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UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAHFACULTE DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’algebre 1

MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed et EL AOUNI Allal

Departement de Mathematiques

Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module: Algebre 1 1 / 34

PLAN DU COURS

1 NOMBRES COMPLEXES2 POLYNOMES3 FRACTIONS RATIONELLES4 ESPACES VECTORIELS


Chapitre 1

NOMBRES COMPLEXES


Chapitre 1

1 Definitions et proprietes2 racines carrees d’un nombre complexe3 Equations du second degre dans IC4 nombres complexes de module 15 Argument d’un nombre complexe

6 Racines nieme de l’unite7 Racines nieme d’un nombre complexe


Definitions et proprietes

L’ensemble IC des nombres complexes

Definition

On note par IC = {a + ib/ a,b ∈ IR} et i 6∈ IR muni de deux operations + et .telles que

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

(a + ib).(c + id) = (ac − db) + i(ad + cb)

En particulier, i2 = i .i = −1



Partie reelle et partie imaginaire

DefinitionSoit z = a + ib un nombre complexe.

a est appele la partie reelle de z qu’on note par Re(z).b est appele la partie imaginaire de z qu’on note par Im(z)

Un nombre complexe et dit reel si sa partie imaginaire est nulle.Un nombre complexe et dit imaginaire pur si sa partie reelle est nulle.



Proposition

Soient u = a + ib ∈ IC et v = c + id ∈ IC deux nombres complexes.

u = v ⇐⇒ a + ib = c + id ⇐⇒ a = c et b = d



DefinitionSoit z = a + ib un nombre complexe.On appelle conjugue de z le nombre z = a− ib



Proprietes

Soient z = a + ib ∈ IC et z′

= c + id ∈ IC deux nombres complexes. Alors,1 z = z2 z + z ′ = z + z ′

3 zz ′ = zz ′

4 ( zz′

) = zz′

5 zz = a2 + b2 ≥ 0



Le module d’un nombre complexe

Definition

Soit z = a + ib, on appelle module de z le nombre reel positif note par |z| etdefini par

|z| =√

zz =√

a2 + b2

proprietes

Soit z, z′ ∈ IC

1 |z| = |z|2 z−1 = 1

z = z|z|2

3 |zz′ | = |z||z ′ |

4 | zz′| = |z|

|z′ |


Les racines carrees d’un nombre complexe


Definition

Soient z,u ∈ IC. On dit que u est racine carree de z si

u2 = z




Theoreme

un nombre complexe non nul z = a + ib possede deux racines carrees nonnulles et opposees qui sont :

1 Si b ≥ 0,

u =

√2(|z|+ a)

2+ i

√2(|z| − a)

2et

−u = −√

2(|z|+ a)

2− i

√2(|z| − a)

2

2 Si b ≤ 0,

u =

√2(|z|+ a)

2− i

√2(|z| − a)

2et

−u = −√

2(|z|+ a)

2+ i

√2(|z| − a)

2




Exemple

Soit z = 5 + 12i .1 |z| =

√52 + 122 =

√169 = 13

2 Puisque 12 ≥ 0 alors les racines carree de z sont :

u = 3 + 2i et − u = −3− 2i


Equation du second degre dans IC


TheoremeSoient a, b et c trois nombres complexes tels que a non nul. Soit δ une racinecaree de ∆ = b2 − 4ac.Alors l’equation du second degre aX 2 + bX + c=0 admet deux solutions :

z1 =−b + δ

2aet z2 =

−b − δ2a

Remarque

1 z1 + z2 = − ba

2 z1z2 = ca

3 Si ∆ = 0, z1 = z2 = − b2a

4 Si a,b, c ∈ IR et si ∆ ≥ 0 alors z1, z2 ∈ IR5 Si a,b, c ∈ IR et si ∆ ≤ 0 alors z1 et z2 sont conjugues( c’est a dire

z2 = z1)




Exercice

Calculer les racines des equations :1 (1− i)z2 + (1 + 2i)z − 2i = 02 3z2 − 5z + 2 = 03 2z2 − 2z + 1 = 0



Equations du second degre dans IC

CorollaireSoient z1, z2 ∈ IC.Notons s = z1 + z2 et p = z1z2Alors, z1 et z2 sont les racines de l’equation z2 − sz + p = 0



Equations du second degre dans IC

corollaire

Soient az2 + 2b′z + c = 0 une equation de 2eme degre et ∆

′= b

′2 − acSi δ

′est une racine carree de ∆ alors les racines de l’equation sont

z1 =−b

′+ δ

′

aet z2 =

−b′ − δ′

a


Les nombres complexes de module 1


Proposition

Soit z ∈ IC.|z| = 1 ⇔ ∃α ∈ IR tel que z = cosα + i sinα

. Dans ce cas z est note z = eiα.

