VaR Risk Metrics

La Value-at-Risk La Valeur à Risque

I. GENERALITES

I.1. Introduction: Le besoin d’une mesure de risque standardisée (VaR)

Jusqu’à la fin des années 80, les méthodes utilisées pour détecter et gérer les risques de

marché n’étaient adaptées qu’à des produits spécifiques. Il était alors impossible de comparer

les mesures de risques entre les différentes « tables » d’une même salle de trading.

L’accroissement de la volatilité des marchés financiers, le développement spectaculaire des

produits dérivés et, surtout, une série de désastres (les plus connus étant ceux de la banque

Baring, de Metallgesellschaft, de la banque Daiwa et du Comité d’Orange aux Etats-Unis) ont

poussé les instituts financiers à rechercher un indicateur global et synthétique des risques

financiers, à partir d’outils adéquats de contrôle interne qui devront assurer la qualité du

processus de mesure, de suivi, et de gestion du risque.

En juillet 1993, le Groupe des 30 (constitué de représentants de l’industrie financière et

des autorités de surveillance) recommandait de quantifier les risques par une mesure uniforme

appelée Value-at-Risk (VaR). Cette recommandation a été très largement suivie puisque la

VaR est devenue, en quelques années, un standard pour l’évaluation des risques financiers.

Plusieurs évènements ont favorisé son adoption par la communauté financière :

Octobre 1994 : la banque d’affaires américaine JP Morgan1 dévoile sa méthodologie

RiskMetrics et la met gratuitement à disposition sur Internet.

Janvier 1996 : le Comité de Bâle adopte l’amendement « Risques de marché » aux

Accords de Bâle de 1988. Cet amendement permet aux banques de choisir entre la méthode

standardisée et leur propre modèle pour calculer la consommation en fonds propres de leurs

activités de négociation. Contrairement aux méthodes de la VaR, la méthode standardisée ne

tient pas compte des effets de diversification et implique en pratique une plus grande

consommation de fonds propres.

La Capital Adequacy Directive (CAD) a fait de la VaR l’outil privilégié de calcul de la

quantité nécessaire de fonds propres pour les activités de marché de la banque.

L’objectif de notre étude est d’introduire la notion de VaR, de montrer comment elle se

calcule et de discuter ses applications.

1 “At the close of business each day, tell me what the market risks are across all business and location.” Dennis Weatherstone, Chairman, JP Morgan

Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004

1


I.2. Cadre juridique, réglementation comptable et prudentielle de la VaR

L’objectif de cette section est de présenter l’intérêt des méthodes d’évaluation des

risques au niveau juridique.

Les opérations de marché des établissements de crédit et des entreprises d’investissement ont

en effet connu un important développement au cours des vingt dernières années, en liaison

notamment avec la déréglementation et la libéralisation des marchés de capitaux et la

législation bancaire à tenter de suivre. Des travaux menés dans un cadre international, au

Comité de Bâle, au niveau communautaire et national, ont permis d’élaborer des normes en

vue de mieux appréhender les risques de marché. Le but est d’obtenir des normes comptables

prudentielles permettant de contrôler le risque bancaire.

Organismes définissant les règles du contrôle bancaire

Le dispositif consiste à prévoir une mesure des risques résultant des opérations de marché,

ainsi qu’une couverture de ceux-ci par des exigences de fonds propres. L’intérêt de la VaR est

qu’elle apporte de nouvelles exigences par rapport aux anciennes méthodes du ratio de

solvabilité.

Le CRB par la réglementation du 21 juillet 1995 définit quatre risques de marché :


2

Comité de Réglementation Bancaire

(CRB)Niveau national

Comité de BâleNiveau International

Etablissements de crédit et entreprises

d’investissement

Etablissements de crédit et entreprises

d’investissement

Conseil de L’Union Européenne (CAD)

Niveau Communautaire


1. Le risque de taux d’intérêt : Obligations, titres de créances négociables et instruments

assimilés

2. Le risque de variation du prix des titres de propriété : Actions et instruments assimilés

3. Le risque de réglementation contrepartie : Titres de créances ou de propriété, pensions

prêts et emprunts de titres, dérivés de gré à gré.

4. Le risque de change :

Pour les trois premiers types de risques, seuls les éléments du bilan et du hors bilan inclus

dans le portefeuille de négociation (titres de transactions et de placements, produits dérivés)

sont soumis aux exigences de fonds propres. Pour le risque de change, il a pour assiette

l’ensemble des éléments du bilan et du hors bilan.

Les établissements doivent déterminer, au sein de leur portefeuille de négociation, les

positions nettes sur chacun des titres ou instruments, c’est-à-dire le solde acheteur ou vendeur.

Pour les positions sur dérivés, les banques devaient jusqu’en janvier 1996, les convertir en

positions équivalentes sur le titre sous-jacent ou en positions de change équivalentes.

Maintenant, le Comité de Bâle accepte la gestion à partir des coefficients delta gamma et

vega.

Pour évaluer les risques, les autorités de contrôle acceptent deux types de modèle :

I.2.1. L’approche standard :

Le modèle est construit par les autorités de contrôle. Dans ce cas, différentes méthodes

sont proposées pour déterminer la position nette relative à chaque type de risque. Par ailleurs,

les établissements peuvent être autorisés à recourir à des algorithmes prédéfinis, pour

déterminer directement le risque afférent à leurs positions sur les dérivés.

Pour chaque classe de risque précédemment définie, l’approche standard sépare le risque

général du risque spécifique, propre à chaque titre.

Il est évident que cette méthode est difficile à mettre en œuvre pour les banques. Elle

n’accepte pas le principe de diversification et nécessite une gestion ligne par ligne. Aussi, les

grandes banques ont fait le forcing auprès des autorités de contrôle pour obtenir le droit de

développer des modèles propres.

