; 4) Lumière bleue : rasante, autres couleurs : moins déviées.

Pour une culture

Le périscope

Le périscope est l’œil du sous-marin en plongée. Cet appareil est un ingénieux instrument d’optique fait d’un tube de 6 à 9 mètres de long, que l’on peut élever ou abaisser grâce à un mécanisme hydraulique et muni de prismes à réflexion totale et de lentilles. Il comprend, à la partie supérieure du tube, une fenêtre et un prisme à réflexion, un second prisme, et un oculaire à sa partie inférieure ou d’observation. Le prisme supérieur dirige la lumière dans le périscope ; celui du bas lui permet de sortir du tube et de s’adapter à l’œil de l’observateur. Le champ de vision latéral du périscope est de 15( environ ; deux bras à la base du périscope permettent de le faire pivoter de façon à pouvoir observer tout l’horizon. Lorsque le sous-marin utilise son périscope en plongée, le tube sort d’environ 1m au-dessus de l’eau.

Le périscope, dont on se servit pour la première fois en 1902, a été inventé par l’ingénieur français T. Garnier en 1893.