Vulnerisc – ARMAGEDOM : Propagation des incertitudes le long d ...

Vulnerisc – ARMAGEDOM : Propagation des incertitudes le

long d’une chaîne de traitement du risque sismique

Rapport final

BRGM/RP-55096-FR novembre 2006

Vulnerisc – ARMAGEDOM : Propagation des incertitudes le long d’une chaîne de traitement du risque

sismique

Rapport final

BRGM/RP-55096-FR novembre 2006

Étude réalisée dans le cadre des projets de Service public du BRGM 2006

J. Rohmer

Vérificateur : Nom : Sedan Miegemolle O.

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Approbateur : Nom : Modaressi H.

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Le système de management de la qualité du BRGM est certifié AFAQ ISO 9001:2000.I

M 003 - AVRIL 05

Mots clés : Scénario sismique, ARMAGEDOM, Propagations des incertitudes, Théorie des Possibilités En bibliographie, ce rapport sera cité de la façon suivante : Rohmer J., - Analyse, Représentation mathématique et Propagation des incertitudes le long de la chaîne de traitement du risque sismique ARMAGEDOM. Rapport BRGM/RP-55096-FR, 140 p., 53 ill., 2 ann. © BRGM, 2006, ce document ne peut être reproduit en totalité ou en partie sans l’autorisation expresse du BRGM.

Vulnerisc- ARMGEDOM : Propagation des incertitudes

BRGM/RP-55096-FR – Rapport final 3

Synthèse

Ce rapport a pour objet la propagation des incertitudes le long de la chaîne de traitement de scénarios sismiques du logiciel ARMAGEDOM [Sedan et Mirgon, (2003)].

Pour des raisons évidentes de coûts opérationnels, de délais et d’échelle d’étude, l’évaluation du risque sismique est très souvent confrontée à un contexte « d’ignorance partielle ». En d’autres termes, la connaissance que l’on est capable d’avoir des paramètres d’entrée des scénarios sismiques est souvent « imprécise, vague, voire incomplète ». Se rajoutent à cela les nécessaires hypothèses simplificatrices de modélisation et l’état d’avancement des connaissances scientifiques en matière de compréhension des phénomènes. Un tel contexte oblige l’expert à faire appel à son propre jugement pour palier l’imprécision des paramètres. Ce sont les incertitudes dites « épistémiques », qui viennent se rajouter aux incertitudes dites « aléatoires ».

Dans ce contexte hétérogène en termes de nature d’incertitudes, vouloir appliquer les méthodes dites « classiques » de propagation des incertitudes « aléatoires » (par exemple la méthode « Monte Carlo ») peut impliquer une sous-évaluation du risque [Ferson S., et Ginzburg L., (1996)], car elles sont exigeantes en matière de quantité de données d’entrée et par implication en matière d’hypothèses de représentation mathématique des informations. Un cadre formel flexible par rapport à la qualité/quantité d’informations réellement accessibles et par rapport à la combinaison des sources d’incertitudes est donc exigé.

Le cadre de la « théorie des possibilités » [Dubois D., et Prade H., (1988)] apparaît comme le plus adaptable face aux informations « vagues, imprécises et incomplètes ». La théorie des évidences de Dempster-Shafer [Shafer G., (1976)] offre, quant à elle, le cadre formel unificateur pour les deux théories « possibiliste » et « probabiliste ».

L’application de ce cadre au cas de la chaîne de traitement ARMAGEDOM s’est faite en traitant les incertitudes aléatoires et les incertitudes épistémiques de type « choix de la valeur d’un paramètre », « choix d’un zonage » et « choix d’un type de modélisation ». Les hypothèses simplificatrices liées à la modélisation ARMAGEDOM et RISK-UE Niv.1, n’ont pas été traitées. Le cadre proposé étant par nature adaptable, toute modification théorique du modèle pourra être traitée ultérieurement. Par ailleurs, le cadre choisi pour la propagation des incertitudes produit une information « riche », qu’il convient de valoriser spatialement pour pouvoir l’utiliser dans la cadre d’une aide à la décision efficace. La recherche d’indicateurs opérationnels et synthétiques repose sur les travaux de Baudrit C. et Guyonnet D. [Baudrit C., (2005)- Thèse] et [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM] et a été adaptée pour répondre aux contraintes des SIG. L’ensemble des méthodes exposées dans ce rapport ont été illustrées sur l’exemple du scénario sismique de la ville de Lourdes (France, Hautes Pyrénées, 65) – [Bernadie et al., (2006) – Rapport BRGM].

Vulnerisc- ARMAGEDOM : Propagation des incertitudes


Sommaire

1. Introduction.............................................................................................................13

1.1. L’INCERTITUDE DANS LES SCENARIOS SISMIQUES..................................13

1.2. LA CHAINE DE TRAITEMENT ARMAGEDOM.................................................13

1.3. OBJECTIFS DE L’ETUDE .................................................................................14

2. Analyse des incertitudes .......................................................................................17

2.1. SOURCES DE L’INCERTAIN............................................................................17 2.1.1. L’incertitude aléatoire ...............................................................................17 2.1.2. L’incertitude épistémique..........................................................................17

2.2. ANALYSE DE L’ETAPE I : « L’AGRESSION SISMIQUE » ...............................18 2.2.1. Modèle ARMAGEDOM de l’agression sismique.......................................18 2.2.2. Phase I.0 : « Définition des paramètres du scénario sismique »..............19 2.2.3. Phase I.1 : « Atténuation » .......................................................................19 2.2.4. Phase I.2 : « Effets de site lithologique» ..................................................20 2.2.5. Phase I.3 : « Effets de site topographique ».............................................21

2.3. ANALYSE DE L’ETAPE II : « INTENSITE MACROSISMIQUE » ......................22 2.3.1. Phase II 1: « Choix du modèle de conversion PGA en pseudo-intensité »22 2.3.2. Phase II 2: « De la pseudo-intensité à l’intensité macrosismique »..........22

2.4. ANALYSE DE L’ETAPE III : « LA VULNERABILITE » ......................................22 2.4.1. Modèle Risk-UE, Niv. 1 de la vulnérabilité ...............................................23 2.4.2. Phase III.1 : « Réponse des enjeux à l’agression sismique » ..................23 2.4.3. Phase III.2 : « Répartition des enjeux »....................................................24 2.4.4. Phase III.3 : « Prédiction des dommages »..............................................25

2.5. SYNTHESE .......................................................................................................28 2.5.1. Chaîne de traitement ARMAGEDOM .......................................................28 2.5.2. Classification des incertitudes ..................................................................29

3. Outils mathématiques de l’incertain .....................................................................33

3.1. LE CADRE PROBABILISTE..............................................................................33 3.1.1. Représentation d’un paramètre aléatoire .................................................33 3.1.2. Limites du cadre probabiliste....................................................................34


6 BRGM/RP-55096-FR – Rapport final

3.2. REPRESENTATION DE L’IMPRECISION : « LE CADRE POSSIBILISTE ».... 35 3.2.1. Exemple de représentation d’un paramètre imprécis............................... 35 3.2.2. Traduction probabiliste des possibilités ................................................... 37 3.2.3. Méthodes de construction d’une distribution de possibilités .................... 40

3.3. SYNTHESE ....................................................................................................... 45

3.4. PROPAGATION DES INCERTITUDES ............................................................ 46 3.4.1. Dans le cadre probabiliste........................................................................ 46 3.4.2. Dans le cadre possibiliste ........................................................................ 46 3.4.3. Dans le cadre « Hybride »........................................................................ 47

3.5. VALORISATION DE L’INFORMATION SUR L’INCERTITUDE ........................ 48 3.5.1. Dans le cadre purement probabiliste ....................................................... 48 3.5.2. Dans le cadre purement possibiliste ........................................................ 49 3.5.3. Dans le cadre hybride .............................................................................. 49

4. Propagation des incertitudes................................................................................ 51

4.1. METHODOLOGIE DE TRAITEMENT DES INCERTITUDES ........................... 51

4.2. REPRESENTATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE I .............................. 52 4.2.1. Phase I.1 : « Atténuation »....................................................................... 52 4.2.2. Phase I.2 : « Effets de site lithologique » ................................................. 57 4.2.3. Phase I.3 : « Effet de site topographique » .............................................. 62 4.2.4. Propagation des incertitudes de l’étape I ................................................. 63

4.3. REPRESENTATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE INTERMEDIAIRE... 63 4.3.1. Phase II.1 : « Choix du modèle de conversion »...................................... 63 4.3.2. Phase II 2 : « Passage d’une variable continue à une variable discrète »63

4.4. REPRESENTATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE III ............................ 65 4.4.1. Phase III.1 : « Réponse des enjeux à l’agression sismique ».................. 65 4.4.2. Phase III.2 : « Répartition des enjeux » ................................................... 66 4.4.3. Phase III.3 : « Prédiction des dommages » ............................................. 70 4.4.4. Propagation des incertitudes de l’étape III ............................................... 70

4.5. VALORISATION DES INFORMATIONS SUR LES INCERTITUDES............... 71 4.5.1. Problématique .......................................................................................... 71 4.5.2. Proposition de traitement ......................................................................... 71

4.6. SYNTHESE ....................................................................................................... 74 4.6.1. Etape I : « Etude de l’agression sismique » ............................................. 74



4.6.2. Etape II : « Conversion en Intensité Macrosismique » .............................75 4.6.3. Etape III : « Vulnérabilité » .......................................................................76 4.6.4. Synthèse des post-traitements .................................................................77

5. Cas-Test...................................................................................................................79

5.1. DEFINITION DU TEST ......................................................................................79 5.1.1. Définition du séisme de scénario..............................................................79 5.1.2. Lois d’atténuation .....................................................................................79 5.1.3. Effets de site.............................................................................................79 5.1.4. Lois de conversion PGA-en Pseudo-intensité ..........................................79 5.1.5. Enjeux.......................................................................................................80

5.2. REPRESENTATION DES INCERTITUDES......................................................80 5.2.1. Lois d’atténuation .....................................................................................80 5.2.2. Effet de site lithologique ...........................................................................82 5.2.3. Loi de conversion PGA en pseudo-intensité ............................................82 5.2.4. Indice de vulnérabilité...............................................................................82

5.3. PROPAGATION DES INCERTITUDES.............................................................83 5.3.1. Résultat brut .............................................................................................83 5.3.2. Influence des incertitudes liées aux lois d’atténuation..............................84 5.3.3. Influence des incertitudes sur les effets de site lithologiques...................85 5.3.4. Influence des incertitudes sur le choix de la loi de conversion.................85 5.3.5. Influence des incertitudes sur l’indice de vulnérabilité..............................85 5.3.6. Synthèse...................................................................................................86

6. Cas de démonstration ............................................................................................89

6.1. DESCRIPTION DE LA ZONE D’ETUDE ...........................................................89

6.2. ANALYSE DES INCERTITUDES ......................................................................89 6.2.1. Analyse de l’Etape I : « AGRESSION SISMIQUE ».................................89 6.2.2. Analyse de l’Etape II : « La vulnérabilité »................................................91

6.3. PROPAGATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE : « AGRESSION ».........93 6.3.1. Incertitudes sur la valeur du PGA au rocher.............................................93 6.3.2. Incertitudes liées aux effets de site lithologiques .....................................95 6.3.3. Propagation finale de l’étape : « Agression sismique »............................99

6.4. PROPAGATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE : « VULNERABILITE » 101 6.4.1. POLYGONE N°100, polygone d’enjeux monotypique............................101 6.4.2. POLYGONE N°69, cas de l’inventaire imprécis .....................................105



6.4.3. Polygone N°1, cas de l’échantillonnage statistique................................ 110

6.5. PROPAGATION GLOBALE ............................................................................ 113

7. Conclusions et Perspectives .............................................................................. 117

7.1. BILAN .............................................................................................................. 117 7.1.1. Analyse des incertitudes ........................................................................ 117 7.1.2. Outils mathématiques de représentation ............................................... 117 7.1.3. Propagation............................................................................................ 117 7.1.4. Valorisation de l’information sur les incertitudes .................................... 118

7.2. SYNTHESE ..................................................................................................... 119 7.2.1. Etape I : « Etude de l’agression sismique » ........................................... 119 7.2.2. Etape II : « Conversion en Intensité macrosismique »........................... 120 7.2.3. Etape III : « Vulnérabilité » ..................................................................... 121

7.3. PERSPECTIVES PUREMENT « RECHERCHE ».......................................... 121 7.3.1. Perspective n°1 : « Affiner la cohérence de représentation de l’information

réellement accessible»........................................................................... 121 7.3.2. Perspective n°2 : « Amélioration de la représentation des incertitudes

liées aux effets de site »......................................................................... 123

7.4. PERSPECTIVES « RECHERCHE ET DEVELOPPEMENT »........................ 124 7.4.1. Mode de représentation des résultats et de l’incertitude associée ........ 124 7.4.2. Validation des outils et méthodes d’aide à l’appréciation par le ou les

experts du niveau d’erreur qu’il affecte à son jugement......................... 124 7.4.3. Intégration de la chaîne de traitement des incertitudes dans une version

opérationnelle d’ARMAGEDOM............................................................. 125 7.4.4. Tests de sensibilité sur les différentes composantes d’un scénario de

risque sismique ...................................................................................... 125

8. Bibliographie ........................................................................................................ 127

Liste des illustrations

Figure 1-1 : Présentation d’ARMAGEDOM ................................................................................. 14 Figure 2-1: Chaîne de traitement ARMAGEDOM ....................................................................... 28 Figure 3-1 : Illustration d'une distribution de probabilités – extrait de [Baudrit C., (2005)- Thèse].......................................................................................................................................... 34



Figure 3-2 : Définition des domaines de vraisembalnce de l’évènement "le coefficient d'amplification est inférieur à un seuil donné ». ...........................................................................40 Figure 3-3 : Cas où l'on est capable de donner les fractiles à 5 %, 50 % et 95 %, égaux respectivement à 1, 5 et 9............................................................................................................42 Figure 3-4 :Construction d'une distribution de possibilité à partir d’intervalles de confiance......................................................................................................................................43 Figure 3-5 : Construction d'une distribution de possibilités à partir d'un consensus entre experts sur la valeur d’un indice de vulnérabilité .........................................................................44 Figure 3-6 : Illustration d’un ensemble flou ..................................................................................45 Figure 3-7 : Illustration du calcul par α-coupes - extrait de [Baudrit C., (2005) – Thèse] ............47 Figure 3-8 : Illustration de la méthode de propagation HYBRIDE – extrait de [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM]........................................................................................................48 Figure 3-9 : Lecture verticale d'une distribution de possibilité .....................................................49 Figure 3-10 : Illustration de la méthode Hyrisk - post -traitement du calcul flou aléatoire - extrait de [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM]...................................................................50 Figure 4-1 : Illustration de la méthode de construction de la fonction de possibilité représentant l'incertitude sur la dispersion associée à la loi Ambraseys et al. (1996) ................53 Figure 4-2 : Traitement de l’incertitude épsitémique de type « Modèle de loi d’atténuation»(1/3) .......................................................................................................................55 Figure 4-3 : Traitement de l’incertitude épistémique de type « Modèle de loi d’atténuation»(2/3) .......................................................................................................................56 Figure 4-4 : Traitement de l’incertitude épistémique de type « Modèle de loi d’atténuation»(3/3) .......................................................................................................................56 Figure 4-5 :Illustration de l’incertitude de dilution ; extrait de [Bernadie S. et al, (2006) – Rapport BRGM],...........................................................................................................................59 Figure 4-6 : Combinaison des sources d'information conflictuelles sur le coeffcient d’amplification lithologique à mi distance dans la zone de dilution entre la zone géotechnique n°1« Marais de Monge »et la zone géotechnique n°2 « Moraines Saux » ...........61 Figure 4-7 : Combinaison des sources d'information conflictuelles sur le coeffcient d’amplification lithologique à une distance d=0.75xΔ depuis la frontière de la zone géotechnique n°1« Marais de Monge » dans la zone de dilution avec la zone géotechnique n°2 « Moraines Saux » ..........................................................................................62 Figure 4-8 : Définition de la classe floue macrosismique la plus vraisemblable..........................65 Figure 4-9: illustration de la construction d'une distribution de possibilités sur la base des classes de vulnérabilités - adaptée de [Giovinazzi S., (2005) – Thèse] ...............................66 Figure 4-10 : règles logiques d'évaluation de l'erreur commise lors de l'inventaire ....................68 Figure 4-11: Illustration du raisonnement approximatif adaptée de [Yasser, (1999)- Thèse] ..........................................................................................................................................69 Figure 4-12 : Illustration du post-traitement « lecture horizontale » d’une distribution de possibilité......................................................................................................................................73 Figure 4-13 : Illustration de la défuzzyfication par la méthode des centres de gravité – extrait de Yasser E., (1999) -Thèse .............................................................................................74



Figure 5-1 : Représentation des incertitudes de dispersion de chaque loi d'atténuation............ 81 Figure 5-2 : Prise en compte de l'incertitude sur le choix de la loi d'atténuation- enveloppe des distributions associées à chaque loi (Figure ci-avant) ........................................ 82 Figure 5-3 : Représentation de l'incertitude sur l'indice de vulnérabilité de type M4 - méthode RISK - UE, Niv.1........................................................................................................... 83 Figure 5-4 : Incertitude sur la proportion d’enjeux en état de dommage D3 résultant de l'incertitude de dispersion de la loi d’atténuation Ambraseys et al. – cas test ............................ 84 Figure 5-5: : Incertitude sur la proportion d’enjeux en état de dommage D3 résultant des incertitudes des lois d'atténuation (choix de la loi et dispersion).......................................... 85 Figure 5-6 : Influence de la forme de représentation de l'indice de vulnérabilité ........................ 86 Figure 5-7 : Sources d'incertitude les plus discriminantes – cas Test......................................... 87 Figure 6-1: PGA au rocher ; borne inférieure, vraisemblancde maximale .................................. 94 Figure 6-2 : PGA au rocher ; borne supérieure, vraisemblance maximale ................................. 94 Figure 6-3: Probabilité Haute de dépasser 400 mg..................................................................... 95 Figure 6-4 : Borne inférieure PGA au sol ; degré de vraisemblance maximal ............................ 96 Figure 6-5 : Borne supérieure PGA au sol ; degré de vraisemblance maximal .......................... 96 Figure 6-6: Probabilité Basse "Dépasser le seuil 400 mg".......................................................... 97 Figure 6-7 : Probabilité Haute "Dépasser le seuil 400 mg" ......................................................... 97 Figure 6-8 : Moyenne des indicateurs - Probabilité Basse et Haute « Dépasser 400 mg »............................................................................................................................................. 98 Figure 6-9 : Zone du "Possible" de l'évènement "Dépasser 400 mg........................................... 98 Figure 6-10: Carte d’intensité macrosismique........................................................................... 100 Figure 6-11 : Carte de degré de vraisemblance de l'intensité macrosismique ......................... 100 Figure 6-12: Zone d'intensité macroscopique "quasi-certaine" (en rouge) – critère 0,75 ......... 101 Figure 6-13 : Déduction de la valeur d'intensité macrosismique la plus vraisemblable – polygone N°100 ......................................................................................................................... 102 Figure 6-14 : Distribution de possibilité associée à la proportion d'enjeux dans l'état de dommage D3 – polygone n°100................................................................................................ 103 Figure 6-15: Localisation du polygone d'enjeux N°69 ............................................................... 106 Figure 6-16 : Incertitude sur le PGA au sol - polygone n°69..................................................... 107 Figure 6-17 : Incertitude sur la pseudo-intensité - polygone d'enjeux n°69 .............................. 107 Figure 6-18 : Incertitude sur les proportions d'enjeux en état de dommage D3 - polygone n°69............................................................................................................................ 109 Figure 6-19 : Incertitude sur les proportions d’enjeux en état de dommage D3 (800ème itération) - polygone N°1............................................................................................................ 112 Figure 6-20 : Probabilité Basse de dépasser 30 % d'enjeux en D3.......................................... 114 Figure 6-21 : Probabilité Haute de dépasser 30 d'enjeux en D3............................................... 114



Figure 6-22 : Zone «au moins possible» de dépasser 30 % d'enjeux en état de dommage D3 ..............................................................................................................................115

Liste des annexes

Annexe 1 Caractéristiques des polygones d’enjeux de Lourdes..............................................131 Annexe 2 Valeurs numériques (Cas de démonstration) ...........................................................135



1. Introduction

1.1. L’INCERTITUDE DANS LES SCENARIOS SISMIQUES

Les scénarios de risque sismique sont des outils puissants pour évaluer les conséquences possibles d’un événement sismique donné - défini par le triplet magnitude, localisation de l’épicentre et profondeur de l’épicentre.

De nombreuses approches existent. Certaines sont adaptables à toutes les échelles allant depuis le site urbain jusqu'à l’échelle régionale (outil RADIUS et méthodologie ARMAGEDOM, [Sedan et Mirgon, (2003) – Rapport BRGM]), voire pour un continent entier (méthodologie HAZUS) et d’autres sont dépendantes des conditions locales et donc plus spécifiques à certaines zones urbaines dans le monde.

Le point commun entre toutes ces approches est l’abondance des paramètres d’entrée et par voie de conséquences, des incertitudes, qui leur sont associées, que cela soient, basiquement au niveau des données d’entrées, ou au niveau de l’algorithme de traitement ou encore au niveau du choix de modélisation des phénomènes. L’importance de la maîtrise des incertitudes est soulignée dans plusieurs études [Spence et al., (2003)], [Crowley et al., (2005)], [Douglas J., (2004) –Rapport BRGM], [Steimen S., (2002) - Thèse].

Dans cette dernière étude, l’auteur étudie l’influence des incertitudes sur le résultat de la répartition des dommages dans le cas de la ville de Bâle. Les écarts de répartition sont tels (jusqu’à plus de 30 %) que l’auteur préconise que « l’étape préliminaire essentielle et incontournable à l’établissement d’un scénario sismique, aussi sophistiqué soit-il, est l’analyse et la maîtrise des incertitudes le long de la chaîne de traitement ».

1.2. LA CHAINE DE TRAITEMENT ARMAGEDOM

ARMAGEDOM, [Sedan et Mirgon, (2003) – Rapport BRGM] représente une chaîne de traitement opérationnelle pour la réalisation de scénarii de risque sismique. C’est un logiciel polyvalent et adaptable quelque soit l’échelle d’étude.

Le traitement d’un scénario de risque sismique se décompose en deux grandes étapes :

(1) Etape I : étude de l’agression sismique

(2) Etape II : étude de la vulnérabilité

Au niveau de la première étape, le logiciel permet de calculer une carte de PGA (abréviation pour « Peak Ground Acceleration ») en fixant une localisation de foyer, une magnitude et une loi d’atténuation, tout en intégrant des effets de site éventuels. Par ailleurs, il permet aussi d’importer



des cartes de répartition de PGA ou d’intensités macrosismiques, issues d’études de données historiques, de séismes de scénario ou de cartes d’aléa probabiliste.

La seconde étape se décompose en l’étude des enjeux et en l’étude de la réponse des enjeux à l’agression sismique. Les éléments exposés i.e. les enjeux sont représentés sous forme d’éléments ponctuels (bâti stratégique), linéaires (réseaux) et surfacique (quartier auquel est affectée une répartition typologique du bâti). Quant à l’étude de la réponse des enjeux à l’agression, le logiciel intègre la méthode statistique Risk-UE, niv.1, [Lagomarsino et Giovinazzi, (2006)]. Le logiciel permet aussi de revenir à un traitement de la vulnérabilité par des fonctions de dommages (dommages exprimés par des taux d’endommagement) déterministes ou probabilistes. La finalité est la carte de répartition des dommages.

A titre de synthèse, on présente le schéma général de traitement d’un scénario de risque sismique sous ARMAGEDOM.