I.2.2. L’approche interne


3


Ainsi, le 9 avril 1995 le Comité de Bâle a accepté que les banques développent elles-

mêmes des modèles d’évaluation des risques. Les modèles évaluant le risque potentiel de

pertes maximales : VaR , se sont développés. Ces modèles doivent toujours être soumis au

contrôle des autorités mais surtout, le besoin en fonds propres résultant du modèle est

multiplié par un facteur compris entre 3 et 4.

Les modèles doivent répondre à deux types de conditions :

Conditions qualitatives : Il s’agit principalement de conditions destinées à s’assurer de

l’existence d’un contrôle satisfaisant des risques au sein de l’établissement. Une unité spéciale

de contrôle doit produire des rapports quotidiens d’évaluation du respect des limites de

risques. Elle doit également être chargée de vérifier les résultats et la fiabilité du modèle et

faire rapport à la direction générale, qui doit elle-même être impliquée dans le processus de

contrôle. Des scénarios de crises doivent impérativement être analysés.

Conditions quantitatives : Si aucun modèle n’est prescrit, la prise en compte des risques

doit être satisfaisante et reposer sur des hypothèses statistiques imposées. Les modèles doivent

en outre, prévoir l’agrégation par simple somme des risques potentiels de pertes maximales

pour chaque catégorie de risques. Par ailleurs, une exigence en fonds propres supplémentaire

est requise dans le cas où le modèle interne ne prend pas en compte de manière adéquate le

risque spécifique associé aux instruments dérivés de taux et d’actions.

La Commission Bancaire peut autoriser un établissement à utiliser son modèle interne pour

déterminer les exigences relatives à l’un des trois types de risques seulement, et à avoir

recours à la méthode standard pour les autres.

I.2.3. Le calcul des fonds propres :

Les fonds propres éligibles :

1. Bénéfices hors activité de négociation.

2. Actions, réserves et autres.

3. Fonds propres sur-complémentaires : Ce sont les profits effectivement enregistrés sur le

portefeuille de négociation et non les plus-values latentes. On trouve aussi les emprunts

subordonnés à plus de deux ans. Ils ne doivent pas dépasser 250 % des fonds propres

classiques.

Par la réglementation 95-02, le CRB en accord avec la CAD de l’Union Européenne, a défini

la charge de fonds propres nécessaires :


4


Le facteur m est compris entre 3 et 4.Il est évident que la complexité grandissante des instruments financiers, ainsi que la taille des

groupes bancaires, rend toute généralisation de ces calculs très difficile. Pour Madame

Danièle Novy, Secrétaire générale adjoint du Comité de Bâle, une bonne information

financière (disclosure) de chaque groupe sur les opérations et sur les modèles peut

remplacer à terme une réglementation trop généraliste.

I.3. Le concept de VaR

Conceptuellement, la VaR est une notion très simple : l’idée est de résumer en un

seul nombre l’ensemble des pertes potentielles que peut subir le portefeuille d’activités

financières de la banque en agrégeant toutes ses positions, c’est à dire en une mesure

cohérente de risque. La VaR essaie donc de quantifier dans un intervalle de confiance pré-

spécifié, la perte potentielle maximum que peut subir une position isolée donnée, ou un

portefeuille ou la banque dans son ensemble, sur une courte période de temps (allant de 1 à 10

jours ouvrés) dans des conditions de marché normales. Cette mesure basée sur des conditions

de marché normales n’a que très peu de portée dans des périodes de mouvements extrêmes du

marché, il faudra donc recourir à des tests de stress et à des analyses de scénarios afin de

compléter cette mesure. Cette mesure appliquée à différents portefeuilles de la banque devrait

permettre d’identifier les activités les plus consommatrices de fonds propres pour le risque de

marché, et ainsi d’allouer ces fonds propres aux activités les plus rentables. Car plus la perte

potentielle est importante pour un niveau de rentabilité donné moins l’activité semble

rentable.

Il faut noter que la CAD laisse le choix aux organismes financiers de la méthode

standard ou alternative pour le calcul de la charge en fonds propres liée aux activités de

marchés (ce montant est souvent rapporté aux fonds propres total). La méthode standard

consiste à considérer séparément les différentes catégories d’actifs et de leur attribuer

indépendamment un pourcentage de fonds propres nécessaire pour le risque de marché. La

méthode alternative est basée sur le modèle interne de VaR de la banque. Cette méthode doit

prendre en compte les effets de diversification entre les différentes catégories d’actifs.

Pour introduire l’idée de base, prenons un exemple. Vous avez investi une partie de

vos économies dans un portefeuille d’actions suisses. Votre conseiller vient de vous informer


5


que la valeur de votre portefeuille a encore baissé le mois dernier et que celui-ci vaut

maintenant 50'000 francs suisses. Après avoir écouté ses explications sur les raisons de cette

mauvaise performance, vous désirerez sûrement avoir une idée de la perte maximale que le

portefeuille pourrait enregistrer d’ici la fin du mois. La réponse la plus correcte serait que

vous pourriez perdre toutes vos économies. Or cette réponse n’est pas satisfaisante parce

qu’elle ne vous apporte rien de nouveau et, surtout, parce que le scénario de perte totale a

trop peu de chances de se produire. Il serait plus réaliste et plus professionnel de dire : «Qu’en

l’absence d’événements exceptionnels, il y a 95% de chances que le portefeuille reparte à la

hausse ou qu’il perde 4'000 francs ou moins d’ici la fin du mois. » C’est le genre de réponse

que la méthode VaR permet de donner.

Par définition, la VaR d’un portefeuille d’actifs financiers correspond au montant de

pertes maximum sur un horizon de temps donné, si l’on exclut un ensemble d’événements

défavorables (worst case scenarios) ayant une faible probabilité de se produire.

