UNIVERSITE FELIX HOUPHOUËT- BOIGNY

UNIVERSITE FELIX HOUPHOUËT- BOIGNY UFR de Mathématiques et Informatique

Laboratoire de Mathématiques Appliquées et Informatique

No ......•.............. Année académique 2013-2014

MEMOIRE DE MASTER

Mention : Mathématiques et Applications

Spécialité : Probabilités et Statistique

Présenté à

L'UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT- BOIGNY

par

ABOU N'CHO ISAAC

TITRE DU MEMOIRE :

PROCESSUS MULTI-COMPOSANTS PERIODIQUEMENT CORRELES ET LOCALEMENT STATIONNAIRES

Soutenu publiquement le 29 Décembre 2014

devant le jury

Président : Prof. ADJE Assohoun, Maître de conférences, UFHB, UFR-MI Abidjan

Directeur : Prof. MONSAN Vincent, Maître de conférences, UFHB, UFR-MI Abidjan

Membres : Prof. YODE Armel, Maître de conférences, UFHB, UFR-MI Abidjan

Dr. OWO Jean Marc, Maître Assistant, UFHB, UFR-MI Abidjan 0-

MEMOIRE DE MASTER

Mention: Mathématiques et Applications Spécialité: Probabilités et Statistique

THEME: PROCESSUS MULTI-C01VIPOSANTS PERIODIQUEl\!IENT CORRELES ET LOCALEMENT STATIONNAIRES

Présenté par ABOU N'CHO ISAAC

Sous la direction du Professeur MONSAN VINCENT

18 février 2015

1

Table des matières

DEDICACES

REMERCIEMENTS

INTRODUCTION

1 PRELIMINAIRES 1.1 Rappels sur les espaces de Hilbert . . . . . 1.2 Théorie spectrale d'un opérateur unitaire 1.3 Processus périodiquement corrélés . . . . .

1.3.1 Processus harmonisables . 1.3.2 Représentation spectrale d'un processus PC

1.4 Processus localement stationnaires . . . . . . 1.4.1 Rappel sur les processus stationna.ires . 1.4.2 Processus localement stationnaires

1.5 Fonctions exponentiellement convexes . . . .

2 MODELE PC-LS EN TEMPS CONTINU 2.1 Processus PC continu . 2.2 Processus multi-composants . 2.3 Fonction de covariance d'un processus PC-LS 2.4 Représentation spectrale des processus PC-LS

CONCLUSION

3

4

5

7 7 9

11 13 15 19 19 20 21

23 23 24 25 27

32

2

1

DEDICACE

Je dédie ce mémoire en premier lieu au Seigneur Dieu Tout-Puissant grâce à qui tout est possible

Je dedie ensuite ce mémoire : A mon épouse Chiéda Marie Sosthène A mes enfants :

- Arielle Grace Emmanuela - Aurore Jemima Nissi - Moise Elie-Joel

3

REMERCIEMENTS

Je tiens d'abord à exprimer toute ma gratitude et mes remerciements au Profes- eur MONSAN Vincent, Directeur de ce mémoire pour le travail inlassable d'enca drement dans la patience et surtout pour ses conseils en vue de l'aboutissement de ce travail. .I'exprimc ensuite mes remerciements au Professeur N'ZI Modeste, Sous-Directeur de l'UFR-MI chargé de la recherche pour la motivation qu'il a su communiquer à l'ensemble des étudiants de Master 2 en Probabilités et Statistique. Je remercie également le Professeur ADJE Assohoun, Directeur de l'UFR-MI et Pré sident du Jury de ce memoire pour l'effort fourni afin de donner un bon encadrement aux étudiants de l'UFR-MI en général et aux étudiants de Master 2 en particulier. Je tiens à adresser mes remerciements au Professeur YODE Armel pour ses cours en Estimation Fonctionnelle et pour sa presence dans le jury. J'exprime ma reconnaissance au Dr. OWO Jean Marc pour sa presence dans le jury de ce memoire. Je remercie enfin tous les étudiants de Master 2 et les Doctorants en Probabilités et Statistique pour leur aide et soutien dans l'accomplissement de ce travail.

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INTRODUCTION

L'analyse spectrale des processus stochastiques tels que les processus Station naires et Périodiquement Corrélés (PC) a une longue histoire avec un intérêt à la fois théorique et pour les applications. Ces processus sont intéressants pour les in génieurs en raison de leurs applications dans les systèmes de traitement de signaux et de communication, spécialement dans le trafic réseau. La théorie spectrale de ces processus est principalement basée sm les représentations spectrales. Les propriétés des processus stationnaires sont bien connues et ont été utilisées dans l'analyse des performances de systèmes. Récemment, une grande quantité de travaux a été consacrée à l'analyse des séries chronologiques avec un accent particulier sur les processus Localement Stationnaires (LS) et PC qui donnent la description plausible de la réalité. Les processus Localement Stationnaires (LS) au sens de Silverman peuvent être utilisés pour modéliser les systèmes dans lesquels ils se comportent comme une fonction du temps. Ils présentent un rapport entre leur fonction de co variance et leur densité spectrale. Une autre classe de processus non stationnaires est celle des processus processus périodiquement corrélés (PC) qui ont une structure périodique. Ces processus sont processus en général non stationnaires mais présentent un grand nombre de proprié tés des processus stationnaires. Ils ont été utilisés comme modèles de la météorologie. Soit X(t) = X15(t) + XP(t), t E JR+ où X15(.) est un processus multi-cornposants lo- alement stationnaire et XP(.) est un processus périodiquement corrélé(PC) à temp discret. X(.) est appelé processus multi-cornposants périodiquement corrélé et loca lement stationnaire (PC-LS), objet de notre étude.

Ce mémoire s'appuie sur l'article publié dans Theor. Veroyatnost.i Premenen., 59 :2(2014) par N.Modarresi et S.Rezakhah sous le thème :"Certain Periodically Cor related Multi-component Locally Stationary Processes'. Il a pour objectif de décrire les processus multi-composants PC-LS, de déterminer la structure de leur fonction de covariance et de caractériser leur représentation spectrale. Pour cela, le travail est organisé de la manière suivante :

Après l'introduction générale, nous abordons dans le premier chapitre les pré liminaires en faisant quelques rappels sur les espaces de Hilbert, en présentant la théorie spectrale d'un opérateur linéaire puis en étudiant les notions de processu périodiquement corrélés, de processus harrnonisables, de processus localement sta tionnaires et de fonctions exponentiellement convexes.

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INTRODUCTION 6

Dans le deuxième chapitre, nous présentons les princiapaux résultats du modèle PC LS en donnant sa description, sa fonction de covariance et la caractérisation de sa représentation spectrale. Nous terminons ce travail par une conclusion générale et quelques perspectives.

Mémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB - UFR MI·

Chapitre 1

PRELIMINAIRES

1.1 Rappels sur les espaces de Hilbert Définition 1.1.1. Produit scalaire. Soit E un espace vectoriel sur IK(IK = IR ou C). Un produit scalaire sur E est une application, notée (., . ) de E x E à valeurs dans OC telle que pour toits x, y, z E E et a E IK, on ait :

1. (.7:,:r) 2: 0 et (x,x) = 0 ~ x = 0 · 2. (x, y) = (y, :i;), où (y, x) est le conjugué dans C de (y, x) · 3. (x + y, z) = (x, z) + (y, x) , (œz, y) = a(x: y) et (x, a.y) = a(x, y).

Dans la suite on prendra OC= C.

Définition 1.1.2. Espace hermitien. On appelle espace hermitien, un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

Proposition 1.1.3. Un espace hermitien 1-l est un espace vectoriel normé avec la norme !lxll = }(x, x) induite par le produit scalaire. Définition 1.1.4. Espace de Hilbert. Lorsqu'un espace hermitien 1-l muni de la norme induite par le produit scalaire est complet, on dit que 1-l est un espace de Hilbert.

