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TP AUTOMATIQUE Parcours S.I. L3 EEA - L3 IE – L3 EIA

UNIVERSITE DE CAEN

TRAVAUX PRATIQUES AUTOMATIQUE.

Liste des travaux pratiques :

1 : Utilisation d'un logiciel de calcul matriciel et de simulation en automatique.

2 : Utilisation d'un logiciel graphique de simulation de systèmes physiques

SIMULINK / MATLAB.

3 : Identification des systèmes.

4 : Boucle ouverte VS Boucle fermée.

5 : Etude de la stabilité d'une boucle fermée.

6 : Correction PI, PD, PID.

7 & 8 : Asservissement d'un système thermique.

NOM : GROUPE :

TP AUTOMATIQUE L3 EEA – L3 IE – L3 EIA TP N°1

2

Utilisation d'un logiciel de calcul matriciel et de simulation en automatique :

MATLAB 6.5

Matlab® est un logiciel de calcul scientifique général. Comme d'autres produits (Scilab, MatrixX),

c'est un logiciel de calcul NUMERIQUE. Il propose notamment la résolution numérique d'un grand

nombre de problèmes mathématiques classiques, du plus grand intérêt pour les ingénieurs et les

chercheurs. Bien plus qu'une super calculatrice, Matlab® permet de développer de façon rapide des

programmes de calcul scientifique pouvant présenter des interfaces homme-machine très conviviale

avec des possibilités graphiques intéressantes. Il n'est donc pas dédié à un domaine ou application

technique particulière. Parmi ses utilisations, on peut citer:

• Mathématique et calcul numérique

• Développement d'algorithmes

• Modélisation, simulation et prototypage de systèmes

• Analyse des données, exploration et visualisation

• Graphisme scientifique et engineering

• Développement d'applications notamment interface graphique.

Matlab® présente un ensemble de fonctions générales, fournies dans sa version de base. A cela

s'ajoute un certain nombre de groupes de fonctions spécialisées appelées boîtes à outils :

"TOOLBOX".Ces boîtes à outils permettent de traiter de problèmes particuliers des sciences de

l'ingénieur:

• Simulink pour la simulation des systèmes

• Control System toolbox pour la modélisation, l'analyse et la commande "classique" des

systèmes dynamiques linéaires stationnaires

• Mu analysis and synthesis toolbox pour modélisation, l'analyse et la commande

"avancée" des systèmes dynamiques linéaires stationnaires

• Identification toolbox pour l'identification des systèmes dynamiques linéaires

stationnaires

• etc.…


3

Par exemple, les boîtes à outils "Control System toolbox" et "Mu analysis and synthesis toolbox"

traitent de la conception de lois de commande. La puissance de Matlab est d'offrir tous les éléments

nécessaires à la construction rapide d'un programme de CAO par ses utilisateurs. De ce point de

vue, c'est un logiciel très ouvert. Sa limitation est de ne pas en offrir un "tout fait" pour un

utilisateur peu expert qui voudrait résoudre un problème de CAO simple sans avoir à faire de

développements.

Dans le contexte de l'Automatique, MATLAB (MATrix LABoratory) offre un environnement de

simulation et de prototypage. Le langage technique puissant est à la fois concis et descriptif,

permettant de modéliser des systèmes complexes avec des petites parties de code facile à

comprendre. La vaste bibliothèque de fonctions, disponibles comme faisant partie du noyau

MATLAB ou par l'intermédiaire de Boîtes à Outils orientées objet, permettent de construire

rapidement des simulations et des modèles pour un grand nombre de types d'applications. Les outils

de modélisation vont des solveurs d'équations différentielles dans MATLAB aux fonctions

spécialisées des Boîtes à Outils pour les statistiques et l'apprentissage et la modélisation de réseaux

de neurones. Des fonctions intégrées d'animation et des graphiques rapides à charger permettent de

visualiser le comportement d'un modèle pour de l'analyse, des tests, du déboguage, des présentations

de résultats.

Matlab est un langage interprété, dérivé du langage C, avec lequel il est possible de modifier un

programme pour en voir immédiatement les effets, sans avoir à recompiler comme en C. Comme la

plupart des algorithmes mathématiques avancés et de bas niveau sont déjà développés pour vous, le

code nécessaire pour construire un modèle dans MATLAB est beaucoup plus court que le code C ou

C++ correspondant. Ceci rend le code MATLAB facile à écrire et à faire évoluer au cours du temps.

Deux types de fonctions sont présentes sous Matlab: celles qui sont compilées (écrites en langage C)

et celles écrites dans le langage MATLAB qui peuvent être reprises, modifiées par l'utilisateur (d'où

une grande flexibilité). MATLAB étant programmée en langage C : il peut utiliser des routines en C

ou être appelé à partir d'un programme de langage C.

Là où MATLAB offre un environnement de programmation familier, Simulink et Stateflow

fournissent un environnement de conception graphique pour modéliser et simuler des systèmes

complexes de contrôle, de Traitement du Signal et des systèmes contrôlés par la logique. Bâtis à

partir de MATLAB, ces produits peuvent appeler n'importe quelle fonction MATLAB y compris

des routines écrites par l'utilisateur, permettant de combiner le meilleur des 2 approches. Même les

fonctions des Boîtes à Outils peuvent être imbriquées dans des schémas blocs Simulink. Le nombre

de fonctions disponibles dans les différentes bibliothèques étant très grand, nous nous limiterons ici

à une description sommaire des TP.


4

ACCES A MATLAB

Matlab est, ici, une application Windows. En cliquant deux fois sur l'icône Matlab, s'ouvre alors la

fenêtre principale. Cette fenêtre est divisée en plusieurs parties comme le montre la figure ci-

dessous :

AIDE SUR MATLAB

Il y a deux types d’aide sur Matlab 6.5. La première correspond à une aide générale très intéressante

mais qui est assez lente pour obtenir un renseignement sur une simple fonction. La deuxième est

une aide en ligne qui est très précieuse si l’on veut éviter de consulter en permanence l’aide

générale. Matlab est structuré en sous-répertoires de fonctions élémentaires. La liste des répertoires

est obtenue en tapant help.

