CERCLES SEGMENTAIRES

VARIATIONS

ET

GÉNÉRALISATIONS

Le thème d'un problème de Géométrie est le motif

qui a inspiré le problémiste

Jean-Louis AYME 1

A B

I

M

J

1 2

Résumé. L'auteur présente un thème intitulé Un cercle dans un segment de cercle… sous la forme d'une progression… Les situations envisagées proviennent de la banque de données de l'auteur. Des variations suivies de généralisations agrémentent cette recherche non exhaustive accompagnée de notes biographiques, archives et San Gaku.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Remerciements : je tiens à remercier le professeur D. G. Rogers pour des informations complémentaires

Abstract. The author presents a theme entitled a circle in a segment of a circle... in the form of a progression... Envisaged situations come from the database of the author. Variations followed generalizations adorn this accompanied by non-exhaustive search for biographical notes, archives and San Gaku 2.

1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 28/02/2015 ; jeanlouisayme@yahoo.fr 2 http://www.wasan.jp/index.html

2

2

The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically. Acknowledgements : I would like to thank Professor D. G. Rogers for more information.

Sommaire

A. Introduction 3 1. Présentation 2. Une courte biographie de Thomas Leybourn

B. Résumé des figures 6

C. Archimède de Syracuse 7 I. Terminologie

1. Segment circulaire 2. Un cercle segmentaire 3. L'arbelos II. Résultats 9 1. Un alignement 2. Un cercle orthogonal à un cercle segmentaire 3. Tangente remarquable à un cercle segmentaire 4. Equivalence ''corde-arc'' 5. Equivalence ''arc-corde'' 6. Deux cercles segmentaires tangents 7. Un premier cercle d'Archimède 8. Les cercles jumeaux d'un arbelos 9. Un cercle tangent à l'arbelos 10. Une courte biographie d'Archimède

D. Pappus d'Alexandrie 28 I. Terminologie

1. Un fer à cheval ou une lune 2. Un cercle de Pappus 3. D'un arbelos à un fer à cheval tangent II. Résultats 1. Un alignement 2. Un cercle orthogonal à un cercle de Pappus 3. Tangente remarquable à un cercle de Pappus 4. Deux cercles de Pappus tangents 5. Un cercle de James Henry Weaver 6. Un premier cercle de Pappus 7. Une courte biographie de Pappus

E. Gaston Gohierre de Longchamps 39 I. Terminologie

1. Un triangle circulaire 2. Un cercle de Longchamps II. Résultats 1. Un cercle de Longchamps 2. La corde de Longchamps 3. La corde d'Eugène Lauvernay 4. Une courte biographie de Longchamps

F. Victor Thébault 44 I. Terminologie 1. Un triangle curviligne 2. Un cercle de Thébault II. Résultats 1. La corde de Y. Sawayama 2. La corde généralisée de Lauvernay 3. Un cercle remarquable 4. Une courte biographie de Thébault

G. Deux exercices 51 1. A variation of Chinese TST 2009 2. Alkan Emre, Problème 10368, A. M. Monthly (1994)

3

3

A. INTRODUCTION 1. Présentation

3

En feuilletant le Mathematical repository 4 de 1835, la Question 531 signée N. Y. (John Lowry) a retenu

mon attention en la liant au motif suivant que j'avait en tête.

le motif

Cette question concernant l'Arbelos d'Archimède de Syracuse 5 était suivie de la solution de John Baines de Thornhill (West Yorkshire, Angleterre) un ami de Thomas Stephens Davies…

3 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ, p. 155-157 4 The New Series of The Mathematical repository volume 6, 25, Partie I , p. 155-157 5 Archimède, Lemmes 4, 5, 6 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

4

4

6

En poursuivant ma lecture, je tombait sur une nouvelle solution 7 de la Question 531 proposée par T. S. Davies (1794?–1851) de Bath (Somerset, Angleterre). Elle était accompagnée d'un développement ''collatéral'' mettant en exergue le motif ci-avant.

8

Ce développement se terminait par une étude de l'Arbelos 9.

6 Davies T.S., Article XXIII p. 209-214 ; https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ&q=531+Bath 7 The New Series of The Mathematical repository volume 6, 25, Partie II , p. 206-208

https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ&q=531+Bath p. 209-214 8 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ , p. 206-208 9 https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ , p. 206-208

5

5

2. Une courte biographie de Thomas Leybourn

10

Thomas Leybourn est né le 9 avril 1770.

En 1799, il fonde le Mathematical Repository 11 qui paraîtra jusqu'en 1804 et reparaîtra en 1806 sous un autre nom The New Series of The Mathematical repository avant de disparaître en 1835. Professeur de mathématiques de 1802 à 1839 au Royal Military College de Great Marlow (Buckinghamshire, Angleterre) délocalisé en 1812 à Sandhurst (Berkshire), il publie en 1817 un recueil de solutions proposée par le Ladies' Diary depuis sa parution en 1816. Il décède le 1er mars 1840 à Sandhurst.

10 Leybourn T., peinture datant de 1835 d'un artiste inconnu exposée au National Army Museum 11 Leybourn T., Mathematical repository vol. 1, 2, 43 (1799-1804), (old serie au XVIIIe siècle)

6

6

B. RÉSUMÉ DES FIGURES

La réalisation d'un thème passe par la fusion harmonieuse

des éléments qui le compose. Les forces émises entre les différents éléments

doivent s'équilibrer pour façonner un thème. 12

12 Monica A. R.

A B

I

M

J

1

2 3

P Tp

E B

C

D

1'

A

A*

R

Q

I

2

1

I*

A+

B C

0 A

I

A+

A*

R

Q

2

7

7

C. ARCHIMÈDE DE SYRACUSE

I. TERMINOLOGIE

1. Segment circulaire

VISION

Figure :

A B

D

1

Finition : [AB] un segment,

1 un arc de cercle passant par A et B, et D le domaine limité par [AB] et 1.

Définition : D est ''un segment circulaire''. Notation : D se notera ([AB], 1). Énoncé traditionnel :

Le segment circulaire constitue la partie entre la corde et un arc. 2. Un cercle segmentaire

VISION

Figure :

2

D

1

Finition : D un segment circulaire

et 2 un cercle de D tangent à sa corde et à son arc.

