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Vibrations Ondes et Optique (cours commun à toutes les Licences es Sciences au 2ème semestre) 28 h de cours en amphi le lundi de 8h à 10h (enseignant : Jean-François Legrand ) + 28 h de travaux dirigés en groupes Le contenu : - Mouvements oscillants - Propagation (ondes mécaniques et acoustiques) - Ondes électromagnétiques dans le vide - De l’optique ondulatoire à l’optique géométrique - Formation d’images Un contrôle des connaissances (écrit) fin mai

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Vibrations Ondes et Optique(cours commun à toutes les Licences es Sciences au 2ème semestre)

• 28 h de cours en amphi le lundi de 8h à 10h(enseignant : Jean-François Legrand )

• + 28 h de travaux dirigés en groupes

Le contenu : - Mouvements oscillants

- Propagation (ondes mécaniques et acoustiques)

- Ondes électromagnétiques dans le vide

- De l’optique ondulatoire à l’optique géométrique

- Formation d’images

• Un contrôle des connaissances (écrit) fin mai

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Quelques livres de références :

Physique Générale (tomes 1 et 2)par M. Alonso et E.J. FinnInterEditions, Paris

PhysiqueJ. Kane et M. SternheimInterEditions, Paris

Physique pour les sciences de la vie (tome 3. les ondes)A. Bouyssy, M. Davier et B. GattyÉditions Belin, Paris

+ …

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les oscillations d’un pendule élastiquela vibration d’un diapason le balancement d’un pendule pesantle mouvement des marées

Ont comme caractéristiques communes

un déplacement alternatifde part et d’autre d’une position d’équilibre

l’existence d’une force de rappel

un mouvement spontané (oscillations libres)ou un mouvement entretenu (oscillations forcées)

une même équation différentielle pour décrire leurs mouvements

Chapitre 1 : Mouvements OscillantsChapitre 1 : Mouvements Oscillants

1) Introduction

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

0 0

0 0

2) Mouvement horizontal d’un mobile attaché à un ressort

pour ( )

pour ( )x

x

x l F k x l e

x l F k l x e

> = − −

< = + −

Un mobile de masse m , attachéà un ressort de longueur l0 (au repos) glisse sans frottement sur une tige horizontale OxA l’équilibre, la position du mobile est x = l0. Si le mobile est écarté de sa position d’équilibre il est soumisà une force de rappel élastique F:

0 ( ) x xF k x l e kX e⇒ = − − = −la constante k est la «dureté»du ressort (en Nm-1)

Le mouvement du mobile obéit à la 2de loi de Newton :

qui se traduit par l’équation différentielle :

En utilisant la variable déplacement :

on trouve :

xF ma mx e= =0 ( )k x l mx− − =

( )0( ) ( ) X t x t l= −

ou encore 0kkX mx mX X Xm

− = = + =

F

_____________________

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

0( ) x

x

F k x l e

mg mge

= − −

=

0

1 0

( ) 0et /mg k x l

x l l mg k− − =

= = +

0 1( ) ( )mx k x l mg k x l= − − + = − −

2) Mouvement vertical d’un mobile suspendu à un ressortLe mobile de masse m est à suspendu au ressort de longueur au repos l0.Le mobile est soumis à deux forces, la force de rappel élastique :

F

mg

et son poids :

A l’équilibre, la position du mobile est x = l1La somme des forces est nulle :

Pour décrire le mouvement, la 2de loi de Newtons’écrit :

( )1( ) ( )

0

X t x t lkX Xm

= −

+ =

En introduisant comme variable déplacement :

on retrouve la même équation différentielle :

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

3) Cas général du mouvement dans un «potentiel harmonique»

La force de rappel d’un ressort

peut s’exprimer par la dérivée

de l’énergie potentielle élastique :

De façon générale, une énergie potentielle Ep qui varie comme le carré de l’écart à la position d’équilibre X=x-x0 est appelé potentiel harmonique. (Il s’agit le plus souvent d’une approximation limitée aux petits déplacements)

212

px x

p

dEF kX e e

dX

E kX

= − = −

=

Ep est minimum en x = x0 et la force de rappel y est nulle : F(x0) = 0La constante de rappel k est donnéepar la courbure du potentiel en x = x0 :

2

2pd EdFk

dX dX= − =

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

212pE mglθ≈

( )( ) 1 cos ( )pE mgX t mgl tθ= − = −

La position verticale du pendule est donnée par l’expression:

