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Variables didactiques

et erreurs types

premier apprentissage des nombres

(maternelle/CP)

1. Lesproblèmesd’équipotence

a. Variablesdidactiques

- placesrespectivesdescollections

- organisationdesobjetsenjeu

- nombred’objetsdelacollectionderéférence

- conditionderéalisationdelatâche

2. Lesproblèmesderepérages


- naturedesboîtes:sont-ellestoutesidentiquesounon?

- modalités de repérage: peut-on désigner du doigt? Peut-on écrire sur

lesboîtes?

3. Problèmesdemodificationdequantités


- latailledesnombres

- lefaitquelesobjetssoientdisponiblesentotalité,partiellementoupas

dutout

numération décimale

1. Comparaisondesnombresentiers

a. Erreursfréquentes

- erreursdutype46>203: l’élèvecompare4et2«degauche»sansse

soucierdelavaleurqu’ilsreprésentent(4dizaineset2centimes)

- erreursdutype23<17:l’élève(auCP)n’apascomprisleplusgranddes

deuxnombres23et17,maiséchouesiildoitcoderlacomparaison

- symbolisme de la comparaison non maitrisée (signes > et <): l’élève

réussit,sionluidemanded’entourerleplusgranddesdeuxnombres23

et17,maiséchoues’ildoitcoderlacomparaison

- comparaisondesnombresàpartirdeschiffresdesunités:123<56car3

<6

2. Problèmespourécrirelasuitedesnombres

a. Erreursfréquentes(suitedesnombresdeunenun)

- après 29, l’élève écrit 39: l’élève fait «avancer de un» le chiffre des

dizainesmaispasceluidesunités

o ilaretenuquepouraugmenterde1unnombrequiseterminepar

9,onaugmentede1lechiffresituéàdroitede9sansavoirperçu

quelechiffredesunitéspasseàzéro

- après29,l’élèveécrit210:pourlui«après9ilya10»

- après310,l’élèveécrit320:ilneconsidèrepaslezérocommeunchiffre

commelesautres

3. Problèmespourplacerourepérerdesnombressurunelignegraduée

a. Erreursfréquentespourplacerlesnombres

- l’élèvenetientpascomptedupaschoisi:deunenun,dedixendix,etc.

- l’élèvenetientpascomptedesrelationsentrelesnombres

4. Apprentissagedelacorrespondanceoralchiffré

a. Erreursfréquentespourlireetécrirelesnombres

- 76traduitpar616ou6016,l’élèvetraduitcequ’ilentend/cequ’illit

o 1ercas:«soixante»appelle6et«seize»appelle16

o 2ecas:«soixante»appelle60et«seize»appelle16

- 2050traduitpar250oupar200050

o 1er cas: l’élève écrit le 2 et le 50 en ne tenant pas compte du

«mille»,qu’ilnesaitpascommentécrire

o 2ecas:écrituredechaquetermeentendu

Fractions et nombres décimaux

1. Fractionsetnombresdécimauxpourexprimerunemesure

a. Introductiondesfractionsàpartird’unebandeunité

i. Variablesdidactiques

- rapportentrelalongueurdusegmentetcelledelabandeunité(variable

principale)

- nombredebandesunitédisponiblespour l’élève, le rapportétantplus

facile à gérer lorsque les bandesdes unités peuvent êtremises bout à

bout

- possibilitédeplierlesbandesdedifférentesfaçonscarlatâcheestainsi

facilitée

- longueur de la bande unité: plus celle-ci est longue, plus les parts

obtenuesparpartageen2,3,4ou5peuventêtredistinguées lesunes

desautres

2. Désignationdesfractionsetdesnombresdécimaux

a. Désignationdesfractions

i. Erreursfréquentesdansl’écrituredesfractions

- non différenciation de 4/3 et 3/4: l’élève inverse la fonction du

dénominateuretcelledunumérateur

- impossibilitédedonnerdusensauxfractionssupérieuresà1:difficilede

concevoir ce que peut représenter 4/3 d’une tarte (qui ne peut être

découpéequ’en3tiers)

- difficultéàconcevoirque2/3=4/6:4et6>2et3donc,pourcertains

élèves,4/6>2/3

b. Désignationdesnombresdécimaux

i. Erreursfréquentesdansl’écrituredesnombresdécimaux

- confusion entre écriture décimale et écriture fractionnaire: l’écriture

fractionnaire, comme l’écriture décimale, signale seulement une

séparationentredeuxnombresentiers,d’oùl’égalité2/10:2,10

- écriture décimale conçue comme représentant deux nombres entiers

séparés par une virgule: par exemple-> 1,8 + 2,6 = 3,14: traitement

séparé des nombres entiers «avant la virgule» et ceux «après la

virgule»