A l’aide du concept VaR, on peut ainsi exprimer en un seul chiffre le montant à risque d’un

portefeuille, même si celui-ci est composé de plusieurs classes d’actifs (actions, obligations,

options, devises, etc.). On pourra alors dire si le portefeuille est trop risqué ou non, en

fonction du chiffre obtenu, de la valeur du portefeuille et de l’aversion au risque de

l’investisseur.

Reprenons l’exemple précédent. La VaR à 95% et sur un horizon de temps d’un mois

de votre portefeuille est égale à 4'000 francs. Cela signifie que si le portefeuille ne change pas

jusqu’à la fin du mois et que les conditions du marché restent normales, il y a 95% de chances

pour que la perte sur tout le mois soit inférieure à 4'000 francs. Les événements défavorables

(worst case scenarios) ont une probabilité de 5%. Le portefeuille perdrait alors plus

de 4'000 francs si l’un de ces derniers devait se produire. Il faut noter que la perte totale fait

partie des événements défavorables. Bien entendu, ce calcul ne signifie pas que votre

portefeuille ne réalisera pas de performance positive sur le mois.

Les modèles de VaR développés par les banques essaient de mesurer la perte d’un

portefeuille (ou de la banque dans son ensemble) pour une période de détention spécifique qui

ne sera dépassée seulement qu’un certain pourcentage de fois (le plus généralement 1% ou

5%). Elle est aussi définie comme la perte potentielle maximale pour une probabilité fixée sur

une période de détention donnée.

La VaR d’une position de marché est donc un nombre censé mesurer et résumer le risque

encouru sur cette position. Les risques considérés sont généralement ceux liés aux fluctuations


6


des taux d’intérêt, du cours de change des monnaies, du prix des actions et du cours des

matières premières.

Si l’on dispose de la distribution de la variation ( P ) de valeur du portefeuille,

mathématiquement la VaR est égale à l’inverse de la fonction de répartition de la loi de P

évaluée en p (p=5% ou 1%).

Si l’on note X la variable aléatoire représentant la variation de valeur du portefeuille

(variation pour un intervalle de temps t j jours si la période de détention est de j jours),

alors on cherche le nombre VaR tel que : . En

inversant cette équation et en supposant une loi normale N(o;) pour , on obtient

, ou est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Loi normale centrée réduite: illustration

Ci-dessous, a été donnée une illustration graphique de la densité de probabilité d’une loi

normale N(0 ;15) pour 30000 observations ,pour p=0.01 VaR=-2.33*15%*P.


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0

1000

2000

3000

4000

5000

-60 -40 -20 0 20 40 60

Series: RSample 1 30000Observations 30000

Mean 0.029012Median -0.011326Maximum 64.55084Minimum -57.42176Std. Dev. 14.99157Skewness 0.005798Kurtosis 3.001255

Jarque-Bera 0.170071Probability 0.918480

I.4. La démarche générale pour le calcul de la VaR

L’approche moderne de la VaR a pour objectif d’évaluer le risque global de la banque

en prenant en compte toutes les interactions possibles entre les différents actifs et passifs.

Il existe différentes méthodes de mesure de la VaR, mais elles ont en commun ces différents

points :

La VaR tend à être un outil général de gestion qui quantifie le risque en global,

voyant la firme comme un portefeuille géant d’actifs et de passifs avec des valeurs de

marché fluctuantes.

L’utilisation d’informations statistiques : c’est-à-dire toutes les informations

statistiques pertinentes à propos des composantes du portefeuille, comme les volatilités

historiques et les corrélations entre les différentes sources de risques qui sont utilisées

dans la quantification du risque du portefeuille.

La reconnaissance de l’interaction : il faut prendre en compte dans le portefeuille

total les effets de diversification et de couverture. Par exemple une position couverte est

assez peu risquée tandis qu’une position sur un dérivé seul peut se révéler très risquée.

Pour cette raison le risque d’un portefeuille n’est généralement pas la simple somme des

risques de ces différentes composantes, et la contribution marginale d’une position au

risque total d’un portefeuille dépend de la composition du portefeuille.

Le concept de VaR semble plutôt simple, mais sa mise en œuvre pratique ne l’est pas.


8

VaR p=1%VaR p=1%


Il existe différentes mesures qui se différencient par leurs hypothèses et les outils statistiques

utilisés. Cependant, les principes de bases restent les mêmes entre les différentes mesures.

Pour commencer, les données concernant l’ensemble des positions de l’institution financière

doivent être réunies dans une base de données centralisée. Cette tâche n’est pas toujours

évidente.

Toutes les positions doivent être valorisées à leur valeur de marché.

Une fois les données centralisées, le risque global doit être calculé par agrégation des

risques des instruments individuels entrant dans la composition du portefeuille, de sorte que

les effets de diversification soient correctement pris en compte.

C’est à dire qu’il faut déterminer les facteurs de risque individuels communs aux

différentes positions comme les principaux indices boursiers, les principaux cours de change

et de matières premières et les taux zéro coupons pour différentes maturités, qui sont censés

influencer les différentes composantes du portefeuille.

Il faut choisir la période de détention, le plus généralement un, cinq ou dix jours

ouvrés.

Il faut déterminer les variations des facteurs de risques individuels pour la période de

détention, basées sur la distribution des changements de prix constatés sur un échantillon

d’observations historiques prédéterminé.

Puis il faut estimer les effets des variations des facteurs de risques individuels sur la

valeur des composantes du portefeuille.

La VaR peut ensuite être calculée, une fois que la relation précise entre la variation de la

valeur du portefeuille et les variations de chaque source de risque individuel a été déterminée.

Cette dernière étape est sans doute la plus difficile pour le calcul de la VaR, et nécessite

certaines approximations qui peuvent se révéler dangereuses.

Il ressort une hypothèse sous-jacente dans l’étape de la détermination des facteurs de risques,

et de l’effet de la variation de ces facteurs sur la valeur du portefeuille. C’est à dire que la

distribution des futures variations des facteurs de risques est identique à celle des variations

passées (stabilité de la loi), et que la relation entre la variation de la valeur du portefeuille et

les variations des facteurs est stable.