Fenêtre de travail :

Workspace

Répertoire de travail

ou

Historique des commandes

Aide

ou

Détails des variables du

workspace


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matlab\datafun

Data analysis and Fourier transform functions.

matlab\elmat

- Elementary matrices and matrix manipulation.

matlab\elfun- Elementary math functions. matlab\general- General purpose commands.

matlab\funfun

-Function functions - nonlinear numerical methods.

matlab\color

- Color control and lighting model functions.

matlab\graphics- General purpose graphics functions. matlab\iofun- Low-level file I/O functions.

matlab\lang

- Language constructs and debugging.

matlab\matfun

- Matrix functions - numerical linear algebra.

matlab\ops

- Operators and special characters.

matlab\demos

- The MATLAB Expo and other demonstrations.

matlab\plotxy- Two dimensional graphics. matlab\polyfun- Polynomial and interpolation functions.

matlab\sparfun- Sparse matrix functions. matlab\specfun- Specialized math functions.

matlab\specmat- Specialized matrices. matlab\strfun- Character string functions.

matlab\plotxyz- Three dimensional graphics. matlab\sounds- Sound processing functions.

matlab\dde- DDE Toolbox.

Pour obtenir le contenu d'un répertoire, il suffit de taper help <nom_répertoire> : help elmat

Pour obtenir des renseignements sur une fonction particulière, par exemple zeros qui est contenue

dans le bloc elmat, il suffit de taper :

» help zeros

ZEROS All zeros.

ZEROS(N) is an N-by-N matrix of zeros.

ZEROS(M,N) or ZEROS([M,N]) is an M-by-N matrix of zeros.

ZEROS(SIZE(A)) is the same size as A and all zeros.

L’instruction « lookfor zeros » permet d’obtenir la liste d’instruction qui on un rapport avec la

fonction zeros.

I. UTILISATION ELEMENTAIRE

Dans une première approche, on peut utiliser les fonctions de Matlab de manière séquentielle pour

résoudre un problème.

Exemple : zeros(5,2) créera une matrice de 5 lignes et deux colonnes remplies de zéros. Les

éléments de cette matrice sont logés dans une variable provisoire appelée ans (answer), mais cette

variable sera de nouveau utilisée par la fonction suivante.


6

Un résultat presque identique est obtenu en utilisant : yz=zeros(5,2) mais dans ce cas, le résultat est

logé dans une variable dont le nom est yz et qui est maintenue en mémoire par Matlab jusqu'à ce

que:

• Matlab soit fermé.

• Ce nom de variable soit utilisé pour stocker une autre valeur.

• La variable soit effacée par l'instruction clear yz (utiliser help).

La liste des variables en mémoire est obtenue par les commandes who (simple) ou whos (détaillée).

Résolution d'un système d'équations linéaires.

Cherchons à résoudre le système : 3x 2 y 1

x y 5

+ =− + =

Sous la forme matricielle :

=

⋅

− 5

1

y

x

11

23 A X = B

La solution de ce problème est obtenue en calculant 1X A B−= .

Résolution directe :

1. Saisir la matrice A en écrivant A=[3 2 ;-1 1]; Les crochets délimitent la matrice, les éléments

sont entrés ligne par ligne, chaque ligne étant séparée par un ";" . Le ";" après le "]" permet de

supprimer l'affichage du résultat à l'écran.

2. De la même manière, saisir la matrice B et calculer la solution du problème en utilisant

l'instruction inv (help inv). Chercher la même solution en utilisant l'une des divisions '/' ou '\'

(help slash). Quelle est la différence entre les deux ?

Résolution graphique :

Pour prendre contact avec les représentations graphiques de Matlab, nous allons chercher la solution

du système en visualisant l'intersection des deux droites : y 1.5 x 0.5

y x 5

= − ⋅ + = +

Connaissant déjà la solution, nous choisissons un domaine de variation de x = [-3, 3].

Saisir " x=[-3:0.2:3];". On crée ainsi un vecteur tel que :

• Son premier élément est -3.

• Les éléments suivants sont obtenus par incrémentation de 0.2.

• Le dernier élément est le dernier nombre obtenu ≤ 3.

En utilisant l’aide et la fonction linspace, recréer la variable x.


7

Calculer pour chaque équation respectivement les vecteurs y1 et y2. Avec la fonction plot,

représenter les deux courbes sur le même graphique. Utiliser les possibilités d'annotation graphique

pour personnaliser votre graphe (title , grid ,...).

Rechercher les coordonnées du point d'intersection avec :

1. ginput.

2. En changeant les échelles du graphe : axis.

3. En utilisant le zoom graphique.

II. UTILISATION LIEE A L'AUTOMATIQUE

Matlab utilise pour les systèmes LTI (Linéaire et Invariant dans le Temps) une représentation objet.

Cette représentation est commune pour tous les types de représentation (fonction de transfert, état,

zéros-pôles-gain,...). Ici, nous ne verrons que la représentation par fonction de transfert.

1. Saisie des fonctions de transfert

La fonction de transfert ( )1 2

p 2G p

3p 6p 1

+=+ +

sera mise en mémoire grâce à l’instruction :

sys1 = tf([1 2],[3 6 1]);

Le premier vecteur contient les coefficients du numérateur dans l’ordre des puissances décroissantes

de p. Le deuxième contient les coefficients du dénominateur dans l’ordre des puissances

décroissantes de p.

L’objet système sys1 est une structure comme le montre la réponse du logiciel à l’instruction

"get(sys1).

>>get(sys1) num: {[0 1 2]} den: {[3 6 1]} Variable: 's' Ts: 0 ioDelay: 0 InputDelay: 0 OutputDelay: 0 InputName: {''} OutputName: {''} InputGroup: {0x2 cell} OutputGroup: {0x2 cell} Notes: {} UserData: []

Les différents champs fournissent tous les renseignements utiles pour caractériser le système en

question.


8

Le paramètre Ts = 0 précise qu‘il s’agit d’un système continu, le champ ioDelay renseigne sur la

valeur d’un retard pur éventuel. Pour obtenir la valeur du retard de l’objet sys, il faut saisir :

"sys1.ioDelay" (analogie avec les structures du langage C).