8

8

Définition : 2 est ''un cercle segmentaire de D ''. Énoncé traditionnel :

un cercle segmentaire d'un segment circulaire est à la fois

tangent à l'arc et à la corde qui le sou tend. Note historique : un cercle segmentaire a été considéré dans un cas particulier par Archimède 13. 3. L'arbelos

VISION

Figure :

A B C

0

1

2

Finition : [AB] un segment,

0 un demi-cercle de diamètre [AB], C un point de [AB] et 1, 2 les demi-cercles de diamètre resp. [AC], [CB] situés dans le même demi-plan que 0. Définition : le domaine limité par 0, 1 et 2 est ''un arbelos''. 14 Note historique : Archimède a écrit le livre des Lemmes qui a été perdu; seule sa traduction en Arabe,

puis en latin, nous est parvenue sous le titre de Liber assumptorum ; c'est à la proposition 4 de ce livre, que se trouve le célèbre théorème de l'Arbelos i.e. de la serpe ou du tranchet du cordonnier qui géométrise l'espace curviligne compris entre trois demi-circonférences tangentes deux à deux. Le danois Georg Mohr lui a aussi donné le nom de tricercle.

13 Archimède, Lemmes, proposition 5 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm 14 Heath T. L., Works of Archimedes, Cambridge (1897) Lemmes 4-6

9

9

Si les premières propriétés de l'Arbelos se trouvent dans les travaux d'Archimède, d'autres apparaissent dans les Collections de Pappus 15. Beaucoup plus tard, l'étude de l'Arbelos sera reprise dans la revue Ladies and Gentlemen's diary de 1833, 1842 et 1845, et généralisée par Jakob Steiner 16. En 1835, Sir Thomas Muir 17 ajoute un théorème donnant les formules des différents rayons et John Sturgeon MacKay rassemble quelques résultats 18 en liaison avec ce problème. En 1919, Gaston Fontené 19 généralise quelques formules émergeant de l'ensemble des cercles tangents.

Commentaire : la leçon qui consistait à l'étude systématique des propriétés de l'Arbelos, a disparu des

manuels suite à la révolution menée par Andrien-Marie Legendre (18/09/1752, Paris- 10/01/1833, Auteuil) lorsqu'il publia en 1756 ses Éléments de Géométrie.

II. RÉSULTATS 1. Alignement

VISION

Figure :

A B

I

M

J

1 2

D

15 Pappus, Collectio, édition Hultsch., Berlin (1876-8) Livre I , p. 209 et suivantes; Livre 4, p. 15-18 16 Steiner J., Gesammelte Werke, Berlin (1881) vol. I , p. 47-76 17 Muir T., Proceedings of Edinburgh Math Soc., vol III (1885) 119 18 Mackay J. S., Proceedings of Edinburgh Math Soc., vol III (1885) 2-11 19 Fontené G., Sur les cercles de Pappus, Nouvelles Annales de Mathématiques, 4 (1918) 383-?

10

10

Traits : [AB] un segment, 1 un arc de cercle passant par A et B, D le segment circulaire définie par [AB] et 1, 2 un cercle segmentaire de D,

M, J les points de contact de 2 resp. avec 1, [AB], 1' le cercle généré par 1 et I le milieu de l'arc AB de 1' ne contenant pas M. Donné : I, J et M sont alignés.

VISUALISATION

A B

I

M

J

1 2

Ti

• Notons Ti la tangente à 1 en I. • Conclusion : les cercles tangents 1 et 2, le point de base M, la monienne (IMJ), les parallèles Ti et (AB), conduisent au théorème 8' de Reim ; en conséquence, I, J et M sont alignés. Scolies : (1) ce résultat conduit à une construction d'un cercle segmentaire

(2) (MI) est la M-bissectrice intérieure du triangle MAB. 20 2. Un cercle orthogonal à un cercle segmentaire

VISION

Figure :

20 F. G.-M., Exercices de Géométrie, sixième édition (1920), J. Gabay reprint, Théorème 119

11

11

A B

I

M

J

1

2 3

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons 3 le cercle de centre I passant par A ; il passe par B. Donné : 3 est orthogonal à 2.

VISUALISATION

A B

I

M

J

1

2 4

3

• Notons 4 le cercle passant par A, J and M. • D'après Miquel "Le théorème des trois cercles concurrents" 21 appliqué au triangle IJA et à 1, 2 et 4 concurrents en M, 4 est tangent à (IA) en A. • Par définition, 3 est orthogonal à 4. • Conclusion : d'après Gaultier "Axe radical de deux cercles sécants", I étant sur l'axe radical (MJ) de 2 et 4, 3 est orthogonal à 2. 3. Tangente remarquable à un cercle segmentaire

VISION

21 Ayme J.L., Auguste Miquel, G.G.G. volume 13, p. 4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

12

12

Figure :

A B

I

M

J

1

2 3

P Tp

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons P l'un des deux points d'intersection de 3 et 2, et Tp la tangente à 2 en P. Donné : Tp passe par I. 22

VISUALISATION

• Conclusion : 3 étant orthogonal à 2, Tp passe par I. Commentaire : le Nordic Mathematical Contest (NMC) est un concours de mathématique pour les

lycéens des cinq pays nordiques, Danemark, Finlande, Islande, Norvège et Suède. Note historique: cette figure rappelle un San Gaku 23 de la préfecture d'Aichi (Japon) datant de 1843, qui a disparu à ce jour.

La tablette en bois de ce San Gaku a disparue ;

une copie datant de 1843 se trouve à Aichi prefecture

22 Davies T.S., Article XXIII p. 209-214 ; https://books.google.com/books?id=a9YLAAAAYAAJ&q=531+Bath

Nordic Mathematical Contest (30 mars 2005) problème 4 Two circles, AoPS du 11/04/2005 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=206638

23 Fukagawa H., Pedoe D., 1. 6., Japanese Temple Geometry Problems, Charles Babbage Research Centre (1989) 14, 88-89

13

13

4. Équivalence ''corde-arc''

VISION

Figure :

A B

I

J

1

3 2

D

Traits : [AB] un segment,

1 un arc de cercle passant par A et B, D le segment circulaire définie par [AB] et 1, J un point de [AB],

2 un cercle de D tangent à [AB] en J, 1' le cercle généré par 1, I le milieu de l'arc AB de 1' extérieur à D

et 3 le cercle de centre I passant par A ; il passe par B. Donné : 2 est tangent à 1 si, et seulement si, 2 est orthogonal à 3.