Son énérgie potentielle

4) Mouvement oscillant d’un pendule simple

dans le champ de pesanteur est donnée par :

Pour de petites oscillations : cosθ ≈ 1 - θ 2/2

Et l’on obtient une énergie potentielle « harmonique » :

L’énergie cinétique du mobile est :

La conservation de l’énergie mécanique totale s’écrit :

Ce qui donne :

et comme équation différentielle du mouvement :

2 21 1 ( )2 2cE mv m lθ= =

( ) 0c pd E Edt

+ =2 0ml mglθθ θθ+ =

0gl

θ θ+ =

( ) ( ) (cos ( ) 1)X t x t l l tθ= − = −

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

5) Solutions de l’équation différentielle2 0x xω+ =

Une solution possible de l’équation est :

2

( ) cos car ( ) sin

et ( ) cos

m

m

m

x t x tx t x t

x t x t

ωω ω

ω ω

== −

= −

( ) sin( ) cos sin

nx t x tx t t t

ωλ ω μ ω

== +

Une autre solution possible est :

Donc toute combinaison linéaire du type :

est aussi une solution

En posant :

la solution générale peut encore s’écrire :

et souvent, on adoptera plutôt la représentation :

cos et sinA Aλ α μ α= =

( ) cos( )x t A tω α= −

( ) cos( )x t A tω ϕ= +

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

5) Solutions de l’équation différentielle (suite)2 0x xω+ =

Soit la forme générale de la solution:

Quelle est la signification physique des constantes ?

A est l’amplitude : la plus grande valeur atteinte par |x(t)|

unité de longueur (m)

(ωt+φ) est la phase au temps t et φ est la phase initiale (t=0)

unité d’angle : radian (rad)

ω est la pulsation; elle est relièe à la période T par ωT = 2π

unité : radian par seconde (rad.s-1)

la fréquence de l’oscillation ν est l’inverse de la période ν = 1/T = ω/2π

unité : s-1 ou Hertz (Hz)

( ) cos( )x t A tω ϕ= +, ,A ω ϕ

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

6) Energie mécanique d’un oscillateur harmonique

Pour une équation du mouvement :

la vitesse est donnée par :

L’énergie cinétique s’écrit :

L’énergie potentielle s’écrit :

On trouve bien que l’énergie

mécanique se conserve, mais

qu’elle oscille entre énergie

cinétique et énergie potentielle

avec une période : π/ω = T/2.

( ) cos( )( ) sin( )

x t A tx t A t

ω ϕω ω ϕ

= += − +

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1( ) sin ( )2 21 1( ) cos ( )2 2

1( ) ( )2

c

p

m c p

E t mx m A t

E t kx m A t

E E t E t m A Cte

ω ω ϕ

ω ω ϕ

ω

= = +

= = +

= + = =

π/2ω π/ω

Voir aussi le site http://www.wontu.fr/animation-oscillateur-harmonique.htm

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7) Déperdition d’énergie et amortissement des oscillations

Toute perte d’énergie mécanique se traduit par une diminution progressive de l’amplitude des oscillations. On considérera le cas particulier d’une

force de frottement visqueux proportionelle à la vitesse : (f est un facteur dépendant de la forme du solide et de la viscosité du milieu)

Dans le cas du pendule élastique, l’équation du mouvement devient :

ou encore:

soit, avec : 2γ = f /m et ω02 = k/m :

F f v= −

20

0

2 0

mX kX fXf kX X Xm m

X X Xγ ω

= − −

+ + =

+ + =

Pour un amortissement modéré (γ <<ω0 ) la solution de l’équation différentielle est :

avec :

( ) exp( ) cos( )X t A t tγ ω ϕ= − +2 20ω ω γ= −

Comment détermine t’on les coefficients A et φ ?

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8) Oscillations forcées et résonanceQue devient le mouvement d’un pendule élastique de pulsation propre ω0s’il est soumis à une force oscillante de pulsation ω : F = F0cosω t

L’équation du mouvement s’écrit :

ou encore, avec : 2γ = f /m et ω02 = k/m : (1)

Il s’agit d’une équation différentielle, avec second membre, qui admet une solution de régime permanent à la pulsation imposée : ω

En introduisant cette solution dans l’équation (1) on trouve comment l’amplitude A et la phase φ du mouvement varient avec la pulsation ω :