On considère (B, 11-lla) et (B', II-IIB1) deux espaces de Hilbert.

Définition 1.1.5. Opérateur linéaire. Un opérateur A de B vers B' est dit linéaire si v», y E B, Va:, (3 E IK, A(a,_:i; + (3y) = a.A(x) + {3A(y). Définition 1.1.6. Un opérateur A de B uers B' est dit borné s'il existe un nombre réel positif M tel que IIA(x)IIB' :::; 1v.Illx!IB, \fx E B

7

CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES

Propriétés 1.1. 7. Soit un opérateur linéaire A : B ---+ B'. Les assertions suivantes sont équivalentes.

1. A est borné ; 2. A est continue sur B ; 3. A est continue en O; 4. A est uniformément continu sur B.

Définition 1.1.8. Opérateurs adjoints. Soit A un opérateur borné sur un espace de Hilbert 1-l. L'opérateur A* : 1i ---+ 1i défini par (x, A*y) = (Ax, y), Vx, y E 1-l est dit opérateur adjoint de A.

Propriétés 1.1.9. A et B sont des opérateurs bornés et a E OC. On a : 1. (A+ B)* =A*+ B*; 2. (aAt=a 3. (A*)* = A, (I)* = I; 4. (AB)* = B* A*.

Définition 1.1.10. Opérateur auto-adjoint. Un opérateur A est dit auto-adjoint (ou hermitien) si A*= A i.e. (Ax, y) = (x, Ay), Vx, y E 1-l.

Définition 1.1.11. Opérateur normal. Un opérateur borné U, défini sur un espace de Hilbert 1i est dit normal s'il commute avec son adjoint, c'est à dire UU* = U*U.

Évidenunent tout opérateur auto-adjoint est normal.

Théorème 1.1.12. Un opérateur borné U, défini sur un espace de Hilbert 1i est normal si, et seulement si, IIUxll'H = IIU*xll'H, Vx EH.

Définition 1.1.13. Opérateur 'Unitaire. Un opérateur borné U, défini sur un espace de Hilbert H, est dit unitaire si UU* = U*U = 1.

On peut aussi définir un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert de la façon suivante:

Définition 1.1.14 .. Un opérateur unitaire sur un espace Hilbert 1i est un opérateur linéaire U de 1i sur 1i pour lequel (Ux, Uy) = (x, y) pour tout x,y EH.

Théorème 1. 1. 15. 1. Un opérateur U est unitaire si et seulement si U est in- versible et u-1 = U*;

2. Si U est un opérateur unitaire, alors u-1 et U* le sont aussi.

Remarque 1.1.16. Tout opérateur unitaire est normal mais l'inverse est faux. En effet pour ioui opérateur normal A tel que IIAII =f. 1 n'est pas unitaire.

Mémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac

CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES 9

1. 2 Théorie spectrale d'un opérateur unitaire Dans cette section, nous présentons un des résultats classiques de la théorie

des opérateurs à savoir l'intégrale spectrale. Pour cela, nous introduisons d'abord la notion de mesure spectrale et ses propriétés. Ensuite nous définissons l'intégral spectrale d'un opérateur. Enfin, nous terminerons cette section par l'énoncé du théo rème spectral d'un opérateur unitaire. Dans ce qui suit (n, A) désigne un espace mesurable, 1-l est un espace de Hilbert et P(1-l) l'ensemble des projections orthogonales dans 1-l.

Définition 1.2.1. Mesure Spectrale. Une fonction d'ensemble Q : A----* P(H) est dite mesure spectrale si :

1. Q(O) = I (I: l'opérateur identité sur H}; 2. Pour toute suite (Mn) de sous -ensembles de A, deux à deux disjoints on a

Q(Un2:1Nfn) = I:n2'.l Q(Nfn)· Nous énoncons les propriétés essentielles d'une mesure spectrale

Propriétés 1.2.2. Q étant une mesure spectrale, on a les propriétés suivantes :

1. Q(0) = 0 (l'opérateur nul}; 2. VA, BE A on a Q(A U B) = Q(A) + Q(B) - Q(A n B) · 3. Q est multiplicative: VA, BE A on a Q(A n B) = Q(A)Q(B); 4. VA, BE A tels que Be A, on a Q(A \ B) ::; Q(A) - Q(B); 5. Q est monotone : VA, B E A tels que A Ç B , Q(A) ::; Q(B) · 6. Q est commutative : VA, BE A, Q(A)Q(B) = Q(B)Q(A) · 7. Q est orthogonalement dispersée : VA, B E A disjoints alors Q(A) et Q(B)

ont orthogonaux (Q(A) J_ Q(B)) ie Q(A)Q(B) = O.

Le théorème suivant caractérise les mesures spectrales.

Théorème 1.2.3. Une fonction d'ensemble Q : (n, A) ----* P(1-l) est une mesure pectrale si et seulement si Q(O) = I et pour tout x,y E 1-l, la fonction d'ensemble :

NI f--+ J,tx,y(M) = (Q(NJ)x, y).

est une mesure.

Exemple 1.2.4. Soit 1{ = L2(0, A,µ). Définissons

v : (0, A) ----* P(H). 2 ) 2( A ----* v(A) : L (0, A,µ ----* L D, A, p,).

Mémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB - UFR MI

HAPITRE 1. PRELil\lIIN AIRES 10

v(A} est l'opérateur de multiplication par la fonction indicatrice de A. Alors v est une mesure spectrale. En effet, 'ï/f,g E L2(D,A,µ), la fonction d'ensemble

µf,g : A---+ C.

Mt---+ /.t1,9(Ivl) = (v(Nl)J, g) = .l f(t)g(t) 11v1d>.

est une mesure.

Avant de définir l'intégrale spectrale, nous rappelons qu'une fonction t.p : 1{ x 1{ ---+ C linéaire par rapport à chacune de ses variables est dite form bilinéaire. Elle est dite bornée si li,o(x, y)I ~ MllxllllYII. 'ïlx, Y EH.

Théorème 1.2.5 .. /7/ Pour toute forme bilinéaire <p sur 1{1 il existe un unique opérateur A sur 1{ tel que i,o(~r;,y) = (!h,y), 'ï/~r;,y E 1{

Soit f une fonction mesurable bornée sur (D, A) et Q une mesure spectrale sur A. Pour tout x, y E 1{, la famille d'intégrale J f(>.)dµx,y(>.) est bien définie. C'est l'intégrale de f par rapport à la mesure µx,y(Nl) = (Q(M)x, y). On définit ainsi une forme bilinéaire .)clµx,y(>.). .)(Q(cl>.)x, y).

Définition 1.2.6. Intéqrale spectrale L'opérateur défini par A(!) = J J(>.)Q(d>.) est appelé l'intégrale spectrale de f par rapport à la mesure spectrale Q.

ous énonons les trois propriétés remarquables de l'intégrale spectrale.

Propriétés 1.2.7. 1. L'intégrale spectrale est linéaire; 2. J J(>.)Q(cl>.) = [J J(>.)Q(d>.)]* (* désigne l'opérateur adjoint); 3. J J(>.)g(>.)Q(d>.) = .r J(>.)Q(d>.) J g(>.)Q(d>.).

