Vecteurs

Vecteurs du plan.

Remarque liminaire. Dans cette leçon nous aurons besoin des instruments dugéomètre : le compas, la règle non graduée, le crayon à papier bien taillé et lagomme.

I Intuitivement (bipoints).

Force.

Un exemple parlant de vecteur est celui du vent. Il s'agit d'une force qui est(dans une certaine région) partout de même intensité, qui suit la même directionet qui s'applique en tout point.

Si nous notons ~u le vent dans son ensemble nous noterons−−→AB le représentant

de ce vent qui s'applique au point A.

~u

~u•A B

~u•CD

~u•E F

~u =−−→AB =

−−→CD =

−−→EF

Le vecteur ~u est un nouvel objet géométrique qui regroupe trois notions géo-métriques.

� La norme, c'est-à-dire la longueur (comme celle d'un segment) : ||~u|| = AB� La direction (la droite (AB) et toutes les droites qui lui sont parallèles (CD),

(EF ), etc).� Le sens (un sens de déplacement sur la direction) : de A vers B ou de B

vers A.

Translation.

Une translation est une transformation géométrique qui correspond à un dépla-cement rectiligne, sans rotation, retournement ni déformation de cet objet.

-1-

Vecteurs

Regardons par exemple les e�ets de la translation de vecteur ~v sur des objetsdu plan.

x

y

OI

J

•

•~v

~v

~v

II Égalité des représentants.

Géométrie classique.

Deux représentants−−→AB et

−−→CD représentent le même vecteurs si et seulement

si ils véri�ent les trois conditions :�−−→AB et

−−→CD ont même norme, i.e. AB = CD,

�−−→AB et

−−→CD ont même direction, i.e. (AB)//(CD),

� le sens de A vers B est le même que celui de C vers D.

Si ces conditions sont véri�ées nous écrirons :−−→AB =

−−→CD.

Cette façon intuitive de voir que deux représentants sont égaux sera avantageu-sement remplacée dans les démonstrations par la

Proposition 1

Soient A, B, C et D des points duplan.−−→AB et

−−→CD représentent un même

vecteur (i.e.−−→AB =

−−→CD) si et seule-

ment si ABDC est un parallélo-gramme.

A

B

D

C

-2-

Vecteurs

Démonstration 1Indémontrable avec la construction non explicite des bipoints et des classes

d'équivalences.

Remarques.

1. Rappelons que pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ilfaut et il su�t de montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu.

2. Dans la pratique il y a rarement d'inconvénients à confondre un vecteur et

un de ses représentants. Nous dirons donc � le vecteur A, B � pour−−→AB.

3. A est appelé l'origine de−−→AB.

4. B est appelé l'extrémité de−−→AB.

Exercice 1Choisissez A, B, C et D des points distincts et non alignés du plan en dehors duquadrillage de votre feuille.

1. Dessinez le vecteur−→AB.

2. Dessinez le représentant de−→AB d'origine C.

3. Dessinez le représentant de−→AB d'extrémité D.

Exercice 2Recommencez le précédent exercice en choisissant maintenant les points sur le qua-drillage et en utilisant ce dernier pour construire les représentants.

Exercice 3 pour s'entraîner.

Soient A(−1,1), B(2,3), C(11, − 7) et D(14, − 5) des points dans un repère orthonormé du

plan.

Démontrez que−→AB =

−−→CD.

Exercice 4 pour s'entraîner.

Par lecture graphique indiquez

1. un vecteur égale à−→AE ; à

−→CF .

2. un vecteur de même direction que−−→CB

mais de sens opposé ; idem pour−→AF .

3. un vecteur égale à−−→DC d'extrémité F ;

égale à−−→FB d'origine A.

4. deux vecteurs de même de direction,

de même sens qui ne sont pas égaux.

5. de vecteurs de même norme qui ne sont

pas égaux.

A

B

C

D

E

F

-3-

Vecteurs

Géométrie repérée.

Dé�nition 1

Soient (O,I,J) un repère du plan, A(xA; yA) et B(xB ; yB) des points dans cerepère.

Les coordonnées de−−→AB sont

−−→AB

(xB − xAyB − yA

)

Remarques.

1. Les coordonnées de vecteurs sont notées en colonnes pour les distinguer descoordonnées de points et pour faciliter la présentation des calculs.

2. Pour que les coordonnées de vecteurs soient intéressantes à utiliser il faudraitque les coordonnées du vecteur soient les mêmes quelque soit le représentantchoisi. Véri�ons ceci dans la proposition suivante.

