validation des plans d'experiences

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Validation du modèle par les plans d’expériences Dédicace A mes très chers parents. A mes très chères sœurs. Aucun mot ne pourra exprimer mes sentiments envers vous. A toute ma famille. A tous mes chers ami(e) s : avec tous mes souhaits de réussir, Pour tout votre soutien et votre amitié je vous dis MERCI. A tous ceux qui m’aiment A tous ceux que j’aime Je dédie ce travail… Labaaj iliass - 1 - Master AMTI2006/2008

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preparer par iliass labaaj

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Validation du modèle par les plans d’expériences

DédicaceA mes très chers parents.

A mes très chères sœurs.

Aucun mot ne pourra exprimer mes sentiments envers vous.

A toute ma famille.

A tous mes chers ami(e) s : avec tous mes souhaits de réussir,

Pour tout votre soutien et votre amitié je vous dis MERCI.

A tous ceux qui m’aiment

A tous ceux que j’aime

Je dédie ce travail…

Labaaj iliass

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Validation des modèles de plans d’expériences

Remerciements

C’est agréable de m’acquitter d’une dette de reconnaissance auprès de toutes les

personnes, dont l’intervention au cours de ce projet, a favorisé son aboutissement.

Ainsi, Je suis très reconnaissant à Monsieur S. KABBAJ, responsable du master

analyse mathématique et traitement d’information pour son soutien et ses

encouragements et de m’avoir accepté dans cette formation.

Sans omettre à présenter mes vifs remerciements à Monsieur Y.ELKETTANI,

Professeur à la Faculté des Sciences Kenitra , pour la confiance qu’il a eu en moi, le

soutien continu qu’il m’a prodigué et ses conseils pertinents tout au long de la

réalisation de ce travail.

Il m’est agréable d’exprimer ma profonde gratitude à Messieur Fabrice

Gouvelard ingénieur à la société stat soft, Laghzouli Med pour leur soutien et leur

aide.

Je suis très reconnaissant à ma famille et spécialement mes sœurs, pour leurs

soutiens et leurs encouragements.

Mes vifs remerciements vont également à Mr. EL AMRANI Mohammed Amine

pour son soutien et son encouragement, j’apprécie beaucoup son aide et j’aime bien lui

adresser mes sincères remerciements.

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Validation des modèles de plans d’expériences

Hommage à tous les professeurs du master ANALYSE MATEMATIQUE ET

TRAITEMENT DE L’INFORMATION, qui ont affûté notre formation, j’espère que ce

travail leur donnera pleine satisfaction.

Je profite cette occasion pour remercier mes collègues du Master ANALYSE

MATEMATIQUE ET TRAITEMENT DE L’INFORMATION, qu’ils trouvent ici

l’expression de mes respectueuses considérations.

Que tous ceux et celles qui ont contribué de près ou de loin à l’accomplissement

de ce travail trouvent l’expression de mes remerciements les plus chaleureux.

Merci beaucoup pour tous.

Labaaj iliass - 3 - Master AMTI:2006/2008

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Validation des modèles de plans d’expériences

Sommaire

LISTE DES ABRÉVIATIONS………………………..……………………………………………………………….7

LISTE DES………………………………………………………………………………………..…………………..8

LISTE DES TABLEAUX……….……………….…………………………………….………………….…………….9

RÉSUMÉ………………….…………………………………………………………………………………...…....10

INTRODUCTION GENERALE…………..…………………………………………………………………………11

CHAPITRE I/PRÉSENTATION DU PLAN D'EXPERIENCE CLASSIQUE………………………………….……12

I- Introduction……………………...…………………………………………………….....….13 II- Nécessité de la randomisation…………………..……………………….……...……….15

III- Plansd’expériencesclassiqueS…………………………………………… …………….....17 III-1- Plan en randomisation totale…………….……………..…………….……………….17 III-1-a Construction d’un plan en randomisation totale à l’aide d’un logiciel….17

i- Logiciel SAS …………………………………………….…………………… ….18 ii- Logiciel R et Splus …………..……………………………………………… ….18

III-2- Plan en bloc complet……………………………………….………………….…..….19 III-2-a construction d’un plan en bloc complet à l’aide d’un logiciel……………..20

i- logiciel SAS …………………………………………….…………………… ….20 ii- logiciel R et Splus …………..……………………………………………… ….21 III-3- Plan en bloc incomplet équilibré ou non…………………………………..….….21

III-3-a Les plans lattices..........................................................................................23 III-3-b Les plans circulants …………………………………………………….…….…25 III-3-b-1Construction d’un plan en blocs incomplets à l’aide d’un logiciel.26

i- Logiciel SAS …………………………………………….……………….……….26 ii- logiciel R et Splus …….……..……………………………………………..…….27 III-3-c Plans en lignes et colonnes…………………………………...……….……..28 III-3-c-1 Construction d’un carré latin à l’aide d’un logiciel…………….…..…30 i- Logiciel SAS ……………………………………………...……………….…….….30 ii-logiciel R et Splus ………….………………………………………..….…..… ….31 III-3-d Les plans split-plot (parcelle subdivisée)…..……………………...…….…32 III-3-d-1 Construction, randomisation et analyse d’un plan split-plot.…….…34 i- Logiciel SAS …………………………………………….……………….…… ….34 ii-logiciel R et Splus ………….…………………………...…………………..… ….35

IV – Plans randomisés par un groupe de permutation……………...……………………..35 IV – 1 Le modèle de la randomisation……………………………………………………..35

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Validation des modèles de plans d’expériences

IV – 1 – a Présentation générale………...………………………………………………..35 IV – 1 – b Quelques notions d’algèbre…………………………………………………..36 IV – 1 – c Modèle……………………………………………………………………………..38

CHAPITRE II/ PLAN D'EXPÉRIENCE DU DOMAINE INDUSTRIEL………………………………...............41

I – Pourquoi faire des plans d’expériences en industrie……………………………………..42 II – Principe de base………………………………………………………………………….………42

III – les plans factoriels……………………………………………………………………………….43

III-1 Les plans factoriels complets……………………………………………………………43 III-2 Les plans factoriels réduits…………………………………………………………….…43 III-2-a Remarque………………………………………………………………………………44 IV – Autres plans à deux niveaux………………………………………………………………....44 IV-1- Plans de Koshal…………………………………………………………………………..44 IV-2- Plans de Rechtschaffner………………………………………………………………..44 IV-3- Plans de Plackett et Burmann…………………………………………………………..45 IV-1-a Remarque : la matrice de Hadamard…………………………………….………..45 1- Construction de Sylvester………………………………………...……….…………46 2- Ordre d'une matrice de Hadamard…………………………………………….…47 3- Conjecture de Hadamard……………………………………………………….…..47 V- LA THEORIE DE PERMUTATION………………………………………………….……………48 V-1 Proposition……………………………………………………………………….………….49 V-2 Démonstration…………………………………………………………………….….……..49 V-3 Proposition……………………………………………………………………….…….……51 V-4 Démonstration…………………………………………………………………….….……..51 V-5 Construction du plan fractionnaire à l’aide des logiciel…….………….…………52 i- Logiciel SAS …………………………………………….……….………..…… ….52 Ii- logiciel R et Splus …..………………………………….…….…………..…… ….52

CHAPITRE III/LES OUTILS DE VALIDATION DE MODELE……………………………….………………….54

I- L'objectif……………………………………………………………………….…………………..55 II- Modele et données……………………….…………………………….………………………55 III- Principe de moindre carrée………………………………………….…………………………9

III-1- Propriétés des estimateurs :………………………………….………………………..9 III-2- L’écart type :……………………………………………………….……………………...9

III-3- Propretés des estimateurs :…………………………………….………………….9 iV- Décomposition de la variabilité ………………………………………………….…………...9 IV-1- Analyse de la variance…………………………………………………….……….…….9 IV-2- Équation fondamentale…………………………………………………….…………….9 IV-3- Tableau d’analyse de la variance……………………………………….………….....9 IV-4- Coefficient de détermination R²………………………………………….……………..9 IV-5- Coefficient de détermination ajusté Ra²...……………………………….……………9 IV-5-a- Remarque ………………………………………………………….………………….8 V- test globale……………………………………………………………….……………………….9 VI- Analyse de plan d’expérience………………………………………….…………………….8 VI-1- modèle........................................................................................................................9 VI-2- proprieté……………………………………………………………….……………………...9 VI-3- Estimation β moindres carrés………………………………………….………………….9 VI-4- Estimation de l’erreur expérimentale σ…………………………………….…………...8

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VI-5- Analyse de la variance……………………………………………………….………….9 VI-5-a Remarque………………………………………………………………….…….……9

VI-6- Test pour le manque d’ajustement (lack of fit)………………………….………….9 VI-6-a Exemple………………………………………………………………….……………….9 VI-7- vérification a posteriori d’un modèle statistique…………………..……………….9 VI-8- Transformation de Box-Cox Yλ pour stabilisé la variance…………..………....9 VI-8-a méthode pour obtenir λ (graphique)………………………………..………….9

VI-8-a-i exemple………………………………………………………………..…………9

ChapitreIV/EXEMPLE DE VALIDATION DE MODELE PAR LES PLANS D'EXPERIENCES DE PLACKETT ET BURMANN…………………………………………………………………………………………………….9

I- BUT……………………………………………………………………………………………….….0 I-1- Variables d'entrées……………………….…………………………………………….…...9 I-2- Variables de sortie...…...…………………………………………………………….……..9 I-2-a Biomasse…………………………….………………………………………………………9 I-2-b Activité enzymatique…………………………………………………………………….9 I-2-c Protiene……………………………………………………………………………………..9 I-2-d Ph final………………………………………………………………………………………9 II- Plan d’expérience de Placket et Burmann…………………………………………………..9 II-1 Principe de construction d’un plan de Plackett et Burmann………………………….9 II-1-a Etape1……………………………………………………………………………………….9 II-1-b Etape2……………………………………………………………………………………….9 II-1-c Etape3……………………………………………………………………………………….9 II-2 Randomisation…………………………………………………………………………………9 III- analyse globale des résultats d'essais..….…………………………………………………9 IV- La validation du modèle……………………………………………………………………….9 IV-1- résultat d'essai pour la réponse Y1 (Biomasse)……………………………………….9 IV-2- résultat d'essai pour la réponse Y2 (activité enzymatique)………………………...9 IV-3- résultat d'essai pour la réponse Y3 (PROTIENE)…………..…………………………...9 IV-4- résultat d'essai pour la réponse Y4 (Ph final)………………..………………………...9

CONCLUSION ET PERSPECTIVE…………………………………………………………………..…………...ERREUR ! SIGNET NON DÉFINI.

Liste des Abréviations

n = le nombre totale d’unités de l’expérience

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r = le nombre totale de répétition

k = le nombre d’unités par bloc

b = le nombre de bloc

SAS = Statistical Analysis System

R = est la version gratuite de Splus

Splus = est la mise en oeuvre commerciale du langage S

SCT = somme carrée totale

SCR = somme carrée residuel

SCM = ou SMC somme carré du au modéle Lof = lack of fit

R² = coefficient de corrélation

Ra² = coefficient de corrélation ajusté

ddl = degré de liberté F = la valeur du tableau de Fisher

P = la probabilité

Liste des figures

Figure 1 : Boîte à moustache de la réponse Y1 (Biomasse)……………………………...73

Figure 2 : Boîte à moustache de la réponse Y2 (Activité enzymatique)………………...73

Figure 3 : Boîte à moustache de la réponse Y3 (Protéines)………………………….......73

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Validation des modèles de plans d’expériences

Figure 4 : Boîte à moustache de la réponse Y4 (pH final)……………………………….74

Liste des tableauxTableau 1 : Les facteurs testés dans l’expérience …………………………………………….......66

Tableau 2 : Ligne génératrice des matrice de Plackett et Burman (1946)..................................68

Tableau 3 :La ligue génératrice ci-dessous sera donc a première ligne de notre tableau…......68

Tableau 4 :Mode de construction par permutation droit ….........................................................69

Tableau 5 : Exemple de matrice d'expérience pour 11 facteurs à 2 niveau…………..……….69

Tableau 6 : Plan d’expérimentation ( Plackett et Burman 1946) dupliqué et randomisé…..... 70

Tableau 7 : Résultats des expériences, Biomasse, Activité Enzymatique Protéines. pH final…72

Tableau 10: Résultat d'essai de la biomasse………………………………...……………………..75

Tableau 11: L'analyse de la variance de biomasse……………………………………………......76

Tableau 12: Manque d'ajustement (lack of fit) de biomasse……………………………………..77

Tableau 13: Résultat d'essai de l'activité enzymatique…………………………………...………78

Tableau 14: Analyse de la variance de la réponse Y2…………………………..………………...79

Tableau 15: Résultat d'essai de la réponse Y3……………………………………….....................80

Tableau 16:Analyse de la variance de la reponseY3 ……………………………………………..81

Tableau 17: Manque d'ajustement de la réponse Y3 ………………………………………...….82

Tableau 18: Résultat d'essai de la réponse Y4 ……………………………………………….......83

Tableau 19: Analyse de la variance de la réponse Y4 …………………………………………….84

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Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 20: Manque d'ajustement de la réponse Y4 ……………………………………………..85

Résumé

La présente étude est réalisée dans le cadre du stage du Master Analyse

Mathématique et Traitement de l’Information de la Faculté des Sciences de

Kénitra. Elle a pour objet de présenter les plans d’expériences et plus

particulièrement les outils de validation de ces modèles.

Les plans d’expériences constituent une approche qui permet d’organiser

les expérimentations à effectuer de manière à pouvoir tirer les conclusions

statistiques sur le phénomène étudié avec une grande précision d’une part et à

partir d’un nombre réduit d’expériences d’autre part et donc avec un coût

moindre.

Ce mémoire expose dans le 1er chapitre la théorie mathématique qui est à la

base des plans d’expérience ainsi que des exemples des plans classiques.

Le deuxième chapitre est consacré aux plans fractionnaires rencontrés dans

l’industrie et le principe de leur construction.

Les outils de validation de modèles font l’objet du chapitre trois. Il s’agit

principalement du coefficient de détermination, de la méthode du manque

d’ajustement et de la transformation de Box – Cox pour stabiliser la variance.

Enfin le chapitre quatre traite une situation réelle développée dans un

laboratoire de biologie avec quinze facteurs qui sont susceptibles d’influencer

la variation de trois variables réponses. Les outils de validations de modèle

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développés au chapitre trois ont permis de confirmer le modèle de Plackett et

Burmann ajusté à la situation traitée.

Introduction générale

Depuis une vingtaine d’année, les statistiques ont évalué dans différentes directions, parmi lesquelles l’analyse des données et les plans d’expériences.

L’analyse de données permet de grands ensembles de données non structurés, notamment quand les paramètres ne peuvent pas être suffisamment maîtrisés. Ces méthodes d’analyse permettent d’interpréter des essais déjà réaliser et de décrire les influences des paramètres mis en jeu, de manière quantitative. Par exemple, tel paramètre sera fortement ou pas influent sur une réponse d’un système. Sous le terme analyses de données, sont regroupées l’ensemble des méthodes permettant de collectter, d’organiser, de résumer, de présenter et d’étudier des données de façon à en tirer le maximum d’information.