Figure 1-1 : Présentation d’ARMAGEDOM

1.3. OBJECTIFS DE L’ETUDE

Au regard de la grande diversité des fonctionnalités offertes par le logiciel ARMAGEDOM, il est décidé de focaliser la propagation des incertitudes depuis la définition d’un séisme de scénario à la carte de répartition des dommages utilisant la méthodologie Risk UE, niv.1, [Lagomarsino et Giovinnazzi, (2006)], appliquée à des enjeux surfaciques. L’étude est donc focalisée sur une version simplifiée de la chaîne de traitement en termes de fonctionnalités et d’options. En particulier on ne traite pas des fonctionnalités suivantes : les lois reliant nombre de morts/blessés



et endommagement, les fonctions de dommages introduites par l’utilisateur, la prise en compte des éléments d’enjeux linéiques, l’aléa liquéfaction,… On notera cependant que la chaîne de traitement analysée (et décrite dans le chapitre 2) est celle communément utilisée dans les études de scénarios départementaux du risque sismique.

Dans ce contexte, les objectifs de cette étude sont les suivants :

- Caractériser la nature des incertitudes au niveau des données de la chaîne de traitement ARMAGEDOM.

- Définir des méthodes d’évaluation quantitative de ces incertitudes i.e. étude des représentations mathématiques des incertitudes.

- Analyser la propagation de ces incertitudes au sein de la chaîne de traitement ARMAGEDOM.

- Déterminer leur expression au niveau des résultats des simulations.

L’étude s’articulera autour des points suivants :

(1) Identification et classification des incertitudes le long de la chaîne de traitement d’ARMAGEDOM

L’information que l’on dispose est entachée d’un certain degré d’ignorance, qui est fonction de l’état actuel des connaissances scientifiques, ou des contraintes de modélisation (hypothèses simplificatrices) ou plus classiquement de la qualité de l’acquisition de données (fonction des coûts associés, des délais, …). A un degré d’ignorance correspond un type d’incertitude, qu’il convient de clarifier dans un premier temps. Une fois la sémantique de l’incertain fixée, les incertitudes le long de la chaîne de traitement ARMAGEDOM peuvent être classées.

(2) Mode de représentation des incertitudes le long de la chaîne de traitement

A un degré de connaissance donné correspond un outil mathématique adapté pour représenter de manière cohérente l’information effectivement accessible. Après une analyse des cadres formels de représentation et de propagation des incertitudes, une proposition de traitement est donnée.

(3) Application au cas concret du scénario sismique de la ville de Lourdes (65)

L’apport de la maîtrise des incertitudes est illustré par un démonstrateur gérant les mêmes types de fichiers et fonctionnalités calculatoires que le logiciel ARMAGEDOM (programmé sous VB 6).



2. Analyse des incertitudes

2.1. SOURCES DE L’INCERTAIN

L’incertitude, que l’on peut avoir sur un paramètre, découle de deux sources non exclusives.

2.1.1. L’incertitude aléatoire

La première source est le hasard i.e. l’incertitude provient de la variabilité « naturelle » résultant de phénomènes réels stochastiques : les observations du paramètre sont précises, mais variables d’une observation à l’autre. L’incertitude provient donc du caractère aléatoire du paramètre. La meilleure illustration est la mesure physique d’un paramètre donné.

En d’autres termes, l’information sur le paramètre est objective mais contradictoire. On choisit de désigner cette source d’incertitudes sous le terme générique « d’incertitude aléatoire».

2.1.2. L’incertitude épistémique

La deuxième source apparaît chaque fois que l’on se trouve en « situation d’ignorance partielle ». Elle est liée au caractère « imprécis, vague et incomplet de l’information ». Ferson dans [Ferson S., et Ginzburg L., (1996)] parle d’incertitudes « subjectives » par opposition aux incertitudes « objectives » (qui désignent les incertitudes « aléatoires »). En effet, l’incertain ne résulte pas simplement de la nature aléatoire du paramètre, mais aussi du manque d’informations. Dans un souci de clarté, cette source d’incertitude sera désignée sous le terme générique «d’incertitude épistémique ».

Cette source d’incertitude est vaste et se doit d’être divisée en différents types, que l’on présente ci-après :

- Le choix de la valeur d’un paramètre : pour palier le manque d’informations qu’il faudrait pour prendre la décision sur la valeur d’un paramètre, l’expert doit faire appel à son « expérience ». On désignera ce type d’incertitude sous le terme générique d’incertitude épistémique de type « choix d’un paramètre ».

- Le choix d’un zonage : au même titre que la valeur d’un paramètre, les limites d’un zonage sont connues avec plus ou moins de précision (+/- Δ mètres). Pour illustrer le propos, on prendra l’exemple de la localisation d’un ancien chenal, dont les frontières sont fixées en faisant appel à l’expertise des géologues. On désignera cette incertitude sous le terme générique d’incertitude épistémique de type « dilution » ; le terme « dilution » désignant la zone de transition entre deux régions, dont la localisation est déterminée avec plus ou moins de certitude.

- Le choix d’un ou de plusieurs types de modélisation : l’état de connaissances scientifiques à un instant donné ne permet pas toujours de trancher de façon univoque le choix d’un type de modélisation par rapport à un autre. Pour palier cette situation d’ignorance partielle, l’expert doit faire appel à son propre jugement en désignant le ou les



modèles qu’il juge les plus vraisemblables, dans un contexte donné. On désignera ce type d’incertitude sous le terme générique d’incertitude épistémique de type « choix d’une modélisation ».

- Le choix d’une hypothèse simplificatrice : dans une situation d’ignorance importante, l’expert est amené à poser des hypothèses dites « de modélisation » pour simplifier le problème et pouvoir prendre une décision. On désignera cette incertitude sous le terme générique d’incertitude épistémique de type « hypothèse simplificatrice».

Pour conclure ce paragraphe, il est important de garder à l’esprit que les deux sources d’incertitudes ne s’excluent en aucun cas et sont souvent liées. On peut donner l’exemple de la mesure d’un paramètre physique aléatoire, mais avec un appareil erronée, qui entache le résultat final d’une imprécision constante : on est dans le cas d’un paramètre aléatoire imprécis. On exposera ce propos plus en détails dans la partie « outils mathématiques de l’incertain » au chapitre 3.

2.2. ANALYSE DE L’ETAPE I : « L’AGRESSION SISMIQUE »

2.2.1. Modèle ARMAGEDOM de l’agression sismique

Hypothèses :

Les effets produits par les sources sismiques sont quantifiés sous la forme de paramètres de mouvement du sol (déplacement, vitesse, spectre d’accélération, accélération maximale, …). Le choix dans ARMAGEDOM, [Sedan et Mirgon, (2003) – Rapport BRGM] est de décrire l’agression sismique par la plus grande accélération horizontale au sol notée PGA (« Peak Ground Acceleration »). Un tel choix introduit une incertitude épistémique de type « hypothèse simplificatrice », car le passage du spectre d’accélération au scalaire PGA implique forcément la perte de l’information temporelle. Il est évident que ce choix de modélisation prend toute son importance dans le cadre de l’étude de la réponse d’un bâtiment face à l’agression sismique ; le comportement mécanique du bâtiment étant loin d’être élastique.

L’agression sismique vue comme une onde sismique part de la source (phase I.0 : « Définition des paramètres du scénario sismique ») et se propage (phase I.1 : « Atténuation ») jusqu’à la zone d’étude. Les effets au niveau de la zone dépendront de ses caractéristiques géotechniques (phase I.2 effets de sites lithologiques) et de ses caractéristiques topographiques (phase I.3 effets de sites topographiques). Ces derniers effets sont modélisés par des coefficients multiplicateurs, ce qui correspond à une incertitude épistémique de type « hypothèse simplificatrice». Le résultat de l’étape agression est la valeur du PGA au niveau de chaque maille de la zone d’étude.

Formulation mathématique:

PGA = Clitho x Ctopo x PGArocher

Avec :

- PGA (Peak Ground Accélération), le paramètre décrivant l’agression sismique au niveau d’une maille de la zone d’étude.



- PGArocher la valeur du PGA après atténuation due à la propagation depuis la source sismique

- Clitho la valeur du coefficient d’amplification lithologique

Ctopo la valeur du cœfficient d’amplification topographique

2.2.2. Phase I.0 : « Définition des paramètres du scénario sismique »

En se plaçant dans la logique d’un scénario sismique i.e. l’hypothèse d’occurrence d’un séisme donné, seront considérés comme certains et fixes les paramètres suivants :

- la localisation de l’épicentre - la magnitude de moment du séisme - la profondeur de l’épicentre

2.2.3. Phase I.1 : « Atténuation »

Les effets sismiques sont calculés à l’aide de lois d’atténuation qui tiennent compte de la distance d (épicentrale, ou au foyer, etc,…), de la magnitude M (magnitude de surface MS, ou magnitude de moment Mw, etc,…) et de la profondeur focale.

Trois sources d’incertitudes sont identifiées à ce niveau :

(1) Modélisation de l’atténuation : Incertitude aléatoire

Les lois d’atténuation sont issues d’une régression de type :

Log(PGA) = aLog(d) + bM + c

Avec a, b, c des constantes de régression

Cette régression est réalisée à partir de données observées et/ou mesurées, donc entachées d’une variabilité « naturelle ».

(2) Choix de la loi d’atténuation : Incertitude épistémique

A chaque loi d’atténuation est associé un domaine de validité, fonction du contexte sismotectonique de la zone d’étude, de la valeur de la magnitude de moment et de la distance à la source. Après une sélection préliminaire des lois dites « adaptées » à la zone d’étude, il n’est pas rare qu’un certain nombre de lois soient encore « valides » au regard des critères sus nommés. Pour palier cette situation d’ignorance, la subjectivité de l’expert intervient. L’incertitude de cette phase est donc de nature épistémique de type « choix de modélisation ».



(3) Paramètres de la loi d’atténuation : Incertitude épistémique

Certaines lois – en particulier [Ambraseys et al., (2005)] - ont pour paramètres d’entrée la géométrie de la faille (vecteur pendage, extension, surface) L’information dont on dispose habituellement sur ces paramètres aléatoires ne permet généralement pas une analyse fréquentielle et donc un traitement statistique exhaustif i.e. l’information probabiliste sur ces paramètres est incomplète. L’incertitude est donc de nature épistémique de type « choix de paramètre ».

2.2.4. Phase I.2 : « Effets de site lithologique»

L’observation des dégâts engendrés par les secousses sismiques montre que l’intensité de ceux-ci est fortement dépendante des conditions locales de la zone d’étude. Cette variation est liée à la modification du signal par les caractéristiques géotechniques des différentes formations superficielles (densité, rigidité, compressibilité, amortissement, non-linéarité,…).

L’incertitude de cette phase se situe à deux niveaux : - elle se situe au niveau de la valeur du coefficient d’amplification - elle se situe au niveau de la localisation de la zone, où il y aura amplification homogène.

(1) Valeur du coefficient d’amplification

L’évaluation du coefficient multiplicateur est directement liée à la caractérisation géotechnique du sol. Les paramètres de caractérisation géotechniques sont nombreux- cf. « Guide méthodologique pour la réalisation d’études de microzonage sismique (tableau III.1. p C-8)» ; [AFPS, (1993)].

La caractérisation géotechnique dépend de façon drastique des données de base disponibles. De premier abord, il faudrait classer ces incertitudes dans la classe « aléatoire », car la caractérisation géotechnique et donc le coefficient d’amplification, dérive de la mesure de paramètres physiques. Or en pratique, on se trouve très souvent en situation d’ignorance partielle, car l’acquisition des données est souvent limitée pour des raisons évidentes de coûts opératoires, de délais, mais aussi d’échelle d’étude. L’incertitude associée est donc de nature épistémique de type « choix d’un paramètre ».

Cependant, il est possible de distinguer plusieurs degrés d’ignorance selon les données effectivement disponibles. On définit ainsi les degrés suivants.

Degré A : « Favorable » : - Le semis de points est dense et de bonne qualité. - Des colonnes de sols types sont accessibles sur plusieurs points de la zone. - Les données quantitatives géophysiques et/ou géotechniques sont disponibles.

Ce degré de connaissance correspond à l’étude dite de niveau C dans le guide méthodologique nommé ci-avant.

Degré B : « Médian »:



L’état de connaissances est tel que seules des plages de valeurs sur les paramètres géotechniques sont accessibles. Le cas le plus usuel est celui pour lequel on est capable de donner une plage de valeurs d’épaisseurs des formations et de vitesses de cisaillement. Les paramètres peuvent alors être traités comme des données paramétriques et on raisonne en termes de cas « favorable », « médian » et « défavorable ». A chaque cas est associé un cœfficient d’amplification.

Degré C : « Défavorable »:

Aucune donnée quantitative n’est accessible. L’expert doit faire appel à des considérations reposant sur son expérience (par exemple : qualification de la tenue mécanique d’alluvions fluviatiles).

(2) Localisation de la zone géotechnique

L’incertitude sur les limites des zones géotechniques découle de plusieurs sources :

(1) Un semis de sondages et de points de mesures est dense et de bonne qualité est un contexte de connaissances difficilement accessible (délais, coût, échelle d’étude).

(2) Les zones sont souvent délimitées en se basant sur les contours de la carte géologique, en particulier pour des études à grande échelle du type Bouches du Rhône ou l’agglomération d’Alger. Des simplifications de zones aux contours très découpées sont souvent nécessaires. En d’autres termes la zone identifiée reflète une part d’interprétation de la part de l’expert notamment lorsque la géologie est très hétérogène.

(3) L’étude géotechnique est souvent réalisée au 1/25 000ème et zoomée au 1/10 000ème.

Bien que le paramètre cœfficient d’amplification soit caractérisé par une variabilité spatiale, l’information dont on dispose en général, est vague et incomplète. On se trouve dans le cas d’incertitudes épistémiques de type « dilution ».

2.2.5. Phase I.3 : « Effets de site topographique »

Dans le cas où le relief est accidenté, certaines configurations topographiques peuvent entraîner des amplifications du signal sismique.

Les règles parasismiques PS-92 françaises et l’Eurocode 8 tiennent compte des effets de site topographique par l’application d’un coefficient multiplicateur d’amplification pour les ouvrages situés en rebord de crête. Ce coefficient τ (Tau) varie entre 1 (pas d’augmentation des accélérations des spectres de dimensionnement) et 1,4 (majoration de 40 % des accélérations), et ceci pour l’ensemble du spectre. Ce phénomène est difficilement modélisable dans l’état actuel des connaissances scientifiques. Il est ainsi pris en compte de manière conventionnelle par un coefficient multiplicateur sans se baser sur une modélisation physique du phénomène. Ce sont avant tout des valeurs empiriques. L’importance de la majoration (1,4) a même été fixée pour dissuader les constructeurs de bâtir au niveau des ruptures de pentes, en raison des effets de site topographiques qui peuvent certes s’y produire, mais également en raison des instabilités de terrain (glissements, éboulements) qui rendent ces zones sensibles.



Dans ce contexte, l’étude de l’incertitude liée à la valeur du coefficient n’a pas de sens, car le coefficient dérive d’une règle conventionnelle. On ne prendra pas en compte ces incertitudes dans la suite de l’étude.

2.3. ANALYSE DE L’ETAPE II : « INTENSITE MACROSISMIQUE »

Selon la méthode d’évaluation de la vulnérabilité des enjeux, le paramètre de représentation de l’agression sismique change : PGA ou intensité macrosismique.

Une étape de conversion est donc nécessaire. Les lois de conversion PGA – intensité macrosismique sont obtenues en corrélant les données d’accélérations observées aux sites avec les intensités observées aux mêmes sites. Deux sources d’incertitudes sont identifiées dans cette phase.

2.3.1. Phase II 1: « Choix du modèle de conversion PGA en pseudo-intensité »

A l’image des lois d’atténuation, le choix du modèle de corrélation n’est pas unique i.e. pour un même contexte, plusieurs lois semblent valides et la sélection de la loi doit faire appel au jugement de l’expert. On est dans le cadre de l’incertitude épistémique de type « modèle ».

2.3.2. Phase II 2: « De la pseudo-intensité à l’intensité macrosismique »

Intrinsèquement, l’intensité macrosismique est une variable discrète, pouvant prendre les valeurs I, II, III, IV, … voire selon les auteurs I, I-II, II, II-III, …(les termes II – III signifiant une intensité comprise entre II et III). Intrinsèquement, le PGA est une variable continue. Le passage entre les deux variables implique donc une part d’incertitude dans le sens, où on perd de l’information (un intervalle de scalaires contenant plus d’informations qu’une valeur discrète).

2.4. ANALYSE DE L’ETAPE III : « LA VULNERABILITE »

La vulnérabilité d’un élément exposé représente ses possibilités d’endommagement par rapport à l’agression sismique, qui est exprimée soit sous forme de paramètres de mouvement sismique (accélération, vitesse), soit sous forme d’intensité macrosismique. Elle s’évalue par une estimation des différents niveaux de dommage que cet élément exposé subirait pour différents niveaux d’agression sismique La courbe qui met en relation intensité sismique et comportement d’un élément exposé s’appelle « fonction d’endommagement » ou « fonction de vulnérabilité ».

La réponse dynamique de la structure à un séisme est très complexe, dépendant d’un nombre important de paramètres, qu’il est difficile, voire impossible d’évaluer individuellement avec précision. Ces paramètres incluent : la résistance des matériaux utilisés dans la structure, la qualité de la construction, la nature et l’état des éléments structuraux analysés individuellement et au niveau de la construction dans son ensemble, l’interaction entre les éléments structuraux et non structuraux, le poids total du bâtiment à l’instant du tremblement de terre, et d’autres facteurs. Ceux-ci sont de plus dépendants des caractéristiques du signal sismique, au delà de son intensité (durée, contenu spectral,...). La majorité de ces facteurs peuvent être estimés, mais jamais connus avec précision.



Il est possible de traduire une part de ces incertitudes en appliquant une approche probabiliste aux fonctions d’endommagement. Les fonctions de vulnérabilité d’un élément à risque représentent alors la probabilité que sa réponse à l’action sismique atteigne ou dépasse certains degrés d’endommagement. Ces degrés sont définis sur la base de considérations physiques mais également socio-économiques.

Il existe deux principales approches d’évaluation de la vulnérabilité. - Une approche empirique, reposant sur le retour d’expérience, basée sur l’analyse des

dommages par l’inspection de sites endommagés par des séismes. - Une approche déterministe, basée sur des études analytiques de la structure, en utilisant

une analyse détaillée (dynamique) ou des méthodes simplifiées.

L’approche empirique, méthode Risk- UE niveau 1, [Lagomarsino et Giovinnazzi, (2006)], implémenté dans le logiciel ARMAGEDOM, [Sedan et Mirgon, (2003) – Rapport BRGM], est actuellement la méthode d’étude de la vulnérabilité la plus aboutie au regard de la facilité de mise en œuvre et de l’adaptabilité à l’échelle d’étude. La seconde approche reste limitée à des études spécifiques dont l’échelle ne dépasse pas celle d’un quartier.

Dans un souci de généralité, l’étude portera exclusivement sur la maîtrise des incertitudes des paramètres d’entrée de l’approche empirique.

2.4.1. Modèle Risk-UE, Niv. 1 de la vulnérabilité

La méthode Risk-UE, Niv.1 est basée sur une corrélation statistique entre l’agression sismique (caractérisée par l’intensité macrosismique – phase II.1) et le dommage apparent, décrit en termes de degré de dommage (D0 à D5). Cette corrélation dérive de l’Echelle Macrosismique Européenne (EMS), qui a été établie sur la base du retour d’expérience, en analysant de manière statistique le comportement de différents types de bâtiments ayant subi des séismes dans la période historique.

A partir de la répartition des types de bâtiments (phase II.2 : « Répartition des enjeux »), auxquels est associé une série d’indices de vulnérabilité (phase II.3 : « Réponse des enjeux à l’agression sismique »), l’approche Risk-UE, Niv.1 est capable de donner une répartition des proportions de dommage pour chaque degré de dommage (phase II.4 : « Prédiction des dommages »).

La méthode RISK-UE, niv.1 utilise l’intensité macrosismique comme paramètre représentant l’agression sismique. Le PGA calculé doit donc être converti en pseudo-intensité (variable continue) puis en macrointensité (variable discrète).

2.4.2. Phase III.1 : « Réponse des enjeux à l’agression sismique »

La réponse des enjeux (ou « fonction d’endommagement ») est modélisé par un indice de vulnérabilité, compris entre 0 (non vulnérable) et 1 (très vulnérable). Dans l’approche Risk-UE, Niv.1, une série d’indices de vulnérabilité (Vi, Vi

-, Vi+, Vi

min, Vimax) est associé à chaque type de

bâtiments :

- la valeur la plus probable de l’indice de vulnérabilité (Vi),

- les valeurs limites de la gamme plausible de l’indice de vulnérabilité (Vi-, Vi

+),



- les limites supérieure et inférieure des valeurs possibles de l’indice de vulnérabilité (Vimin, Vi

max).

L’approche Risk-UE, Niv.1 donne les valeurs de l’indice de vulnérabilité (Vi, Vi-, Vi

+, Vimin, Vi

max) pour plusieurs types de bâtiments (par exemple : les bâtiments en maçonnerie). Si les données ne sont pas suffisantes pour une identification directe en termes de type, des catégories plus générales basées sur l’expérience et la connaissance de la construction traditionnelle sont définies.

Un facteur de vulnérabilité régional ∆VR est introduit pour prendre en considération le caractère particulier de certains types de bâtiments à l’échelle régionale. Ce facteur modifie l’indice de vulnérabilité Vi sur la base d’un avis d’expert. Celui-ci peut être basé sur un constat de la vulnérabilité déjà observée dans la région, suite à des séismes.

L’approche Risk-UE, Niv.1 introduit des facteurs aggravants, qui modifient le comportement du bâti et vont se traduire par un coefficient additif ∆VM. La nature de ces facteurs (et les valeurs ∆VM associées) dépend du type de structure.

La valeur totale de l’indice de vulnérabilité est calculée de la manière suivante :

Vitotal = Vi+∆VR+∆VM

La méthode d’évaluation de la vulnérabilité est construite sur la base d’un retour d’expérience. Comme les informations sur les dégâts survenus lors de séismes sont limitées, l’estimation de l’indice de vulnérabilité est intrinsèquement entaché d’une incertitude épistémique de type « choix d’une valeur », [Douglas J., (2005) – Rapport BRGM].

2.4.3. Phase III.2 : « Répartition des enjeux »

Cette étape consiste à évaluer de la proportion de chaque type d’enjeux par secteur (polygones surfaciques d’enjeux), choisi de telle manière à ce que les types d’enjeux en leur sein soient répartis d’une manière homogène.

L’évaluation se fait par un travail de terrain, consistant à réaliser des itinéraires au sein du polygone d’enjeux et de faire des pointages. Le pointage consiste en une inspection visuelle de l’extérieur de la construction.

Comme identifiée dans [Douglas J., (2005) – Rapport BRGM], l’incertitude associée à la proportion est de nature aléatoire et dépend du travail de terrain (échantillonnage). Dans la pratique, l’information associée au nombre de bâtiments effectivement échantillonnés est cependant « plus ou moins » précis.

Plusieurs contraintes opérationnelles sont à prendre en compte :

- l’inspection visuelle des bâtiments est plus ou moins « aisée » : elle se fait souvent depuis la rue (propriétés privées) voire depuis une voiture.



- dans des zones très denses et hétérogènes en termes de types (typiquement les centres historiques et centres villes), seules un nombre restreint de rues peuvent être visitées (contraintes de délais et de coûts opérationnels)

- a contrario, dans des zones « plus ou moins » homogènes, l’échantillonnage effectif est nettement plus important que celui du pointage : le jugement de l’expert intervient donc.

Distinguons trois cas :

Cas A (tirage aléatoire):

- Le polygone d’enjeux est de densité faible à moyenne.

- Le polygone d’enjeux est relativement homogène avec des types de bâtiments très peu différents (ex : facteurs aggravants).

