Université de Franche-Comté – UFR Sciences et Techniques

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TRANSFORMÉE EN ONDELETTES : APPLICATIONS AUX PROPRIÉTÉS DIÉLECTRIQUES ET MÉCANIQUES

DE NANOSTRUCTURES CARBONÉES

Rachel LANGLET12 novembre 2004

LPM - UMR 6624, Laboratoire de Mathématiques et Applications – UMR 6623

CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Motivations du travail de thèse

I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes

1.1 – Modèle d’interactions dipolaires

1.2 – Obtention des paramètres du modèle

1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes

II - Applications

2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées

2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz

2.3 – Déflexion de nanotubes

III - Transformée en ondelettes

3.1 – Introduction

3.2 – Principes de base

3.3 – Applications

Conclusion générale et perspectives

(n,0) « zig-zag » (ici un (9,0))

(n,m) « chiral » (ici un (10,5))

(n,n) « armchair » (ici un (5,5))

212 am.a n. Rπ. OA


C-CÅ,d

nmmn

m

nmmndR

cc

cc

dictance la 441 avec

2

3arcsin hélicité

32

1 rayon

22

22

SWNT – nanotubes mono-parois


MWNT – nanotubes multi-parois

Distance entre parois : d = 3,4 Å

Notation :

(n1,m1)@(n2,m2)@(n3,m3)

Nombreuses applications et potentialités des nanotubes

l’électronique grand public (écrans plats, transistors…)

la nano-mécanique (nano-balances, nano-pinces…)

les capteurs (détection de traces de molécules dangereuses, de protéines…)

le renforcement de fibres

la médecine (muscles artificiels…)…

Modélisation d’un capteur à base de nanotubes (grande sensibilité des nanotubes sous adsorption de molécules)

Réponse électromécanique des nanotubes (NEMS)

Nanotubes = petits rayons et longueurs souvent importantesDifficulté de prendre en compte la structure atomique

Modèle d’interactions dipolaires ( NT SC)

Application de la transformée en ondelettes dans nos calculs

Modélisations mésoscopiques et/ou multi-échelles


(2)

TR (ri ,rj) C(rj)

(2)

TR (rj ,ri) C(ri)

Id33

Id33

Id33

Id33

Eloc(r1)

Eloc(ri)

Eloc(rN)

E0(r1)

E0(ri)

E0(rN)

=•

Dipôles ponctuels en interactions :(Silberstein - Applequist)

Propagateur électrostatique du vide :


1.1 – Modèle d’interactions dipolaires

P

mol

E0

C

(ri)

N

i1

Eloc

(ri)

Champ local : i = 1,..,N

(2)

TR (ri ,rj)

Eloc

(ri)

E0

N

ji

C

(rj)

Eloc

(rj)

(2)

TR (ri ,rj)

E

(ri)

p

(rj)

Paramètre a

x

z

y

Base du nanotube

C

C

C

Base locale

C00

0C0

00C

C ( ri ) = Rt R

B [Eloc] [E0]

Renormalisation

a (Å)

pola

risa

bili

té (

Å3 )

''

1

4

11),( 3

0

2

32/3)2(

'

'

rdrr

errTj

rr

rr

jiR j

i

�

aa



a (Å)

pola

risa

bili

té (

Å3 )Renormalisation

a = 1,2 Å

''

1

4

11),( 3

0

2

32/3)2(

'

'

rdrr

errTj

rr

rr

jiR j

i

�

aa



a (Å)

pola

risa

bili

té (

Å3 )

Nanotube (17,0) de 16,8 Å de long

C60

Propagateur non renormalisé

Renormalisation

''

1

4

11),( 3

0

2

32/3)2(

'

'

rdrr

errTj

rr

rr

jiR j

i

�

aa

a = 1,2 Å



a (Å)

pola

risa

bili

té (

Å3 )

Nanotube (17,0) de 16,8 Å de long

C60

Propagateur renormalisé

Renormalisation

a = 1,2 Å

''

1

4

11),( 3

0

2

32/3)2(

'

'

rdrr

errTj

rr

rr

jiR j

i

�

aa



C

C

polarisabilités expérimentales du C60 et du C70

C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)