Les différentes procédures pour ces deux dernières étapes classifient les méthodes de

détermination de la VaR en différentes catégories.

I.5. Modélisation des risques de marché


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A ce stade, nous pouvons nous demander s’il est vraiment nécessaire de faire

intervenir des probabilités dans l’évaluation des risques financiers. Pour répondre à cette

question, il faut observer que la principale cause de ces risques est l’incertitude liée à

l’évolution des prix. A l’heure actuelle, la théorie des probabilités est le meilleur outil dont on

dispose pour modéliser cette incertitude. Le processus de modélisation se déroule en deux

étapes : description de l’ensemble de tous les événements futurs possible, puis assignation

d’une pondération à chacun d’entre eux pour représenter sa probabilité de réalisation. Le

modèle ainsi obtenu est synthétisé par son diagramme de fréquence, appelé loi de probabilité

ou distribution du modèle. La distribution la plus connue est la distribution normale (ou de

Gauss cf. supra représentation graphique): c’est la fameuse courbe en forme de cloche utilisée

dans de nombreux domaines scientifiques.

Pour déterminer le risque d’un portefeuille, il faut d’abord identifier les différentes

variables de marché, appelées facteurs de risque, susceptibles d’influer sur l’évolution future

du portefeuille (prix d’actions, taux de change, taux d’intérêt, etc.). Chaque facteur de risque

est ensuite modélisé par une distribution (de probabilité). La distribution des pertes et profits

du portefeuille résultera d’une combinaison adéquate des choix effectués pour les facteurs de

risque.

Une question fondamentale demeure : comment choisir un modèle de distribution pour

une variable de marché ? Idéalement, il faudrait un modèle qui soit simple et qui « colle » très

bien aux observations empiriques. Dans notre contexte, le modèle le plus simple est la

distribution normale, une loi très connue et qui est déterminée par deux paramètres : la

moyenne et la volatilité. C’est d’ailleurs la loi qui peut servir de base au CAPM et qui est le

point de départ du modèle de Black-Scholes. Malheureusement, de nombreuses études

empiriques ont montré que ce modèle probabiliste « colle » mal aux observations empiriques.

Les krachs boursiers sont les manifestations les plus spectaculaires de cette

inadéquation. Par exemple, les deux plus importantes baisses de l’indice Dow Jones sur une

séance se sont produites le 19 octobre 1987 (-22.61%) et le 28 octobre 1929 (-12.82%), soit à

un intervalle de 58 ans. Pour une seconde illustration, la Banque Cantonale Vaudoise a

considéré les rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001. Les

principaux indicateurs de ces rendements sont consignés dans le tableau I ci-dessous. Il faut

noter que le rendement quotidien moyen est très faible par rapport à la volatilité.

Tableau I : statistiques des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001.


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Nombres d'observations 500

Rendement moyen 0.0134%

Volatilité (écart-type) 0.9984%

Rendement minimal (obtenu le 22.03.2001) -5.78%

Rendement maximal (obtenu le 16.03.2000) 3.93%

Source : Banque Cantonale Vaudoise, Datastream

Le graphique I présente l’histogramme des rendements quotidiens du SMI entre les deux dates

mentionnées, c’est-à-dire la distribution empirique des rendements. la distribution normale la

plus proche des observations historiques a été superposée.

Graphique I : histogramme des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001 avec sa meilleure approximation normale.

Source : Banque Cantonale Vaudoise, Datastream

Contrairement à la distribution normale, l’empirique possède une asymétrie entre les gains et

les pertes et elle est plus « effilée » autour de la moyenne. On observe aussi beaucoup plus de

rendements extrêmes que la distribution normale ne le prévoit. Autrement dit, le choix d’une

distribution normale pour modéliser les rendements quotidiens du SMI conduirait à une sous-

estimation des risques de pertes (ou de gains) extrêmes. Un test d’adéquation statistique

(appelé test de Jarque-Bera) a été effectué sur les données et le résultat confirme que

l’hypothèse de normalité ne « colle » pas avec les observations.


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Pour améliorer l’adéquation avec les données empiriques, on peut considérer des distributions

plus compliquées ou alors intégrer le fait (observé empiriquement) que la volatilité des

rendements varie dans le temps. Les modèles actuellement disponibles combinent ces deux

solutions. Ces modèles plus compliqués ne sont pas forcément plus efficaces, car ils posent de

délicats problèmes d’identification et d’estimation. Il faut donc chercher un compromis entre

l’efficacité et l’adéquation avec les données empiriques.

I.6. Les trois paramètres d’une VaR

La VaR d’un portefeuille dépend de trois paramètres :

Distribution des pertes et profits du portefeuille en fin de période.

Niveau de confiance qui est égale à 1 moins la probabilité des événements

défavorables. Par exemple, un niveau de confiance de 95% si l’on désire ignorer les 5%

relatifs aux événements les plus défavorables.

Période de temps sur laquelle sur laquelle on désire mesurer la VaR.

Graphique II : représentation graphique de la VaR.

Le paramètre le plus important est la distribution des pertes et profits du portefeuille. C’est

aussi le paramètre le plus difficile à déterminer. Comme le niveau de confiance dépend de

l’aversion au risque du propriétaire du portefeuille, plus ce niveau est important et plus la

VaR sera élevée. Autrement dit, si le propriétaire craint les risques, il s’arrangera pour que la

probabilité des événements défavorables soit très petite. En ce qui concerne l’horizon de

temps, il dépend surtout de la fréquence de recomposition du portefeuille et de la liquidité des


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actifs financiers qui y sont contenus. Pour les mesures de VaR des portefeuilles de

négociation des instituts financiers, la réglementation impose un niveau de confiance de 99%

et une période de dix jours ouvrables, soit deux semaines.