Dans ce contexte, on peut considérer que l’inventaire est équivalent à un tirage aléatoire de bâtiments. L’incertitude est dans ce cas purement « aléatoire » et la précision dépend de la taille de l’échantillon.

Les deux autres cas se définissent dans le contexte suivant. L’hétérogénéité du polygone d’enjeux et/ou sa forte densité empêchent un tirage aléatoire au sens statistique du terme. Le paramètre « proportion » est donc un paramètre aléatoire imprécis (incertitude épistémique de type « valeur »).

Cas B (calcul d’erreur)

L’expert est capable de donner des plages de proportions de types de bâtiments auxquels il associe un pourcentage d’erreur. Par exemple : « la proportion des bâtiments de type A dans ce lotissement est de 70%, mais vues les contraintes que j’ai eu pour réaliser l’inventaire, cette valeur est connue à +/- 10 % ».

Cas C (calcul d’erreur avec une erreur qualifiée)

La seule information que l’expert soit capable de donner est une qualification de la précision de l’inventaire : il est « très vraisemblable » que l’erreur soit « forte », mais il reste « plausible » que l’erreur soit simplement « moyenne ».

2.4.4. Phase III.3 : « Prédiction des dommages »

Modèle Risk-UE, Niv. 1

Par l’évaluation de l’agression (paramètre intensité macrosismique) et par l’évaluation de la vulnérabilité de la zone (inventaire des bâtiments et indices de vulnérabilité), l’approche Risk-UE, Niv.1 permet de donner comme résultat la probabilité de la variable aléatoire « Etat de Dommage D » de la zone d’étude – D variant de 0 (absence de dégâts) à 5.



L’estimation de la probabilité qu’un ensemble de bâtiments atteigne un niveau d’endommagement donné pour une intensité donnée passe par le calcul d’un taux de dommage moyen.

Ce taux de dommage moyen est calculé, à partir de l’indice de vulnérabilité (Vi) et de l’intensité macrosismique (I) et de l’indice de ductilité (Q) selon l’équation suivante:

L’indice de ductilité exprime l’accroissement des dégâts avec l’accroissement de l’intensité de l’agression. (Q) est calculé à 2,3 pour l’échelle EMS-98.

La distribution des probabilités correspondant aux différents niveaux de dommage se fait par l’intermédiaire d’une loi de probabilité dont les paramètres ont été calés d’après des observations de terrain après différents séismes, en Italie et en Grèce, principalement.

La distribution de dommages est calculée en utilisant une distribution type loi bêta.

Avec :

Le paramètre t traduit la dispersion de la distribution et dépend de la typologie de l’enjeu : t=8 est la valeur telle que la distribution bêta s’approche « le mieux » de la distribution binomiale. [Giovinazzi S., (2005) - Thèse]

La fonction discrète bêta de la densité de probabilité est calculée à partir des probabilités associées aux degrés des dommages k et k+1 (k variant de 0 à 5) :

pk=Pβ(k+1)- Pβ(k)

Les courbes de fragilité, qui définissent la probabilité que le dommage atteigne ou dépasse un niveau donné (D1, D2, D3, D4 ou D5), sont obtenues à partir de la probabilité cumulée de la distribution bêta selon l’équation :

P(D≥Dk)=1- Pβ(k)

Modèle ARMAGEDOM

La prédiction des dommages est évaluée pour des quartiers, représentés par des polygones i.e. des éléments surfaciques.



Afin de prendre en compte la variation de l’intensité macrosismique au sein d’un quartier, l’élément surfacique est discrétisé selon une grille de résolution donnée.

Deux modes de calculs sont disponibles sous ARMAGEDOM :

(1) Calcul d’une indice de vulnérabilité moyen pour chaque maille du polygone d’enjeux

A chaque maille est associée une intensité macrosismique et une vulnérabilité. La valeur de la vulnérabilité Vi(maille) dérive de l’étude de la répartition des enjeux (phase II.2) au sein du quartier et de l’étude de la vulnérabilité des types de bâtiments (phase II.3) telle que :.

Vi(maille) = Σ p(type i)xVi(type i)

Avec :

- p(type i) la proportion des bâtiments de type i au sein du quartier

- Vi(type i) l’indice de vulnérabilité associé au type de bâtiment i

(2) Calcul d’une moyenne de proportions

On calcule pour chaque type i de bâtiment la proportion pDk(Vi(type i) d’enjeux dans l’état de dommage Dk (k :0 ;5) . De l’étude de répartition des enjeux, on forme la moyenne des proportions :

pDk(maille) = Σ p(type i)xpDk(type i)

Incertitude liée à la modélisation ARMAGEDOM

Le calcul ci-avant repose sur une hypothèse « forte » : « Les bâtiments au sein du polygone « quartier » se répartissent de manière uniforme ».

En d’autres termes, on fait l’hypothèse que la proportion de bâtiments évaluée au niveau de l’ensemble du quartier est exactement la même au niveau d’une maille du polygone On introduit donc à ce niveau une part d’incertitude de nature « épistémique » et de type « hypothèse simplificatrice »



2.5. SYNTHESE

2.5.1. Chaîne de traitement ARMAGEDOM

Paramètres du scenario sismique

Modèle(s) d'atténuation

Phase I.1 :Atténuation

Caractérisation géotechnique de

la zone

Coefficient multiplicateur lithologique

Phase I.2 : Effets de site

lithologique

Règle conventionnelle

Coefficient multiplicateur topographique

Phase I.3 : Effets de site

topographique

PGA par maille

Choix d'un modèle de corrélation

Phase II.1. conversion en

pseudo-intensité

Phase II.2. Passage à l'intensité

macrosismique

Phase III.1 : Fonctions

d'endommagement par typologie

d'enjeux

Phase III.2 : Répartition des

typologies d'enjeux au sein de

l'élément surfacique

Intensité macrosismique

par maille

Indice de vulnérabilité par

typologie d'enjeux

Proportion de chaque typologie

au sein de l'élément

surfacique

Phase III.3 : Prédiction des

dommages (Module RISK-UE, Niv.1)

Proportion des enjeux de typologie donnée en état de dommage D0;D5

Proportion moyenne de tous les enjeux en

état de dommage D0;D5

Nombre d'enjeux dans l'élément

surfacique

Répartition des dommages au sein

de l'élément surfacique

Etape III : "Vulnérabilité"

Etape I : "Agression sismique"

Etape II "Conversion"

Figure 2-1: Chaîne de traitement ARMAGEDOM



2.5.2. Classification des incertitudes

Etape I : « Agression sismique »

Phase Paramètre Source d’incertitude Nature de l’incertitude

Construction de la loi à partir de données observées : terme de dispersion

Aléatoire

Choix du ou des modèles d’atténuation

Epistémique de type « choix du modèle »

I.1. Atténuation Loi d’atténuation

Paramètres de la loi d’atténuation

Epistémique de type « évaluation quantitative d’un paramètre »

Modélisation par un coefficient multiplicateur

Epistémique de type « hypothèse simplificatrice»

Caractérisation géotechnique de la zone

Epistémique de type « évaluation quantitative d’un paramètre»

I.2. Effets de site lithologique

Coefficient d’amplification

Localisation des effets Epistémique de type « répartition spatiale »

I.3 Effets de site topographique



Epistémique de type « hypothèse simplificatrice»

Etape II : « Conversion en Intensité macrosismique »


II.1. Passage à la pseudo-intensité

Loi de corrélation

Choix de la loi Epistémique de type « choix d’un modèle »



PGA en pseudo-intensité

II.2. Passage à l’intensité macrosismique

- Passage d’une variable continue à une variable discrète

Perte d’informations

Etape III : « Vulnérabilité »


Indices de vulnérabilité

Par construction des indices (retour d’expérience)

Epistémique de type « Evaluation quantitative d’un paramètre »

III.1. Fonctions d’endommagement

Facteurs aggravants (approche Risk-UE, Niv.1)

Valeur issu d’un consensus entre experts

Epistémique de type « Evaluation quantitative d’un paramètre »

III.2. Répartition des enjeux

Proportion des types d’enjeux

Variabilité des observations

Par nature, paramètre aléatoire, mais plus ou moins précis (incertitude épistémique)

III.3 Prédiction des dommages

Vulnérabilité du polygone « quartier »

Calcul d’un indice de vulnérabilité moyen OU d’une proportion moyenne pour chaque maille de l’élément surfacique discrétisé

Epistémique de type « hypothèse simplificatrice »

Synthèse

L’analyse des incertitudes le long de la chaîne de traitement ARMAGEDOM a permis de mettre en évidence les points suivants :

- Les deux sources d’incertitude (aléatoire et épistémique) sont présentes.



- La plupart des paramètres de nature aléatoire (coefficient d’amplification, répartition des types de bâtiments…) sont entachés d’une incertitude épistémique, car pour des raisons évidentes de délais, de coûts opérationnels et d’échelle d’étude, les informations dont on dispose sont plus ou moins complètes, vagues et/ou imprécises.

Tous les types d’incertitudes épistémiques sont présents i.e. la subjectivité de l’expert intervient tant au niveau de l’évaluation des paramètres quantitatifs qu’au niveau des choix de modélisation.



3. Outils mathématiques de l’incertain

Comme souligné dans le chapitre précédent, le passage entre l’incertitude de nature purement « aléatoire » à l’incertitude de nature« épistémique » dépend de façon drastique de la qualité et de la quantité d’informations dont on dispose effectivement. Dans un tel contexte, représenter l’information sur les paramètres dans un cadre formel unique n’est pas possible. On présente dans ce chapitre deux cadres mathématiques (« probabiliste » et « possibiliste ») afin de représenter chaque source d’incertitude.

L’étude précédente montre également que certains paramètres du modèle ARMAGEDOM sont de nature aléatoire et d’autres de nature épistémique. Une contrainte supplémentaire consiste à être capable de travailler dans un cadre mixte (« hybride ») unificateur. Une réponse à ce problème est donner par Guyonnet D. et Baudrit C. dans [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM] et [Baudrit C., (2005) - Thèse].

3.1. LE CADRE PROBABILISTE

Les paramètres de nature aléatoire sont caractérisés par une variabilité dite « naturelle » i.e. « intrinsèque ». Ces paramètres peuvent être représentés de manière cohérente par une distribution de probabilité unique. L’incertitude est propagée par des approches comme la méthode du « First Order Second Moment » issue de la théorie analytique de Taylor ou plus généralement par la méthode de Monte Carlo issue de la théorie des jeux de hasard.

Toute la difficulté de cette approche tient à la définition univoque de la nature de la distribution de probabilité par rapport à la connaissance disponible.

3.1.1. Représentation d’un paramètre aléatoire

(1) Exemple n°1 : Hauteurs de pluies efficaces annuelles

La figure ci-après représente la distribution de fréquences relatives cumulées des hauteurs de pluie mesurées au travers d’un sol sableux, estimée à partir de 30 années de données de Météo France.



Figure 3-1 : Illustration d'une distribution de probabilités – extrait de [Baudrit C., (2005)- Thèse]

Les données peuvent être calées à l’aide d’une loi normale de moyenne 222,2 mm et d’écart-type 39,5 mm. Le calage sera d’autant meilleur que les données sont « riches » (en nombre significatif) et réparties de façon homogène sur le segment 100 – 350.

On notera aisément que la queue de la distribution mesurée dans les valeurs basses n’est pas bien respectée par la loi calée. Or c’est précisément les valeurs extrêmes, qui intéressent le décideur en matière de risques naturels.

(2) Exemple n°2 : connaissance des bornes

Toujours en considérant le même paramètre, supposons cette fois la seule connaissance des bornes inférieures et supérieures des hauteurs de pluie [100 – 350]. Le principe de Laplace dit de « raison suffisante » (« Tout ce qui est équiplausible est équiprobable ») préconise de modéliser la connaissance par une loi uniforme sur le support [100 – 350]. Ce choix est contestable, car on apporte une hypothèse forte, à savoir l’équiprobabilité, ce qui peut avoir des répercussions sur les résultats. Ne pas avoir d’information supplémentaire sur la nature de la distribution de probabilité nous place dans un contexte d’ignorance partielle, bien que le paramètre en question soit par nature aléatoire. En d’autres termes, on se trouve dans un contexte d’information probabiliste incomplète i.e. d’incertitude épistémique.

3.1.2. Limites du cadre probabiliste

[Ferson S., Ginzburg L., (1996)] et [Kaufmann, A., Gupta, M., (1985)] insistent sur la nécessité de distinguer les deux sources d’incertitude et mettent en évidence les erreurs qui peuvent être engendrées par :

- Une confusion lors du processus de propagation

- Un apport d’informations que l’on fait par l’hypothèse sur la nature de la distribution de probabilités lorsque l’information que l’on dispose est incomplète.



Pour représenter l’information vague, imprécise et incomplètes, des cadres formels de représentation de l’information ont été mis au point :

- Les p-boxes (paire de probabilités cumulées hautes et basses) dans [Ferson et al, 2003]

- La théorie des fonctions de croyance de Shafer dans [Shafer, G., (1976)]

- La théorie des possibilités [Dubois D., et Prade H., (1988)].

L’analyse des incertitudes le long de la chaîne de traitement présentée au chapitre précédent a mis en évidence l’hétérogénéité des incertitudes en particulier celles de nature épistémique.

Le cadre formel doit donc répondre aux besoins suivants : - être flexible par rapport à la quantité et à la qualité d’informations - être opérationnel en termes de programmation - être combinable avec des informations purement probabilistes

Le cadre des possibilités répond à ces attentes.

3.2. REPRESENTATION DE L’IMPRECISION : « LE CADRE POSSIBILISTE »

Comme mis en évidence dans le paragraphe précédent, la faiblesse du cadre probabiliste est la sélection de la distribution de probabilité « vraie ». Ce choix est limité par le caractère incomplet ou imprécis de l’information (« situation d’ignorance partielle »).

Un moyen pour contourner le problème est de proposer non pas une distribution unique mais une famille de distributions de probabilité. [Dubois D., et Prade H., (1988)]. La distribution « vraie » se trouve alors quelque part entre les bornes de la famille ainsi définie, qui forme une distribution de possibilité encore appelée « intervalle flou ».

3.2.1. Exemple de représentation d’un paramètre imprécis

Illustrons le propos sur l’exemple du paramètre « coefficient d’amplification lithologique », pour lequel on suppose ne disposer que d’une quantité éparse d’informations sur les vitesses de cisaillement Vs et les profondeurs.

N’ayant pas d’informations supplémentaires, l’expert fait des hypothèses sur les profondeurs et sur les vitesses de cisaillement en considérant des intervalles de valeurs pour en déduire la classe géotechnique selon les règles EC-8. Le scénario prenant en compte les valeurs minimales indiquent une classe C, alors que les deux scenarii (valeurs médianes et maximales) indiquent plutôt une classe B.

La valeur d’amplification de la classe géotechnique B est donc plus vraisemblable que celle de C, mais il n’est pas justifié d’exclure la valeur de C.

Supposons par ailleurs qu’une modélisation paramétrique sous CyberQuake lui a fourni une valeur de coefficient d’amplification théorique de 1,25, qu’il juge assez vraisemblable pour ne pas



l’exclure, mais pas assez vraisemblable pour placer cette valeur au même titre que la valeur d’amplification de la classe B.

Sur la base de ces informations et de son expérience, le expert est capable de fournir l’information supplémentaire suivante : « La classe de sol est très vraisemblablement B, mais il ne faut pas exclure la classe C et il est aussi vraisemblable de prendre en compte la valeur de 1,25 issue de la modélisation paramétrique». On introduit ainsi la notion de « possibilité », qui permet d’apporter l’information supplémentaire découlant du jugement de l’expert ou en d’autres termes la vraisemblance de l’intervalle.

Remarque : La possibilité maximale (ou vraisemblance) est normalisée à 1.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3

Coefficient d'amplification lithologique

Vrai

sem

blan

ce

Noyau : valeur jugée la plus vraisemblable, mais la plus risquée

1,2

Le singleton {1,2} a une vraisemblance maximale. C’est la valeur du coefficient d’amplification la plus informative, car la plus précise, mais aussi la plus « risquée » (le degré de « certitude » que le coefficient d’amplification soit égal à 1.2 est le plus faible). Ce « domaine » est appelé « noyau » de la distribution de possibilité.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3


Vrai

sem

blan

ce

1,15 1,251,2

Au fur et à mesure que l’on écarte les bornes gauche et droite, on englobe des valeurs, qui sont jugées de moins en moins vraisemblables, mais en contrepartie on est de plus en plus certain que l’intervalle contient la « vraie » valeur du coefficient d’amplification.



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3


Vrai

sem

blan

ce

Support : valeurs les plus prudentes, mais les moins informativesValeurs jugées

impossibles

Noyau : valeur jugée la plus vraisemblable, mais la plus risquée

1,15 1,251,2

Valeurs jugées impossibles

L’intervalle [1,15-1,25] est l’intervalle en dehors duquel l’expert estime que les valeurs sont impossibles (vraisemblance nulle).

C’est l’intervalle le moins informatif, mais aussi le plus « prudent », car le degré de certitude que les valeurs se trouvent bien dans cet intervalle est le plus élevé.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3


Vrai

sem

blan

ce

1,15 1,251,2

A défaut d’informations plus précises, on suppose typiquement une transition linéaire entre ces vraisemblances maximales et minimales.

La faiblesse de la théorie tient bien évidemment à la définition de la courbure, mais la subjectivité sous-jacente aura « beaucoup moins de conséquences sur les résultats que le choix a priori de distributions de probabilités uniques dans un contexte d’ignorance partielle » - [Guyonnet D., (2005)].

Une amélioration serait de donner une forme « concave » aux branches reliant le noyau au support, ce qui traduirait que les valeurs situées en dehors du noyau sont possibles, mais jugées peu vraisemblables. Une forme « convexe » traduirait ainsi l’idée inverse.

3.2.2. Traduction probabiliste des possibilités

Pour faire le lien avec le cadre des probabilités, il convient de donner une interprétation des distributions de possibilités en termes de probabilités. On s’intéresse à la probabilité de l’évènement A « le coefficient d’amplification lithologique Clitho est inférieur à une valeur seuil X».



Pour un seuil X supérieur à la valeur maximale du support (1,25), on est sûr que le coefficient d’amplification sera inférieur à X, i.e. la probabilité

Pr(C < X) = 1.

Le domaine Clitho >1,25 est qualifié de « certain » pour l’évènement A.

Au fur et à mesure que le seuil rentre dans l’intervalle du support, la probabilité Pr(Clitho < X) n’est plus nécessairement égale à 1 :

Y≤ Pr(Clitho < X) ≤1

Avec Y définie selon la position du seuil par rapport au maximum du noyau et au maximum du support.

L’évènement A est qualifié de « crédible » dans le domaine [1,2 ; 1,25].

Dès que le seuil rentre dans les valeurs du noyau, on ne peut pas exprimer de préférence au sein de cet ensemble : la probabilité Pr(C < 1.2) est comprise entre 0 et 1 : c’est le domaine de « possibilité » de l’évènement A.



En dépassant les valeurs du noyau, la probabilité de l’évènement est nécessairement supérieure à 0 :

0 ≤ Pr(C < X) ≤ Y

Avec Y défini selon la position du seuil par rapport au minimum du support et au minimum du noyau

Le domaine du « plausible » est [1,15 ; 1,2]

Une fois, la borne inférieure du support dépassée, le domaine « d’impossibilité » de l’évènement A est atteint.

La distribution « vraie » de probabilité se trouve donc entre les distributions limites de la figure, mais la nature incomplète des informations ne permet de pas de la sélectionner. En théorie des possibilités, les deux distributions sont appelées « Mesure de Possibilité » (notée π) pour la distribution la plus « haute » et « Mesure de Nécessité » pour la distribution (notée N) la plus « basse ». L’écart entre les deux distributions mesure notre ignorance i.e. l’imprécision du paramètre Clitho.



Figure 3-2 : Définition des domaines de vraisembalnce de l’évènement "le coefficient d'amplification est inférieur à un seuil donné ».

Dans un souci de clarté, on définit la sémantique que l’on emploiera dans la suite de l’étude :

Indicateur Bas :

Nécessité

Indicateur Haut :

Degré de Possibilité

Evènement : « Etre inférieur au seuil »

1 1 « Certain »

Entre 0 et 1 1 « Crédible »

0 1 « Possible »

0 Entre 0 et 1 « Plausible »

0 0 « Impossible »

3.2.3. Méthodes de construction d’une distribution de possibilités

La théorie des possibilités est un cadre flexible, qui permet de donner une représentation fidèle de l’information effectivement disponible.



(1) A partir du jugement d’un expert

Comme illustrée ci-avant sur l’exemple du coefficient d’amplification lithologique, une distribution de possibilité trapézoïdale peut être construite à partir de la seule connaissance d’intervalles emboîtés, auxquels on associe un degré de confiance (« vraisemblance »).

(2) A partir des inégalités probabilistes

Si l’on connaît la moyenne µ et l’écart type σ d’une variable aléatoire X, il est possible de construire la fonction de possibilité, qui représentera l’ensemble des familles de probabilités de moyenne et d’écart type identiques.

L’inégalité de Bienaymé – Chebyshev s’écrit comme suit :

Probabilité (V appartient à [µ – k.σ , µ+ k.σ ]) =1 – 1/k²

A partir de cette inégalité, il est possible de construire la distribution de possibilité π comme suit :

π([µ – k.σ , µ+ k.σ]) = 1/k²

Si de plus on suppose que la distribution de probabilité inconnue est unimodale et symétrique, la distribution construite ci-avant peut être affinée par l’inégalité de Camp-Meidel :

Probabilité (V appartient à [µ – k.σ , µ+ k.σ ]) =1 – 4/(9.k²) pour k ≥2/3

Ce qui est équivalent à :

π([µ – k.σ, µ+ k.σ]) = 4/(9.k²)

(3) A partir de la connaissance du mode et/ou de fractiles

On sait que la fonction de possibilité triangulaire de maximum M représenté l’ensemble des distributions de probabilités unimodale, symétrique et de mode M.

La distribution peut également être affinée par la connaissance de fractiles de la distribution de probabilité inconnue, comme démontré dans [Baudrit C ; (2004)], dont est tirée l’illustration suivante.



Figure 3-3 : Cas où l'on est capable de donner les fractiles à 5 %, 50 % et 95 %, égaux respectivement à 1, 5 et 9

(4) A partir d’intervalles de confiance

Supposons que l’expert soit simplement capable de donner des intervalles de confiance sur la valeur d’un indice de vulnérabilité Vi :

« Je suis certain de trouver Vi dans l’intervalle [0,6 – 0,8] »

« Je ne suis certain qu’à 40 % de trouver Vi dans l’intervalle [0,65, 0,75] »

« Ma certitude est la plus basse pour l’intervalle [0,7, 0,72] »

La proposition « Je ne suis certain qu’à 60 % de trouver Vi dans l’intervalle [0.65, 0.75] » peut être traduite en termes de probabilités :

60 % ≤ Prob (« Vi appartient à [0.65, 0.75] « ) ≤ 100 %

Ce qui est équivalent à : 0 % ≤ Prob(« Vi n’appartient pas à [0.65, 0.75] » ) ≤ 40 %

Cette proposition est traduite en termes de possibilités, en utilisant les indicateurs degré de possibilité π et de nécessité N tels que :

N(A) = 1 – π(Ac) et N(A) ≤ Prob(A) ≤ π(A)

D’où :

N(« Vi appartient à [0.65, 0.75] ») = 60 %

π (« Vi appartient à [0.65, 0.75] ») = 100 %

N( « Vi n’appartient pas à appartient à [0.65, 0.75] ») = 0 %

π( « Vi n’appartient pas à appartient à [0.65, 0.75] ») = 40 %



D’où la distribution de possibilités construite de proche en proche avec les indicateurs N et π.

