Vecteurs du plan - LMRLmathematiques.lmrl.lu/Cours/Cours_4e/Vecteurs_du_plan.pdfVecteurs du plan 1....

Click here to load reader

  • date post

    03-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Vecteurs du plan - LMRLmathematiques.lmrl.lu/Cours/Cours_4e/Vecteurs_du_plan.pdfVecteurs du plan 1....

  • Vecteurs du plan

    1. Définitions et généralités

    Définition. Un vecteur est une « flèche », caractérisée par sa longueur, sa

    direction et son sens.1

    Exemple. Sur la figure ci-contre, on a représenté le vecteur

    u AB=�����

    , d’origine A et d’extrémité B.

    La longueur du vecteur AB����

    est celle du segment [ ]AB ,

    sa direction est celle de la droite ( )AB et son sens est celui de A vers B.

    Attention. Un vecteur n’est pas un ensemble de points ! Il ne faut donc pas

    confondre le vecteur AB����

    avec le segment [ ]AB .

    Définition. Le vecteur nul, noté 0�, est un vecteur dont la longueur est 0.

    Sa direction et son sens ne sont pas définis. On le représente par un point.

    Par exemple, 0AA =���� �

    et plus généralement, 0MM =������ pour tout point M.

    Définition. La longueur d’un vecteur u� est encore appelée norme. On note

    u� la norme du vecteur u

    �.

    Définition. Deux vecteurs u� et v

    � ayant même direction sont dits

    colinéaires ou parallèles. On note alors : u v��� .

    Exemples.

    0u v���

    � � et 0AB CD EF���� ����� ����� � �

    Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

    1 Attention : il ne faut pas confondre direction et sens : par exemple le mouvement d’un

    ascenseur a une direction, la verticale, et deux sens : la montée et la descente.

  • 2

    Définition. Deux vecteurs u� et v

    � sont égaux si et seulement si ils ont

    même longueur, même direction et même sens. On dit alors que u� est

    un représentant de v�.

    Exemple. Sur la figure ci-contre,

    u AB CD= =���� �����

    . AB����

    et CD����

    sont des

    représentants du vecteur u�.

    Attention. AB CD=���� ����

    , mais [ ] [ ]AB CD≠ .

    Remarque. Tout vecteur u� admet une infinité de représentants, mais

    un seul représentant d’origine ou d’extrémité donnée. Par exemple, CD����

    est

    l’unique représentant de u� d’origine C et AB

    ���� est l’unique représentant de u

    d’extrémité B.

    Conditions pour l’égalité entre deux vecteurs.

    [ ] [ ]

    est un parallélogramme (éventuellement aplati)

    mil mil

    AB CD

    ABDC

    AD BC

    =

    ⇔ =

    ���� ����

    Les deux cas de figure possibles sont représentés ci-dessous.

    Conséquences.

    • AB CD BA DC= ⇔ =���� �������� ����

    : si deux vecteurs sont égaux, leurs opposés

    (voir définition suivante) sont aussi égaux.

    • AB CD AC BD= ⇔ =���� �������� ����

    : si deux vecteurs sont égaux, les vecteurs

    obtenus en échangeant l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre

    sont aussi égaux.

    ABDC est un parallélogramme aplati

    [ ] [ ]mil milM AD BC= = ABDC est un (vrai) parallélogramme

    [ ] [ ]mil milM AD BC= =

  • 3

    Définition. Deux vecteurs u� et v� sont opposés si et seulement si ils ont

    même longueur et même direction, mais des sens opposés. On note :

    u v= −��.

    Exemples :

    Rappel. Etant donné un vecteur u� du plan, la translation de vecteur u

    �,

    notée ut � , est l’application du plan dans lui-même qui associe à tout point M le

    point 'M tel que 'MM u=������ �

    . Le point 'M est appelé image de M par ut � .

    Exemple.

    2. Addition et soustraction des vecteurs L’ensemble des vecteurs du plan est noté V . On définit sur V une

    addition de la manière suivante :

    1er cas : u� et v� sont deux vecteurs consécutifs, c.-à-d. l’extrémité de u

    � et

    l’origine de v� sont confondus ; par exemple, u AB=

    ����� et v BC=

    �����. Dans ce

    cas on définit : u v AB BC AC+ = + =���� ����������

    .

