UNIVERSITE FELIX HOUPHOUET BOIGNY A

UNIVERSITE FELIX HOUPHOUET BOIGNY UFR de Mathématiques et Informatiques

Laboratoire de Mécanique

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N° 269 Année académique 2013-2014

MEMOIRE DE MASTER Présenté à

l'UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT BOIGNY

Mention : Mécanique et Energétique

Spécialité : Fluides et Phénomènes Interactifs par:

KOFFI ADJOUA STANILLE

TITRE DU MEMOIRE :

ETUDE DE LA STABILITE D'ECOULEMENTS POLYPHASIQUES

STRATIFIES SOUMIS A UN GRADIENT THERMIQUE

Soutenu publiquement le 29 Décembre 2014

devant le jury

Président : Prof. DAN HO Emile, Professeur Titulaire, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

Directeur: Prof. DJUE N'Dri R., Maître de Conférences, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

Membres: Dr YANGA Kouassi K. Serge, Maître -Assistant, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

Dr COULIBALY Bakary, Maître -Assistant, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

~

UNIVERSITE FELIX HOUPHOUET BOIGNY UFR de Mathématiques et Informatiques

Laboratoire de Mécanique

N° 269 Année académique 2013-2014

MEMOIRE DE MASTER Présenté à

l'UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT BOIGNY

Mention : Mécanique et Energétique

Spécialité: Fluides et Phénomènes Interactifs

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~ ~ par:

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KOFFI ADJOUA STANILLE . 1 . ; ' TITRE DU MEMOIRE : ~

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ETUDE DE LA STABILITE D'ECOULEMENTS POLYPHASIQUES

STRATIFIES SOUMIS A UN GRADIENT THERMIQUE

Soutenu publiquement le 29 Décembre 2014

devant le jury

Président : Prof. DAN HO Emile, Professeur Titulaire, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

j Directeur : Prof. DJUE N'Dri R., Maître de Conférences, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

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Membres: Dr YANGA Kouassi K. Serge, Maître -Assistant, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

Dr COULIBAL Y Bakary, Maître - Assistant, Université Félix HOUPHOUËT BOIGNY d'Abidjan

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6

Mathématiques-Informatique Année Universitaire: 2013-2014

TABLE DES MATIERES

REMERCIEMENTS 1

LISTES DES TABLEAUX ET FIGURES 2

NO MEN CLAT.URE 3

J:N"TRODUCTION 5

CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA MECANIQUE DES FLUIDES ET

LES INSTABILITES HYDRODYNAMIQUES ?

1-1. APPROCHE PHENOMENOLOGIQUE DE LA NOTION DES

INSTABILITES 8

1-2. LES FLUIDES: DEFINITIONS, PROPRIETES, MODELISATION

MA TIIBMATIQUE 10

1-2.1. Définition 10

1-2.2. Propriétés 10

1-2.2.1. Propriétés communes aux liquides et aux gaz 10

1-2.2.2. Propriétés distinguant les liquides et les gaz .10

1-2.3. EQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MECANIQUE DES

FLUIDES 11

1-2.4. INSTABILITE DANS UN DOMAINE FLUIDE 12

1-2.4.1. Instabilités de fluides au repos 12

CHAPITRE II. MECANISME D'INSTABILTE DE KELVIN-

IIBLMHOL TZ 15

2-1. PRESENTATION DU MECANISME D'INSTABILITE DE KELVIN-

HELMffOLTZ 17

2-2. POSITION DU PROBLEME 17

2-3. MODELISATION DU PROBLEME 19

2-3.1. Ecoulement de base 20

2-3.2. Equations de perturbations 21

Koffi Adjoua Stanille

Mathématiques-Informatique Année Universitaire : 2013-2014

CHAPITRE IV. LE PROBLEME GLOBAL DE STABILITE

D'ECOULEMENTS STRA TJFIES CISAILLES ET SOUS

INFLUENCE D'UN GRADIENT

TJ-IERMIQUE 51

4-1. POSITION DU PROBLEME 1 52

4-2. MODELISATION DU PROBLEME 1 53

4-2.1. Ecoulements de base 54

4-2.2. Perturbations 54

4-3. RESOLUTION 55

4-4. ANALYSE DE STABILITE 55


4-6. MODELISATION 56


4-6.2. Perturbations et résolution 57

4-7. ANALYSE 59

CONCLUSION ET PERSPECTIVES 60

BIBLIOGRAPHIE 62

Koffi Adjoua Stanille iii

Mathématiques-Informatique Année Universitaire : 2013-2014

CHAPITRE IV. LE PROBLEME GLOBAL DE STABILITE

D'ECOULEMENTS STRATIFIES CISAILLES ET SOUS

INFLUENCE D'UN GRADIENT

TIIERMIQUE 51


4-2. MODELISATION DU PROBLEME l 53

4-2.1. Ecoulements de base 54

4-2.2. Perturbations 54

4-3. RESOLUTION 55

4-4. ANALYSE DE STABILITE 55


4-6. MODELISATION 56


4-6.2. Perturbations et résolution 57

4-7. ANALYSE 59

CONCLUSION ET PERSPECTIVES 60

BIBLIOGRAPHIE 62

Koffi Adjoua Stanille iii

Stabilité de Fluides Stratifiés et sous Influence d'un Gradient Thermique

Je tiens à remercier tout yarticuCièrement [e 'Professeur 'DJ11'.E N.

'.R., nwn encadreur, ainsi que toutes {es yersonnes du. Laboratoire

de :Mécanique avec à Ieur tête Ce 'Directeur de Laboratoire Ce

'Prof '.E. 'D.7LNJ-f0. I'exprime éqaiement ma gratitude à toutes {es

yersonnes qui de yrès ou de Coin ont œuvré your {a finaCisation

de ce mémoire. tMerci your vos aides et encouragements.

'ilne 'Pensée à ma f 'amilie et à mes amis.

Mémoire de Master 2 présenté au Laboratoire de Mécanique par Koffi Adjoua Stanille 1


LISTES DES TABLEAUX ET FIGURES

LES TABLEAUX

Tableau 1. Nombres Adimensionnels page4

Tableau 2. Bilan des paramètres de fluides pagel2

LES FIGURES

Figure 1. Différents états de stabilité de l'équilibre d'une bille sur un support

courbe page9

Figure 2. Impact d'une goutte sur une surface liquide (illustration de l'instabilité de

Rayleigh-Taylor) pagel3

Figure 3. Chapelet de gouttelettes issues d'un robinet (illustration de l'instabilité de

Rayleigh-Plateau) pagel4

Figure 4. Schématisation du mécanisme de Kelvin Helmholtz pagel8

Figure 5. Les différentes étapes de l'évolution du mécanisme de Kelvin-

Helmholtz page33

Figure 6. Cellules de Bénard page36

Figure 7. Fluides confinés entre deux parois infinies et soumis à un gradient de

température adverse page3 7

Figure 8. Schématisation du premier modèle: fluides soumis à un gradient de

température page52

Figure 9. Schématisation du second modèle : fluides soumis aux forçages

thermiques page56

Mémoire de Master 2 présenté au Laboratoire de Mécanique par Koffi Adjoua Stanille

2


NOMENCLATURE

T: Température, K

U: Vitesse, m. s-1

P : Pression, Pa

Cp : chaleur massique à pression constante,] kg-1 K-1

µ: Viscosité dynamique, kg. s-1. m-1

v: Viscosité cinématique, m2. s-1

À.: Conductivité thermique, wm-1 K-1

p: Densité (masse volumique), kg. m-3

y: Tension interfaciale, N. m-1 ou]. m-2

</> : Potentiel de vitesse, m2. s-1

Dr : Diffusivité thermique

a: Coefficient d'expansion thermique

/J : Gradient thermique

g : La gravité

( : Paramètre de l'interface

uk : Taux de croissance temporel

k: Nombre d'onde

c : La célérité

F : Force volumique


3


Définitions et Commentaires Nombre signification physique Ud Caractérise 1' apparition de Re=-

la turbulence. Reynolds V Inertie

= frottement visqueux effets de la V Mesure les Pr=-

viscosité cinématique sur Dr Prandtl ef Jets visqueux ceux de la diffusivité = e] Jets thermoconductifs thermique.

agf3d4 Caractérise le transfert Gr= v2 thermique dû au Grasbof gravité réduit déplacement naturel d'un - effets visqueux fluide.