Exemples

1 ∀k ∈ ZZ; e2ikπ = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1 + 0i2 eiπ = cos(π) + i sin(π) = −13 e

iπ2 = cos(π2 ) + i sin(π2 ) = i

4 eiπ4 = cos(π4 ) + i sin(π4 ) =

√2

2 + i√

22

5 eiπ3 = cos(π3 ) + i sin(π3 ) = 1

2 + i√

32

6 eiπ6 = cos(π6 ) + i sin(π6 ) =

√3

2 + i2




Proprietes

Soient z = eiα et z′

= eiβ avec α, β ∈ IR :1 z = z

′ ⇔ ∃k ∈ ZZ tel que α = β + 2kπ2 eiαeiβ = ei(α+β)

3 eiα

eiβ = ei(α−β)



Formule de Moivre

Theoreme (Formule de Moivre)

Soit α un nombre reel et n ∈ IN. Alors,

(eiα)n = einα



Formules d’Euler

Proprietes

∀α ∈ IR. On a1 cos(α) = eiα+e−iα

2

2 sin(α) = eiα−e−iα

2i


Argument d’un nombre complexe


TheoremeSoit z un nombre complexe non nul.Il existe α ∈ IR tel que z = |z|eiα.α est appele argument de z et on le note arg(z)




Remarque

Si α est un argument de z alors, ∀k ∈ IN, α + 2kπ est aussi argument de z.On note arg(z) = α(mod2π)




Proprietes

Soit z ∈ IC?

1 arg(z) = 0(mod2π)⇔ z ∈ IR?+

2 arg(z) = π(mod2π)⇔ z ∈ IR?−




Proprietes

Soient z et z′

deux nombres complexes et λ un nombre reel.

1 z = z′ ⇔ |z| = |z ′ | et arg(z) = arg(z

′)(mod2π)

2 arg(zz′) = arg(z) + arg(z

′)(mod2π)

3 arg( 1z ) = arg(z)(mod2π) = −arg(z)(mod2π)

4 arg(λz) =

{arg(z)(mod2π) siλ > 0Π + arg(z)(mod2π) siλ < 0


Racines nieme de l’unite

racines nieme de l’unite

DefinitionSoient n un entier naturel non nul et z un nombre complexe. On dit que z estune racine nieme de l’unite si zn = 1

Proposition

Soit n ∈ IN?. L’ensemble des racines nieme de l’unite est :

S = {e 2ikπn / k = 0, ...,n − 1} = {1,e 2iπ

n , ...,e2i(n−1)π

n }

dont les elements sont distincts deux a deux.

Posons ω = e2iπ

n , alors las racines nieme de l’unite sont les n nombrecomplexe 1, ω, ω2, ..., ωn−1 .




Corollaire

Si z est une racine nieme de l’unite avec z 6= 1 alors

1 + z + z2 + ...+ zn−1 = 0




Exemples

1 Les racines carrees de l’unite sont{

1e

2iπ2 = eiπ = −1

2 Les racines cubiques de l’unite sont

1e

2iπ3 = −1

2 + i√

32 = j

e4iπ

3 = −12 − i

√3

2 = j = j2et on a

1 + j + j2 = 0

3 Les racines 4ieme de l’unite sont

1ii2 = −1i3 = −i

et on a

1 + i + i2 + i3 = 0


Racines nieme d’un nombre complexe

racines nieme d’un nombre complexe

DefinitionSoit z un nombre complexe et n un entier naturel non nul. On appelle racinenieme de z tout nombre complexe u verifiant z = un.



racines nieme d’un nombre complexe

Theoreme

Soit z = reiθ un nombre complexe non nul. L’equation un = z possede, dansIC, exactement n racines nieme de la forme

uk = n√

rei( θn +

2kπn )

= n√

reiθn e

2ikπn

avec k = 0, ...,n − 1




corollaire

Soient z = reiθ ∈ IC et n ∈ IN?. Alors les racines nieme de z sont

u0,u0ω,u0ω2, ...,u0ω

n−1

avecu0 = n

√rei θn

etω = e

i2πn




Exemple

Calculer les racines nieme du nombre complexe z = −4 dans les cas n = 2,n = 3, et n = 4

Reponce :

On a z = −4 = 4eiπ doncu0 =

n√

4eiπn

Cas n = 2 : u0 = 2√

4eiπ2 = 2i et ω = e

i2π2 = eiπ = −1 .

Donc les racines carres de −4 sont :

2i ,−2i




Exemple (suite)

Cas n = 3 : On a u0 = 3√

4eiπ3 = 3√

4( 12 + i

√3

2 ) et ω = ei2π

3 = jAlors les racines sont :

3√

4eiπ3 ,

3√

4eiπ3 e

i2π3 ,

3√

4eiπ3 e

i4π3

c’est a dire

3√

4(12

+ i√

32

), j 3√

4(12

+ i√

32

), j2 3√

4(12

+ i√

32

)




Exemple (suite)

Cas n = 4 : On a u0 = 4√

4eiπ4 =√

2(√

22 + i

√2

2 ) = 1 + i et ω = ei2π

4 = eiπ2 = i

Alors las racines 4ieme de −4 sont :

(1 + i), (1 + i)i , (1 + i)(−1), (1 + i)(−i)

c’est a dire1 + i ,−1 + i ,−1− i ,1− i


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