Nous avons vu que la notion de mesure spectrale permet de définir l'intégrale spectrale J J(>.)Q(d>.) comme étant un opérateur A(f) :1{ ---+ 1{ tel que J J(>-.)(Q(d>.).r,y) = (A(f)1;1y) pour tout x,y E 1{. Cependant, dans de nombreuses applications, nous disposons d'un opérateur

:1{ ---+ 1{ et nous souhaiterions le représenter comme une intégrale spectrale. La question naturelle que nous posons est la suivante. Etant donné un opérateur A :1{ ---+ 1{, existe t-il une mesure spectrale Q sur un certain espace mesuré (D) A) t une fonction f tels que A = J J(>-.)Q(d)..)?

La réponse est affirmative pour la classe des opérateurs normaux. En effet tout opérateur A normal cc borné possède une mesure spectrale définie sur les partie boréliennes de (C telle que A = fc >.Q(d>.). Pour un opérateur unitaire U, il existe une unique mesure spectrale Q définie sur les parties boréliennes du cercle unité C1 de (C tel que A = fc

1 >.Q(d>.). En identifiant C1 à [O; 27ï[ par l'application :

le résultat précédent s'énonce de la façonsuivante.

Théorème 1.2.8. Théorème spectral des opérateurs unitaire {1/ Pour tout opérateur unitaire U sur un espace de Hilbert 1l, il existe une unique mesure spectrale Q sur les partie boréliennes de [O; 2n[ telle que U = f021r ei>.Q(d>.) et pour tout entier naturel n, U11 = J021r ei>.nQ( dÀ).

,1;;: théorème ouvre la voie à la représentation spectrale des processus stochas tiques périodiques.

1.3 Processus périodiquement corrélés

ous nous plaçons dans (S1, A, IP') un espace probabilisé. On désigne par L2(D) l'ensemble des variables aléatoires X définies sur (D, A, IP) à valeurs complexes telles que JE(IXl2) < oo. On utilisera aussi l'ensemble L5 = {X E L2(D) : lE(X) = 0}.

Définition 1.3.1. . Un processus aléatoire X(t) dans L2 des variables aléatoires d'un espace de probabilité ( n, A, IP) et indexé sur IR ou Z respectivement, est dit périodiquement corrélé s'il existe un T > 0 dans IR ou Z respectivement tel que

{ µ,(t) = lE[X(t)] = µ(t + T) w llJl '71 vt; s E JN.. ou IL.,

~x(t, s) = ~x(t + T, s + T) -----

où ~x(t, s) = JE(X (t) - /L(t)) (X(s) - µ(s)). Le plus petit T sera appelé la période de X(t).

Remarque 1.3.2. 1. Pour le temps discret. il faut que T > 1 sinon le processus est stationnaire.

2. Pour le temps continu également, le processus a besoin de la continuité de la fonction de corrélation.

3. Si Test la période de X(t) alors kT.pour k E N* est aussi une période de X(t).

Nous donnons dans ce qui suit des exemples de processus périodiquement corrélés

Exemple 1.3.3. Si le processus (Xt)tEZ E L2 (n, A, IP) est T- périodique ie

X, = X1.+r, 'ïlt E Z (1.1)


1


Alors (Xt)tEZ est T- périodiquement corrélé. En effet l'équation (1.2) signifie qu IIXt - Xt+TIIL2 = 0 Vt E z. Il vient que pour tout s,t E Z ,

µx(t) = l Xt(w)lfI>(dw),

- ln Xt+r(w)W(dw),

µx(t + T).

9tx(t, s) = ln X8(w)x,fu7)W(dw) - ~tx(t)11.x(s)

- k Xs+r(w)Xt+r(w)W(dw) - µx(t + T)µx(s + T), 9tx(s + T, t + T):

Exemple 1.3.4. Soient (Xt)tEZ et (Yi.)tEZ deux processus non corrélés i.e. Vs, t E Z cov(Xt, Ys) = O. Si (Xt)tEZ est T- périodique et (Yi.)tEZ est faiblement stationnaire de moyenne µy et de covariance 9\y, alors le processus Zt = X, + Yi. est T- pério diquement corrélé.

En effet ,

~tz(l) = ~tx(t) + µy(t), - µx(t+T)+µy(t+T)

µz(t + T).

9\z(s, t) = 9tx(s, t) + 9\y(s - t), - 9tx(s+T,t+T)+9ty(s+T-(t+T)),

9\z(s + T, t +'T).

Donc (Xt)tEZ est T- périodiquement corrélé. Exemple 1.3.5. soit (Xt)tEZ un processus stationnaire avec IE(Xt) = O. Si Ut)tEZ est une suite T- périodique, alors le processus (Yi.)tEZ défini par Yi. = Ji.Xt est un processus T-périodiquement corrélé.

En effet, 11.y(t) = !t,.IE(Xt) = 0 pour t de Z et Vt, s E Z on a :

9tds + T, t + T) = fs+Tft+r9tx(s + T - (t + T)), fsft9tx(s - t), 9\y(s, t).

D'où le résultat. Proposition 1.3.6. Un processus (Xt)tEZ E L2(0, A, JfI>) est périodique de période T si et seulement µ(t) est T-périodique et 9\(s, t) est doublement périodique. ie pour tout s, t, k , l de Z, on a : µ(t) = µ(t + T) et 9\(s, t) = 9t(s + kT, t + lT)

Mémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaa UFHB - UFR MI

HAPITRE 1. PRELIMINAIRES 13

1.3.1 Processus harmonisables Les processus harmonisables au sens fort ont été introduits en 1948 par Loève

puis devéloppés par Cramèr dans le cadre des processus stationnaires [7]. C'est S. Bochner qui par ses travaux a défini les processus harmonisables les plus généraux [8]. Dans ce qui suit, nous définissons deux types de processus harmonisables à savoir : - les processus harrnouisables au sens faible · - et les processus harrnonisables au sens fort.

Définition 1.3. 7 .. /8/ On dit qu'un processus (Xt)tEIR E L2(0, A, IP) est (faiblement) luirmonisoble si, il existe une mesure stochastique 1.1, : ŒJR ---t L2(0, A, IP) telle que

X(t) = [+~.eitxµ(d~c). (1.2)

Cette mesure est unique et s'appelle la mesure stochastique spectrale du processu harmonisable X considéré

Définition 1.3.8. Un processus stochastique (Xn)nEZ est dit fortement harmonisable au sens de Loève /7/ si et seulement si sa fonction de covariance 9' a la forme uivante. 91:(s, t) = Ja2'" Jl'li ei(sÀ-lS) F(d>.., d0) où F :[O; 21r)2 1-----t C est une mesure définie positive hermitienne à variations(au sens de Vitali) bornées c'est à dire v(F) = sup{I:~J=i lF(Ai, BJ)I, (Ai); (BJ) C A[o,21r), Ai, BJ sont dis.joints} < Remarque 1.3.9.

monisable. 2. Nous verrons par la suite que sous certaines conditions, tout processus harmo

nisable au sens fort est périodiquement corrélé.

1. Tout processus fortement harmotiisable est (faiblement) har-

ous essaierons dans ce qui suit d'écrire la fonction de covariance !R. d'un pro cessus PC sous la forme de celle d'un processus harmonisable. Selon [7], la fonction de covariance 91 d'un processus T-périodiquement corrélé peut s'écrire sous la forme d'une série de Fourier finie :

T-1 L Bk(p)ei21rkn/T k=O

où les Bk(P) sont les coefficients de Fourier donnés par :

91:(n + p, n)

1 T-1 . .· Bk(P) = T I:= e-i21rk1/T9i:(n + P, n).

j=O

(1.3)

(1.4)

Notons aussi que les coefficients Bk(P) ont une représentation spectrale donnée par

(1.5)

·· 1émoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB - UFR MI


Proposition 1.3.10. Soit 9'l la fonction· de covariance du processus harmonisable (Xn)n- Alors (Xn)n est T-PC {ie la fonction de covariance 9'l est T-périodique) si et seulement si le support de la mesure Fest contenu dans S = u[::~r+1Sk où

27rk sk = {(À1, À2), À2 = À1 + T }.