agf3d4 Caractérise le seuil Ra= = Gr.Pr d'apparition de la

Rayleigh vDr convection dans une poussée d'Archimède cellule chauffée par le bas. -

forces visqueuses

Tableau 1 :_Nombres Adimensionnels


4


INTRODUCTION

Les grandes lignes des problèmes de stabilité hydrodynamique ont été

identifiées et formulées au 19iemesiècle notamment par Helmholtz, Kelvin, Rayleigh et

Reynolds. Depuis les travaux de Reynolds, on sait par exemple que la transition d'un

écoulement laminaire vers un écoulement turbulent est due au comportement instable

de certaines classes de perturbations caractérisées entre autres par leurs longueurs

d'ondes. Les problèmes d'instabilités se rencontrent couramment dans la vie de tous

les jours. Ainsi, lorsque l'on souffle sur son café le matin pour le refroidir un temps

soit peu, les vaguelettes qui apparaissent traduisent ce que l'on qualifie en mécanique

d'instabilité de Kelvin-Helmholtz. Pour la communauté scientifique, la notion

d'instabilité trouve son fondement et sa compréhension à travers l'expérience de

Reynolds. Cette expérience a porté sur la qualité de l'écoulement d'un fluide à travers

un tube dont on a le contrôle du diamètre. En réduisant progressivement le diamètre du

tube, Reynolds observe que l'écoulement passe d'un régime laminaire à un régime de

plus en plus turbulent et chaotique. Un nombre sans dimension dit nombre de

Reynolds, dépendant de la nature du fluide (viscosité), des caractéristiques du

mouvement (vitesse) et naturellement du diamètre du tube, en a été dégagé et

caractérise la transition du régime laminaire au régime turbulent. Ainsi, de façon

générale, toute instabilité caractérise un mécanisme de transition de régimes

d'écoulements ou même de changements d'état de la matière (processus de

congélation, sublimation ... ). Par ailleurs, tout comme le laissait entrevoir l'expérience

de Reynolds, tout mécanisme d'instab-ilité est caractérisé par un nombre ou paramètre

adimensionnel à l'instar du nombre de Reynolds. La variation de ce paramètre conduit

à des solutions de nature variée. Parmi ces solutions admissibles pour le modèle

mathématique, seules celles qui sont stables pourront être observables

physiquement. L'étude de la stabilité linéaire trouve aussi son importante dans le fait

que les écoulements linéairement instables peuvent conduire à des systèmes chaotiques

à travers des mécanismes aussi bien linéaires que non-linéaires.


s


Dans le présent mémoire, nous nous proposons d'étudier la stabilité de certaines

classes de solutions développées à partir de la modélisation d'un disposition physique

portant sur le comportement de fluides stratifiés cisaillés et soumis à un gradient

thermique. Ce dispositif sous-tend et s'appuie sur les mécanismes dits de Kelvin

Helmholtz et de Rayleigh-Bénard.

Le mémoire est de ce fait organisé comme suit :

Le premier chapitre est consacré aux généralités sur les instabilités et la

mécanique des fluides qui de façon spécifique constitue la discipline dans lequel se

développent les mécanismes d'instabilités que nous étudions ici particulièrement. Le

chapitre 11 est le lieu de l'étude des instabilités de Kelvin-Helmholtz observables dans

les écoulements polyphasiques stratifiés cisaillés. Le chapitre Ill aborde un autre

aspect des instabilités hydrodynamiques à savoir les instabilités de Rayleigh-Bernard

observables pour les fluides soumis à un gradient thermique. Au chapitre IV nous

présenterons un dispositif couplant les mécanismes de Kelvin-Helmholtz et de

Rayleigh-Bernard. Bien évidemment, une conclusion viendra clôturer nos propos sous

la forme d'un bilan d'étude et d'une perspective.


6


CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA MECANIQUE DES FLUIDES ET LES

INSTABILITES HYDRODYNAMIQUES


7


( CHAPITRE I: J GENERALITES SUR LES INSTABILITES

1-1. APPROCHE PHENOMENOLOGIQUE DE LA NOTION DES

lNSTABILITES

Les instabilités sont des phénomènes très courants que l'on rencontre dans des

domaines assez variés tels que la mécanique (l'hydrodynamique, l'aérodynamique ... ),

la chimie ou la physique. Elles sont le fondement de processus aussi variés et

complexes que la formation des nuages, la formation des vagues, la nucléation ou

formation des étoiles, la radioactivité etc ...

De manière générale, une instabilité est définie pour un équilibre donné. On parlera

d'équilibre lorsqu' un système est dans un état qui n'évolue pas au cours du temps

(état stationnaire). La stabilité d'un équilibre s'étudie en modifiant (de manière plus ou

moins forte) l'état du système initialement en équilibre. Si quel que soit la

perturbation, le système s'éloigne de l'équilibre, on parlera d'équilibre

inconditionnellement instable. Si au contraire, le système rejoint l'équilibre pour toutes

les perturbations, on parlera d'équilibre inconditionnellement stable.

Pour une approche compréhensive aisée, on a coutume d'illustrer la notion par

un certain nombre de configurations familières telle que celle présentée dans

l'exemple qui suit (Figure 1).

On considère une bille posée sur un support solide dont la forme est

respectivement l'une des trois formes sur le schéma ci-dessous. Le dispositif est

abandonné dans le champ de gravité habituel.


8


quilibre stable ·quilibre instabl ~quilibre métastabl

Figure! : différents états de stabilité de l'équilibre d'une bille sur un support courbe.

Pour la première forme ( en « u » ), la position au fond du « u » est un état

d'équilibre en ce sens que la bille, posée et abandonnée précisément en ce point, ne

bougera pas et y demeurera indéfiniment. Cette position d'équilibre a ceci de

particulier que, quel que soit 1 'endroit où la bille est .initialement placée ou encore en

écartant la bille de cette position, elle rejoindra forcement le fond du « u » : on parle

alors d'un équilibre stable (inconditionnellement).

Pour ce qui est de la deuxième situation (forme en« n »), Je sommet du support

est aussi un point d'équilibre. Cependant, si l'on pose la bille ailleurs qu'en ce point,

elle s'y éloignera. De même à partir de ce point d'équilibre, si l'on décale ne serait que

très légèrement la bille, elle s'en éloignera tout aussi bien : on parle dans ce cas-ci

d'équilibre instable (inconditionnellement).

Il existe aussi un cas intermédiaire représenté dans le troisième schéma et que

l'on qualifie d'équilibre métastable. La surface présente une forme ondulée offrant

plusieurs positions d'équilibres. Pour une bille se trouvant dans le creux, si la

perturbation qu'elle subit est faible, la bille retourne toujours (après oscillations) dans

cette position ou état. Par contre si la perturbation est suffisamment forte, elle s'en

éloigne et ouvre ainsi la voie à un comportement similaire à un état instable. Ceci dit

on peut donc voir] 'équilibre métastable comme étant un équilibre local.


9


Les situations illustrées par la Figure 1 pour fixer les idées sur la notion

d'instabilité, même si de prime abord semblent décrire le comportement d'un solide, il

n'en demeure pas moins qu'elles traduisent aussi le comportement des fluides car

rappelons-nous que tout n'est qu'une question d'échelle. Spécifiquement, les

instabilités trouvent dans le domaine de la mécanique des fluides un champ

d'application particulièrement élaboré.

Nous allons dans ce qui suit nous intéresser à un certain nombre de mécanismes

classiques d'instabilités qui se rencontrent en mécanique des fluides. Mais avant. il

nous paraît utile de rappeler les notions mathématiques essentielles qui fondent la

mécanique des fluides.

1-2. LES FLUIDES: DEFINITIONS, PROPRIETES, MODELISATION

MATHEMATIQUE

1-2.1. Définition

Un fluide est un milieu continu, formé de particules matérielles, très petites et

très nombreuses, libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. C'est aussi un

milieu déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Les diverses particules qui Je

composent peuvent se déplacer ou se déformer sous l'action d'une force très faible [4].

On distingue deux sortes de fluides : Les liquides et les gaz.

1-2.2. Propriétés

1-2.2.1. Propriétés communes aux liquides et aux gaz

L'isotropie: les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions de

l'espace.

La mobilité: les liquides et les gaz n'ont pas de forme propre et prennent celle

du récipient qui les contient.

La viscosité : tout mouvement d'un fluide s'accompagne à priori d'une force de

frottement sur les parois du récipient qui le contient.

