Valeur absolue et fonction valeur absolue .Valeur absolue et fonction valeur absolue – Cours ©

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  • Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours

    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

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    CHAPITRE 1 : Distance entre deux rels

    1) Exemples prliminaires

    2) Dfinition

    3) Proprits

    CHAPITRE 2 : Valeur absolue dun rel

    1) Dfinition

    2) Proprits

    CHAPITRE 3 : Distance et valeur absolue

    1) Relation entre distance et valeur absolue

    2) Expressions quivalentes

    3) Centre et rayon dun intervalle

    CHAPITRE 4 : Valeurs absolues et oprations

    1) Ingalit triangulaire, addition et soustraction

    2) Multiplication et division

    CHAPITRE 5 : Equations et valeurs absolues

    1) Equations de la forme | |

    2) Equations de la forme | | | |

    CHAPITRE 6 : Inquations et valeurs absolues

    1) Inquations de la forme | |

    2) Inquations de la forme | |

    CHAPITRE 7 : Encadrements et valeurs approches dun rel

    1) Encadrement dun rel

    2) Valeurs approches

    CHAPITRE 8 : Fonction valeur absolue

    1) Dfinition

    2) Sens de variation

    3) Reprsentation graphique

    4) Parit et symtrie

    Valeur absolue et fonction valeur absolue

    Cours

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    1) EXEMPLES PRLIMINAIRES

    La distance entre les nombres et est la longueur du segment , cest--dire la distance entre le point dabscisse et le point dabscisse . Pour aller de (cest--dire de ), on parcourt ainsi une distance de units. Cette distance est note ( ) et on a : ( ) .

    La distance entre les nombres et est la longueur du segment , cest--dire . En effet, pour aller de (cest--dire de ), on parcourt une distance de units : tout dabord une distance de unit (cest--dire de ) et une distance de units (cest--dire de ). Cette distance est note ( ) et on a : ( ) .

    Remarque : La terminologie distance entre deux rels et est un abus de langage ; il faudrait en effet

    parler de distance entre les points dabscisses respectives et .

    2) DFINITION

    La DISTANCE entre deux rels et est la distance entre les points de la droite numrique, dabscisses

    respectives et . On note cette distance ( ).

    Exemples : Soient les points ( ), ( ), ( ), ( ) et ( ) de la droite numrique (aussi appele droite

    des rels).

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    CHAPITRE 1 : Distance entre deux rels

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    Remarque : La distance entre 2 rels et est parfois galement appele cart entre les rels et .

    3) PROPRITS

    Les exemples ci-dessus permettent dnoncer quelques proprits, que nous veillerons cependant dmontrer

    Proprit 1 : Pour tous rels et :

    ( ) ( )

    Autrement dit, la notion de distance est symtrique.

    Dmonstration : Soient deux rels et . Soient les points dabscisse et dabscisse de la droite

    numrique. La distance entre et est note ( ) et la distance entre et est note ( ) . Or,

    ( ) et ( ) . Comme , il en rsulte lgalit suivante : ( ) ( ).

    Proprit 2 : Pour tous rels et :

    ( )

    Autrement dit, une distance entre deux rels est toujours positive ou nulle.

    Dmonstration : Par dfinition, la distance entre deux rels et , note ( ), est la distance entre les

    points de la droite numrique, dabscisses respectives et . Par consquent, une distance entre deux points

    tant toujours positive ou nulle, ( ) .

    Proprit 3 : Pour tous rels et :

    ( ) {

    Autrement dit, ( ) ( ).

    Dmonstration : Soient les points et dabscisses respectives et .

    Si , ( )

    Si , ( )

    En effet, la distance entre deux points dabscisses diffrentes correspond la diffrence entre labscisse la plus

    grande et labscisse la plus petite de ces points.

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    1) DFINITION

    Sur la droite numrique munie du repre ( ), pour tout rel , il existe un unique point dabscisse .

    La VALEUR ABSOLUE du nombre , note | |, est la distance , cest--dire la distance entre et .

    Par dfinition, on a donc | | ( ).