A noter que les champs num et den correspondent à des cellules (cell en langage Matlab), aussi

pour obtenir la valeur du dénominateur de sys, il faut taper : "sys1.den{1}". Ce qui correspond à

demander la valeur de la ‘1’ cellule du champ ‘den’ de la structure ‘sys’. On peut obtenir le vecteur

contenant les éléments du dénominateur en utilisant l’opération de vectorisation : "sys1.den{:}". Il

est possible de récupérer le numérateur et le dénominateur d’une fonction de transfert à l’aide de la

fonction "tfdata".

2. affichage des fonctions de transfert

La manière d’obtenir les caractéristiques d’un objet système est tout simplement de taper son nom

dans le workspace :

>> sys1 Transfer function: s + 2 --------------- 3 s^2 + 6 s + 1

Entrer les fonctions de transfert suivantes et sauvegarder le numérateur et le dénominateur de

chaque système dans des variables indépendantes. Vérifier leurs propriétés à l’aide des instructions

précédentes.

2 3 4 2

0.5 1 2.5G ; G ; G

0.05p 1 p 1 p 0.5p 1= = =

+ + + +

3. Opération sur les fonctions de transfert

Il est possible d’assembler 2 fonctions de transfert entre elles :

En série :

>>sys_serie = sys1 * sys2;

En parallèle :

>>sys_para=sys1 + sys2;

Dans les deux cas, vérifier le résultat.

sys1 sys2

sys1

sys2

Σ


9

En boucle fermée :

Pour calculer la fonction de transfert en boucle fermée, il existe la fonction feedback qui calcule la

fonction de transfert en boucle fermée du système présenté ci-dessous. La variable sign définit le

type de bouclage (contre réaction : - par défaut sinon + pour une réaction) :

4. Représentation temporelle

A partir d’une fonction de transfert, Matlab peut calculer la réponse temporelle d’une fonction de

transfert à une entrée. La réponse impulsionnelle et la réponse indicielle sont déjà programmées

dans des fonctions. Le résultat de ce calcul (vecteurs contenant le temps et la réponse du système)

peut être placé dans des variables de retour ou par défaut directement tracé dans une figure. De

même si l’on ne précise pas le vecteur temps, la fonction le déterminera automatiquement.

• La réponse impulsionnelle (e(t) = δ(t)) à l’aide de la fonction >>impulse(sys1);

• La réponse indicielle (e(t) = u(t)) à l’aide de la fonction >>step(sys1);.

En cliquant sur le tracé avec le bouton droit, il est possible de modifier les propriétés du graphe et

surtout d’obtenir des renseignements sur les temps de réponse ou dépassement du tracé.

Tracer la réponse impulsionnelle et indicielle de sys2 et déterminer de manière graphique la valeur

de la sortie en régime permanent et la valeur de la constante de temps. Vérifier ces valeurs avec

celles attendues.

Tracer ces deux réponses pour sys4. Mesurer la pseudo période obtenue pour la réponse indicielle et

vérifier qu’elle correspond bien à celle attendue.

5. Représentation fréquentielle - régime harmonique.

La représentation harmonique du système est obtenue en appliquant un signal sinusoïdal à l’entrée

du système pour toutes les fréquences et en posant p=jw .

Une fonction de transfert est alors complètement décrite par son module et sa phase. Matlab calcule

la réponse en fréquence d’une fonction de transfert et se sert de cette réponse pour tracer les

diverses représentations utilisées en automatique.

sys2

Σ sys1

-

+


10

A noter qu'en anglais, frequency signifie la pulsation en rad/s (ce n'est pas la fréquence en Hertz) et

qu’il est conseillé d’utiliser la fonction "ngrid ".

Diagramme de Bode :

Le diagramme de Bode représente le module en dB et la phase en degrés en fonction du logarithme

de la pulsation.

Utiliser la fonction Bode pour tracer le diagramme de sys2. Mesurer le gain statique (module de G2

pour w→ 0), la pulsation de coupure wc à -3 dB, la pente de la courbe de gain lorsque w >> wc.

Comparer les résultats aux valeurs théoriques. Faire le même travail pour sys4.

Diagramme de Nyquist :

La représentation de Nyquist représente la fonction de transfert dans l’espace complexe, ce lieu est

paramétré avec la pulsation.

Utiliser la fonction nyquist pour tracer le diagramme de sys2. Mesurer le gain statique (module de

G2 pour w→0). Faire le même travail pour sys4.

Diagramme de Black-Nichols :

Cette représentation est plus simplement appelée représentation de Black. Rappelons que l’on porte

la phase en degré en abscisse et le module en dB en ordonnée. Ce lieu est paramétré en pulsation.

Utiliser la fonction nichols pour tracer le diagramme de sys2. Mesurer le gain statique (module de

G2 pour w → 0), la pulsation de coupure wc à -3 dB. Comparer les résultats aux valeurs théoriques.

Faire le même travail pour sys4.

III. PROGRAMMATION ET FUNCTIONS M-FILE.

Matlab est aussi un langage de programmation qui dispose de plusieurs instructions de saut

conditionnel (if , elseif, else, end) et de boucle du type : for , while.

Exemple : Que représente EPS dans la suite d’instructions suivantes?

EPS=1 ;

for i=1 :1000

EPS=EPS/2

if (1+EPS)<=1 EPS=EPS*2

break


11

end

end

Dans l’exemple précédent, si l’on veut recommencer avec un nombre d'itérations de 2000, il faut

réécrire la série d’instructions pour obtenir le résultat. Pour éviter ce genre de problème, il est

possible d’enregistrer une série d’instructions dans un fichier "nom_fic.m" et de vérifier qu’il ne

porte pas un nom identique à une fonction MATLAB, puis exécuter ce fichier.

Dans le menu Fichier, ouvrir un nouveau fichier .m. Dans ce fichier, retaper l’exemple précédent,

sauvegarder le fichier et exécuter le sous Matlab en écrivant le nom du fichier sous le workspace.

Attention : un fichier Matlab (extension .m) ne dois jamais porter le même nom qu’une variable du

workspace ou un nom déjà existant dans un autre répertoire.