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9

Indice de vulnérabilité Vi

Vrai

sem

blan

ce Ceritude

N

π

1

01

0

Figure 3-4 :Construction d'une distribution de possibilité à partir d’intervalles de confiance On remarquera le lien entre le degré de vraisemblance et la certitude. Les valeurs les plus vraisemblables sont celles de l’intervalle [0,7, 0,72], qui correspondent au noyau de la distribution de possibilité de Vi. Ce sont les valeurs les plus informatives, mais aussi les plus risquées (certitude minimale), car elles correspondent à la plage de valeurs la plus « fine » en termes de longueur de l’intervalle. Les valeurs certaines sont celles de l’intervalle [0,6 ; 0,8], qui correspondent au support de la distribution de possibilité de Vi. Ce sont les valeurs les plus prudentes (certitude maximale : on est sûr de trouver la valeur « réelle » à l’intérieur de cet intervalle), mais aussi les moins informatives (vraisemblance minimale), car elles correspondent à l’intervalle le plus grand. Les valeurs [0,65 ; 0,75] correspondent à l’ α-coupe 0,6 i.e. l’ensemble des valeurs de Vi de degré de possibilités au moins égal à 0,6.

(5) A partir d’un consensus entre plusieurs experts

Illustrons le propos par un exemple. Considérons plusieurs experts interrogés sur la valeur d’un indice de vulnérabilité. Il en découle les intervalles de valeurs suivants [0,16 ; 0,22] pour l’expert n°1, [0,20 ; 0,24] pour l’expert n°2 et [0,18 ; 0,25] pour l’expert n°3.

A partir de ces informations la distribution de possibilité suivante peut être construite :

- De noyau, l’intervalle [max. des bornes inférieures ; min. des bornes supérieurs], soit [0,20 ; 0,22].

- De support, l’intervalle [min. des bornes inférieures ; max des bornes supérieurs], soit [0,16, 0,25]

- D’α-coupe, α = 2/3, l’intervalle « intermédiaire » [0,18 ; 0,24]



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26

Indice de Vulnérabilité

Deg

ré d

e Vr

aise

mbl

ance

Figure 3-5 : Construction d'une distribution de possibilités à partir d'un consensus entre experts sur la valeur d’un indice de vulnérabilité

(6) A partir d’un calcul d’erreur

Le calcul classique d’erreur [résultat +/- Δ] peut être traduit par une distribution de possibilité triangulaire :

- de noyau, le singleton {résultat}

- de support, l’intervalle [résultat – Δ ; résultat + Δ].

(7) A partir d’observations

Il existe souvent un écart entre les valeurs observées et les valeurs théoriques calculées à partir du modèle, qui découle du « choix du type de modélisation » et des « hypothèses simplificatrices du modèle ». Cette incertitude épistémique peut être représentée de manière cohérente par une distribution de possibilités trapézoïdale de noyau, l’intervalle [minimum – maximum; des valeurs observées] et de support, l’intervalle [minimum – maximum; des valeurs théoriques].

(8) A partir d’un ensemble flou

Classiquement la fonction d’appartenance µA d’un ensemble A donné est définie de la manière suivante :

- si x appartient à A, µA(x) vaut 1 - sinon µA(x) vaut 0

Considérons un ensemble dont la fonction d’appartenance peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1 i.e. sur le support [0 ;1].

Tous les couples {x, µA(x)} définissent ainsi un ensemble flou (en référence aux « frontières » - voir illustration).



Figure 3-6 : Illustration d’un ensemble flou

Si de plus l’ensemble flou est unimodal et atteint 1, l’évènement « x appartient à A avec un degré d’appartenance µA(x) » peut être traduit dans le cadre possibiliste par : « la possibilité que x appartienne à A est π(x appartient à A) = µA(x) » - [Kaufmann A., Gupta M., (1985)].

3.3. SYNTHESE

Plusieurs points sont mis en évidence.

(1) Selon le degré de connaissances sur un paramètre aléatoire, on utilise un outil mathématiques adapté :

- Connaissant simplement un encadrement du paramètre, on le représente par un intervalle.

- Connaissant plusieurs intervalles emboîtés auxquels on est capable de donner un degré de confiance (« vraisemblance »), on construit la distribution de possibilité trapézoïdale associée.

- Connaissant de plus le mode et/ou les fractiles de la distribution de probabilités inconnue, on affine la distribution de possibilités en utilisant les inégalités probabilistes (inégalité de « Bienaymé-Chebychev » ou inégalité de « Camp-Meidel ») et les travaux de Baudrit dans [Baudrit et Dubois, (2004)].

- Connaissant des mesures et/ou observations se répartissant de manière « convenable » sur l’intervalle support du paramètre, on peut caler une distribution de probabilités.

(2) La distribution de possibilités se construit à partir de différentes sources d’informations (jugement d’expert, intervalles de confiance, consensus entre experts, calcul d’erreur, ensemble flou…).

(3) La distribution de possibilité est plus informative qu’un simple intervalle et moins exigeante en termes de données (observations, mesures du paramètre) qu’une distribution de probabilités.



3.4. PROPAGATION DES INCERTITUDES

3.4.1. Dans le cadre probabiliste

Supposons que les paramètres d’entrée du modèle soient représentés par une distribution de probabilité unique. Une méthode de propagation est la technique dite « Monte-Carlo », qui est basée sur la génération des paramètres d’entrées du modèle. En répétant un grand nombre de fois la procédure d’échantillonnage, on « approxime » la distribution de probabilité associée au modèle. Cette technique est particulièrement efficace et simple de mise en œuvre lorsque la fonction associée au modèle est non linéaire. Cependant, il convient d’en noter les limites :

- Elle repose sur le choix de la nature de la distribution de probabilités des paramètres d’entrée

- Elle exige un nombre d’itérations important pour approximer la distribution de probabilités du résultat

3.4.2. Dans le cadre possibiliste

Supposons que les paramètres d’entrée du modèle soient représentés par une distribution de possibilités. On suppose que les distributions de possibilités peuvent être interprétées en termes de nombres flous unimodaux et atteignant 1. Le calcul entre distributions de possibilité peut alors se ramener à l’arithmétique des intervalles flous, basé sur le calcul par α-coupes. Une telle approche repose cependant sur une hypothèse de dépendances des distributions par α-coupes.

Cette méthode revient schématiquement à effectuer des calculs d’intervalles sur des plages de valeurs correspondant à différents degrés de vraisemblances, égales à α. Pour chaque degré de possibilité α, on sélectionne toutes les valeurs des paramètres flous dont la possibilité est au moins de α. Les extrema du modèle de calcul du risque sont calculés en considérant toutes les combinaisons possibles de valeurs sélectionnées. On attribue le degré de possibilité α aux extrema ainsi calculés et on réitère la procédure pour un autre degré de possibilité α. On reconstruit ainsi la distribution de possibilité du résultat du modèle de proche en proche.

Le calcul par α-coupe est illustré pour le modèle « A + B ». Une illustration extraite de [Baudrit C., (2005) - Thèse] est donnée ci-après.



Figure 3-7 : Illustration du calcul par α-coupes - extrait de [Baudrit C., (2005) – Thèse]

3.4.3. Dans le cadre « Hybride »

Dans bien des cas, la quantité et la qualité de l’information n’est pas la même pour tous les paramètres. D’où une représentation adaptée de chaque paramètre. La question à se poser est comment combiner les représentations de nature différente.

La méthode hybride [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM ; Baudrit C., (2005) – Thèse] est une réponse simple à ce problème et repose sur la combinaison de l’échantillonnage aléatoire de type « Monte Carlo » avec le calcul d’intervalle flou, ce qui a pour résultat un intervalle flou aléatoire [Gil et al., (2001)]. Il s’agit d’un résultat parfaitement analogue à celui d’un intervalle aléatoire que l’on obtiendrait si à la place d’intervalles flous, on utilisait de simples intervalles min max pour représenter l’information imprécise.

Supposons qu’on ait un modèle R qui soit une fonction de n variables représentées par des distributions de probabilité ; P1, …, Pn et de m variables représentées par des distributions de possibilité (intervalles flous) ; F1, .., Fm.

Le calcul hybride est un processus itératif qui consiste à :

(1). Tirer n nombres aléatoires compris entre 0 et 1 ( ν1, …, νn) d’une distribution uniforme et échantillonner les n distributions de probabilité pour obtenir une réalisation (p1, …pn) des variables aléatoires

(2). Sélectionner un degré de possibilité α.

(3). Chercher les valeurs Inf (plus petite valeur) et Sup (plus grande valeur) de R(p1, …,pn, F1, ..., Fm), en considérant toutes les valeurs situées dans les intervalles des intervalles flous qui ont au moins ce degré de possibilité α.

(4). Les valeurs Inf et Sup obtenues définissent les limites de l’intervalle de valeurs de R(p1, …, pn, F1, ..., Fm) pour le degré de possibilité α.



(5). Retourner à l’étape 2 et répéter les étapes 3 et 4 pour une autre valeur de possibilité (dans la pratique, on augmente α de 0 à 1 par pas de 0.1). La distribution de possibilité de R(p1, …, pn, F1, ..., Fm) est obtenue à partir des valeurs Inf et Sup obtenues pour chaque valeur α.

(6). Retourner à l’étape (1) pour générer une autre réalisation des variables aléatoires. On obtient ainsi une famille de ω distributions de possibilité pour R(p1, …, pn, F1, ..., Fm) (ω étant le nombre de réalisations des variables aléatoires).

Figure 3-8 : Illustration de la méthode de propagation HYBRIDE – extrait de [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM]

3.5. VALORISATION DE L’INFORMATION SUR L’INCERTITUDE

3.5.1. Dans le cadre purement probabiliste

La distribution de probabilité issue du calcul « Monte-Carlo » peut être directement comparée à un seuil de tolérance pour un certain degré de confiance. La traduction mathématique est la probabilité.



3.5.2. Dans le cadre purement possibiliste

Le risque de dépasser un seuil est traduit par un double indicateur (Nécessité N et Degré de possibilité π).

A titre d’illustration, on donne l’exemple suivant. Considérons la probabilité Pr de l’évènement « le coefficient d’amplification Clitho est inférieur au seuil S = 1,22 ».

En utilisant les indicateurs N et π, on a :

N ≤ Pr(Clitho < 1,22) ≤ π

Soit : 0,5 ≤ Pr(Clitho < 1,22) ≤ 1

Figure 3-9 : Lecture verticale d'une distribution de possibilité

Un indicateur utile est la longueur de l’intervalle moyen [Dubois D.et Prade H., (1987)], qui donne une mesure de l’imprécision de la distribution de possibilité, qui est égal à l’écart entre la Nécessité et le degré de Possibilité : c’est exactement l’aire comprise sous l’enveloppe de la distribution. Ici l’indicateur d’imprécision vaut 5 %.

3.5.3. Dans le cadre hybride

Traduit en termes simples, la méthode HYRISK permet non pas d’obtenir une unique distribution de possibilité, mais une famille de distributions. La taille de la famille est fixée par le nombre d’itérations de l’échantillonnage. La synthèse de cette information « riche » peut se faire en comparant le résultat de la propagation avec un seuil de tolérance

Ce post-traitement est proposé par [Baudrit C., (2005) - Thèse], et se base sur la théorie de l’évidence de Dempster-Shafer [Shafer G., (1976)].

Considérons la proposition A « le paramètre est inférieur au seuil S ».



Cette probabilité va être qualifiée à l’aide des indicateurs que sont la Crédibilité Cr et la Plausibilité Pl,

Dans la théorie de l’évidence de Dempster-Shafer, la crédibilité est la somme des probabilités de tous les « éléments focaux » qui impliquent forcément l’événement recherché tandis que la plausibilité est la somme des probabilités de tous éléments focaux qui ne contredisent pas nécessairement cet événement.

Dans le cas du résultat du calcul Hybride, les éléments focaux sont les intervalles de valeurs obtenus par découpage de chaque résultat flou.

A chaque élément focal est associé une masse dépendante du nombre d’itérations du calcul Monte-Carlo et du nombre d’α-coupes. Soit un seuil arbitraire S. Tant que la valeur du seuil S est inférieure à la plus petite borne inférieure des éléments focaux, on a : Pl = Cr = 0. Au fur et à mesure que le seuil S dépasse une borne inférieure d’élément focal, on ajoute les masses de probabilité à Pl. Pour que Cr devienne non nul, il faut que le seuil S soit supérieur à au moins une borne supérieure d'élément focal (l’événement A est complètement satisfait pour cet élément focal). Dès lors que le seuil est supérieur à la plus haute des bornes supérieure des éléments focaux, on a Pl = Cr =1 (on est « sûrs » que le risque calculé est inférieur au seuil).

Figure 3-10 : Illustration de la méthode Hyrisk - post -traitement du calcul flou aléatoire - extrait de [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM]

Pour plus de détails sur cette méthode de post-traitement, on se réfèrera à [Baudrit C., (2005) – Thèse] et à [Guyonnet D., (2005) – Rapport BRGM].



4. Propagation des incertitudes

4.1. METHODOLOGIE DE TRAITEMENT DES INCERTITUDES

A la lumière des études traitant des incertitudes dans l’évaluation du risque sismique ([Spence et al., (2003)], [Crowley et al, (2005)], [Douglas, J., (2004) –Rapport BRGM], [Steimen, S., (2002) - thèse]), deux constats nous apparaissent importants à souligner :

- Les incertitudes le long de la chaîne de traitement sont caractérisées par une très grande hétérogénéité.

- Les résultats en termes de répartition des dommages ont une très forte sensibilité non pas simplement par rapport à l’approche adoptée, mais par rapport aux paramètres suivants :

o lois d’atténuation o effets de site o inventaire des enjeux o évaluation des indices de vulnérabilité par type

Fort de ces constatations, il nous apparaît pertinent de se diriger vers une approche préconisant, non pas une sophistication du modèle existant, mais vers une approche préconisant une représentation cohérente de l’information effectivement accessible (qualité et quantité) pour chaque paramètre du modèle de traitement ARMAGEDOM. En d’autres termes, on préconisera un modèle basique de scénario, couplé à une représentation cohérente et fidèles des informations effectivement accessibles - la qualité et la quantité des informations étant limitées par les contraintes de réalisation de l’étude du risque sismique (coût opérationnel, délais, échelle d’étude…).

Ce choix de stratégie implique que les incertitudes liées au modèle ARMAGEDOM (épistémiques de type « hypothèse simplificatrice ») ne seront pas traitées. Cela concerne les incertitudes suivantes :

- Les incertitudes liées à la représentation de l’effet sismique par un unique scalaire PGA

- Les incertitudes liées à la représentation des effets de site par un coefficient multiplicateur (liée à la représentation de l’agression par un scalaire).

- Les incertitudes liées à l’hypothèse simplificatrice d’équi-répartition des bâtiments.

Dans l’état actuel des connaissances scientifiques et au regard des incertitudes entachant le scalaire PGA, traiter les incertitudes à un stade plus poussé (représentation par un spectre d’accélérations) n’est pas pertinent.

Concernant les incertitudes liées à l’hypothèse simplificatrice d’équi-répartition des types d’enjeux au sein d’un polygone d’enjeux, on décide de ne pas propager les incertitudes inhérentes à cette



hypothèse. Afin de prendre en compte à la fois la répartition des enjeux et la répartition des effets de site au sein d’un même polygone d’enjeux, cette hypothèse apparaît comme nécessaire et difficilement contournable. L’implication de cette hypothèse est plus ou moins importante selon l’objectif recherché par l’utilisateur de l’outil scénario sismique (hiérarchisation des zones au sein du polygone ou hiérarchisation des polygones d’enjeux – cf. §4.4.4).

4.2. REPRESENTATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE I

4.2.1. Phase I.1 : « Atténuation »

(1) Modélisation de l’atténuation « incertitude de dispersion»

Pour une distance à l’épicentre, une magnitude de moment et un modèle d’atténuation données, le PGA est décrit théoriquement par une distribution de probabilité lognormale ; la loi d’atténuation usuelle donnant simplement la médiane m des PGA.

Des études ont montrées cependant que le calage des données observées sur une loi de distribution normale n’est « correctement » vérifiée que pour des données dans l’intervalle [PGA médian +/- 3σ] avec σ l’écart type. [Abrahamson A., (1997)]

Au-delà des ces bornes, les valeurs données par la loi sont considérées par les « experts » comme « non fiables », les écarts entre les valeurs prédites et les valeurs observées étant dans un rapport de 10.

Dans ce contexte, deux choix de représentation de l’information sur le PGA au rocher s’offrent à nous :

Approche N°1

La variable aléatoire PGA est représentée par une distribution de probabilité lognormale sur l’intervalle [PGA médian +/- 3σ] et toutes les valeurs en dehors ne sont pas prises en compte dans la propagation de l’incertitude.

Approche N°2

Trois inconvénients sont mis en évidence dans l’approche n°1 :

- Vouloir représenter l’information probabiliste sur le PGA de manière unique par une distribution lognormale peut prêter à discussion.

- L’hypothèse sur la nature de la distribution de probabilité est une hypothèse forte et restrictive, qui implique souvent une incertitude mathématique dite de « calage », non propagée jusqu’au résultat final.



- Bien qu’associées à des probabilités de réalisation faibles, les valeurs extrêmes de PGA existent et restent une information à prendre en compte, surtout dans le contexte de l’évaluation de risque.

En réponse au premier point, on préconise de travailler non pas avec une loi unique, mais avec une famille de lois. Comme les seuls paramètres dont on soit sûr, sont ceux issus de l’analyse des observations (moyenne et écart-type), on construit à partir des inégalités probabilistes une famille de distribution de probabilités respectant cette double condition. En supposant de plus que la distribution de probabilité « vraie » est unimodale et symétrique, on utilise l’inégalité de Camp-Meidel, pour construire la distribution de possibilités sur l’intervalle [PGA médian – 3.σ ; PGA médian + 3.σ].

Pour les valeurs extérieures à cet intervalle, on s’appuie sur le jugement d’expert de J. Douglas, qui préconise de prendre en compte les valeurs extrêmes correspondantes à « 4 fois σ».

La distribution de possibilité « globale est obtenue par transition linéaire entre les valeurs PGA médian +/- 3.σ (correspondant à un degré de vraisemblance de 4 / 81) et PGA médian +/- 4.σ (correspondant à un degré de vraisemblance de 0).

A titre d’exemple, on donne la fonction de possibilité représentant l’incertitude sur la dispersion associée à la loi d’atténuation Ambraseys et al. (1996) d’écart type 0,57 (base log népérien) :

- pour un séisme de magnitude de moment 5,8, de profondeur 12 km

- en un point situé à 1,6 km de l’épicentre

Figure 4-1 : Illustration de la méthode de construction de la fonction de possibilité représentant l'incertitude sur la dispersion associée à la loi Ambraseys et al. (1996)



Comparaison des approches

Cohérence par rapport à l’information d’entrée

Dans l’approche N°1 dite « probabiliste », on ne prend pas en compte l’information sur les valeurs extrêmes, alors que la approche N°2 dite « possibiliste » est suffisamment flexible pour le faire.

Par contre, l’approche n°2 reste plus pessimiste. En effet, traduit en termes simples, l’intervalle de degré de confiance maximal est [PGA +/- 2/3 σ] : il n’est pas possible de hiérarchiser les valeurs de PGA en son sein. En conséquences, l’écart + :- 2/3.σ se propagera jusqu’au résultat final, auquel on associe le plus grand degré de confiance : on se reportera au chapitre 5 « Cas –Test » pour avoir un ordre de grandeur de cet écart.

Coût opérationnel

La propagation de l’information probabiliste exige des méthodes itératives du type « Monte-Carlo », coûteuses en temps de calcul, alors que l’arithmétique floue (utilisation des α-coupes) est nettement plus avantageuse.

Adaptabilité

Le désavantage de la première approche est sa difficile adaptabilité avec un traitement des incertitudes épistémiques liées au choix du modèle d’atténuation. Une réponse serait de considérer une famille de distributions de probabilités gaussiennes grâce à l’outil mathématique « p-box », introduit par S. Ferson [Ferson S., et Ginzburg L., (1996)].

Cependant, cette approche rend difficile la possibilité d’affiner le choix des modèles (confiance accordée en chacun d’eux). Le deuxième point négatif rejoint celui du « coût opérationnel », car une telle approche impliquerait l’utilisation de la méthode « Monte Carlo », technique indéniablement plus complexe en comparaison de la simplicité offerte par la voie possibiliste.

(2) Choix de la loi d’atténuation (incertitude épistémique)

Supposons que trois lois d’atténuation remplissent les conditions en termes de domaine de validité (magnitude de moment, de profondeur de l’épicentre et de distance à la source). Le traitement de l’incertitude épistémique liée au choix du modèle peut se faire dans le cadre possibiliste.

Deux cas peuvent être distingués :

(a) Si aucune distinction en termes de vraisemblances ne peut être faite pour les PGA issus des lois choisies, il n’y a aucune raison d’écarter une valeur plutôt qu’une autre.

On construit la distribution de possibilités du PGA au rocher par une approche disjonctif en raisonnant par α-coupe. Pour chaque degré de possibilité (α), on a :

[PGArocher inf – PGArocher sup]alpha = [min(PGAloi n°k) – max(PGAloi n°k)]alpha



De cette manière, on est sûr de dominer toutes les valeurs possibles pour chaque degré de possibilité (α).

La distribution de possibilités du PGArocher ainsi construite, prendra en compte à la fois l’incertitude aléatoire et l’incertitude épistémique de type « modèle ».

(b) Si l’expert est capable de distinguer la vraissemblance de chaque loi d’atténuation qualitativement, on construit une distribution de possibilité πpga en fusionnant les données par un raisonnement disjonctif.

Supposons que l’expert soit capable de qualifier les lois i.e. de dire quelle loi est la plus « vraisemblable », celle « possible » et enfin celle « plausible ».

Affectons les degrés de vraisemblance quantitatifs à chaque loi qualifiée en reprenant l’approche adoptée dans [Giovinazzi S., (2005) – Thèse]

- La loi n°1, « La plus vraisemblable », est associée à la vraisemblance µ1 = 1

- La loi n°2, « Possible», vraisemblance µ2= 0,6

- La loi n°3, « Plausible », est associée à la vraisemblance µ3= 0,2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

PGA au rocher

vrai

sem

blan

ce

π[loi n°1]

π[loi n°2]

π[loi n°3]

µ2

µ3

µ1

Figure 4-2 : Traitement de l’incertitude épsitémique de type « Modèle de loi d’atténuation»(1/3)

On définit pour k =1 ;3 :

- π [loi n°k], la distribution de possibilité associée à la loi n°k

- π [loi n°k]p, la distribution de possibilité associée à la loi n°k avec un domaine de vraisemblance tronqué à µ > µk,

π [loi n°k]p résulte de l’intersection de µk et de π [loi n°k]. L’opérateur de conjonction étant l’opérateur « min », on a :



π [loi n°k]p (pga) = {π [loi n°k] ∩ µk}(pga) = min{π [loi n°k](pga) ∩ µk(pga) }

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

PGA au rocher

vrai

sem

blan

ceπ[loi n°2]

π[loi n°2] (p)

µ2

Figure 4-3 : Traitement de l’incertitude épistémique de type « Modèle de loi d’atténuation»(2/3)

La distribution finale π résulte de l’union des π [loi n°k]p . L’opérateur de disjonction étant l’opérateur « max », on a :

π(pga) = {π [loi n°1]p U π [loi n°2]p U π [loi n°3]p }(pga) = max{π [loi n°k]p }

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

PGA au rocher

vrai

sem

blan

ce

π[loi n°1](p)

π[loi n°2](p)

µ2

µ3

µ1

π[loi n°3](p)

π final

Figure 4-4 : Traitement de l’incertitude épistémique de type « Modèle de loi d’atténuation»(3/3)

On remarquera que ce raisonnement n’est valable que sous le couvert de l’hypothèse suivante :

« Les sources d’informations (à savoir les π [loi n°k]) ne sont pas en conflit i.e. leurs noyaux doivent se recouvrir ». En supposant que l’expert reste cohérent avec son jugement i.e. il choisit des lois d’atténuation dont les résultats ne rentrent pas en total contradiction (par exemple, la loi n°1 donnant un PGA médian triple de celui de la loi n°2), l’hypothèse est validée dans tous les cas.