( ) cos( )X t A tω ϕ= +

0

2 00

cos

2 cos

mX kX fX F tFX X X tm

ω

γ ω ω

= − − +

+ + =

02 2 2 2 2

0

2 20

/( ) 4

2( )( )

F mA

tan

ω ω γ ωγωϕ

ω ω

=− +

=−

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

8) Oscillations forcées et résonance (suite)Les graphes des fonctions Α(ω) et φ(ω)

sont représentés ci-contre pour différentes valeurs du coefficient d’amortissement γ = f /2m

02 2 2 2 2

0

2 20

/( ) 4

2arctan( )

F mAω ω γ ω

γωϕω ω

=− +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Pour un amortissement faible γ << ω0le phénomène de résonance se traduit par :

- un maximum très prononcé de l’amplitude A lorsque la pulsation dela force appliquée est égale à la pulsation propre de l’oscillateur ω = ω0

- une phase φ qui passe de 0 à – π , au voisinage de ω = ω0

Lorsque le coefficient d’amortissement augmente, la résonance est moins prononcée et la position du maximum d’amplitude est décalée vers les basses fréquences: 2 2

0 2résonanceω ω γ= − Remarque : importance pratique des résonances

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Ch. 1 : Mouvements oscillants Ch. 1 : Mouvements oscillants

Les phénomènes d’oscillation libre amortie et de résonance se retrouvent dans les circuits électriques comprenant condensateur, self et résistance.

Dans le circuit schématisé ci-contre, la loi des mailles peut s’écrire :

9) Analogie entre oscillations mécaniques et oscillations électriques

0

2

02

cos

1 cos

di qRi L V tdt C

d q dqL R q V tdt dt C

ω

ω

+ + =

+ + =

On retrouve le même type d’équation différentielle que celle décrivant le mouvement oscillant du pendule élastique (libre ou forcé).L’analogie des équations se traduit par le tableau de correspondance ci-contre. La pulsation de résonance est alors : ω0=(1/LC)1/2

déplacement x charge q

vitesse v = dx/dt courant i = dq/dt

masse M self L

coeff. de frottement f résistance R

raideur du ressort k (capacité)-1 1/C

force appliquée F tension appliquée V

i > 0

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10) Mouvements de deux oscillateurs couplés

Pour chacune des masses m1 et m2on doit écrire une équation du mouvement, avec x1 et x2 les déplacements respectifs par rapport aux positions d’équilibre.

1 1 1 1 2 1

2 2 2 2 2 1

( )( )

m x k x k x xm x k x k x x

= − + −= − − −

Sous l’effet d’une une force oscillante de pulsation ω, on observe deux modesde résonance de l’ensemble. Dans le cas symétrique (k1=k2, m1=m2) :

1- les deux masses oscillent en phase pour la pulsation :

2- elles oscillent en opposition de phase pour la pulsation :

1 1' /k mω ω= =

Positions d’équilibre

1 1" ( 2 ) /k k mω ω= = +

Voir aussi le site http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/couplage.html

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10) Mouvements de deux oscillateurs couplés (suite)

Tout mouvement libre des 2 oscillateurs couplés peu être décrit comme une combinaison linéaire des deux modes propres du système :

pour des conditions initiales telles que A1 = A2 et φ1 = φ 2 = 0 on trouve, par exemple :

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

cos( ' ) cos( " )cos( ' ) cos( " )

x A t A tx A t A t

ω ϕ ω ϕω ϕ ω ϕ

= + + += + − +

1 1

2 1

1 12 cos ( " ') cos ( " ')2 2

1 12 sin ( " ') sin ( " ')2 2

x A t t

x A t t

ω ω ω ω

ω ω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Ces deux expressions décrivent:des oscillations à la pulsation (ω" +ω’)/2modulées à la pulsation (ω" -ω’)/2un déphasage entre les deux modulations qui correspond à un échange périodique d’énergie entre les deux oscillateurs

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11) Phénomènes de battements

De façon plus générale, la superposition de deux mouvement sinusoïdaux de même direction mais de fréquences différentes donne lieu à un phénomène de battements :

peut aussi s’écrire :

[ ]1 2

1 2 1 2

cos( ) cos( )

2 cos( )cos( )2 2

x a t t

x a t t

ω ω

ω ω ω ω

= +

− +=

L’amplitude de l’oscillation principale de période T+ = 4π/(ω1+ω2)est modulée par un « battement » présentant des maxima d’amplitude avec une périodicité T- = 2π/|ω1−ω2|

1 22 /π ω ω−