Utilisation des M-File :

A l’aide d’une M-File, étudier les différents tracés fréquentiels et temporels des fonctions de

transfert suivantes :

( ) ( )( )20

2 20 0

1 1 j 1 j 4, , ,

j 1 j 4 1 j j j 2 j

ω+ ωτ + ω τω + ω τ + ωτ ω ω + ξω ω +ω

Pour le système du deuxième ordre avec intégrateur, le facteur d’amortissement est égal à 0.1 et la

pulsation propre est de 10 rd/s.

Pour les autres systèmes, on prendra les valeurs suivantes : 1sτ = .

Déterminer le système possédant la plus grande bande passante et le temps de réponse à 5 % le plus

petit.

Une fois ce TP terminé, sauvegarder les différentes variables que vous avez utilisées avec la

commande save workspace as dans le menu file.

Ces différentes variables vous resserviront dans le T.P. n°2. N'oublier pas de noter le nom de

votre sauvegarde dans ce cahier pour ne pas l'oublier.

NOM DE LA SAUVEGARDE : .mat


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Utilisation d'un logiciel graphique de simulation de systèmes physiques :

SIMULINK / MATLAB

Matlab (voir TP 1) est un logiciel très

performant pour le calcul numérique

et la visualisation. Ce logiciel permet,

entre autre, de calculer les réponses de

fonctions de transfert représentant des

systèmes physiques. Afin d'améliorer

encore plus la convivialité de

certaines simulations, une Toolbox

particulière à été créée : SIMULINK.

Celle-ci permet de réaliser une

simulation grâce à une fenêtre

graphique où l'on réalise un schéma-

bloc. On dispose d'un certain nombre

de bibliothèques de SIMULINK

(Continuous, Discrete, Sources,

Sinks, etc.) ainsi que la possibilité

d'utiliser des variables définies sous

Matlab. Il est également possible de

retourner des résultats numériques

sous Matlab.

Pour accéder à la fenêtre de

commande de Simulink, il faut lancer

Matlab et taper simulink dans la

fenêtre de travail de Matlab ou cliquer

sur l'icône . Celle-ci est

représentée sur la figure ci-contre.


13

I. PRESENTATION DU SIMULATEUR

1. Réalisation d'un schéma de simulation

Une fois la commande de Simulink ouverte, il est possible d'ouvrir un fichier où de déclarer un

nouveau sous la rubrique "File". Les fichiers simulink possèdent l'extension ".mdl".

Pour réaliser un schéma, il faut réunir ses éléments dans la fenêtre graphique correspondante au

fichier courant. Pour cela, il faut ouvrir une bibliothèque de simulink (Continuous, Discrete,

Sources, Sinks, etc.), choisir l'élément intéressant dans cette bibliothèque en cliquant dessus avec la

souris et en maintenant la souris cliquée, faire glisser l’élément ainsi sélectionné vers votre fenêtre

graphique (NE JAMAIS FAIRE LA MANIPULATION INVERSE) .

Une fois les éléments essentiels présents, il suffit de les lier entre eux avec la souris, c'est-à-dire

tracer des connexions entre la sortie du premier bloc et l'entrée du deuxième bloc, toujours en

maintenant la souris cliquée.

Sauvegarder de temps en temps le schéma dans votre répertoire de travail, il sera ainsi possible

d'aller le rechercher en cas de fausse manipulation.

2. Définition des paramètres des éléments.

Ceux-ci peuvent être définis en cliquant deux fois sur l'élément considéré. La manière dont Matlab

les exige est indiquée en commentaire dans la boite d'entrée qui s'ouvre à cet effet. On définit ainsi

les paramètres des fonctions de transfert, les signaux appliqués, les échelles par défaut des graphes

des signaux observés. On peut utiliser aussi comme paramètres des variables préalablement définies

dans le workspace (l'espace de travail) de Matlab.

3. Réalisation d'une simulation

Une fois le schéma de simulation réalisé, on effectue la simulation en choisissant dans le menu

"Simulation" les paramètres de celle-ci : instant de début, instant de fin, etc.. Ces paramètres sont

utilisés par l'algorithme de simulation qui est un algorithme d'intégration numérique. Il est possible

de choisir son algorithme de simulation mais sauf cas particulier, on utilisera "ode45 Dormand-

Prince". Ensuite, lancer la simulation en cliquant sur l'icône .

2. EXEMPLE N°1

De manière à retrouver les variables que vous avez définies dans le TP. n°1, charger votre fichier de

sauvegarde (extension ".mat") réalisée à la fin du TP en tapant load <nom du fichier>.


14

Ouvrir ensuite un nouveau fichier sous Simulink. Prendre un générateur d'échelon sous la rubrique

"Sources", une fonction de transfert sous la rubrique "Continuous" et un scope dans la bibliothèque

"Sinks". Ensuite relier les différents éléments avec la souris. Le schéma, une fois terminé, doit

correspondre à celui de la figure ci-dessous.

Modifier les paramètres du bloc "Transfert Fcn" de manière à utiliser le système sys2 à partir des

champs de l'objet système sys2. Ajuster les paramètres de la simulation pour obtenir une réponse

indicielle complète. Vérifier les valeurs de la sortie en régime permanent et la constante de temps

(vous pouvez utiliser les icônes de la figure graphique pour effectuer un zoom par exemple).

De manière à visualiser le signal d'entrée sur la même figure, utiliser un multiplexeur en

sélectionnant l'objet "Mux " de la bibliothèque "Signals&Systems" et relier le signal d'entrée et de

sortie de la fonction de transfert. Relier enfin la sortie du multiplexeur au Scope.

Il est possible de manipuler aussi des blocs contenant un objet système. Ce bloc est présent dans le

répertoire "Control System toolbox" . Il suffit d’indiquer le nom du système mémorisé dans le

workspace de Matlab. Remplacer le bloc "Transfert Fcn" par le bloc "LTI System" de la

bibliothèque "Control System toolbox" . Vérifier le fonctionnement.

De manière à visualiser les signaux sous Matlab, ajouter le bloc "To Workspace" dans le schéma.