C70 102 ± 14 Å3 (2)



(1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999

(2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001

C

C

C

C

C

(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3



C

C

C




C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)

C70 102 ± 14 Å3 (2)

C

C

(2) C// / C = 3,5 ± 0,7

(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3



C

C

C




C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)

C70 102 ± 14 Å3 (2)

C

C

(2) C// / C = 3,5 ± 0,7

(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3

(1) et (2)



C

C

C




C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)

C70 102 ± 14 Å3 (2)

Permet de retrouver les polarisabilités transverses théoriques de Benedict et al. pour les tubes semi-conducteurs (TB + RPA)

C 2,47 Å3 et C 0,86 Å3

C

C

C

C

C

(2) C// / C = 3,5 ± 0,7

(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3

(1) et (2)






C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)

C70 102 ± 14 Å3 (2)

55 C60 55 C70

Agrégats cfc de 55 C60 C60 = 82,32 ± 0,06 Å3 (exp : 79 – 83 Å3)

55 C70 C70 = 98 ± 7 Å3 (exp : 97 – 103,5 Å3)

Valeurs cohérentes avec les résultats sur les couches minces

C70 / C60 = 1,19 assez proche des valeurs expérimentales (1,23 – 1,25)



SWNT - Tubes de longueur finie

Effet de la proximité des bords des tubes pour les plus petits tubes



(Å²)L

L (Å)

(Å²)L

L (Å)




(Å²)L

L (Å)

(Å²)L

L (Å)

E0




(Å²)L

L (Å)

(Å²)L

L (Å)

E0 E0




(Å²)L

L (Å)

(Å²)L

L (Å)


E0 E0



(Å²)L

L (Å)

(Å²)L

L (Å)

SWNT - Tubes infinis traités avec des conditions aux limites périodiques

Dépendances en R et R² déjà obtenues par Benedict et al. (PRB 52, 1995)

Perspectives : optimiser les calculs pour avoir (R,L) et (R,L)

___ = 50,13 R + 10,81 (Å2) L

___ = 0,40 R2 + 7,95 (Å2) L

(Å²)L

R (Å)

(Å²)L

R² (Å²)



MWNT - Tubes infinis traités avec des conditions aux limites périodiques

N

i1

MWNTSWN

T(i)MWNT

SWNT(N

)

MWNTInteractions dipolaires

SWNT SWNT externe

/L [Å2] /L [Å2] /L [Å2] /L [Å2]

(10,0)@(19,0)@(28,0)@(36,0)@(45,0)

2790 144 2806(45,0) 129

(36,0)@(45,0) 1632 142 1636

(10,0)@(19,0)@(28,0)@(36,0) 1886 96 1898(36,0) 89

(28,0)@(36,0) 1287 96 1295

(10,0)@(19,0)@(28,0) 1143 57 1170(28,0) 58

(19,0)@(28,0) 954 61 957

(10,0)@(19,0) 601 31 603 (19,0) 30

Polarisabilités axiales additives

L’écrantage des parois internes accentue l’anisotropie des tubes

Réponse très forte à un champ électrique extérieur

Polarisabilités transverses faibles



Bilan et perspectives

Modèle stable après élimination des divergences (renormalisation)

Lois phénoménologiques pour NT (SC) en fonction de leur géométrie

( L) polymères linéaires conjugués, pour L petit

Additivité de la polarisabilité axiale pour les MWNTs

/ exalté

Applications concrètes du modèle

II - Applications

• Modélisation d’un capteur de gaz à base de nanotubes de carbone

• Modélisation de la déflexion de nanotubes sous champ électrique

Capteur expérimental de l’équipe de Rao (Clemson University) (S. Chopra et al. APL 83, 2003)

II - Applications

0 V 20 V

(P. Poncharal et al. Science 283, 1999)

Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable

à l’échelle nanométrique

1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V

1

rNT — Tr [rNT]

3

II - Applications


nanotube cylindre creux : SWNT V = 2RLd avec d = 3,4 Å (distance inter-feuillets du graphite)MWNT V = 2RLd avec R rayon moyen, N nombre de parois

Résolution du système :