VISUALISATION NÉCESSAIRE

A B

I

J

1

2 3

• Hypothèse : 2 est tangent à 1.

14

14

• Conclusion : d'après B. 2., 2 est orthogonal à 3.

VISUALISATION SUFFISANTE • Hypothèse : 2 est orthogonal à 3.

A B

I

M

J

1

3 2

D+

D-

4

Ti

• Notons M le second point d'intersection de (IJ) avec 1,

4 le cercle passant par A, J, M et Ti la tangente à 1 en I. • Scolie : Ti // (AJ). • Les cercles 1 et 4, les points de base M et A, la monienne (IMJ), les parallèles Ti et (JA), conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, (IA) est tangente à 4 en A.

A B

I

M

J

1

3 2

D+

D-

4 N

• Notons N le second point d'intersection de 4 et 2. • Raisonnons par l'absurde en affirmant que N et M sont distincts. • Une chasse ''orthogonale'' :

* I étant le centre de 3, 3 est orthogonal à 4

15

15

* par hypothèse, 3 est orthogonal à 2 * 2 et 4 étant sécants, I est sur leur axe radical (JN) * en conséquence, N et M sont confondus ce qui est contradictoire.

• Conclusion : d'après B. 2., 2 est tangent à 1 en M.

5. Équivalence ''arc-corde''

VISION

Figure :

A B

I

M 1

3

D

2

Traits : [AB] un segment,

1 un arc de cercle passant par A et B, D le segment circulaire définie par [AB] et 1, M un point de 1,

2 un cercle de D tangent à 1 en M, 1' le cercle généré par 1, I le milieu de l'arc AB de 1' extérieur à D

et 3 le cercle de centre I passant par A ; il passe par B. Donné : 2 est tangent à [AB] si, et seulement si, 2 est orthogonal à 3. 24

VISUALISATION NÉCESSAIRE

24 Ayme J.-L., An equivalence, AoPS du 29/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=619136

16

16

A B

I

M

1

2 3

• Hypothèse : 2 est tangent à [AB]. • Conclusion : d'après B. 2., 2 est orthogonal à 3.

VISUALISATION SUFFISANTE • Hypothèse : 2 est orthogonal à 3.

A B

I

M 1

3

D+

D-

2

J

4

Ti

• Notons J le point d'intersection de (IM) et (AB),

4 le cercle passant par A, J, M et Ti la tangente à 1 en I. • Scolie : Ti // (AJ). • Les cercles 1 et 4, les points de base M et A, la monienne (IMJ), les parallèles Ti et (JA), conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, (IA) est tangente à 4 en A.

17

17

A B

I

M 1

3

D+

D-

2

J

4

Ti

N

• Notons N le second point d'intersection de 4 et 2. • Raisonnons par l'absurde en affirmant que N et J sont distincts. • Une chasse ''orthogonale'' :

* I étant le centre de 3, 3 est orthogonal à 4 * par hypothèse, 3 est orthogonal à 2 * 2 et 4 étant sécants, I est sur leur axe radical (MN) * en conséquence, N et J sont confondus ce qui est contradictoire.

• Conclusion : d'après B. 2., 2 est tangent à [AB] en J. 6. Deux cercles segmentaires tangents

VISION

Figure :

A B

M

1

2

4

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous précisons et ajoutons

18

18

2 est un cercle segmentaire de D et 4 un cercle segmentaire de D tangent à 2. Donné : construire 4.

VISUALISATION

A B

I

M

1

2

K M'

J'4

3

U

5

• Supposons le problème résolu. • Notons M', J', K les points de contact de 4 resp. avec 1, [AB], 1, 3 le cercle de centre I passant par A ; il passe par B ;

et U le point d'intersection des tangentes à 2 resp. en M, K. • D'après C. II. 3., (UK) passe par I. • D'après Monge "Le théorème des trois cordes" 25, la tangente à 1 en M' passe par U. • D'après Euclide "Tangentes égales", le cercle de centre U passant par M passe par K et M'. • D'après C. II. 1., (M'I) passe par J'. • Conclusion :

Organigramme de construction 1. le point U 2. le point M'

3. le point J'. 7. Un premier cercle d'Archimède 26

VISION

Figure :

25 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 26 Archimède, Lemmes, proposition 5 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

19

19

A B

1

D

0

2

Traits : [AB] un segment, 1 un arc de cercle passant par A et B, D le segment circulaire définie par [AB] et 1, 0 le cercle segmentaire de D centré sur l'axe de symétrie de D

et 2 un cercle segmentaire de D tangent à 0. Donné : construire 2.

VISUALISATION

A B

I

1

D

L

K

M

J

0

2

A

3

• Supposons le problème résolu. • Notons 1' le cercle généré par 1, I le milieu de l'arc AB de 1' extérieur à D, A l'axe de symétrie de D, L le point de contact de 0 et 1, M, J, K les points de contact de 2 resp. avec 1, [AB], 0 et 3 le cercle de centre I passant par A ; il passe par B. • D'après C. II. 2., 3 est orthogonal au cercles 0 et 2, tangents en K. • Conclusion partielle : d'après Gaultier "Axe radical de deux cercles sécants ou tangents", I est sur l'axe radical de 0 et 2 i.e. sur leur tangente commune intérieure en K.

20

20

A B

I

1

D

L

K

M

J

0

2

A

Tl

• Notons Tl la tangente à 1 en L. • D'après C. II. 3., K est le point de contact de la tangente à 0 issue de I. • Les cercles 0 et 2 tangents en K, le point de base K, les parallèles Tl et (AJB), conduisent au théorème 8' de Reim ; en conséquence, L, K et J sont alignés.

A B

I

1

D

L

K

M

J

0

2

A

Tl

• D'après C. II. 1., (IJ) passe par M. • Conclusion :

Organigramme de construction 1. le point K 2. le point J

3. le point M. Commentaire : il nous est possible de construire une chaîne de cercles segmentaires tangents à partir d'un

21

21

cercle segmentaire. Le lecteur pourra alors comprendre lorsque nous parlons d'un premier cercle d'Archimède à partir de 0.