1-2.2.2. Propriétés distinguant les liquides et les gaz


10


Les liquides sont incompressibles : les liquides sont peu dilatables, les masse

volumiques sont quasiment constantes.

Les gaz sont compressibles: la masse volumique d'un gaz dépend de la

température et de la pression. Les gaz peuvent se dilater. Toutefois, si la

température est constante et si la pression varie peu, on peut avec une bonne

approximation se positionner dans le cas des liquides (incompressibilité).

1-2.3. EQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MECANIQUE DES

FLUIDES

La formulation des équations fondamentales de la mécanique des fluides repose

globalement sur la considération d'un domaine fixe D et un champ F(!., t) continu ou discontinu. On considère également un vecteur normal unitaire n sortant de la frontière

en du domaine en question. On note :t fu F(x, t) aa la dérivée de l'intégrale par rapport au temps, l'opérateur !.... indiquant que le domaine est fixe.

ôt

Les principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de

l'énergie peuvent alors s'exprimer en considérant un domaine fixe quelconque. En

notant p la masse volumique, u le champ de vitesse, a le tenseur des contraintes, F la

densité massique des forces extérieures, e l'énergie interne massique, Tc le chauffage

volumique et q le flux de chaleur, les équations de la mécanique des fluides se

déduisent de la relation générique

Les paramètres F, A et PF sont suivant l'équation recherchée donnés par le tableau

qui suit:


11


F A Pp -

Bilan global de p 0 0 - masse

Bilan global de

quantité de pu Cf F - - mouvement

Bilan global p(e+½u2

) (-q + Cf .u) (rc+F.u) d'énergie

Tableau 2: Bilan des paramètres fluides

1-2.4. INSTABILITE DANS UN DOMAINE FLUIDE

1-2.4.1. Instabilités de fluides au repos

Plusieurs types d'instabilités proviennent des mécanismes se développant dans des

domaines fluides initialement au repos (vitesse nulle). L'étude de ces mécanismes

vise à apporter des réponses à la question essentielle que l'on peut formuler en ces

termes : comment divers phénomènes tels que capillaires ou thermiques peuvent-ils

initier une instabilité dans un fluide au repos?

La réponse à cette problématique ne saurait être entièrement abordée et traitée ici ;

toutefois. nous y apportons un éclaircissement aux travers de la présentation de

quelques instabilités fondatrices classiques. Nous reviendrons par la suite plus

longuement sur 1 'instabilité de Rayleigh-Bénard qui demeure un aspect majeur des

instabilités de fluides au repos et qui constitue un des mécanismes qui sous-tend la

stabilité de l'écoulement que nous étudions dans le chapitre 4.


12


Instabilité inter/ a ci ale de Rayleigh-Taylor

L'instabilité interfaciale de Rayleigh-Taylor se manifeste dans le cas d'une interface

fortement accélérée [1]. Ce phénomène se manifeste par exemple lors de l'impact

d'une goutte sur une couche liquide de faible épaisseur. Dans cette instabilité la

gravité joue un rôle mineur, et c'est l'accélération dans le repère de l'interface qu'il

faut prendre en compte. Si l'accélération relative est dirigée vers le fluide le moins

dense, l'interface est instable. Illustration figure suivante.

Figure 2 : impact d'une goutte sur une surface liquide (fllustration de l'instabilité de

Rayleigh-Taylor)

Instabilité capillaire de Rayleigh-Plateau

L'observation d'un robinet laissant échapper un mince filet d'eau, dévoile un chapelet

de gouttes consécutif à une instabilité capillaire. On montre qu'il est possible de

contrôler la fréquence des gouttes, et donc leur espacement et leur taille, en contrôlant

l'ouverture du robinet ou encore en excitant le filet liquide par des ondes acoustiques

envoyées par un haut-parleur placé à proximité.


13


r-.. f ,-. ~

[)' .: . _,,. . , • ' Q~~ - • -

Figure 3 : chapelet de gouttelettes issues d'un robinet (illustration de l'instabilité de

Rayleigh-Plateau).

Ecoulements polyphasiques stratifiés

Un écoulement polyphasique est un écoulement de fluides comportant plusieurs

phases. Et lorsque ses fluides sont à densité différente elles se stratifient, cet ensemble

produit un écoulement polyphasique stratifiés. Ce type d'écoulement est en général le

lieu de processus d'instabilités notamment ceux de Rayleigh-Taylor ou de Kelvin

Helmholtz. Nous nous proposons dans le chapitre qui suit d'en étudier longuement

aussi bien l'aspect phénoménologique que mathématique.


14

Stabilité de Fluides Stratlfiés et sous Influence d'un Gradient Thermique

CHAPITRE Il.

MECANISME D'INSTABIL TE DE KELVIN-HELMHOLTZ


15


CHAPITRE II : MECANISME D'INSTABILITE DE KELVIN-HELMHOLTZ

'

Les instabilités hydrodynamiques, dans lesquelles s'inscrit celle de Kelvin

Helmholtz. occupent une place de choix en mécanique des fluides. Les problèmes

essentiels de la stabilité hydrodynamique ont été identifiés et formulés au 19ième siècle,

notamment par Helmholtz, Kelvin, Rayleigh et Reynolds. Depuis Reynolds et Taylor

on conçoit aisément que, par exemple, ]a transition d'un écoulement Laminaire vers un

écoulement Turbulent vient de l'aspect instable de certaines classes de perturbations

soit infinitésimales, soit d'amplitude finie. Ce Prototype a été mis en évidence par les

travaux de Taylor sur l'instabilité de l'écoulement de Couette produit par la mise en

rotation différentielle de deux cylindres coaxiaux. Notons très clairement que la

théorie des instabilités hydrodynamiques fait partie du chantier technique mis à la

disposition du mécanicien des fluides pour étudier les transitions dans une grande

variété d'écoulements, soit en génie mécanique, en génie chimique, ou aérodynamique

et dans l'étude des phénomènes naturels (climatologie, météorologie, géophysique

interne). La théorie classique de ces instabilités porte généralement sur les

écoulements cisaillés quasi parallèles ou parallèles. Comme annoncé. nous nous

proposons étudier la stabilité d'écoulements cisaillés stratifiés soumis à un gradient

thermique. Ce type d'écoulement sous-tend d'une part les écoulements cisaillés

stratifiés et d'autre part le comportement de fluides (initialement au repos) soumis à

un gradient de température. Le premier volet de ce problème trouve sa source dans les

écoulements charriant les instabilités de types Kelvin-Helmholtz. Le deuxième volet

quant à lui illustre les instabilités de type Rayleigh-Bénard. Notre démarche sera donc

dans un premier temps de parcourir singulièrement les deux formes d'instabilités et

dans un second temps de voir dans quelle mesure elles concourent à la résolution de

notre problème complet.



2-1. PRESENTATION DU MECANISME D'INSTABfLITE DE KELVIN

HELMHOLTZ

L'instabilité de Kelvin-Helmholtz est caractéristique d'un mouvement ondulatoire

qui se forme lorsque deux fluides thenniquement stables sont superposés et se

déplacent à des vitesses différentes à leur surface de contact. Cet effet a été étudié au

XlXièm siècle par les physiciens Lord Kelvin et Von Helmholtz. La théorie peut aussi

bien être appliquée à un fluide de densité uniforme mais ayant des couches se

deplaçant à des vitesses différentes qu'à des fluides de densités différentes superposés.

Cette instabilité joue un rôle important dans de nombreuses situations géophysiques ;

les structures tourbillonnaires résultant contribuent de façon significative au transport

de quantité de mouvement, de température et de polluants.

Nous allons ici modéliser le phénomène physique des instabilités de Kelvin-Helmholtz

pour deux fluides non miscibles séparés par une interface. Nous nous plaçons dans un

cadre bidimensionnelle, avec des conditions aux limites périodiques.

2-2. POSITION DU PROBLEME

On considère deux fluides incompressibles non visqueux et non miscibles, superposés

en couche l'un sur l'autre et animés de vitesses différentes.

Dans l'écoulement de base stationnaire que l'on considère, les deux fluides de densité

respectives p1 et p2 , se déplacent aux vitesses constantes, horizontales et uniformes

u0 1 et u0 2. Les deux fluides sont séparés par une frontière matérielle ou interface initialement plane et horizontale (figure 4).