Champ local Eloc

Dipôle global P C(ri) Eloc(ri)

N

i1

1

Champ macroscopique E — Eloc(ri)

N

N

i1



1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V

1

rNT — Tr [rNT]

3

II - Applications


E0 suivant trois directions principales :

P E


Champ local Eloc


N

i1



1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V

1

rNT — Tr [rNT]

3

II - Applications


1


N

N

i1


E0x

Px(1) Py(1) Pz(1)

P

Ex(1) Ey(1) Ez(1)

E


Champ local Eloc


N

i1



1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V

1

rNT — Tr [rNT]

3

II - Applications


1


N

N

i1


Px(2) Py(2) Pz(2)

E0y

Ex(2) Ey(2) Ez(2)


Champ local Eloc


N

i1



1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V

1

rNT — Tr [rNT]

3

Px(1) Py(1) Pz(1)

P

Ex(1) Ey(1) Ez(1)

E 1


N

N

i1

II - Applications


E0 suivant trois directions principales :Résolution du système :

Champ local Eloc


N

i1 Px(1)

Py(1) Pz(1)

Px(2) Py(2) Pz(2)

Px(3) Py(3) Pz(3)

E0z

P

Ex(1) Ey(1) Ez(1)

Ex(2) Ey(2) Ez(2)

Ex(3) Ey(3) Ez(3)

E



1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V

1

rNT — Tr [rNT]

3

II - Applications


1


N

N

i1

rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))

• Nanotube (17,0) :

Valeurs cohérentes avec la bibliographie

II - Applications


(1) Modestov et al. Surf. Sci 417, 1998

(2) Ergun et al. Verlag Chemie, Winchheim, 1968

(3) Li et al. Nano Lett. 3, 2003

4,39

4,39

2,18

4,39

3,81

3,81

R (Å)

r NT

R rNT

rgr

Pour R donné, L rNT Cste

II - Applications


rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))


graphite 3,65

R (Å)

r

(2C C )/3 1,93 Å3

II - Applications


rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))


R (Å)

graphite

C C

II - Applications


rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))


r

(2C C )/3 1,93 Å3

R (Å)

graphite C C

C C

anneau d’atomes

II - Applications


rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))


C C

r

(2C C )/3 1,93 Å3

R (Å)

graphite C C

C C

anneau d’atomes

nanotube infini

C C

C C

II - Applications


rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))


C C

r

(2C C )/3 1,93 Å3

R (Å)

graphite C C

C C

anneau d’atomes

nanotube infini

C C

C C

II - Applications


dépend de l’anisotropie de

rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))

• graphite ABAB :

4,39 0 0

rgr 0 4,39 0

0 0 2,18

3,81 0 0

rNT 0 3,81 0

0 0 4,39

rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))


C C

C

r

(2C C )/3 1,93 Å3

Modélisation d’un nanotube avec Nd molécules adsorbées avec , (1)

Hypothèse : – admolécules fixes pas de polarisabilités orientationnelles– faibles taux de recouvrement Volume V cste

P 1 -1

P’Polarisation — = 0(rNT-molId) —— Bii’ E0 —

V NNd V

N+Nd

i,i’

II - Applications


(ri)

(ri)

Bi,i’ superposition des (N+Nd)2 matrices A33 avec Aii = Id33 et Aij

indépendant du dipôle permanent des admolécules

(2)

TR (ri ,rj)

(rj)

(2)

TR (ri ,rj)

Eloc

(ri)

E0

N+Nd

ji

(rj)

Eloc

(rj)

(2)

TR (ri ,rj)Nd

ji

(rj)

i = 1,..,N+Nd

(1) M. Arab et al. PRB 69, 2004, R. Langlet et al. JCP 121, 2004

1 1 — L

Effets de bords pour les plus grosses molécules : la portée de l’interaction dipolaire dépasse la taille du tube

Pentes dépendantes de la polarisabilité de l’admolécule

II - Applications


C3H7Br 12,3 Å3

NH3 2,26 Å3

O2 1,57 Å3

He 0,2 Å3

1/L (Å-1)