La méthodologie des plans d’expériences permet une recherche expérimentale planifiée appelée « plans d’expériences ». L’expérimentation ne peut pas etre quelconque : il doit fournir l’information désirée. Cette démarche expérimentale va aider l’expérimentateur à structurer sa recherche de manière différente, à confronter et à valider ses propres hypothèses, à mieux comprendre les phénomènes étudiés et à solutionner les problèmes. Le succès de cette méthodologie est en partie lié aux besoins de compétitivité des entreprises mais aussi, à une envie de changer la manière de faire expérimentations.

A cela, il faut ajouter les techniques d’aide à la formulation d’un problème qui mettent en évidence l’importance des outils de validations de modèle.

La première partie traite les différents plans d’expériences classiques.

Dans cette partie, après avoir montré l’intérêt des plans d’expériences par rapport à la méthode classique des essais et des erreurs, nous décrivons les différentes méthodes du plans d’expériences classiques.

La deuxième partie traite les différents plans d’expériences du domaine industriel.

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Validation des modèles de plans d’expériences

La troisième partie traite les différents outils de validation de modèle de plan d’expérience et de découvrir de nouveaux outils comme par exemple la méthode de la manque d’ajustement et la méthode de transformation de Box-Cox.

La quatrième partie est consacrée au développement d’exemple associé aux méthodes d’analyse de données et aux plans d’expériences.

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Chap. I : Présentation des plans d’expériences classiques

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Validation des modèles de plans d’expériences

Chapitre I Présentation des plans d’expériences classiques

I- Introductions

Depuis quelques années, on s’est aperçu que la qualité d’un produit (notion

essentielle dans le monde de l’industrie et dans le monde en général ! ! !) dépendait

principalement de la conception de ce produit ou plus précisément de la

connaissance parfaite de cette conception, plutôt que du produit fini lui-même. En

effet connaître sur le bout du pouce l’élaboration d’un produit permet de prévoir

son évolution au cours du temps en fonction des paramètres influents qu’ils soient

internes ou externes.

Or ces paramètres sont généralement nombreux et difficilement modélisables

par les méthodes classiques de la physique.

Le concepteur a donc besoin d’une méthode «expérimentale», «peu coûteuse en

expériences», qui lui permettra de mesurer et de connaître l’influence de tous les

paramètres et d’en déduire les plus influents. Un plan d’expérience représente

l’outil adéquat qui permettra de répondre à l’ensemble de ces questions.

Les plans d’expériences sont parmi les méthodes statistiques les plus demandées

dans la recherche scientifiques, Ils permettent d'organiser au mieux les essais qui

accompagnent une recherche scientifique et les études industrielles. Ils sont

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Validation des modèles de plans d’expériences

applicables à un grand nombre de disciplines et à toutes les industries, à partir du

moment où l’on recherche le lien qui existe entre les variables et les réponses.

La compréhension de la méthode des plans d’expériences s’appuie sur deux notions essentielles, celle d’espace expérimental et celle de modélisation mathématique des grandeurs étudie.

Dans cette partie, nous allons présenter l’idée forte suivante : la statistique n’a pas comme objet de « traiter des données » mais également de préparer leur recueil pour améliorer leur qualité. D’importants gains sont possibles lors de cette étape. Les méthodes que nous allons présenter s’appliquent à des expériences planifiées dans lesquelles les principales variables explicatives sont contrôlées, plutôt qu’à des situations ou les données sont recueillies « comme elles viennent », ce qui est le cas par l’exemple, dans les enquêtes.

Les deux buts de la planification sont :1- de permettre une interprétation claire en évitant les confusions.2- De maximiser la précision de l’expérience.

Pour illustrer 1, prenons l’exemple de la scolarisation en maternelle. Des études incontestables ont montré que les enfants scolarisés en maternelle ont de meilleurs résultats dans la suite de leur scolarité que des enfants qui ne rejoignent l’école qu’au primaire. Doit-on en déduire qu’il faut rendre la scolarisation en maternelle obligatoire pour lutter contre l’échec scolaire ? Une réponse directe par l’affirmative n’est pas possible. En effet, deux interprétations sont possible : (a) c’est effectivement la scolarité en maternelle qui améliore les résultat ; (b) dans la France actuelle, les élèves qui ne vont pas en maternelle sont une minorité qui correspond à des groupes sociaux bien particuliers, ce qui peut expliquer la différence de réussite scolaire par l’origine sociale.

Dans cet exemple, on pourra affiner l’analyse en contrôlant toutes les variables indiquant la situation sociale, avec toujours le risque d’en oublier une. Mais il est clair que sans cette information complémentaire, les données de départ sont sans valeur pour répondre à la question. Une solution de type planification à ce problème serait de définir un groupe d’enfants test et de les répartir « au hasard » en deux groupes, l’un qui serait scolarisé en maternelle, l’autre non. Bien sûr, pour des raisons éthiques, ceci est difficilement réalisable ; c’est ce que nous entendions comme la différence entre une expérience de « labo » et l’utilisation de données recueillies.

Pour illustrer 2, considérons le problème de la pesée de deux objets A et B avec une balance sans biais qui donne chaque résultat avec une erreur centrée indépendante et de variance σ². On suppose que la balance est capable également de peser les deux objets ensembles.1- On pèse A et B séparément : le coût de l’expérience est alors celui de deux pesées

et la précision (variance de l’erreur) obtenue sur les pesées de A et de B est σ².2- On pèse A+B et A-B (on suppose que A est plus lourd que B et que grâce à une

balance de Roberval ou l’utilisation d’une double pesée, on peut peser A-B) ; le coût de l’expérience est encore de deux pesées et sa précision est σ²/2. les poids

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Validation des modèles de plans d’expériences

de A = 1/2[(A+B)+(A-B)] et B = ½[(A+B)-(A-B)] sont maintenant obtenus comme moyennes de deux pesées.

(Source de ces exemples Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 212)

Cet exemple illustre bien le fait que lorsque une certaine latitude est donnée dans la préparation des expériences fournissant des données, des gains peut être facilement obtenus.

II- Nécessité de la randomisation

Comme nous allons essayer de vous en convaincre, la randomisation est la seule méthode qui évite les confusions (en fait elle en contrôle la probabilité), qui permet de faire une expérience équitable (ce que l’on pourra prouver), et enfin qui permet d’apprécier la précision des résultat.

Exemple : nous voulons comparer l’efficacité de deux médicaments A et B contre la grippe sur 40 malades.

Expérience 1 : on administre le médicament A aux 20 premiers malades qui se présentent. On note leur état d’amélioration, ensuite on administre le médicament B aux 20 suivants et on note leurs états de santé. A la fin de l’expérience, on calcule les moyennes des états de santé (supposés pouvoir être quantifiés) et on déclare comme meilleur le médicament qui a la meilleure moyenne. Pour les raisons suivantes : cette expérience est désastreuse : (1) durant la durée de l’expérience la maladie, la température extérieure, la fatigue des personnes qui ont réalisé l’expérience ont pu évoluer : l’expérience n’est plus équitable en raison de la confusion possible entre les effets du temps et ceux des médicaments ; (2) certains participants à l’expérience, malades ou médecins , qui connaissent parfaitement les médicaments administrés peuvent fausser le résultat inconsciemment : c’est le fameux « effet placebo ».

Expérience 2 : au fur et à mesure qu’un patient arrive en consultation, on alterne strictement A et B, le plan est donc ABABABABABABAB ;;;; Ce plan est certainement meilleur que le précèdent mais il souffre encore de deux gros défauts : (1) la systématicité rend impossible la fameuse méthode dite « double aveugle » , car le médecin, et dans une certaine mesure, le malade, sauront toujours la nature du produit administré ; (2) on ne dispose pas de méthode statistique valide pour choisir entre les situations « A meilleur que B », »B meilleur que A » et « A et B équivalents » ; il y a donc risque de confusion . Expérience 3 : on pourrai construire une variante de l’expérience 2 dans laquelle on essayerait de répartir au mieux les individus entre deux groupes en fonction de l’âge, du poids, des antécédents. Ce plan, pourtant séduisant a exactement les même inconvénient que le précèdent.

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Validation des modèles de plans d’expériences

Expérience 4 : on tire au hasard et de façons équiprobable sans remise 20 personnes parmi les 40 malades et on leur administre le médicament A. Les autres malades reçoivent le médicament B. Cette expérience (ou plan d’expérience) dite de randomisation totale, possède de nombreuses qualités en regard des précédentes. Afin de préciser et prouver ces propos, formalisons cette expérience.

En premier lieu, on imagine avoir administré les deux médicaments à chacun des malades et on note Rik la réponse du malade k avec k=1……n (ici n= 40) au médicament i avec i = 1…..t (ici t = 2 ; i = 1 pour le médicament A et i = 2 pour le médicament B par exemple). On suppose que le modèle est aditif par rapport aux deux effets malade, noté ai, et médicament, noté mi, soit :

Riℓ= mi + aℓ + εiℓ avec ℓ = 1……nAvec εiℓ une erreur inconnue (nous verrons que cette erreur n’intervient pas sur

le traitement du modèle). Pour se débarrasser d’une indétermination, on pose la condition Σ aℓ = 0. Précisons que la réponse Riℓ est purement conceptuelle et n’est connue qu’en parie ( si elle était totalement connue, l’étude s’arretrait là).Maintenant on note Yij la réponse du j-eme malade de l’ensemble des malades qui ont reçu le traitement i, sachant que l’on a choisi « au hasard » les n/t (ici 20) malades concernés par le traitement i parmi les n. Du modèle précédent, on déduit que :

Yij = mi + bij + εij

Où l'on peut considérer que les b ij (pour i = 1......t et j = 1.....n/t) sont tirés sans remise dans l'ensemble des aℓ, l = 1...n. Si l'on procède par ordre lexicographique, b11 sera tiré dans l'ensemble a1..........an , puis b12 sera tiré parmi l'ensemble a1..........an \ b11, etc...Les réponses Yij sont donc les réponses effectivement réalisées parmi toutes les Riℓ potentielles. Cette sélection est aléatoire et implique que les b ij

sont des effets aléatoires.En utilisant les propriétés d'un tirage uniforme sans remise et la condition Σ aℓ = 0, on montre que les bij sont des variables aléatoires à valeurs dans a1.............an et d'espérance nulle, de matrice de variance-covariance ( pour laquelle on a rangé le vecteur (bij)ij en ordre lexicographique) définie par:

Var(bij ) = 1/n ai ² pour 1≤ i ≤ t et 1 ≤ j ≤ n/t.

Cov (bij, bi’j’) = -1/ n(n-1) ai ² pour ( i , j) ≠ ( i’ ,j’)

Pour traiter ce modèle, on effectue maintenant une analyse de la variance sur les Yij

du facteur mi. Le peut alors s’écrire :Yij = mi + b’ij pour 1≤ i ≤ t et 1 ≤ j ≤ n/t

où les b’ij sont des termes d’erreur(correspondants à la sommes des bij et des εij ) d’espérance nulle et de la matrice de variance-covariance presque essentiellement diagonale ( les termes extra-diagonaux tous égaux à une constantes et petits par rapport aux termes diagonaux quand n est grand).

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Validation des modèles de plans d’expériences

Ceci sort un petit peu du cadre de l’analyse de la variance classique (où les erreurs sont non corrélées), mais du fait que ces termes extra-diagonaux sont constants, on peut tout de même en déduire que leur influence sur les comparaisons entre traitement est nulle. L’analyse de la variance ainsi réalisée pourra, sans confusion, permettre de savoir si les médicament (effet m i ) sont significativement différents. De plus, on pourra mesurer facilement la précision du résultat obtenu ( P-value des tests de Student ou de Fisher par exemple).Enfin l’expérience 4 permet le travailler en « double aveugle » (on suppose que le titrage aléatoire des médicaments a été effectué par un intervenant extérieur). Ceci garantit et prouve le caractère équitable de l’expérience.

III- Plans d’expériences classiques

Dans cette section nous allons présenter l’expérience randomisée classique. Pour le plan en randomisation totale, la démonstration du lieu entre la randomisation et le modèle a été donné ci-dessus. Dans les autres cas, nous admettrons les résultats. Cependant les preuves assez délicates de ces résultats sont données après.

Dans la présentation nous utiliserons toujours les notations classiques suivantes :L’expérience a pour but principal de comparer t traitement (dans l’exemple médical précèdent, t = 2) et :

n le nombre totale d’unités (ou de donnée) de l’expérience. Dans l’exemple médical, n = 40 est le nombre total de malades ;

r est le nombre de répétition de chaque traitement. Dans le cas équilibré précèdent, r = n/t et en ce que concerne l’exemple médical, r = 20 est le nombre de malades absorbant un des traitements ;

b est le nombre de blocs. Dans l’exemple précèdent, la notation de bloc n’est pas vraiment pertinente. Telle que l’expérience est décrite, un correspondrait à l’ensemble des 40 malades et le nombre de bloc serait b = 1.

k est le nombre d’unités par bloc. Dans l’exemple médical, avec b = 1, on a k = 40 donnée par bloc.

1- Plan en randomisation totale

Ce type de plan est celui décrit par le plan d’expérience 4 précédente. Dans le cas général, on a t traitements (le facteur traitement admet t modalités). n = r.t unités expérimentales, et on ne considère qu’un bloc (b = 1) contenant les k = n unités expérimentales. On tire au hasard (tirage équiprobable et sans remise) r unités pour le première traitement, puis r pour le second, etc.… Les données sont analysées par une analyse de la variance à 1 facteur, le facteur traitement. Cependant, en dehors des expériences médicales, ce plan est peu utilisé. On pourrait représenter le plan d’expérience (après randomisation) de l’expérience médicale de l’exemple par le tableau suivant :

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Validation des modèles de plans d’expériences

Unité (malade) Traitement ( médicament)1

23:::

40

BBAB::A

(Source de ces données Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 216)

1-1-Construction d’un plan en randomisation totale à l’aide des logiciels informatique

Nous présentons maintenant un exemple traité par logiciel informatique, nous nous permettons de travailler directement sur des données déjà construites. Nous rappelons que celles-ci sont disponibles sur le site www.dunod.com.

Nous allons reprendre l’exemple précèdent et construire le plan en randomisation totale correspondant à l’aide des logiciels.

1-1-1 Logiciel SASLa solution suivant est relativement acrobatique. La procédure « proc » plan

n’est pas vraiment prévue pour ce cas. Nous considérons le cas de 20 unités et 4 traitements.

Ici la commande output prend le data a et randomise son facteur unit suivant la randomisation définie par proc plan. Cette solution est à rapprocher de la randomisation d’un plan en bloc incomplet. Voici un exemple de plan ainsi crée :

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Validation des modèles de plans d’expériences

1-1-2 Logiciel R ou Splus

Voici le même type de création «manuelle » de même plan en randomisation totale, par les logiciel R ou Splus :

L’analyse d’un plan en randomisation totale

Voici maintenant les commandes SAS associées à ce plan.

2- Plan en bloc complets (Fisher, 1931) (

Ce plan suit les trois principes énoncés par R. Fisher en 1931 : répétition, randomisation et control local. Dans le même cadre que le plan en randomisation totale, on regroupe les n = r.t unités expérimentales en r = b blocs homogènes de taille k = t.