Proposition 2

Soient (O,I,J) un repère du plan, A(xA; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC) etD(xD; yD) des points dans ce repère.

−−→AB =

−−→CD (i.e. représentent le même vecteur) si et seulement si ils ont mêmes

coordonnées.

Démonstration 2D'après la proposition précédente dire que

−−→AB =

−−→CD équivaut à dire que

ABDC est une parallélogramme.Dire que ABDC est une parallélogramme équivaut à dire que [AD] et [BC]

(ses diagonales) se coupent en leur milieu.Dire que [AD] et [BC] (ses diagonales) se coupent en leur milieu équivaut à

dire quexA + xD

2=xB + xC

2etyA + yD

2=yB + yC

2

ce qui équivaut encore à

xB − xA = xD − xC et yB − yA = yD − yC

autrement dit les coordonnées de−−→AB et

−−→CD sont égales.

-4-

Vecteurs

Exercice 5Soient A(−2; 1), B(2; 4), C(3; 0) et D(−1;−3) des points du plan muni d'un repère.Démontrez que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 6 pour s'entraîner.

Exercice 7

Lisez les coordonnées des vecteurs repré-sentés ci-contre et indiquez ceux qui sontégaux.

x

y

O I

J

~u

~v

~r~w

~s

~t

~a ~b

Exercice 8Soient A(7;−3), B(3; 2) et C(−5;−4) des points du plan muni d'un repère.

Déterminez les coordonnées du point D(xD; yD) qui véri�e−→AB =

−−→CD.

Exercice 9Soient A(2;−3) et B(−1; 4) deux points dans un repère (O,I,J).

Calculez ‖−→AB‖.

Base orthonormée.

Dé�nition 2

Si (O,I,J) est un repère orthonormé nous dirons que le couple de vecteurs(−→OI,−→OJ

)est une base et nous la noterons le plus souvent :

(−→i ,−→j). .

Si (O,I,J) est un repère orthonormé nous dirons que la base(−→i ,−→j)est une

base orthonormée.

Remarques.

-5-

Vecteurs

1. Les coordonnées d'un vecteur dépendent directement du choix du repère, et

donc de la base. Si ~u

(xy

), alors ~u = x

−→i + y−→y . Les vecteurs −→i et −→y de la

base permettent de reconstruire n'importe quel vecteur.

2. Cette année les base n'auront pas beaucoup d'importance, elles constituentnéanmoins un outil très important des l'étude des espaces vectoriels.

III Groupe.

Somme de vecteurs : la relation de Chasles.

Soient ~u

(31

)et ~w

(2−2

)deux vecteurs et A un point du plan.

Notons B l'image de A par la transla-tion de vecteur ~u et C celle de B parla translation de vecteur ~w.

××

×A

B

C

~u~w

Si nous devons interpréter le déplacement total en terme de translation nousdirons que

C est l'image de A par la translation

de vecteur−→AC = ~u+ ~w.

××

×A

B

C

~u~w

~u+ ~w

Ce résultat qui permet de dé�nir une somme de vecteur, se formalise sous formede

Proposition 3 - Relation de Chasles

Soient A, B et C trois points du plan.

−−→AB +

−−→BC =

−→AC A

B

C

−−→AB +

−−→BC

Remarques.

1. Pour dessiner le représentant de la somme il faut choisir deux représentantsdes vecteurs qui � se suivent � : l'extrémité d'un représentant est l'origine del'autre représentant à sommer.

-6-

Vecteurs

2. Nous utiliserons aussi cette relation pour � calculer � avec des vecteurs, i.e.essentiellement pour simpli�er les expressions.

3. La somme de vecteurs est commutative : ~u+ ~v = ~v + ~u.

Exercice 10Choisissez 4 points A, B, C et D non alignés et hors du quadrillage.Construisez un représentant du vecteur somme

−→AB +

−−→CD.

Exercice 11Recommencez l'exercice précédent en choisissant des points du quadrillage et en utilisantcelui-ci pour répondre à la question.

Vecteurs opposé et nul.

En considérant le cas de la somme−−→AB+

−−→BA nous sommes naturellement amenés

à considérer un vecteur que nous appellerons le vecteur nul, que nous noterons ~0.Le vecteur nul ne possède ni sens ni direction et sa norme est nulle.

Nous écrirons donc :−−→AB +

−−→BA = ~0.

Par analogie avec la somme des nombres nous dirons que−−→AB et

−−→BA sont opposés

et nous écrirons −−→AB = −

−−→BA

De même que pour les nombres nous simpli�erons les écritures en utilisant lasoustraction de vecteur : ~u+ (−~v) = ~u− ~v.

