Mathématiques Didactique

Les entiers naturels

I – Apprentissage des nombres (maternelle et début CP)Ce qui est attendu des enfants en fin d'école maternelle BO 2015 Utiliser les nombres- Évaluer et comparer des collections d'objets avec des procédures numériques ou non numériques.- Réaliser une collection dont le cardinal est donné. Utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités, pour constituer une collection d'une taille donnée ou pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée.- Utiliser le nombre pour exprimer la position d'un objet ou d'une personne dans un jeu, dans une situation organisée, sur un rang ou pour comparer des positions.- Mobiliser des symboles analogiques, verbaux ou écrits, conventionnels ou non conventionnels pour communiquer des informations orales et écrites sur une quantité. Étudier les nombres- Avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des éléments.- Avoir compris que tout nombre s'obtient en ajoutant un au nombre précédent et que cela correspond à l'ajout d'une unité à la quantité précédente.- Quantifier des collections jusqu'à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales. Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix.- Parler des nombres à l'aide de leur décomposition.- Dire la suite des nombres jusqu'à trente. Lire les nombres écrits en chiffres jusqu'à dix.

Le nombre a une fonction de mémoire d’une quantité (aspect cardinal) ou d’une position dans une liste ordonnée (aspect ordinal). Il sert aussi à comparer deux collections ou deux positions. Il sert également à anticiper le résultat d’une action. La résolution de problèmes est au cœur de l’activité mathématique et de l’apprentissage de cette discipline : ça en est le moteur et l’enjeu principal. Le problème est défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. La solution n’est pas possible d’emblée mais possible à construire.

Types de problèmes rencontrés au C1 voire 2 : Problèmes d'équipotence ou de comparaison de deux collections (construire, comparer ou compléter une collection, problèmes de repérage ordinal (liste…) et problèmes d’anticipation (trouver une quantité, chercher une valeur…)

Procédures utilisées pour le dénombrement 1) la correspondance terme à terme (par exemple autant d’un côté que de l’autre), d’où découle également la correspondance paquet à paquet. C’est une procédure de résolution et de validation. Difficultés liées à cette procédure : la mobilité (aucune, bonne, trop grande) des objets (billes, etc), les collections doivent être proches. L’enseignant peut utiliser des plateaux, des quadrillages pour pallier à ces difficultés. 2) l’évaluation approximative (un bon ordre de grandeur, ex une vingtaine) 3) le subitizing ou perception globale (reconnaissance immédiate, nombres inférieurs à 6). 4) la reconnaissance de figures connues (mains, dés…)

Autres procédures

1) Le recomptage : l'enfant recompte l'ensemble des éléments des deux collections à partir de 1. 2) le décomptage : comptage décroissant

3) le surcomptage : l’enfant compte à partir de la fin de la 1ère collection (5, 6, 7 …) 4) le double comptage : par ex, dans un jeu pour avancer de case l’élève fait 1 – 33, 2-34, 5-36… 5) procédures de calcul : (algorithme, outil, calcul réfléchi) n’interviennent pas encore en maternelle.

Les variables didactiques

1) les collections (éloignement, proximité et taille) 2) les éléments des collections (mobilité et disposition) 3) les nombres (petits nombres, nombres de la vie courante, grands nombres…) et l’écart entre eux. 4) la mise en œuvre (oral ou écrit, seul ou à plusieurs…)

Contextes de rencontres des mots-nombres

1) Contexte mathématique : contexte cardinal (quantifie une collection), contexte ordinal (décrit l’ordre), contexte de mesure (nombres d’éléments nécessaires) 2) Contexte séquentiel : contexte de séquence (suite ordonnée), contexte de dénombrement (correspondance terme à terme…) 3) Contexte symbolique : décoder l’écriture chiffrée 4) Contexte non numérique : code postal, numéros de téléphone…

Donner du sens aux écritures chiffrées : à partir d’idées de groupement et d’échange. L’élève sait qu’une dizaine = dix unités, une centaine = dix dizaines…

Types d’activités :

Organiser une grande collection en vue d’écrire le nombre d’éléments : le grand nombre (+ de 1000) est la variable didactique fondamentale pour que l’élève chercher une autre procédure que le comptage de un en un Reconnaître l’organisation en base dix dans l’écriture chiffrée : pour 47 timbres il faut 4 paquets de 10 et 7 timbres tous seuls. Analyser une collection déjà organisée : utiliser de nouveaux matériels comme la monnaie (1 euro, 10 euros…), des points, barres, plaques (–écriture additive du type : 10 + 10 + 100 + 100 + 100 + 6, qui traduit les données une à une ou reconnaissance directe du lien avec la numération : 326).

Différents matériels : Les « uns » qui demeurent, les « uns » qui s'échangent, mais restent, les « uns » qui disparaissent mais laissent une trace symbolique (argent), les « uns » qui disparaissent se transforment en un autre « un » en changeant de couleur, les « uns» » qui parlent suivant la position (bouliers…)

La suite numérique : tous les outils permettant l'affichage de cette suite doivent être examinés et proposés à l'observation des enfants : mètres de couturière, bandes numériques, tableaux de nombres 10 x 10, droites numériques graduées de 1 en 1… La suite écrite est parfaitement régulière. C'est donc sur cette suite que l'on va faire travailler l'observation des régularités. La suite orale possède de ses nombreuses irrégularités surtout présentes au début de cette suite. Deux types d'irrégularités doivent être travaillées : les mots-nombres de onze à seize ; de soixante à quatre-vingt-dix-neuf (soixante-dix, quatre-vingts …)

Pour un enfant de maternelle, cent est un grand nombre, pour un enfant de CP ce sera 1000. Sur le plan didactique, on parle en général de « grands nombres » pour évoquer les nombres au-delà de dix mille ou cent mille étudiés de façon systématique au cycle 3.