I.7. Remarques

Contrairement à ce que l’on a pu lire ça et là, la notion de VaR n’a été ni inventée par

les financiers, ni par la banque américaine JP Morgan. Les actuaires utilisent cette notion

depuis plus d’un siècle pour calculer les probabilités de ruine et de réserves de solvabilité.

Dans ce domaine , le niveau de confiance est toutefois plus élevé (99.9%) et l’horizon de

temps plus vaste (au moins une année).

La méthodologie de la VaR a été étendue à la quantification des risques de crédit et

aussi à la mesure des risques de marché d’entreprises non financières. Dans ces deux cas, il

est souvent nécessaire de prendre des horizons de temps plus longs, par exemple un an.

I.8. Exemples de mesures de la VaR

Rappelons que la « Value at Risk » est la perte potentielle maximale, à l’intérieur d’un

intervalle de confiance donnée, supportée par un établissement sur son portefeuille de

positions, dans l’hypothèse d’un scénario défavorable de marché sur un horizon déterminé.

Exemple1 : Calcul de la VaR

Soit le portefeuille suivant :

Long 100 USD/FRF spot (Position X1)Long 500 FRF zéro coupon 10 ans (Position X2)Acheteur équivalent 100 FRF CAC 40 (Position X3)Quelle est la Value at Risk de ce portefeuille ? 1.Estimation des paramètres (volatilités et corrélations)

Hypothèses : volatilité USD/FRF : 9%9 %

volatilité taux FRF 10 ans : 14 %

volatilité CAC 40 : 26% 26 %

corrélation USD/FRF et taux FRF 10 ans : +0,071 +

0,071

corrélation USD/FRF et CAC 40 : + 0,39

corrélation taux FRF 10 ans et CAC 40 : + 0,11

Données de marché :USD/FRF : 5,50

taux zéro coupon continu 10 ans : 5 %


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CAC 40 : 4000

2.Calcul de la variance du portefeuille

Volatilité de la position de change : 100 USD x 5,50 x 9 % x = 9,86 FRF

Volatilité de la position de taux : 500e -(10x5%) x 10 x 14 % x 5 % x = 4,23 FRF

Volatilité de la position de CAC 40 : 100 FRF x 26 % = 5,18 FRF

Variance du portefeuille :

[9,86]2 + [4,23]2 + [5,18]2

- 2 x 0,071 x 9,86 x 4,23 + 2 x 0,39 x 9,86 x 5,18

- 2 x 0,11 x 4,23 x 5,18

= 171,04 MF²

d'où volatilité de portefeuille = = 13,08 MF

d' où VaR. (2,33 ) = 2,33 x 13,08 = 30,47 MF

Exemple2:

Depuis quelques années, les grands groupes financiers publient des informations sur la VaR

de leur portefeuille de négociation. Deux raisons peuvent expliquer une telle démarche :

volonté délibérée de transparence (pression concurrentielle ?) et exigence de la SEC (le

gendarme de la bourse américaine) en matière de communication financière. Le tableau II

présente des chiffres extraits des rapports annuels 2000 du Credit Suisse Group, de l’UBS et

de la Deutsche Bank. Les chiffres pour la Deutsche Bank ont été convertis en francs suisses

au taux de change EUR/CHF en vigueur fin 1999 et fin 2000.

Tableau II : exemples de mesures de la VaR de portefeuilles de négociation. Le niveau de confiance est de 99% et l’horizon de temps de 10 jours.

Source : Rapports annuels 2000 des trois banques

Ce tableau montre que les trois banques ont réduit leur exposition au risque de marché entre

fin 1999 et fin 2000. Les corrections survenues sur les marchés des actions en 2000 ne doivent

pas être étrangères à ces réductions. On aurait aussi envie de déduire de ce tableau que l’UBS


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a pris plus de risques que les deux autres banques. Une telle déduction n’est malheureusement

pas correcte. En effet, on verra que les banques utilisent des méthodes différentes pour

calculer leur VaR et que les résultats de ces dernières ne sont pas directement comparables.

II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR

La méthode de calcul est déterminée par la distribution choisie pour modéliser les pertes

et profits du portefeuille. Le calcul de la VaR peut s’effectuer aussi bien pour une position

isolée ou un facteur de risque seul que pour un portefeuille, voire pour la totalité des actifs

d’une entreprise. Nous allons donc présenter les méthodes d’estimation de la VaR les plus

utilisées.

II.1. La méthode de la matrice des variances-covariances estimée

On émet l’hypothèse que les rendements du portefeuille et des facteurs de risque ont des

distributions normales. Même si cette hypothèse n’est pas empiriquement justifiée, elle

permet de simplifier énormément les calculs. Voici ses principales étapes :

1. Calculer la valeur actuelle V0 du portefeuille.

2. Estimer la moyenne m et la volatilité2 des rendements futurs du portefeuille (à partir

de données historiques).

3. La VaR du portefeuille est donnée par la formule suivante :

VaR=V0(-m + zq.), où: zq est égal à 1.65 si le niveau de confiance est de 95% et égal à 2.33

si ce dernier est de 99%.

La méthode de la matrice des variances-covariances estimée suppose que les variations de

prix :

sont stationnaires dans le temps ;

sont conditionnellement distribuées suivant une loi normale ;

s’expriment linéairement à partir des facteurs de risque.

Pour les produits non linéaires (options), une linéarisation prenant en compte les indications

delta, gamma et thêta est appliquée.

II.2. La méthode RiskMetrics

La méthode RiskMetrics est une méthode paramétrique, c’est à dire qu’elle a pour

hypothèse que les taux de rentabilité des facteurs de risque appartiennent à une certaine classe

2 La volatilité décrit la dispersion de la variable « return d’un actif » autour de sa valeur moyenne.


15


de loi qui peut être déterminée par ses paramètres. Elle postule donc la forme de la

distribution des taux de rentabilité.