Nous pourrons donc manipuler les vecteurs comme des nombres en les addi-tionnant, en les soustrayant, en prenant leurs opposés, etc.

Exercice 12Soient A, B, C, E, G et I des points du plan. Simpli�ez les expressions suivantes

1.−−→GE +

−−→CG

2.−−→GE −

−→IE +

−−→CG

3.−→AB +

−−→GE −

−−→CB +

−→EI +

−−→CG

Exercice 13 pour s'entraîner.

En choisissant des points judicieux complétez.

-7-

Vecteurs

1.−→AB + · · · =

−→AE

2.−−−→G . . .+

−−−→B . . . =

−→GI

3.−−−→. . . B +

−−−→B . . . =

−−→CG

4.−−→BE + · · · =

−−→BD

5.−−→BE +

−−→. . . F =

−−−→B . . .

6.−−−→B . . .+

−−→. . . A =

−→BA

7.−−→BE −

−−−→G . . . =

−−−→B . . .

8.−−−→. . . E +

−−−→E . . . =

−−→BC

9.−−→A . . .+

−−−→B . . . =

−→AC

10.−−−→O . . .+

−−−→M . . . =

−−→. . . P

11.−−→A . . .+

−−−→D . . .+

−−−→M . . . =

−→AG

Exercice 14 pour s'entraîner.

Simpli�ez les expressions.

1.−→AB +

−−→BC +

−→CA

2.−→AB −

−→AC +

−−→BC −

−→BA

3.−−→MA−

−−→MB −

−→AB

Exercice 15 pour s'entraîner.

Démontrez.

1.−→AB −

−−→CD −

−→AC =

−−→DB.

2.−→AB −

−−→DB +

−−→DE =

−→AE.

3.−−→BE +

−−→CB −

−−→DE =

−−→CD.

4.−−→BD −

−→CA+

−−→CB −

−−→AD = ~0.

5.−−→CB −

−→CA+

−−→BD =

−−→AD

6.−→AC +

−−→BD +

−−→CE +

−−→DA+

−−→EB = ~0

Proposition 4

I est le milieu de [AB] si et seulement si l'une quelconque des propriétés sui-vantes est véri�ée

(i)−→AI =

−→IB.

(ii)−→AI +

−→BI = ~0.

Remarques.

1. Ce résultat peut donc être utilisé sans justi�cation.

-8-

Vecteurs

Somme de vecteurs : identité du parallélogramme.

Un glaçon est placé sur un plan in-cliné. Nous supposerons qu'il n'est sou-mis qu'a son propre poids ~P et à la ré-action du sol ~R (pas de force de frotte-ment, pas de force d'Archimède, etc).Nous avons représenté le bilan desforces appliquées au centre de gravité(ou centre d'inertie).

Nous recherchons la force résultante,−→Fr, i.e. la somme de toutes les forcesappliquées au glaçon.

•

~P

~R

Plutôt que de dessiner le représentantde ~R ayant pour origine l'extrémité de~P nous allons construire le parallélo-gramme.Ainsi

~P + ~R =−→Fr

•

~P

~R

−→Fr

Mathématiquement nous retiendrons :

Proposition 5 - Identité du parallélogramme.

Soient A, B, C et D des points duplan.

−−→AB +

−→AC =

−−→AD équivaut à dire que

ABDC est un parallélogramme.A

B

C

D

Remarques.

1. Nous utiliserons ce résultat pour dessiner le vecteur somme lorsque les repré-sentants additionnés ont la même origine.

2. Cette identité est plus rarement utilisée dans les calculs que la relation deChasles.

-9-

Vecteurs

Exercice 16Dessinez trois points A, B et C non alignés hors des quadrillages de votre feuille etdessinez le vecteur somme ~s =

−→AB +

−→AC.

Somme vectorielle et coordonnées.

Proposition 6

Si ~u

(x1y1

)et ~v

(x2y2

), alors ~u+ ~v

(x1 + x2y1 + y2

).

Exercice 17Dans un repère on considère les points : A(−2; 1), B(3; 4) et C(−5; 2).Calculez les coordonnées du point M tel que

−−→MA+

−−→MB +

−−→MC = ~0.

IV Espace vectoriel.

La valeur absolue.

Par dé�nition la valeur absolue d'un nombre x est le nombre positif

|x| ={x si x ≥ 0−x si x < 0

Multiplication d'un vecteur par un scalaire.

Il paraît naturel de noter :−−→AB+

−−→AB = 2

−−→AB et

−−→BA+

−−→BA = −

−−→AB−

−−→AB = −2

−−→AB.