Dans un exemple médical, les blocs peuvent, par exemple, correspondre au sexe ou à l’âge, dans une expérience agronomique, cela peut être un ensemble de parcelles contiguës, dans toute expérience de laboratoire, cela peut être les unités traitées le même jour, par la même personne.

Le principe du plan est le suivant : dans chaque bloc, on alloue indépendamment une unité à un traitement et ceci de façon aléatoire. Voyons un exemple pour illustrer ce principe. Exemple 1 :on veut comparer t médicament à l’aide de r.t rats de laboratoire. On suppose, pour simplifier, qu’ils ont tous le même sexe. Plutôt que de faire un plan en randomisation totale, on décide de les regrouper de manière objective bien qu’un

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Validation des modèles de plans d’expériences

peu arbitraire. Par exemple, on peut les regrouper en poids : les t rats les plus légers constituent le bloc 1, les t suivant le bloc 2, etc. Dans chaque bloc, chaque traitement est administré au hasard à un rat exactement.

Dans l’exemple ci-dessus, les blocs sont constitués de manière arbitraire. Dans certaines situations, la notation de bloc est plus naturelle.

Exemple 2 : on veut comparer plusieurs sels au point de vue de leur parfum. Plus précisément les différents sels sont :

Du sel ordinaire (sel 1) ; Du sel aromatisé aux herbes (sel 2) ; De la fleur de sel (sel 3) ; Du sel de Guérande (sel 4).

Il est conseillé par les vendeurs de sel « haut de gamme » (les deux derniers). On réalise donc l’expérience suivante : le nombre de traitement est t = 4, on utilise r = 3 tomates qui vont constituer les blocs. De chaque tomate on extrait 4 tranches et on jette les extrémités. On obtient 12 tranches qui constituent les unités de l’expérience.

Il ne reste plus techniquement qu’à : (1) identifier les tranches par un système d’encoches (ce n’est pas très appétissant de coller des étiquettes). (2) faire la randomisation avec les contraintes que les 4 tranches issues d’une même tomate reçoivent les 4 sels différents. (3) faire déguster à l’aveugle. Par exemple une réalisation possible est suivante :

tomate Tranche 1 Tranche 2 Tranche 3 Tranche 4123

sel 4sel 3sel 1

sel 1sel 4sel 3

sel 2sel 1sel 2

sel 3sel 2sel 4

. (Source de cet exemple Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 218)

De manière générale pour être efficace le plan en bloc complet doit maximiser la variabilité inter-blocs : en d’autre termes, il faut rendre l’ensemble des blocs le plus homogène possible. Dans l’exemple sur les rats, on a intérêt à ce que les blocs soient les plus homogènes possibles. Par exemple, si on connaît le pedigree des rats, on pourra préférer au critère de poids des critères de parenté pour constituer les blocs. Dans l’exemple des sels, il faut absolument que les 4 tranches issues de la même tomate aient les mêmes caractéristiques qui peuvent varier par contre d’une tomate à l’autre.

2-1 construction d’un plan en bloc complet à l’aide d’un logiciel

2-1-1 Logiciel SAS

Nous prenons l’exemple de 3 blocs et 4 traitements, qui suit une logique relativement simple du proc plan :

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Validation des modèles de plans d’expériences

Voici un exemple de plan ainsi crée :

2-1-2 Logiciel R et Splus

Voici le même type de création « manuelle » du même plan en blocs complets par les logiciels R ou Splus :

L’analyse d’un plan en bloc complet

Comme précédemment et pour les mêmes raisons, nous ne présentons que le traitement en SAS :

3- Plan en bloc incomplet équilibré ou non

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Validation des modèles de plans d’expériences

Exemple de plan équilibré : supposons que nous ayons 9 bières à comparer (le facteur d’intérêt est le traitement) et 12 dégustateurs comme la bière est un produit amer donc « long en bouche », il est clair que passé un certain nombre de produits, un dégustateur est incapable de comparer ses sensations. On supposera donc qu’un dégustateur ne peut comparer que 3 bières. Nous avons donc n = 36 unités réparties en h = 12 blocs de taille k = 3 et on propose la répartition suivante :

Blocs Verre 1 Verre 2 Verre 3Dégustateur 1Dégustateur 2Dégustateur 3Dégustateur 4Dégustateur 5Dégustateur 6Dégustateur 7Dégustateur 8Dégustateur 9Dégustateur 10Dégustateur 11Dégustateur 12

Bière 1Bière 4Bière 7Bière 1Bière 2Bière 3Bière 1Bière 4Bière 7Bière 1Bière 2Bière 3

Bière 2Bière 5Bière 8Bière 4Bière 5Bière 6Bière 5Bière 8Bière 2Bière 8Bière 4Bière 5

Bière 3Bière 6Bière 9Bière 7Bière 8Bière 9Bière 9Bière 3Bière 6Bière 6Bière 9Bière 7

Cette répartition, qui pour l’instant n’a rien d’aléatoire, est équilibrée : chaque

traitement se trouve une fois et une seule exactement avec chaque autre traitement. Plus généralement, un plan en blocs incomplets équilibré est un plan possèdent la propriété d’équilibre de la répartition des unités par blocs (comme ci-dessus), c’est-à-dire que tous les traitement sont appliqués au total le même nombre de fois et que deux traitement se trouvent ensemble dans un bloc le même nombre de fois. On peut donc décrire (partiellement) un plan en bloc incomplets équilibré par :

Le nombre de traitement t (9 dans l’exemple) ; Le nombre de répétitions r (4 dans l’exemple) ; Le nombre de blocs b (12 dans l’exemple) ; La longueur d’un bloc k (3 dans l’exemple) ; L’indice de concurrence λ : le nombre de fois où deux traitement se trouvent

ensemble dans un bloc (1 dans l’exemple).

En comptant de deux manières différentes le nombre de parcelles et le nombre de voisins, on obtient :

r.t = b.k et r(k-1) = λ(t-1)

Cependant, il n’existe pas des plans pour toutes tailles (nombres de traitements, de blocs,….) et qui vérifient ces équations. On pourra consulter à ce sujet des table de plans. Quand il existe un plan équilibré, on montre qu’il est optimal. Malheureusement cela n’est pas toujours possible. En particulier, l’équilibre demande souvent un nombre de répétitions élevées. Dans ce cas, il existe des méthodes pour construire des plans conservant certaines propriétés, par exemple

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Validation des modèles de plans d’expériences

l’équilibre partiel. De toutes les manières, les propriétés suivantes restent vraies que le plan soit équilibré ou non :

1) Randomisation : la randomisation se fait en deux étapes qui sont : Le « mélange des blocs » : si on reprend l’exemple précèdent,

on affecte un numéro de dégustateur à un dégustateur réel au hasard.

Le « mélange de traitement en bloc » : toujours en reprenant l’exemple, les trois bières devant être présentées à un dégustateur le sont dans un ordre aléatoire.

2) Analyse : on montre que la randomisation valide un modèle possédant

des effets traitement fixes et des blocs aléatoires : c’est un modèle mixte. Si on ne dispose pas des moyens de traiter un tel modèle, on peut toutefois utiliser un modèle avec blocs et traitements fixes qui correspond à une légère perte d’information.

Ainsi, dans l’exemple des bières, pourra-t-on se trouver avec le plan à bloc incomplet équilibré suivant :

Blocs Verre 1 Verre 2 Verre 3Dégustateur 8Dégustateur 1Dégustateur 7Dégustateur 12Dégustateur 10Dégustateur 9Dégustateur 5Dégustateur 2Dégustateur 11Dégustateur 4Dégustateur 6Dégustateur 3

Bière 3Bière 4 Bière 8Bière 1Bière 8Bière 6Bière 1Bière 8Bière 2Bière 1Bière 2Bière 7

Bière 1Bière 5Bière 7Bière 4Bière 2Bière 9Bière 9Bière 4Bière 7Bière 8Bière 9Bière 5

Bière 2Bière 6Bière 9Bière 7Bière 5Bière 3Bière 5Bière 5Bière 6Bière 6Bière 4Bière 3

. (Source de cet exemple Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 222)

Pour arriver à obtenir un plan avant randomisation comme celui de cet exemple, il existe différentes méthodes classiques. Voyons donc les principaux types de plan à blocs incomplet équilibrés ou non.

3-1 Les plans lattices

En première lieu, voici une méthode pour construire des plans qui sont, sous certaines conditions, équilibré, et qui possèdent de toutes façons de bonnes propriétés : ce sont les plus lattices. Cependant, avant d’aller plus avant, un rappel d'algèbre est nécessaire.

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Validation des modèles de plans d’expériences

Tout d’abord, on rappelle qu’un corps est un ensemble K, muni de deux lois + et . dans lequel on peut toujours résoudre une équation du type ax+b = 0. Les exemples classiques de corps sont : Q, corps des nombres rationnels, R corps des nombres réels et C corps des nombres complexes.

Ici, ce sont plutôt les corps finis qui nous intéressent. On connaît un premier exemple de corps fini Fp de cardinal p: dans le cas où p est un nombre premier, alors Fp = Z/pZ, corps des entières modulo p. ce corps est unique à un isomorphisme (application bijective respectant addition et multiplication) près. Plus généralement, on a les propriétés suivantes:

Théorème 1 Soit k un corps fini. le nombre d'éléments Card(K) = q, est une puissance d'un nombre

premier: q = pr. Il existe toujours un corps de cardinal q = pr et concrètement il n'en

existe qu'un seul. Plus mathématiquement : deux corps finis de même cardinal sont isomorphes.

Pour tout nombre premier p et tout entier r, le corps de cardinal q = pr peut être décrit comme l'extension galoisienne de Fp modulo un polynôme irréductible de degré r.

Par exemple, pour q = 4 = 2², le polynôme X²+ X+1 est irréductible dans F 2, ce

qui veut dire qu'il n'a pas de racines. En effets 0² + 0 + 1 = 1 ≠ 0 et 1² + 1 + 1 ≠ 0. de la même façon que pour la construction de C, on note x une racine « imaginaire » de ce polynôme. Il est facile de voir que l'on obtient ainsi 4 élément de Fp(0,1,x,x+1).

Notons que pour tout corps fini Fp, 0 et 1 appartient à ce corps.Nous allons utiliser cette notation pour définir un plan lattice.

Définition 1 : un ( r, p²) lattice est un plan pour p² traitements (avec p un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier) avec r répétition de p blocs contenant chacun p unités (donc au total r.p blocs). Aux p² traitements sont associés deux facteurs A et B à p niveaux, ces niveaux étant numérotés par des éléments du corps du Galois Fp à p éléments. Un traitement est d’indice (i ,j) à valeur dans Fp², i est la valeur prise par le facteur A, j est la valeur prise par le facteur B. les répétition sont indicées par Fp U x, les blocs dans chaque répétition sont indicées par k € Fp :

Lors de la répétition x, on affecte au bloc k € Fp les traitement (i ,j) tel que j = k. on dit que l’on a confondu le facteur bloc avec le facteur B.

Lors de la répétition 0, on affect au le bloc k € Fp les traitements (i, j) tels que i = k. On dit que l’on a confondu le facteur bloc avec le facteur A.

Lors de la répétition 1, Fp\ 0, on affecte au bloc k € Fp les traitement (i ,j) tels que i+j = k. on dit que l’on a confondu le facteur bloc A+ 1 .B.

On montre qu’un ((p+1).p²) lattice est un plan équilibré. Illustrons ceci par des exemples.

Exemples de plan lattice :

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Validation des modèles de plans d’expériences

Un (3, 2²) lattice est un plan pour 4 traitements. Chaque traitement est indicé arbitrairement par deux facteur A et B prenant chacun deux modalités numérotés dans F2, corps de Galois à deux éléments c’est-à-dire Z/2Z.

Ces 4 traitements sont expérimentés sur 12 unités divisées en 3 répétitions de deux blocs de taille deux.

Blocs Trait dans unité 1 Trait dans unité 2Bloc 1 = répétition x. bloc 0 (0, 0) = 1 (1, 0) = 3Bloc 2 = répétition x. bloc 1 (0, 1) = 2 (1, 1) = 4Bloc 3 = répétition 0. bloc 0 (0, 0) = 1 (0, 1) = 2Bloc 4 = répétition 0. bloc 1 (1, 0) = 3 (1, 1) = 4Bloc 5 = répétition 1. bloc 0 (0, 0) = 1 (1, 1) = 4Bloc 6 = répétition 1. bloc 1 (1, 0) = 3 (0, 1) = 2

De la même manière, un (5,4²) est un lattice comportant 16 traitements différents, et 5 répétitions de 4 blocs, chaque bloc contenant 4 unités (ce qui fait 80 unités statistiques). On utilise le corps F4 = 0,1,x.1,1+x pour construire un tel plan (on a dans ce corps, par exemple, pour l’addition. 1+’1+x) = x, x+(1+x) = 1 ou (1+x)+(1+x) = 0 et pour la multiplication, x.(1+x) = 1 ou (1+x)+(1+x) = x car 1+x+x² = 0. Voici quelques lignes du tableau avant randomisation.

Blocs Trait. Un.1 Trait. Un.2 Trait. Un.3 Trait. Un.4Bloc 1 = répé x . bloc0 : :Bloc 11= répé 1 . bloc x

(0,0)::

(0,x)

(1,0)::

(1,1+x)

(x,0)::

(x,0)

(1+x.0)::

(1+x.1)

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Validation des modèles de plans d’expériences

: : Bloc 18= répé 1+x. bloc1 : :

::

(0,x)::

::

(1,0)::

::

(x,1)::

::

(1+x,1+x)::

. (Source de cette exemple Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 224)

3-2 Les plans circulants :

Voici maintenant un autre type de plans incomplets équilibré, lorsque l’on dispose de t(t - 1) unité par t traitement.

Définition 2

Un plan circulant est un plan pour t traitement en t bloc de tailles (t – 1). Pour construire les blocs, on élimine tour à tour chacun des traitements. Un plan circulant est toujours équilibré, son indice de concurrence λ vaut t – 2.

Exemple de plan circulant :

Si on considère un plan circulant à 5 traitement (noté t1 …… t5 ), on a 5 blocs de taille 4 dans lesquels on élimine tour à tour un des traitement. Par exemple :

Blocs Unité 1 Unité 2 Unité 3 Unité 4Blocs 1Blocs 2Blocs 3Blocs 4Blocs 5

t2

t1

t1

t1

t1

t3

t3

t2

t2

t2

t4

t4

t4

t3

t3

t5

t5

t5

t5

t4

. (Source de cette exemple Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 225)

3-2-1 Construction d’un plan en blocs incomplets à l’aide d’un logiciel

De manière générale, il n’y a pas de solution informatique dans tous les cas. Une solution consiste à construire un plan initial non randomisé a partir de méthodes algébriques ou à partir de table de plans, que l’on randomise par la suite.

3-2-1-A Logiciel SAS

Encore une fois, la commande proc plan va être au fondement de la construction (voir l’exemple suivant), on utilise également la commande output data =entree out=sorte, qui permet de lire une table entrée contenant un plan, de le randomiser (en utilisant proc plan) et de le sortir sur une table sortie. Considérons par exemple

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Validation des modèles de plans d’expériences

un plan en 2 blocs de 3 sous blocs de 3 parcelles. Par exemple un plan lattice pour 9 traitements. La randomisation se fera par :

D’où le résultat suivant:

3-2-1-B Logiciel R et Splus

Voici le même type de création « manuelle » de même plan en blocs incomplets, par les logiciel R et Splus.