(3) Paramètres de la loi d’atténuation (incertitude épistémique)

L’information dont on dispose habituellement sur les paramètres de géométrie de la faille ne permet pas un traitement statistique exhaustif. L’incertitude de nature épistémique de type « choix de paramètre » peut être traitée dans le cadre possibiliste, en construisant une distribution faisant appel à un jugement d’expert de (méthode (4) de construction d’une distribution de possibilité – chapitre 3).

4.2.2. Phase I.2 : « Effets de site lithologique »

(1) Caractérisation géotechnique

Selon le degré d’ignorance, l’approche proposée est différente.

Degré A : « Favorable » : Le degré de connaissance est tel que l’expert a été capable de mener des calculs spécifiques à chaque classe géotechnique et d’en déduire un spectre de réponse. De l’estimation de l’erreur commise, on propose de former la distribution de possibilité triangulaire associée (méthode (5) de formation d’une distribution par calcul d’erreur – chapitre 3).

Degré B : « Médian »:

On construit une distribution de possibilités sur la base des informations résultantes de l’étude paramétrique.

Illustrons le propos par l’étude algérienne « Réduction de la vulnérabilité du massif de Bouzaréah », dont un calcul de Vs30 est donnée ci-après :

Le tableau donne un exemple de calcul effectué pour une zone de remblais d’épaisseur variant entre 5 et 10 m, reposant sur des schistes altérés. Le calcul indique que la valeur du coefficient d’amplification Clitho la plus vraisemblable correspond à celle de la classe géotechnique B, mais il convient de ne pas écarter la valeur correspondante à la classe géotechnique C.



Des

crip

tion

Type

de

sol s

uper

ficie

l

Type

de

sol s

ubst

ratu

m

Vs

supe

rfici

elle

min

(m/s

)

Vs

supe

rfici

elle

max

(m/s

)

Vs

subs

tratu

m (m

/s)

épai

sseu

r for

mat

ion

supe

rfici

elle

min

imum

(m)

épai

sseu

r for

mat

ion

supe

rfici

elle

max

imum

(m)

VS

30_1

_MIN

VS

30_2

_MIN

VS30

_1_M

AX

VS30

_2_M

AX

Vs,

30 m

in (m

/s)

Vs,

30 m

oyen

ne (m

/s)

Vs,

30 m

ax (m

/s)

Remblais /

Schistes altérés

T6 T1 150 200 1000 5 10 514 346 600 429 346 472 600

Classes de sol : C B B

On construit donc la distribution de possibilité :

- de noyau correspondant au singleton { Clitho(Classe B) }

- de support correspondant à l’intervalle [Clitho(Classe C) ; Clitho(Classe B) ]

Degré C : « Défavorable »: - Seul un intervalle de valeur de coefficient d’amplification sans distinction de vraisemblance

est accessible. Sans information supplémentaire, on se base sur le principe de Laplace (ou d’entropie maximale), que l’on transpose au cas des possibilités. L’intervalle identifié est équi-vraisemblable. On construit la distribution de possibilité rectangulaire de noyau et de support identique à l’intervalle identifié.


Ce traitement dépendra fortement de la densité et de la qualité des informations d’entrées (en particulier du semis de forages). Dans ce contexte, aucune méthode générique n’est proposée. On peut cependant établir une approche dans le cas le plus usuel.

Plaçons-nous dans le cas, où deux zones géotechniques ont été clairement identifiées et l’incertitude inhérente à la valeur du coefficient d’amplification de chaque zone géotechnique est représentée de manière cohérente par une distribution de possibilités.

La limite entre les deux zones n’est identifiée qu’avec une certaine incertitude liée à l’échelle d’étude d’une part, mais aussi à la répartition des points de mesures des paramètres géotechniques. En d’autres termes, la frontière entre les deux zones est placée à +/- Δ mètres. On illustrera le propos en prenant pour exemple, un cas issu de l’étude de micro zonage de Lourdes.

Définition de l’exemple :



Figure 4-5 :Illustration de l’incertitude de dilution ; extrait de [Bernadie S. et al, (2006) – Rapport BRGM],

Soient :

- N°1 et n°2, les zones géotechniques « Marais de Monge » et « Moraines Saux », respectivement.

- Σ1 et Σ2 les frontières de la zone géotechnique 1 et 2 respectivement - π1 et π2 les distributions de possibilité représentant l’incertitude épistémique de type

« valeur » des coefficients d’amplification de la zone géotechnique 1 et 2 respectivement - la zone D dite de « dilution », correspondant à la zone entre les deux frontières Σ1 et Σ2. - P(X,Y) un point de D - L la distance entre les deux frontières.

Représentation des incertitudes

Les informations que l’expert est capable de donner est

- La valeur à laquelle il attache le plus de vraisemblance

- La plage de valeur à ne pas écarter (vraisemblance minimale).

Dans un tel contexte, il est pertinent de représenter l’incertitude épistémique par une distribution de possibilité triangulaire.

- Zone n°1 :

o Clitho le plus vraisemblable de 1,2

o Plage à ne pas écarter : [0,8 – 1,6]

- Zone n°2 :



o Clitho le plus vraisemblable de 1,6

o Plage à ne pas écarter : [1,0 – 1,8]

Traitement de l’incertitude de « dilution »

Dans la zone de transition dite de « dilution », au fur et à mesure, que l’on s’éloigne de la frontière Σ1 (et que l’on se rapproche de la frontière Σ2,) il devient de plus en plus vraisemblable de prendre en compte également la distribution π2 en plus de la distribution π1.

Une première idée de traitement de cette influence serait une approche similaire à celle introduite pour prendre en compte l’incertitude épistémique de type « modèle de la loi d’atténuation » (fusion par raisonnement conjonctif de chaque distribution avec une fonction constante égale à la vraisemblance puis fusion globale par raisonnement disjonctif).

Cependant, une telle fusion de donnée ne peut pas se faire, car le choix de représentation (fonction de possibilités triangulaire) ne s’y prête pas : les sources de données sont en conflit (non recouvrement des noyaux). La mesure du conflit est liée au maximum h de l’intersection des deux distributions, comme illustré sur la figure ci-après.

On remarquera que si le maximum de l’intersection est 1 (une des distributions recouvrent l’autre entièrement), le conflit est nul et h = 1.

L’opérateur de fusion conjonctive n’est plus simplement l’opérateur « max ». On définit un opérateur de fusion en se basant sur celui introduit par Dubois et Prade dans [Dubois D., et Prade H. – (1992)] :

[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= hππ

hππCπ litho 1),,max(min,),min(max)( 21

21'

Avec π’, la distribution de possibilité issue de la fusion.

Où h, défini comme sups(min(π1(s); π2(s)), représente le degré de concordance des sources initiales. Le premier terme min((π1(s); π2(s))/h représente la renormalisation de la combinaison conjonctive des sources initiales. Le deuxième terme min(max(π1(s); π2(s));1-h) permet , quant à lui, de restreindre l’influence du conflit dans le support des deux sources initiales. Cette règle donne la préférence à la zone de consensus renormalisée. En dehors de cette zone, le résultat de la fusion est supporté de manière équivalente par les deux distributions avec un degré de certitude au moins égal à h (Oussalah et al., 2003). On notera que les distributions de possibilités sont utilisées comme des ensembles d’intervalles emboîtées. La règle est décrite est donc modifiée en se basant sur les travaux de Oussalah afin de conserver la convexité de la distribution finale.

Pour résumer :

- Dans le cas sans conflit, on utilise l’opérateur classique disjonctif « max ».

- Dans le cas où il y a conflit, on utilise l’opérateur de Dubois et Prade.



- Le cas de conflit maximal (h=0) n’est pas traité en supposant qu’il y aura toujours recouvrement des distributions de possibilités. Cela laisse supposer que l’évaluation des coefficients d’amplification a été réalisée avec une certaine cohérence dite de « transition » entre les zones géotechniques.

Etudions la représentation de l’information sur le coefficient d’amplification au point P en considérant trois cas :

Cas (A) : Supposons P à mi-distance entre les frontières Σ1 et Σ2.

Dans ce cas, il est tout aussi vraisemblable de prendre en compte π1 que π2. La distribution « globale » est obtenue directement par application de l’opérateur de fusion explicité ci-avant. On se réfèrera à l’illustration dans le coin gauche de la figure ##.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9

Coefficient d'amplification lithilogique

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

π1

π2

π'

h

Figure 4-6 : Combinaison des sources d'information conflictuelles sur le coeffcient d’amplification lithologique à mi distance dans la zone de dilution entre la zone géotechnique n°1« Marais de Monge »et la zone

géotechnique n°2 « Moraines Saux »

Cas (B) Supposons P plus près de la frontière Σ1 que de la frontière Σ2

Dans ce cas, il faut prendre en compte l’information supplémentaire suivante : « étant plus proche de la zone géotechnique n°1, π2 aura moins d’influence dans le résultat final de fusion des sources d’information ». On propose d’utiliser l’opérateur de Dubois et Prade en minimisant l’impact de π2 dans l’ensemble des solutions plausibles en dehors de la zone de consensus selon la distance à la frontière Σ1, notée d. On associe à la source d’information π2 un degré de certitude α(d). Pour d=0 à d=Δ (i.e. au centre de la zone de dilution), on modifie la règle de Dubois et Prade de la manière suivante :

Pour un degré de vraisemblance variant de 0 à 1-α(d), le résultat de combinaison dérive de manière équivalente des deux sources d’information.

Pour un degré de vraisemblance variant de 1-α(d) à 1-h, l’ensemble des solutions possibles dérivent entièrement de π1 et enfin



Pour un degré de vraisemblance supérieur à 1-h, la préférence est attribuée à la zone de consensus.

Mathématiquement, la règle devient :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= )));();(min(max(;))();(min(max)( * h1sπsπ

hsπsπsπ 21

21

Où, ))();(min()(* dα1sπsπ 22 −= et Δdh11dα )()( −−=

On notera que si d=Δ i.e. si on est exactement au milieu de la zone de dilution, l’opérateur devient exactement l’opérateur classique de Dubois et Prade.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9


Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

π1

π2π*2π'

h1−α

Figure 4-7 : Combinaison des sources d'information conflictuelles sur le coeffcient d’amplification lithologique à une distance d=0.75xΔ depuis la frontière de la zone géotechnique n°1« Marais de Monge » dans la zone

de dilution avec la zone géotechnique n°2 « Moraines Saux »

Cas (C) Supposons P plus près de la frontière Σ2 que de la frontière Σ1

De manière similaire, la méthodologie suit le même principe depuis la frontière Σ2, en assignant de manière similaire à π1 un degré de certitude dépendant de la distance depuis Σ2.

4.2.3. Phase I.3 : « Effet de site topographique »

Coefficient d’amplification topographique

Comme expliqué dans le chapitre 2 « Analyse des incertitudes », il nous apparaît peu pertinent de traiter l’incertitude sur la valeur de ce coefficient dans l’état actuel des connaissances scientifiques. Ce paramètre est donc traité de façon déterministe et est fonction du calcul de pente. Pour plus de



détails, on se reportera au « Guide Méthodologique pour le microzonage sismique » - [AFPS, (1993)].

Par contre, ce paramètre peut être traité par une distribution de possibilité rectangulaire dans les zones où l’expert juge que des valeurs plus fortes que celles théoriques sont possibles.

4.2.4. Propagation des incertitudes de l’étape I

L’incertitude sur chacun des paramètres du modèle est représentée par une distribution de possibilité. Comme la fonction associée au modèle est « simple » et strictement croissante, on propage ces incertitudes par la méthode de calculs par α-coupes. Le PGA au niveau de la zone sera donc de nature possibiliste.

On remarquera que plus le nombre d’α-coupes est grand, plus la précision sur le calcul sera grande.

L’information sur l’incertitude sur le PGA peut être valorisée de deux manières :

(1) A un degré de vraisemblance (α) donné, il est possible d’associer deux cartes de répartition ; la première représentant les bornes inférieures de l’α-coupe et la seconde représentant les bornes supérieures de l’α-coupe.

(2) A un seuil S de PGA donné, il est possible d’encadrer en chaque pixel X de la zone d’étude, la probabilité de l’évènement « Le PGA en X est inférieur au seuil S » par les indicateurs N et π.

4.3. REPRESENTATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE INTERMEDIAIRE

4.3.1. Phase II.1 : « Choix du modèle de conversion »

Pour traiter l’incertitude épistémique inhérente au choix du modèle de conversion, on utilise la même méthode que celle exposée pour traiter l’incertitude épistémique inhérente au choix du modèle de loi d’atténuation.

4.3.2. Phase II 2 : « Passage d’une variable continue à une variable discrète »

L’incertitude liée à la perte d’information lors du passage entre une variable continue et une variable discrète peut être traitée rigoureusement en utilisant la théorie des intervalles flous.

Si la pseudo-intensité était un scalaire, on raisonnerait en termes de seuils. Si par exemple le résultat de la transformation PGA – pseudo-intensité i donne i = 6,73, l’intensité macrosismique est évaluée à VII. Donc plus i se rapproche de la valeur 7, plus il est vraisemblable de classer i dans la classe d’intensité macrosismique VII et a fortiori, moins il est vraisemblable de classer i dans la classe VI.

Dans le cas considéré, la pseudo-intensité est représentée par une distribution de possibilités i.e. un ensemble d’intervalles emboîtés. On ne peut plus raisonner en termes de seuils. On raisonne



dans le cadre de l’arithmétique des intervalles flous en utilisant l’équivalence entre les distributions de possibilités unimodales et les intervalles flous.

Soient :

- L’intervalle flou « intensité macrosismique I », défini par les paires {i, µI(i)} tel que µI s’identifie à la distribution de possibilité de noyau égal à {i = I} et de support égal à l’intervalle [I-1, I+1].

- L’intervalle flou i, classe de pseudo - intensité définie par les paires {i, µ(i)} telle que µ s’identifie à la distribution de possibilité issue du calcul de conversion entre le PGA et i.

Remarque : ce choix de définition de la classe intensité macrosismique I est arbitraire, d’autant plus que selon les auteurs, une classe intermédiaire I – (I+1) est parfois définie.

Pour chaque classe d’intensité macrosismique, on teste la vraisemblance de la proposition « la pseudo-intensité i appartient à la classe d’intensité macrosismique I ».

Sans perte de généralité, on illustre le propos sur l’exemple suivant.

L’appartenance de i à la classe macrosismique V est représentée par l’intersection des deux ensembles flous, définis ci-avant. On construit ainsi l’ensemble flou i∩V défini par les paires {i, µi∩V()}, tel que µi∩V(X) = min(µV(X), µ(X)).

Le degré d’appartenance maximal de i à la classe V est donc la borne supérieure de l’ensemble flou i∩V. En d’autres termes, la vraisemblance de la proposition « la pseudo-intensité i appartient à la classe d’intensité macrosismique I » est sup(i∩V). Pour chaque classe d’intensité macrosismique, on réitère le test de vraisemblance ainsi définie. La classe d’intensité macrosismique la plus vraisemblable est donc celle de degré d’appartenance maximal.



Classes floues d'intensité macroscopique

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

pseudo - intensité i

vrai

sem

blan

ce

VIV VI VII

….….

Figure 4-8 : Définition de la classe floue macrosismique la plus vraisemblable

Dans le cas illustré, le degré d’appartenance de la pseudo-intensité représentée par la distribution de possibilité « rouge » est :

0,3 pour la classe VII

0,9 pour la classe VI

0,8 pour la classe V

0,275 pour la classe IV

L’intensité macrosismique la plus vraisemblable est donc la classe VI avec un degré de vraisemblance de 0,9. Ce résultat traduit au mieux l’incertitude liée à la « vraie » valeur de i (représentée concrètement par l’aire sous la distribution en « rouge »).

4.4. REPRESENTATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE III

4.4.1. Phase III.1 : « Réponse des enjeux à l’agression sismique »

L’incertitude est traitée dans le cadre possibiliste : la distribution est construite en fonction des informations réellement accessibles : Cas N°1 : Seul un triplet d’indice de vulnérabilité minimum Vimin, moyen Vimoy et maximum Vimax est accessible. De cette information, on construit la distribution de noyau, le singleton {Vimoy} et de support, l’intervalle [Vimin - Vimax]



Cas N°2 : Si plusieurs experts sont interrogés et que chacun est capable de donner un intervalle de valeurs, il est possible de construire une distribution de possibilité selon l’approche (3) « Consensus », décrite au chapitre précédent. Cas N°3 : si l’expert est capable de donner une vraisemblance d’appartenance du bâtiment aux classes floues de vulnérabilité A, B, C, D, E et F, on construit ainsi la distribution de possibilité sur le modèle proposé dans [Giovinazzi S, (2005 - Thèse].

Figure 4-9: illustration de la construction d'une distribution de possibilités sur la base des classes de vulnérabilités - adaptée de [Giovinazzi S., (2005) – Thèse]

4.4.2. Phase III.2 : « Répartition des enjeux »

Selon le cas identifié dans le chapitre 2 « Analyse des incertitudes », on ne traitera pas les incertitudes de la même manière.

Cas A : « tirage aléatoire »:

L’incertitude est de nature aléatoire et peut être traitée dans le cadre probabiliste. Le problème posé est celui de l’estimation de la proportion p de bâtiments ayant la propriété « type A », à partir de la fréquence f observée sur un échantillon de taille n.

A chaque bâtiment, on associe la variable aléatoire Xi telle Xi=1 si le bâtiment est de type A, et Xi = 0 sinon.

De cette manière : Probabilité (Xi = 1) = p et a fortiori Probabilité (Xi = 0) = 1- p

L’estimateur sans biais et de variance minimale pour p est la variable F = ∑Xi / n

Deux cas de figures sont à considérer:



Cas 1 : la taille de l’échantillon observée est « petit par rapport à la taille totale du stock de bâtiments N » ([Johnson NL, et Kotz S, (1972)] donne la valeur n < 30).

Dans ce cas, la variable aléatoire Y = ∑Xi suit une loi Binomiale B(p, n).

Cas 2 : la taille de l’échantillon est « grand » (n > 30 d’après [Johnson NL, et Kotz S, (1972)])

Le théorème central de la limite assure que la loi de F est « approximativement » une loi normale de moyenne p et de variance v = p(1-p)/n.

En approximant la variance v = p(1 – p)/n ≈ f(1-f)/n, on obtient l’intervalle de confiance de p à 95 % : f – 1,96*v < p < f + 1,96*v

On peut ainsi avoir un ordre d’idée, des « efforts » à faire en termes de taille d’échantillon pour avoir une précision « correcte » sur p :

- pour un échantillon de taille n = 100, la précision à 95 % de confiance est de 0.08 - pour un échantillon de taille n = 500, la précision à 95 % de confiance est de 0.035

Cas B : « calcul d’erreur » :

Si l’expert est capable de donner une estimation de l’erreur commise sur l’évaluation de la proportion d’enjeux de type donné, on traitera ce paramètre dans la cadre possibiliste en définissant une distribution de possibilité triangulaire selon la méthode (5) exposé dans le chapitre 3 « construction d’une distribution de possibilité à partir d’un calcul d‘erreur ».

Cas C : « Calcul d’erreur avec erreur qualifiée » :

Comme dans le cas B, on se place dans le cadre possibiliste en formant la distribution triangulaire associée au paramètre « proportion ». La difficulté supplémentaire consiste à quantifier l’erreur commise à partir d’une information qualitative vague apportée par l’expert.

Une première idée serait de proposer des fonctions de possibilités associées à chaque qualitatif de précision, mais il est clair qu’une telle approche a pour inconvénient son côté « arbitraire ».

On propose une méthodologie (adaptée de [Zadeh L.A., (1975)]) basée sur le « raisonnement approximatif » dans le cadre de la logique floue en tirant parti des liens logiques suivants :

La précision est liée à la densité du polygone d’enjeux et à son hétérogénéité. En effet, plus la densité du polygone d’enjeux est forte et plus, il est hétérogène, plus la précision de l’inventaire est faible.

A contrario, plus la densité est faible et plus l’hétérogénéité est faible, plus la précision est forte.



Figure 4-10 : règles logiques d'évaluation de l'erreur commise lors de l'inventaire

Principe du raisonnement approximatif

Dans la méthode « classique », on mènerait le raisonnement suivant : « si la densité est ## bâtiments / km² et que le nombre de types est ##, alors l’erreur commise est ## % ».

Dans notre cas, on ne peut pas tenir un tel raisonnement, car l’expert ne peut pas quantifier l’erreur finale.

Le raisonnement approximatif consiste à qualifier l’erreur finale selon le modèle suivant : « il est très vraisemblable que l’erreur soit faible, mais il est aussi « possible » qu’elle soit moyenne et enfin il reste « plausible » que l’erreur soit forte ».

Comme l’expert n’est pas capable de donner une valeur déterministe de l’erreur, on construit les ensembles flous associés à chaque qualitatif « Faible erreur », « Erreur moyenne » et « Forte erreur ». La vraisemblance définie sur l’exemple ci-avant est le degré d’appartenance du polygone dans chaque classe. Le degré d’appartenance est évalué à partir des critères et des règles logiques.

Méthodologie

1. Définir les classes floues associées à chaque critère (densité et hétérogénéité).

2. Définir les classes floues « forte », « moyenne » et « faible » du résultat (dans notre cas, l’erreur commise lors de l’inventaire).

3. Caractériser le polygone à l’aide des critères et en déduire le degré d’appartenance du polygone dans chaque classe floue « critère ».

4. Croiser ces critères en utilisant les règles logiques ci-avant et en déduire le degré d’appartenance du polygone dans chaque classe floue « précision ».

5. Composer l’ensemble flou « précision » par fusion de chaque classe floue avec son degré d’appartenance défini ci-avant.

6. En déduire une valeur de précision par une méthode de « défuzzyfication » : cette valeur traduira le caractère vague de l’estimation de l’erreur commise lors de l’inventaire.



Figure 4-11: Illustration du raisonnement approximatif adaptée de [Yasser, (1999)- Thèse]

Composition

On choisit une régle de composition par inférence « Min – Max » [Cox E. – 1994]

La méthode Min-Max se décompose en deux étapes : pour chaque règle appliquée, le minimum de degré d'appartenance est retenu dans le résultat. Par contre, si plusieurs règles donnent un même résultat, le maximum de ces résultats est retenu. Ces opérations sont expliquées par :

M(résultat) = Min(m1, m2)

M(résultat final) = Max (m(résultat1), m(résultat2), …m(résultat n))

Avec :



- mi le degré d’appartenance du polygone dans la classe floue « critère n°i ».

- M(résultat) le degré d’appartenance dans la classe floue « résulat ».

Défuzzyfication

Une fois la classe floue associée à l’erreur commise formée, on décide de synthétiser l’imprécision par une valeur unique en utilisant une méthode de « défuzzyfication ». On choisit une méthode par « centre de gravité », qui consiste à prendre la valeur de l’erreur correspondant au centroïde de la classe floue.

Remarque : pour plus de détails sur la méthodologie, on se reportera au cas de démonstration du chapitre 6 (cas du polygone n°69).

4.4.3. Phase III.3 : « Prédiction des dommages »

(1) L’incertitude liée à la modélisation ARMAGEDOM

L’incertitude liée à l’hypothèse simplificatrice « l’indice de vulnérabilité moyen au niveau du polygone d’enjeux est le même au niveau de la maille de discrétisation » n’est pas propagée avec les autres incertitudes.

Ce choix s’explique par les considérations suivantes :

(1) Cette hypothèse simplificatrice est liée à la méconnaissance de la répartition réelle des bâtiments au sein du polygone surfacique d’enjeux. Le traitement d’une telle incertitude pourrait se faire dans le cas « probabiliste » si un échantillonnage de répartition des bâtiments était réalisé systématiquement dans chaque polygone surfacique, ce qui impliquerait un coût opérationnel certain, dont la décision appartient clairement aux décideurs selon les objectifs et surtout l’échelle à laquelle il désire raisonner.