Scolies : (1) 2 est "le premier cercle d'Archimède" d'une chaîne à construire (2) Le centre de 2

A B

1

D K

J

0

2

(3) Quatre points cocycliques

A B

I

1

D

L

N

M

J

0

2

A

• Notons N le point d’intersection de A et [AB]. • Conclusion : d'après Legendre "Quatre points cocycliques" 27, L, M, J et N sont cocycliques. • Commentaire : ce résultat est une application d'une réciproque du théorème de Reim. (4) Diamètre de 2

27 Legendre revu par Blanchet, Éléments de Géométrie 44e édition, Problème 17 à démontrer, p. 146

22

22

L

I

N A

K

E J

J"

J'

2

M

1

0

• Notons J' l'antipôle de J relativement à 2. • Les cercles tangents 0 et 2, le point de base M, la moniennes (IMJ), les parallèles (IL) et (JJ'), conduisent au théorème 7' de Reim ; en conséquence, L, M et J' sont alignés. • Notons E le point d'intersection de (LMJ') et (AN),

et J'' le point d'intersection de (JJ') et (IE). • J étant l'orthocentre du triangle LIE, nous en déduisons que (NKJ') // (IE). • Par construction, (NL) // (J'J). • Le quadrilatère INJ'J'' ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est un parallélogramme ; en conséquence, J'J'' = NI. • D'après Thalès "Rapports" J'J/J'J'' = LN/LI. • Conclusion : JJ’ = (NI.NL)/IL. Deux San Gaku

Shiiya Shrine de Niigatta Prefecture (1795) 28

28 http://www.wasan.earth.linkclub.com/niigata/shiiya.html

23

23

8. Les cercles jumeaux d'un arbelos 29

VISION Figure :

L

I

N A

2

1

0

2'

0'

Traits : [IL] un segment, 1 un demi-cercle passant par I et L, 0, 0' les demi-cercles de diamètre resp. [NL], [NI] déterminant avec 1 un arbelos

et 2, 2' les deux premiers cercles d'Archimède resp. à 0, 0'. Donné : 2 et 2' sont égaux.

VISUALISATION

• D'après C. 6., (NI.NL)/IL est le diamètre de 2. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (NI.NL)/IL est le diamètre de 2'. • Conclusion : 2 et 2' sont égaux. Scolies : (1) 2 et 2' sont "les cercles jumeaux d'Archimède" (2) Une parallèle à la droite des centres

29 Archimède, Lemmes, proposition 5

24

24

L

I

N A

O2

2 M

1

0

O M'

O2'

2'

0'

• Notons O, O2, O2' les centres resp. de 1, 2, 2' et M, M' les points de contact resp. de 2, 2' avec 0. • 1 et 2 étant tangents, O, O2et M sont alignés ; 1 et 2' étant tangents, O, O2' et M' sont alignés. • Conclusion : d'après "Un triangle isocèle décapité"

appliqué au triangle O-isocèle OMM', (MM') // (O2O2').

Note historique : en 1695, J. Chph. Sturm 30 a calculé le rayon des deux cercles d'Archimède. Ce calcul

a été redemandé sous forme de problème dans la revue anglaise Gentlemen's diary 31. Archive :

32

9. Un cercle tangent à l'arbelos

30 Sturm J. Chph. , Geometria enucleata (1695) 372 31 Gentlemen's diary (1833) 40 32 http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

25

25

VISION

Figure :

A

0

C B

2 1

Traits : 0 un cercle, [AB] un diamètre de 0, C un point de [AB], 1, 2 les cercles de diamètre resp. [AC], [CB]

et 3 le cercle tangent à 0, 1, 2. Donné : construire 3. 33

VISUALISATION

• Supposons le problème résolu. • Notons M, J, K les points de contact de 3 resp. avec 0, 1, 2

33 First Pappus circle, AoPS du 31/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=619359

26

26

I le centre interne d'homothétie de 0 et 1. • D'après D. II. 2., (IK) est la tangente commune intérieure de 2 et 3. • D'après Monge "Le théorème des trois cordes" 34, les tangentes à 0 en B et M, et à 1 en K sont concourantes. • Notons U ce point de concours. • D'après Euclide "Tangentes égales", le cercle de centre U passant par B passe par K et M. • Notons 4 ce cercle. • D'après C. II. 1., I, J et M sont alignés. • Conclusion :

Organigramme de construction 1. le point I

2. le point K 3. le point U

4. le point M 5. le point J

Archive :

35

34 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 35 http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

27

27

Un San Gaku

Ehime prefecture 1847

10. Une courte biographie d'Archimède

36

Il y avait plus d'imagination dans la tête d'Archimède

que dans celle d'Homère 37 38 Archimède naquit vers 297 a. J.-C. en Sicile 39, dans la principale cité de cette île, Syracuse. A cette époque, cette île était une riche colonie grecque. Son père Phidias était un astronome et c'est probablement avec lui qu'il commença à s'intéresser aux mathématiques. D'après Plutarque 40, il était apparenté à Hiéron qui devint roi de cette ville en 269. Très probablement, le jeune Archimède alla étudier au Musée d'Alexandrie auprès des successeurs d'Euclide, puis revint à Syracuse pour diriger des travaux portuaires, navals et militaires. Son œuvre est la plus importante de l'Antiquité car elle fait de lui un précurseur du calcul infinitésimal. Appliquant avec virtuosité la méthode d'exhaustion ou d'épuisement due à Eudoxe 41 de Cnide, il réussit à calculer l'aire d'un segment de parabole ainsi que le volume de la sphère.

36 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/A.html 37 Poète épique grec qui selon Hérodote aurait vécu v. 850 av; J.-C. 38 Voltaire, philosophe français du XVIIIe siècle 39 Les Phéniciens de Carthage ont colonisé la Sicile au VIIIe siècle av. J.C., suivit très rapidement des grecs qui établissent sur la côte est, des comptoirs et la peuplent au IV-Ve siècle. Syracuse fondée par Corinthe en 734 est la principale cité de l'île sur laquelle les grecs exercent leur hégémonie 40 Écrivain grec du premier siècle 41 Astronome et mathématicien grec du IVe siècle avant notre ère