Deux cas particuliers méritent notre attention : les plans circulants et les plans lattices.

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Page 27: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Exemple de construction d’un plan circulant

Dans le premier cas (plan circulant), voici un exemple dans le quel on désire appliquer 6 traitement à 5 parcelles :

Logiciel SAS

Voici un résultat possible:

Logiciel R et SplusVoici à nouveau une épreuve permettant d’obtenir le même plan d’expérience

en R ou Splus.

Analyse d’un plan en bloc incomplet

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Validation des modèles de plans d’expériences

Dans les plans en blocs complets ou incomplets, les unités sont regroupées selon une classification : les blocs. Dans certains autres cas, les unités peuvent être rangées dans une structure en ligne et colonne ; ceci fera l’objet de la prochaine section.

3-3 Plans en lignes et colonnes

Cas équilibré : les carrés latins

Définition On appelle carré latin, un plan comprenant n² unités pour trois facteurs ayant le

même nombre n de niveaux, et tel que le nombre de répétition d’une paire de niveaux pour deux facteurs est toujours de 1.

Exemple : on veut comparer 4 peinture carrés ayant 4 façades de même expositions N, S, E, O. Le facteur d’intérêt est le facteur peinture, les facteurs maison et orientation étant des facteurs à contrôler type bloc. Si on veut équilibrer les relation du premier facteur (peinture) avec chacun des deux autres (maison et orientation), on peut être amené (avant randomisation) à utiliser la répartition suivante :

Maison Orientation

Nord Sud Est Ouest 1234

Peinture 1Peinture 2 Peinture 3Peinture 4

Peinture 2Peinture 3Peinture 4Peinture 1

Peinture 3Peinture 4 Peinture 1Peinture 2

Peinture 4Peinture 1Peinture 2Peinture 3

On satisfera à l’exigence de randomisation en faisant dans l’ordre que l’on

voudra un « mélange des lignes » et « mélange des colonnes ». Cette randomisation valide, sous les mêmes hypothèses d’additivité que pour le plan en randomisation totale, une analyse de la variance à trois facteurs additifs. On pourra par exemple obtenir, après mélange des lignes :(Source de cette exemple Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 228)

Maison Orientation

Nord Sud Est Ouest 1234

Peinture 2Peinture 3 Peinture 4Peinture 1

Peinture 3Peinture 4Peinture 1Peinture 2

Peinture 4Peinture 1 Peinture 2Peinture 3

Peinture 1Peinture 2Peinture 3Peinture 4

Puis, après mélange des colonnes

Maison Orientation

Nord Sud Est Ouest 123

Peinture 4Peinture 2 Peinture 1

Peinture 3Peinture 1Peinture 4

Peinture 1Peinture 3 Peinture 2

Peinture 2Peinture 4Peinture 3

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Page 29: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

4 Peinture 43 Peinture 2 Peinture 4 Peinture 1

Remarquez que les propriétés combinatoires sont conservées.La méthode de construction « en diagonale » fonctionne pour tout valeur de n. il existe de nombreuses méthodes de construction. La plus classique est basée sur un groupe fini. On construit la valeur des troisièmes facteurs comme la table d’addition de deux permutations du groupe (noté additivement).

3-3-1Construction d’un carré latin à l’aide d’un logiciel

3-3-1-A Logiciel SAS

Les commandes SAS pour obtenir un tel plan sont :

Voici un résultat possible:

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Page 30: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Notez que le bloc initial qui est particulier donne des propriétés d’équilibre des voisinages en ligne. Si on ne le précise pas, il sera par défaut 1 2 3 4 5 6.

3-3-1-B Logiciel R et Splus

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Page 31: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Voici la génération d’un carré latin (particulier) qui repend celle de la matrice circulante précédente. Ce traitement est donc moins général que celui donné en SAS.

Analyse d’un carré latin

Pour analyser un carré latin avec le logiciel SAS, on utilise à nouveau la procédure proc glm.

Les plans en lignes et colonnes équilibrés ou non :

On peut s’intéresser à un plan dont les unités sont placées sur un réseau de ℓ lignes et de c colonnes mais dont l’allocation des traitements n’a plus la belle propriété du carré latin. On utilise encore la même randomisation, mais elle valide maintenant une analyse avec un effet ligne et un effet colonne aléatoire.

Logiciel SAS

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Page 32: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

3-4 Les plans split-plot (parcelle subdivisée) :

Exemple : Simplifions la présentation d’une expérience célèbre de Cochran et Cox. On désire comparer 3 recette de gâteau au chocolat et 6 températures cuisson 180 ,190….230. on réalise l’expérience suivante : chaque jour ( pendant 4 jours) ; on réalise 3 pâtes correspondant aux 3 recette. Chaque pâte est ensuite sub-divisée en 6 sous-parties cuites à chacune des températures différentes. Après cuisson, on mesure le moelleux du gâteau en mesurant l’angle de rupture α d’une tranche. On a donc pour expliquer cette variable quantitative trois facteurs : la température notée recette) et le jour (facteur bloc). Ce qui est particulier à cet exemple est qu’il y a deux type d’erreur attachée à la mesure de l’angle et l’autre à la confection d’une pâte.

On a aura par exemple la planification suivante :

i On dresse d’abord un plan en blocs complets randomisé par le facteur recette, par exemple :

Blocs (jours)

Bloc 1

Bloc 2

Bloc 3

Bloc 4

Rec 2

Rec 3

Rec 2

Rec 1

Rec 1

Rec 2

Rec 3

Rec 3

Rec 3

Rec 1

Rec 1

Rec 2

ii Ensuite, chaque « grande parcelle » (ici les déférentes pâtes de gâteau), est divisée en autant de « sous parcelle » qu’il y a de niveaux du second facteur traitement : la température. ce dernier facteur est pris dans un ordre randomisé.

Une réalisation possible peut être :

Labaaj iliass - 32 - Master AMTI:2006/2008

Page 33: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Bloc (jours) Recette

Bloc 1 Rec 2

T4 , T2,T1, T6, T5, T3

Rec 1

T4 , T5,T6, T2, T3, T1

Rec 3

T1 , T6,T2, T4, T5, T3

Bloc 2 Rec 3

T3 , T6,T1, T5, T4, T2

Rec 2

T4 , T1,T2, T6, T5, T3

Rec 1

T6 , T2,T1, T4, T3, T5

Bloc 3 Rec 2

T2 , T3,T5, T4, T1, T6

Rec 3

T2 , T6,T3, T4, T5, T1

Rec 1

T5 , T1,T3, T2, T6, T4

Bloc 4 Rec 1

T1, T4,T2, T3, T5, T6

Rec 3

T4 , T5,T6, T2, T1, T3

Rec 2

T3 , T4,T1, T2, T6, T5

. (Source de cette exemple Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 232)

Plus généralement on a la définition suivante :

Définition :

On appelle plan split-plot un plan pour deux facteurs traitements, le premier traitement A, possédant t niveaux et le second, B,s niveaux. Pour le premier facteur, on construire un plan en blocs complets « grand unité » est divisée en s sous unités auxquelles sont affectées dans un ordre aléatoire les s valeurs du traitement B.

Si i,j,k sont respectivement les niveaux de A, B et bloc, le modèle auquel conduit

la randomisation est : Yijk = µ + ai + bj + (a+b)ij + block + Eik + εijk

Pour i= 1….t et j= 1…..s et k= 1 ……k

Avec E l’erreur associée aux « grandes unités » (dans l’exemple Y désigne la mesure de l’angle α d’une tranche, A est le facteur température, B est le facteur recette et le facteur bloc correspond à un jour).

Ce modèle peut s’analyser bien évidemment à l’aide d’un programme de modèle mixte, mais il peut également s’analyser à partie des projections inter- et intra- « grande unité ». la projection inter revient à travailler sur Yik, ce qui, avec des contraintes classiques, donne

Yik = µ + ai + block + ε’ik avec ε’ik = Eik + εik

Les deux aléas peuvent être confondus, on retrouve ainsi le modèle du plan en blocs complet. La projection intra- est théoriquement basée sur les Yijk - Yik. On

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Page 34: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

montre qu’elle est équivalente au modèle complet dans lequel effet E jk est supposé fixe.

Ceci à condition de se limiter à l’estimation et aux tests sur le facteur B et sur l’interaction A+B.

En conclusion on dit que le facteur A est totalement estimable inter-grande unité et l’interaction A+B et le facteur B sont totalement estimable intra-grandes unités.

De manière générale, le plan split-plot donne une meilleure précision sur le second facteur B et sur l’interaction A+B que sur le premier facteur. Le lecteur pourra le vérifier facilement sur un exemple.

3-4-1 Construction, randomisation et analyse d’un plan split-plot

3-4-1-A Logiciel SAS

Voici les commandes permettant de construire un tel plan :

3-4-1-B Logiciel R et Splus

Voyons maintenant la génération du même plan avec les logiciels R et Splus

Voici maintenant en SAS les commandes à utiliser pour analyser un plan split-plot :

Labaaj iliass - 34 - Master AMTI:2006/2008

Page 35: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

IV – Plans randomisés par un groupe de permutation

1 Le modèle de la randomisation

Cette partie donne les bases théorique permettent de mieux comprendre comment la randomisation permet de valider d’analyse des plans d’expériences classiques.. Comme les situations rencontrées sont assez divisées. Nous allons nous placer dans un cadre abstrait très générale qui les englobera toutes.

1 – 1 Présentation générale

Considérons une expérience qui comprend n unités expérimentales. On note Ω l’ensemble de ces unités que l’on peut identifier à 1…….n=Ω. On suppose que cette expérience a pour but de comparer un ensemble T = 1…..t de traitements avec la contrainte que chaque unité ne peut recevoir qu’un seul traitement. On considère un « plan initial » qui correspond à un premier placement des traitements dans les unités, c’est-à-dire à une application de Ω dans T et qui peut se représenter par une matrice binaire (avec uniquement des 0 et des 1) de taille (n,t), qui nous noterons X.

Exemple :

Considérons le cas de n=5 et t=3 et le plan initial 1,2,3,1,2, c’est-à-dire que l’unité 1 recoit le traitement 1, puis l’unité 2 le traitement 2….et enfin, l’unité 5 le traitement 2. alors la matrice X est la suivante :

Labaaj iliass - 35 - Master AMTI:2006/2008

Page 36: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Avant de poursuivre, il nous faut revenir sur quelques notions algébriques qui vont s’avérer utiles par la suite.

1 – 2 Quelques notions d’algèbre

On rappelle d’abord qu’un groupe est un ensemble dans lequel les éléments vérifient des propriétés de stabilité, d’associativité d’existence d’un élément neutre et d’un symétrique pour une certaine opération que l’on notera + (par exemple , Z/3Z avec l’opération +).

On note Sn le groupe des permutations de 1 …..n (c’est-à-dire l’ensemble des bijection de 1…..n dans 1…..n auquel on associe l’opération de composition entre applications.

Définition

Un groupe (G,.) inclus dans Sn est simplement transitif sur Ω si

Sn est évidemment un groupe simplement transitif sur Ω. Soit maintenant H un sous-groupe simplement transitif de Sn. Par exemple, pour n = 3 peut être des 3 permutations :

Tout élément ξ de H est identifié à une matrice que l’on notera encore ξ et qui effectue la permutation correspondante des coordonnées. Par exemple, à la permutation ξ suivante de S5.

On associe la matrice

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Page 37: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Définition

Pour H un sous-groupe de Sn simplement transitif sur Ω = 1…..n l’orbite double de la paire d’élément (i,j) € Ω² est l’ensemble :

Oij = ( ξ(i), ξ(j) ), ξ € H

A l’orbite Oij, on associe la matrice M = ( mi',j')1 ≤ i', j' ≤n, (qui dépend elle aussi de (i,j) mais nous l'omettrons pour simplifier les notations) telle que:

mi' , j' = 1(i' , j') € Oij

En reprenant l'exemple de H précédent, l'orbite de la paire (2,3) est:

O23 = ( (2, 3).(3,1),(1,2) )

Il est facile de voir que si M est la matrice d'une orbite. M' est également la matrice d'une orbite (évidemment la même et alors M = M'). on définit alors l'orbite symétrisée comme :

O = ½ ( M + M')

Propriété fondamentale

Nous utiliserons régulièrement le résultat suivant: dans groupe G les « translations » sur un groupe sont des bijections? Soit g un « l »ment de groupe G et soit T la translation définie par :

z € G → T(z)= g + z

Alors cette fonction est une bijection. Quand z parcourt G.g + z parcourt également G.

1-3 Modèle

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Validation des modèles de plans d’expériences

on suppose dans un modèle conceptuel (que l'on observe donc pas correctement, qu'il existe une additivité entre un effet traitement et un effet unité. Si R ij est la réponse conceptuelle du traitement i sur l'unité j, on pose:

Rij = τi + uj avec i € 1......t , j € 1......n

Où les τi sont les paramètres à estimer et les uj sont des variables aléatoire dont on supposera simplement qu’elles ont un moment d'ordre 2. Pour se débarrasser d'une indétermination dans la formule ci-dessus, on suppose de plus que :

En fait, on ne réalise pas l'allocation initiale X (matrice du plan d'expérience), mais plutôt cette obtenue après une permutation aléatoire tirée dans H. plus précisément si ξ choisie au « hasard » (c'est-à-dire suivant une loi uniforme) dans H, on réalise l'allocation ξ.X. On observe donc:

Z = ξ . X. τ + u

et X et ξ des matrices de tailles respectives (n,t) et (n,n).

Remarque :

On peut éventuellement rajouter au modèle des erreurs de mesures indépendantes. Cependant, le lecteur vérifiera qu'elles ne changent rien à l'étude suivante.

Proposition

Avec les notations introduites précédemment posons Y = ξ'.Z (où ξ' désgne la transposée de la matrice ξ, c'est-à-dire la matrice de l'application réciproque de ξ). On a alors :

Y = X . τ + ε où ε = ξ' . u

Ξ ( ε) = 0 et

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Page 39: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

où :

O1..........Ok sont les orbites doubles symétrique de H opérant sur Ω ;

y1...........yk sont des paramétrés réels inconnus.

Démonstration

on étudie l'espérances et la variance de εi. Comme la permutation ξ est choisie aléatoirement dans H, on a :

En utilisant la propriété de groupe de H, on montre que tout couple (i,j) de Ω².

# ξ € H tel que ξ(i) = j = H/n

Et donc

Ξ(εi ) = 1/n Ξ(ui ) = 0

Soit maintenant Σ = (σij)1≤i , j≤n = var (ε) la matrice de variance-covariance du vecteur ε et soit s une permutation fixe de H. alors, pour tout (i,j) :

On donc pour tout (i ,j) € Ω², σs(i)s(j) = σij pour tout s € H. les valeurs de σij sont donc constantes sur les orbites doubles de H ce qui implique le résultat car Σ est symétrique.