Pour récupérer le temps de simulation, utiliser le bloc "Clock" puis tracer sous Matlab la réponse

du système en fonction du temps. On peut aussi utiliser l'option "Workspace I/O" dans les

paramètres de simulation de Simulink.

3. EXEMPLE N° 2

Pour réaliser un système bouclé, introduire le comparateur en sélectionnant l'objet "Sum" de la

bibliothèque "Math ". Par défaut, l'objet sélectionné est un sommateur. Il faut donc modifier ses

paramètres pour le transformer en comparateur.


15

1 - Reproduire le système bouclé de la figure précédente.

2 – Introduire un gain proportionnel en sélectionnant l'objet "gain" de la bibliothèque "Math " avant

la fonction de transfert dans la chaîne directe. Modifier les paramètres du bloc "fonction de

transfert" afin de définir la fonction de transfert suivante :

3 2

10 sys5

p 6p 11p 6=

+ + +

Rechercher approximativement le gain limite au-delà duquel la sortie du système bouclé diverge.

4. EXEMPLE N°3

On désire étudier le système de fonction de transfert K

G(p)1 p

=+ τ

bouclé par un gain proportionnel

noté A. K est le gain statique du système et ττττ sa constante de temps (on prendra K = 1 et τ = 1 sec).

Déclarez l'objet système correspondant noté sys3. La fonction de transfert du système bouclé est

notée F(p).

3.1. Modification du comportement : analyses fréquentielle et temporelle.

Afin de voir les effets du bouclage sur la bande passante du système, déterminer, sous Matlab, la

fonction de transfert en boucle fermée à partir des paramètres de la fonction de transfert en boucle

ouverte.

Ensuite, sur la même fenêtre graphique, tracer le diagramme de Bode des 2 fonctions de transfert

(boucle ouverte et boucle fermée). Quel est l’effet du bouclage ? Justifier votre réponse en

comparant les paramètres des deux fonctions de transfert.

G(p) Y*(p) + Y(p) U(p)

-

+

G(p) Y*(p)

+ Y(p) A U(p) ε(p)


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Déterminer la bande passante à –3db et le gain statique de ces deux fonctions de transfert et vérifier

que le produit bande passante*gain statique reste constant.

Afin de visualiser l'effet du bouclage dans le domaine temporel (avec Simulink), tracer sur le même

graphe la réponse indicielle de F(p) et celle de AG(p). Le système étant très rapide, il sera peut

être nécessaire de modifier la précision de l’algorithme de simulation notamment le Min et le

Max Step Size. Déterminer les deux constantes de temps et les gains statiques de chaque réponse.

Pour mettre en évidence les effets du gain A, refaire ces manipulations en augmentant ou en

diminuant sensiblement sa valeur. Comment évoluent les constantes de temps associées aux deux

systèmes lorsque A devient très grand ou très petit ?


17

Identification des systèmes.

L’objet de ce TP est de montrer la démarche suivie pour modéliser un procédé. La méthodologie qui

va être utilisée est celle que l’on retrouve généralement dans l’industrie. Bien que le modèle obtenu

soit assez peu satisfaisant, cette méthode, relativement sommaire, a le mérite de donner un modèle

expérimental simple utilisable pour la commande.

I. RAPPEL.

I.1. Notion de réglabilité.

Cette notion est principalement utilisée pour les processus ayant un retard pur important. Si on

examine la réponse indicielle d’un processus sans intégrateur, on peut distinguer trois phases :

• un temps de retard : T', • un temps de décollement : T'', • un temps de montée : TA.

La somme des temps de retard et de décollement est notée θ. Ce retard θ correspond en fait au délai

nécessaire pour qu’une commande ait une action significative sur la sortie. On appelle réglabilité le

rapport TA/θ. En pratique, le processus sera d’autant plus facile à régler que ce rapport sera

important (retard pur petit).

I.2. Système à réglabilité élevée.

On considère un système comme ayant un coefficient de réglabilité élevé lorsque le rapport TA/θ est

supérieur à 10. Toute action sur l’entrée provoque presque immédiatement une action sur la sortie et

les procédés correspondants sont en général faciles à asservir.

θ

T' T''

y(t)


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I.3. Système à faible réglabilité.

On place souvent dans cette catégorie les processus ayant un rapport TA/θ inférieur à 4 (limite tirée

de l’expérience industrielle). Si TA/θ est faible, il faut attendre un temps élevé (comparativement au

temps de montée du procédé) pour qu’une entrée commence à agir sur la sortie. Si l’on cherche à

augmenter la précision par les méthodes usuelles comme l’accroissement du gain ou l’intervention

d’une action intégrale, on a de grandes chances de déstabiliser le procédé.

De tels procédés ne peuvent pas, en général, être régulés correctement par de simples régulateurs de

type P.I.D. et ils nécessitent des commandes plus adaptées telles que la correction avec Prédicteur

de Smith ou une correction numérique (niveau BAC+4 et +5).

I.4. Système à réglabilité moyenne.

Ce cas correspond en général à 4 < TA/θ < 10. Ces valeurs, tirées de l’expérience, sont fournies à

titre indicatif et doivent être relevées si l’on élève les exigences de précision sur le processus.

II. MODELISATION EN BOUCLE OUVERTE.

La première étape d’un asservissement commence par une identification du procédé.

L’identification a pour objet de déterminer un modèle du procédé. Ce modèle sera utilisé ensuite

pour déterminer la loi de commande la plus adaptée.

II.1. Caractéristique statique.

La caractéristique statique d'un système (si elle existe) est obtenue en appliquant un signal de

commande constant à l'entrée du système. Ce système atteindra alors asymptotiquement une valeur

finale constante en sortie. En imposant différentes valeurs pour la commande, le tracé du signal de

sortie en régime permanent en fonction de l'entrée représente la caractéristique statique du procédé.

A noter que si le système possède un temps de réponse relativement long, l’obtention de cette

caractéristique peut prendre un certain temps.

II.2. Identification des systèmes du premier ordre à partir de leur réponse indicielle.