(2) La prise en compte de cette incertitude prend en effet toute son importance en fonction des objectifs et de l’échelle d’étude du risque sismique.

- Si l’objectif du scénario est de hiérarchiser les quartiers (représentés par des polygones surfaciques d’enjeux), l’erreur commise par la discrétisation est « cachée » par un traitement d’homogénéisation adéquat (du type moyenne par polygone).

- Si l’objectif est une hiérarchisation au sein du polygone d’enjeux, le décideur doit être conscient lors de l’analyse finale des résultats que seule l’influence de répartition des intensités (pseudo- ou macro intensités) pourra être évaluée.

4.4.4. Propagation des incertitudes de l’étape III

Les incertitudes sont propagées en considérant les courbes de risques de la méthodologie Risk-UE, niveau 1 comme des fonctions de l’ensemble des réels vers l’intervalle unité, qui associent à



tous degré de dommage moyen µD une proportion d’enjeux pour un état de dommage donnée Dk avec k = 0;5.

Selon le mode de représentation de l’information sur la proportion des enjeux au sein d’un élément surfacique (polygone d’enjeux), la méthode de propagation des incertitudes ne sera pas la même :

- Dans le cadre purement possibiliste, on propage les incertitudes en utilisant le calcul par α-coupe. L’attention est à porter sur la monotonie de la fonction pk, avec k= 0 ; 5, qui présente un maximum pour µD = k, avec k = 0;5 :

On rappelle que : pk = Pβ(k+1) - Pβ(k) = CDFBETA[k ; k+1]

- Dans le cadre hybride, on utilise l’approche HYRISK d’échantillonnage d’intervalles flous.

4.5. VALORISATION DES INFORMATIONS SUR LES INCERTITUDES

4.5.1. Problématique

L’information obtenue après propagation est riche. Dans le cadre purement possibiliste, à chaque pixel est associée une fonction de possibilité traduisant l’incertitude sur la proportion d’enjeux de se trouver dans un état de dommage Dk [k=0 ;5]. Dans le cadre hybride, à chaque pixel sont associées N fonctions de possibilités - N étant le nombre d’itérations d’échantillonnage des paramètres identifiés comme « aléatoires ». Or pour qu’une aide à la décision soit efficace, le nombre de paramètre de décision doit rester limité.

Par ailleurs, ce qui intéresse le décideur est la répartition spatiale des paramètres de décision, or il est très difficile de valoriser spatialement différents paramètres en un même point (moins de trois).

4.5.2. Proposition de traitement

(1) Méthodologie générale

A partir des considérations précédentes, il est décidé de se limiter à deux paramètres de décision. Le contexte « incertain » dans lequel on évolue lors de l’évaluation du risque sismique ne permet malheureusement pas d’obtenir comme résultat une unique valeur de probabilité de dépasser un seuil de proportions de dommage.

En s’appuyant sur le post-traitement de HYRISK exposé dans le chapitre 3, il est tout de même possible de donner un encadrement de cette probabilité.

Illustrons le propos par un exemple : le décideur veut hiérarchiser la zone d’étude selon le seuil de proportions d’enjeux en état de dommage D3, qu’il choisit égal à 5 %. Le post-traitement donnera l’encadrement suivant :

Cr<Probabilité (Proportion d’enjeux > 5 %) < Plaus



Avec Cr et Plaus les indicateurs de Crédibilité et de Plausibilité (théorie des évidences de Dempster – Shafer).

Cette approche répond entièrement aux contraintes énoncées précédemment. Il faut cependant avoir conscience de ses inconvénients :

a. La comparaison est faite par rapport à un seuil fixe.

b. On raisonne au final avec un encadrement de probabilités et non pas une unique valeur de probabilité.

A ces deux points, on préconise les approches suivantes :

(a). le seuil doit être choisi en concertation avec tous les acteurs de la décision (scénario de crise sismique).

(b).-[1] On peut synthétiser l’information apportée par l’encadrement par un qualitatif faisant référence au domaine de l’évènement « dépasser le seuil de tolérance » par application de la sémantique introduite dans le chapitre 3:

Indicateur probabilité basse

Indicateur probabilité Haute

Evènement : « Dépasser le seuil »

1 1 « Certain »

Entre 0 et 1 1 « Crédible »

0 1 « Possible »

0 Entre 0 et 1 « Plausible »

0 0 « Impossible »

(b).-[2] On peut synthétiser l’encadrement par un paramètre quantitatif unique. En effet, prendre une décision en se basant sur la valeur de la probabilité haute reviendrait à adopter une approche pessimiste (concernant une probabilité de dépasser un seuil). Par contre, se baser sur la probabilité basse reviendrait à une approche optimiste. On peut par exemple construire l’indicateur unique « moyenne des probabilités », qui serait équivalent à une approche intermédiaire entre celle optimiste et pessimiste [Guyonnet D., (2005)]. Une autre proposition serait de pondérer chacun des indicateurs selon le poids que l’on souhaite accorder à chaque approche (optimiste ou pessimiste).

(2) Hétérogénéité des représentations

La difficulté pratique est liée à l’hétérogénéité de représentation du paramètre « proportion d’enjeux au sein de l’élément surfacique ». En effet, selon la manière dont l’inventaire des enjeux a été traité au sein de chaque polygone, la représentation du paramètre « proportion » est faite dans la cadre possibiliste ou dans le cadre probabiliste i.e. certains polygones sont caractérisés par des



paramètres purement possibilistes, alors que d’autres sont caractérisées par des incertitudes, à la fois possibiliste et probabiliste.

Afin que le post-traitement soit homogène pour toute la zone d’étude, il est décidé d’appliquer le post-traitement HYRISK à tous les polygones, bien que ce post-traitement ait été développé à la base’ pour un cadre hybride.

En pratique, le post-traitement est appliqué aux polygones purement « possibilistes » en fixant le nombre d’itération à un. Ce raisonnement se justifie par le fait que le post-traitement se base sur la théorie des évidences de Dempster-Shafer, qui est un cadre unificateur pour les deux théories (possibiliste et probabiliste). A ce titre, on choisit un vocabulaire unique : on ne parlera pas de « crédibilité » et de « plausibilité », mais de « probabilité basse » et « probabilité haute ».

(3) Cadre purement possibiliste

En plus du post-traitement HYRISK permettant une comparaison à un seuil de décision, on peut proposer d’autres post-traitement dans le cadre purement possibiliste.

(1) A un degré de vraisemblance α donné, il est possible de donner l’α-coupe correspondante i.e. l’intervalle de proportions d’enjeux en état de dommage Dk correspondant à la vraisemblance α.

Figure 4-12 : Illustration du post-traitement « lecture horizontale » d’une distribution de possibilité

Cependant ce dernier post-traitement exige une concertation entre les décideurs. En d’autres termes, comment choisir le degré de vraisemblance ? Une proposition serait celle adoptée dans [Giovinazzi S., (2005) - Thèse] à savoir associer au degré de vraisemblance 0,2 le qualitatif « plausible » et à celui valant 0,6, le qualitatif « possible » ;

Si l’on choisit le degré maximal, on obtient l’intervalle le plus informatif en termes de vraisemblance, mais aussi le plus risqué. A contrario, si l’on choisit le degré de vraisemblance minimal, on obtient certes l’intervalle le moins informatif, mais on est sûr de trouver dans cet intervalle la « réelle » valeur (prudence maximale).



(2) A une fonction de possibilité peut être associé un nombre unique, qui correspond au centre de gravité de la fonction (défuzzyfication par la méthode des centres de gravité).

Figure 4-13 : Illustration de la défuzzyfication par la méthode des centres de gravité – extrait de Yasser E., (1999) -Thèse

On remarquera que d’un point de vue traitement spatiale, ce post-traitement trouve un avantage certain. Il convient cependant de l’utiliser en gardant à l’esprit que le centre de gravité ne traduit en rien « l’extension de la fonction de possibilité ». C’est pourquoi, on propose de toujours accompagner cette valeur de l’intervalle moyen, dont la longueur mesure l’imprécision associée à la distribution de possibilité [Dubois D., et Prade H., (1988)].

(3) Le troisième post-traitement à proposer est celui à l’échelle de l’élément surfacique d’enjeux. On propose de donner les bornes extrêmes des probabilités basses et hautes au sein de chaque polygone i.e. la borne inférieure des probabilités basse et la borne haute des probabilités hautes.

4.6. SYNTHESE

4.6.1. Etape I : « Etude de l’agression sismique »

Phase Paramètre Source d’incertitude Traitement

Construction de la loi à partir de données observées : terme de dispersion

Famille des distributions de probabilité de moyenne et d’écart-type donné + prise en compte des valeurs de PGA extrêmes

I.1. Atténuation Loi d’atténuation

Choix du ou des modèles d’atténuation

Fusion par l’opération « max » des distributions de possibilités de chaque loi éventuellement



associée à un degré de vraisemblance


Traitement possibiliste selon l’information disponible


Non traité


Traitement possibiliste selon l’information disponible



Localisation des effets Dans la zone de dilution entre deux zones, fusion par un opérateur adaptatif des distributions de possibilité de chaque coefficient associées à un degré de vraisemblance fonction de la distance




Non traité vs état d’avancée de la compréhension du phénomène

4.6.2. Etape II : « Conversion en Intensité Macrosismique »


II.1. Passage à la pseudo-intensité

Loi de corrélation PGA – pseudo-intensité

Choix de la loi Même approche que le cas du choix des modèles d’atténuation

II.2. Passage à l’intensité macrosismique

- Passage d’une variable continue à une variable discrète

Associer à chaque classe d’intensité une distribution de possibilité et tester la vraisemblance d’appartenance à



chaque classe de la distribution de possibilité de la pseudo-intensité

4.6.3. Etape III : « Vulnérabilité »



Par construction des indices (retour d’expérience)

Traitement possibiliste en fonction de l’information disponible

III.1. Fonctions d’endommagement


Valeur issu d’un consensus entre experts

Traitement possibiliste en fonction de l’information disponible

III.2. Répartition des enjeux

Proportion des types d’enjeux


Si le travail de terrain permet un échantillon caractéristique : traitement probabiliste

Sinon :

Si l’erreur est connue, traitement directe possibiliste

Si l’erreur est qualifiée, évaluation de l’erreur par « raisonnement approximatif »

III.3 Prédiction des dommages


Calcul d’un indice de vulnérabilité moyen OU d’une proportion moyenne pour chaque maille de l’élément surfacique discrétisé

Non traité : la discrétisation de l’élément surfacique apparaît peu contournable pour prendre en compte la distribution spatiale des PGA au sein de l’élément surfacique



4.6.4. Synthèse des post-traitements

Post-traitement Paramètres en entrée

Paramètres en sortie

Cadre hybride (polygone « mixte »)

Post-traitement HYRISK dans le cadre de la théorie des évidences de Dempster-Shafer

Seuil de décision Probabilité basse et haute encadrant la probabilité de dépasser le seuil de décision

Post–traitement par centre de gravité

Pas de paramètre Centre de gravité de la fonction de possibilité

Cadre purement possibiliste Post-traitement par

lecture horizontale de la fonction de possibilité

Degré de vraisemblance α

Bornes de l’intervalle correspondant à l’α-coupe

Comparaison entre polygone

d’enjeux

Recherche des extrema des probabilités hautes et basses dans chaque polygone

Seuil de décision A chaque polygone d’enjeux est associé le doublet probabilité basse et haute



5. Cas-Test

5.1. DEFINITION DU TEST

On présente une étude simple sur un cas –test afin d’avoir une idée des ordres de grandeurs des incertitudes et du poids de chaque source d’incertitude. Il est à souligner que ce cas test n’est en rien vraisemblable et a pour seule prétention la démonstration des possibilités des méthodes introduites dans ce rapport.

5.1.1. Définition du séisme de scénario

- Localisation de l’épicentre : Xe = 847819 ; Ye = 1848007 (projection Lambert 2 Etendu)

- Profondeur de l’épicentre : 5 km

- Magnitude de moment : 6,5

5.1.2. Lois d’atténuation

Les lois d’atténuation choisies sont les suivantes :

- Loi n°1 : « Loi d’ Ambraseys, Simpson & Bommer »

- Loi n°2 : « Loi de Sadigh et al. »

5.1.3. Effets de site

• Effets de site topographique

On suppose qu’il n’y a pas d’effet de site topographique.

• Effets de site lithologiques

On suppose que la zone se trouve majoritairement dans la classe géotechnique « substratum sismique » (classe A selon EC-8), mais qu’il existe localement des formations quaternaires d’épaisseurs inférieures à 5m.

Dans ce contexte, l’expert juge pertinent de distinguer « substratum sismique » et « formations quaternaires » contrairement aux classifications EC-8.

5.1.4. Lois de conversion PGA-en Pseudo-intensité

Les lois de conversion choisies sont les suivantes :



- Loi n°1 : « Loi d’Ambraseys »

- Loi n°2 : « Loi d’Atkinson & Sonley »

5.1.5. Enjeux

- Nombre de bâtiments : 173

- Nombre de type : un seul, M4 (maçonnerie)

- Les Indices de vulnérabilité Vi correspondant au type (méthode Risk-UE, niv.1)

Vimin Vi- Vi Vi+ Vimax

0,3 0,49 0,616 0,793 0,86

5.2. REPRESENTATION DES INCERTITUDES

On traitera les incertitudes suivantes dans le cadre possibiliste.

- Incertitudes liées au paramètre de dispersion des observations σ associé à chaque loi.

- Incertitudes épistémique liées aux choix de la loi d’atténuation

- Incertitude épistémique lié au choix de la valeur du cœfficient d’amplification lithologique.

- Incertitudes épistémiques liées au choix de la loi de conversion PGA / pseudo-intensité

- Incertitudes épistémiques liés au choix de la valeur de l’indice de vulnérabilité.

5.2.1. Lois d’atténuation

• Incertitude liée à la dispersion σ

A partir de la donnée de l’écart type σ associé à chaque loi, on construit la distribution de possibilité représentant les incertitudes de dispersion sur la base des inégalités de Camp-Meidel et du jugement d’expert suivant : « les valeurs extrêmes des PGA que l’on ne peut pas écarter correspondent aux valeurs : PGA moyen +/- 4 σ ».

Cette construction est détaillée dans le chapitre 4. « Propagation des incertitudes ».

On présente les distributions de possibilités associées à chaque loi pour un point localisé à 11,7 km de l’épicentre.



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300

PGA au rocher (mg)

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

Loi Sadigh et al.Loi Ambraseys et al.Valeurs médianes sans dispersion

Figure 5-1 : Représentation des incertitudes de dispersion de chaque loi d'atténuation

- Loi n°1 ; « Loi d’Ambraseys, Simpson & Bommer » : σ = 0,57

o Valeur médiane : 216,6 mg

o Noyau : [147,6 mg ; 317,9 m]

o Support : [21,6 mg ; 2166,4 mg]

- Loi n°2 : « Loi de Sadigh et al » : σ= 0,48

o Valeur médiane : 257,3 mg

o Noyau : [186,8 mg ; 354,3 mg]

o Support : [37,7 mg ; 1755 mg]

• Incertitude épistémique

On ne peut pas distinguer les lois selon leur vraisemblance. On construit donc la distribution de possibilité issue de l’union des deux distributions traduisant ainsi l’incertitude épistémique de type « choix de modèle ».



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300

PGA au rocher (mg)

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

Figure 5-2 : Prise en compte de l'incertitude sur le choix de la loi d'atténuation- enveloppe des distributions associées à chaque loi (Figure ci-avant)

Noyau : [147,6 mg ; 354,3 mg]

Support : [21,6 mg ; 2166,4 mg]

5.2.2. Effet de site lithologique

Au regard de l’échelle de l’étude, il est impossible de distinguer les zones au substratum (formation majoritaire de la zone) des formations partielles quaternaires. Le coefficient d’amplification le plus vraisemblable de la zone d’étude est donc 1,0. Mais il convient de ne pas écarter la valeur 1,4, qui correspond à celle d’une classe géotechnique E (couche « molle » peu épaisse).

L’incertitude sur les effets de site lithologiques est représentée par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {1,0} et de support [1,0 – 1,4].

5.2.3. Loi de conversion PGA en pseudo-intensité

On se base sur le jugement d’expert suivant : la loi « Atkinson & Cronley » est la plus vraisemblable, mais la loi « Ambraseys » reste possible.

On affecte le degré de vraisemblance 1 à la première loi et 0,6 à la deuxième.

5.2.4. Indice de vulnérabilité

Deux formes de représentation de l’indice de vulnérabilité seront traitées :

L’expert ne prend en compte que les indices {Vi- ; Vi0 ; Vi+} : on construit alors une distribution de possibilité triangulaire de noyau {Vi0} et de support [Vi- ; Vi+]

L’expert prend en compte l’ensemble de la distribution définie dans Risk – UE, Niv.1.



Figure 5-3 : Représentation de l'incertitude sur l'indice de vulnérabilité de type M4 - méthode RISK - UE, Niv.1

5.3. PROPAGATION DES INCERTITUDES

- On propage les incertitudes susnommées dans le cadre possibiliste.

- La propagation est réalisée avec un découpage en 10 α-coupes.

- Les résultats sont présentés au point localisé à 11,7 km de l’épicentre.

- On présente le résultat de la propagation des proportions d’enjeux en état de dommage D3.

5.3.1. Résultat brut

Les incertitudes suivantes ont été propagées :

- Incertitude de dispersion associée à chaque loi (terme σ)

- Incertitude épistémique liée au choix de la loi d’atténuation (Les trois lois d’atténuation sont utilisées sans distinction de vraisemblance)

- Incertitude épistémique liée au choix de la loi de conversion.

- Incertitude épistémique liée au choix de la valeur du coefficient d’amplification lithologique.

- Incertitude épistémique liée au choix de la valeur de l’indice de vulnérabilité.

On obtient une distribution de possibilité définie par les éléments suivants:



- Noyau : [0,25 % - 13,1 %]

- Support = [0 % - 35,9 %]

L’imprécision sur le résultat est très importante. On peut la mesurer en donnant la longueur de l’intervalle moyen de la distribution : [0,1 % ; 22,8 %] de longueur 22,7%.

Le résultat de la propagation peut être synthétisé en le comparant à un seuil de décision. Etudions la probabilité de dépasser le seuil de 30 % : elle est comprise entre 0 et 0,6, ce qui indique que l’évènement « Dépasser le seuil » se trouve dans le domaine du « plausible » (sémantique introduit dans le chapitre 3).

5.3.2. Influence des incertitudes liées aux lois d’atténuation

(1) Influence de l’Incertitude de dispersion (terme σ)

On suppose dans un premier temps que seule la loi « Ambraseys et al. » est adaptée au contexte de l’étude. On propage cette seule incertitude jusqu’au résultat final de répartition des dommages.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Proportion d'enjeux en D3 (%)

Deg

ré d

e Vr

aise

mbl

ance

Figure 5-4 : Incertitude sur la proportion d’enjeux en état de dommage D3 résultant de l'incertitude de dispersion de la loi d’atténuation Ambraseys et al. – cas test

- Noyau : [0,25 % - 13,1 %]

- Support = [0 % - 35,9 %]

- Longueur de l’intervalle moyen : 18,3 %

(2) Influence de l’incertitude épistémique de type « choix du modèle »

• Sans prise en compte de la dispersion des lois



La première loi donne une proportion de 2,55 % contre 4,7 % pour la deuxième loi.

• Avec prise en compte de la dispersion

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Deg

ré d

e Vr

aise

mbl

ance

Loi Ambraseys seuleIncertitude sur le choix de la loi

Figure 5-5: : Incertitude sur la proportion d’enjeux en état de dommage D3 résultant des incertitudes des lois d'atténuation (choix de la loi et dispersion)

- Noyau : [0,6 % ; 12,6]

- Support : [0 % ; 35,9 %]

- Longueur de l’intervalle moyen : 20,6 %

5.3.3. Influence des incertitudes sur les effets de site lithologiques

L’incertitude sur le PGA au sol est représentée par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {216,6 mg} et de support [216,6 mg ; 303,3 mg]. Après propagation, on obtient également une distribution triangulaire de noyau {2,55 %} et de support [2,55 % ; 8,1%].

5.3.4. Influence des incertitudes sur le choix de la loi de conversion

La loi la plus vraisemblable donne une pseudo-intensité de 7,3 alors que la loi « possible » donne une pseudo-intensité de 6,9. Propagée jusqu’au résultat final, on obtient 2,55 % avec la première loi et 1,2 % avec la deuxième.

5.3.5. Influence des incertitudes sur l’indice de vulnérabilité

• Forme triangulaire de représentation

On obtient une distribution de noyau {2,55 %}, de support [0,6 % ; 19,5 %] et de longueur d’intervalle moyen L = 6,3 %.



• Forme trapézoïdale

On obtient une distribution de noyau [1% ; 2,7 %], de support [0,1 % ; 24,9 %] et de longueur d’intervalle moyen L = 14,4 %.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30


Deg

ré d

e Vr

aise

mbl

ance

Forme triangulaire de Vi {Vi- ; Vi ; Vi+}

Forme de Vi à partir des classes de vulnérabilitéscalcul avec Vi

Figure 5-6 : Influence de la forme de représentation de l'indice de vulnérabilité

5.3.6. Synthèse

On résume l’étude par le tableau suivant, donnant la mesure de l’imprécision résultant de chaque source.

Sources d’incertitudes Longueur de l’intervalle moyen (mesure de l’imprécision)

Dispersion de loi d’atténuation 18,3 %

Incertitude épistémique du choix de la loi d’atténuation

2,15%

Incertitude épistémique de la valeur du coefficient d’amplification lithologique

5,55 %

Incertitude épistémique du choix de la loi de conversion PGA – pseudo-

intensité

1,35 %

Incertitude épistémique de la valeur de l’indice de vulnérabilité

14,4 %

Ensemble des incertitudes 22,7 %



La propagation des incertitudes sur cet exemple simple a permis de mettre en évidence que les sources d’incertitudes les plus discriminantes, sont celles liées au terme de dispersion des lois d’atténuation.

Vient en deuxième position, les incertitudes liées à la valeur de l’indice de vulnérabilité : si l’on décide de représenter l’ensemble des informations sur cet indice (distribution trapézoïdale), l’imprécision sur le résultat final est du même ordre de grandeur que celui des lois d’atténuation.

On résume ces conclusions en comparant le résultat de la propagation des incertitudes de l’indice de vulnérabilité (en bleu), du terme de dispersion (en vert) et de l’ensemble des incertitudes (en rouge) au seuil de décision 30 %.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Proportion d'enjeux en état de dommage D3

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

Figure 5-7 : Sources d'incertitude les plus discriminantes – cas Test

Selon la source considérée (dans le même ordre que dans le texte), la probabilité de dépasser le seuil de 30 % d’enjeux en état de dommage D3 passe du domaine de « l’impossible » (probabilité basse et haute nulles), au domaine du « crédible » avec une probabilité basse de 0,2 et au domaine du « crédible » avec une probabilité basse de 0,6 (on s’approche du domaine du « possible »).



6. Cas de démonstration

On présente les résultats de la propagation des incertitudes appliquée au cas de la ville de Lourdes (Hautes Pyrénées, (65)), dont l’étude du risque sismique a été réalisée en mai 2006 [Bernadie, S.et al., (2006) – Rapport BRGM]. L’ensemble des méthodes introduites dans ce rapport ont été programmées dans un module sous VB6, gérant les mêmes types de fichiers que le logiciel ARMAGEDOM.