28

28

Avec Archimède, la Géométrie élémentaire telle que nous la concevons aujourd'hui, est définitivement constituée. La fin tragique de cet illustre mathématicien et physicien, nous est parvenue au travers de l'histoire de Marcellus, général romain, qui pénétra par surprise dans la ville de Syracuse lors de la seconde guerre Puniques. Polybe 42, Tite-Live 43 et Plutarque rapportèrent que durant le siège qui dura trois ans, Archimède inventa divers systèmes mécaniques subtiles et ingénieux qui auraient élever des vaisseaux ennemis dans les airs pour les laisser ensuite retomber sur les rochers où ils se brisaient, ou bien incendier d'autres vaisseaux avec des miroirs ardents. Lors de la prise de la ville, l'histoire raconte qu'Archimède étudiait un problème au moyen de lignes tracées sur du sable comme il avait l'habitude de le faire lorsqu'un soldat lui ordonna de le suivre. Absorbé dans ses réflexions, il n'entendit point cette injonction. Irrité, la brute le transperça de son glaive. Il avait en cette année 212 avant notre ère, 75 ans et allait devenir une légende. Affligé par la mort d'Archimède, Marcellus fit graver sur son tombeau une sphère inscrite dans un cylindre pour rappeler l'un 44 de ses plus beaux résultats, accompagné de six vers grecs. En 75 av. J.-C., Cicéron alors questeur en Sicile, retrouvait le tombeau du grand géomètre, enfoui sous les ronces et les épines et le ramenait une seconde fois, comme il le dit, à la lumière.

D. ARCHIMÈDE DE SYRACUSE

ET

PAPPUS D'ALEXANDRIE

I. TERMINOLOGIE

1. Un fer à cheval ou une lune

VISION

Figure :

0

1

Finition : 0 un cercle, et 1 un cercle sécant à 0 tel que les deux arcs de la figure soient

tous deux plus grand que le demi-cercle, et dont 42 Historien grec du IIe siècle avant notre ère 43 Historien latin du Ier siècle 44 Le calcul du volume d'une sphère

29

29

les convexités sont tournées d'un même côté. Définition : le domaine limité par les arcs de 0 et 1 est ''un fer à cheval''

et celui limitée par les arc en pointillés est ''une lune'' ou ''un croissant''. 45

Scolie : cas particulier où 1 tangent à 0

A

1

0

Le domaine limité par les 0 et 1 est ''un fer à cheval tangent''

noté (0, 1)

2. Un cercle de Pappus

VISION

Figure :

A

0 2

1

Finition : Ft (0, 1) un fer à cheval tangent et 2 un cercle de Ft (0, 1) tangent intérieurement à 0 et extérieurement à 1. Donné : 2 est ''un cercle de Pappus de Ft(0, 1)''. 46

45 Fer à cheval et lune sont d'origine arabe, et croissant, indou 46 Pappus, théorème 15, Collectio 4, 15-16 Pappus, Collectio, édition Hultsch., Berlin (1876-8) vol. 1, p. 209 and ff

30

30

Note historique : Archimède avait déjà envisagé un tel cercle dans ses Lemmes. 47 3. D'un arbelos à un fer à cheval tangent

VISION

Figure :

A

0

C B

2 1

1'2'

0'

Finition : [AB] un segment,

0 un demi-cercle de diamètre [AB], C un point de [AB] 1, 2 les demi-cercles de diamètre resp. [AC], [CB]

situés dans le même demi-plan que 0 et 0', 1', 2' les cercles générés resp. par 0, 1, 2. Définition : la figure obtenue est un fer à cheval présentant un cercle de Pappus particulier.

II. RÉSULTATS

1. Un alignement

VISION

Figure :

47 Archimède, Lemmes, proposition 6 ; http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/lemmes.htm

31

31

A

1

0 M

J

I

2

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons B, C les antipôles de A resp. par rapport à 0, 1, M, J les points de contact de 2 resp. avec 0, 1 et I le centre interne d'homothétie entre 0 et 1. Donné : I, J et M sont alignés.

VISUALISATION

• Scolies : (1) M est le centre externe d'homothétie de 0 et 2 (2) J est le centre interne d'homothétie de 2 et 1 • Conclusion : d'après ''La droite de d'Alembert, cas i.i.e. '' appliqué à 0, 1 et 2, I, J et M sont alignés. Scolie : construction de I

A

O1

O

1

0

I

M

M'

(OM) et (OM') sont parallèles

2. Un cercle orthogonal à un cercle de Pappus

32

32

VISION

Figure :

A

1

0 M

J

I

2

4

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons 3 le cercle de centre I passant par A. Donné : 3 est orthogonal à 2.

VISUALISATION

• D'après Monge "Le théorème des trois cordes" 48, les tangentes à 0 en M, 1 en A et 2 en J sont concourantes.

48 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

33

33

• Notons U ce point de concours. • D'après Euclide "Tangentes égales", le cercle de centre U passant par A passe par J et M. • Notons 4 ce cercle. • Par construction, 4 est orthogonal à 0.

• Par définition, 3 est orthogonal à 4. • Conclusion : d'après Gaultier "Axe radical de deux cercles sécants", I étant sur l'axe radical (MJ) de 2 et 4, 3 est orthogonal à 2.

3. Tangente remarquable à un cercle de Pappus

VISION

Figure :

34

34

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons P l'un des deux points d'intersection de 3 et 2, et Tp la tangente à 2 en P. Donné : Tp passe par I.

VISUALISATION

• Conclusion : 3 étant orthogonal à 2, Tp passe par I. 4. Deux cercles de Pappus tangents

VISION

Figure :

B A C

M

J

0 2

I

1

3

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons 3 un cercle tangent à 0, 1 et 2.

35

35

Donné : construire 3. Commentaire : le lecteur pourra adapter la construction présentée en page 23 à la situation précédente. Un San Gaku

Aichi prefecture, Iwatsu Tenmangu Shrine

5. Un cercle de James Henry Weaver

VISION

Figure :

B A C

1

M

J

0

2

I

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons B, C les antipôles de A resp. par rapport à 0, 1 et D, E les points de contact de 2 resp. avec 0, 1. Donné : B, C, D et E sont cocycliques. 49

VISUALISATION

49 Four concyclic points, AoPS du 31/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=619366

36

36

B A C

1

M

J

0

2

I

3 4

• Notons 3 le cercle de centre I passant par A et 4 le cercle de diamètre [BC]. • Scolies : (1) 4 est un cercle de Pappus

(2) 3 est orthogonal à 2 et 4. • Conclusion : I ayant même puissance par rapport à 2 et 4, d'après Karl Feuerbach, B, C, D et E sont cocycliques. • Notons W ce cercle. 6. Un premier cercle d'une chaîne de Pappus 50

VISION

Figure :

50 Pappus, théorème 15, Collectio 4, 15-16 Pappus, Collectio, édition Hultsch., Berlin (1876-8) vol. 1, p. 209 anf ff

37

37

B A C

1

0

2

3

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons

2 le cercle de diamètre [CB] et 3 le cercle tangent à 0, 1, 2.