1,000

1,005

1,010

1,015

1,020

0,00 0,05 0,10

rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport = nanotube (17,0), R = 6,748 Å

molxx + molyy

t = —————

2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 5 10 15

polarisabilité de l'adsorbat (Å³)

L(1) (en Å)

ZX

Y

abscisse : t

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

t 1 — L

E0

E0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 5 10 15

polarisabilité de l'adsorbat (Å³)

L(1) (en Å)

abscisse : t

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

t 1 — L

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 —— — f(R) L

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 —— — f(R) L

P ——

E V

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 —— — f(R) L

P ——

E V

E varie avec R

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 —— — f(R) L

P ——

E V

V = 2RLdE varie avec R

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 —— — f(R) L

1 — dS r3

P ——

E V

V = 2RLdE varie avec R

NT

1 — dS r3

P ——

E V

V = 2RLd

NT

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport =

E varie avec R

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 —— — f(R) L

1 1 – ——– L R(R+2h)

II - Applications


Calcul analytique simple confirmant les résultats obtenus

rNT-mol

——

rNT

Étude du rapport = hauteurs moyennes d’adsorption des admolécules 3,1 – 3,2 Å

f(R) = 0,591R(R+23,23)1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 0 10 20 30 40 50

R (Å)

(en Å²)

tf(R) = –––––

L(1) 1 t 1 ——— — R(R+2h) L

1 — dS r3

P ——

E V

V = 2RLd

NT

1 1 – ——– L R(R+2h)

E varie avec R

{1 nanotube + 1 admolécule }

rNT-mol 1 1 1 —— 1 + —— — ——— trNT 0,591 L R(R+2h)

additivité assez-bien vérifiée pour plusieurs

admolécules

Effets coopératifs faibles

II - Applications


tt1 + t2 + t3 …

Capteur expérimental de l’équipe de Rao (Clemson University)

1 f0 —— rNT

adsorption f0 f

f0 rNT-mol— —— f rNT

II - Applications


Résultats obtenus par Rao et al. sous 1500 ppm

1,012

1,010

1,008

1,006

1,004

1,002

1,000 HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar

II - Applications


f02

—

f 2

Capteur modèle : Nanotube mono-paroi fini

1,012

1,010

1,008

1,006

1,004

1,002

1,000

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

(17,0) + 1 admolécule

27,36 Å

HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar

1,012

1,010

1,008

1,006

1,004

1,002

1,000

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

(17,0) infini + 1 admolécule/période (25,9 Å)

période = 25,9 Å

Capteur modèle : Nanotube mono-paroi périodique


1,012

1,010

1,008

1,006

1,004

1,002

1,000

II - Applications


rNT-mol

——

rNT

Bi-parois (9,0)@(17,0) + 1 admolécule

27,36 Å

Capteur modèle : Nanotube bi-paroi fini


Bilan et perspectives

Loi phénoménologique de sensibilité d’un capteur (vérifiée analytiquement)

grande sensibilité pour les petits tubes mono-parois

Insensibilité aux dipôles permanents

Effet additif sur 1 pour plusieurs admolécules

Bon accord de nos résultats avec les résultats expérimentaux et théoriques

Meilleur accord en considérant les taux de recouvrement par une loi de

type Langmuir

Accroître la sélectivité du capteur

Désorption programmée en température pour différencier les admolécules

par leurs énergies d’adsorption

Passer à un modèle continu avec les données issues du modèle atomistique, afin de

pouvoir traiter des systèmes plus complexes (surface, fagots de tubes…)

Nanotube mono-paroi ouvert fixé à une extrémité

Potentiel de Brenner entre atomes

Champ extérieur statique et uniforme

OPTIMISATION (M.J.D. Powell)

E0

E0

P

P

II - Applications


Moment de flexion qui tend à aligner P avec E

Énergie totale F EB EP

Potentiel de Brenner

Énergie de polarisation

E0

P

Nanotube Poutre cylindrique creuse continue

R2 - R1 = 0,66 Å ~ épaisseur des orbitales Pz

Hypothèses : - contrainte répartie linéairement suivant l’axe de la poutre - faibles déflexions

II - Applications


2 ( ) Ex Ez z (x) — ——————— (3Lx² x³)