    L’égalité AB BC AC+ =���� ��������

    , vraie pour tous les points A, B et C du plan est

    appelée relation de Chasles.

    CD AB= −��������

    AB CD= −���� ����

    AB BA= −���� ����

    CD DC= −���� ����

    ( ) ' 'ut A A AA u= ⇔ =������ �

    ( ) ' 'ut C C CC u= ⇔ =������ �

  • 4

    2e cas : u� et v

    � sont ne sont pas consécutifs. Dans ce cas, on choisit deux

    représentants qui sont consécutifs et on applique à nouveau la relation de

    Chasles.

    Remarque. Cette définition de l’addition des vecteurs a un sens : le vecteur

    u v+�� ne dépend pas du choix des représentants de u

    � et v�, comme le

    montre la figure suivante :

    et ' 'AB A B���� ������

    sont des représentants de u�

    et ' 'BC B C���� ������

    sont des représentants de v�

    et ' 'AC A C���� ������

    sont des représentants du même vecteur ; ce vecteur est par

    définition u v+��.

    Cas particulier important :

    Règle du parallélogramme. Lorsque u AB=�����

    et v AC=�����

    sont deux

    vecteurs ayant la même origine, alors u v+�� est le vecteur AD

    ����, où D est

    l’unique point tel que ABDC est un parallélogramme.

    u v AB CD

    AB BE

    AE

    + = +

    = +

    =

    ���� ������

    ���� ����

    ����

  • 5

    En effet :

    u v AB AC

    AB BD

    AD

    + = +

    = +

    =

    ���� ������

    ���� ����

    ����

    Propriétés de l’addition des vecteurs

    a) L’addition des vecteurs est commutative, c.-à-d.

    ( ), u v u v v u∀ ∈ + = +V� � �� � �

    En effet :

    u v AB BC AC

    v u AD DC AC

    + = + = + = + =

    ���� ����������

    ���� ��������� �

    b) L’addition des vecteurs est associative, c.-à-d.

    ( ) ( ) ( ), , u v w u v w u v w∀ ∈ + + = + +V� � � � � �� � �

    En effet :

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    u v w AB BC CD

    AC CD

    AD

    u v w AB BC CD

    AB BD

    AD

    + + = + + = + = + + = + + = + =

    ���� ���� ����� ��

    ���� ����

    ����

    ���� ���� ����� ��

    ���� ����

    ����

  • 6

    c) L’addition des vecteurs admet 0� comme élément neutre, c.-à-d.

    ( ) 0 0u u u u∀ ∈ + = + =V� �� � � �

    En effet :

    d) L’addition des vecteurs est symétrique, c.-à-d.

    ( ) ( ) ( ) 0u u u u u∀ ∈ + − = − + =V�� � � � �

    En effet :

    Définition. Soit u� et v� deux vecteurs du plan. La différence des vecteurs

    u� et v�, notée u v−

    ��, est par définition la somme de u

    � et de l’opposé de v

    �,

    c.-à-d. :

    ( )u v u v− = + −� �� �

    Cas particulier important :

    Lorsque u AB=�����

    et v AC=�����

    sont deux vecteurs ayant la même origine,

    alors :

    u v AB AC

    AB CA

    CA AB

    CB

    − = −

    = +

    = +

    =

    ���� ������

    ���� ���

    ��� ����

    ����

    0u AB BB AB u+ = + = =���� ����� ����� �

    ( ) 0u u AB BA AA+ − = + = =���� ���� ���� �� �

  • 7

    On pourra vérifier à l’aide de figures que la soustraction n’est ni

    commutative, ni associative. Cependant, la soustraction possède la

    propriété importante suivante :

    ( ) ( ), u v u v v u∀ ∈ − = − −V� � �� � �

    En d’autres termes, les vecteurs u v−�� et v u−� �

    sont opposés.

    3. Multiplication d’un vecteur par un réel

    Définition. Soit u� un vecteur du plan et k un réel. On appelle produit du

    vecteur u� par le réel k et on note ou k u ku⋅

    � � le vecteur

    • de longueur k u⋅ � ,

    • de direction celle de u� ,

    • de sens celui de u� si 0k > et opposé à celui de u� si 0k < .