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Validation des modèles de plans d’expériences

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Chap. II : Les plans d’expériences du domaine industriel

Page 41: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Chapitre II : Les plans d’expériences du domaine industriel

I- Pourquoi faire des plans d’expériences en industrie

L’expérimentation est un des moyens qui permettent d’acquérir ou

d’améliorer les connaissances, elles sont optimisées afin d'obtenir des

informations les plus fiables possibles en un minimum essais. Dans ce

paragraphe, nous allons nous intéresser aux méthodes d’expérimentation utilisées

dans les laboratoires. C'est au regard des limites des méthodes classiques que les

méthodes par les plans d’expériences ont été crées.

Le choix de la statistique et des plans d’expériences nous a permit

d’optimiser et d’organiser les essais afin obtenir un maximum de renseignements

avec un minimum d’expériences tout en assurant un meilleur degré de précision

sur les réponses enregistrés et calculées. Il existe de nombreux plans

d’expériences adaptés à tous les cas rencontrés par un expérimentateur. Parmi

tous ces plans, certains sont plus fréquemment utilisés que les autres. Nous

indiquerons les principes fondamentaux de cette science.

II- Principe de base

Labaaj iliass - 41 - Master AMTI:2006/2008

Page 42: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Supposons qu’un expérimentateur lance une étude, il s’intéresse à une grandeur

qu’il mesure à chaque essai. Cette grandeur est appelle la réponse, c’est la grandeur

d’intérêt. La valeur de cette grandeur dépend de plusieurs variables. Au lieu du

terme « variable » nous emploierons le mot « facteur ». On dit que la réponse

dépend de plusieurs facteurs.

La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsque

l’on étudie l’influence d’un facteur, en générale, on limite ces variations entre deux

bornes :

borne inférieure est le niveau bas noté -1

borne supérieure est le niveau haut noté +1

III- les plans factoriels

Un plan d’expériences consiste à mettre en œuvre une stratégie de travail dans le

but de réduire le nombre des essais tout en atteignant rapidement les réponses aux

questions posées. Dans le cas des plans factoriels, il faut déterminer les effets des

paramètres que l’expérimentateur juge influent sur le phénomène. Pour cela

plusieurs cas sont envisageables :

1 Les plans factoriels complets :

Les plans factoriels complets ont été étudiés par Yates et Hunter. Ils sont notés 2k(2 puissance k essais) avec 2 le nombre de niveaux (il existe aussi des plans avec 3 niveaux, voire davantage) et k le nombre de facteurs.

Les plans complets permettent de quantifier l'influence de facteurs sur une caractéristique. Cependant le nombre d'essais peut vite devenir trop important lorsque le nombre de facteurs augmente. Pour 6 facteurs, le nombre d'essais s'élève à 64. Ainsi il peut être intéressant d'essayer de quantifier l'influence en faisant moins d'essais. C'est l'objet du plan réduit (plans fractionnaires).

2 Les plans réduits : (fractionnaires)

Les plans réduits (plans fractionnaires) ont pour objectif d'obtenir les effets de plusieurs facteurs en faisant un minimum d'essais. Les plans réduits sont notés 2n-

p. On va ainsi chercher l'effet de n facteurs en faisant n-p essais. Pour cela il existe deux démarches :

1. A partir du plan complet et enlever des lignes (des essais). La stratégie généralement adoptée est de garder uniquement les essais qui donnent le même signe à l'interaction la plus élevée.

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Page 43: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

2. Partir du plan réduit et rajouter des colonnes pour prendre en compte les nouveaux facteurs. Pour cela, il faut avoir une stratégie de rajout de colonnes. Box & Hunter proposent que les colonnes ajoutées soient des combinaisons linéaires des colonnes existantes.

(Nous renvoyons pour les détails à des ouvrages plus théoriques comme Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet [7] p, 256, F. PICAUD [4] p 52)

2-1 Remarque :

Plus les interactions entre les facteurs sont faibles, plus les contrastes du plan réduit seront proches des effets du plan complet.

IV Autres plans à deux niveaux

Les plans factoriels complets et fractionnaires sont basés sur des modèles

mathématiques du premier degré. Ils couvrent la plupart des besoins des

expérimentateurs lors d’une étude de dégrossissage. Ce sont eux qui seront

employés dans la majorité des cas.

D’autres plans à deux niveaux et basés sur un modèle mathématique degré

ont été mis au point pour répondre à des situations particulières. Nous

examinons les plans koshal, plans de Rechtschaffner, plans de Plackett et

Burmann, plans de Taguchi, plans sursaturés…

1 Plans de Koshal

Les plans de Koshal sont des plans qui permettent de déterminer

uniquement les effets principaux des facteurs, on ne peut pas évaluer les

interactions. Le modèle mathématique est :

ces plans, peu connus, sont trés pratiques pour degrossirun probléme. Ils

offrent l'avantage de donner directement l'effet des facteurs. Ils forment le

Labaaj iliass - 43 - Master AMTI:2006/2008

Page 44: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

debut d'un plan factoriel qu'il est toujours loisible de compléter pour obtenir un

plans complet ou fractionnaire.

2 Plans de Rechtschaffner

les plans de Rechtschaffner sont des plans factoriels fractionnaires

simplifiés qui permettent de determiner les effets des facteurs et les interactions

d'ordre deux. Toutes les autres interactions sont supposées nulles avant

méme l'experimentation. Le modéle mathematique adopte au départ de l'etude

est donc :

3 Plans de Plackett et Burmann

La méthode du plan d’experience de Plackett et Buramann utilise des

matrices pour fixer les valeurs des differents facteurs au cours des

experimentations. Ces valeurs sont choisies de telle sort que la variance des

résultats (le calcul des effets ) soit minimale. Pour cela ; les seuils de plusieurs

facteurs sont changés à chaque experience. Cela permet de :

Diminuer le nombre d’essais.

D’étudier un grand nombre de facteurs.

D’obtenir une meilleur précision.

d'obtenir un modèle expérimental du phénomène (vrai uniquement à

l'intérieur des bornes du domaine étudié).

3-1 Remarque : la matrice de Hadamard (1)

Une matrice de Hadamard, est une matrice carrée dont les coefficients sont

tous 1 ou -1 et dont les lignes sont toutes orthogonales entre elles. Le nom retenu

pour ces matrices rend hommage au mathématicien français Jacques Hadamard,

même si les premiers exemples systématiques sont dus à James Joseph Sylvester.

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Page 45: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Pour une matrice H carré d’ordre n, la propriété d’orthogonalité des colonnes peut également s’écrire sous la forme :

Où In est la matrice identité d’ordre n

Exemple

Propriété :

Une matrice réelle M d’ordre n, dont les éléments sont bornés atteint l’égalité dans l’inégalité de Hardamard :

Si et seulement si c’est une matrice de Hardamard.

Certaines opérations élémentaires transforment une matrice de Hadamard en une autre : permutation de lignes ou de colonnes, multiplication d'une ligne ou d'une colonne par -1.

La transposée d'une matrice de Hadamard est encore une matrice de Hadamard.

3-1-1 Construction de Sylvester (3)

Les premiers exemples de matrices de Hadamard sont dus au mathématicien James Joseph Sylvester

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Page 46: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

La construction est basée sur la propriété suivante. Si H une matrice de Hadamard d'ordre n, alors la matrice

est une matrice de Hadamard d'ordre 2n

En appliquant cette construction de façon récursive, o, construit la suite des matrices de Walsh ou de Sylvester.

Puis (en utilisant la notation du produit de Kronecker)

Les matrices construites par la méthode de Sylvester ont certaines propriétés intéressantes. Ce sont des matrices symétriques de trace nulle. Les éléments de la première colonne et de la première ligne sont tous positifs. Dans chaque autre ligne ou colonne, la moitié des éléments est positive. Ces matrices sont étroitement liées aux fonctions de Walsh,

3-1-2 Ordre d'une matrice de Hadamard

L'ordre d'une matrice de Hadamard est nécessairement 1, 2 ou un multiple de 4.

La construction de Sylvester montre qu'il existe des matrices de Hadamard d'ordre 2k pour tout entier naturel k.

Les matrices de Hadamard d'ordres 12 et 20 ont été construites par Hadamard. Raymond Paley démontra plus tard comment construire une matrice de Hadamard d'ordre q+1 lorsque q est une puissance d'un nombre premier congrue à 3 modulo 4. Il a également construit des matrices d'ordre 2*(q+1) avec q, puissance d'un nombre premier congrue à 1 modulo 4. Sa méthode utilise les corps finis. D'autres méthodes pour la construction de matrices de Hadamard sont maintenant connues.

3-1-3 Conjecture de Hadamard

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Page 47: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

La question ouverte la plus importante à propos des matrices de Hadamard est celle de leur existence. D'après la conjecture de Hadamard.

Une matrice de Hadamard d'ordre 4k existe pour tout entier positif k.

(Nous ne détaillerons cette partie plus complexe et renvoyons à des ouvrages plus

théoriques comme le site

V LA THEORIE DE PERMUTATION : plans fractionnaires [1]

On considère p facteur à deux niveaux, que l’on notera -1 et +1 sans perte de

généralité. On appelle traitement une combinaison (i1……ip) de ces facteurs.

L’ensemble des traitements est de cardinal n=2p et correspond au plan factoriel

complet. Soit E l'espace des réponses aux divers traitements. On a ainsi :

E = f , f : -1, +1p → R ↔ R2p

isomorphe

on vérifiera aisément que ces deux ensemble sont des espaces vectoriels en

bijection). Pour deux fonctions f et g de E, on définira la norme f et le produit

scalaire <f,g> à partir de la norme et du produit scalaire euclidien de l'écriture

dans R2p. Par exemple, pour p = 2 et pour f telle que f(1,1) = 3,2. f(1,-1) = -14,72,

f(-1,1) = -2 et f(-1, -1) = π, on a : f² = (3,2)² + (14,72)² + (-2)² + π². On ce place

dans le cas où le nombre total (n = 2p) des expériences à réaliser pour obtenir un

plan factoriel complet est trop important pour que le plan puisse être mis en place

(par exemple pour des raisons de coût de chaque expérience). On ne va effectuer

qu'une partie, une fraction de ce plan, ce qui conduira à la mise en place d'un plan

factoriel fractionnaire.

En premier lieu, nous allons définir proprement les interactions multiples et

les effets principaux. Dans E il existe des éléments particuliers : les fonctions

coordonnées.

On définit la k-iéme fonction coordonnée, notée Ak pour k = 1.......p, par:

Ak(i1........ip) = ik ; (i1........ip) € -1, 1p

(cela définit clairement une fonction de E ). On obtient facilement la propriété

suivante :

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Page 48: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

( dans le cas où i ≠ j, on vérifie qu'il y a n/4 p-uplets de -1 , +1p tels que Ai.Aj

= (1,1), puis n/4 p-uplets de -1,+1p tels que Ai.Aj = (1, -1), puis n/4 tel que Ai.Aj =

(-1,1) et enfin n/4 tels que Ai.Aj =(-1,-1) : le produit scalaire vaut bien 0).

Soit B 1........p. on définit la fonction AB, fonction appartenant également à

E et telle que pour x € -1,1p.

AB(x) = ∏ Ai(x) = A1ε1(x)..........Ap

εp(x) où εk = 1 lorsque k € B et εk = 0 sinon.

Par convention, la fonction A01 est la fonction constante égale à 1, telle que

quelque soit x appartient à Rp. On a la proposition suivante :

1 Proposition

Quand B varie dans l'ensemble des parties de 1.......p, les AB forment une

base orthogonale de E de norme :

2 Démonstration

Soit B dans 1.......p il est clair que AB vu comme un élément de Rn à toutes

ses composantes qui valent ±1 et donc le carré de sa norme vaut n. D'autre part,

soit B' dans 1......p distinct de B. Alors, il existe un élément j € 1.......p qui

appartient à l'un de ces deux ensembles et pas à l'autre. Quitte à renuméroter les

facteurs, on peut toujours supposer que j = p. on peut écrire que :

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Page 49: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

AB(x) = A1ε1(x)..............Ap

εp(x)

Posons maintenant

AB'(x) = A1ε'1(x)..............Ap

ε'p(x)

on a alors εp + ε'p = 1 et

= 0

Soit B un sous-ensemble des fonctions de 1........p. On définit maintenant le

sous-espace vectoriel de E suivant :

VB l'ensemble des fonctions de -1,1p dans R ne dépendant pas des seuls

coordonnées présentes dans B. Si B = k1.......km, une fonction f de VB

s'écrit f(x) = c(xk1........xkm

WB est le sous-espace vectoriel de VB orthogonal à tous les sous-espace VB D

dans B . D # B

Par exemple, si p = 2:

E = f : -1 , 1² → R donc f € E est telle qu'il existe (a,b,c,d) € R4 tel que

f(1,1) = a f(-1,1) = b f(1,-1) = c f(-1,-1) = d

une fonction de V1 est telle qu'il existe a € R² vérifiant :

f(1,1) = f(1,-1) = a et f(-1,1) = f(-1,-1) = b.

une fonction W1 est telle qu'il existe a € R vérifiant :

f(1,1) = f(1,-1) = a et f(-1,1) = f(-1,-1) = -a

On a alors les propriétés suivantes quand à ces sous-espaces vectoriels de E :

3Proposition

Soit B un sous-ensemble de 1.......p alors :

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Page 50: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

i. dim (VB) = 2B où B est le cardinal de B ;

ii. si D est dans B alors AD € VB;

iii. l'ensemble AD avec D dans B engendre VB;

iv. AB € WB et AB engendre WB qui est donc de dimension 1.

4 Démonstration

Les proposition i et ii découlent de l'écriture même d'une fonction de VB . La

proposition iii découle de i et ii et de l'orthogonalité des AD où D dans B. enfin,

comme on a AB € VB et pour D strictement inclus dans B. AB et AD sont

orthogonales alors AB € WB. Puisque AB et les AD forment une base de VD. AB

engendre bien WB.

Définition

l'espace WB sera appelé espace de l'interaction entre les facteurs de l'ensemble

B en adoptant les conventions suivantes : si B ne contient qu'un facteur, l'espace

correspondant, que l'on appellera interaction d'ordre 1, est l'espace associe à

l'effet principal de ce facteur. WB est l'espace de la « moyenne générale » considéré

comme une interaction d'ordre 0.

Définition

La vraie réponse f (a priori non connue) au traitement est un élément de E qui

se décompose sur la base des générateurs AB. Nous appellerons valeur de l’effet de

AB (ou valeur d’un effet principal ou d’une interaction entre les facteurs de B),

notée c(AB) ; le coefficient de cette décomposition et on a :

5 Construction du plan fractionnaire à l’aide des logiciel

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Page 51: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Supposons que nous voulions construire un plan pour 5 facteurs : A , B , C , D

et E de résolution V avec 16 unité et la clef E = A . B.C.D. la mise en pratique est

la suivante :

5-1 Logiciel Splus

La génération d’un tel plan fractionnaire avec le logiciel Splus peut être

obtenu directement par la commande :

Le clef ici est A.B.C.D.E, puisque A.B.C.D.E = 1. le résultat est une matrice à

16 lignes, qui correspondent aux unité, et 5 colonnes qui correspondent aux

facteurs. En rajoutant dans la commande l’option randomize.rows = T, on

randomise les lignes (ce qui revient à faire une permutation des unités) et on

obtient alors (ici les différents niveaux de a sont notés a1 et a2 et non -1 et 1) :

Notons que cette commande menuFacDesign est extrêmement puissante

puisque l’on peut également choisir une fraction quelconque du plan, et des

variables avec plus de deux niveaux.