En généralisant nous dé�nirons n'importe quel vecteur λ−−→AB, λ désignant un réel.

Dé�nition 3

Soient−−→AB le représentant d'un vecteur et λ un nombre quelconque.

Nous dé�nissons le vecteur λ−−→AB par

� λ−−→AB a même direction que

−−→AB

� la norme de λ−−→AB est |λ|AB

� si λ ≥ 0 alors λ−−→AB et

−−→AB ont même sens

sinon ils sont de sens contraire.

Remarques.

-10-

Vecteurs

1. Plutôt que d'apprendre cette dé�nition sachez l'utiliser. Les vecteurs ontmême direction, la longueur est multipliée par autant que l'indique λ et lesens dépend du signe de λ.

2. Nous retrouverons les règles habituelles de distributivité, de commutativité,d'associativité.

Si λ et µ sont des nombres et ~u et ~w des vecteurs, alors

λ(~u+ ~w) = λ~u+ λ~w, (λ+ µ)~u = λ~u+ µ~u, λ(µ~u) = (λµ)~u

Exercice 18Dessinez deux points A et B distincts puis placez les points M , N et P tels que

−−→AM =

52

−→AB,

−−→NA = 3

−→AB et

−−→BP = − 1

4

−→AB.

Exercice 19Soient A et B deux points distincts, I le milieu du segment [AB].

Dans chaque cas déterminez le réel λ tel que :−→AI = λ

−→AB puis

−→BI = λ

−→AB.

Multiplication d'un vecteur par un scalaire avec les coordonnées.

Proposition 7

Si ~u

(xy

)et λ ∈ R, alors λ~u

(λxλy

).

Exercice 20

Déterminez les coordonnées de −7~u sachant que ~u

(−3√2

).

Colinéarité.

Dé�nition 4

Deux vecteurs ~u et ~v sont dits colinéaires si et seulement si il existe un nombreréel λ (i.e. on peut en trouver au moins un) tel que

~u = λ~v ou ~v = λ~u

Remarques.

-11-

Vecteurs

1. Nous pouvons voir la chose comme une sorte de rapport de proportionnalitéentre les vecteurs.

2. Il su�t d'établir l'une des deux égalités pour établir la colinéarité de deuxvecteurs.

3. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Exercice 21Démontrez que :

1. si l'on a ~u = ~v alors les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires.

2. si ~u et ~v d'une part et ~v et ~w d'autre part sont colinéaires alors ~u et ~w le sontégalement.

Proposition 8

Deux vecteurs ~u

(x1y1

)et ~v

(x2y2

), leurs coordonnées étant données relativement

à une base orthonormée (~i,~j), sont colinéaires si et seulement si ils véri�ent l'unedes propriétés suivantes.

(i) Les coordonnées de ~u et ~v sont proportionnelles.

(ii) x1y2 = x2y1.

Démonstration 3Par dé�nition de la colinéarité ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si ~u =

λ~v ou ~v = λ~u.Autrement dit si et seulement si{

x1 = λx2y1 = λy2

ou

{x2 = λx1y2 = λy1

Autrement dit ssi les coordonnées de ~u sont proportionnelles à celles de ~v.Ce qui équivaut à dire que le produit en croix est véri�é.

Autrement dit x1 × y2 = x2 × y1.x1 x2y1 y2

Remarques.

1. Nous privilégierons souvent la recherche du coe�cient de proportionnalitéentre les coe�cients qui nous fournira l'égalité liant les deux vecteurs plutôtque le produit en croix.

-12-

Vecteurs

Exercice 22Montrez que ~u et ~v sont colinéaires.

1. ~u

(6−4

)et ~v

(−128

). 2. ~u

(√2− 11

)et ~v

(1√2 + 1

).

Dé�nition 5

Soient ~u et ~v deux vecteurs du plan.

Le déterminant de la famille de vecteurs (~u;~v) par rapport à la base (~i,~j) estle nombre réel :

det(~u;~v) =

∣∣∣∣xu xvyu yv

∣∣∣∣ = xuyv − yuxv.

Remarques.

1. Le déterminant s'obtient donc comme un produit en croix sur les coordonnéesen colonnes des vecteurs.

Proposition 9

Soient ~u

(x1y1

)et ~v

(x2y2

)deux vecteurs du plan dont les coordonnées sont

données relativement à une base orthonormée (~i,~j).

~u et ~v sont colinéaires si et seulement si det(~u,~v) = 0.

Remarques.