    Exemples.

    ' ' 2A B AB=������ ����

    ;

    '' '' 2A B AB= −������� ����

    ;

    12EF CD=���� ����

    ;

    12GF CD= −���� ����

    ;

    43AE AB= −���� ����

    .

    Remarques.

    • Les vecteurs ku� et u� sont toujours colinéaires.

    • Si 0k = alors 0 0ku u= ⋅ =�� �.

    • Si 1k = alors 1ku u u= ⋅ =� � � .

    • Si 1k = − alors 1ku u u= − ⋅ = −� � � .

    Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un réel

    ( )( ), , 'u v k k∀ ∈ ∀ ∈ RV��

    a) Distributivité par rapport à l’addition dans V : ( )k u v ku kv+ = +� �� �

    b) Distributivité par rapport à l’addition dans R : ( )' 'k k u ku k u+ = +� � �

    c) Associativité mixte : ( ) ( )' 'k k u kk u=� �

    d) Règle du produit nul : 0 0 ou 0ku k u= ⇔ = =� �� �

    Démonstration. A l’aide de figures (exemples) en exercice.

  • 8

    Exemples.

    (1) ( )3 3 3u v u v+ = +� �� �

    d’après a).

    (2) ( )2 2 2 2AB BC AB BC AC+ = + =���� ���� �������� ����

    d’après b) et la relation de Chasles.

    (3) ( )2 4 8w w− = −� �

    d’après c).

    4. Vecteurs colinéaires On a déjà vu la définition de la colinéarité :

    Définition. Deux vecteurs u� et v� sont colinéaires (parallèles) et on note

    u v��� si et seulement si u

    � et v

    � ont la même direction ou bien l’un des

    deux est le vecteur nul.

    Théorème. Soit u� et v� deux vecteurs non nuls du plan. Alors u v

    ��� si et

    seulement si il existe un réel k tel que v ku=� �

    .

    Démonstration.

    " "⇐ Si v ku=� �

    alors, par définition, u v��� .

    " "⇒ Soit u� et v� deux vecteurs non nuls du plan tels que u v

    ��� .

    • Si u� et v� ont même sens alors on prend

    .v

    ku

    =

    Comme 0k > , le vecteur ku� a même direction et même sens que u

    � et

    donc même direction et même sens que v�. Il a également même

    longueur que v� car sa longueur est égale à :

    vk u

    u=⋅�

    �� . u�

    v=�.

    Donc ku v=��.

    • Si u� et v� ont des sens opposés alors on prend

    .v

    ku

    = −

    AB����

    et CD����

    sont colinéaires

    et de même sens

    AB����

    et DC����

    sont colinéaires

    et de sens opposés

  • 9

    Comme 0k < , le vecteur ku� a même direction que u

    � mais le sens

    opposé à celui de u�. Il a donc même direction et même sens que v

    �. Il a

    également même longueur que v� car sa longueur est égale à :

    vk u

    u=⋅�

    �� . u�

    v=�.

    Donc ku v=��.

    Remarques.

    • Une relation du type v ku=� �

    est appelée relation de colinéarité

    entre deux vecteurs.

    • Si u� et v� sont deux vecteurs non nuls alors 0k ≠ et :

    1kv ku u v= ⇔ =

    � �� �.

    • La relation de colinéarité entre un vecteur quelconque u� et le vecteur

    nul 0� est : 0 0 u= ⋅

    � �, mais si 0u ≠

    �� il n’existe pas de relation du type

    0u k= ⋅��.

    Les propositions suivantes sont évidentes mais d’une utilité considérable dans

    les exercices.

    Condition d’alignement de 3 points. Trois points A, B et C du plan sont

    alignés si et seulement les vecteurs AB����

    et AC����

    sont colinéaires.

    On peut reformuler cette propriété de la manière suivante :

    Condition d’appartenance d’un point à une droite. Etant donnée une

    droite ( )AB du plan, on a :

    ( )M AB AM AB∈ ⇔����� �����

    Condition de parallélisme de deux droites. Deux droites ( )AB et ( )CD du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB

    ���� et CD

    ���� sont

    colinéaires.