Preuve:. 1- Supposons que le support de F c S. On a:

= ei(s>" -tÀ2)+iT(À1-À2),

ei(sÀ1 -tÀ2),

car dans S,

iT(,\1 _ , 27r k . /\J-~),

-2i7rk T

et e-2iwk = 1. Donc nous avons

j h ei(sÀ1-tÀ2)F(dÀ1,dÀ2),

J h ei(s+T)À1-i(t+T)À2 ru»; d,\2), 9'l(s + T, t + T).

2-Réciproquement, si 9'l est T-périodique. 9'l(s, t) = 9'l(s + T, t + T). On a pour tout n EN,

9'l(s, t)

9'l(s, t) __ l_ t 12r. 12w ei(s+kT)À1-i(t+kT)À2 F(dÀ1, dÀ2), 2n + 1 k=-n o o

{2" r: _1_ t· ei(s+kT)À1-i(t+kT)À2 F(dÀ1, dÀ2), lo lo 2n + 1 k=-n

où n '°' eikT(À1-À2)

2n+ 1 k~n ,

sin[(n + ½)T(,\1 _ À2)] 2('("! + ½)sin[T(À12-À2)]

Mémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB- UFR MI


La fonction Dn est continue et bornée .. De plus si (>.1, >.2) E S; Dn(>.1, >.2) = 1 et si (>.1, >.2) n'appartient pas à S c'est à dire T(>.1 - ..\2) -=/ 2kn, la fonction Dn converge vers O. On conclut que Dn converge vers 18, fonction indicatrice de S. R(s, t) = Jlrr Jg1r ei(s>.i-t>-2lls(>.1, À2)F(d..\1, d>..2), d'où le résultat.

D

1.3.2 Représentation spectrale d'un processus PC otons 1ix = sp{Xn, n E Z} le sous espace fermé de L5(0) engendré par les

variables Xn, n E Z. Notons aussi Lx = sp{l; Xt, t E Z}

Théorème 1.3.11. Un processus (Xn)nEZ du second ordre est dit périodiquement corrélé de période T si et seulement si, il existe un opérateur unitaire U sur 1ix = sp{l; Xrr., n E Z} tel que Xn+T = U Xn, \:/n E Z.

Preuve:. 1- On suppose que le processus (Xn)n est périodiquement corrélé de période T. Si Y

n est de Lx= sp{l; Xn, n E Z}, on peut écrire Y= L aiXn;· On définit un opérateur

U sur Lx comme suit : i=l

U: Lx -t Lx n n

y= L aiXn; t-----+ UY = L aiXn;+T i=l i=l

/lontrons qu'un tel opérateur est bien défini, linéaire et surjectif. (a) C est bien défini.

n Supposons qu'un vecteur Y a deux expressions différentes Y = L aiXn. et

n

Y = L biXn;. On peut écrire : n=l

n=l

n n IIU(L aiXnJ - U(L biXn;)JJ2

n n

JI L aiXn,+T - L biXn;+rJJ2, n=l n=l n=l n=l

n

Il L(ai - bi)Xn;+rJJ2, n=l n L(ai - bi)(a1 - b1)(Xn;+T, Xn1+T) i,j n 2]ai - bi)(aj - bj)(Xn;, Xn), i,j

n n

- JJ L ai(XnJ - L bi(.X'nJ JJ2 n=l n=l

- O .


n n Ce qui signifie que UY = U(L aiXnJ = U(L biXn,), d'où U est bien défini.

n=l n=l

(b) U est linéaire. n n

Soient Y et Y' E Lx tels que Y= L aiXni et Y'= L biXni, soit a E C. n=l n=l

Nous avons:

U(aY + Y') n n

U ( O' L ai X ni + L biXnJ, n=l n=l n

U(I:(aai + bi)XnJ, n=l n

U(L(aai + bi)Xn;+r), n=l n n

U(L aaiXn,+T + L biXn;+T), n=l n=l n n

a L a~Xni+T + L biXn;+7', n=l n=l

aU(Y) + U(Y').

D'où U est linéaire. ( c) U est surjective.

n Soit Y= L ai(XnJ E .C.x.

n=l n n

ous avons U(L ai(Xn,-T) = L ai(.)<n.) = Y, d'où U est surjective. n=l n=l

n (d) Finalement U est une isométrie car pour tous vecteurs Yi = L aiX"i et

n=l n

Y2 = L biXni dans .lx, on peut écrire: n=l

n

(Yi, Y2) = L ai~(Xn;, Xn) i,j=l n n

- L L ai~(Xn.+T, Xn1+r), i=l ,i=l (UY1, UY2).

Ce qui montre que U préserve le produit scalaire donc aussi la norme induite. L'opérateur U ainsi défini sur .lx peut s'étendre par continuité sur Hx =.lx. 2-Réciproquement, supposons l'existence d'un opérateur unitaire vérifiant l'équation Xn+T = UXn.

/lémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB- UFR MI


Nous avons d'une part :

µx(t + T) = (Xt+r, 1), - (UXt,1),

(X u-11) t' ' ix., 1), µx(t).

Et d'autre part, on a :

91.x(t,s) ix; Xs), (UXt, UXs), (Xt+T, Xs+r) 91.(t+T,s+T).

Donc le processus (Xn)n.EZ est périodiquement corrélé.

0

L'existence d'un tel opérateur décrit dans la proposition précédente donne lieu à une autre caractérisation des processus PC, très utile pour la représentation spectrale des trajectoires des processus PC

Proposition 1.3.12. Un processus (Xn)nEZ du second ordre est dit périodiquement corrélé de période T si et seulement si pour tout n E Z, il existe un opérateur unitaire V et un autre processus Y-périodique (Pn)nEZ à valeurs dans 1-lx tel que Xn = V" Pn, Vn E Z, V = fo27r ei)../TQ(d>..) , vr = U et Q est la mesure spectrale définie par {1.2.1), donc X11 = JJr. é>.n/TQ(d>..)P11•

Preuve:. 1-Si (Xn)nEZ est donné par l'équation Xn = V" ?ri, alors

(Xn, Xm) = (V11 P11, vm Pm) (VTVn r; vrvm p m) l (vn+T p vm+T p ) n, 1n,

_ (vn+Tup vm+TrrP,) n, U m,

(vn+T n vm+Tp ) 1n+T, m+T, (Xn+T, Xm+T),

Donc le processus (Xn)n.EZ est périodiquement corrélé de période T. 2-Inversement, on suppose que le processus (Xn)nEZ est T-périodiquernent cor rélé. Soit U l'opérateur unitaire donné par l'équation Xn+T = U X,i· La repré sentation spectrale de U permet de construire un opérateur unitaire V en posant V = J021r eit/T µ(dt), où vr = U. En d'autre termes, V est la racine T-ième de U.

.lémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB - UFR MI

1


Si on pose Pn = v-nxn, alors Pn vérifie l'équation Xn+T = u Xn, de plus Pn est périodique car d'après l'équation Xn = V11Pn ,on a:

IIPn+T - Piill = 11v-(n+T)xn+T - v-nx,ill, IIV~(nl(v-rxn+T - Xn)II, 11v-rxn+T - Xnll, 11u-1Xn+T - Xnll, O.

D

ous caractérisons la représentation spectrale intégrale pour les processus PC par le théorème suivant.