Donné : construire 3. 51 Commentaire : la construction a été vue à la page 23. En réitérant cette construction, il est possible d'envisager

une chaîne de cercles de Pappus tangents deux à deux. 3 pourra alors être appelé ''premier cercle de Pappus''.

Un San Gaku

Nagano prefecture 1838

51 First Pappus circle, AoPS du 31/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=619359

38

38

7. Une courte biographie de Pappus d'Alexandrie

L'un des plus excellents géomètres de l'Antiquité 52

Avec la mort de Cléopâtre en 31 av. J.-C., l'Égypte devient une province romaine et la célèbre école d'Alexandrie i.e. le Musée, connaît le début d'un lent et inexorable déclin car les romains relayés par la jeune église chrétienne ne favorisent guère la démarche scientifique. Aussi la lignée des chercheurs inspirés comme Diophante au début de notre ère, va lentement s'éteindre face à l'émergence de commentateurs comme Proclus 53

à Athènes, Eutochius 54 et Hypatie 55, la fille de Théon d'Alexandrie 56, le dernier directeur du Musée d'Alexandrie, qui sera lapidée à coups de tessons sur ordre de l'évêque Cyrille d'Alexandrie en mars 415, par une foule hostile au savoir profane. La mort d'Hypatie marque pour les historiens la fin de l'École d'Alexandrie et de la culture grecque. Pappus naît à Alexandrie (Égypte) vers 250. Si les écrits nous suggèrent qu'il a été un précepteur, nous ne savons rien vraiment de sa vie. D'après les écrits de Proclus, nous savons qu'il dirigeait une école à Alexandrie. Dans l'histoire de la Géométrie, Pappus apparaît comme le dernier mathématicien grec avant la chute de l'empire romain d'occident en 476. Vers 340, il rassemble et commente dans son œuvre 57 majeure Synagoge dont huit volumes nous sont seulement parvenus, le reste ayant été perdu, les découvertes des mathématiciens les plus célèbres, et donne parallèlement une multitude de propositions curieuses et de lemmes personnels, tous destinés à faciliter la lecture des ouvrages des Anciens ; en particulier, nous trouvons une réflexion conduisant au théorème relatif au rapport anharmonique et notamment la "proposition 139" non démontrée du Livre VII des Collections, germe du futur théorème de Pascal où les deux droites seront remplacées par une conique ou un cercle. C'est dans le livre VII inspiré par Theodosius, Autolycus, Aristarchus, Euclide, Apollonius, Aristote et Ératosthène que Pappus développe le raisonnement par analyse et synthèse. Nous savons que Pappus a dédicacé son travail à son fils Hermodorus, à Pendrosion, à Megethion et qu'il cite le philosophe Hierus pour l'avoir encouragé à étudier certains problèmes de mathématiques. Rappelons qu'il utilisa avec élégance la méthode de symétrie appelée encore duplication ou retournement, pour démontrer certains résultats. Ayant apparemment vécu toute sa vie à Alexandrie, il y décède vers 350.

52 Descartes R. 53 Né à Constantinople en 412- mort à Athènes en 485. Il fera un commentaire du Livre I des Éléments 54 (vers 540). Il commentera les oeuvres d'Archimède et d'Apollonius 55 Elle rééditera les Éléments d'Euclide 56 Nous lui devons le mot "analyse" qu'il donna à la méthode trouvée par Platon 57 Collection mathématique υναγωγ´η ou Synagoge

39

39

D. GASTON GOHIERRE DE LONGCHAMPS

I. TERMINOLOGIE

1. Un triangle circulaire

VISION

Figure :

B C

1' A

1

Finition : (B, C, 1) un segment circulaire, 1' l'arc complémentaire de 1 et A un point de 1'. Définition : le domaine limité par (AB), (AC) et 1 est ''un triangle circulaire''. Commentaire : le segment d'un segment circulaire est devenu un triangle. Notation : (ABC, 1) 2. Un cercle de Longchamps

VISION

Figure :

40

40

B C

1'A

2

1

Finition : (ABC, 1 ) un triangle circulaire,

et 2 le cercle tangent à (AB), (AC) et 1. Définition : 2 est ''le A-cercle de Longchamps de ABC''. 58 Un San Gaku

Miyagi prefecture, 1912

58 En anglais, mixtilinear incircle

41

41

II. RÉSULTATS 1. La corde de Longchamps

VISION

Figure :

B C

0 A

I R

Q

2

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons 0 le cercle circonscrit à ABC, Q, R les points de contact de 2 resp. avec (AC), (AB) et I le centre du triangle ABC. Donné : Q, R et I sont alignés. 59 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 60 Scolies : (1) 2 est ''le A-cercle de Longchamps du triangle ABC''

(2) le résultat d'Etienne Deprez 61

59 Longchamps (Gohierre de) G., Question 659, Mathesis IX (1889) 207 60 Ayme J.-L., A new mixtilinear incircle adventure I , G.G.G. vol. 4, p. 10-12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 61 Deprez E., Mathesis X (1890) 67-68

42

42

B C

0 A

I R

Q

2

• Conclusion : (AI) est la médiatrice de [QR]. Énoncé traditionnel :

la polaire de A relativement au A-cercle de Longchamps de ABC passe par

le centre du cercle inscrit à ce triangle. Archive :

Année 1893

3. La corde d'Eugène Lauvernay

VISION

Figure :

43

43

B C

0 A

I

A+

A*

2

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons A+ le premier A-perpoint de ABC et A* le point de contact de 2 et 0. Donné : A*, I et A+ sont alignés 62. Scolie : A* est ''le A-point de Longchamps de ABC''. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 63

