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Exercice 4 (4 points) Commun à tous les candidats 1 On considère la suite (un )neN définie par: U o = 1 et pour tout nE N, u n + 1 = -un + n - 2. 3 1. Calculer U 1 , u 2 et u 3 • '\ 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel Il 4, un o. b. En déduire que pour tout entier naturel n 5, un n - 3. c. En déduire la limite de la suite (u ll )neN. 21 3. On définit la suite (v )lleN par: pour tout nE N, v = -2u + 3n - 2. n n n a. Démontrer que la suite (VII )lleN est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. b. En déduire que : pour tout nE N ,u = 25 (!)n + - n 4 3 2 4 n c. Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel Il par: SIl = LU k . k=O Déterminer l'expression de S" en fonction de n. lOMAOSINl Page 5 sur 5
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Exercice 4 (4 points)
Commun à tous les candidats
1 On considère la suite (un )neN définie par: Uo =1 et pour tout nE N, un+1 = -un + n - 2.
3
1. Calculer U1 , u 2 et u3
•
'\
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel Il 4, un o.
b. En déduire que pour tout entier naturel n 5, un n - 3.
c. En déduire la limite de la suite (ull
)neN.
21 3. On définit la suite (v )lleN par: pour tout nE N, v = -2u + 3n - 2.n n n
a. Démontrer que la suite (VII )lleN est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
premier terme.
b. En déduire que : pour tout nE N ,u = 25 (!)n + -n 4 3 2 4
n
c. Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel Il par: SIl =LUk .
k=O
Déterminer l'expression de S" en fonction de n.
lOMAOSINl Page 5 sur 5
EXERCICE 4
1. • u1 =1
3u0 + 0! 2 =
1
3! 2 = !
5
3.
• u2 =1
3u1 + 1! 2 = !
5
9! 1 = !
14
9.
• u3 =1
3u2 + 2! 2 = !
14
27.
u1 = !5
3, u2 = !
14
9et u3 = !
14
27.
2. a. Montrons par récurrence que pour tout entier n ! 4, un ! 0.
• u4 =1
3u3 + 3! 2 = !
14
81+ 1 =
67
81! 0. L’inégalité est donc vraie quand n = 4.
• Soit n ! 4. Supposons que un ! 0. Alors
un+1 =1
3un + n! 2 !
1
3! 0+ 4! 2 ! 0.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n ! 4, un ! 0.
b. Soit n ! 5.
un =1
3un!1 + (n ! 1)! 2 =
1
3un!1 + n ! 3 ! n ! 3.
pour tout entier naturel n ! 5, un ! n ! 3.
c. Puisque limn!+"
(n ! 3) = +!, on en déduit que
limn!+"
un = +!.
3. a. On a déjà v0 = !2u0 + 3! 0!21
2= !2!
21
2= !
25
2. Soit alors n un entier naturel.
vn+1 = !2un+1 + 3(n + 1) !21
2= !2
!
1
3un + n! 2
"
+ 3n !15
2= !
2
3un + n !
7
2
=1
3
!
!2un + 3n !21
2
"
=1
3vn.
La suite (vn)n!N est la suite géométrique de premier terme v0 = !25
2et de raison q =
1
3.
b. Soit n un entier naturel. D’après la question a), vn = v0qn = !
25
2
!
1
3
"n
puis
un = !1
2
!
vn ! 3n +21
2
"
= !1
2
!
!25
2
!
1
3
"n
! 3n +21
2
"
=25
4
!
1
3
"n
+3
2n !
21
4.
Pour tout entier naturel n, un =25
4
!
1
3
"n
+3
2n!
21
4.
http ://www.maths-france.fr 8 c! Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.
c. Soit n un entier naturel.
Sn =
#
25
4
!
1
3
"0
+3
2! 0!
21
4
$
+
#
25
4
!
1
3
"1
+3
2! 1!
21
4
$
+ . . . +
!
25
4
!
1
3
"n
+3
2! n !
21
4
"
=25
4
#
!
1
3
"0
+
!
1
3
"1
+ . . .+
!
1
3
"n$
+3
2(0 + 1+ . . .+ n)!
21
4(n + 1)
=25
4
1!
!
1
3
"n+1
1!1
3
+3
2!
n(n + 1)
2!
21
4(n + 1) =
25
4!
3
2!
#
1!
!
1
3
"n+1$
+3
4n2 +
3
4n !
21
4n!
21
4
=3
4n2 !
9
2n +
33
8!
75
8
!
1
3
"n+1
=3
4n2 !
9
2n+
33
8!
25
8
!
1
3
"n
Pour tout entier naturel n, Sn =3
4n2 !
9
2n +
33
8!
25
8
!
1
3
"n
.
http ://www.maths-france.fr 9 c! Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.
