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1 Travail, énergie et puissance, conservation de l'énergie mécanique, forces dissipatives 5 V7.2

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Travail, énergie et puissance, conservation de l'énergie mécanique,

forces dissipatives

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V7.2

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L'objet O subit un déplacement indiqué par le vecteur s.Si une force F agit sur O, alors le travail W effectué par la forcevaut le produit scalaire

W = s F

sF

O1 Newton x 1 mètre = 1 Joule [ J ]

Le travail

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L'énergie cinétiqueL'énergie cinétique d'un objet de masse m,

ayant vitesse v vaut

K =12mv2

Si l'on effectue un travail W sur un objet ayant énergiecinétique K0, celle-ci change et devient K1 = K0 + W

i) f)

x0 x1

Fv0

v1

K0 =12mv0

2

K1 =12mv1

2 =K0 +W =12mv0

2 + F(x1 − x0)

F: force appliquéeentre x0 et x1

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L'énergie cinétique .2

Exemple: x=0 x1 x2 x3

F

−Fv=0v v

v=0

- La force F = 5 N agit sur l'objet entre x0 et x1.- L’objet est libre entre x1 et x2.- La force −F agit sur l'objet entre x2 et x3.

x1 − x0 = x3 − x2 = s =1 m

K0 = 0 W = Fs K1 = W = mv2/2

v = 2K1 /m

v = 2W /m = 2Fs/m = 2× 5×1/0.1 =10 m/s

m=0.1 kg

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Energie potentielleExemples: Energie potentielle gravifique, coulombienne, élastique,...

y

yi

yf

FG

Ki = mvi2/2

FG = −mg g= +9.81 ms−2

W = FG (yf − yi) < 0 !Kf = Ki + W < Ki

L'objet a perdu de l'énergie cinétiquemais il a gagné de l'énergie "potentielle"qu'il peut rendre en tombant à nouveau en yi

vi

Exemple: cas d'un corps de masse m qui s'élève dansle champ gravitationnel:

m

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Energie potentielle .2On introduit l'énergie potentielle (gravitationnelle) que le corpspossède lorsqu'il se trouve à une hauteur y, U(y).La différence d 'énergie potentielle ΔU entre deuxpoints exprime la quantité d'énergie (gravitationnelle) disponible.

yf

yi

-mg

L'objet tombe de yi à yf. Le travail effectuépar le champ gravitationnel vautW = −mg(yf − yi) = = −( mgyf − mgyi ) > 0

E cinétique: Kf = Ki + W > KiOn introduit U = mgy on a:

−W = U(yf) − U(yi) = ΔUg= +9.81 ms−2

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Energie potentielle .3A une hauteur y du point de référence (sol, table,...), on va écrirel'expression suivante pour l'énergie mécanique E d'un pointmatériel de masse m

E = K + U(y) = mv2/2 + mgy

ΔU dépend seulement des points de départ et arrivée, etpas du trajet => la force gravitationnelle est "conservative"

i)

f)

yi

yf

g= +9.81 ms−2

Attention: pas de frottement !

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yi

yf

Energie potentielle .4

Fg

FgF//

s s’

yi

yfxi xf

α

Travail effectué par la force de gravité:

Cas a): W = Fg . s = Fg(yf - yi) = FgΔy

Cas b): W = Fg . s’ = F// s’

a) b)

=

||s|| = Δy

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Conservation de l'énergie mécanique

Ei = Ki + Ui = 0 + mgyi Ef = Kf + Uf = Kf + mgyf

yf

Fg

yi

Exemple: un corps initialement arepos, tombe de yi en yf

Si l'énergie mécanique est conservée Ei = Ef alors:

0 + mgyi = Kf + mgyf

Kf = mgyf − mgyi = mg(yf − yi)g= +9.81 ms−2

... permet de calculer la vitesse finale par Kf = mvf2/2 ...

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Autre exemple d'E potentielle: l'E potentielle élastiqueHooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δpour les objets élastiques (en particulier les ressorts). La loi d'Hooke pour un objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k:

F = k δ

W = Fdx =0

δ

∫ kxdx =0

δ

∫ x2

2kδ

0=12kδ 2

F

δ

F

avant

après

Le travail fait par F = kx entrex=0 (ressort au repos) etx=δ vaut:

x0

x0

W est l'énergie stockée dans la déformation élastique δ

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Interlude: lois de conservation, E = mc2 et les antiparticules

Conservation de l'énergiede la quantité de mouvementdu moment cinétiquede la charge électrique...