Théorème 1.3.13. Un processus stochastique de second ordre (Xn)nEZ E L2(D) est périodiquement corrélé de période T si et seulement si) il existe une mesure spectrale aléatoire dépendant du temps ç(., n) = ç(., n + T) dé.finie sur les parties boréliennes de [O; 21r),orthogonalement dispersée ((c;(A, m), ç(B, n)) = 0 pour tout n,m E Z et A nB = 0) et telle que pour tout n E Z ·

(1.6)

La mesure spectrale dépendant du temps ç(., n) est dé.finie au travers de l'applica tion de la mesure spectrale vers le vecteur Pn comme pour chaque partie borélienne de A, nous avons ç(A, n) = Q(A)Pn, Pn étant celui introduit dans la proposition précédente.

Preuve: 1- Si Xn a la forme de l'équation(l.6) avec ç(., n) = ç(., n + T) et (ç(A, n), c;(B, m)) = 0, VA n B = 0, alors comme (ç(A, n), c;(B, m)) = (ç(A n B, n), ç(A n B, m)), on posera alors, pour tout n.m E Z et A, B E Â[o,2r.),

Fn,m(A n B) = (ç(A°, n), ç(B, m)), (ç(A, n + T), ç(B, m + T)), Fn+T,m+r(A n B).

Pour n,m fixé, 011 a JFn,m(A)I = J (ç(A, n), ç(A, m)) 1, ~ JJç(A,n)JJ.JJç(A,m)JI, = JFn,n(A)Fm,m(A). De plus, Fn,n(,) ~ 0 et Fn,m(.) hérite la li-additivité de la mesure ç(., n).


Fn,m(.) est ainsi une mesure complexe (finie) et

2-Inversement, si (Xn)n est T-périodiquement corrélé, nous utliserons la repré sentation spectrale de l'opérateur V, citée dans la proposition 1.3.11 afin d'obtenir la représentation suivante :

où les mesures ç(., n) sont définies, pour toute partie borélienne A, par ç(A, n) = µ(A)[Ynl, et vérifient la relation ç(A, n) = ç(A, n + T), et telles que ç(., n) et ç(., m) sont orthogonalement dispersées, i.e. (ç(A, n), ç(B, m)) = 0 pour A n B = 0, d'où le résultat.

D

Remarque 1.3.14. Les processus (Xn)n définis par l'équation (1.û} et pour lesquels la mesure spectrale ç (., n) est indépendante de n et non orthogonalement dispersée sont dits processus harmonisables( au sens faible).

La proposition précédente montre que tout processus T-PC est harmonisable.

1.4 Processus localement stationnaires

1.4.1 Rappel sur les processus stationnaires On distingue deux types de stationnarité :

Définition 1.4.1. (stationnarité stricte) Un processus stochastique (Xt)tEZ est dit strictement stationnaire, si pour tout sous ensemble fini de Z, {t1 < t2 < ... < tn} et pour tout h de Z, les vecteurs aléatoires (Xt1,Xt,2,···,xl,..) et (XL1+h,xl2+h,·00,Xln+h) ont la même distribution. Autrement dit, sa loi de probabilité est invariante par translation.

Définition 1.4.2. (Stationnarité faible) Un processus stochastique (Xl)tEZ de second ordre dit faiblement stationnaire si se statistiques d'ordre uri et deux sont invariantes par translations, i.e.

1. IE(Xi) = m, Vt E Z · "'· IE(X"z) < oo, Vt E Z · 3. Cov(Xt, Xi+1t) = ,(h), Vt, h E Z.

où 1 est appeléé la Jonction d 'cutacouariomce de processus X.

1.4.2 Processus localement stationnaires la notion de processus localement stationnaire (LS) a été introduite par Silverrnan

[3). C'est un nouveau type de processus aléatoire généralisant la notion de processus faiblement stationnaire. Soit X( t) un processus aléatoire généralement complexe, le paramètre réel t est lié à un ensemble indexé I qui est un intervalle fermé ou la droite infinie des nombres réels. Nous supposons que pour tout t E I, le moment d'ordre 2 existe et le moment d'ordre 1 est zéro (sans perte de généralité). Avant de définir la notion de processus localement stationnaire, nous introduisons le concept de partition de l'espace I.

Définition 1.4.3 .. Soit I c ~ un intervalle. Une partition de I est une collection dénombrable de sous-intervalles B1, B2, ... , Bk c I est un intervalle et k appartient à un ensemble dénombrable d 'indexe I tel que : ·

1. Bi n Bk= 0 pour tout i i- k dans I;

2. ukE'LBk = I.

Ion, Richard A. Silverrnan [3] nous avons la définition suivante.

Définition 1.4.4. Le processus aléatoire X{t) définie pour tout nombre réel t, est localement stationnaire au sens large ou a une covariance localement stationnaire si sa covariance peut s'écrire sous la forme 9'tx(t, s) = R1(l~s)R2(t - s), Vt, s EN avec R1 2". 0 et R2 est une fonction de covariance stationnaire.

Selon l'analyse harmonique des processus aléatoires non stationnaires de Loèvelô] un processus X(t) est harmonisable s'il peut s'écrire sous la forme X(t) = J~00 eil>.clf,(À) ù l'intégrale est comprise dans le sens de la moyenne quadratique et ç(>.) est un

processus aléatoire de second ordre de moyenne zéro et de fonction de covarianc ,(>., µ) = :JE{ç(>.)ç(µ)} de variations bornées dans R x R Il est prouvé par les tra vaux de Loève[6), Dehay et Loughani [2), qu'un processus X(t) est harmonisable si et seulementsi, sa fonction de covariance 9'.t(s, t) a une représentation spectrale

9t(s, t) = 1_: 1_-- ei(s>.-tµ)dd1(À, µ) (1.7)


1


où ,(À,µ) est la fonction de covariance de variations bornées dans ffi. x ffi.. La der nière intégrale est comprise dans le sens de Riemann-Stieltjes. Dans ce cas nou pouvons dire que 9'\(s, t) est aussi harmonisable. Quand ddry(>., µ) = f(>., µ)d>.dµ alors J(>., µ) est appelée la fonction de densité spectrale de X(t). Si X( t) est localement stationnaire (LS) et harmonisable avec une fonction de densité spectrale alors selon les travaux de Richard A. Silverman [6L sa fonction de cova riance admet une représentation spectrale 9'\(s, t) = J~

00 J~

00 ei(s>..-tttj(>., µ)d>.dµ où

J(>., ,,.) est aussi une covariance localement stationnaire i.e. f(>.,µ) = 1ie~µ)h(>. - J.l), avec fi 2: 0 eth est une covariance stationnaire.

Théorème 1.4.5. Soit X(t) un processus aléatoire harmonisable de [onction de densité spectrale f (À, µ,) = fi ( À : µ) h ( À - µ,) où fi 2=: 0 et h est une covariance stationnaire. Alors X(t) est un p:;:ocessus aléatoire stationnaire.

Preuve:. Nous supposons que X( t) est harmonisable ayant une densité spectrale i.e. sa fonc tion de covariance 9'\(s, t) a la représentation

!R(s, t) = 1-: 1-: ci(s>.-tµ) f1 (À; µ)h(>. - /l)d>.dp,, (1.8)

où J~00 f~00 Ili (¾µ2)h(>. - µ)ld>.d1-t existe. Considérons la transformation T(>., µ)= (u,v) avec u = >.~µ , v = À - µ,. En utilisant le changement de variable précédent, l'intégrale (1.4) peut s'écrire

+t . . . iv(--)

91'(s, t) = J~00 J~

00 eiu(s-t)e 2 fi(u)h(v)dudv.

Par conséquent 91'(s, t) = R1(5t1')R2(s - t) avec R1(x) = J~00 eiux fi (u)d1t et R2 = J~

00 eivy f2(v)dv.

omme fi 2: 0 ,R2 est une covariance stationnaire et comme h est une covariance stationnaire, cela donne Ri 2: O. Cela signifie que !R(s, t) est une fonction de cova riance localement stationnaire.