17


i

Fluide 1

P1

((x, t)

x

P1 =t Pz

Fluide 2

Pz

Figure 4 : schématisation du mécanisme de Kelvin-Helmholtz

On s'intéressera à la sensibilité de cet écoulement à de petites perturbations.


18


2-3. MODELISATION DU PROBLEME

On considère l'écoulement dans le plan (x, z). Les équations de Navier-Stockes

s'écrivent :

dp dt+ pdivU = 0

dU Pdt = -VP + µt,.U + F

Nous ne retenons ici que la force volumique d'origine gravitationnelle.

..• ..• F = -pgz

Les hypothèses d'incompressibilité et de la non viscosité conduisent dans le plan (~z)

à

au aw -+-=0 (1) ôx àz

au au au 1 aP -+u-+w-=--- (2) ôt: ôx az pax

aw aw aw l ap -+u-+w-= ----g (3) ôt: ôx ôz p ôz

Conditions aux limites

Soit z = ((x, t) l'équation de l'interface. A l'instant initial (non perturbé), on a ( = 0 . Nous prenons la position initiale horizontale de l'interface comme référence de l'axe

( oz). Au niveau de cette interface, plusieurs conditions doivent être respectées.


19


Condition cinématique

La vitesse verticale du fluide doit être localement égale à la vitesse verticale de

déplacement de l'interface des deux côtés, ce qui traduit bien l'aspect matériel de cette

interface. On a

Condition dynamique

Du fait de l'existence d'une tension au niveau de l'interface, la pression n'y est pas

continue et doit être corrigée de sorte à prendre en compte la tension de surface à

travers le coefficient y. On a

Loin de l'interface, les perturbations ne doivent pas être sensibles:

Lorsque z ~ +oo on a

P2 ~ -p2gz (7b)

Les équations (1), (2), (3) et les conditions aux limites ( 4), (5), (6), (7) ferment le

problème.

2-3.1. Ecoulement de base

Il s'agit ici d'identifier une solution du problème initial que nous allons par la suite

perturber pour en étudier la stabilité.

Supposons que les fluides glissent parfaitement l'un sur l'autre initialement en laissant

horizontale l'interface; c'est-à-dire que


20


En introduisant ceci dans notre système constitutif, les équations (1) (respective à

chacun des fluides) sont vérifiées. Par contre les équations (2) et (3) nous imposent

une distribution hydrostatique de la pression. Ce qui laisse donc la solution

u1B = u01 Ww = 0 P1B = Po - BP1Z (z > 0)

U28 = U02 W28 = 0 P28 = P0 + gp2z (z < 0)

Qui constitue notre écoulement de base. A la position ( = 0 on a bien

d( ' dt = w = 0 cad W18 = 0 ; W28 = O

P18 - P28 = 0 pour z = 0

Aussi pour z assez grand la pression de référence P0 peut être négligeable.

2-3.2. Equations de perturbations

2-3.2.1.F ormulati on potentielle

Plutôt que de perturber directement chacune des composantes de la solution

stationnaire proposée, une méthode consiste à procéder à une réécriture sous forme

potentielle du problème.

En effet, l'état de base étant irrotationnel et comme les fluides sont non visqueux alors

leurs évolutions ultérieures resteront aussi irrotationnelles. On a

-+-> -> rot U = 0

De sorte que nous définissons le potentiel ( de vitesse) </> tel que

au aw = o ==> az - ôx 3 <J>(x, z) \ d<J> = Udx + W dz

a<j> = u et ax

a<1> = w (8) az



Ainsi, nous posons

Û = grad<f>

En associant ceci à la condition d'incompressibilité, nous avons

(9)

Au total, notre écoulement est incompressible, irrotationnel, pesant et dont les forces

massiques volumiques extérieures dérivent aussi d'un potentiel (gravitationnel) :.. Le p

Théorème de Bernoulli dans le domaine conduit à:

a<1> u2 F P -+-+-+-= este àt: 2 p p

Où la constante este est une fonction dépendant au plus que du temps. On peut écrire

P(z) = p [e - !:. (Vq> )2 - acp - gz] (10) 2 at

Avec e une constante qui dépend du fluide.

La condition cinématique ( 4) sur l'interface devient:

o<f> a( o<f> a( -=-+- ôz ôt: àx àx (11)

Le problème se résume donc au système d'équations (9) et (10) avec les conditions

aux limites(S), (6), (7), (11).

2-3.2.2.Linéarisation des perturbations

La perturbation de l'écoulement s'effectue ici via la perturbation du potentielle

de vitesse. Cette perturbation du potentiel ( q>) est d'ordre infinitésimale. En effet la

superposition du potentiel associé à l'état de base (/>8 et une petite perturbation <p est

telle que

<I> = <l>s + <p (12)


22


En injectant (12) dans le système (9), (10) et dans les conditions (S), (6), (7), (11);

ceci pour chaque fluide, il vient:

fl</>2 = fl</>B2 + fl<p2 = 0 ~ fl<p2 = 0 (14)

Car

A la surface de contact des deux fluides en tenant compte de la tension superficielle

(10) et (5) conduisent à:

{ 1 ( 02 0 Ô<pz (Ô<pz)

2 (Ô<p2)

2) Ô<p2 }

P2 Cz - 2 U z + 2U 2 àx + àx + àz -Tt- g(

En effet. pour chacun des fluides, par exemple pour le fluide 1. on a:

cv 'Pi)2 = (aa:1 f + (aa:1 f


23


En fait dans les différents développements on néglige les termes non linéaires (ordre

supérieur à un) jugés très petits; c'est le principe de linéarisation des perturbations.

(11) devient au voisinage de z = 0

Les conditions (7 a) et (7 b) ramènent à:

lim Vcp1 = lim Vcp2 = 0 (18) z~-oo z~+oo

Le problème est donc la résolution des équations (13), (14), (15), (16), (17), (18)

qui constituent un système d'équations aux dérivées partielJes (EDP) linéaires.

2-4. RESOLUTION

2-4.1.Décomposition en modes orthogonaux

Le système d'équations aux dérivées partielles précédant étant à coefficients non

dépendant de x et t, il convient de découpler la dépendance en x et en t de celle en z.

On décompose <p et ( en une somme de modes dont chacun est définit comme suit:

Où k est le nombre d'onde et ak est la pulsation.

On introduit ceci dans les équations(13) et (14) à savoir

azcpz a2cpz axz + az2 = 0 pour le fluide 2


24


Nous avons de façon générique

De sorte que l'on obtient les relations

d2/i - vr. = 0 dz2

(20)

d2fz _ k2f2 = 0 dz2

(21)

Pour (15) , on a :

Ô<p ôx = ikf (z)eikx+akt

==>

Ce qui conduit à

(16) donne avec (17)

dft(O = (ak + ikU0 1)(k dz

dfi(O = (ak + ikU0 2)(k dz

(23)

(24)


25


2-4.2.Equation de dispersion

Le nouveau système à résoudre est formé par (20), (21), (22), (23), (24) et (18).

La résolution de (20) et (21) laisse au regard de la condition (18)

(23) et (24) permettent de fixer les constantes. On trouve respectivement

De sorte que

et (25)

(26)

(27)

Il reste à présent à exploiter(22). En y introduisant les expressions de f1((); [2(() et tenant compte du fait que e-k{ approche 1 lorsque ( est petit, on obtient:

P1{CU\)2 k2 - uui», ak - a"f. + gk}-yk3

= P2{-cu0 2)2 k2 + 2ikU0 2 ak + a"f. + gk}

<=>

ak 2[p1 + P2] + ak[2ik(p1U°i + P2U02)] - [gk(p1 - P2) + k2(p1(U01)2 + p2(U02)2) - yk3] = 0 (28)

Cette équation qui relie bien le taux de croissance ak et le nombre d'onde, est

appelée relation ou équation de dispersion.


26


2-4.3.Détermination des modes

L'équation (28) est sous la forme d'un polynôme de degré deux en Cfk ~ sa résolution

analytique ne pose donc pas de difficultés mathématiques majeures.

Soit o son discriminant associé. On a

D'où l'on tire en définitive

(29)

Notons que nous ne présageons pas ici (sous la forme (29)) le signe du terme sous le

radical. L'appréhension de la valeur exacte (réelle ou complexe) sera débattue selon la

spécificité des cas comme présenté dans ce qui suit.