Le cas des systèmes du premier ordre est le plus simple car ces fonctions de transfert sont définies à

l’aide de deux paramètres K et τ. Comme ces systèmes présentent la particularité d’avoir une

tangente verticale à l’origine, il est très facile d’identifier un premier ordre. Le gain statique

correspond à la variation de la sortie divisée par la variation de l’entrée (en régime permanent). La

constante de temps se détermine à partir du temps de réponse à 5% ou lorsque la réponse indicielle a

atteint 63% du régime permanent (voir TD).


19

Dans le cas de système plus complexe que le premier ordre pur, il est obligatoire d’utiliser une

méthode d’identification plus adaptée.

II.3 Identification des systèmes du premier ordre avec retard : modèle de BROÏDA.

Si l'on recherche un modèle du 1er ordre avec retard pur, alors on cherche un modèle de la forme :

( )pe

G(p) K1 p

−θ=

+ τ

θ est le retard pur du modèle, τ la constante de temps. On détermine les temps t1 et t2 tels que:

En utilisant t1, t2, 0,4 ∆y et 0,28 ∆y, un calcul simple permet d’établir les relations suivantes :

1 2

2 1

2,8 t 1,8 t

5,5(t t )

θ = −τ = −

D’où l’expression de G(p) avec les paramètres ainsi déterminés.

II.4. Identification des systèmes d’ordre quelconque à partir de la réponse indicielle.

Si la réponse ne présente pas de dépassement, le système est donc apériodique. Dans ce cas, il est

possible de modéliser le système sous la forme d’un modèle de STREJC. Ce modèle, tout comme

celui de Broïda, bien qu’étant une représentation très approximative du procédé à modéliser ont été

couramment utilisés dans l’industrie car ils ne nécessitent pas l’utilisation d’un calculateur.

Aujourd’hui, ces modèles tendent à disparaître car ils sont remplacés par des méthodes

d’identification paramétriques beaucoup plus précise (niveau BAC+5).

Modèle de STREJC.

On cherche un modèle de la forme : ( )

p

n

eG(p) K

1 p

− θ=

+ τ

∆y 0,4 ∆y

y(t)

0,28 ∆y


20

θ est le retard pur du système, τ la constante de temps, n l’ordre du système. Pour identifier ces trois

paramètres, on trace, sur la réponse indicielle, la tangente au point d’inflexion. Ensuite comme sur

la figure ci-dessous, on évalue deux paramètres : TA et TU.

Pour ce type de modèle, on considère que la réglabilité du système ne doit pas être trop faible. A

partir de TU et TA, on identifie les paramètres θ, τ et n’ de la fonction de transfert, à l’aide du

nomogramme 1 (figure suivante).

A noter que si le rapport Tu/Ta est trop faible, il possible de considérer τδ+=θ 'T et ensuite de

travailler avec T'.

Si (n') n’est pas un nombre entier, poser n ' n= + ε avec n entier (0<ε<1) et écrire θ = ε τ . Si l’on

travaille avec Tu’ alors TR = θ + ετ.

y(t)


21

Nomogramme 1


22

III. TRAVAIL PREPARATOIRE OBLIGATOIRE

Déterminer par les méthodes de Broïda et de Strejc les fonctions de transfert qui sont à l'origine de

ces réponses indicielles (une méthode à appliquer par figure et amplitude de l'échelon : 2 Volts).

Temps en seconde

Amplitude

Temps en seconde

Amplitude


23

Lorsque la réponse indicielle présente un dépassement, les précédentes méthodes ne peuvent pas

être utilisées. Dans ce cas, on considère la réponse indicielle comme étant celle d'un système du 2nd

ordre caractérisé par un coefficient d'amortissement ξ et une pulsation propre ω0. Les relations

donnant la valeur de ces paramètres en fonction des caractéristiques de la réponse indicielle ont été

établies en cours. En utilisant ces relations, identifier le système dont la réponse indicielle est

donnée ci-dessous.

IV. TRAVAIL PRATIQUE

IV.1 - Caractéristique statique

A partir du fichier "proc_1.mdl" présent dans votre répertoire de travail, réaliser avec SIMULINK,

un schéma permettant de relever la caractéristique statique point par point du procédé à identifier.

Relever la caractéristique statique en envoyant une commande constante sur le procédé. Déterminer

la plage de linéarité du système. Quelle est la valeur de la sortie Y0 si U0=5V ? Le couple (U0, Y0)

est-il un point de fonctionnement acceptable ? Si non, en proposer un autre. Justifier votre réponse ?

Déterminer le gain statique du modèle autour du point de fonctionnement.

Temps en seconde

Amplitude


24

IV.2 - Identification par les méthodes de Broïda et Strejc

Toujours avec "proc_1.mdl", réaliser une réponse indicielle autour du point de fonctionnement

choisi (l’amplitude est à déterminer en fonction de la caractéristique statique).

La réponse indicielle peut être tracée dans une fenêtre graphique et stockée dans une variable

MATLAB en sélectionnant le bloc "To Workspace" du répertoire "Sinks"). Ainsi, elle pourra être

utilisée pour valider les modèles obtenus.

Après avoir fait un zoom adéquat, sauvegarder la réponse complète. Identifier la fonction de

transfert de ce procédé. Pour cela, on commencera par mesurer le gain statique et ensuite la (les)

constante(s) de temps du système.

Une fois le modèle établi, vérifier sur le même graphique la similitude entre les réponses indicielles

du procédé et du modèle (utiliser "transport delay" du bloc "continuous" pour le retard si besoin).

Pour cela, il suffit d’appliquer le signal d’entrée sur le procédé et sur le modèle et de tracer les deux

sorties sur le même graphe la réponse indicielle du système avec celle du modèle identifié. Tracer

également sur une autre figure le signal d'erreur.

Pourquoi la valeur du régime permanent du modèle est-elle différente de celle du procédé

correspondant ? Modifier le schéma du modèle de manière à obtenir le même régime permanent.

Identifier ensuite les procédés présents dans les fichiers "proc_2.mdl" en adoptant la même

démarche que précédemment.

IV.3 Identification d'un système électrique

On dispose d'un boîtier contenant trois systèmes électriques :

• un intégrateur

• un système du 1er ordre de fonction de transfert : ( ) ( )1K

G p1+ p

=τ

• un système du 2nd ordre de fonction de transfert : ( )2n

2 2 2n n

K G p

p +2 p+

ω=ξω ω

On s'intéresse à l'identification des systèmes réels G1(p) et G2(p). Des blocs, utilisables dans

l'environnement Simulink et permettant de dialoguer avec les convertisseurs de la carte

d'acquisition, ont été développés.