- mauvaisemaîtrisedelasignificationdeschiffresd’uneécritureàvirgule

en fonctiondu rangqu’ils occupent: confusiondesmots«dizaine»et

«dixième»parexemple

- lesmotsdizaine,dixième…désignentdesrangsplusquedesvaleurs

c. comparaisondesnombresdécimaux

i. erreursrelativesàlacomparaisondenombresdécimaux

Ellessontfréquentesaucycle3:

- nonpriseencomptedelavirgule:«lenombreleplusgrandestceluiqui

estécritavecleplusdechiffres»

- les parties entières étant égales, comparaison des parties «après la

virgule»commes’ils’agissaitdenombresentiers

- toutnombrepossèdeunsuccesseur

- entreunnombreentier etunnombreécrit avecdeux chiffres après la

virgule,onnepeutplacerqu’unnombrequiaunchiffreaprèslavirgule:

parexemple3<3,1<3,09

- «plus on se déplace vers la droite, plus les chiffres ont une valeur

faible»

Addition et soustraction

1. Variablesdidactiques

- latailledesnombres,latailledeleurécart

- laconfigurationdesnombres

o lesnombres«ronds»rendentlecalculplusfacile

o lesnombresdécimauxrendentlecalculplusdifficile

- lamiseàdispositionounond’outilsdecalcul

multiplication et division


a. Problèmeàrésoudreparunemultiplicationouunedivision

- type de problème: les problèmes du type «proportion simple» sont,

parexemple,souventmieuxréussisquelesproblèmesdutype«produit

demesure»

- typedenombresutilisés

- tailledesnombresenjeu:rendpossibleounontelleoutelleprocédure

surtoutpourladivision

- outilsdecalculdisponibleounon

b. problèmededivision

3autresvariablesdidactiquess’ajoutent:

- valeurduquotient:plusoumoins facileàcalculerselonqu’ilauunou

plusieurschiffres…

- existenceounond’unrestenonnul

- réponseàinterpréteràpartird’untermedeladivision

o La réponse peut être fournie: soit par le quotient entier, par le

quotientaugmentédeun,parlereste,parlequotientetlereste

2. erreurscaractéristiques

a. problèmesnefaisantintervenirquedesnombresentiers

- erreursdans lechoixde laprocédurederésolution:ellespeuventêtre

influencéespardestermesdel’énoncéouparuncontextedifférent

- erreursdansl’exécutiondelaprocédurechoisieoudansl’interprétation

descalculseffectués

- erreursdanslecalcul

Organisation et gestion de données


a. Problèmesdemiseenrelationtexte/tableau

- lacomplexitédutexteetladispersiondesdonnéesdansletexte

- le nombre de catégories qui détermine le nombre d’entrées dans le

tableau

- laquantitédedonnées

- lafamiliaritéplusoumoinsgrandedel’élèveaveclecontexte

b. problèmesdemiseenrelationtexte/graphique

- typedegraphique:paslemêmeniveaudedifficultédelecture

- éléments du graphique: la signification des axes, l’échelle choisie sur

chaqueaxe,graduationdesaxes,leslignesderappel

- variablesrelativesàlamiseenœuvredelaproportionnalité

Géométrie plane

1. Reconnaîtreunconceptgéométriqueàpartird’unereprésentation


- laprésenceounond’instruments

- lefaitquelafigureàreconnaîtresoitisoléeounon

- lefaitquelafigureàreconnaîtresoitenpositionprototypiqueounon

b. Erreursetdifficultés

- l’élève ne dispose pas d’images mentales des figures qu’il doit

reconnaître

- ilnereconnaîtlesfiguresquelorsqu’ellessontenpositionprototypique

- il ne contrôle pas toutes les propriétés et a des difficultés à utiliser

certainsinstrumentsdanslecadred’unereconnaissanceinstrumentée

- il rencontredesdifficultéspour isolerunefigure surtoutsicette figure

n’estpasenpositionprototypique

- il peut avoir des difficultés dues à une mauvaise connaissance du

vocabulaire(termeinconnuouconfonduavecunautre)