6.1. DESCRIPTION DE LA ZONE D’ETUDE

Zone géotechnique 14 zones géotechniques identifiées

Type d’occupation du sol 5 types d’occupation des sols : LOTISSEMENT, COLLECTIF, ISOLE,

CENTRE VILLE et CENTRE HISTORIQUE

Nombre de polygones d’enjeux 113

Nombre de Types de structures 14

6.2. ANALYSE DES INCERTITUDES

6.2.1. Analyse de l’Etape I : « AGRESSION SISMIQUE »

Phase I.1 : « Atténuation »

(1) Choix de la loi d’atténuation : Incertitude épistémique

Dans un premier temps deux lois ont été identifiées comme vraisemblables dans le contexte de l’étude.

- Loi Ambraseys et al. (1996)

- Loi de Sadigh et al. (1997)

Le cas particulier du contexte sismotectonique de Lourdes (faille sous la ville) implique que l’on se trouve à la limite de validité des deux lois d’atténuation (« champ proche »).

Les écarts obtenus en termes de pourcentages de dommage sont tels que le choix a été fait de raisonner non pas en termes de séisme de référence, mais à partir de la carte d’aléa régionale en attribuant à l‘ensemble de la zone d’étude une valeur constante de PGA au rocher fixée à 200 mg.



Dans un souci de comparaison avec l’étude, on adoptera également cette approche. Par contre dans un souci d’illustration de la méthode exposée dans ce rapport, on donnera tout de même le résultat de la propagation de l’incertitude épistémique du choix des lois d’atténuation et de celle associée à la dispersion.

(2) Incertitude associée au terme de dispersion des lois d’atténuation

En se basant sur les arguments exposés dans le chapitre précédent, on choisit d’adopter la méthode possibiliste de représentation des incertitudes associées à la dispersion de chaque loi à partir des modèles de PGA au rocher et de la donnée des dispersions :

- Loi Ambraseys et al. (1996), σ=0.57

- Loi de Sadigh et al. (1997), σ=1,39 – 0,14m avec m la magnitude de moment du séisme.

Phase I.2 : « Effets de site lithologique»

(1) Valeur du coefficient d’amplification

- Le semis de points est dense et de bonne qualité. - Des colonnes de sols types sont accessibles sur plusieurs points de la zone. - Les données quantitatives géophysiques et/ou géotechniques sont disponibles.

Un spectre de réponse a été calculé pour chaque classe géotechnique : l’expert est capable de donner l’erreur commise lors du calage du spectre sur les spectres simulés. A partir de cette information, on construit les distributions de possibilités en utilisant la méthode (5) « calcul d’erreur » du chapitre 3. Remarque : l’ensemble des valeurs numériques se trouvent dans l’annexe correspondante.


En tenant compte à la fois de la répartition du semis de points de mesures géophysiques (distance entre les points en moyenne égal à 100m), des connaissances géologiques et topographiques, l’expert est capable d’apprécier l’erreur Δ de localisation : Δ = +/- 50 m.

On considérera qu’il n’y a aucune incertitude de localisation entre une zone au rocher et une zone de sol.



6.2.2. Analyse de l’Etape II : « La vulnérabilité »

Phase II.1 : « Intensité macrosismique »

(1) Choix du modèle de conversion

D’après le jugement d’expert J. Douglas, deux lois de conversion sont adaptées au cadre de l’étude :

- Loi n° 1 : « Atkinson & Sonley »

- Loi n°2 : « Ambraseys »

Il est capable d’apprécier la vraisemblance des ces deux lois dans le contexte de l’étude. Il donne le degré de confiance maximal à la première loi, alors que la deuxième lui semble moins vraisemblable, mais toujours « possible ».

On affecte donc les degrés de vraisemblances suivants :

- Degré de vraisemblance de la loi n°1 : 1

- Degré de vraisemblance de la loi n°2 : 0,6

(2) Passage d’une variable continue à une variable discrète

L’étude sur Lourdes a été réalisée en prenant en compte la pseudo-intensité dans le calcul du dommage moyen µD.

A titre d’illustration, on donnera tout de même, la carte de répartition des intensités macrosismiques à laquelle on associe la carte de répartition des degrés de vraisemblances (sur la base des classes floues de macrosismicité définie dans le chapitre 3).

Phase II.2 : « Répartition des enjeux »

Selon le type d’occupation des sols, de la densité et de l’hétérogénéité des polygones d’enjeux, le traitement de l’incertitude sur le paramètre « proportion d’enjeux » varie. On considère les cas suivants :

Conditions Traitement Nombre de polygones

- Si le nombre total N de bâtiments est

inférieur à 25

- OU le nombre de type est 1

L’évaluation de la proportion d’enjeux s’est fait de façon

déterministe.

55 polygones



- Si la densité du polygone est faible à

moyen

- Si l’hétérogénéité est faible à moyenne

- Si l’écart entre les différents types de bâtiments n’est pas

trop important

L’évaluation de la proportion s’est faite dans le cas A (tirage aléatoire) et on suppose que l’échantillon caractéristique représente 1/3 de la population totale du polygone d’enjeux.

5 polygones

- Autres cas

L’inventaire ne peut pas être considérer comme un « tirage aléatoire » au sens statistique du terme.

Comme l’expert ne peut donner une estimation quantitative de l’erreur commise, on se place dans le cas C (« calcul d’erreur avec erreur qualifiée »).

53 polygones

Pour l’évaluation de l’erreur commise, on utilise un raisonnement approximatif basé sur les critères de densité et d’hétérogénéité (nombre de types). On définit ainsi les classes floues suivantes :

Classe Noyau Support

Faible densité [0 – 750 bâtiments / km²] [0 – 1500 bâtiments / km²]

Densité moyenne {1750 bâtiments / km²} [750 – 3500 bâtiments / km²]

Forte densité [3500 – 5000 bâtiments / km²]

[2000 – 5000 bâtiments / km²]

Faible hétérogénéité [0 – 2 types] [0 – 4 types]

Hétérogénéité moyenne [3 – 4 types] [2 – 5 types]

Forte hétérogénéité [5 – 6 types] [3 – 6 types]



Faible erreur [0 – 1 %] [0 – 5 %]

Erreur moyenne [4 – 6 %] [1 – 10 %]

Forte erreur [10 – 25 %] [5 – 25 %]

Remarque : les caractéristiques des polygones d’enjeux se trouvent dans l’annexe correspondante.

Phase II.3 : « Réponse des enjeux à l’agression sismique »

L’expert est capable de donner la valeur de l’indice de vulnérabilité le plus vraisemblable Vi0 et l’intervalle de valeurs [Vi- ; Vi+] auxquels il associe le degré de vraisemblance le plus bas.

A partir de cette information, on représente l’incertitude épistémique sur les indices de vulnérabilité par des fonctions de possibilité de noyau {Vi0} et de support [Vi- ; Vi+].

Remarque : les valeurs utilisées pour chaque type de bâtiment se trouvent dans l’annexe correspondante.

Phase II.4 : « Prédiction des dommages »

Dans un souci de comparaison, on adoptera la même approche adoptée pour l’étude de Lourdes, à savoir un calcul basé sur un indice de vulnérabilité moyen par polygone.

6.3. PROPAGATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE : « AGRESSION »

6.3.1. Incertitudes sur la valeur du PGA au rocher

On propage l’incertitude épistémique liée au choix de la loi d’atténuation et celle liée à la dispersion des lois d’atténuation. Cela nous permet de donner la répartition de la borne inférieure et supérieure des PGA au rocher pour un degré de vraisemblance maximal (et un degré de certitude minimal).



Figure 6-1: PGA au rocher ; borne inférieure, vraisemblancde maximale

Figure 6-2 : PGA au rocher ; borne supérieure, vraisemblance maximale

- Le minimum des bornes supérieures est 97 mg et le maximum est 113 mg.

- Le maximum des bornes supérieures est 623 mg et le minimum est 363 mg.

Comme signalée précédemment, l’étude finale n’a pas pris en compte de lois d’atténuation, mais une valeur de PGA au rocher constante égale à 200 mg - valeur issue du zonage régionale – approche que l’on adoptera dans la suite de l’étude. Par contre, il est intéressant d’étudier à titre illustratif l’implication des incertitudes liées aux deux lois d’atténuation.

On propose d’étudier la probabilité de dépasser le seuil 200 mg.

On obtient le résultat suivant : la probabilité basse de dépasser le seuil est nulle et la probabilité haute de dépasser le seuil est maximale, égale à 1 sur toute la zone d’étude. Ce résultat démontre que, compte tenues des incertitudes des lois d’atténuation, il est « possible » que le PGA au rocher puisse dépasser 200 mg.

Cette même étude est à nouveau réalisée en prenant cette fois pour seuil, 400 mg. Il apparaît que l’indicateur probabilité basse est constant et égale à 0 sur toute la zone d’étude. Par contre, l’indicateur de probabilité haute prend des degrés différents entre 0,18 et 1.



Figure 6-3: Probabilité Haute de dépasser 400 mg

Dans les zones où, la probabilité haute est égale à 1, on peut dire qu’il est « possible » de dépasser 400 mg.

Dans les zones où, la probabilité haute est inférieure à 1, on peut dire qu’il est « plausible » de dépasser 400 mg avec un degré dépendant de la valeur de la probabilité haute.

6.3.2. Incertitudes liées aux effets de site lithologiques

On fixe sur toute la zone PGA au rocher constant et égal à 200 mg.

On présente le résultat de propagation des incertitudes liées aux, effets de site lithologiques (épistémique de type « valeur » et épistémique de type « dilution »). On donne la répartition des bornes inférieures et supérieures de degré de vraisemblance maximal (et de certitude minimal).



Figure 6-4 : Borne inférieure PGA au sol ; degré de vraisemblance maximal

Figure 6-5 : Borne supérieure PGA au sol ; degré de vraisemblance maximal

Cette information peut être synthétisée en étudiant la probabilité de l’évènement « Dépasser le seuil 400 mg ».



Figure 6-6: Probabilité Basse "Dépasser le seuil 400 mg"

Figure 6-7 : Probabilité Haute "Dépasser le seuil 400 mg"

La probabilité basse est relativement homogène sur toute la zone : la seule zone qui apparaît est celle localisée à la fois dans la zone géotechnique N°5 (coefficient d’amplification, le plus vraisemblable de 2,0) et dans la zone d’effet de site topographique.

La probabilité haute fait bien apparaître les zones de transition (« dilution ») entre les zones géotechniques.

Les deux indicateurs d’encadrement de la probabilité variant tous les deux, il nous apparaît pertinent de synthétiser l’information sous la forme de l’indicateur unique « moyenne des indicateurs ».



Figure 6-8 : Moyenne des indicateurs - Probabilité Basse et Haute « Dépasser 400 mg »

Une fois cet indicateur formé, il peut être décidé de mettre en évidence les zones, qui sont au moins dans le domaine du « possible » de l’évènement « Dépasser 400 mg » i.e. les zones où l’indicateur « moyenne des probabilités » est au moins supérieur à 0,5.

Figure 6-9 : Zone du "Possible" de l'évènement "Dépasser 400 mg



Les zones mises en évidence, sont celles correspondant aux zones géotechniques N°1, N°2, N°5, N°9 et N°13. Ce résultat peut être présenté aux décideurs avec l’indicateur qualitatif (« possible ») ou l’indicateur quantitatif (moyenne des probabilités supérieure à 0.5), traduisant les incertitudes liées au zonage microsismique.

6.3.3. Propagation finale de l’étape : « Agression sismique »

Le résultat ci-avant (qui prend la forme d’une distribution de possibilité associée à chaque pixel) est la donnée d’entrée pour la conversion en pseudo-intensité, puis en intensité macrosismiques.

On présente la carte de répartition des intensités macroscopiques associées à la carte de répartition des degrés de vraisemblance. Ces deux cartes traduisent donc la propagation des incertitudes suivantes :

- L’incertitude épistémique de type « valeur » du cœfficient d’amplification lithologique

- L’incertitude épistémique de type « dilution » du même coefficient

- L’incertitude épistémique de type « choix du modèle » de conversion PGA – pseudo – intensité

- L’incertitude liée au passage pseudo – intensité => Intensité macrosismique

Dans la suite de l’étude, on choisit de continuer de travailler avec la pseudo-intensité comme ce qui a été fait dans l’étude initiale.



Figure 6-10: Carte d’intensité macrosismique Figure 6-11 : Carte de degré de vraisemblance de l'intensité macrosismique

Le degré de vraisemblance doit être lu comme l’indicateur traduisant le doute sur la valeur de l’intensité macrosismique. Les zones pour lesquelles on a le plus de doute sont représentées en « bleu » et correspondent à des zones classées en classe macrosismique VIII. A contrario, les zones apparaissant en orange sont celles pour lesquelles on a le moins de doute.

Supposons que le décideur décide que le degré d’appartenance « tolérable » soit 0,75. On peut ainsi identifier les zones d’intensités macroscopiques « quasi »-certaines et les zones de fort doute (fortes incertitudes).



Figure 6-12: Zone d'intensité macroscopique "quasi-certaine" (en rouge) – critère 0,75

6.4. PROPAGATION DES INCERTITUDES DE L’ETAPE : « VULNERABILITE »

Dans un souci d’illustration des méthodes exposées dans ce rapport, on détaillera la propagation des incertitudes au niveau de trois polygones d’enjeux différents :

- un polygone de type unique : polygone n°100

- un polygone, dont la proportion est traitée dans le cas C (cas « calcul d’erreur avec une erreur qualifiée »): polygone n°69

- un polygone, dont la proportion des enjeux est traitée dans le contexte du cas A (cas « tirage aléatoire ») : polygone n°1

6.4.1. POLYGONE N°100, polygone d’enjeux monotypique

Description

Type d’occupation du sol LOTISSEMENT

Nombre de bâtiments 53

Densité 2463 bâtiments / km²

Zone géotechnique A 100 % dans la zone n°9

Effet de site topographique Pas d’effet de site topographique

Nombre de types de bâtiments M32



Incertitude sur le PGA au sol

L’incertitude sur ce paramètre est représentée par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {400 mg} (valeur la plus vraisemblable, mais de certitude minimale) et de support [291 mg ; 440 mg] (valeurs de vraisemblance minimale, mais de certitude maximale).

Cette représentation traduit l’incertitude épistémique de type « valeur » du coefficient d’amplification de la zone géotechnique n°9 représentée par une distribution également triangulaire de noyau {2,0} et de support [1,4 ; 2,2].

Incertitude sur la pseudo-intensité

On propage à l’incertitude sus nommée, celle épistémique de type « choix du modèle » de conversion PGA – pseudo-intensité.

On obtient une distribution de possibilité de noyau {8,44} et de support [7,21 ; 8,61].

Le plateau au degré de vraisemblance 0,6 traduit la hiérarchisation des lois de conversion par l’expert.

A titre d’illustration, on montre comment déduire de cette information riche une unique valeur d’intensité macrosismique.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8

Pseudo-intensité

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance VII VIII IX

Figure 6-13 : Déduction de la valeur d'intensité macrosismique la plus vraisemblable – polygone N°100

Les degrés d’appartenance du pixel aux classes floues macrosismiques sont :

- VII : 0,58

- VIII : 0,72

- IX : 0,58



L’intensité macrosismique la plus vraisemblable compte tenues des incertitudes liées au microzonage sismique et aux lois de conversion est donc VIII.

Incertitude sur la proportion d’enjeux en état de dommage Dk(k :0 ;5)

On illustre le propos sur l’exemple de la proportion d’enjeux dans l’état D3.

L’incertitude sur le résultat final est une distribution de possibilité de noyau {35,1 %} et de support [3,3 % ; 35,9 %]. Afin d’apprécier l’imprécision, on donne l’indicateur « intervalle moyen » de cette distribution : [16 % - 35 %]. La longueur L de cet intervalle mesure l’imprécision : L = 19 %.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Proportion d'enjeux en état de dommage D3 (%)

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

Figure 6-14 : Distribution de possibilité associée à la proportion d'enjeux dans l'état de dommage D3 – polygone n°100

Remarque : la représentation est laissée délibérément sous forme « non lissée » pour mettre en évidence que la propagation est une opération de discrétisation réalisée avec un découpage de la fonction continue (10 α-coupes).

On ne préconise pas de synthétiser l’information par la seule donnée de l’intervalle moyen. Il y aurait en effet une nette perte d’information notamment en termes de hiérarchisation des valeurs vraisemblables. On propose l’approche suivante.

L’information riche peut être synthétisée en étudiant la probabilité de l’évènement « Dépasser la proportion seuil ».

Dans un premier temps, on choisit comme seuils, le résultat présenté dans le rapport, à savoir :

ND0 ND1 ND2 ND3 ND4 ND5

1 6 15 19 11 2

A chaque seuil, on associe le double indicateur probabilité basse et haute de le dépasser.



Probabilité Basse ND Probabilité Haute

D0 0 1 1

D1 0 6 1

D2 0 15 1

D3 0 19 1

D4 0 11 1

D5 0 2 1

On est dans le domaine du « possible » de l’évènement « Dépasser le seuil » : ce résultat est en totale cohérence avec le choix des représentations des paramètres d’entrée. En effet, on a fait le choix de toujours donner le plus de vraisemblance aux paramètres utilisés dans l’étude initiale (noyau des fonctions de possibilités). En d’autres termes, le résultat présenté au décideur est le résultat jugé le plus vraisemblable (le plus informatif), mais aussi le plus risqué. A contrario, si l’on avait donné la plage de valeurs correspondant au support (degré de vraisemblance nul), le résultat que l’on aurait présenté aurait été le plus prudent (on est certain de trouver la valeur « réelle » dans l’intervalle), mais aussi le moins informatif.

On préconise de donner le résultat de la simulation accompagné de l’indicateur unique « moyenne des probabilités basse et haute », qui vaut ici 0,5. L’indicateur traduit le « doute » lié à l’imprécision des paramètres d’entrée.

On réalise la même étude en utilisant cette fois un seuil fixe pour chaque état de dommage, à savoir 30 %.

Probabilité Basse Probabilité de dépasser :

Probabilité Haute

D0 0 30 % 0,2

D1 0 30 % 0,6

D2 0 30 % 0,9

D3 0,2 30 % 1

D4 0 30 % 0,7

D5 0 30 % 0

Ce résultat s’interprète de la manière suivante :



D0 L’évènement « Dépasser 30 % d’enjeux en état de dommage D0» est dans le domaine du « plausible » et est très proche du domaine de « l’impossible » : L’indicateur unique vaut 0,1.

D1 L’évènement « Dépasser 30 % d’enjeux en état de dommage D1» est dans le domaine du « plausible » avec un indicateur unique égal à 0,3.

D2 L’évènement « Dépasser 30 % d’enjeux en état de dommage D2» est très proche du domaine du « possible » avec un indicateur unique égal à 0,45.

D3 Il est « crédible » que l’on dépasse le seuil de 30 % d’enjeux en D3.

D4 L’évènement « Dépasser 30 % d’enjeux en état de dommage D4» est proche du domaine du « possible » avec un indicateur unique égal à 0,35.

D5 Il est impossible que l’on dépasse 30 % d’enjeux dans cet état de dommage.

6.4.2. POLYGONE N°69, cas de l’inventaire imprécis

Description

Type d’occupation du sol CENTRE VILLE



Zone géotechnique Majoritairement dans la zone N°6, une partie NE au rocher et une partie Ouest proche de la frontière avec la zone N°


Nombre de types de structures 3 types : M11M12, M32 et M31RC31



Figure 6-15: Localisation du polygone d'enjeux N°69


Dans la zone au rocher, il n’y a pas d’incertitude sur la valeur du PGA au sol : il vaut 200 mg.

Dans la zone n°6, l’incertitude sur le PGA au sol résulte de la propagation des incertitudes épistémiques de type « valeur » du coefficient d’amplification de la zone n°6, qui sont représentées par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {1,6} et de support [1 ; 1,8]. On retrouve classiquement une distribution de possibilité triangulaire pour le PGA au sol de noyau {320 mg} et de support [200 mg ; 360 mg].

Dans la zone de dilution, l’incertitude sur le PGA au sol résulte de la propagation de deux types d’incertitudes :

- l‘incertitude épistémique liée aux valeurs des cœfficients d’amplification des zones N°1 et N°6 (distribution triangulaire de noyau {2} et de support [1,4 : 2,2])

- l’incertitude sur la localisation de la frontière (« dilution »).

L’incertitude sur le PGA au sol dans cette zone résulte de la fusion de ces données par l’opérateur exposé dans le chapitre 3. On obtient une distribution de noyau {340 mg} et de support [200 mg ; 440 mg] avec un « plateau » constant à 0,5 résultant du conflit entre les sources d’informations.



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

150 200 250 300 350 400 450 500

PGA au sol (mg)

Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

Zone n°6Zone de dilution avec la zone

Figure 6-16 : Incertitude sur le PGA au sol - polygone n°69


Dans la zone au rocher, l’incertitude sur la pseudo-intensité est représentée par un intervalle [6,80 ; 7,13].

Dans la zone géotechnique N°6, l’incertitude sur la pseudo-intensité est représentée par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {8} et de support [6,8 ; 8,24] ave un plateau à 0,6 traduisant la hiérarchisation des lois de conversion en fonction de leur vraisemblance.

Dans la zone de dilution, l’incertitude est représentée par une distribution de possibilité de noyau {8,14} et de support [6,8 ; 8,62] avec un « plateau » à 0,6 et à 0,5 (traduisant l’incertitude de dilution).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

6.5 7 7.5 8 8.5 9

Pseudo-intensité

Deg

ré d

e Vr

aise

mbl

ance

Zone n°6Zone de dilution avec la zone n°1

Figure 6-17 : Incertitude sur la pseudo-intensité - polygone d'enjeux n°69




• Evaluation de l’erreur d’évaluation des proportions

Le polygone d’enjeux est un centre ville à très forte densité. Le nombre de types de bâtiments présentes est « moyen », mais l’écart des types est important. En effet, le type M31RC31 a un indice de vulnérabilité de 0,571 alors que celui des types M11M12 et M32 est autour de 0,8. Un échantillonnage au sens statistique du terme (« tirage aléatoire ») est difficilement réalisable. Il s’est réduit à une évaluation qualitative des proportions d’enjeux lors du cheminement dans les rues du quartier.

Dans ce contexte, on ne préconise pas une approche probabiliste, l’échantillonnage étant bien trop imprécis. On préconise une approche possibiliste en construisant une distribution de possibilité triangulaire à partir de l’évaluation de l’erreur commise.

Dans ce but, on utilise une défuzzyfication des classes floues associées aux qualitatifs « forte précision », « précision moyenne » et « faible précision » à partir d’un raisonnement approximatif utilisant les critères du nombre de types de bâtiments et de densité du polygone d’enjeux.

On détaille la procédure d’évaluation de l’erreur :

1. Caractérisation du polygone dans les classes floues « critère » :

Classe Degré d’appartenance

Faible densité 0

Densité moyenne 0,43

Forte densité 0,57

Faible hétérogénéité 0

Hétérogénéité moyenne 1

Forte hétérogénéité 0

2. Application des règles logiques et composition par méthode Min –Max :

Classe Degré d’appartenance

Faible erreur 0



Erreur moyenne 0,43

Forte erreur 0,57

3. Defuzzyfication

Cette étude a permis d’évaluer une erreur de 13,8 % traduisant à la fois la forte densité du polygone et son hétérogénéité « moyenne » (seulement trois types).

• Illustration de la propagation sur le cas des proportions d’enjeux en D3

On présente l’incertitude sur les proportions d’enjeux en état de dommage D3.

- Dans la zone au rocher, l’incertitude est représentée par une distribution de noyau {8 %} et de support [0,3% ; 35,6%]. L’intervalle moyen est [2,5% ; 23,6%] et l’indicateur d’imprécision vaut 21,1 %.

- Dans la zone géotechnique N°6, on obtient une distribution de noyau {27,2 %} et de support [0,3% ; 35,9%]. L’intervalle moyen est [7,3% ; 33,8 %] et l’indicateur d’imprécision vaut 26,5 %.

- Dans la zone de dilution, on obtient une distribution de noyau {24,8 %} et de même support. L’intervalle moyen vaut [8,7% ; 34,4 %] et l’indicateur d’imprécision vaut 25,7 %.

