Modélisation d’un matériau

viscoélastique par formulation

incrémentale établie en relaxation

Établie par :

Omar Saifouni

Jean François Destrebecq

Rostand Moutou-Pitti

CLUB CAST3M - 2012 1

Plan de la présentation

Comportement viscoélastique ;

Formulations incrémentales ;

Implémentation sous Cast3m ;

Simulation numérique ;

Conclusions & perspectives.

2

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

1. Comportement viscoélastique linéaire

σ0

t t0 t1

σ (t)

t t0 t1

ε (t)

Exp. de fluage Exp. de recouvrance

Expérience de fluage Expérience de relaxation

Certains matériaux son caractérisés par un comportement différé, qui se

manifeste de la manière suivante :

t

dtRt0

,

(Équations

de Boltzmann)

Mise en œuvre numérique

ε0

t t0 t1

σ (t)

t t0 t1

Exp. d’effacement

ε (t)

Exp. de relaxation

Lois de comportement

t

dtJt0

, J : fonct. de fluage

R : fonct. de relaxation

3

2. Résolution d’un problème viscoélastique

Formulation incrémentale en relaxation

R (série de Dirichlet)

Equation linéaire

(thermoélastique équivalent)

librehist ΔσtσΔεEΔσt ~

:

Approximation sur

Incrémenter sur un pas de temps fini

4

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

r Eet : paramètres du modèle rhéologique de Maxwell

Maxwell généralisé

2.1 Fonction de relaxation :

rtt

eEEttR1

000,

E

avec

𝐸0

𝐸1 𝜂1

𝜂𝑟 𝐸𝑟

5

On écrit la fonction de relaxation sous la forme d’une série de Dirichlet :

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Approche linéaire Approche de Simpson

Approcher déformation

par une forme linéaire

Approcher déformation par

un polynôme de Lagrange

du 2ième degrés

𝜀 𝜏 =∆𝜀

∆𝑡𝑘= constante 𝜀 𝜏 =

8

𝛥𝑡2 𝜀 𝑡 − 𝜀 𝑡 +

𝛥𝜀

2 𝜏 − 𝑡 −

𝛥𝑡

2 +

𝛥𝜀

𝛥𝑡

𝑡 = 𝑡 +𝛥𝑡

2 Avec

Approximation sur

ε

∆t

∆ε

t 6

2.2 Approximation sur la vitesse de déformation :

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

tσtσΔεEΔσtt, librehist ~

:

rt

et

EEE

10 1

~

tσetσ μ

r

μ

Δtαhist μ

1

1

Avec

Module d’élasticité Fictif histoire de chargement

Incrémentale linéaire :

rt

ett

EEE

10 11

44

~

ΔtαΔtα

Etttσetσ

μμ

μ

r

μ

Δtαhist μ 1

2

181

1

Avec

Incrémentale Simpson :

7

2.3 Forme finale :

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Organigramme du programme

implémenté sous Cast3m

Pas de calcul suivant

Données : Géométrie, Caractéristiques

mécaniques (Maxwell), chargement.

Calcul viscoélastique :

- Matrice de rigidité fictive

- Contrainte histoire thist

- Résolution (MEF)

- Actualisation des variables ttt ,,

Résultats

- Déformations t

- Contraintes t

Fin

Début

8

3.1 Implémentation éléments finis sous Cast3m

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

1ière étape : Par multiplication des pas de temps :

Détermine le plus grand pas de temps ∆t qui sera utilisé pour faire la translation.

Le 1ier pas de temps : calcul Classique, les autres pas de temps : Simpson (∆ti+1=2×∆ti)

2ième étape : Par translation et chevauchement des pas de temps :

Pour une précision souhaitée d’un pas choisi, on continu par translation avec des pas

de temps constant (∆ti+1=∆ti ) selon le schéma suivant :

t0 t1 t2 t3

∆t1

∆t2

∆t3

∆t4

∆t5

∆t6

t4 t5 t6 temps

Par multiplication

Par translation

9

3.2 Choix du pas de temps / Approche de Simpson

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

3.3 Validation de l’approche de Simpson

On calcul la déformation d’une barre en compression sous cast3m par

les deux approches incrémentales (linéaire et Simpson).

Les résultats sont comparés aux résultats analytiques exactes.

Modèle rhéologique proposé est un Zener.

𝐸0

𝐸1 𝜂1

Modèle de Zener

10

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 10 20 30 40 50Temps/θ

Déformation x 10-06

0,00E+00

5,00E-05

1,00E-04

1,50E-04

2,00E-04

2,50E-04

3,00E-04

3,50E-04

0 10 20 30 40 50

Erreur

Temps/θ

Linéaire

SimpsonCourbes de l’erreur relative

calculée par rapport aux

résultats analytiques exactes.