25

Connecter le procédé électrique sur le boîtier d'extension de la carte en utilisant la voie 2 bipolaire

et charger le fichier "proc_3.mdl". Vérifier que le bloc "Envoi d'une tension bipolaire sur la voie 2"

soit configuré de manière à générer une tension de 0 Volt en fin de simulation.

Pour chacun des systèmes, autour d'un point de fonctionnement nul, appliquer à l'instant t = 5 sec un

échelon de 1 Volt. En déduire la fonction de transfert des deux systèmes.

Tracer ensuite le diagramme de Bode pour chacun des systèmes et retrouver, à partir de ces réponses

fréquentielles les paramètres des deux modèles.


26

BOUCLE OUVERTE

VS

BOUCLE FERMEE

Pendant ce T.P., on se propose d’étudier le comportement d’un système vis-à-vis de différentes

excitations en boucle ouverte et en boucle fermée. Pour le travail préparatoire, il est demandé

d'établir les expressions littérales avant de donner les valeurs numériques des différents

paramètres.

Considérons le système reliant la sortie y(t) à une sortie désirée y*(t). Ce système est du premier

ordre et a pour fonction de transfert :

( )G pp

=⋅ +3

0 5 1.

Travail préparatoire : Donner le gain statique (K) et la constante de temps (τ) du système.

L'objectif est de comparer, tout d'abord, le comportement du système en boucle ouverte et ensuite

celui du système en boucle fermée corrigé par un correcteur proportionnel A. On prendra A=2 pour

les questions suivantes. En boucle ouverte, on a donc le schéma-bloc suivant :

A

1+ pτG(p)=

Y(p)K

Y*(p)

Figure 1

Travail préparatoire : Donner le gain statique et la constante de temps de L(p) "système +

correcteur" en boucle ouverte.

I. SYSTEME EN BOUCLE OUVERTE

Deux signaux sont susceptibles d'affecter le fonctionnement du système : νu(p) représentant un

signal de perturbation sur la commande U(p) et νy(p) le signal de perturbation sur la sortie Y(p).

Figure 2

A K

G(p) Y(p) Y*(p)

C(p) U(p)

νu(p) νy(p)

+

+

+ +


27

Travail préparatoire : Etablir l’expression littérale de Y(p) en fonction de Y*(p), νu(p) et νy(p).

Donner les constantes de temps et les gains statiques des différentes fonctions de transfert. Ecrire le

schéma bloc précédent sous la forme suivante :

Figure 3

II. SYSTEME EN BOUCLE FERMEE

On reprend maintenant le même système mais cette fois-ci bouclé avec un correcteur proportionnel

de gain A, C(p) = A.

Figure 4

Travail préparatoire : Etablir l’expression littérale de Y(p) en fonction de Y*(p), νu(p) et νy(p).

Donner les constantes de temps et les gains statiques des différentes fonctions de transfert. Ecrire le

schéma bloc précédent sous la forme suivante :

Figure 5

Donner le nom de chacune de ces fonctions de transfert ?

Y*(p)

νy(p)

νu(p)

Y*(p)

νy(p)

νu(p)

G(p) Y(p) Y*(p) C(p) + -

U(p) +

νu(p) νy(p)

+


28

III. COMPARAISON BOUCLE OUVERTE - BOUCLE FERMEE

III.1. Bande passante

Travail pratique : Tracer les diagrammes de Bode reliant les signaux Y*(p), νu(p) et νy(p) à Y(p),

en superposant le diagramme en boucle ouverte et en boucle fermée pour chaque fonction de

transfert.

a) Quel est l'effet du bouclage sur le diagramme de Bode de la fonction de transfert

Y(p)/Y*(p)?

b) Quel est l'effet du bouclage sur le rejet de perturbation (statique et dynamique) ?.

c) D'après ces courbes, l'influence d'une excitation sinusoïdale Y*(p) ou d’une perturbation

sera-t-elle toujours la même sur la sortie lorsque la pulsation de l'excitation change ?

Justifier.

III.2. Performances en poursuite et en régulation

Travail pratique : l'objectif est d'étudier le comportement de y(t) lorsque y*(t), νu(t) et νy(t) sont

des signaux échelons ou sinusoïdaux. Réaliser avec simulink et dans la même fenêtre, le système en

boucle ouverte (figure 2) et en boucle fermée (figure 4). Relier la sortie de ces deux systèmes à un

scope pour les comparer.

a) Excitation échelon : successivement pour chaque entrée (y*(t), νu(t) et νy(t)), prendre un

échelon unitaire comme signal d'excitation. Pour chaque essai, on comparera les résultats obtenus (erreur de position : ( ) ( )y* t y t→ ∞ − → ∞ et temps de réponse à 5%) en boucle

ouverte et en boucle fermée. Retrouver ces résultats par le calcul (théorème de la valeur

finale).

b) Excitation sinusoïdale : successivement pour chaque entrée (y*(t), νu(t) et νy(t)), prendre un

signal sinusoïdal de pulsation 20 rad/s et d'amplitude unitaire. Pour chaque essai, on

comparera l'amplitude de la sortie en boucle ouverte et en boucle fermée. Pourquoi y a-t-il

des variations d'amplitude entre chaque entrée en boucle fermée ?

c) Excitation sinusoïdale bis : Sans imprimer les réponses, refaire les mêmes essais avec un

signal sinusoïdal de pulsation 1 rad/s et d'amplitude unitaire. Justifier la différence de

comportement de la sortie avec l'excitation précédente (20 rad/s) ?


29

IV. ANALYSE DES PERFORMANCES D'UN SYSTEME BOUCLE

Sous Matlab, créer les fonctions de transferts suivantes :

( ) 2

1G p

p 2 0.3 10p 100=

+ × × + et ( ) 1

C pp

= .