5-2 Logiciel R

La génération d’un tel plan fractionnaire avec le logiciel R peut être obtenue

par la suite de commandes suivantes, après avoir fait appel au module AlgDesign.

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Page 52: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Notons que la commande gen.factorial permet la construction d’un plan

complet. Les deux dernières commandes permettent la randomisation des

colonnes du plan d’expériences

Logiciel SAS

La procédure proc plan permet de construire des plan. La construction de

plan pour facteurs à 3 niveaux, l’étude exhaustivement confusions est possible en

utilisant la procédure proc factex du modèle spéciales SAS.

Labaaj iliass - 52 - Master AMTI:2006/2008

Page 53: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Labaaj iliass - 53 - Master AMTI:2006/2008

Chap. III : Les outils de validation de modèle

Page 54: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Chapitre III : Les outils de validation de modèle

I. Objectif

L’analyse statistique représente une aide à l’interprétation des résultats. Dans le cas présent, l’analyse statistique permet d’identifier les effets probablement « significatifs » ou « actifs » des facteurs. L’analyse statistique fait appel à la mise en œuvre de tests statistiques, procédures bien définies qui permettent de traduire, à partir d’une probabilité, la pertinence d’un modèle et le caractère significatif des effets moyens qu’il permet d’identifier. Les procédures de construction des tests statistiques renvoient à des hypothèses et nécessitent la connaissance de la variabilité naturelle des résultats d’essai, rarement disponible dans une méthode. En effet, le manque de temps et d’argent concernant une méthode ne permet pas souvent les possibilités de répétition d’expériences. Puisque nous avons dupliqué les expériences, nous pouvons donc mettre en œuvre de façon efficace des tests statistiques, ce qui nous facilite l’interprétation. Ces constats ont suscité depuis longtemps le développement de nombreuses méthodes autorisant une approche d’analyse statistique.

II. Modèle et données :

Supposons qu’on a un modèle mathématique additif avec k variables :

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + …. + βkXk + ε ε~ N(0, σ²)

K variables explicative X i numéro d’essai i=1……….n

En écriture matricielle le vecteur de paramètre β = (β0 , β1……………... βk)' vecteur (p x 1) et la matrice de variable X est :

Labaaj iliass - 54 - Master AMTI:2006/2008

Page 55: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

III- Principe de moindres carrés

La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre en 1805 et Gauss en 1809, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure à un modèle mathématique censé décrire ces données.

Les paramètres βj sont solution de :

On obtient le système d’équations linéaire à résoudre : ( X' X ) β = X' Y

La solution est :

où est une matrice p x n de valeurs fixes.

L’équation de prédiction est :

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Page 56: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

1- Propriétés des estimateurs :

combinaison linéaire des yi.

Sans biais c’est-à-dire

ils sont à variance minimale

2- L’écart type :

L’écart type (ou déviation standard ou écart quadratique moyen) est un critère de dispersion. Il mesure l'écart à la moyenne observée et correspond à la moyenne quadratique des écarts entre les valeurs observées et la moyenne de ces valeurs observées. Il se note avec la lettre de l'alphabet grec, σ (sigma minuscule), ou parfois Δ (Delta majuscule).

L’écart type peut être calculé en utilisant la formule suivante

3- Propretés des estimateurs :

On définit

Résidus

Somme de carrés résiduels SCR =

Carré résiduel moyen MSR = SCR/(n-k-1)

Estimation

IV- Décomposition de la variabilité :

1- Analyse de la variance

Labaaj iliass - 56 - Master AMTI:2006/2008

Page 57: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

On définit :

est la somme carrés totale

est la somme carrés de module

est la somme carrés résiduels

2- Équation fondamentale

Somme de carrés (SS) : SCT = SCR + SCM

Variabilité : totale = résiduels + module

Degré de liberté (ddl) : n-1 = k + (n-k-1)

3- Tableau d’analyse de la variance

4- Coefficient de détermination R²:

Si on cherche à savoir si le modèle explique bien l’ensemble des résultats on

doit calculer le coefficient R² :

Le coefficient R² est appelé coefficient de détermination. Plus R² est grand,

meilleur est la réponse du modèle (les réponses calculées seront fortement

corrélées les réponses expérimentales). Cependant, Si le nombre d’expériences est

égal au nombre d’inconnues du système, le coefficient sera toujours égal a 1.

C’est pour éviter cela que le coefficient de détermination ajusté (Ra²) a été

introduit.

Labaaj iliass - 57 - Master AMTI:2006/2008

Page 58: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

5- Coefficient de détermination ajusté Ra²

Le coefficient de détermination ajusté tient compte du nombre de variables. En effet, le principal défaut du R² est de croître avec le nombre de variables explicatives. Or, on sait qu’un excès de variables produit des modèles peu robustes. C’est pourquoi on s’intéresse davantage à cet indicateur qu’au R². Mais ce n’est pas un véritable « carré » et il peut même être négatif.

5-1- Remarque : [3]

Ajouter une variable explicative additionnelle dans un modèle fait

toujours augmenter SCM, donc fait augmenter R² ; l’augmentation

n’est pas toujours importante et significative.

Ra²est préférable R² pour comparer des modèles avec des nombres

différents de variables.

5-2 Test d’hypothèse de R² [6]

Tester l'hypothèse qu’il y a une relation linéaire entre les 2 variables aléatoires X et Y.

L’hypothèse est :

H0 : corr(x, y )= 0contre H1 : corr(x, y) ≠ 0

Avec

Si nous disposons d'un échantillon aléatoire simple d'effectif n prélevé dans la population, on peut montrer que, si H0 est vraie, alors on a :

Labaaj iliass - 58 - Master AMTI:2006/2008

Page 59: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Où tn-2 représente une variable de Student à n-2 degré de liberté.

Cette distribution a permis de calculer les quantiles Rn-2,α de R, que nous présentons dans la table numérotée de Student pour diverses valeurs de n-2et du risque de première espèce α (l'ordre p du quantile est égale à 1- α/2). On montre que la règle de décision du test est suivante

On rejet H0 si R> Rn-2,α

On accepte H0 si R≤ Rn-2,α

(Source de cette partie Jean-Jacques Droesbeke [6] p 139)

V Test global :

On va tester H0 : contre H1 : non H0

(ou moins un β ≠0)

Sous H0 MSM ~ χ²(k) et donc f = MSM/MSR ~ F(k,n-k-1).

Donc on rejette H0 au seuil α si f >

VI- Analyse de plan d’expérience

1 modèle

Soit le modèle

avec i=1.2.3... n le nombre d’observation

j=1.2.3…..k le nombre de traitement

Labaaj iliass - 59 - Master AMTI:2006/2008

Page 60: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

yi : réponse observée à l’essai (traitement i )βj : coefficients du modèle (à estimer)xij: constantes connues ( ± 1)

2 Propriétés

la matrice X est orthogonale et on a les contraintes suivantes :

r données (répétitions) essai i : yi1 , yi 2 ,…, yi r

3 Estimation β moindres carrés

Modèle ajusté

4 Estimation de l’erreur expérimentale σ

= ∑ Si²/n estimation direct (erreur pure) applicable seulement si n>1

Si n=1 plan sans répétition

L’estimation de σ est indirecte et basée sur la somme des carrée résiduels(s’il reste des degré de liberté)après l’ajustement du modèle.

5 Analyse de la variance

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Page 61: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

SCT = ΣΣ (yik – y) ² : variabilité totale

SCM = n ∑ ( - )² : variabilité expliquée modèle (inter)

SCintra = ∑∑ (yik - i )² : intra variabilité = n

SCT = SCM + SCintra : décomposition de la variabilité.

SCM = 16n Σ ² : décomposition orthogonale des effets.

6 Test pour le manque d’ajustement (lack of fit)

Lack of Fit (manque d’ajustement) : représente l’erreur qui est liée aux termes qui ne sont pas présents dans le modèle. Cette erreur ne doit pas être

significative pour considérer que notre plan d’expérience est valide.

On a décomposé SCR en 2 parties:

SCR = SCintra + SClof

SCintra = calculée avec les répétitions (erreur pure)

SCR = SCT - SCM

SClof = SCR - SCintra

6-1 Exemple [5]

Soit le jeu de donnée suivant :Obs Y1 x1 x2 Obs Y1 x1 x2

1 8.74 2 1 2 7.10 2 0 4 12.1 5 1 6 14.1 5 0 7 18.6 8 1 9 16.9 8 0

3 9.85 2 0

5 13.1 5 1

8 15.0 8 1

Les données 2 et 3, 4 et 5 et 7 et 8 ont les mêmes combinaisons de valeurs pour leurs variables exogènes. Un test de manque d’ajustement est donc possible.

Supposons que le jeu de données compte m combinaisons distinctes des valeurs des variables exogènes. Soit ni, le nombre d’observations de la i eme combinaison de

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Validation des modèles de plans d’expériences

variables exogènes, i = 1, . . . ,m. Soit Yij la j éme observation de la variable endogène pour la i éme combinaison de variables exogènes, j = 1, . . . , ni.

Soit i = Σ yij / ni, la valeur moyenne de la variable endogène pour la i eme combinaison de la variable exogène.

On a m = 6 combinaisons de valeurs différentes pour (x1i,x2i)(2, 0),(2, 1), (5, 0), (5, 1), (8, 0), (8, 1). On n1=2 observations avec (x1i,x2i) = (2, 0), n2 = 1 observations avec (x1i,x2i) = (2,1), et ainsi de suite jusqu’à n6 = 2 observations avec (x1i,x2i) =

(8,1). Finalement 1=8.475 2=8.74…… 6=16.8.

La variabilité dans les Yi peut maintenant être estimer à partir des données ayant les meme combinaison pour les variables exogène :

Quand un modèle de régression est donné, alors la somme des carrées résiduels est décomposée en somme des carrés provenant de deux sources :

Si le modèle de régression est bon alors l’erreur pur résiduels explique une partie très important de la somme carrées et la somme due au manque d’ajustement (lack of fit) devrait être de faible valeur.

Si on prend le modèle on obtient :

Résiduel ddl SS MS Fvalue Pr>FLack of fitPure erreurTotal erreur

1 6 7

0.32267212.31473312.637406

0.3226722.0524561.805344

0.16 0.7055

Il ne semble pas y avoir de problème de manque d’ajustement de notre exemple. Bien entendu, avec le très petit nombre de données observé, très peu d’hypothèse peuvent être rejetées !! (Source de des données G. Daigle p 46)

7 vérification a posteriori d’un modèle statistique :

Les hypothèses de bases du modèle sont : La distribution de Y est normal ;

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Page 63: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

La variance est constante ; L’indépendances des observations .

Si les hypothèses de base ne sont pas valider on peut faire une transformation de Box-cox Y λ ;

8 Transformation de Box-Cox Y λ pour stabilisé la variance [8]et (2)

Rappel La transformée de Box-Cox est la transformation non linéaire de loin la plus

rencontrée en statistique et en économétrie. Elle est définie comme :

Transformation de Box-Cox pour des valeurs divers de λ.

où l’argument x doit être positif, D’aprés la règle de l’Hôpital, log x est la limite de (xλ – 1)/λ quand λ→0. λ s’étend généralement d’une valeur inférieure à 0 `a une valeur supérieure à 1. Il peut être montré que B(x,λ’) ≥ B(x,λ’’) pour λ’ ≥ λ’’. Ainsi la valeur de courbure de la transformée de Box-Cox augmente quand λ s’éloigne de 1 dans l’une ou l’autre direction du graphe.(2)

(Source de cette partie Russell Davidson et James MacKinnon [11] p 36-54)

Nouvelle variable Y' (transformation de puissance) Y' = Yλ -2<λ <2

8-1 méthode pour obtenir λ (graphique):

Groupe de données ( i , si )

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Page 64: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Graphique de log(si ) vs log( ) pente p λ =1-p

8-1-1 exemple : [2]

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P λ Y'

3 -2 1/Y²

2 -1 1/Y

1,5 -0,5 Y-0,5

1 0 log(Y)

0,5 0,5 Y0,5

0 1 Y

-1 2 Y2

Page 65: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Groupe

S

A 22,13 33,22

B 50,37 52,29

C 121,21 127,15

D 180,41 222,14

P=0,90 arrondi p=1 λ =1-p=0 alors Y' = log(Y)

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Chapitre IV EXEMPLE DE

VALIDATION DES

MODELES DE PLANS

D'EXPERIENCES DE

PLACKETT ET

BURMANN

Page 66: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Chapitre IV EXEMPLE DE VALIDATION

DE MODELE PAR LES PLANS

D'EXPERIENCES DE

PLACKETT ET BURMANN

I – BUT:

Le but visé dans notre étude est l’optimisation (maximisation) de la production des enzymes amylolytiques, la production de la biomasse et des protéines et réguler le pH final. Pour cela, nous avons choisi de tester un certain nombre de variables physiques et des produits synthétiques chimiques et biologiques.

1- variables d'entrées : [7]

Les éléments d’entrer sont choisis après une série d’expériences antérieures suivant la méthode traditionnelle, en testant une multitude de paramètres, physiques (température, agitation, pH), chimiques et biologiques, ce qui nous a permit de garder ceux dont l’effet nous a paru prometteur et/ou rapporté en bibliographie comme prometteur.

Les éléments (facteurs) mis en essais sont rapportés dans le tableauTableau 1 : Les facteurs testés dans l’expérience

Nombre de facteurs Les facteurs

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Page 67: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

1 pH

2 Amidon

3 Saccharose

4 NH4cl

5 (NH4)2HPO4

6 NH4NO3

7 CH4N2O

8 (NH4)2SO4

9 Extrait de levure

10 peptone

11 CaCl2

12 MnCl2

13 FeCl2

14 ZnCl2

15 MgCl2

2 variables de sortie :

Les sorties peuvent être définis en quatre réponses : Biomasse, Activité

enzymatique, Protéines et pH finale, ces réponses reflètent le comportement de la

souche de Candida sp vis-à-vis des constituants du milieu.

2-1 Biomasse :

La biomasse permet de quantifier la croissance de la levure, elle est mesurée par densité optique à 600nm.

2-2 Activité enzymatique :

L’activité enzymatique (amylolytiques) est le paramètre le plus important dans notre expérience, ce paramètre permet de définir la production des enzymes amylolytiques dans le milieu.

La détermination de l’activité amylolytique est réalisée par dosage des glucides réducteurs par la méthode de SOMOGYI (1952) et NELSON (1944). Le dosage des sucres réducteurs est déterminé par spectrophotomètre à λ 540, la concentration en glucides réducteurs est déterminée par une courbe étalon préparée extemparament à partir d’une solution mère de glucose de 0.6g/L.

2-3 Protéines :

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Page 68: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Les protéines constituent le troisième paramètre de sortie, elles sont dosées par la méthode de Bradford (Bradford, 1976), la concentration finale est donnée en mg de protéines par litre de milieu (mg/l). Elles permettent de donner une estimation sur les amylases produites parmi l’ensemble des protéines présentes dans le milieu en fin de fermentation.