Courbe de déformation

(courbe de fluage)

11

3.4 Comparaison approches

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

4. Simulation d’une armature d’angle

1 2A L12

Caractéristiques du béton

Classe C25/30

Âge 20 ans

Présentation du modèle

Caractéristiques de l’acier

ν s = 0,3

Es = 210 GPa

νc = 0,2

Ec = 34,6 GPa

12

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Multimatériaux à

comportement différent

Béton

Viscoélastique Acier

Élastique

13

4.1 Lois de comportement

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Loi de comportement viscoélastique 3D

et : paramètres du modèle de Maxwell

Maxwell généralisé

adimensionnel

1 1

2 2

r r

0

Tenseur de relaxation isotrope :

R(t,t0) = ρ(t,t0) Ac

rtt

ett1

000,

1

0

r

et

dttt

εRσ 0

,

14

4.2 Béton / Formulation incrémentale : cas 3D isotrope

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Finalement :

ttt histσΔεAΔσ :

~:,

cAA

r t

t

e

10

1~

tetr

t

μhist

σσ

1

1

Avec

Tenseur d’élasticité Fictif Tenseur d’histoire de chargement

dtt

t

εAσ 0

c ,

15

4.2 Béton / Formulation incrémentale : cas 3D isotrope

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Identification des paramètres

du modèle de Maxwell

(moindres carrés)

Calcul de r(t,t0) par l’inversion de la

fonction de fluage j(t,t0)

100

dτ,τtr

τ

τ,tj,ttrt,tj

Branche (jour-1)

1 - 0,602

2 0,1 0,177

3 0,01 0,128

4 0,001 0,093

Calcul de la fonction de fluage

j(t,t0) proposée par l’EC2

Courbe de relaxation

c

rtt

Eettr )(,1

00

0

16

4.2 Béton / Identification des paramètres

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

L’épaisseur (e) est donnée par la loi de Faraday qui exprime la vitesse

de pénétration en fonction du courant de corrosion.

Couche d’épaisseur (e) se transforme en oxydes.

coriPr 01163,0

[Pr en mm/an ; icor en µA/cm²]

icor

ttite 01163,0

ti : instant du début de corrosion

e R-e ξe R-e

Oxydes

Avant transformation Après transformation

17

4.3 Armature / Modèle proposé

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Loi de comportement élastique équivalente de l’armature :

La variation de rayon de la barre est interprétée comme résultant d’une

déformation libre équivalente, soit sur l’intervalle de temps Δt :

:

1Δεcor

R

e 1

corsΔσΔεAΔσ :

corscorΔεAΔσ :

Avec :

1Δεcor

R

R

18

4.3 Armature / Comportement thermo-élastique équivalent

sA : est le tenseur d’élasticité de l’armature

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

État initial État déformé

19

4.4 Résultats / Déformée

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

20

4.4 Résultats / Contraintes principales

Diagramme contraintes principales

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Le calcul élastique surestime largement la contrainte dans le béton;

La contrainte maximale est atteinte à l’aplomb de l’armature (point A)

Contrainte principale de traction sur le parement (ligne L12)

Age du béton = 25ans

Durée = 5 ans

i cor = 0.2 μA/cm²

ξ = 1.5

Enrobage = 30mm

Barre de diam. 12mm

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 20 40 60 80

σ1 (MPa)

Position (mm)

Elastique

Viscoélastique

A

1 2 L12

A

2 1

Durée = 5 ans

i cor = 0.2

ξ = 1.5

Enrobage = 30mm

Barre Ф12

21

4.4 Résultats / Comparaison calcul élastique

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

4.4 Résultats / Estimation du temps de fissuration

La vitesse d’évolution de la contrainte dépend de l’enrobage.

La fissuration survient lorsque σ = ftcm (2,56 MPa)

La durée de vie (temps de fissuration) augmente avec l’enrobage.

Evolution de la contrainte principale de traction au point A au cours du temps:

calcul viscoélastique (trait continu), calcul élastique (trait discontinu)

1 2

A

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

σ1 (MPa)

Temps (an)

C = 20 mm

C = 30 mm

C = 50 mm

fctm

TF30 TF20

22

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

Relation entre l’enrobage, le courant de corrosion et le temps de

fissuration pour trois valeurs du coefficient d’expansion ξ

Détermination de l’enrobage à prévoir pour un délai de fissuration souhaité

(durée de vie), sous des conditions de corrosion données (icor et ξ).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

i cor

(µA

/cm

²)

Temps de Fissuration (an)

ξ = 1.5

10 20 30 40 50 C(mm)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8

i cor

(µA

/cm

²)

Temps de fissuration (an)

ξ = 2.0

10 20 C (mm) 30 40 50 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4

i cor

(µA

/cm

²)

Temps de fissuration (an)

ξ = 3.0

10 20 40 50 C(mm) 30

23

4.4 Résultats / Enrobage à prévoir

Introduction Simulation Conclusions Formulation Incrémentale Implémentation

5. Conclusions & Perspectives

La formulation incrémentale proposée basée sur la méthode de

Simpson est plus précise que l’approche incrémentale linéaire ;

La formulation en relaxation donne une loi de comportement

incrémentale exprimée en rigidité ce qui présente l’avantage de ne pas

inverser la matrice de rigidité du système ;

La formulation est généralisée dans le cas tridiminsionnel isotrope ;

La simulation de la barre d’armature enrobée pourra être améliorée

en intégrant une loi d’endommagement incrémentale pour le béton de

contact.

24

Merci pour votre attention