Cet alignement permet de construire A*. 4. Une courte biographie de Longchamps

dit Elgé

Gaston Albert Gohierre de Longchamps est né le 1er mars 1842 à Alençon (Orne, Belgique). Élève de l'École Normale supérieure en 1863, il suit dans ses échappées lumineuses d'autres cours que ceux dispensés, en particulier ceux de Charles Hermite, de Charles Auguste Briot et de Jean Serret. Agrégé de mathématiques en 1871, il épouse en 1873 Marie Jeanne Eugénie Simon. Professeur de Mathématiques élémentaires au Lycée Fontanes de Niort, puis de Mathématiques spéciales successivement au lycée de Poitiers, au lycée Impérial de Mont de Marsan, au lycée Charlemagne (Paris), annexe de l'École Nations Supérieure, et, enfin, au lycée Condorcet (Paris) en 1893 à Paris. En 1888, il est nommé proviseur du lycée Saint-Louis et restera à ce poste jusqu'en 1897. Examinateur à l'admission à l'École de Saint-Cyr et à l'École spéciale militaire, il prend en 1882 la direction du Journal de Mathématiques Élémentaires et Spéciales fondé par Bourget qu'il sépare en deux journaux. Il signera plusieurs articles sous le pseudonyme d'Elgé dans ces revues qu'il dirigera jusqu'en 1898. Philanthrope utopiste, chef de file de l'école saint-simonienne, de Longchamps fonda une communauté modèle, à Ménilmontant, avec quarante disciples. Il était l'ami d'Édouard Lucas qui professait au Lycée Saint-Louis, et voyait arriver avec calme la fin de sa vie. Il décède à Paris en 1906. 62 Lauvernay E., Journal de Mathématique Élémentaire, n° 390 (1892) 63 Ayme J.-L., A new mixtilinear incircle adventure I , G.G.G. vol. 4, p. 17-18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

44

44

E. VICTOR THÉBAULT

I. TERMINOLOGIE

1. Un triangle curviligne

VISION

Figure :

B

C

A

1

1'

Finition : (B, C, 1) un segment circulaire, 1' le cercle généré par 1 et A un point intérieur à 1'. Définition : le domaine limité par (AB), (AC) et 1 est ''un triangle curviligne''. Commentaire : le triangle circulaire est devenu curviligne. Notation : (ABC, 1) 2. Un cercle de Thébault

VISION

Figure :

45

45

B

C

A

2

1

1'

Finition : (ABC, 1) un triangle curviligne

et 2 le cercle tangent à (AB), (AC) et 1. Définition : 2 est ''le cercle de Thébault de (ABC, 1)''. Deux San Gaku

Fukushima prefecture, Yakushido Temple, 1791

46

46

Nagano prefecture1853

II. RÉSULTATS

1. La corde de Y. Sawayama

VISION

Figure :

E B

C

D

1'

A

R

Q

I

2

1

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons D, E les seconds points d'intersection de (AC), (AB) avec 1', I le centre du triangle BEC et Q, R les points de contact de 2 resp. avec (AB), (AC) Donné : Q, R et I sont alignés.

47

47

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur les sites Forum Geometricorum et celui de l'auteur 64.

Cette preuve a été reprise par Alexander Bogomolny dans cut-the-Knot 65 où il précise

The proof by Ayme is a slight modification of that by Sawayama. Along the way, Ayme corrects a logical gap in the original proof.

2. La corde généralisée de Lauvernay

VISION

Figure :

E B

C

D

1'

A

A*

R

Q

I

2

1

I*

A+

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons I* le centre du triangle ABC, A* le point de contact de 2 et 1, et A+ le milieu de l'arc BC ne contenant pas A*. Donné : A*, I* et A+ sont alignés. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 66 3. Un cercle remarquable

VISION

64 Ayme J. -L., Sawayama and Thébault's theorem, Forum Geometricorum vol. 3 (2003) 225-229 ; http://forumgeom.fau.edu/ Ayme J. -L., Sawayama and Thébault's theorem, G.G.G. vol. 10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 65 Bogomolny A., cut-the-Knot ; http://www.cut-the-Knot/curriculum/Geometry/DrozFarny.html 66 Ayme J.-L., Mixtilinear (in/ex)-circles, G.G.G. vol. 20, p. 6-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

48

48

Figure :

E B

C

D

1'

A

A*

R

Q

I

2

1

I*

Traits : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. Donné : B, I*, Q et A* sont cocycliques. Commentaire : ce résultat est une extraversion du problème 2 posé aux O.M. Inde en 2001.

Une preuve synthétique analogue à ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 67 Scolie : C, I*, R et A* sont cocycliques

E B

C

D

1'

A

A*

R

Q

I

2

1

I*

67 Ayme J.-L., Un résultat remarquable de V. Protassov, G.G.G. vol. 2, p. 2-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

49

49

Cet alignement permet de construire A*. 4. Une courte biographie de Victor Thébault

Le mathématicien aux mille problèmes

ou

le fameux "problémiste" français.

Victor Michel Jean-Marie Thébault est né à Ambrières-le-Grand (Mayenne, France), le 6 mars 1882. Élève de l'École normale de Laval de 1898 à 1900, puis instituteur à Pré-en-Pail de 1902 à 1905, puis professeur à l'École technique d'Ernée, il rejoint l'École primaire supérieure (normale) en 1909 et publie l'année suivante son premier article dans les Nouvelles Annales de Mathématiques qui accepteront 21 autres articles et 31 questions. Trouvant son salaire insuffisant pour sa grande famille composée de six enfants, il quitte l'enseignement pour devenir de 1910 à 1923, superintendant d'une usine à Ernée. En 1924, il entre dans une compagnie d'assurance au Mans (Sarthe) comme chef inspecteur et ce jusqu'en 1940 date de sa mise à la retraite. En 1932, à la suite des recommandations plus qu'élogieuses de Maurice d'Ocagne, Victor Thébault est nommé Officier de l'Instruction Publique et, pour sa part, la Belgique l'élève au grade d'Officier de l'Ordre de la Couronne. Il se retire à Tennie, un petit village de la Sarthe d'environ 200 habitants, dans un petit château du XIXe siècle qu'il appelait Le Paradis et qu'il proposera de vendre au dentiste-géomètre de Beverley Hill (Californie, États unis) Léon Bankoff lors de sa visite. Pendant l'occupation de la France, il séjourne dans le nord de l'Espagne, à San Sebastián (Pays Basque). Il décède le 19 mars 1960 d'une congestion cérébrale.