2-5. ANALYSE ET INTERPRETATION DE STABILITE

L'analyse de stabilité nous permet de discuter de la stabilité de l'écoulement de

base vis à vis des petites perturbations qu'il est susceptible de rencontrer. Le principe

est simple et s'appuie sur la croissance dans le temps des formes présentées dans (19).

L'on perçoit donc assez rapidement le rôle primordial de Cfk donc de k à travers

l'équation de dispersion. Plus précisément, dans (29) il vient que la croissance des

quantités dépend essentiellement du signe de la partie réelles de ai:

2-5.1. Ondes de gravité

Intéressons-nous aux ondes de gravité. Les hypothèses sont dans ce cas particulier les

suivantes:

Les fluides sont immobiles (fluides au repos)

Uo - uo - 0 1 - 2 -


27


Le .fluide en dessous est beaucoup plus dense que le fluide au-dessus

P2 » P1·

(29) Laisse dans un premier temps

Qui par l'approximation

1

P1 + P2 1

P2

P1 - l et P1 - P2 = P2 ~ _ 1

P1 + P2 Pi+ 1 P2

Conduit à

+ '[-k3 .I_ - kg] . ...j Pz (30)

Il est évident que la quantité sous la racine est négative ( discriminant négatif), de sorte

qu'il convient de présenté le résultat sous la forme

(31)

ak étant un imaginaire pure, l'examen entre autres de l'expression é = çkeikx+ukt conduit à la conclusion que l'écoulement est stable (stabilité neutre). En d'autres

termes les perturbations initiales ne croissent pas mais restent bornées.

Ainsi la réponse de l'interface à la perturbation est l'émission d'une onde de célérité

ak/ . k, soit:

(32).

Les hypothèses choisies sont par exemple identifiables au cas d'une interface eau-air

soumise à une perturbation. On l'identifie en général et de façon classique à la surface


28


d'une étendue d'eau qui se trouve perturbée par la chute d'une feuille par exemple et

pour traduire la faiblesse des perturbations induites.

Dans (31) il apparait clairement que la feuille, en touchant la surface de l'eau,

provoque l'apparition de petites vagues qui se dispersent loin de la source à la

célérité c. Les vagues de grandes longueurs d'ondes (nombre d'onde petit) sont

essentiellement des ondes capillaires et dépendent essentiellement de la tension de

surface. En définitive nous retiendrons à ce niveau que le taux de croissance est

imaginaire pur, de sorte que les perturbations initiales ne croissent pas mais restent

bornées. Les perturbations ne s'amplifient pas et ne s'atténuent pas non plus, il s'agit

donc comme avancé plus haut d'une stabilité dite neutre.

Avant d'en arriver à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz proprement dite pour laquelle le

cisaillement est véritablement pris en compte, analysons encore une situation (de

fluides au repos) particulièrement remarquable que l'on qualifie d'instabilité de

Rayleigh-Taylor.

2-5.2. Instabilité de Rayleigh-Taylor

On considère toujours les conditions évoquées dans le cas des ondes de gravité.

Toutefois, nous supposerons ici que le fluide le plus lourd (dense) se trouve au-dessus.

Aussi nous excluons le cas de densité infiniment plus grande. Les grandeurs

physiques prisent en compte sont les deux masses volumiqueso, et pz, la tension

interfaciale y et la gravité. On introduit aussi le rapport relatif des masses volumiques

(paramètre adimensionnel)

P1 -pz r=---

P1 + Pz

Ce paramètre est bien entendu ici positif car nous supposons le fluide lourd au

dessus(U°i = U0z = 0 et P1 > pz).


29


Le taux de croissance s'écrit

+ '[-k3-y- + kgr] .._j Pi +oz (33)

Deux situations sont à dégager :

Dans la situation où la longueur d'onde de la perturbation est suffisamment petite (k

grand), alors <h peut être purement imaginaire ce qui rejoint le mécanisme d'ondes

capillaires précédent pour lequel l'écoulement est jugé d'une stabilité neutre.

Dans la situation où la longueur d'onde est grande à suffisance (k petit), les Œk sont

réels et il en existe au moins un de positif. Certaines perturbations s'en trouvent donc

amplifiées exponentiellement et qui conduisent à une situation d'instabilité. En fait,

l'écoulement de base ne pourra « encaisser » les perturbations de sorte qu'il ne saurait

persister dans Je temp .....

n définitive, l'écoulement étudié est stable vis à vis des petites perturbations de petite

longueur d'onde et instable vis-à-vis des perturbations de grande longueur d'onde. Il

existe ainsi certainement un seuil de longueur d'onde au-dessus duquel l'empilement

d'un fluide lourd sur un fluide léger est une configuration instable.

Nous en arrivons maintenant à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz qui est caractérisée

par l'existence du cisaillement.

2-5.3. Instabilité de Kelvin-Helmholtz

On revient maintenant à la situation où Je fluide Lourd est en dessous et prenons acte de

l'existence du cisaillement ( U\ - U0 2 = /J.U =I= 0 ; p2 > p1).

Le premier terme de Œk dans (29) est un imaginaire pur, ce qui suppose à priori une

propagation d'onde. Le second terme peut quant à lui être un réel positif ou négatif.


30


ou même un imaginaire pur (cas du discriminant négatif, qui se traduit par la négativité

du terme sous la racine). Quoiqu'il en soit, si nous voulons en savoir beaucoup plus, il

nous faut appréhender le signe de cette expression sous la racine.

li est évident que <Tk aura une partie réelle positive si et seulement si

Y Cuo uo )2 -k3 + k2 1 - 2 + k P1 - P2 > O P1 + P2 PiPz (P1 + P2)2 g P1 + P2

kz_Y __ k llU2 + P1-P2 < Q

P1 +oz PiPz (P1 +pz)2 g P1 +oz

En le déclinant en un polynôme de degré deux en k, il vient

, 2 llU4 P1 - P2 0 = CPiPz) (P1 + P2)2 - 4YB (P1 + P2)2

(34)

(35)

Deux situations se présentent selon le signe de ce nouveau discriminant :

Si o' < 0, alors <Tk est un imaginaire pur, et le système répond à la perturbation

par le biais d'ondes progressives: l'écoulement de base est stable quelle que soit la

longueur d'onde de la perturbation.

Si o' > 0, l'équation polynomiale associée à (34) admet deux racines réelles.

Il existe donc une plage de nombres d'ondes pour laquelle l'écoulement de base est

instable. Plus précisément, identifions les racines k1 et k2 qui sont

ki = P1P2 llU2 - .J P12Pz2 llU4 - 4gy(pz - P1)CP1 + pz)2 2y(p1 + P2)

et


31


Si l'ensemble des perturbations ont un nombre d'onde tel que k < k1 ou k2 < k, alors l'écoulement est stable.

S'il existe au moins une perturbation dont le nombre d'onde est tel que

k1 < k < k2, alors l'écoulement est instable.

Il ressort de l'étude que le cisaillement des deux fluides est naturellement

instable. On le constate entre autres en annulant la gravité et la tension superficielle.

Deux phénomènes stabilisants combattent cette tendance et se présentent comme des

mécanismes antagonistes de ce cisailJement. Il s'agit d'une part de la gravité qui

empêche le fluide lourd de monter, et d'autre part de la tension de surface qui empêche

l'interface de se déformer. Il va de soi que si ces deux effets cumulés sont suffisants,

ils peuvent stabiliser toute perturbation quelle que soit sa longueur d'onde; d'où la

situation de stabilité observée plus haut.

Aussi. il est évident que si le cisaillement est très grand et si la gravité et la

tension de surface sont très petites, alors il existe une plage de longueur d'onde sur

laquelle les deux effets stabilisants ne suffisent pas à contrer l'instabilité naturelle du

glissement, d'où l'écoulement instable observée. En fait, les perturbations de grandes

longueurs d'ondes sont stabilisées par l'effet de gravité, tandis que les perturbations de

petites longueurs d'ondes sont quant à elles stabilisées par l'effet de la tension de

surface.

Pour définitivement fixer les idées, nous présentons ici l'illustration classique

des étapes de l'évolution du mécanisme de cette instabilité.


32


---,-

Figure 5: Différentes étapes de l'évolution du mécanisme de Kelvin-Helmholtz

a) deux couches horizontales dans deux jets infinis parallèles horizontaux ( U1 * U2) b) une perturbation externe fait osciller l'interface entre les couches

c) le développement de l'amplitude due à la pression plus basse à la couche supérieur

d) l'amplitude développée s'incline vers la direction de l'écoulement

e) pleine étape de vortex

t) étape de l'effondrement et de la pleine turbulence

On perçoit ainsi clairement que ce mécanisme est à la base de la génération de

phénomènes tels que les vagues ou encore certaines configuration nuageuses [13].