D

1.5 Fonctions exponentiellement convexes Les fonctions de covariance exponentiellement convexes ont été étudiées par

Loève (1946,1965). Berntein (1929), Widder (1934,1946) et Divinatz (1955) ont mon tré qu' une fonction continue est exponentiellement convexe si et seulement si elle de la forme w(s) = J ersdF(r), s E JRd F est une mesure non-négative sur ffi.d e l'intégrale converge pour tout s. En d'autres termes, une fonction continue est ex ponentiellement convexe si et seulement si elle est la transformée de Laplace d'une mesure finie non négative[4].

Mémoire de Master. présenté par ABOU N1Cho Isaac UFHB- UFR MI

CHAPITRE 1. PRELI1VIINAIRES 22

Définition 1.5.1. La fonction de covariance d'un processus Z(t), t E lR de second ordre de moyenne nulle et de variance finie cov(Z(ti), Z(tj)) = \Jl(ti + tj) est dite exponentiellement convexe si et seulement si c'est une fonction complexe à valeurs dans C définie sur l'espace produit lR x lR qui satisfait E;'.=1 LJ=l aiaj\Jl(ti + tj) ~ 0 pour tous ensembles finis de coefficients complexes a1, ... ,an et points t1, ... , tn E R

Exemple 1.5.2. soit (Z(t), t E IR) un processus stochastique de fonction de cova riance cov(Z(t), Z(s)) = \JJ(t + s) , \JJ(u) = (1 +u2)eu2/2, u E IR. Comme \JJ(u) est une fonc tion complexe exponentiellement convexe (4/ alors { Z ( t), t E IR} est un processus exponentiellement convexe

Théorème 1.5.3. Toute fonction continue positive a la représentation \Jl(t) = JJR e>-tdp.(>.) 1 t E lR pour uniquement une mesure positive de Radon p ..


Chapitre 2

MODELE PC-LS EN TEMPS CONTINU

Nous introduisons une nouvelle classe de processus non stationnaire qui est la combinaison de deux processus, l'un localement stationnaire et l'autre périodique ment corrélé. Ce type de processus est appelé processus multi-composants périodi quement corrélé localement stationnaire et est de la forme

X(t) = X18(t) + XP(t), t > 0 (2.1) où X19(.) est un processus multi-composants localement stationnaire et XP(.) est une suite de de processus périodiquement corrélés .

ous partitionnons la demi-droite des nombres réels positifs, espace des indexes du processus par des intervalles disjoints Bi = (si-I, si] avec sa = 0 et IB.il = Sj - Sj-l désigne la longueur de l'intervalle pour j=T, ... 1T , T E N. Aussi pour tout j, IBil = 1Bi+TI = ai.

2.1 Processus PC continu

Jous définissons M, comme une mesure aléatoire orthogonalement dispersée sur des sous-ensembles boréliens de B1 par Xf(t) = Mi(sj-I, l] pour t E B.i et Xf = J\rfi(Bj), j E N avec Xf(l) est un processus PC de période T de variable aléatoires centrées de second ordre à temps discret de période T.

Pour t E Bi, Xf(t) =d Xfr+i(kS + t), i= 1, ... , Tet k = 0, 1, 2, ... , dans lequel S = 'L'[:1 IBil et =d signifie l'égalité des distributions de dimension finie. Ainsi

XP(t) = L Xf (t)I 8)t), t > 0 j=l

st un processus PC en temps continu. Par la projection suivante, nous proposons une approximation linéaire de ce processus dit flux du trafic sur les sous-intervalle de chaque partition. Soit AC Bi, L~ = sp{Nfi(D)1 D c A} et soit Pi : L~i ~ L~ pour j E N une projection orthogonale définie par

(2.2)

(2.3)

23

CHAPITRE 2. 24

ayant la propriété suivante

Pjpj - pi A B - AnB (2.4)

Il s'agit de fournir une corrélation bilatérale adéquate de telles variables. Nous onsidérons donc la fonction de covariance de la mesure aléatoire Nlj sur les inter valles A1, A2, B C Bj avec IA11 = IA21 afin de vérifier corr(Nlj(A1), JVI1(B)) = corr(Mj(A2), Mj(B)). Ainsi, si Mj est le flux du trafic, alors sur chaque sous intervalle de B, avec une longueur fixée , elle a la même distribution multivariée avec d'autres mesures aléatoires que celle de tous les sous -intervalles de B, ayant la même longueur. Ainsi pour A C Bj et B C Bj, nous définissons la fonction de covariance de Mi de la façon suivante]! J :

2IAIIBI P (Nij(A), Mj(B)) = aj(IAI + IBI) '"'ljj

où (X, Y)= cov(X, Y)= IE(XY) , ijk = IE[X.f Xf] et IBjl = aj, j.k EN. La fonction de corrélation de cette mesure est :

(2.5)

corr(Nfi(A), M_1(B)) - 2/IAIIBI IAl+IBI

2

~+IBI IBI ÏAÎ + 2

On sait que pour x > 0, J(x) = x + ¾ ~ 2 et l'égalité s'obtient pour x = l. Donc la fonction de corrélation est égale à 1 quand IAI = IBI.

. . . ". - IAIIBI p Pout A c n, et B c Bk ,J =/. k, (Mj(A), Mk(B)) - --,jk· ajak

IBI . IAI i B = Bk, alors - = 1, donc pour j =/. k , (Nlj(A), Mk(Bk)) = -"/Jk·

~ ~ Dans ce cas , pour t,u E Bi et t ::; u, nous avons :

(2.6)

2.2 Processus multi-composants

Soit {Y/(t), l E B1 UB.7+1}.1=1 une classe dénombrable de processus stationnaires indépendants de moyenne nulle. En complément , nous supposons que pour tout j EN, Yj(sj_1) = 0, Bi = (sj-I, si] et Y/(t) = Nj(sj-I, t] pour t E Bj, avec Nj(A) est


CHAPITRE 2. MODELE PC-LS EN TEMPS CONTINU 25

une mesure aléatoire appelée tra.fic cumulé sur A c Bi. Nous considérons également Xj5 tel que

(2.7)

pour tout t E Bi, j= 2, ... ,T et Xf5(t) = U1(t)Y18(l) pour tout t E B1. Aussi Y0

8(l) _ 0 et Ui ( t) est un poids aléatoire de covariance exponentiellement convexe indépendant du processus Y/(t). Nous appelons Xj5(t) processus multi-composants localement stationnaire à cause de sa fonction de covariance qui est obtenue par la relation (2.9). La relation (2.7) est une association de deux processus stationnaires exponen tiellement convexes.Soit

00

rls(t) = L Xj5(t)I Bj (t), l > 0 j=l

(2.8)

où Xjs(.) est définie par la relation (2.7). Nous montrons dans le théorème (2.3.1) que Xj5(.) est un processus multi-composants LS de moyenne nulle indexé par les sous-ensembles des sous-intervalles de Bi. Ainsi X15(t) est un simple processus multi- omposants.

2.3 Fonction de covariance d'un processus PC-LS Le théorème suivant donne la structure de la fonction de covariance du modèle

proposé dans ce chapitre

Théorème 2.3.1. Soit {Bi}f=1 une partition de la droite des nombres réels positif' dé.finie dans la section 2. 2. La Jonction de covariance du processus mult-composants PC-LS X(l) = X18(l) + XP(l) où X15(l) et XP(t) sont indépendants et définis par (2.8) el (2.2) respectivement est: 'Y(t, u) = cov(X(t), X('u)) = "f18(t, u) + ,P(t, u) où

rn-l-I

,15(t, u) = cov(X15(t), x1

·5(u)) = L L 'Y:~n(t, u)In,Jt)J3,.(u) (2.9)

rn=ln=rn-1 où pour tout tE Bi, uE Bi et i i= j avec k = min {i,.i},'YfJ((u) = wk(t+u)'Yk(t-u)

et pour tout t .u E Bi, Wii(t, u) = Wi(t + u)'Yi(t - u) + '11i-1(t + u)'Yi-1(t - u)

dans lesquels Wm(t + u) = IE[Um(t)Um(u)] et \J!711(t - u) = JE[~~(t)Y/(u)].