Si l’on postule des loi normales pour les taux de rentabilité des facteurs de risque, il est

possible de connaître la variation la plus défavorable qui n’aura que x% de chance d’être

dépassée. Par exemple pour x=1, la rentabilité ne tombera en dessous de qu’une fois

sur cent. Alors pour une position donnée i, connaissant sa valeur de marché(V i) et sa

sensibilité à son facteur de risque(Si), il est possible de déterminer la valeur la plus

défavorable qui n’aura que 1% de chance d’être dépassée en effectuant le calcul :

Di=Vi*Si*2.33.

Les sensibilités sont déterminées par des méthodes d’évaluation locale faisant

généralement intervenir le premier ordre du développement de Taylor (delta, ou au mieux le

deuxième ordre gamma). Cette méthode d’évaluation locale pose des problèmes lorsque les

variations sont importantes et lorsque la variation de la valeur du portefeuille n’est pas

linéaire pour tous les niveaux de prix (options).

Une fois postulée la forme de la distribution pour les facteurs de risque, en l’occurrence la loi

normale (ou plus précisément une loi normale multivariée), il est nécessaire de déterminer la

matrice de variance-covariance (m) des facteurs de risque sur la période historique

d’observation. Dans le calcul des variances et des covariances, il est possible de donner le

même poids à toutes les observations ou un poids décroissant en fonction du temps.

Connaissant m, et le vecteur D des Di, il est possible de calculer la VaR :

2/1* tVDDVaR t , ou t est la période de détention.

L’hypothèse de normalité des distributions des taux de rentabilité de court terme n’est en

générale pas satisfaisante mais permet une grande simplicité dans les calculs. En effet, ces

distributions sont souvent leptokurtiques, ce qui implique des événements extrêmes plus

fréquents que pour la loi normale.

II.3. L’analyse historique

C’est sans doute la méthode la plus simple dans sa conception et sa mise en œuvre.

En effet, il suffit des données historiques des gains et pertes journalières du portefeuille dont

l’on souhaite calculer la VaR. A partir de ces données, il est possible de reconstituer la

distribution empirique des gains et pertes journalières et d’en déduire la VaR en tronquant

95% ou 99% de la distribution.


16


Le problème est que si la composition du portefeuille change souvent, cette approche ne

permettra pas de composer une VaR qui reflète la situation courante. C’est pour cela que l’on

adopte plutôt la méthode de la simulation historique.

II.4. La méthode de la simulation historique

Supposons que l’on veuille calculer la VaR pour une période de détention de un jour, à

partir des données historiques sur un an. Nous utilisons donc les séries passées journalières

des facteurs de risques qui influent sur notre portefeuille, et un modèle d’évaluation ou

fonction de prix qui relie la variation du portefeuille aux variations des facteurs de risque.

A partir de ces séries journalières, il faut calculer les variations relatives des facteurs de risque

qui tiennent donc compte directement des corrélations entre ces facteurs. On applique ensuite

ces variations aux valeurs actuelles des facteurs de risque. Il est ainsi possible à partir de la

composition actuelle du portefeuille et de la fonction de prix qui relie P aux F de simuler

la distribution empirique de la variation de valeur du portefeuille, et donc d’en tirer la VaR.

Cette méthode a pour avantage de ne pas supposer la normalité des distributions des taux de

rentabilité des facteurs de risque. Elle peut donc prendre en compte des queues plus épaisses

dans la distribution de la variation de valeur du portefeuille et donc des événements extrêmes.

Cependant la distribution simulée est complètement dépendante de la période

d’observation considérée, et donc la prise en compte des événements extrêmes aussi. De plus

afin d’avoir une distribution la plus précise possible, il est nécessaire de prendre une longue

période de données historiques qui n’est pas toujours disponible.

Par exemple pour générer 1000 scénarios (un scénario est le calcul de F pour chaque facteur

de risque pour la période t ) pour une période de détention de 10 jours ( jt 10 ), il faut

4010/250/1000 ans de données. C’est la raison pour laquelle on a souvent recours à la

simulation de Monte Carlo.

De plus, augmenter la période d’observation pour l’estimation des distributions des

rendements des facteurs de risque peut inclure l’erreur de non stationnarité des lois

considérées.

La méthode d’estimation de la VaR par analyse historique est celle qui est prônée par Chase

Manhattan3, avec les systèmes Charisma et Risk$.

II.5. La méthode de la simulation de Monte Carlo

3 CHASE MANHATTAN BANK N.A ; Value at Risk: its measurement and uses, Chase Manhattan Bank N.A; s.d.


17


La simulation de Monte Carlo est une méthode paramétrique, c’est à dire que cette

méthode requiert la connaissance de la forme et des paramètres des distributions des facteurs

de risque. Connaissant ces éléments, il est possible de simuler de nombreuses trajectoires pour

chaque facteur de risque, tout en tenant compte des corrélations entre chaque facteur de

risque. Comme dans le modèle précédent, il est nécessaire d’avoir un modèle d’évaluation ou

une fonction de prix qui relie la variation de la valeur du portefeuille aux variations des

facteurs de risque. A partir de la composition actuelle du portefeuille et des nombreux

scénarios tirés, il est donc possible de simuler la distribution de variation de valeur du

portefeuille puis d’en tirer la VaR.

Dans le problème de construction de la distribution de la perte et de l’estimation de la VaR, la

méthode de simulation de Monte Carlo est prônée par Bankers trust, avec son système RaRoc

2020.

La simulation de Monte Carlo diffère de la simulation historique sur un aspect

principal. Tandis que les scénarios des facteurs de risque sont directement pris du passé dans

l’approche historique, ils ont à être simulé à travers une modélisation mathématique dans

l’approche stochastique. Pour modéliser l’évolution des facteurs de risque, il est nécessaire de

spécifier un processus stochastique pour chaque facteur, et d’estimer les paramètres de ces

processus ainsi que les corrélations entre les parties aléatoires des processus.