2-4 pH finale :

Le pH final est un paramètre clé, la mesure du pH permet de déterminer l’évolution et le comportement de tous les autres paramètres de sortie en fonction du pH initial et final.

Il est à noter que le rôle du pH dans la stabilité des enzymes est très important, ainsi, Il permet de définir les marges de pH dans lesquelles les enzymes produits sont stables et actives.

(Nous renvoyons pour les détails à des ouvrages plus biologique comme Bradford, M [3] 72:248-254)

II- Plan d’expérience de Placket et Burmann

On veut savoir quels sont les facteurs influent, on considère alors un modèle

additif et ce fait nous avons choisi d’appliquer la matrice de Plackett et Burman

(1946), qui est une des matrices d’Hadamard, avec un nombre d’expériences

multiple de 2 ou de 4.

La matrice d'expérience est construite comme suit :

Expérience est sur une ligne : d’où N lignes,

Chaque facteur du plan est dans une colonne : d’où K colonnes.

1 Principe de construction d’un plan de Plackett et Burmann

La construction d’un plan de Plackett et Burmann est basée sur la duplication

de lignes ou de colonnes contenant une alternance particulière de signes négatifs et

positifs par simple permutation circulaire. Cette construction s’effectue en 3 étapes

que nous allons expliquer ci-dessous :

1-1 Étape I

Tout d’abord il faut repérer la ligne génératrice figurant dans le tableau, pour lequel le nombre N de traitements à réaliser, est immédiatement supérieur ou égal au nombre p d’inconnues à estimer. Dans le cas présent, nous retiendrons la ligne correspondant à N =16 puisque nous avons P égal à 15. Le nombre N est parfois appelé nombre d’Hadamard.

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Page 69: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau2 Ligne génératrice des matrice de Plackett et Burman (1946)

1-2 Étape II

A présent il faut transposer cette ligne dans la première ligne ou colonne d'une matrice de rang N-1 puis recopier cette première colonne par permutation circulaire Il existe quatre permutations possibles : permutation par la gauche, permutation par la droite, permutation par le bas ou permutation par le haut.

Tableau3 La ligue génératrice ci-dessous sera donc a première ligne de notre tableau

Ensuite faut permuter le dernier signe de la ligne et le reporter sur la dernière

colonne de la ligne suivante.

1-3 Étape III

Enfin il faut compléter la matrice (Tableau 3) par une ligne exhaustivement

remplie de signes négatifs. Cette ligne représente le réglage de référence.

Tableau4 Mode de construction par permutation droit

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Page 70: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau5 Exemple de matrice d'expérience pour 11 facteurs à 2 niveau

(Source de cette partie Plackett, R. L. and J. P. Burman [10] 33:

305-325)

2 Randomisation :

La randomisation consiste à tirer des expériences du plans au hasard, l’ordre des

essais dans la matrice n’est pas respecté pour supprimer l’influence des facteurs

perturbateurs non identifiés ( généralement dû aux incertitudes des pesés,

matériels, utilisateurs, comportement etc…) ces résidus peuvent être corrélés avec

l’ordre des essais.

Tableau 6 : Plan d’expérimentation ( Plackett et Burman 1946) dupliqué et randomisé.

N°Exp Rand

pH Amidon

Saccharose

NH4cl (NH4)2HPO4

NH4NO3 CH4N2O (NH4)2SO4 extrait levure

Peptone Cacl2 Mncl2

g/l g/l g/l g/l g/l g/l g/l g/l g/l g/l g/l1 26 7 6 2 0,81 0 0,61 0 1 3 0 0 0,12 5 7 6 2 0,81 0 0,61 0 1 3 0 0 0,13 12 5 6 2 0,81 1 0 0,45 0 3 3 0 04 16 5 6 2 0,81 1 0 0,45 0 3 3 0 05 10 5 5 2 0,81 1 0,61 0 1 0 3 0,1 06 25 5 5 2 0,81 1 0,61 0 1 0 3 0,1 07 23 5 5 0 0,81 1 0,61 0,45 0 3 0 0,1 0,18 29 5 5 0 0,81 1 0,61 0,45 0 3 0 0,1 0,19 14 7 5 0 0 1 0,61 0,45 1 0 3 0 0,110 2 7 5 0 0 1 0,61 0,45 1 0 3 0 0,1

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Page 71: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

11 31 5 6 0 0 0 0,61 0,45 1 3 0 0,1 012 7 5 6 0 0 0 0,61 0,45 1 3 0 0,1 013 32 5 5 2 0 0 0 0,45 1 3 3 0 0,114 3 5 5 2 0 0 0 0,45 1 3 3 0 0,115 20 7 5 0 0,81 0 0 0 1 3 3 0,1 016 24 7 5 0 0,81 0 0 0 1 3 3 0,1 017 17 7 6 0 0 1 0 0 0 3 3 0,1 0,118 28 7 6 0 0 1 0 0 0 3 3 0,1 0,119 18 5 6 2 0 0 0,61 0 0 0 3 0,1 0,120 30 5 6 2 0 0 0,61 0 0 0 3 0,1 0,121 27 7 5 2 0,81 0 0 0,45 0 0 0 0,1 0,122 9 7 5 2 0,81 0 0 0,45 0 0 0 0,1 0,123 13 5 6 0 0,81 1 0 0 1 0 0 0 0,124 15 5 6 0 0,81 1 0 0 1 0 0 0 0,125 21 7 5 2 0 1 0,61 0 0 3 0 0 026 4 7 5 2 0 1 0,61 0 0 3 0 0 027 1 7 6 0 0,81 0 0,61 0,45 0 0 3 0 028 8 7 6 0 0,81 0 0,61 0,45 0 0 3 0 029 22 7 6 2 0 1 0 0,45 1 0 0 0,1 030 11 7 6 2 0 1 0 0,45 1 0 0 0,1 031 6 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 032 19 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Afin de calculer les résidus, les incertitudes et déterminer les erreurs du modèle

et les paramètres non maîtrisables, nous avons dupliqué le plan d’expériences deux

fois. Tableau.

La matrice d’expériences obtenue après le rajout de la dernière ligne du tableau,

possède des propriétés d’orthogonalité, elle garantit une estimation des effets

moyens avec une incertitude optimale. L’estimation des effets moyens des facteurs

s’effectue en comparant la moyenne des réponses observées pour chacun des

niveaux des facteurs. Pour que cette comparaison soit la plus précis possible et

équitable, On introduire le même nombre d’observations pour chacune des

Labaaj iliass - 71 - Master AMTI:2006/2008

Page 72: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

moyennes avec un nombre d’observations assez élevées. C'est pour cette raison que

l’on retrouve le même nombre de signes positifs que négatifs dans chaque colonne

du tableau précédent.

Par ailleurs, chaque fois qu’un facteur change de niveau dans une colonne

l’ensemble des autres facteurs apparaît d’un même nombre de fois avec un signe

positif et qu’avec un signe négatif dans les autres colonnes, de ce fait l’étude est

réalisée avec le même degré d’intérêt et d’une façon équitable.

III- Analyse globale des résultats des essais:

Les résultats d'essais pour chacune des réponses après une culture de 72

heures, (Biomasse, Activité enzymatiques, Protéines et pH final) sont reportés

dans le tableau suivant :

Tableau 7 : Résultats des expériences, Biomasse, Activité Enzymatique Pro-téines. pH final.

N°Exp Biomasse. Activité Enzymatique Protéines. pH final.

1 6.7760 2483.770 0.742 7.2802 6.8250 2459.580 0.715 7.2603 8.9460 2609.550 1.610 7.2104 8.9320 2610.570 1.594 7.2005 3.4700 304.690 1.047 6.9906 3.5560 325.790 1.043 7.0007 6.2650 1445.100 1.175 7.2608 6.1250 1478.970 1.183 7.2709 1.6150 1487.030 0.564 7.13010 1.6650 1528.970 0.575 7.13011 8.1130 1737.030 1.777 7.22012 8.1810 1754.770 1.745 7.19013 6.7200 1275.750 0.889 7.64014 6.5590 1259.630 0.879 7.50015 4.5850 782.230 1.208 8.55016 4.6970 749.970 1.196 8.43017 8.4560 1582.190 2.156 7.710

Labaaj iliass - 72 - Master AMTI:2006/2008

Page 73: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

18 8.7010 1598.330 2.270 7.71019 8.6590 66.130 0.459 4.28020 8.6660 62.900 0.440 4.81021 2.9820 138.700 0.811 5.43022 2.9050 132.250 0.787 5.90023 7.7400 624.170 0.303 6.25024 8.5590 635.460 0.293 6.10025 8.4910 1566.060 0.874 7.46026 8.6940 1566.700 0.831 7.46027 6.0060 2625.700 0.765 6.76028 6.2200 2651.510 0.773 6.80029 6.5940 1249.950 0.757 7.12030 6.3140 1219.300 0.773 7.11031 0.6260 0.000 0.076 5.75032 0.6090 0.000 0.069 5.870

(Source de ces données LAGZOULI Mohamed [8])

Labaaj iliass - 73 - Master AMTI:2006/2008

Page 74: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Pour chacune des réponses observées, il faut tout d’abord vérifier que les

variations sont significatives. En utilisant le Box plot (Boite à moustache) Nous

pouvons observer rapidement sur les figures 1 à 4, l’étendue des réponses.

A partir du Box plot nous pouvons déjà faire quelques observations:

Figure : Boîte à moustache de la réponse Y1 (Biomasse)

Figure : Boîte à moustache de la réponse Y2 (Activité enzymatique)

Figure : Boîte à moustache de la réponse Y3 (Protéines)

Labaaj iliass - 74 - Master AMTI:2006/2008

Page 75: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Figure : Boîte à moustache de la réponse Y4 (pH final)

La médiane (trait vert en pointillé) et la moyenne (flèche verte) sont

bien séparées ce qui traduit que les résultats des essais de toutes les

réponses ne sont pas homogènes et pas symétriques par rapport à la valeur

moyenne, Il y a plus d’expériences dont la valeur est soit uniforme et soit

supérieures à la moyenne par ailleurs, nous constatons un certain nombre

d’observation très éloigné de la moyenne sans pour autant être aberrant,

car ils ne dépassent pas les extrémités des lignes.

Cette étude est détaillée dans la thèse en microbiologique de

Mr lagzouli. Nous avons repris les graphiques de Tuckey (boit à

moustache) que nous avons jugés très illustratifs des variables par contre

nous avons développé davantage ici la validation de modèle.

IV – LA VALIDATION DE MODELE

1- résultat d'essai pour la réponse Y1 (Biomasse)

Labaaj iliass - 75 - Master AMTI:2006/2008

Page 76: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 8 : résultat d'essai de la biomasse

yi Sij

i

1 6.8005 0.02450=6.0391 1=7.0059

2 8.939 0.0071=-0.3187 2=6.5895

3 3.513 0.0432=1.6914 3=3.3075

4 6.195 0.073=0.5289 4=5.9895

5 1.64 0.0254=-0.1273 5=2.6123

6 8.147 0.0345=0.4686 6=7.9415

7 6.6395 0.08056=0.1688 7=6.8445

8 4.641 0.0567=-0.1553 8=4.4357

9 8.5785 0.124158=-0.2911 9=8.3733

10 8.6625 0.00359=1.2775 10=8.4571

11 2.9435 0.038510=0.0517 11=2.7381

12 8.1495 0.409511=-0.1027 12=8.3549

13 8.5925 0.101512=0.162 13=8.7979

14 6.113 0.0713=0.4253 14=6.3203

15 6.454 0.1414=0.5454 15=6.2485

16 0.6175 0.008515=0.8917 16=0.8229

= 0.0305475 = 6.0391

Labaaj iliass - 76 - Master AMTI:2006/2008

Page 77: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 11 : l'analyse de la variance de biomasse

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyenF P

Ph 3.25023008 1 3.25023008 106.399217 0.000000Amidon 91.54668672 1 91.54668672 2996.863466 0.000000Saccharose 8.95152672 1 8.95152672 293.0363113 0.000000NH4Cl 0.5185693 1 0.5185693 16.97583436 0.000000(NH4)2HPO4 7.0267507 1 7.0267507 230.02703 0.000807NH4NO3 0.9118 1 0.9118 29.84859645 0.000000CH4N2O 0.771778 1 0.771778 25.26484982 0.000052(NH4)2SO4 2.7116547 1 2.7116547 88.7684655 0.000124Extrait levure 52.2242 1 52.2242 1709.606351 0.000000Pepton 0.08553248 1 0.08553248 2.799983 0.000000CaCl2 0.3375 1 0.3375 11.0483673 0.114351MnCl2 0.839808 1 0.839808 27.4918733 0.004283FeCl2 5.78816 1 5.78816 189.4806449 0.000081ZnCl2 9.518757 1 9.518757 311.6051068 0.000000MgCl2 25.44412 1 25.44412 832.9362468 0.000000

Résiduelle 0.48876 16 0.0305475 ****** ******

Total 209.58056 31 ****** ****** ******

On remarque que le facteur CaCl2 n’est pas significatif (c’est-à-dire que sa probabilité est supérieure à 0.05) donc on doit l’enlever du modèle et recalculer les résidus.

Règle :

En générale. Si l’interaction AB est significative on gardera le facteur B s’il n’est pas significatif.

Puisque, on travail avec le plan de Plackett et Burmann (manque d’interaction) alors on doit enlever les facteurs qui ont pas significatifs du modèle et recalculer les résidus.

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Page 78: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 12 : Manque d'ajustement (lack of fit) de biomasse

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyenF P

Ph 3.25023008 1 3.25023008 106.399217 0.000000Amidon 91.54668672 1 91.54668672 2996.863466 0.000000Saccharose 8.95152672 1 8.95152672 293.0363113 0.000000NH4Cl 0.5185693 1 0.5185693 16.97583436 0.000000(NH4)2HPO4 7.0267507 1 7.0267507 230.02703 0.000457NH4NO3 0.9118 1 0.9118 29.84859645 0.000960CH4N2O 0.771778 1 0.771778 25.26484982 0.000001(NH4)2SO4 2.7116547 1 2.7116547 88.7684655 0.000000Extrait levure 52.2242 1 52.2242 1709.606351 0.203115Pepton 0.08553248 1 0.08553248 2.799983 0.000666MnCl2 0.839808 1 0.839808 27.4918733 0.000000FeCl2 5.78816 1 5.78816 189.4806449 0.000000ZnCl2 9.518757 1 9.518757 311.6051068 0.000000MgCl2 25.44412 1 25.44412 832.9362468 0.000000Lack of fit 0.338 1 0.338 11.0483673 0.114351

Résiduelle 0.48876 16 0.0305475 ****** ******

Total 210.415 31 ****** ****** ******

Dans notre exemple il ne semble pas y avoir un problème de manque

d’ajustement pour la réponse Y1 puisque la probabilité de manque d’ajustement

n’est pas significative.