L’imprécision est à peu près équivalente dans les zones N°6 et de dilution. L’imprécision est la plus faible dans la zone au rocher.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Proportions d'enjeux en état de dommage D3 (%)

Deg

ré d

e Vr

aise

mbl

ance

Zone n°6Zone de dilution avec la zone Zone au rocher

Figure 6-18 : Incertitude sur les proportions d'enjeux en état de dommage D3 - polygone n°69

On synthétise cette information « riche » en comparant le résultat de la propagation au seuil 30 %.

Zone Probabilité basse Probabilité Haute



Au rocher 0 0,3

Zone n°6 0 0,8

Zone de dilution 0 0,9

L’évènement « Dépasser le seuil de 30 % » est dans le domaine du « plausible » à des degrés différents : la vraisemblance que le seuil dépasse 30 % en état de dommage D3 est le plus fort dans la zone de dilution et le plus faible dans la zone au rocher, ce qui apparaît cohérent au regard de la représentation des incertitudes liées aux effets de site lithologiques.

Afin de donne rune information synthétique au niveau du polygone, on propose de donner les extrema des indicateurs :

D0 D1 D2 D3 D4 D5

Min des probabilités basses

0 0 0 0 0 0

Max des probabilités basses

0 0.3 0.2 0 0 0

Min des probabilités hautes

0.6 0.8 0.8 0.3 0 0

Max des probabilités hautes

0.9 1 1 0.9 0.5 0.2

On interprète le résultat pour le degré de dommage D2. Une approche pessimiste utiliserait les indicateurs « maximum », à savoir 0,2 et 1, ce qui indique qu’il est « crédible » de dépasser 30 % d’enjeux en état de dommage D2. Par contre, une approche optimiste utiliserait les indicateurs « minimum », à savoir 0 et 0,8, ce qui indique que dépasser 30 % d’enjeux en dommage D2 est « plausible» et très proche du « possible ».

6.4.3. Polygone N°1, cas de l’échantillonnage statistique

Description

Type d’occupation du sol LOTISSEMENT





Zone géotechnique Majoritairement au rocher avec une partie méridionale dans la zone n°6


Nombre de types de structures 2 types : M32 et M33


Le PGA au sol dans al zone au rocher est de 200 mg. Dans la zone géotechnique N°6, il est représenté par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {320 mg} et de support [200 mg ; 360 mg].

Aucune incertitude de « dilution » n’a été considérée dans ce cas, car on considère que la délimitation entre une zone franche au rocher et une zone de sol est réalisée avec certitude.


L’incertitude sur la pseudo-intensité dans la zone au rocher est représentée par un intervalle [6,8 ; 7,13]. Dans la zone n°6, elle est représentée par une distribution de possibilité triangulaire de noyau {8} et de support [6,80 ; 8,24].


La densité du polygone est relativement importante. Par contre, l’hétérogénéité des types est faible : il n’y a que deux types d’enjeux, qui ne diffèrent que par des facteurs aggravants. En effet, l’indice de vulnérabilité de M32 est 0,776, alors que celui de M33 est 0,704.

On peut considérer que l’échantillonnage des bâtiments a pu être réalisé correctement au sens statistique du terme (tirage aléatoire). On préconise une approche probabiliste. On considère une taille de l’échantillon représentant 1/3 de la population totale. On représente ainsi l’incertitude sur ce paramètre par une distribution de probabilité gaussienne de moyenne 0,5 et d’écart-type

065,059)5,01(5,0 =−⋅=σ .

Une telle approche implique de fusionner des informations hybrides en termes de représentation (possibiliste et probabiliste). On utilise donc l’approche HYRISK, pour représenter l’incertitude sur le résultat final, qui prendra la forme d’une famille de distributions de possibilités La taille de cette famille est fixée par le nombre de simulations choisi pour l’échantillonnage de la loi de probabilité. On a choisi une simulation de 1000 itérations.

A titre d’illustration, on présente les distributions de possibilités des proportions d’enjeux en dommage D3 de la 800ème itération.



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Deg

ré d

e vr

aise

mbl

ance

incertitude dans la zone au rocher ; 800ème itérationincertitude dans la zone N°6 ; 800ème itération

Figure 6-19 : Incertitude sur les proportions d’enjeux en état de dommage D3 (800ème itération) - polygone N°1

Le résultat est riche et est synthétisé en le comparant au seuil de 30 %.

Zone Probabilité basse Probabilité Haute

Au rocher 0 0

Zone n°6 0 0,7

Dans la zone au rocher, il est « impossible » de dépasser 30 % d’enjeux en degré de dommage D3, alors que dans la zone géotechnique, cet évènement est « plausible » voire « possible ».

A titre de synthèse, on donne les extrema des indicateurs.

D0 D1 D2 D3 D4 D5

Min des probabilités basses

0 0 0 0 0 0

Max des probabilités basses

0 0.5 0.3 0 0 0

Min des probabilités hautes

0.6 0.9 0.7 0 0 0

Max des probabilités hautes

0.8 1 1 0.7 0.1 0



On interprète ce tableau de la façon suivante :

- Il est « impossible » de dépasser le seuil de 30 % d’enjeux en D5.

- Il est « faiblement » plausible (le caractère « faible » vaut 0,1) voire impossible de le dépasser en D4

- Il est « plausible » voire « possible » de le dépasser en D3.

- Il est « crédible » de le dépasser en D2 et D1

- Il reste « plausible » de le dépasser en D0.

6.5. PROPAGATION GLOBALE

On présente le résultat de la propagation des incertitudes sur l’ensemble de la zone d’étude pour les proportions d’enjeux en état de dommage D3.

La propagation a été réalisée avec un découpage en 10 α-coupes et 1000 itérations pour les polygones « hybrides » (représentation possibiliste et probabiliste).

Ce résultat prend la forme de deux cartes : la carte de répartition des probabilités basses et celle des probabilités hautes de dépasser 30 % d’enjeux en D3.



Figure 6-20 : Probabilité Basse de dépasser 30 % d'enjeux en D3

Figure 6-21 : Probabilité Haute de dépasser 30 d'enjeux en D3

Afin d’intégrer ce résultat dans une aide à la décision efficace, on propose de mettre en évidence les zones, où il est « au moins possible » de dépasser le seuil i.e. les zones dont la probabilité haute est constante et égale à 1 et les zones dont la probabilité basse est supérieure ou égale à 0.



Figure 6-22 : Zone «au moins possible» de dépasser 30 % d'enjeux en état de dommage D3



7. Conclusions et Perspectives

7.1. BILAN

7.1.1. Analyse des incertitudes

L’analyse des incertitudes le long de la chaîne de traitement ARMAGEDOM, [Sedan et Mirgon, (2003) – Rapport BRGM] a permis de mettre en évidence les points suivants :

- Les deux sources d’incertitude (aléatoire et épistémique) sont présentes.

- La plupart des paramètres de nature aléatoire (coefficient d’amplification, répartition des types de bâtiments…) sont entachés d’une incertitude épistémique, car pour des raisons évidentes de délais, de coûts opérationnels et d’échelle d’étude, les informations dont on dispose sont plus ou moins complètes, vagues et/ou imprécises.

- Tous les types d’incertitudes épistémiques sont présents i.e. la subjectivité de l’expert intervient tant au niveau de l’évaluation des paramètres quantitatifs qu’au niveau des choix de modélisation.

7.1.2. Outils mathématiques de représentation

Le cadre formel pour représenter les incertitudes aléatoires est celui des probabilités. Par contre, ce cadre ne peut pas être appliqué tel quel pour représenter l’information imprécise, car on ne dispose d’aucune information sur la nature de la distribution de probabilité « réelle ».

On se place dans le cadre de la théorie des possibilités [Dubois D., et Prade H., (1988)], qui a pour avantages :

- D’être flexible par rapport à la quantité et à la qualité d’informations - D’être opérationnelle en termes de programmation (arithmétique des intervalles

flous) - D’être combinable avec des informations de nature purement aléatoire dans le

cadre unificateur de la théorie de des évidences de Dempster-Shafer

7.1.3. Propagation

Au regard de l’hétérogénéité des types d’incertitudes, on s’est dirigé vers une approche préconisant une représentation cohérente de l’information effectivement accessible (qualité et quantité) pour chaque paramètre du modèle de traitement ARMAGEDOM en ne traitant pas les incertitudes épistémiques de type « hypothèses simplificatrices du modèle ».



Lorsque toutes les incertitudes ont été représentées dans le cadre possibiliste, la propagation s’est faite dans le cadre de l’arithmétique des intervalles flous (découpage par α-coupes).

Dans un cadre hybride (incertitudes traitées dans le cadre possibiliste et probabiliste), on propage les incertitudes en se basant sur l’approche HYRISK [Guyonnet et al., (2005) – Rapport BRGM] en considérant les courbes de risques introduites dans la méthodologie Risk-UE, niveau 1, [Lagomarsino et Giovinnazzi, (2006)], comme des fonctions de l’ensemble des réels vers l’intervalle unité, qui associe à un degré moyen de dommage µD une proportion d’enjeux dans l’état de dommage Dk considéré (D0 : « pas de dommage ».. D5 : « dommage maximal »). On notera à ce niveau que les outils exposés sont parfaitement indépendants du modèle considéré. Les difficultés essentielles rencontrées ont été liées au modèle de risque sismique non encore stabilisé sur plusieurs points : on pensera notamment aux effets de site topographiques, à la prise ne compte du terme de dispersion des lois d’atténuation, à la façon d’interpréter les courbes de risques de la méthodologie Risk-UE, niveau 1, …

7.1.4. Valorisation de l’information sur les incertitudes

L’information produite par la propagation des incertitudes est « riche » (famille de distributions de probabilités dans le cas possibiliste et famille de distributions de possibilités dans le cas hybride).

Afin que l’information puisse être utilisée dans le cadre des SIG pour une aide à la décision, plusieurs post-traitements peuvent être envisagés :

1. Donner l’intervalle correspondant à un degré de vraisemblance donné. Cela suppose de s’accorder sur la valeur du degré de vraisemblance avec l’ambiguïté suivante : si l’on choisit le degré maximal, on obtient l’intervalle le plus informatif en termes de vraisemblance, mais aussi le plus risqué. A contrario, si l’on choisit le degré de vraisemblance minimal, on est sûr de trouver dans cet intervalle la valeur « réelle » (prudence maximale), mais c’est l’intervalle le moins informatif (grande plage de valeurs).

2. Donner l’intervalle moyen de la distribution de possibilité finale. On perd cependant toute l’information sur les extrémités et celle sur la hiérarchisation des intervalles emboîtés.

3. Comparer le résultat à un seuil de décision, mais cela suppose de s’accorder sur un seuil unique de tolérance.

L’avantage du dernier post-traitement, introduit par [Baudrit C., (2005) – Thèse] est de se placer dans un cadre familier a priori du décideur, à savoir celui des probabilités.

Dans le cadre « incertain » auquel on fait face dans l’évaluation du risque sismique, il serait peu opportun de donner une unique valeur de probabilité. Le dernier post-



traitement propose de donner un encadrement de la probabilité de dépasser le seuil de décision. A partir des valeurs des indicateurs de probabilité basses et hautes, on est alors capable de qualifier l’occurrence de l’évènement : « impossible », « plausible », « possible », « crédible » et « certain » de dépasser un seuil de décision donné.

7.2. SYNTHESE

7.2.1. Etape I : « Etude de l’agression sismique »

Phase Paramètre Source d’incertitude

Nature de l’incertitude

Représentation

Construction de la loi à partir de données observées

Aléatoire imprécis

Distribution de possibilité affinée par la connaissance de la moyenne et de l’écart-type.

Choix du ou des modèles

Epistémique de type « choix de modèle »

Distribution de possibilité englobant toutes les valeurs vraisemblables issues des modèles retenus

I.1. Atténuation

Loi d’atténuation


Epistémique de type « valeur »

Intervalle ou selon l’information, distribution de possibilité trapézoïdale

Modélisation du phénomène par un coefficient multiplicateur


Incertitude non traitée



Distribution de possibilité trapézoïdale



Localisation des effets

Epistémique de type « localisation »

Zone associée à un ensemble flou




Modélisation du phénomène par un coefficient multiplicateur


Incertitude non traitée


Valeur et localisation du coefficient


Traitement déterministe à partir des recommandations AFPS90 (modèles scientifiques non encore stabilisés)

Dans les zones de « doute », représentation par un intervalle

7.2.2. Etape II : « Conversion en Intensité macrosismique »



Représentation

II.1.

Passage à la pseudo-intensité

Loi de corrélation PGA en pseudo-intensité

Choix de la loi Epistémique de type « choix d’un modèle »

Distribution de possibilité englobant toutes les valeurs vraisemblables issues des modèles retenus

II.2.

Passage à l’intensité macrosismique

(-) Passage d’une variable continue à une variable discrète

Perte d’informations

Raisonnement par ensembles flous affectés à chaque classe d’intensité macrosismique



7.2.3. Etape III : « Vulnérabilité »



Représentation


Nature même des indices


Distribution de possibilité affinée selon les informations disponibles

II.1. Fonctions d’endommagement


Valeur issue d’un consensus entre experts


Distribution de possibilité construite par la méthode (3) « consensus »

II.2. Répartition des enjeux

Proportion des types de bâtiments dans un quartier


Selon le cas, paramètre purement aléatoire ou paramètre aléatoire imprécis

Selon le degré de connaissances, traitement possibiliste ou probabiliste

II.3. Prédiction des dommages


Calcul d’un indice de vulnérabilité moyen OU moyenne des proportions d’enjeux pour chaque maille du polygone discrétisé


Incertitude non quantifiée

7.3. PERSPECTIVES PUREMENT « RECHERCHE »

7.3.1. Perspective n°1 : « Affiner la cohérence de représentation de l’information réellement accessible»

Le cadre des probabilités permet de traiter de manière rigoureuse les incertitudes aléatoires connaissant la forme de la variabilité (normale, lognormale,…). Cependant, l’imprécision à laquelle on fait face dans l’évaluation du risque sismique ne permet pas de traiter les incertitudes par une unique distribution de probabilité. Le choix arbitraire



de la nature de la distribution est traité rigoureusement par la théorie des possibilités, qui définit une famille de distributions de probabilités- [Dubois et Prade, (1988)], à partir de l’information effectivement disponible.

Cette approche plus cohérente par rapport à l’information d’entrée peut cependant être améliorée sur plusieurs points.

(a) Représentation des modèles probabiliste paramétrique imprécis

La situation intermédiaire entre l’exacte connaissance de la forme de la variabilité (cadre probabiliste) et celle sans connaissance a priori (cadre possibiliste) peut apparaître lorsque « l’expert est en mesure de fournir la forme de la variabilité sans pour autant pouvoir spécifier de manière exacte les paramètres définissant la loi » – [Baudrit C., (2006)] : ce sont les modèles probabilistes paramétriques imprécis.

L’intérêt de développer cette voie est clairement souligné par le traitement de l’incertitude liée à la dispersion des lois d’atténuation. Pour parer à l’incertitude de calage de la loi lognormale et pour prendre en compte l’information au-delà du domaine dit « non fiable », nous avons proposé dans Vulnerisc–Armagedom, 2006 une représentation de l’information par la famille de probabilités encadrant toutes les distributions de même médiane et de même écart-type.

L’imprécision pourrait être réduite (à savoir la taille de la famille) en s’appuyant sur le jugement de l’expert et sur sa compréhension des phénomènes physiques associés, qui permettrait d’apporter l’information supplémentaire : « la variabilité des observations sur les PGA est exactement décrite par une loi lognormale, mais sa moyenne et son écart-type me sont inconnues ».

(b) Synthétiser les modèles probabilistes paramétriques imprécis

Le développement de ce point trouve son intérêt dans l’exploitation de la méthodologie Risk-UE, niveau 1. Dans le travail présenté, nous avons considéré des fonctions associant à une degré moyen de dommage µD une proportion d’enjeux dans l’état de dommage Dk (D0 : « pas de dommage »... D5 : « dommage maximal ») considéré. De manière plus rigoureuse, les courbes de risques sont en fait des distributions « beta » probabilistes. Le paramètre de la loi « beta » dépend de µD, qui dépend de l’étude de vulnérabilité (indice de vulnérabilité et répartition des enjeux) et de l’étude de l’agression sismique (intensité macrosismique). L’incertain des paramètres d’entrée du modèle se propage donc jusqu’à µD, devenue ainsi paramètre imprécis représenté par une distribution de possibilité.

Dans le cas « classique », à un paramètre déterministe µD est affectée une unique courbe de risque. Dans le cas « imprécis », le paramètre est représenté par un ensemble d’intervalles emboîtés hiérarchisés selon leur degré de vraisemblance : le résultat de propagation est donc une famille de lois de probabilité « beta » (i.e. un modèle probabiliste paramétrique imprécis). Il s’agit donc de synthétiser cette information dans l’optique d’une aide à la décision à la gestion de risque.



Le point (b) a fait l’objet de travaux de recherche au mois de décembre 2006 et est exposé dans l’article [Rohmer J., 2006, (soumis)].

(c) Fusion d’opinions « expert »

Une critique majeure de la théorie des possibilités est le choix subjectif de l’interpolation entre le noyau et le support (souvent choisie « linéaire »), ce qui peut conduire à prendre en compte des mesures de probabilités sans réel sens physique i.e. à surestimer l’imprécision.

Un développement pour réduire cette imprécision (donc réduire la taille de la famille de distributions de probabilité) identifié dans [Douglas J., (2004) – Rapport BRGM] serait de prendre en compte l’opinion de plusieurs experts, ce qui permettrait d’affiner la transition entre noyau et support. L’intérêt de ce développement est clairement identifié au niveau de la représentation de l’information sur l’indice de vulnérabilité des bâtiments.

Une réflexion est donc à apporter sur : - La représentation et la pondération de l’opinion de plusieurs experts. - L’agrégation de cette information dans un cadre unificateur [Destercke S. et

Dubois D., (2006)] - La propagation de cette information avec le reste des incertitudes de la chaîne

de traitement ARMAGEDOM

7.3.2. Perspective n°2 : « Amélioration de la représentation des incertitudes liées aux effets de site »

L’évaluation des effets de site lithologique est directement liée à la caractérisation géotechnique du sol. Les paramètres de caractérisation géotechniques sont nombreux- cf. « Guide méthodologique pour la réalisation d’études de microzonage sismique (tableau III.1. p C-8)» ; [AFPS, (1993)]. La caractérisation géotechnique dépend donc de façon drastique des données de base disponibles.

La proposition faite dans le projet Vulnerisc–Armagedom, 2006 est de supposer l’existence de zones homogènes d’amplification lithologique. Sous ce couvert, on traite l’incertitude liée à la valeur du coefficient d’amplification et celle liée à la localisation de la frontière entre ces différentes zones.

L’inconvénient majeur de cette approche est de sacrifier une information riche à savoir celle sur la répartition spatiale des mesures physiques, qui est synthétisée actuellement par le seul jugement d’expert sur la précision de la localisation de la frontière.

Une réflexion est donc à apporter sur la combinaison des outils de l’incertain avec les outils SIG (Système d’Information Géographique) – [Malpica et al., (2006)], et plus particulièrement :

- L’apport de la géostatistique dans un tel contexte.



- L’apport des méthodes de traitement et de fusion de données spatiales.

7.4. PERSPECTIVES « RECHERCHE ET DEVELOPPEMENT »

7.4.1. Mode de représentation des résultats et de l’incertitude associée

La version opérationnelle actuelle d’ARMAGEDOM, qui ne gère pas les incertitudes, propose une restitution des données de base, des résultats intermédiaires et finaux essentiellement sous forme de cartes et de tableaux de valeurs numériques.

Le traitement des incertitudes permet de disposer in fine d’une information beaucoup plus riche, par exemple sous forme d’une série d’intervalles emboîtés, hiérarchisés selon leur degré de vraisemblance. Plusieurs modes de restitution, devant concilier lisibilité et perte d’information minimale, peuvent être envisagés. Certains sont proposés dès à présent, d’autres restent à déterminer (ex : nombre de bâtiments effondrés dans un secteur + ou – une valeur fonction d’un niveau de vraisemblance fixé; probabilité haute et basse que ce nombre soit supérieur à un seuil donné, etc...).

A priori, la programmation du « moteur gestion des incertitude » a été conçue pour ne pas contraindre tel ou tel type de restitution.

Par ailleurs, les modes de représentation qui seraient à retenir sont fortement dépendants de la nature des acteurs à qui l’information est destinée.

Il est donc proposé de déterminer une série de modes de restitution, de les mettre en œuvre pour un cas concret, et de les soumettre à différentes catégories d’acteurs du risque sismique (scientifique, technique, politique, grand public).

7.4.2. Validation des outils et méthodes d’aide à l’appréciation par le ou les experts du niveau d’erreur qu’il affecte à son jugement.

Le présent rapport a permis de mettre en évidence certains secteurs d’analyse de paramètres pour lesquels le niveau d’incertitude est fortement déterminé par les moyens opérationnels disponibles et les coûts.

C’est par exemple le cas de la détermination, au sein d’un quartier, des proportions de différents types de construction (typologie basée sur la vulnérabilité du bâti). Cette détermination est le plus souvent faite par appréciation d’expert, expert qui a du mal à estimer l’incertitude associée à son jugement. D’où la mise au point d’une méthode faisant d’une part intervenir la logique floue, d’autre part une série de critères « objectifs » (densité, hétérogénéité,...) pour quantifier l’incertitude (approche par « raisonnement approximatif » - [Zadeh L.A., (1975)].

Dans ce cas, la vérification « expérimentale » des méthodes et critères « objectifs » est possible, car il est concevable de déterminer par enquête détaillée avec un pointage partiel ou systématique les valeurs de ces proportions et d’en déduire ainsi l’incertitude associée. Cette analyse devrait être conduite sur plusieurs types de quartier, avec avis



préalable de plusieurs experts « indépendants », et ce en testant différents critères « objectifs » : On s’est limité à deux critères cette année, dont l’hétérogénéité typologique, qui peut par exemple être déclinée en hétérogénéité spatiale et hétérogénéité temporelle de l’habitat au sein du quartier.

7.4.3. Intégration de la chaîne de traitement des incertitudes dans une version opérationnelle d’ARMAGEDOM.

Le développement exposé dans ce rapport a visé dans sa phase préliminaire à tester la faisabilité d’un tel traitement, servant également à mettre en évidence les « points durs » nécessitant un effort de recherche et de réflexion particulier. Par ailleurs, le parti a été pris d’utiliser au maximum des modules existant d’ARMAGEDOM pour faciliter une intégration future. Dans cette perspective, il conviendra cependant d’axer un effort important pour optimiser l’algorithme d’échantillonnage Monte-Carlo en particulier en tenant compte des améliorations apportées dans [Rohmer J., 2006, (soumis)].

7.4.4. Tests de sensibilité sur les différentes composantes d’un scénario de risque sismique

Des premiers tests de cette nature ont été réalisés dès cette année. Ils tendent par exemple à montrer que la dispersion de la loi d’atténuation est un facteur majeur de l’incertitude portant sur l’évaluation des dommages.

Les conséquences opérationnelles de cette démarche de tests de sensibilité sont évidentes : ils vont permettre de définir le niveau d’effort d’acquisition des différents paramètres nécessaires à un traitement cohérent tout au long de la chaîne. Ils vont également pouvoir être utilisés pour justifier, de manière objective, les choix opérationnels qui sont faits.

Par ailleurs, ils peuvent jouer un rôle d’aide à la décision lors de la détermination des secteurs devant bénéficier d’un effort particulier de recherche.



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Annexe 1

Caractéristiques des polygones d’enjeux de Lourdes



Annexe 2

Valeurs numériques (Cas de démonstration)



Coefficients d’amplification lithologiques

(2) Indices de vulnérabilités

Centre scientifique et technique

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BP 6009 – 45060 Orléans Cedex 2 – France – Tél. : 02 38 64 34 34

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