3 Y (R24 R1

4) L Équation de la ligne neutre

II - Applications


Nanotube (5,0) de 100 atomes (L = 21 Å)

5

4

3

2

1

0

| z (x

) | (

Å)

x (Å)0 5 10 15 20

E0x 0,54 V.Å-1

E0z 0,054 à 0,54 V.Å-1

// 361 Å³

┴ 83 Å³

Déflexion sous champ électrique

II - Applications



5

4

3

2

1

0

| z (x

) | (

Å)

x (Å)0 5 10 15 20

E0x 0,54 V.Å-1

E0z 0,054 à 0,54 V.Å-1

// 361 Å³

┴ 83 Å³

Module d’Young moyen : Y = 1,8 TPa

Déflexion sous champ électrique

II - Applications



5

4

3

2

1

0

| z (x

) | (

Å)

x (Å)0 5 10 15 20

E0x 0,54 V.Å-1

E0z 0,054 à 0,54 V.Å-1

// 361 Å³

┴ 83 Å³

Module d’Young moyen : Y = 1,8 TPa

Déflexion sous champ électrique Déflexion mécanique circulaire

4 EB

Y—————— d (R2(d/2)2)

2,62 Å²/atome

d 0,66 Å

(n,m) L [Å] [Å]EB1

[eV]EB2 [eV] Y

[TPa]

(5,5) 11,2 400 -690,17 -690,08 4,60

(5,5) 11,2 1000 -690,17 -690,15 4,60

(5,5) 23,4 400-

1418,69

-1418,50

4,77

(5,5) 23,4 1000-

1418,69

-1418,66

4,78

(10,10)

23,4 1000-

2862,98

-2862,7 4,93

(10,10)

72,8 500-

8745,24

-8742,3 4,86

Module d’Young moyen : Y 4,8 TPa

(Z. Xin et al PRB 62, 2000)

Bilan et perspectivesBilan et perspectives

Première approche de la déflexion de tubes sous champ électrique

Lissage possible des résultats par un modèle continu

Permet d’accéder aux données mécaniques (module d’Young…)

Résultats corrects dans le cas de la déflexion purement mécanique

Complexifier le modèle continu

Contrainte non linéaire suivant la ligne neutre

Accélérer le modèle atomistique en passant à un modèle multi-échelles

Localement : modèle atomistique

Globalement : modèle continu utilisant les lois de variations obtenues

Extension à des tubes de tailles plus réalistes, nano-balances…



Algorithmes en N³ algorithmes en ~N og (N)



Transformée en ondelettes rapide (FWT)

convolution avec une

gaussienne

discrétisation +

f(t)eitdt

Transformée de Fourier continue

f() = ^

Transformée de Fourier fenêtrée

+

f(t) g(t-t0)eitdtf(t0,) = ^

+

Transformée en ondelettes continue

da,b = f(t) dt~ 1

___

a

tb

___

a

^ +

Transformée en ondelettes discrète

dj,k = 2j/2 f(t) (2jtk) dt ~^

FT

WT

Transformée de Fourier rapide (FFT)

(a,b) = 1 k

__ , __

2j 2j

discrétisation



La transformée en ondelettes mesure la similitude entre le signal et l’ondelette pour ses

différentes dilatations ( résolution) et translations ( localisation temporelle)

Vj+1 Vj Wj

échantillonnage de départ

Approximation Détails

Dans le cas diadique

Vj Fonctions d’échelles jk(x)2j/2 (2jxk)}kZ approximation

Wj Ondelettes jk(x)2j/2 (2jxk)}kZ détails

Vj Wj {0}

Bases bi-orthogonales ~ ~jZ Vj Wj et Vj Wj

1

—

2

1

—

2 +=

0 1

1

00 1Ex : Haar

ANALYSES MULTI-RÉSOLUTIONS

{0} … Vj Vj+1 … L²


3.2 – Principes de base

^ ^ ^f(t) cj+1,k (2j+1tk) cj,k (2jtk) + dj,k (2jtk)

k

VjVj+1 Wj

f(t) échantillonnage comportant 2 points

détailsapproximation

k

j,k(t) = hk’ j+1,2k+k’(t)k

k

j,k(t) = gk’ j+1,2k+k’(t)