  • 10

    5. Formulation vectorielle du théorème de Thalès

    Théorème de Thalès (Cas du triangle). Supposons que 'AB kAB=����� ����

    et

    ' 'AC k AC=����� ����

    , où k et k’ sont deux réels. Alors :

    ( ) ( )' ' 'B C BC k k⇔ =� .

    Dans le cas où 'k k= , on a aussi ' 'B C kBC=������ ����

    .

    Figure avec 12'k k= = Figure avec 32'k k= = Figure avec

    12'k k= = −

    Démonstration. Par hypothèse :

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ' ' ' '

    '

    '

    '

    ' ( )

    B C B A AC

    kBA k AC

    kBA kAC k k AC

    k BA AC k k AC

    kBC k k AC

    = +

    = +

    = + + −

    = + + −

    = + − ∗

    ����� �����������

    ���� ����

    ���� ���� ����

    ���� ���� ����

    ��������

    Donc :

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ' '

    ' '

    '

    '

    '

    B C BC

    B C rBC

    kBC k k AC rBC

    k k AC rBC kBC

    k k AC r k BC

    ⇔ =

    ⇔ + − =

    ⇔ − = −

    ⇔ − = −

    ������ �����

    ������ ����

    �������� ����

    ���� ���� ����

    ���� ����

    Or, ABC est un triangle, donc les vecteurs AC����

    et BC����

    ne sont pas

    colinéaires. La dernière égalité a donc lieu si et seulement si les deux membres

    sont égaux au vecteur nul, c.-à-d. ssi 'k k= et r k= .

    Lorsque 'k k= , on a d’après ( )∗ : ' 'B C kBC=������ ����

    .

    Figure avec 'k k≠ :

    ( )BC �( )' 'B C

  • 11

    Théorème de Thalès (Cas du trapèze). Soit ' 'ABB A un trapèze de

    bases parallèles [ ]'AA et [ ]'BB , ( )C AB∈ et ( )'C AB∈ . Soit k et 'k tels

    que AC kAB=���� ����

    et ' ' 'A C k AB=������ ����

    . Alors :

    ( ) ( )' ' 'BB CC k k⇔ =� .

    Figure avec ' 2k k= = Figure avec ' 1k k= = −

    Figure avec 'k k≠ : 'BB � 'CC

    Démonstration. Admise.

    6. Caractérisation vectorielle du milieu d’un segment

    Proposition. Soit [ ]AB un segment et I un point du plan. Les propriétés

    suivantes sont équivalentes :

    (1) [ ]milI AB=

    (2) 0IA IB+ =��� ����

    (3) 12AI AB=��� ����

    (4) Pour tout point M : ( )12MI MA MB= +�������� ����

    ou 2MA MB MI+ =���� ���� ����

    Démonstration.

    (1) ⇔ (2) : [ ]mil 0I AB AI IB IA IB= ⇔ = ⇔ + =��� ��� ���� ���

    .

    (2) ⇔ (3) : 0IA IB+ =��� ����

    0IA IA AB⇔ + + =��� ��� ���� �

  • 12

    12

    2 0

    2

    2

    IA AB

    IA AB

    AI AB

    AI AB

    ⇔ + =

    ⇔ = −

    ⇔ =

    ⇔ =

    ��� ���� �

    ��� ����

    ��� ����

    ��� ����

    (3) ⇔ (4) : Soit M un point quelconque du plan.

    ( )

    ( )

    12

    12

    1 12 2

    1 12 2

    12

    AI AB

    AM MI AM MB

    MI AM MB

    MI MA MB

    MI MA MB

    =

    ⇔ + = +

    ⇔ = − +

    ⇔ = +

    ⇔ = +

    ��� ����

    ����� ��������� ����

    ��������� ����

    �������� ����

    �������� ����

    7. Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle

    Proposition. Soit ABC un triangle quelconque, [ ]' milA BC= , [ ]' milB AC= ,

    et [ ]' milC AB= . Soit G un point du plan. Les propriétés suivantes sont

    équivalentes :

    (1) G est le point d’intersection des médianes 'BB et 'CC

    (2) 0GA GB GC+ + =���� ����� ����

    (3) 23 'AG AA=���� �����

    , 23 'BG BB=���� �����

    , 23 'CG CC=���� �����

    (4) Pour tout point M : ( )13MG MA MB MC= + +��������� ���� �����

    ou 3MA MB MC MG+ + =���� ���� ����� �����

  • 13

    Remarque. Si le point G vérifie l’une des 4 propriétés équivalentes de la

    proposition ci-dessus, il appartient aussi à la 3e médiane 'AA . Cela découle

    directement de la propriété (3) : 23 'AG AA=���� �����

    , qui implique que A, G et 'A

    sont alignés. Retenons ce résultat bien connu :

    Corollaire. Les trois médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un

    point G, appelé centre de gravité du triangle ABC.