Aussi par (2.6) , nous avons pour t E Bm et u E Bn :

si m = n

si mi= n

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26

Preuve:. Selon (2. 7) et le fait que Uj (.) et Y/ (.), j e:: N sont des processus indépendants, pour tout t,u E flm et t ~ u, nous avons : ,;~111 (t, u) = IE[X;:i ( t)X~~( u)]

=IE[(um-1(t)Yr11_1(t) + U111(t)Y~)(um-1(u)Y~_1(u) + um(u)Y~(u))]

=lE[um-1(t)Y~_1 (t)um-1(u)Y~_1 (u) + um-1(t)Y~_1 um(·u)~:i(u)] + JE[U111(t)Y~ (t)U111

-1 ( u)Ym-l ( u) + umY~(t)Um( u)Y~( u)],

=IE[um-1 (t)um.-i ( u)Y~_1 (t)~~-i ( u)] + IE[um.-i (t)Um( u)}~~-i Y!(u)] + IE[Um.(t)um-1(u)Y;1(t)~:J + IE[Um(t)Um(u)~~ (t)Y;i( u)],

= JE[um-1 ( t )um-1 ( u)]JE[Y;._ 1 (t) Y~_1 ( u)] + JE[Um( t )Um( u)]JE[Yr:i (t)Y;1 ( u)],

='1/Jm-1 ( l + U hm- 1 ( l - U) + 't/Jm ( t + U hm ( t - U)

Pour t E Bm et u E Bm+1

,m,m+l (t, u) = IE[X;;(t)X;~+l ( u)] = 'l/Jm(t + u)ïm(t - u).

Pour t E Bm et u E Brn-1,

1m,m-1(t,u) = IE[X~~(t)X~-1(u)] = 1Pm-1(t+uhm-1(t- u),

Pour les autres cas, le processus n'est pas corrélé,

Cette fonction de covariance confirme que X_~s(,) est processus multi-composants localement stationnaire au sens de Silverman. Aussi, 115(t, 'U,) = JE[xts(t)X15(u)] est .

:=1 IE[X;~( t)X15 ( u)]f 11m ( t),

En utilisant (2.2), la fonction de covariance de XP(.) pour tout t E Bm, u E Bn est ,P(t, u) = lE[Xfn(t)Xh] = ~~=l'~n(t, u)ls"'(t)IB,.(u) et d'après (2.6) nous avons:

/Iémoire de Master, présenté par ABOU 'N'Cho Isaac UFHB- UFR MI


Sl m = Il

si m -=!= n

D

2.4 Représentation spectrale des processus PC LS

Par la représentation intégrale des processus stationnaires et exponentiellement onvexes telles que mentionnées dans le chapitre des préliminaires, nous prouvons la représentation spectrale du processus x1s(t). En utilisant la projection orthogonal P{ définie en (2.3) et la représentation spectrale du processus PC à temps discret {X.f}J=1, la représentation spectrale du processus PC à temps continu XP(t) est obtenu. Finalement la représentation hannonisable du processus multi-composants PC-LS X(.) et sa mesure spectrale sont caractérisées.

Lemme 2.4.1. Soit {Xf}1=1 une suite de processus PC de période T, qui par la proposition {2.3) a la représentation spectrale Xf = J51r ei>-j/Tç(d>.,j) où ç(d\j) = Q(d>.)?1 et Pi est une suite périodique de période T. Alors Mj(Sj-1, t] = P(sj-i,LIXJ t E Bj peut être représentée comme X'j(t) = Nli(sj-l, t] = J;1T e!!tf Ç(d>., t) où Ç(d>., t) = Q(d>.)Pj,t et Pj,t. est une suite périodique correspondant à Nfi(sj-l, t] = Vip- i,t ou' P- - I'- · i,t = .1·

1 2at.ai+

J J e . · ( d)..) si j = k . a.(a1'· + au) 1

'1

Aussi ei,k(d>., d>., t, u) = ((j(d\ t), (k(d>., u)) = 1 u_1 .1 a-ak

-3-8j,k(d>.) si j-=!= k , ajak

et si À-=!= w, ei,k(d>., dw, t, u) = 0 avec ej,k(d>.) = (ç(d>., j),ç(d\ k)) avec aJ = t- Sj-l pour t E Bi, ai= IBil·

Preuve: En utilisant le résultat de la proposition (1.3.11) et les hypothèses du modèle, nous pouvons construire une nouvelle représentation de la mesure aléatoir Mi telle que 111.i(s.1-i, t] = ViPi,t où Vi est un opérateur et ?_7,t est une fonction périodique de période T pour t fixé dans Bi. Aussi par (2.3) , on a: Xf (t) = Nli(Sj-l, t] = Pfsj-i,tlXJ et par la représentation de XJ nous avons : XJ(t) = Jl1i /rQ(d>.)PfSj-1,l]Pj =Jt1i e~(m(d>., t) où (j(d>., t) = Q(d>.)Pj,Sj telle que Pj,s

1 = Pi est une mesure spectrale variant selon le temps. Nous utilisons la

structure des mesures aléatoires .Mi, j E N pour trouver la fonction de covariance

Iémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB - UFR MI

de ç1(d>.. t). Par la représentation ci-dessus,

OÙ 0m,n(d>., W1 t, u) = ((m(d>., t)) (n(dw, u)). D'autre part, comme NJ1 est orthogonalement dispersée sur des sous -ensembles de

2 t u a.a. 2 -

B1, par (2.5) et (2.6) nous avons (Mj(sj-I, t], Nfj(sk-1, u]) = ·( / 1 u\ fo 1r 81,1(d>.) a1 ai+ a1

.Pour >. #- w; 8j,k(d>., di», t, u) = O.

L u

d'où 8j k(d>., dÀ: t, u)) = a:iak 81 k(d>..). ' a1a1 '

D'où le résultat.

D

Afin de trouver la représentation spectrale de X(t). nous découvrons la représenta tion spectrale de Xj5(t) dans le lemme s~vant.

Lemme 2.4.2. La représentation spectrale du processus Xj5(t) = u1-1 Y/_1 + Ui)'f j E N définie par (2. 7) est

(2.10)

où èJ?1(d>.,t) = cp_1_,(d\l) + </J.1(d>.,t) pour laquelle </J1(d\t) = Ui(t)rJ:;(d>..) telle que T/j est une mesure aléatoire orthogonalement dispersée dans la représentation harmonisable du processus stationnaire Y/(.).

Aussi

Fj,k(d>., di», t, u) = (<'Pj(d>., t), <Pk(dw, t)) wi_1(t + u)Gi_1(d>.) + wi(t + u)Gi(d>.)

pour j == k , ).. = w w i -1 ( t + u) G j- i ( d)..) + w i ( t + u) G i ( d>.)

- , pour j = k , ).. = w wi(t + u)Gi(d>.) pour j = k - 1,).. = w Wj-1(t + u)Gj-1(d>.) pour j = k + L).. = w 0 pour IJ - k 1 > 1 et>. # w

Preuve: Par le résultat de (2.1) et la définition du processus , nous a vous : xjs(t) = u1-1 (t) J~oo ei>-td1Jj-1 (>.) + u1 f~oo ei,\tdrJi(>.) donc XJ5(.) est un mélange de deux processus avec des poids exponentiellement convexes. . Aussi xjs(t) = f~oo </>j-1 (d>., t) + f~oo if>1(d).., t), = I~oo ei>.t[4>j-l (d>., t) + </>j(d>., t)] où </>1(d>., t) = Ui (t)rJJ(d>.), d'où le résultat .