1. Le déterminant s'annule si et seulement si le produit en croix est véri�é.

Exercice 23Soient A(−10; 7), B(−20; 10), C(5;−2) et D(10;−8) des points du plan.−→AC et

−−→DB sont-ils colinéaires ?

Exercice 24 pour s'entraîner.

Déterminez si ~u et ~v sont colinéaires et si c'est le cas précisez l'égalité les reliant.

1. ~u

(14

)et ~v

(−2−8

).

2. ~u

(64

)et ~v

(96

).

3. ~u

(−53

)et ~v

(15−9

).

4. ~u

(412

)et ~v

(618

).

5. ~u

(232

)et ~v

(13

).

6. ~u

( 59− 5

6

)et ~v

(11−15

).

7. ~u

(√5− 1−1

)et ~v

(−4√5 + 1

).

-13-

Vecteurs

Parallélisme.

Proposition 10

Soient A, B, C et D des points du plan avec A 6= B et C 6= D.

(AB)//(CD) si et seulement si−−→AB et

−−→CD sont colinéaires.

Démonstration 4La démonstration de cette proposition n'est pas possible sans une dé�nition de

ce qu'est une droite or nous n'en n'avons pour l'instant pas donné. Ce résultat estdonc indémontrable.

Remarques.

1. La négation de cette proposition est aussi intéressante : (AB) et (CD) sont

sécantes si et seulement si−−→AB et

−−→CD ne sont pas colinéaires.

2. Nous utiliserons ce résultat pour étudier la position relative de droites du plan(coplanaires), i.e. pour dire si elles sont parallèles (éventuellement confonduesvoir corollaire ci-après) ou sécantes.

Exercice 25Soient A(−4;−3), B(8; 1), C(4,4) et D(−2; 2) des points du plan.Étudiez la position relative de (AB) et (CD).

Alignement de trois points.

Corollaire 1

Soient A, B et C des points du plan.

A, B et C sont alignés si et seulement si−−→AB et

−→AC sont colinéaires.

Exercice 26Soient A(−2; 3), B(2; 1) et C(4; 0) dans un repère du plan muni d'un repère (O,I,J).Démontrez que A, B et C sont alignés.

Corollaire 2

Soient A, B et M des points du plan.

M appartient à la droite (AB) si et seulement si−−→AM et

−−→AB sont colinéaires.

-14-

Vecteurs

V Exercices.

Exercice 27 pour s'entraîner.

Démontrez que si ABCD est un parallélogramme alors

1.−→BA+

−−→DC = ~0

2.−→AB +

−−→CB =

−−→DB

3.−−→DC +

−−→BC =

−→AC

Exercice 28Soient A(−1;−2), B(5;−1), C(6; 3) et D(0; 2) des points considérés dans un repère duplan.

1. Faites un �gure.

2. Construisez le point E tel que−→AE =

−→AB +

−−→CB.

3. Déterminez les coordonnées de E.

4. Démontrez que−−→BE = −

−−→BC.

5. Que pouvez-vous en déduire ?

Exercice 29 pour s'entraîner.

Soient ABC un triangle et K, L et M les milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].

1. Démontrez que−−→KL =

−−→BM .

2. Déduisez-en−−→BC en fonction de

−−→KL.

Exercice 30 pour s'entraîner.

Déterminez tous les nombres x tels que ~u et ~v soient colinéaires.

1. ~u

(15

)et ~v

(x10

). 1. ~u

(23

)et ~v

(1 + x2x

).

Exercice 31Soient ABC un triangle, D et E des points tels que

−−→BE =

−→AB et

−−→ED = 2

−−→BC.

Faites une �gure puis démontrez que C est le milieu du segment [AD].

-15-

Vecteurs

Exercice 32Soient ABCD un carré, BCL etDIC destriangles équilatéraux tels que sur la �-gure ci-contre.Nous souhaitons établir l'alignement despoints A, I et L.Pour cela considérons le repère ortho-normé (D;C;A).

A B

CD

I

L

1. Donnez sans justi�cation les coordonnées de D, C, A et B.

2. Déterminez les coordonnées de I et L.

3. Calculez les coordonnées des vecteurs−→AI et

−→AL.

4. Démontrez l'alignement des points A, I et L.

Exercice 33 pour s'entraîner.

Exercice 91 page 218 du Manuel Sésamath.

Exercice 34 pour s'entraîner.

Exercice 92 page 218 du Manuel Sésamath.

Exercice 35 pour s'entraîner.

Exercice 93 page 218 du Manuel Sésamath.

Exercice 36 pour s'entraîner.

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