- ilpeut fairedeserreursparcequ’il yaconfusionentre lesobjetsde la

géométrieetleurreprésentation

2. Construirelareprésentationd’unconceptgéométrique


- lefaitd’avoirunefigureàcompléterouàconstruiretotalement

- lefaitque ledébutde laconstructionsoitenpositionprototypiqueou

non,danslecasd’unefigureàcompléter

- lanaturedelafigureàconstruire

b. Difficultéseterreurs

- l’élèven’arrivepasàmobiliserd’imagesmentalesanticipatrices

- l’utilisationdesinstruments

- difficultésdevocabulaire

- confusionentrelesobjetsdelagéométrie

3. Problèmesdeconstructiond’unefigure


- letypedesupport

- lesinstrumentsdontdisposentlesélèves

- laspécificitédesdessinsàréaliser

- latailledel’espacedanslaquellelafigureestàréaliser


- l’élèveneconnaîtpaslespropriétés

- siunschémaestnécessaire,l’élèvenes’autorisepasàledessinercaril

pensequ’ilfautimmédiatementfaireunefigureprécise

- difficultésàréaliserleschéma

- difficultésàlireleschéma

4. Problèmesdereproductiond’unefigureàl’échelle1


- lesupportdelareproduction

- lesfiguresdebase

- lesliensentrelesdifférentesfiguresdebase

- lachronologiedelaconstruction


- àrepérerdesfiguresetdespropriétésdebasedansunefigurecomplexe

- àidentifierlesliensentrelesfiguresdebase

- àétablirunechronologiedestracés

- àexécuterdestracésgéométriques

5. Problèmes de reproduction d’une figure avec agrandissement ou

réduction


- lanatureducoefficientd’agrandissement

- lesrelationsentrelesdifférentesmesuresdelafigureàagrandir

- lapossibilitédedisposerd’unerèglegraduée

- laprésencederelationsgéométriquesdanslafigure


- l’élèvenevoitpaslesrelationsentrelesdifférentsélémentsdelafigure

- l’élèveesttentéd’utiliserlemodèleadditif

- l’élèvepeutplacerapproximativementcertainspointsquimanquent

6. Problèmesdedescriptiond’unefigure


- Cf:constructiondefigure


- auniveauduvocabulaire

- auniveaudelaconnaissancedespropriétésquicaractérisentlesfigures

debasedesobjetsàdécrire

- auniveaudel’effortdedécentrationqu’obligetoutedescription:ilfaut

semettreàlaplacedel’autre

- auniveaudelanominationdecertainspointsdelafigure,quiaudépart

nesontpascodées

- auniveaudusensquel’élèvedonneàl’activitédedescriptionquiluiest

proposé

o êtrecomprisdesoninterlocuteur?

o montrer (à l’enseignant) ce qu’il sait, sans se soucier d’être

comprisdesoninterlocuteur?

7. Lasymétrieaxiale


- lesoutilsdontdisposel’élève:

o lepapiercalque

o ungéomiroir

o pasd’outilsetnepeutpasplierlafeuille

- lesupportsurlequelestreprésentéelafigure:

OU

Papierquadrillé

L'axenecorrespondpasàunelignedu

quadrillageSOIT

L'axedesymétriecorrespondàuneligneduquadrillage

Papierblanc

- lescaractéristiquesdelafigure

o l’orientationdel’axe(quandilexiste)

o lenombred’axesdesymétrie

o lafamiliaritédel’élèveaveclafigure

- lesfiguresdebasequiconstituentlafigure

o la figure est composée de deux éléments isolés qui sont

symétriques

o la figure est composée de deux éléments superposables non

symétriques

o la figure peut-être partagée par une droite en deux parties

superposables

8. Tracerlesymétriqued’unefigureparrapportàunaxe

a. Difficultéseterreurs

- setromperdansledénombrementdescarreaux

- construirelesymétriqued’unpointcorrectementpuisplacerl’imagede

lafigureenlatranslatant

- suivreleslignesduquadrillagepourtracerlesymétriqued’unpointdans

lecasd’unaxeportéparlesdiagonalesdescarreauxduquadrillage

- tracerlesymétriquedetouslespoints,maissetromperenjoignantses

points

b. Variablesdidactiques

- consignesdonnéesauxélèves

- matérielmisàdispositiondesélèves

- l’axe

- lafigure

- l’espaceréservéauxélèvespourrépondre

Repéragedans l’espace

Ètude de solides

1. Repéragedansl’espace


i. Dimensionsdel’espace

- lesdimensionsdel’espacepeuventêtre1,2ou3

o chercher à repérer un objet parmi d’autres objets identiques

(dimension1)

o décrireuntrajet(dimension2)

o indiquerlapositiond’unobjetparrapportàsoi(dimension3)

ii. Naturedel’espace

- microespace

- mesoEspace

- macroExpace

iii. Présencederepèresfixes

- dansl’espacedeclasse:porte,bureauetc.