Des contre-exemples ?(1882 - 1935)

http://www.emmynoether.com/

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Les lois de conservation .2Un contre-exemple (physique): Pas de conservation du nombre de particules

annihilation de l'électron et du positon:

Toutefois:

* la charge électrique est conservée: Charge(e+) + Charge(e−) = 0 = charge(γ)

* l'énergie de masse des deux particules est transforméeen énergie électromagnétique ( particules gamma ),et l'énergie totale est conservée si l'on utilise la formule E= mc2...

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Annihilation électron positonQuand un électron rencontre un positon, il y a

ce sont deux rayons “gamma” d ’énergie >mc2 chacun,que l’on peut observeravec des détecteurs

(les ondes électromagnétiques: radio, infrarouge, visible, ultraviolet,rayons X, gamma)

annihilation

et on récupère l’énergie E = 2 m c2

e+ + e− —> γ γ

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Tomographie positons

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Tomographie par émission de positonsOn injecte une substance métaboliquement active émettrice des positons

La substance se concentredans certaines régions ducorps (tumeurs, régionsdu cerveau actives,…)

Les positons s ’annihilentavec les électrons de lamatière. Deux rayons

gamma sont émis et observéspar des détecteurs de

particules

détecteurs de particules

gamma

gamma

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La tomographie positons

lire des mots surun écran

entendre des mots

permet d ’étudier le comportement du cerveau

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La tomographie positons

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tomographie films

La tomographie positons permet de

créer des images 3D

de suivre l’évolution temporelle du métabolisme d’une substance

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Isotopes pour TEP

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Création de paires électron-positon

L'effet opposé a aussi lieu: un rayon gamma qui frappe un atomese matérialise en un couple électron-positon

positon électronPour produire un couple électron-positon il faut disposer d’une ENERGIE > 2mc2

Conclusion: l'énergie totale est conservée !La charge électrique est aussi conservée,...mais pas le nombre d'électrons dans l'Univers

γ

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Les forces dissipativesLes forces de frottement s'opposent toujours au déplacementdu corps. Donc elles contribuent avec un travail < 0, c.à d. ellessoustraient de l'énergie mécanique.

W = (Fg + Ff) . s = s (F// + Ff) =

Dans la figure, Ff est parallèle au plan, elle est opposée à s,et a la valeur (le signe indique que la force s’oppose au mouvement)

Ff = −µcF⊥ = −µcFg cosα

Le travail total vaut

Donc l'énergie cinétique finale du corps sera plus petite qu'en l'absence de frottement

yi

FgF//

s

yf

xi xf

α

Ff

F⊥

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Energie mécanique totale d'un systèmeE = Energie cinétique + Energie potentielle ≡ K + UConservation de l'énergie mécanique:en l'absence de forces agissant sur un système, l'énergiemécanique totale du système est une constante: E (t1) = E(t2) pour tout temps t1 et t2

Dans un système composé de plusieurs corps, on peutavoir une redistribution de l'énergie au cours du temps (choc),mais la somme totale doit être conservée

E = Ei(t)i=1,N∑ = Ki(t)

i=1,N∑ +Ui(t) = cte

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Conservation de l'Energie totaleAttention: en cas de forces de frottement, de déformations,...une partie de l'énergie mécanique se transforme en chaleur,modifications structurelles, chimiques,...

E = K + U + chaleur +...

On va devoir inclure ces effets par des termes additionnels

Dans la théorie de la relativité, masse et énergie sont liéespar Emasse = mc2 , donc

E = mc2 + K + U + ...

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Echelle d'énergie

Energie libérée par une supernova 1044 JoulesE solaire sur terre par an 1024

E consommée par l'homme par an 1020

Bombe à fusion 15 Mtonnes 1017

E produite par une centrale en 1 an 1016

E de combustion 1 litre essence 107

E alimentaire pour 1 adulte par jour 107

E cinétique d'un homme qui court 103

E cinétique d'une balle de 5 g à la vitesse du son ?Décharge d'un neurone 10-10

E d'un électron dans l'atome 10-18

E la plus élevée observée dans une particule cosmique 1 J

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Conservation de l'Energie mécanique. ExempleObjet de masse m jeté depuis une hauteur h du sol, à vitesse vi, dans une direction arbitraire. On veut calculer(le module de) la vitesse d'arrivée au sol.