33


CHAPITRE III. MECANISME D'INSTABILTE DE RAYLEIGH-BERNARD


34


CHAPITRE ID: MECANISME D'INSTABILITE DE RAYLEIGH-BERNARD

3-1. PRESENTATION DU MECANISME D'INSTABILITE DE RAYLEIGH

BERNARD

L'instabilité de Rayleigh-Bénard est l'instabilité qui génère des courants convectifs au

sein d'un fluide soumis à un gradient thermique [3]. Elle justifie par exemple les

courants convectifs observés au niveau de l'atmosphère et participe pour ainsi dire à la

formation des certains types de nuages. On l'observe aussi banalement à travers les

rouleaux convectifs qui apparaissent lorsque l'on chauffe par exemple de l'eau dans

une casserole. Le schéma ci-dessous illustre bien ce fait

Le fluide se refroidit à la surface

Leslcelluleslaltement le sens de circulation du fluide

Le fluide chaud et de faible densité monte Le fluide froid et dense redescend

Figure 6 : Cellules de Bénard

Au niveau expérimental, on considère en général deux plaques planes que l'on

maintient à des températures différentes. Les deux plaques sont séparées par une

distance d. On constate en général que le fluide est au repos un certain temps et

qu'ensuite s'amorce un mouvement sous la forme des rouleaux convectifs évoqués. ll

s'agit pour nous ici d'assoir dans un premier temps les équations décrivant un tel


35


écoulement et ensuite quantifier le processus qui mène à cette instabilité qui en est

bien une; car un régime d'écoulement (fluide au repos) succède à un autre en général

turbulent (rouleaux convectifs) voir chaotique.

3-2. POSITION DU PROBLEME

Comme avancé plus haut, nous considérons un fluide interposé entre deux plaques

parallèles horizontales, distantes d'une longueur d. Ces plaques sont maintenues à des

températures uniformes telles que T < T0 . Cette situation est représentée sur la

figure 7

z

d

lt

z

1

.. 1 1

-~

T0 T x T

Figure 7 : fluide confiné entre deux parois infinies et soumis à un gradient de température adverse.

(Chauffage par le bas)


36


3-3. MODELISATION

La modélisation du fluide entre les parois se fait par les équations de Boussinesq.

Ces équations sont adaptées à la modélisation d'écoulements dont la force de flottaison

est le moteur principal, mais dont la vitesse maximale est suffisamment faible pour que

l'écoulement soit quasi-incompressible ce qui convient à notre problème. On

considérera donc que le fluide est incompressible, mais qu'il subit une force de volume

proportionnelle à la gravité et aux variations de température.

La configuration du dispositif suggère une symétrie de propriétés pour les axes du plan

horizontal à savoir (ox) et (oy) de sorte que nous nous plaçons dans la situation de

problème bidimensionnel(x, z). Sous ces hypothèses, les équations de Navier-Stokes

s'écrivent

au aw -+-=0 ôx àz (36)

dU = _!_(P + gz) + v (a2u + a2u) dt ôx p àx? ô z? (37)

dW a (P ) (a2u a2u) -=-- -+gz +ag(T-T:)+v -+- dt ôz p O àx? àz? (38)

dT _ (a2r a2r) dt - DT 8x2 + 8z2 (39)

a représente le coefficient d'expansion thermique et DT la diffusivité thermique.

3-3.1. Détermination d'un écoulement de base


37


Il sera question de rechercher un écoulement, solution du problème. Cet écoulement

constituera notre l'écoulement de base que nous allons par la suite perturber pour en

étudier la stabilité.

Il est évident du fait des conditions initiales expérimentales évoquées précédemment,

d'envisager une situation de fluide au repos.

Prenons donc

Aussi, du fait qu'il s'agit du même fluide il est plausible d'admettre un profil linéaire

du champ de température. L'exploitation du diagramme de droite de la figure 7

suggère l'expression

b = T0 et T = ad + T0 T-To

a= d

d'où

C'est-à-dire:

avec f3 = To -T d

(41)

où f3 est le gradient initial de température ( en valeur absolue).

Ces trois profils ( deux composantes de la vitesse et la température) vérifient

immédiatement (36), (37) et (39) et imposent à travers (38) que

(42)

En effet, l'introduction des profils de vitesse et de température dans (38) laisse


38


a (P az p + gz) = ag(TB - To)

a (P) P (T-T0)z2 az P = ag(TB - T0) - g =} P = ag d 2- gz + este

P(z) = este - pg (z + apz22

)

Az=O p = Po

TI s'agit d'un profil parabolique pour le champ de pression. Au profile hydrostatique

classique induit par la gravité s'ajoute un terme de degré deux en z qui dépend pour

l'essentiel des effets du gradient thermique.

3-3.2. Perturbation

On superpose à l'écoulement de base identifié des perturbations infinitésimales. On a

U = U B + u' , W = WB + w' , T = TB + 0' , P = PB + p' ( 43)

3-3.3. Linéarisation des équations

On introduit dans le système ce champ de superposition et l'on néglige après calcul,

comme dans l'étude précédente, tous les produits de second ordre. On arrive aux

équations linéarisées suivantes:

a(UB + U1) a(WB + w') au' aw' ----+----=-+-=0

ax az ax az

d(UB + u') - _!_(PB+ p' ) (a2(UB + u') a2(UB + u')) =} d - a + gz + V a 2 + a 2 t X p X Z


39


aw' 1 àp' , (aiw' aiw') -=---+ag0 +v --+-- ôt: p ôz ôx? azi

d ( ai ai ) dt (Tg + 0') = Dr axi (Tg + 0') + azi (Tg + 0')

dTg d dT0 dz dt = d/To - {Jz) = dt - (3 dt

or dz dt = W = Wg + w' avec Wg = 0

Nous retenons finalement

au' aw' -+-=0 ax az

ôw' 1 ôp' (aiw' a2w') -=---+ag0'+v --+-- ôt: p az ôx? az2

a0' _ , _ (a20• a20') at {Jw - Dr ax2 + az2

dz ==>-= w' dt

(44)

(45)

(46)

(47)



3-3.4. Adimensionnalisation

En mécanique particulièrement, il est souvent utile pour une exploitation aisée des

résultats issus d'une étude de procéder à l'adimensionnalisation du problème. Il s'agit

en fait de défaire de leur dimension l'ensemble des variables de base (temps, espace,

pression ... ) en s'appuyant sur des grandeurs caractéristiques associées aux problèmes.

Le principe repose sur l'homogénéité dimensionnelle. Cela permet l'analyse de

similitude et facilite grandement 1 'élaboration des maquettes. Nous allons pour cette

étude ci nous imposer cette démarche.

};,, Présentons brièvement la méthode

De façon générale, quatre étapes sont à observer. Ce sont successivement:

Recenser les variables du problème (intuitivement, expérimentalement. .. )

Former une équation (modélisation)

Appliquer le principe d'homogénéité dimensionnelle

Effectuer quelques expériences pour fixer les coefficients constants éventuels.

Ceci rejoint globalement ce que 1 'on nomme Théorème n ou Théorème de Vaschy

Buckiugham [12].

Disposant déjà des équations à travers notre modélisation, il nous suffit donc ici

d'appLiquer directement (non sans discernement) le principe d'homogénéité

dimensionnelle.

Pour les variables d'espaces que sont x et z, on s'appuie sur l'écart d entre les deux

plaques. Cet écart constitue en un point donné une grandeur caractéristique du

problème. L'expérience montre en effet que la modulation de cet écart agit

grandement sur l'apparition des rouleaux convectifs, donc sur la stabilité. Nous

introduisons donc les nouvelles variables adimensionnelles d'espace (surmontées du

tilde)


41


X x- -d et z

z=d

Pour ce qui est du temps, nous avons le choix. Toutefois, nous basant sur le fait que ce

sont les effets thermiques qui soutiennent le phénomène, nous allons nous appuyer sur

l'équation d'énergie

ae' _ , _ (a20' a20') ôt: {Jw - Dr ô x? + àz?