- dansl’espaced’unefeuillerectangulaire:orientationportrait/paysage

- dansunquadrillage:systèmedecoordonnées

o leslignesetcolonnessontidentifiées

o leslignesetcolonnesnesontpasnommées

iv. Moyendecommunication

- unmessageoralouécrit

- unschémaàmainlevée,unplanouunecarteàl’échelle

v. Placedeslocuteurs(émetteuretrécepteur)

b. Difficultésrencontréesparlesélèves

- difficultésàsedécentrerdanslecasdel’utilisationderepèrerelatif

- difficultéàrendrecongruentel’orientationd’unplanetcelledel’espace

danslequelontravaille

- difficultéliéeauquadrillage

2. Lepolyèdre

a. Identifierlespropriétésdupolyèdre

L’élèveale

polyèdreenmain

L’élèven’apaslepolyèdreenmain,

maisillevoit

L’élèveaseulementledessinen

perspectivedupolyèdre

Variables,erreursetdifficultés

Lafamiliaritéqu’al’élèveavecle

solide

Lenombredefaces,sommets,

arêtes

Lanaturedesfaces

Difficulté:les

facesnesontpastoutesvisiblesd’unseulcoup

d’œil

Onretrouvelesmêmesvariables

queprécédemment+ilnepeutpasmanipulerlepolyèdre

Onretrouvelesmêmesvariables

queprécédemment

Difficulté:identifierla

naturedesfaceslatérales

b. Reconnaîtreunpatrond’unpolyèdre

i. Variablesdidactiques

- lanaturedusolide

- laprésenceounondusolide

ii. Erreursetreconnaissance

- l’élèvepensequelepatrond’unsolideatoujourslamêmeforme

- l’élèvenes’assurepasquetouteslesfacesdusolidesoientreprésentées

- l’élève n’arrive pas mentalement à calculer les côtés des différents

polyèdres de même dimension, ni le fait que les deux faces ne se

superposerontpasaumomentdupliage

grandeurs et mesures

1. Compétencesrelativesauxlongueurs:comparersansmesurer

Savoircomparer

deslongueursd’objets

«rectilignes»sansinstrument

demesure

Savoircomparerleslongueursdelignesbriséesetdespérimètres

Savoircomparerdeslongueursdelignescourbesetdespérimètresavecungabarit

Difficultés/Erreurs

Élèvesnon-conservantsDifficultésdemanipulationentrainantdesproblèmesdeprécision

L’élèvenevoitpaslelienentrelecompasetlacomparaisondelongueurscarcompas=cercle.L’élèveappliquedesthéorèmesenacte

Problèmes demanipulationDifficultés àmémoriser lenombre dereports

Difficultésdemanipulation

2. Compétencesrelativesàlamesuredelongueurs

Savoirmesurerdeslongueursd’objets«rectilignes»avecledoubledécimètre

Savoirmesurerlalongueurd’unelignebriséeoulepérimètred’unefigureavecundouble

décimètre

Savoirmesurerlepérimètre

d’unpolygonepar

lecalcul

Savoirmesurerlepérimètred’uncercle

Variablesdidactiqu

es

Naturedurapportentrelalongueuràdétermineretlesunités(cm/mm)

Lamesuredechaquesegment(nombreentier?)

Lenombredesegments

quiconstituentlaligne

Lesmêmes+naturesdupolygones

x

Difficultés/Erreurs

L’élèveplacedirectementl’extrémitéde

l’objetsurledébutdelarègle(etnonà

zéro)

L’élèven’arrivepas

L’élèveneperçoitpaslelienentrel’additionetlessegments

Nombresdécimaux:

Mauvaise

mémorisationdelaformule

Confusionavecla

formuledel’airedu

Défautde

mémorisationdel’ordredesunités

Méconnaissa

ncedesrelations

àdonnerunrésultatlorsquece

n’estpasunnombreentier

Erreursàlalecture

desmm

L’élèvepeutsetrouverbloqué

Surcharge

cognitive:oublied’ajouterdes

longueursobtenuesparlesreportssuccessifsou

erreursdecalcul

Difficultésdemanipulation

difficultésàadditionner

Plusilyadessegments,

pluslerisqued’oublisetd’erreursest

élevé

rectangle/carré

entrelesdifférentesunités

Silenombrededépartoulerésultatestunnombredécimal,

erreursliéesàl’écrituredécimaledesnombresetàlamaîtrise

descalculs(xou/par10,100etc.)

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