Les avantages et inconvénients des différentes méthodes sont résumés dans le tableau III.

Tableau III : comparaison des principales méthodes de calcul de la VaR


18


Source : Banque Cantonale Vaudoise

Une application de ces différentes méthodes de calcul à un cas simple a été effectuée. Nous

sommes le 16 mai 2001 et nous avons 50'000 francs suisses investis dans l’indice SMI. On

aimerait calculer la VaR de ce portefeuille à l’aide des quatre méthodes que nous venons de

présenter. L’horizon de temps est d’un mois (soit 20 jours ouvrables) et les niveaux de

confiance considérés de 95% et 99%. La série des prix de clôture journaliers du SMI entre le

16 juin 1999 et le 15 mai 2001 est utilisée pour les estimations de paramètres et les calculs,

soit 500 rendements quotidiens. Pour chaque méthode, on calcule d’abord la VaR sur un jour

et on multiplie le résultat par la racine carrée de 20 pour avoir la VaR sur un mois (règle de la

racine carrée). Les VaR du portefeuille selon les quatre méthodes sont présentées dans le

tableau IV.

Tableau IV: VaR d’un portefeuille SMI valant 50'000 francs au 16 mai 2001 et pour un horizon d’un mois.


19



Pour un même portefeuille, on obtient donc des mesures VaR différentes. Dans cet exemple,

la différence entre les méthodes Variance-Covariance et Monte Carlo s’explique par un

problème d’échantillonnage. L’écart serait moindre si on avait considéré plus de scénarios

pour Monte carlo. Pour le niveau de confiance de 95%, c’est la méthode historique qui donne

la plus petite valeur, alors que pour celui de 99% ce sont les méthodes Variance- Covariance

et Monte Carlo qui la fournissent. Ce qui illustre le fait que la Variance-Covariance sous-

estime les événements extrêmes.

Dans leurs rapports annuels 2000, les trois banques citées dans le tableau II ont indiqué les

méthodes VaR qu’elles utilisent. La Deutsche Bank effectue ses calculs par simulation Monte

Carlo, tandis que l’UBS utilise la méthode historique avec 5 ans de données. Le Credit Suisse

Group emploie la méthode historique avec deux ans de données depuis le deuxième trimestre

2000. Cette dernière avait auparavant travaillé avec les méthodes Variance-Covariance et

RiskMetrics. La comparaison de chiffres VaR de deux banques différentes est à cet effet, un

exercice délicat.

II.6. Le Backtesting

Les résultats du tableau IV posent clairement la question du choix de la méthode de

calcul de la VaR. Tout naturellement, les critères de coûts d’implémentation, de complexité

du modèle et de flexibilité sont déterminants. Cependant, il est aussi très important de

s’assurer de l’adéquation de la méthode choisie ; on parle de backtesting. Cet exercice

consiste à confronter la VaR calculée avec les pertes et profits effectivement réalisés. Ainsi,

pour un niveau de confiance de 99%, les pertes effectives ne devraient dépasser les prévisions


20


VaR que dans 1% des cas environ. Sinon, il faut se demander si la méthode de calcul choisie

est adaptée au portefeuille considérée. Le régulateur a d’ailleurs prévu des pénalités (sous

forme d’augmentation d’exigence de fonds propres) en cas d’inadéquation.

On a procédé à titre illustratif, à un backtesting sur l’indice SMI entre le 4 décembre 1991 et

le 15 mai 2001. Comme la méthode Monte-Carlo avec l’hypothèse de normalité fournit des

résultats proches de ceux de la méthode Variance-Covariance, on a examiné les trois

méthodes suivantes dans le backtesting : Historique, Variance-Covariance, RiskMetrics.

Les 500 rendements quotidiens entre le 3 février 1990 et le 3 décembre 1991 ont été utilisés

pour calculer les trois prévisions de la VaR pour le 4 décembre 1991. Ces prévisions sont

ensuite comparées au rendement du SMI à cette date. La fenêtre de 500 jours est ensuite

décalée d’un jour pour la confrontation des prévisions de la VaR et du rendement effectif pour

le 5 décembre 1991. De la même façon, on a continué jusqu’au 15 mai 2001. L’exercice de

backtesting a, au total, été effectué sur 2'465 jours entre le 4 décembre 1991 et le 15 mai

2001. Pour mesurer l’adéquation d’une méthode, on calcule son taux d’échec, c’est-à-dire le

pourcentage de fois que la VaR a été dépassée. Les résultats sont consignés dans le tableau V.

Tableau V : backtesting des méthodes historique, variance-covariance et RiskMetrics pour l’indice SMI entre le 4 /12/ 1991 et le 15 mai 2001. Le taux d’échec représente le pourcentage de dépassement des prévisions VaR.


Par rapport aux valeurs théoriques, on remarque que la méthode variance-covariance se

comporte bien pour le niveau de confiance de 95%, mais réalise un résultat médiocre pour

celui de 99%. C’est la méthode historique qui, globalement est la mieux adaptée au

portefeuille considéré. La mauvaise performance de la méthode RiskMetrics explique cet

état de fait. Pour un autre portefeuille, les conclusions auraient été probablement différentes.

III. UTILISATIONS DE LA VAR


21


La VaR a été développée pour fournir un indicateur simple et global de l’exposition

d’un institut financier aux risques de marché. En tant que outil de reporting, elle fournit des

informations sur les concentrations de risques par type de marché, par trader, par produit

financier, etc. Elle permet aussi de fixer des limites de négociation, d’allouer le capital

disponible et d’évaluer les performances des différentes « tables » d’une salle de marché.