En termes d'homogénéité dimensionnelle, on peut écrire

o« aze, 0' 0' xz = dz

0' 0' at = Dr ax2 ==>-=D - or ==> -=D - t r x2 t - r d2

1 Dr de sorte que -=- t d2

D'où nous retenons

Dr t = t d2

Pour les vitesses. nous avons

U=d t

donc 1 d

De sorte que nous retenons

d ,_ ü =u Dr

La même démarche laisse

d ,_ w =w Dr

Pour la température, on a de l'équation d'énergie


42


a0' at = Pw'

0' -;=Pw' ==> 0' = tpw'

d2 D 0' =- p ...2 ==>

DT d

D'où nous retenons

0' ë = Pd

au' 1 àp' ôt: pax

u' _ 1p' ---- t - p d

0' = dp

Pour la pression, on s'appuie sur l'équation du mouvement suivant x (par exemple).

Ona

u' ==> p' = pd- ==> t

D'où nous retenons

d2 '- p = p pDT2

Au total, nous aurons les nouvelles variables adimensionnelles

x z _ Dr d d _ 0' d2 i = d ; z = d ; t = t d2 ; u = u' D ; w = w' D ; 0 = Pd ; p = p' -D 2 ( 48)

T T p T

Il convient à présent de réécrire les équations linéarisées sous forme

adirnensionnelle, ce qui comme nous le disions tantôt pourrait dévoiler des grandeurs

adimmensionnelles classiques et qui facilitera toutes discussions ultérieure.

Ona:

a a ax -=-- ôx ax ôx



1 a d ô i

1 a2 --- d2i)x2

02 1 à2

az2 = d2 a22

a a at at = at at

Dr a d2 àt

Omettons pour la suite les tildes sur les variables et indiçons les dérivées partielles.

On arrive après calcul au système

(49)

(50)

(51)

(52)

On dégage ainsi deux grandeurs adimensionnelles fondamentales que sont le nombre

de Prandtl (Pr) et le nombre de Rayleigh (R8). Le nombre de Prandtl mesure les effets

de la viscosité cinématique sur ceux de la diffusivité thermique. Le nombre de

Rayleigh quant à lui caractérise le transfert de chaleur, c'est globalement un rapport

entre la poussée d'Archimède et les forces visqueuses. Il caractérise le mode de

transfert thermique au sein du fluide ( conduction ou convection). On peut également le


44


définir comme le produit du nombre de Grashof, reliant les effets de la force

gravitationnelle à la viscosité du fluide, et du nombre de Prandtl.

Quantitativement on a

V P..= r Dr

(53)

3-4. RESOLUTION

3-4.1. Réduction du problème

L'écoulement de base dont nous étudions la stabilité est un fluide au repos. La

déstabilisation se traduira donc par l'apparition d'un mouvement au sein du fluide. Ici,

et comme nous l'évoquions tantôt au regard des observations expérimentales, le

mouvement se caractérise par la survenue de rouleaux convectifs. Il convient donc

logiquement de suivre l'évolution du champ de vitesse vertical pour cerner le

processus de déstabilisation. Nous allons donc combiner les équations du problème de

sorte à tirer une équation dont la seule variable ne sera que la vitesse verticale W.

liminant la pression en prenant le rotationnel de l'équation de quantité de

mouvement ( (50)2 - (51)x . il vient

Dérivant cette dernière par rapport à x. il vient

L'équation de continuité ( 41) permet d'écrire

Utxz + Wtzz = 0 et Uxxxz + Wxxzz = 0 et Uzzzx + ~zzz = 0 (55b)

En introduisant ces formes dans ( 45). il vient


45


Cette équation permet d'exprimer 0 en fonction de W.

de ( 44)on a: et - (0xx + ezz) = W (SSd)

(SSe)

d'où

(SS/)

dans (SSc) donne

(SSh)

en divisant par Pr on a

Ce qui laisse finalement

(!_ - 11) (~ !_ - 11) /J.W = R W (56) ôt P. àt a XX r

Où /J. est l'opérateur Laplacien. Cette équation portant sur la seule variable vitesse est

donc celle que nous allons à présent suivre.

3-4.2. Décompositions en modes orthogonaux

Cherchons à priori la solution sous la forme

W(x,z, t) = w(z)eikx+ukt (47)


46


eci du faite du confinement en z.

L'introduction de (57) dans (56) conduit à

( a2

2) ( a2

2 ) ( a2

2 <h) 2 --k --k -a --k -- w(z) = -R k w(z) (58) az2 az2 k az2 Pr a

Il s'agit à l'évidence d'un problème aux valeurs propres qui donc intègre fortement les

conditions aux limites.

3-4.3. Conditions aux limites

Prenons

0(z = 0, z = 1) = 0, W(z = 0, z = 1) = 0, au+ aw (az ax")(z=O,z=l) = 0 (59)

La condition sur 0 est une condition de plaques thennostatées. On considère en fait

qu'au niveau des deux plaques la température ne change pas. La condition sur la

vitesse traduit simplement le caractère de frontière matérielle que représentent les

plaques pour le fluide (il n'y pas de pénétration du fluide dans les plaques). La

dernière condition traduit simplement le glissement.

L'exploitation de ces conditions au regard de (57) conduit à

en z = 0 et z = 1 (60)

3-4.4. Relation de dispersion

Les solutions de (58) qui respectent les conditions (59) sont de la forme

wj = sin(jrrz) pour j = 1,2, ... (61)

En introduisant la forme wj dans (58) on obtient la relation de dispersion


47


Qui laisse

3-5. ANALYSE DE STABILITE

Le terme sous le radical étant positif, on a que Cik est toujours réel. De l'expression

W = sin(jrrz)eikx+akt (64)

On perçoit aisément que l'explosion provient exclusivement du signe de Cik • En effet,

Si Cik est négatif (strictement) la perturbation est amorties (stabilité) et le régime

demeure conductif. Si Cik est positif la perturbation s'amplifie (explose) (instabilité)

le régime de conduction est déstabilisé pour laisser place à la convection (rouleaux

convectifs). Il est donc évident que Cik = 0 est porteuse d'un seuil critique de

stabilité.

Dans (62), en posant brutalement Cik = 0 on obtient

Le nombre de Prandtl n'intervient pas dans la définition du seuil de stabilité. Il est

exclusivement gouverné par Je nombre de Rayleigh.

La plus petite valeur de Ra correspond au cas j = 1, et dépend du nombre d'onde k.

Le seuil de stabilité correspond à la plus petite valeur de Ra1. Une rapide analyse de

fonction fondée sur les dérivées laisse

- 27 4 Rac - -rr (66) 4


48


TC avec kc = ..fi. (67)

En conclusion, l'on retient que la stabilité de l'écoulement de base est gouvernée par le

nombre de Rayleigh. Si celui-ci est inférieur à sa valeur critique Rac , alors le régime

conductif est stable. S'il est supérieur, la convection s'amorce. Lorsque l'instabilité

apparaît le fluide se met en mouvement. Le nombre de Rayleigh est donc bien

caractéristique du mode de transfert de chaleur. Dans le cas où on observe la stabilité

du régime « repos » le transfert de chaleur se fait par simple conduction. Toutefois,

quand le seuil de Rayleigh est dépassé, au régime de pure conduction se greffe un

régime de convection caractérisé par les mouvements ascensionnels.


49


CHAPITRE IV.

LE PROBLEME GLOBAL DE STABILITE D'ECOULEMENTS

STRATIFIES CISAILLES ET SOUS INFLUENCE D'UN GRADIENT

THERMIQUE


50


CHAPITRE IV PROBLEME GLOBAL DE STABILITE D'ECOULEMENTS STRATIFIES

CISAILLES SOUS INFLUENCE D'UN GRADIENT THERMIQUE

Nous portons ici notre attention sur la stabilité des écoulements à la fois stratifiés

cisaillés et aussi soumis à un gradient de température. Les deux chapitres précédents

ont permis l'étude de situations particulières issues de ce cas plus global. Ce problème

assez complexe ne saurait être attaqué frontalement. Nous allons donc dans ce qui suit

considérer deux approches fondées sur la prise en compte ou non du champ

gravitationnel.