Relations de la double échelle : relient les ondelettes et les fonctions d’échelle entre deux niveaux de résolution successifs

Espace direct :

Idem pour l’espace dual…

—— ~h

^

cj+1,2k+

^

cj,k

—— ~g

^

cj+1,2k+

^dj,k

^dj,

^

cj,

^

cj+1,k

hk2+ gk2

Relations de reconstruction :Relations de décomposition :

k

détailsapproximation

signal

ondelette

d = 0,0041

Niveau de résolution J+1

Translations

signal

ondelette

d = 0,0041


d = 0,7195

Translations

signal

ondelette

d = 0,0041


d = 0,7195 d = 0,5001

Translations

signal

ondelette

d = 0,0041


d = 0,7195 d = 0,5001

signal

ondelette

d = 0,0003

Niveau de résolution J

Dilatations Translations

signal

ondelette


signal

ondelette

d = 0,8287

d = 0,0041 d = 0,7195 d = 0,5001

d = 0,0003



signal

ondelette


signal

ondelette

d = 0,7463d = 0,8287

d = 0,0041 d = 0,7195 d = 0,5001

d = 0,0003





matrice caractérisant les interactions dipolaires

(2)

TR (ri ,rj) C(rj)

(2)

TR (rj ,ri) C(ri)

Id33

Id33

Id33

Id33

Eloc(r1)

Eloc(ri)

Eloc(rN)

E0(r1)

E0(ri)

E0(rN)

=•



matrice caractérisant les interactions dipolaires => partition (Y. Li)

WT(colonnes)

WT(lignes)



matrice caractérisant les interactions dipolaires => partition (Y. Li)

Transformée en ondelettes d’interpolation de la matrice 1er niveau (spline d’ordre 4) Niveau maximal (spline d’ordre 4)

WT(colonnes)

WT(lignes)



Faible erreur sur méthode

Inefficacité de la décomposition sur un seul niveau

Précision conservée pour la décomposition complète même à 70 – 80 % de compression

Bilan et perspectivesBilan et perspectives

Transformée en ondelettes efficace avec une décomposition sur plusieurs niveaux

précision meilleure que 3% sur jusqu’à 70 - 80 % de compression

Algorithme de résolution linéaire en Nog(N) au lieu de N 3

Exprimer directement les opérateurs (propagateur électrostatique) dans une base d’ondelettes (T. A. Arias - DFT )

Seuillage : seuls les coefficients de la matrice > seuil sont calculés

d’où libération de la mémoire vive

Restriction : varier la précision de la représentation en ondelettes en

fonction des besoins

Extension à des modélisations plus réalistes par gain de mémoire et de temps

Conclusion générale

Modèle d’interactions dipolaires renormalisé

Passer à un modèle de polarisabilités dynamiques

voir hyperpolarisabilités… (L. Jensen, thèse de doctorat, 2004)

Résultats vérifiés par l’expérience (capteur, Rao et al.) loi de sensibilité

Passer à un modèle continu utilisant les résultats du code

Étudier des géométries plus complexes (fagots de tubes, « spaghettis »)

Transformée en ondelettes : outil performant pour réduire la taille mémoire

nécessaire et accélérer les calculs (70 - 80% de compression)

Exprimer directement les opérateurs (propagateur électrostatique) dans

une base d’ondelettes adaptée à la géométrie du problème

LPM - UMR 6624, Laboratoire de Mathématiques et Applications – UMR 6623

REMERCIEMENTSREMERCIEMENTS

Cl. Girardet, D. HoffmannJ.-M. Vigoureux

M. Devel et M. MeyerPh. Lambin, P. Senet et J.-P. Salvetat

F. Picaud, M. Arab pour leur collaborationV. Pouthier, S. Picaud et Ch. Ramseyer pour leurs

réponses à mes questionsToute l’équipe du LPM pour son accueil

Toute l’équipe du LPS de Namur pour leur accueil

Le Conseil Régional pour son soutien financier…et enfin tous les membres de l’AFFDU ainsi que Cl.

Filiatre

Université de Franche-Comté – UFR Sciences et Techniques

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