La fonction de corrélation de la mesure spectrale <'Pi ( d).., . ) est définie comme F1,k(d>., clw, t, u) = IE[_7(d>., t)k(dw, u)] =IE[(u1-1(t)1Jj-1(d>.) + UJ(t)1J1(d>.))(uk-1(u)1Jk-1(dw) + Uk(u)1J1.:(dw))], où Ui(t) a la représentation du théorème(l.5.3). Finalement par (2.7), l'indépendance des processus {Ui(.)} et {Y/(.)} et les hypo- thèses du Lemme , on a : .F1,k(d).., dw, t, u) = (<I?j(d>., t)> <I?1.:(dw, u))

=IE[(u1-1(t)1Jj-l(d>.) + Ui(t)1J1(d>.))(uk-1(u)''lk-1(dw) + u1.:(u)1J1.:(dw))L

= IE[Ui-1(t)1J1-1 (d)..)Uk-1(u)1Jk-1(dw) + uJ-1(t)1J1-1(d>.)Uk(u)1Jk(dw)] + IE[Ui ( 1,)r7.t( d).. )u1.:-i ( u)1J1.:-i ( dw) + Ui (t)rJi (d)..)Uk( u)1J1c( dw )],

= IE[U1-1(t)1J1_1(d)..)U1.:-1(u)1Jk-I(dw)] + E[u1-1(t)1Jj-i(d>.)Uk(u)1J1.:(dw)] + IE[Ui ( t)rJi ( d)..)Uk-l ( u)1J1.:-i ( dw )] + IE[U1 (t)rJJ( d)..)Uk ( u)171.:( dw )],

= E[U1-1(t)u1.:-1(u)]E[1Jj-i(d>.)rJ1.:-i(dw)] + IE[u1-1(t)U1.:(u)]E[77i-1(d,,\)771.:(dw)] + IE[U1 ( t) uk-1 ( u) ]E[77J( d>.)1Jk-l ( dw )] + E[U1 ( t) U1.:( u)]E[1J1 ( dÀ)rJk( dw )] .

1Iémoire de Master, présenté par ABOU N'Cho Isaac UFHB - UFR MI

1

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Si j = k+I , >. = w, Fi,k(d>., tù», t, u) = \lli_1(t + u)Gi-1·

Si IJ - kl > 1, À=/= w, Fj,k(d\ dw, t, u) = o. car Fj,k(d\ di», t, u) = 0 pour À=/= w, d'où le résultat.

D

Nous présentons enfin la représentation spectrale du processus multi-composants PC-LS dans le théorème suivant.

Théorème 2.4.3. La représentation spectrale du processus multi-composants PC LS X('l) = X15(t) + XP(t) avec XP(t) et X15(t) définis respectivement par (2.2) et (2.8) est

(2.11)

où la mesure spectrale variant selon le temps Zm (., t) est définie par

Zm(dÀ, t) = <Pm(dÀ, t) + éÀ(~-t) f[0,2r.)(dÀ)(m(dÀ, t) (2.12)

dans lequel <Pm(d>., t) est caractérisé par (2.10). Aussi (Zm(d>., t), Zn(dw, u)) = F111,n(d>., dw, t, u) + K0m,n(d>., di», t, u) où Fm,n(d>., dui, t, u) et 0m,n(d>., di», t, u) sont définies de la même manière que dans le Lemme (2.4-2) et Lemme (2.4- 1) respectivement et 1{ = e ,(Àn~wn> -i(>.t+wu) I10,21r) ( d>.) I10,2r.) ( dw).

Preuve: Par le lemme (2.4.2), X~(t) = J~00 ei>.tcpm(d>., t), t E Bm où <Pm(d>., t) a la propriété d'une mesure orthogonalement dispersée pour tout m EN. Pour trouver la représentation spectrale de XP(t) , nous avons : XP(t) = ~:=l xr,Jt)IBm(t) = ~:=1 Nlm(Sm-1, t]IB,,Jt) où Nim est la mesure aléa toire correspondant à la partition Bm· En utilisant le résultat des lemmes (2.4.2),(2.4.1) et la relation (2.2). nous obtenons

00 Joo ln27T iÀm X(t) = L ( ei>.t<Pm(d>., t) + e--r' f.m(d\ t))IBm (t) m=l -oo 0

00 /00 ln27ï L ( ei>.t<Pm(dÀ, t) + i>.tei>.(~-l)<;m(d>., t))JBm(t), m=l -= 0

- f (jVv ei>.t( <Pm( d>., t) + ei>.(!j-t l[o,21r) ( dÀ )çm( d>., t) )J B.,.. ( t). m=l -oo

En posant Zm = cI>m(d,\, t) + ei>.(~-t f[o,21r)(d>.)Çm(d,\, t), on obtient

Aussi en utilisant les lemmes 2.4.1 et 2.4.2 , on a : (Zm(d,\, t), Zn(dw, u))

= (m( d,\, t)+ei,\(m/T-t) I[o,21r) ( d,\), (m( d,\, t )n( dw, u)+eiw(n/T-u) I10,21r) ( dw )(n( di», u)),

= JE[ ( 111( d,\, t)+ei,\(m/T-t) I[o,21r) ( d>.)(m( d,\, t)) ( n( dw, t )+eiw(n/T-u) I[o,21r) ( dw )(n( dw, u))],

(m(d>., t)n(dw, u) + ei,\(m/T-t) I10,21r(d>.)Ç(dÀ, t)ciw(n/T-u) I10,21r(dw)(n(dw, u)]

= lE[cI>m(d,\, t)eI>11(dw, u)] + eiw(m/T-t) f[o,21r)çm(d>.)eiw(n/T-u) f[o,21r)(n(dw) X

lE[(m(d>.) t)(n(dw, u)L

= ( cI>111( d,\, t), ( dw, u))+ei,\m/T-i>.t+iw/T-iwu f[o,21r) ( d>.)I[o,21r) ( dw) ((m( d>., t), (n( dw, u)),

= (cI>m( d,\, t), cl> ( dw, u) )+ei(>.m+wn)/T-i(>.t+wu) f[o,21r) ( d>.)I[o,21r) ( dw) ((m( d>., t), (n(dw, u)),

= Fm,n(d,\, dw, t, u) + K0m,n(d>., dw, t, u),

avec Fm.,n( d>., di», t, u) = ( cI>m ( d>., t), cI>11 ( dw, u)), 0( d>., dw, t, u) = ( ( (m ( d>., t), (n( dw, ·u,))

et!(= ei(>.m+wn)/T-i(,\t+wu)f[o,21r)(d>.)I[o,21r)(dw).

D

CONCLUSION

Dans ce mémoire nous nous sommes intéressés à un type de processus non sta tionnaire appelé processus multi-composants périodiquement corrélé et localement stationnaire (PC-LS). Ce modèle de processus est un mélange de deux processus indépendants, l'un périodiquement corrélé XP(t) et l'autre localement stationnaire X15(t).Il se définit de la façon suivante: X(t) = X15(t) + XP(t). La connaissance de la fonction de covariance et de la représentation spectrale des processus multi-composants PC-LS nous permettent d'envisager les perspectives sui vantes:

1. Construire des tests pour vérifier la présence de la composante PC ou la com posante LS dans tout processus ;

2. Faire l'estimation spectrale et l'estimation de la covariance des processus multi composants PC-LS pour mieux les utiliser dans les domaines où ils peuvent aider à modéliser les phénomènes concrets.

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