Nous considérons deux fluides superposés confinés entre deux plaques thermostatées. Ces deux fluides superposés sont non miscibles et glissent l'un sur l'autre. Une interface «matérielle » fluide-fluide sépare donc les deux milieux. Les fluides sont aussi supposés incompressibles et non visqueux. Nous négligeons toute expansion due au flux thermique et nous nous plaçons dans un premier temps dans une situation où il n'existe aucun champ gravitationnel. Le problème est schématisé comme suit

z

((x, t)

/

îîîîîîîî Gradient de température


51


Figure 8:Schematisation modèle! : fluides soumis à un gradient de température

4-2. MODELISATION DU PROBLEME

Le modèle mathématique qui sous-tend ce problème est :

au aw -+-=O àx ôz

au + u au + w au = - !_ (p) ôt: ôx ôz ôx p

aw + u aw + w aw = - !_ (p) ôt: ôx ôz iïz p

ar ar (a2r) ax + w az = Dr az2

(l')

(2')

(3')

(4')

Bien entendu, ceci sera porté au n.iveau de chacun des fluides. Signalons aussi que nous avons ici considéré que les variations verticales (suivant z) de température sont prédominantes sur les variations horizontales (suivant x) de températures, ceci est tout à fait plausible du fait même du dispositif décrit.

).>- Conditions aux limites

L'interface est toujours décrite par z = ((x, t)

Nous prenons

d( dt= w

P1 = cste1, P2 = cste2

(S')

(6')

(7')

(8')

T = T0 en z = 0 , T = T1 en z = d (9')


52


4-2.1. Ecoulements de base

On vérifie aisément que l'écoulement suivant est solution du problème

uB1 = uf et WB1 = 0, PB1 = Po (z > 0) (10)

uB2 = uf et WB2 = 0, PB2 = P0 (z < 0) (11)

T8 = T0 - Bz où fJ = (T0 - T1)z (12) d

Nous considérons donc implicitement que les conductivités thermiques des deux fluides sont sensiblement voisins et admettons d suffisamment grand de sorte à passer outre le problème de confinement.

4-2.2. Perturbations

On superpose à l'écoulement de base un champ de perturbation et introduisons le champ complet dans le système et recherchons entre autres (linéarité et coefficients constants) du fait de l'hypothèse de non confinement les solutions sous la forme exponentielle.

U = Û ei(k(x+z)-wt)

{13') W = Wei(k(x+z)-wt)

p = faei(k(x+z)-wt)

ë = ôei(k(x+z)-wt)


53


4-3. RESOLUTION

En injectant ceci dans le système des perturbations, on obtient la forme matricielle

ik 0

-iw + ikll., -{J

0 ik/p ik/p 0

(14)

En fait ici, nous optons pour la méthode consistant à prendre en compte tous les champs de perturbations qui aboutit ainsi à une écriture matricielle dont la nullité du déterminant conduit à l'équation de dispersion.

Ona:

2k2

Det(A) = -(-w + Ubk)(w + iDrk2) (15) p

Ainsi, l'équation de dispersion est

D'où l'on tire les différentes pulsations

w0 = -iDrk2

(16)

(17)

4-4. ANALYSE DE ST ABTLIT

La première pulsation est un réel positif et la seconde un imaginaire pur. Ceci signifie que chaque fluide pris individuellement est stable. Le processus de déstabilisation


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éventuel sera donc issu des interactions mutuelles. visitons à présent le cas avec prise en compte du champ de gravité.


Nous allons à présent intégrer au problème la prise en compte d'un champ gravitationnel ainsi qu'une possible dilation des fluides sous l'action du champ thermique. Les fluides sont toujours considérés incompressibles et non visqueux. Le problème se schématise comme suit

i Tt,

/ - ((x, t) Fluide 1 , Ti /

s;:::_;7) x

Fluide 2, T2

= \ T1z

Figure 9 : Schématisation du second modèle :fluides soumis aux forçages thermiques

4-6. MODELISATION

};> Pour le Fluide 1

au aw -+-=0 ôx ôz (l')

au au au 1 êp -+u-+w-=--- ôt: ôx ôz Pi ôx

aw aw aw 1 ôp -+u-+w-= ---+ga1(Tr -T1)-g (18') ôt: ôx ôz Pi ôz 1

(2)


55


Les conditions aux limites imposables sont

d( -=w dt

(au + aw) _ _ = 0 ôz ôx (z-(,z-l)

4-6.1. Ecoulements de base

(4')

(6')

(19')

On admettra que la pression est continue à la traversée de l'interface entre les deux fluides et qu'un dispositif permet de maintenir l'interface matérielle à une température quasi constante. Cela suppose aussi que nous négligeons la tension superficielle (interface plane, ou peu courbée). Une solution au problème est

et

(21)

4-6.2. Perturbations et résolution

La perturbation et l'injection dans le système conduit à

ik 0

-iw + ikiu, -p

Qui laisse l'équation de dispersion

Soit ô1 le discriminant associé :

0 ik/p ik/p 0

0 )(û) (0) 0 w 0 -a19 p = O

-iw + Drk2 {j 0

(22')

(23')

(24')


56


Il vient

)"' Pour le Fluide 2

La même démarche indexée au fluide2 induit l'écoulement de base

Qui conduit à la relation de dispersion

2 . 2 1 -w - ik: Dr

2w -

2p2a2g = 0

•!• Si Pz > 0, alors ô2 < 0, les solutions de l'équation sont

(27')

(28')

(30')

(31')

Avec


57


(32')

(33')

(34')

4- 7. ANALYSE

Ainsi, les fluides considérés séparément présentent des situations de déstabilisation ;

les équations de dispersion conduisent à des pulsations présentant ou non des parties

réelles positives selon divers situations et pour chaque fluide. Une étude globale

intégrant véritablement les interactions mutuelles est nécessaire pour suivre la stabilité

du système global. En effet, il est possible que bien que les écoulements spécifique à

chaque fluide soit par exemple instable, que cette instabilité soit amortie par des

interactions mutuelles. Une combinaison préalable des différentes équations pourra

entre autre être effectuée pour ne laisser que le front z = ( et la composante verticale du fluide 2 pour seules variables du problème. Il est en effet plausible de penser que

partant d'un écoulement de base caractérisé par un transfert thermique purement

conductif et d'un glissement parfait des fluides l'un sur l'autre que le processus de

déstabilisation soit indexé sur ces variables précitées. Cette démarche pourrait


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permettre d'intégrer véritablement ces interactions notamment à travers le

comportement du front.

Mémoire de Master 2 présenté au Laboratoire de Mécanique par Koffi Adjoua Stanilfe

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CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Dans cette étude. il a été question des instabilités observées au niveau des écoulements

stratifiés cisaillés et sous influences thermiques. Nous avons procédé à une étude

graduelle notamment. nous avons identifié successivement le cas des écoulements

seulement cisaillés, ensuite ceux seulement soumis à un gradient thermique pour enfin

attaquer ceux combinant les deux aspects. L'étude du premier type nous a conduit aux

instabilités dites de Kelvin-Helmholtz. Nous avons à ce niveau montré comment le

cisaillement pouvait être source d'instabilité qui explique pour beaucoup les

phénomènes tels que la formation des vagues en mer ou encore certaine configurations

nuageuses. L'étude du problème de convection à partir de gradient thermique a ouvert

la voie à l'analyse des instabilités dites de Rayleigh-Bénard. Ce mécanisme

d'instabilité est à la base des problèmes de convection pour lesquels en général un

régime de transfert de chaleur en régime conductif est déstabilisé et laisse apparaitre

des rouleaux convectifs. La formation nuageuse et la convection atmosphérique en

général provient de ce mécanisme. Pour la combinaison des deux mécanismes. nous

avons adopté un certain nombre d'hypothèses nous permettant de saisir globalement la

texture du problème. Dans le cas dépourvu de champ gravitationnel. nous avons

observé que les fluides pris séparément étaient stables et que r éventuelle déstabilisation proviendrait des interactions mutuelles. Dans le cas avec présence du

champ gravitationnel, toutes les situations de stabilité sont observables pour chacun

des fluides.

L'objectif visé dans ce mémoire était principalement une incursion dans le domaine

des instabilités pour en saisir véritablement les subtilités mathématiques. leur:

applications ainsi qu'une pratique des mécanismes fondamentaux tels que les

instabilités de Kelvin-Helmholtz et de Rayleigh-Bénard. Nous pensons très

modestement cet objectif atteint mais gardons à l'esprit que cette présente étude mérite

d'être poursuivie pour prendre en compte véritablement les interactions mutuelles ainsi

que leurs impacts sur la stabilité du système global défini au chapitre 4; ceci révèlera


60


entre autres l'intérêt des conditions aux limites, notamment au niveau de l'interface

entre les différents fluides.


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