50

50

Pour la petite histoire, sa demeure sise rue Andrée Le Grou deviendra en 1960 la Mairie de Tennie. Mathématicien prolixe, Victor Thébault a écrit de nombreux articles et posé beaucoup de questions. De 1913 à 1960, il publie dans la revue belge Mathesis des articles et des courtes notes. En 1920, il commence à publier dans les Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (Belgique), puis à partir de 1927, il se manifeste dans la revue roumaine Gazeta Matematica, puis à partir de 1935, il participe activement dans l'American Mathematical Monthly avec plus de 600 interventions et où un In Memoria 68 lui sera consacré après son décès. Il contribue aussi à d'autres revues comme Sphynx, Scripta Mathematica, Mathematics Magazine, The Mathematical Gazette (Angleterre), The Tohoku mathematical journal (Japon), les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, le Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège (Belgique), l'Éducation mathématique, le Journal des mathématiques élémentaires, l'Enseignemnt mathématique (Suisse), le Bulletin scientifique de l'École Polytechnique de Timisoara (Roumanie). Au moment de son décès, il préparait une brochure sur l'Arbelos. Pour terminer, rappelons son dévouement pour la revue Mathesis en citant les paroles de Roland Deaux

l'attachement de Thébault à Mathesis était profond. Cet homme au grand cœur, pour qui la reconnaissance d'un bienfait reçu est une joie,

n'a jamais oublié les encouragements et l'aide quelui ont prodigués Joseph Neuberg et Adolphe Mineur anciens — éditeurs de Mathesis —

dont les photographies ornaient d'ailleurs son bureau. Il s'est juré de faire pour le bien de la Revue tout ce qui serait en son pouvoir.

Au lendemain de la seconde guerre mondiale, les abonnements à Mathesis sont peu nombreux, les fonds sont maigres, insuffisants pour l'impression d'un fascicule. Une main généreuse, celle de Victor Thébault, fournit la manne salvatrice. Pendant les années suivantes, les formalités exigées pour le contrôle des changes découragent les abonnés français. Par une centaine de cartes postales écrites de sa main, geste qu'il répétera chaque année, Victor Thébault invite ses compatriotes à effectuer leur versement sur son compte de chèques postaux et le tout est remis à Mathesis par les soins de l'UNESCO. En outre, ses contributions financières personnelles ont toujours été fort généreuses et, afin de ne pas restreindre la diffusion de la Revue, il payait de ses deniers les abonnements de certains correspondants en situation difficile. En 1953, se rendant compte du poids que représente pour une seule personne la rédaction de Mathesis, Victor Thébault, âgé de 71 ans, offre spontanément de prendre la responsabilité des solutions des questions d'arithmétique et de géométrie élémentaire . . . Moins de deux ans après son décès, Mathesis cessait de paraître.

68 Colonel W. E. Byrne du Virginia Military Institute, A distinguished contributor to the Monthly, V. Thébault –The Man, American Mathematical Monthly (1947) 443

51

51

E. DEUX EXERCICES

1. A variation of Chinese TST 2009

VISION

Figure :

S

O

A

T

B

Ps

Pb

1

2

Traits : 1, 2 deux cercles tangents tels que 1 soit intérieur à 2, O le centre de 1, S le point de contact de 1 et 2, [AB] une corde de 2 tangente à 1, T le point de contact de [AB] et 1, Pb la perpendiculaire à (AB) en B et Ps la perpendiculaire à (ST) en S. Donné : Ps, Pb et (AO) sont concourantes. 69 Commentaire : Animath est une association loi 1901. Son but est de promouvoir l'activité mathématique auprès du grand public et notamment auprès des jeunes. La preuve qui en a été donnée fait appel au théorème de Ceva trigonométrique.

69 Exercice 9 de l'OFM de Animath ; http://www.animath.fr/IMG/pdf/ofm-2014-2015-envoi-2-solutions.pdf

Animath ; http://www.animath.fr/ Thalès, Homothétie, autre, Les Mathématiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1034685 Collinearity, AoPS du 25/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=618732 If and only if, Chinese TST 2009 1st quiz P1, AoPS du 21/03/2009 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1442915

52

52

VISUALISATION

S

O

A

T

B

R

Pb

1

2

U

Ps

• Notons R le point d'intersection de Ps et Pb, U le point d'intersection de (AB) et (SR). • Scolies : (1) (ST) est la S-bissectrice intérieure du triangle SAB (2) (SR) est la S-bissectrice extérieure du triangle SAB (3) d'après Euclide, le quaterne (A, B, T, U) est harmonique. • Conclusion partielle : le pinceau (S ; A, B, T, U) est harmonique.

53

53

S

O

A

T

B

R

1

2

U

V 3

• Notons V le second point d'intersection de (SR) avec 1 et 3 le cercle de diamètre [RT] ; il passe par B et S. • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', [TV] est un diamètre de 1 : en conséquence, O est le milieu de [TV]. • Les cercles 3 et 1, les points de base S et T, les moniennes (RSV) et (BTT), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (RB) // (VT). • Conclusion partielle : le pinceau (R ; O, B, T, U) est harmonique. • Les pinceaux harmoniques (S ; A, B, T, U) et (R ; O, B, T, U) ayant trois points alignés en commun, (RO) passe par A.

• Conclusion : Ps, Pb et (AO) sont concourantes.

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2. Une bissectrice d'un triangle curviligne

VISION

Figure :

A B C

P

R

0

1

Traits : 0 un cercle, [AB] un diamètre horizontal de 0, C un point de [AB], P le point nord intersection de la perpendiculaire à (AB) en C avec 0, 1 le cercle inscrit dans le triangle curviligne CPA et R le point de contact de 1 avec [AB]. Donné : (PR) est la bissectrice de <APC. 70

VISUALISATION

A B C

P

R

S 0

1

Q

• Notons S le point de contact de 1 avec [PC] et Q le second point d'intersection de (PC) avec 0. • D'après F. II. 1. La corde de Sawayama, (RS) passe par le centre du triangle AQP. • PAQ étant A-isocèle, la A-hauteur (ACB) est aussi la A-bissectrice ;

70 Alkan Emre, Problème 10368, American Mathematical Monthly (1994), 273

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en conséquence, R est le centre de PAQ. • Conclusion : d'après Pythagore "Le centre I", (PR) est la bissectrice de <APC.

Note historique : la solution de Lossers a recours à l'inversion alors que celle de Woord 71 utilise les notions de puissance et d'angle;

d'autres solutions trigonométrique, analytique sont mentionnées dans l'article du Monthly. En 1995, ce résultat a été proposé comme problème lors des Olympiades Mathématique d'Israël.

71 Woord A. N., Lossers O. P., American Mathematical Monthly vol. 104, 8 (1997), 768-769