En dehors des salles de marché, la VaR devient de plus en plus populaire auprès des

gestionnaires de fortune. La VaR permet d’agréger dans ce domaine, les risques de marché à

travers plusieurs classes d’actifs, mais sur un horizon de temps plus long (un mois, trois mois

ou un an). Elle permet également de quantifier la performance d’un portefeuille par rapport à

un benchmark4 ; on parle dans ce cas de la VaR relative. La performance est

traditionnellement mesurée par le tracking error, c’est-à-dire la volatilité de l’écart de

rendement entre le portefeuille et son benchmark. Le tracking error ne distingue pas une

sous-performance d’une sur-performance par rapport au benchmark. La VaR permet de

corriger ce défaut, puisqu’elle est censée mesurer une éventuelle sous-performance. En fait, le

tracking error s’interprète comme la VaR à un niveau de confiance de 84%, si certaines

hypothèses telles de normalité et d’écart moyen nul , sont confirmées.

IV. CONCLUSION

4 prix de référence (en finances)


22


L’introduction de la VaR a constitué un pas important dans la direction d’une gestion

cohérente et adéquate des risques financiers. Comme pour n’importe quel outil, une utilisation

efficace de la VaR passe par la bonne compréhension de ses limites. La modélisation de la

VaR n’est pas un exercice aisé et les risk managers diront d’ailleurs que les problèmes

d’implémentation à savoir la collecte, le nettoyage et le traitement de données sont tout aussi

importants. Une autre limite de la VaR est directement liée au concept lui-même. En fait, la

VaR ne fournit aucune indication sur l’ampleur des pertes si un événement défavorable devait

se produire. C’est pour cette raison que le régulateur oblige les banques à compléter leurs

calculs de la VaR par des analyses de scénarios catastrophes (stress testing). Dans de

telles analyses, on calcule la perte que pourrait provoquer une variation extrême du marché,

indépendamment de toute hypothèse de modélisation (une baisse brutale de l’indice SMI de

10% par exemple). Le choix de scénarios intéressants est souvent un exercice délicat, qui

relève plus de l’intuition et de l’expérience. Par ailleurs, des chercheurs ont proposé d’autres

mesures de risque proches de la VaR et qui captent mieux le problème des variations

extrêmes. Les scénarios quasi-aléatoires, les scénarios « miroirs », la méthode de Duffie et

Pan, et les scénarios pondérés en constituent ces nouvelles extensions.

V. BIBLIOGRAPHIES


23


Livres

Lopez Thierry, Esch Louis, Kieffer Robert

Value at Risk. Vers un Risk Management moderne, avec CD-ROM.

Edition : De Boeck Université, 1997, ISBN : 2-8041-2496-7

Jacquillart, Bertrand et Bruno Solnik

Marchés Financiers: gestion de portefeuille et des risques, Dunod, Paris, 4ème éd., 2002.

Bulletin et Revues

« Le point sur…la VaR » - P. Poncet - Banque et Marchés n° 37. Nov98

Bulletin de la commission de la réglementation bancaire – Règlement 97-02

Comité de Bâle – M. Novy – Secrétaire Général.

Sites Internet

http://www.gloriamundi.org (le site le plus complet sur la VaR accessible aussi via

http://pw2.netcom.com/~bschacht/varbiblio.html )

http://www.riskmetrics.com (les manuels de RiskMetrics contiennent de

nombreuses informations)

http://www.bcv.ch (le site de la Banque Cantonale Vaudoise)

http://salledem.free.fr/sdmpage/risques/risk30.php (des questions sur la VaR)

VI. ANNEXES

RAROC : « Risk-Adjusted Return On Capital »

SEC: La Securities and Exchange Commission

RAROA: «Risk-Adjusted return on Assets»

SMI: Système Monétaire International


24

http://salledem.free.fr/sdmpage/risques/risk30.php

http://www.bcv.ch/

http://www.riskmetrics.com/

http://pw2.netcom.com/~bschacht/varbiblio.html

http://www.gloriamundi.org/


Table des Matières

I. GENERALITES...................................................................................................................................................1

I.1. INTRODUCTION: LE BESOIN D’UNE MESURE DE RISQUE STANDARDISÉE (VAR).......................................1I.2. CADRE JURIDIQUE, RÉGLEMENTATION COMPTABLE ET PRUDENTIELLE DE LA VAR................................2

I.2.1. L’approche standard :.....................................................................................................................3I.2.2. L’approche interne...........................................................................................................................3

I.2.3. LE CALCUL DES FONDS PROPRES :..........................................................................................................4I.3. LE CONCEPT DE VAR...................................................................................................................................5I.4. LA DÉMARCHE GÉNÉRALE POUR LE CALCUL DE LA VAR..........................................................................8I.5. MODÉLISATION DES RISQUES DE MARCHÉ................................................................................................10I.6. LES TROIS PARAMÈTRES D’UNE VAR........................................................................................................12I.7. REMARQUES................................................................................................................................................13I.8. EXEMPLES DE MESURES DE LA VAR.........................................................................................................13

II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR...................................................................15

II.1. LA MÉTHODE DE LA MATRICE DES VARIANCES-COVARIANCES ESTIMÉE.............................................15II.2. LA MÉTHODE RISKMETRICS..................................................................................................................16II.3. L’ANALYSE HISTORIQUE............................................................................................................................16II.4. LA MÉTHODE DE LA SIMULATION HISTORIQUE.........................................................................................17II.5. LA MÉTHODE DE LA SIMULATION DE MONTE CARLO..............................................................................18II.6. LE BACKTESTING.......................................................................................................................................20

III. UTILISATIONS DE LA VAR.........................................................................................................................22

IV. CONCLUSION................................................................................................................................................23

V. BIBLIOGRAPHIES.........................................................................................................................................24

VI. ANNEXES........................................................................................................................................................24


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VaR Risk Metrics

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Transcript of VaR Risk Metrics