Ei = Ki + U(h) = mvi2/2 + mgh

Ef = Kf + U(0) = mvf2/2 + mg0

Ei = Ef

mvf2/2 = mvi

2/2 + mgh vf = [ vi

2 + 2gh ]1/2

h

0vf est donc indépendante de ladirection initiale€

}g=+9.81ms-2

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L'énergie potentielle gravitationnelle revisitée.U(h) = mgh est une expression utile à proximité de la surfaceterrestre. A distance r >> R, R = rayon terrestre, la force degravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable(si r << R aussi, d'ailleurs).On peut montrer que le travail effectué par FG dépendtoujours exclusivement des point de départ et arrivée.La force de gravité est conservative.Comment définir l'E potentielle dans le cas général ?

U(r1)

U(r2)r2

r1

Le travail effectué parFG le long des deuxtrajectoires est identiqueet vaut

U(r2) − U(r1)

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Energie potentielle gravitationnelle .2

r

M

mFG

Force de M sur m =

FG = −G Mmr2

ˆ r

Travail pour porter m de ri à rf :

W = FGri

rf

∫ ⋅ dr = − G Mmr2

ˆ r ri

rf

∫ ⋅ dr = − G Mmr2 dr

ri

rf

∫ = GMmr ri

rf

=

= G Mmrf

−G Mmri

La variation d'énergie du systèmevaut −W = U(rf) −U(ri) donc

U(r) = −GMmr

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Energie potentielle gravitationnelle .3Voyons si cela est cohérent avec U(h) = mgh...A hauteur nulle de la surface terrestre, r = R

U(R) = −GMmR

≡U0

On élève l'objet de h << R:

U(R + h) = −G MmR + h

= −GMm 1R + h

=

= −GMm 1R(1+ h /R)

= −G MmR

1(1+ h /R)

11+ x

≈1− xOn utilise l'approximation valable quand x<<1

U(R + h) = −GMmR(1− h /R) = −GMm

R+GMm

R2h =U0 +mgh

g = + 9.81 ms-2

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Energie potentielle gravitationnelle .4

U(r) = −GMmr

Examinons l'information transportéepar la formule

U(r) → 0 quand r →∞U(r) → −∞ quand r →0 rU(r)

Le point de référence naturelest le "zéro" à l'infini, quand laforce est aussi nulle.Une particule de masse m qui "tombe"de l'infini à une distance rf change sonE potentielle de Uf − Ui= U(rf) − 0 = U(rf)

Q.: que se passe-t-il quand r → 0 ????

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Energie potentielle électrique

La force coulombienne entre deux charges Q et q:

F = k Qqr2

ˆ r

Les charges se mesurent en "Coulomb" C et k = 9 109 N m2 C−2

Attention: il n'y a pas de signe négatif comme dans le casde la gravitation!En effet on a une force attractive (comme dans le cas de lagravitation) quand Qq<0 c. à d. pour des charges +− ou −+.

On en déduit l’E potentielle

U(r) = k Qqr

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Le champ de forceLe "champ" donne une description de la distribution des forces dansl'espace. Pour un champ "statique": F = F(x,y,z).

Ex.: champ gravitationnel, utiliser la loi de Newton.Les "lignes de champ" décrivent la direction de la force: pourla déterminer, on place au point choisiune "masse de test" et onmesure son accélération.

Dans le cas d'une seule masseles lignes sont distribuéesradialement autour d'elle.

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Le champ de force .2

Dans le cas de deux masses identiques...

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Surfaces équipotentielles Ce sont les surfaces avec U = cte.

Pour le champ gravitationnel d'une masse M sphérique,il s'agit de sphères concentriques.

r

Sur toute la sphère de rayon rl'E potentielle pour un massede test m on a

U(r ) = −GMmr

De façon plus générale onintroduit le concept de "potentiel":la valeur de U pour m = 1kg.

V(r ) = −GMr

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Surfaces équipotentielles .2Dans le cas de deux masses identiques...

lignes du champ de la force gravitationnelle. Elles sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.

surfaces équipotentielles

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Analogie: deux pics

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La puissanceindique la quantité de travail qu'un système peut fournirpar unité de temps:

P = dW/dt

L'unité est le J / s = W (Watt)

Une centrale électrique : P = 100 à 1000 MW

Le kWh (kilo Watt heure) correspond à l'énergie

1000 × (1 heure) = 1000 × 60 × 60 = 3.6 106 J

Donc P × Δt est une énergie.

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Puissance .2

On peut dériver la puissance associée à une force F quiprovoque le déplacement d'un objet à vitesse v

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Energie et travail dans mouvement circulaire

v =ωr

K =12mv2 =

12m ωr( )2 =

12mr2ω2 =

12Iω2

Δsθ

rdéplacement correspondant à un angle θ:

Travail fait par une force F tangentielle

moment de la force par rapportau centre du cercle

F