    Démonstration du théorème.

    (1) ⇒ (2) : Soit G le point d’intersection des médianes 'BB et 'CC .

    � En appliquant la propriété (4) du milieu à

    [ ]' milC AB= , on a : 2 'GA GB GC GC GC+ + = +���� ���� ���� ����� ����

    , qui

    est colinéaire à 'CC�����

    puisque C, G et 'C sont alignés.

    � De même, en appliquant la propriété (4) du milieu à

    [ ]' milB AC= , on a : 2 'GA GB GC GB GB+ + = +���� ���� ���� ����� ����

    , qui

    est colinéaire à 'BB�����

    puisque B, G et 'B sont alignés.

    Par conséquent GA GB GC+ +���� ���� ����

    est le vecteur nul, car il est

    colinéaire à deux vecteurs non colinéaires.

    (2) ⇔ (3) : 0GA GB GC+ + =���� ����� ����

    ( ) ( )

    ( )[ ]

    23

    0

    3 0

    3 2 ' 0 car ' mil

    2 ' 3 '

    GA GA AB GA AC

    GA AB AC

    GA AA A BC

    AA AG AG AA

    ⇔ + + + + =

    ⇔ + + =

    ⇔ + = =

    ⇔ = ⇔ =

    ���� ���� ���� ���� ���� �

    ���� ���� ���� �

    ���� ����� �

    ����� ���� ���� �����

    On prouve de façon analogue les deux égalités.

    (2) ⇔ (4) : Soit M un point quelconque du plan.

    ( )13

    0

    0

    3 0

    3

    GA GB GC

    GM MA GM MB GM MC

    GM MA MB MC

    MA MB MC MG

    MG MA MB MC

    + + =

    ⇔ + + + + + =

    ⇔ + + + =

    ⇔ + + =

    ⇔ = + +

    ���� ����� ����

    ���� ����� ���� ���� ���� �����

    ���� ����� ���� �����

    ���� ���� ����� �����

    ��������� ���� �����

    (3) ⇒ (1) : 23 'BG BB=���� �����

    'G BB⇒ ∈

    23 'CG CC=���� �����

    'G CC⇒ ∈

    Donc { } ' 'G BB CC= ∩ .

  • 14

    8. L’utilité des vecteurs en physique

    Beaucoup de grandeurs en physique ne peuvent être complètement définies

    par un seul nombre, comme par exemple une vitesse ou une force. Ces

    grandeurs sont modélisées par des vecteurs.

    a) Lorsqu’un point mobile M se déplace sur une courbe, sa vitesse est

    représentée par le vecteur vitesse v�, dont les caractéristiques sont :

    – point d’application (origine du vecteur) : le point M

    – longueur : la vitesse en m/s ou km/h

    – direction : celle de la tangente en M à la courbe

    – sens : celui du mouvement du solide

    b) Par définition, une force est toute cause capable de modifier le mouvement

    d’un corps ou de déformer un corps. La force qui s’exerce sur un solide est

    représenté par le vecteur force. Un exemple est le poids P�dont les

    caractéristiques sont :

    – point d’application : le centre de gravité du solide

    – longueur : l’intensité du poids en N (Newton), qui vaut m g⋅ ,

    où m est la masse en kg du corps et g est l’accélération de la

    pesanteur, c.-à-d. 9,81 m/ 2s .

    – direction : verticale

    – sens : vers le centre de la terre

    Lorsque plusieurs forces s’exercent sur un solide, la force totale qui en résulte

    (ou résultante) est la somme vectorielle des différentes forces.

    Un système est dit en équilibre (mécanique) lorsque la

    somme des forces qui s’exercent sur lui est le vecteur 0�

    (voir figure ci-contre).

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitessehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Force_%28physique%29