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Validation des modèles de plans d’expériences

2- résultat d'essai pour la réponse Y2 (Activité enzymatique)

Tableau 13 : résultat d'essai de l'activité enzymatique

yi Sij i

1 2471.675 146.280=1250.398 1=1232.765

2 2610.06 0.26011=1238.492 2=1208.879

3 315.24 111.30252=372.783 3=876.098

4 1462.035 286.7942253=-42.191 4=675.897

5 1508 439.74094=128.227 5=65.908

6 1745.9 78.67695=114.153 6=1007.321

7 1267.69 64.96366=221.145 7=321.876

8 766.1 260.17697=324.9 8=546.768

9 1590.26 65.12498=8.018 9=344.897

10 64.515 2.6082259=434.614 10=676.231

11 135.475 10.40062510=94.66 11=125.932

12 629.815 31.86602511=-336.13 12=224.987

13 1566.38 0.102412=-109.21 13=102.576

14 2638.605 166.53902513=-122.11 14=344.278

15 1234.625 234.85562514=-14.228 15=1217.467

16 0.000 0.00015=-46.678 16=3.098

= 237.46 = 1250.398

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Page 80: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 14 : Analyse de la variance de la réponse Y2

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyenF P

Ph 1820109.89 1 1820109.89 7664.91 0.000000Amidon 4446949.28 1 4446949.28 18727.15 0.000000Saccharose 56962.5754 1 56962.5754 239.88 0.000000NH4Cl 526149.233 1 526149.233 2215.74 0.000000(NH4)2HPO4 416989.04 1 416989.04 1756.04 0.000000NH4NO3 1564963.55 1 1564963.55 6590.43 0.000000CH4N2O 3377920.32 1 3377920.32 14225.21 0.000000(NH4)2SO4 2057.226368 1 2057.226368 8.66 0.009543Extrait levure 6044458.53 1 6044458.53 25454.64 0.000000Pepton 286736.5 1 286736.5 1207.51 0.000000CaCl2 3615468.06 1 3615468.06 15225.59 0.000000MnCl2 381693.32 1 381693.32 1607.40 0.000000FeCl2 477209.79 1 477209.79 2009.64 0.000000ZnCl2 6477.9515 1 6477.9515 27.28 0.000084MgCl2 69722.74 1 69722.74 293.62 0.000000

Résiduelle 3799.38 16 237.46 ******* *******

Total23097667.38

31 ***** ****** *******

Tous les facteurs sont significatifs alors notre modèle est bon.

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Page 81: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

3- résultat d'essai pour la réponse Y3 (protéine)

Tableau 15 : Résultat d'essai de la réponse Y3

yi Sij i

1 0.7285 0.000182250=0.949 1=0.912

2 1.602 0.0000641=0.038 2=0.045

3 1.045 0.0000042=0.124 3=0.129

4 1.179 0.0000163=-0.059 4=0.007

5 0.5695 0.000030254=0.003 5=0.123

6 1.761 0.0002565=0.116 6=0.991

7 0.884 0.0000256=-0.03 7=1.125

8 1.202 0.0000367=0.092 8=1.238

9 2.213 0.002498=-0.043 9=1.112

10 0.4495 0.000090259=0.353 10=0.845

11 0.799 0.00014410=0.142 11=0.754

12 0.298 0.00002511=0.227 12=0.323

13 0.8525 0.0004622512=-0.059 13=0.126

14 0.769 0.00001613=-0.008 14=0.943

15 0.7715 0.0000022514=0.128 15=0.345

16 0.0725 0.0000122515=-0.149 16=0.564

= 0.00058125 = 0.949

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Page 82: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 16 :Analyse de la variance de la reponseY3

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyenF P

Ph 0.046208 1 0.046208 79.497 0.000000Amidon 0.49203 1 0.49203 846.503 0.000000Saccharose 0.111392 1 0.111392 191.642 0.000000NH4Cl 0.00288 1 0.00288 4,9548 0.428928(NH4)2HPO4 0.43059 1 0.43059 740.800 0.000000NH4NO3 0.0288 1 0.0288 49.548 0.000000CH4N2O 0.270848 1 0.270848 465.975 0.000000(NH4)2SO4 0.05917 1 0.05917 101.797 0.000000Extrait levure 3.987488 1 3.987488 6860.194 0.000000Pepton 0.645248 1 0.645248 1110.104 0.000000CaCl2 1.648928 1 1.648928 2830.534 0.000000MnCl2 0.111392 1 0.111392 191.642 0.000000FeCl2 0.002048 1 0.002048 3.523 0.092166ZnCl2 0.524288 1 0.524288 902.001 0.000000MgCl2 0.710432 1 0.710432 1222.248 0.000000

Résiduelle 0.0093 16 0.00058125 ******* *******

Total 9.10652 31 ******** ******* *******

On remarque que les facteurs NH4Cl et FeCl2 ne sont pas significatifs (c’est-à-dire que leur probabilité est supérieure à 0.05) donc on doit les enlever du modèle et recalculer les résidus.

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Page 83: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 17 : Manque d'ajustement de la réponse Y3

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyenF P

Ph 0.046208 1 0.046208 21.003 0.000000Amidon 0.49203 1 0.49203 223.65 0.000000Saccharose 0.111392 1 0.111392 50.632 0.000000(NH4)2HPO4 0.43059 1 0.43059 195.722 0.000000NH4NO3 0.0288 1 0.0288 13.091 0.000000CH4N2O 0.270848 1 0.270848 123.112 0.000000(NH4)2SO4 0.05917 1 0.05917 26.895 0.000000Extrait levure 3.987488 1 3.987488 1812.494 0.000000Pepton 0.645248 1 0.645248 293.294 0.000000CaCl2 1.648928 1 1.648928 749.512 0.000000MnCl2 0.111392 1 0.111392 50.632 0.000000ZnCl2 0.524288 1 0.524288 238.312 0.000000MgCl2 0.710432 1 0.710432 322.923 0.000000

Lack of fit 0,004928 2 0,002464 4,239139 0.134573

Résiduelle 0.0093 16 0.00058125 ******* *******

Total 9.10652 31 ******** ******* *******

Puisque le Lack of fit n’est pas significatif alors il ne semble pas y avoir un problème de manque d’ajustement pour notre réponse Y3

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Page 84: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

4- Résultat d'essai pour la réponse Y4 (pH finale)

Tableau 18 : Résultat d'essai de la réponse Y4

yi Sij i

1 7.27 0.00010=6.899 1 =8.978

2 7.205 0.0000251=0.303 2 =6.786

3 6.995 0.0000252=-0.149 3 =6.897

4 7.265 0.0000253=-0.171 4 =2.098

5 7.13 0.004=0.081 5 =0.897

6 7.195 0.0000255=0.233 6 =8.908

7 7.57 0.00496=-0.068 7 =8.876

8 8.49 0.00397=0.093 8 =7.453

9 7.71 0.008=0.344 9 =6.786

10 4.545 0.0702159=0.622 10 =4.672

11 5.665 0.0522510=0.154 11 =6.897

12 6.175 0.00562511=-0..026 12 =6.453

13 6.78 0.0012=-0.233 13 =3.564

14 6.96 0.000413=-0.165 14 =3.453

15 7.115 0.00002514=0.046 15 =6.889

16 5.81 0.003615=0.026 16 =6.213

= 0.018 = 6.899

Labaaj iliass - 84 - Master AMTI:2006/2008

Page 85: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 19 : Analyse de la variance de la réponse Y4

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyenF P

Ph 2.937888 1 2.937888 163.216 0.000000Amidon 0.710432 1 0.710432 39.468 0.000013Saccharose 0.935719 1 0.935719 51.984 0.000002NH4Cl 0.209952 1 0.209952 11.664 0.003772(NH4)2HPO4 1.737248 1 1.737248 96.513 0.000000NH4NO3 0.147968 1 0.147968 8.220 0.011898CH4N2O 0.276768 1 0.276768 15.376 0.001397(NH4)2SO4 3.786752 1 3.786752 210.384 0.000000Extrait levure 12.380288 1 12.380288 687.793 0.000000Pepton 0.758912 1 0.758912 42.161 0.000000CaCl2 0.021632 1 0.021632 1.201 0.304985MnCl2 1.737248 1 1.737248 96.513 0.000000FeCl2 0.8712 1 0.8712 48.400 0.000004ZnCl2 0.067712 1 0.067712 0.265 0.076156MgCl2 0.021632 1 0.021632 1.201 0.294734

Résiduelle 0.288 16 0.018 ******* *******

Total 26.889 31 ******** ******* *******

On remarque que les facteurs CaCl2, ZnCl2 et MgCl2 ne sont pas significatifs (c’est-à-dire que leur probabilité est supérieure à 0.05) donc on doit les enlever du modèle et recalculer les résidus

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Page 86: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Tableau 20 : Manque d'ajustement de la réponse Y4

SOURCE SOMME CARRE df

Carré moyen F P

Ph 2.937888 1 2.937888 163.216 0.000000Amidon 0.710432 1 0.710432 39.468 0.000013Saccharose 0.935719 1 0.935719 51.984 0.000002NH4Cl 0.209952 1 0.209952 11.664 0.003772(NH4)2HPO4 1.737248 1 1.737248 96.513 0.000000NH4NO3 0.147968 1 0.147968 8.220 0.011898CH4N2O 0.276768 1 0.276768 15.376 0.001397(NH4)2SO4 3.786752 1 3.786752 210.384 0.000000Extrait levure 12.380288 1 12.380288 687.793 0.000000Pepton 0.758912 1 0.758912 42.161 0.000000MnCl2 1.737248 1 1.737248 96.513 0.000000FeCl2 0.8712 1 0.8712 48.400 0.000004Lack of fit 0.110 3 0.0366 2.033333 0.147510

Résiduelle 0.288 16 0.018 ******* *******

Total 26.889 31 ******** ******* *******

Puisque le Lack of fit n’est pas significatif alors il ne semble pas y avoir un problème de manque d’ajustement pour notre réponse Y4

On conclue alors que les outils que nous avons traiter est bien valider notre exemple.

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Page 87: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Conclusion & perspectives

L’objectif de ce travail était de présenter, de comprendre et d’utiliser un

ensemble de méthodes et de modes de raisonnement destinés à tout

expérimentateur désirant faire de la planification expérimentale et / ou de

l’analyse des données dans le but d’optimiser l’efficacité de sa recherche

expérimentale. Il existe des méthodes pertinentes et judicieuses adaptées à

chaque problématique.

Les différentes méthodes utilisées et sont résumées sur la figure ci-dessous :

En conclusion, nous avons développé et appliqué les méthodes qui nous

semblaient les plus appropriées à cette exemple étudié. Les plans d’expériences et les

outils de validation de modèle pouvant être utilisés pour traiter un probléme sont

nombreux et il est nécessaire de les adapter à chaque problématique. Les

perspectives sur ce travail seront d’approfondir la connaissance de ces méthodes

mais de découvrir et d’appliquer de nouveaux outils comme par exemple la méthode

de la manque d’ajustement et la méthode de transformation de Box-Cox.

Labaaj iliass - 87 - Master AMTI:2006/2008

Page 88: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Labaaj iliass - 88 - Master AMTI:2006/2008

Validation des modèles de plans d’expériences

Méthodologie du plans d’expériences

Les outils de validation de modèle

La validation de modèle de plan d’expérience

Page 89: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

Bibliographie

[1] : Bernard CLÉMENT, « Planification et analyse d’expériences Design and Analysis of Experiments (DOE) avec STATISTICA », école de polytechnique MONTREAL Département de mathématiques et de génie industriel, MTH-6301 - automne 2007

[2] : Bernard CLÉMENT, « Méthodes statistiques en ingénierie », école de polytechnique MONTREAL. Département de mathématiques et de génie industriel, MTH-2301 - automne 2007

[3] : Bradford, M.. 1976. A rapid and sensitive method for the quantification of microgram quantities of protein utiling the principle of protein-Dye binding. Anal. Biochem., 72:248-254

[4] : F. PICAUD, « METHODOLOGIE EXPERIMENTALE LES PLANS

D’EXPERIENCES » Année 2000/2001

[5] : G. Daigle, « Analyse des résidus et test pour manque d’ajustement » Ed technip,

Automne 2007

[6] : Jean-Jacques Droesbeke, , « éléments de statistique »Ed Ellipses Marketing le chapitre 10 2003 ,

[7] Jean-Marc Azaïs, Jean-Marc Bardet. «Le modèle linéaire par l'exemple:

régression, analyse de la variance et plans d'expériences illustrés avec R, SAS et Splus » , Ed

DUNO, 2005

[8] : LAGZOULI Mohamed, « Le criblage des facteurs qui influent sur la croissance et la production de la glucoamylase chez Candida Sp par les plans d’expériences de Plackett et Burman » thèse de doctorat en biologie, université Ibn Tofail, 2007

[9] :Nelson, N., 1944. A photometric adaptation of the Somogy method for the

determination of glucose. J. Biol. Chem., 153. 375-380

[10] :Plackett, R. L. and J. P. Burman. 1944. The design of optimum multifactorial

24 experiments.Ed Biometrika 33: 305-325

Labaaj iliass - 89 - Master AMTI:2006/2008

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Validation des modèles de plans d’expériences

[11] : Russell Davidson et James MacKinnon, « Estimation et Inférence en Économétrie » « Transformation de la Variable Dépendante », Ed economica, 2003

Webographie

(1) : Matrice de Hadamard - Wikipédia.htm(2) : http://russell.vcharite.univ-mrs.fr/EIE/(3) : http://www.ecp6.jussieu.fr/seminaire/resumes/0102/020124.html

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Validation des modèles de plans d’expériences

Répertoire

A

Aveugle : Dans le domaine médical, le malade ne connaît pas la modalité du traitement qui lui est administré. (En France la réglementation oblige à un consentement libre et éclairé du patient à participer à l’essai)

B

Biomasse : l est la quantité totale de matière (masse) de toutes les espèces vivantes présentes dans un milieu naturel donné.

C

Coefficients de corrélation : mesure l’intensité du lien linéaire entre x et y. La valeur du coefficient de corrélation est comprise entre –1 et 1.

Criblage : plan d’expériences qui aide à dégager le poids des facteurs principaux

D

Diagonalisation : opération mathématique qui permet de trouver les vecteurs propres et les valeurs propres d’une matrice.

Double aveugle : Dans le domaine médical, ni le médecin, ni le patient ne connaissent la modalité du traitement qui est administré

E

Effet placebo : Dans le domaine médical, l’évaluation d’un traitement se fait par rapport à une substance inactive appelée placebo

Essais : expériences

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Page 92: validation des plans d'experiences

Validation des modèles de plans d’expériences

F

Facteurs : variables de prédiction qui sont l’objet de l’étude et pour lesquelles on cherche à quantifier leur influence sur la réponse.

I

Interactions : combinaison des facteurs n’agissant pas de façon indépendante.

M

Matrice d'expériences : matrice sans dimension qui permet après un recodage d’obtenir un plan d’expérimentation à réaliser.

O

Orthogonalité : dans une matrice d’expériences, chaque niveau d’un facteur A est associé le même nombre de fois à chaque niveau d’un facteur B (par exemple, le niveau –1 du facteur A est associé 2 fois avec le niveau –1 et 2 fois avec le niveau 1 du facteur B).

R

Randomisation : consiste à tirer au hasard l’ordre des essais pour supprimer l’influence des facteurs perturbateurs non identifiés pouvant être corrélés avec l’ordre des essais.

Réponse : d’un système (variable de sortie), critère numérique ou qualitatif dont le rôle est detraduire l’atteinte de l’objectif.

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