    1er cas : si

    2me cas : si

    Remarque importante (surtout destine aux lves de Terminale) : Il nexiste pas de valeur absolue dans

    lensemble des nombres complexes, bien que contienne lensemble des nombres rels. Il ne faut donc

    pas confondre le module d'un nombre complexe , not | |, et la valeur absolue d'un nombre rel , note | |.

    En effet, si tel que ( et rels), | | . Le module de ne concide alors avec la

    valeur absolue dun rel que lorsque , cest--dire que lorsque est un rel pur.

    Exemples : Dans chacun des cas ci-aprs, on a plac le point sur la droite numrique munie du repre ( ).

    | | ( )

    | | ( )

    ( )

    2) PROPRITS

    Proprit 1 : Pour tout nombre rel ,

    | |

    Autrement dit, la valeur absolue dun nombre est toujours positive ou nulle.

    Dmonstration : Pour tout rel, | | ( ). Or, par dfinition, une distance entre deux rels est positive

    ou nulle donc | | .

    ||

    ||

    CHAPITRE 2 : Valeur absolue dun rel

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    Proprit 2 :

    | |

    Autrement dit, un nombre dont la valeur absolue est nulle est nul, et rciproquement.

    Dmonstration : | | ( ) {

    {

    Exemple : | |

    Proprit 3 :

    | | {

    Autrement dit, | | ( ).

    Dmonstration :

    Si , | |

    Si , | |

    Exemples :

    | | car est positif

    | | ( ) car est ngatif

    | | car

    | | ( )

    Remarque : On peut galement noter que | | ( ) o dsigne la fonction signe dfinie par

    ( ) {

    Proprit 4 : Pour tout nombre rel ,

    | | | |

    Autrement dit, un rel et son oppos ont mme valeur absolue.

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    Dmonstration : Soient les points et , dabscisses respectives

    et , sur une droite munie du repre ( ) . et sont

    symtriques par rapport lorigine du repre donc .

    Cest--dire | | | |.

    Exemples :

    | |

    | | | |

    | |

    | | | ( )| | |

    Proprit 5 : Pour tout nombre rel ,

    | |

    Autrement dit, la racine carre du carr dun rel nest pas gale ce rel mais sa valeur absolue.

    Dmonstration : Trois cas se prsentent, selon les valeurs de .

    1er cas :

    Dune part, donc (daprs la dcroissance sur de la fonction ). On sait que est la

    fois le carr de et de . Or, par dfinition, la racine carre dun nombre est le rel positif dont ce nombre est

    le carr, donc le rel est la racine carre du nombre . Cest--dire .

    Dautre part, , donc | | .

    Par consquent, on a bien lgalit | |.

    2me cas :

    Dune part, donc, par continuit de la compose des fonctions et en , .

    Dautre part, , donc | | .

    Par consquent, on a bien lgalit | |.

    3me cas :

    Dune part, . La racine carre dun nombre tant le rel positif dont ce nombre est le carr, le rel est la

    racine carre du nombre . Cest--dire .

    Dautre part, , donc | | .

    Par consquent, on a bien lgalit | |.

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    Conclusion : Chacun des cas vrifie bien lgalit | |.

    Remarque importante : Ne pas confondre (qui existe pour tout ) et

    (qui nexiste que si

    ).

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    1) RELATION ENTRE DISTANCE ET VALEUR ABSOLUE

    Pour tous rels et ,

    | | ( )

    Si , alors | | ( ) Si , alors | | ( )

    2) EXPRESSIONS EQUIVALENTES

    Valeur absolue Distance Egalit ou

    ingalit Encadrement

    Intervalle / Runion

    dintervalles

    | | ( ) ou { }

    | | ( ) et

    | | ( ) ou

    3) CENTRE ET RAYON DUN INTERVALLE

    Soit un intervalle tel que , soit son CENTRE et soit son RAYON. Alors :

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    CHAPITRE 3 : Distance et valeur absolue

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    1) ADDITION, SOUSTRACTION ET INGALIT