Sachant que G(p) représente le système à asservir et C(p) le correcteur, représenter les différents

diagrammes de Bode des trois fonctions de sensibilité S(p), G(p) S(p) et T(p) de la boucle fermée

(retour unitaire).

On considère que le système étudié est soumis à une perturbation d'entrée et une perturbation de

sortie. On définit la pulsation d'atténuation à – 6 dB pour une fonction de sensibilité comme étant la

pulsation pour laquelle l'effet de la perturbation est atténué d'un facteur 2 ou de 6dB.

A partir de ces indications et compte tenu des diagrammes de Bode obtenus, répondez aux questions

suivantes en utilisant uniquement les trois réponses fréquentielles précédentes :

a) Donner la bande de pulsations d'atténuation pour les fonctions de sensibilité S(p) et T(p).

b) Quel va être l'amplitude en sortie d'une perturbation de sortie sinusoïdale de pulsation

ωs = 100 rad/s et 0,1 rad/s ?

c) Une perturbation de sortie de type échelon peut-elle être rejetée ?

d) Le système bouclé peut-il répondre à un échelon de consigne sans erreur de position ?

e) Le système devant suivre une consigne sinusoïdale, donner la pulsation maximale.

f) Une perturbation d'entrée de type échelon peut-elle être rejetée ?

g) Quel va être l'amplitude en sortie d'une perturbation d'entrée sinusoïdale de pulsation

ωs = 100 rad/s et 0,1 rad/s ?

V. CONCLUSION

Après cette étude, quels sont les avantages de la boucle fermée sur la boucle ouverte ?


30

ANALYSE D'UNE BOUCLE FERMEE

STABILITE - PERFORMANCES

1. RAPPELS ET DEFINITIONS :

La limite de stabilité en boucle fermée est caractérisée par la valeur -1 (point critique) de la fonction

de transfert en boucle ouverte en régime harmonique. Cette valeur correspond à un module de 1 (0

dB) et une phase de -180°. On définit :

• La marge de gain ∆G : pour une phase de -180°, c'est la valeur du coefficient (noté ∆G) par

lequel il faut multiplier le module pour que celui-ci soit égal à 1. On l'exprime généralement en

dB (20*log((∆G)) et c'est sous cette forme qu'on le mesure dans le cas des diagrammes de Bode

et de Black-Nichols. Une autre définition donne : ∆G est égale à l'inverse du gain de L(jω) pour

la pulsation à laquelle le déphasage est de -180° (où L(jω) = C(jω) G(jω)) :

( )ii, 180

1G min

L j −

∆ = ω

• La marge de module ∆Μ est la distance minimale entre le point critique et le lieu du système. Ce

critère de stabilité est plus global que la marge de gain. L'expression de cette marge est donnée

par :

( )( ) ( )minmin

M -1-L j 1 L j∆ = ω = + ω

On peut remarquer que : ( ) ( ) ( ) 11min maxmin

M 1 L j S j S j−−∆ = + ω = ω = ω

• La marge de phase ∆φ : pour un module égal à 1 (ω = ω0dB), c'est la valeur qu'il faut retrancher à

la phase pour qu'elle soit égale à -180°. Dans le cas où il existerait plusieurs fréquences de

croisement, l'expression de la marge de phase est : i 0dBi i

min ϕ

∆Φ = ∆Φ ω

• La marge de retard ∆R qui correspond au plus grand retard additionnel que peut supporter le

système sans entraîner la déstabilisation du système en boucle fermée : 0dB

R∆Φ∆ =

ω.

Dans le cas où il existe plusieurs fréquences de croisement, l'expression de la marge de retard est

: i 0dB

i i

0dBi

min

Rϕ

∆Φ ω ∆ =

ω.


31

Figure 1 : Lieu de Nyquist (hodographe) d'une fonction de transfert en boucle ouverte avec ses marges de stabilité.

2. TRAVAIL PREPARATOIRE

2.1 - Soit la fonction de transfert suivante :

1.98G(p)

(p 0.9) (p 1) (p 1.1)=

+ + +

Tracer les 3 diagrammes asymptotiques de G(p) (Bode, Nyquist et Black-Nichols).

2.2 – Afin de faciliter les calculs, on considère que G(p) possède un pôle triple en –1. Dans ces

conditions, calculer les marges de gain et de phase ainsi que les pulsations associées à ces marges.

Si ce système est bouclé avec un gain proportionnel, quel doit être la valeur de ce gain pour avoir

une marge de phase de 45°. Justifier la réponse par le calcul et graphiquement.

Calculer la valeur du gain limite Klim qui amène le système à la limite de stabilité. Dans ce cas,

quelle est la valeur de la pulsation de l’oscillation de sortie (en rad/s) ?

3. TRAVAIL PRATIQUE

3.1 - Sous Matlab, en créant l'objet système G, tracer les diagrammes de Bode, Nyquist et Black-

Nichols de G(p). Retrouver les marges de gain et de phase sur chaque diagramme et comparer les

valeurs avec celles déterminées lors du travail préparatoire.

En déduire la marge de retard et déterminer la marge de module.

Re[L(jω)]

Im[L(j ω)]

∆Φ

1

G∆

∆M

ω = ∞

0dB 0dBi i

; L( j ) 1ω ω =


32

Illustration des marges de stabilité :

Réaliser sous Simulink le schéma suivant

Figure 2 : système bouclé à réaliser

Dans ce schéma, les blocs "retard variable" (Transport Delay) et gain ont été introduits de manière à

vérifier la valeur des marges de gain et de retard.

Avec un gain unitaire, trouver expérimentalement la valeur du retard au-delà de laquelle le système

bouclé devient instable. Comparer cette valeur avec la marge de retard ∆R calculée précédemment.

Mesurer la pulsation d'oscillation de la sortie lorsque le système est en limite de stabilité.

Avec un retard nul, retrouver, en simulation, la valeur du gain au-delà duquel le système bouclé

devient instable. Comparer cette valeur avec la marge de gain ∆G calculée précédemment. Mesurer

la pulsation d'oscillation de la sortie lorsque le système est en limite de stabilité. Est-ce la même ?

Expliquer.

3.2 – Application sur le procédé électrique

L'objectif est de faire l'étude de la stabilité concernant un système électrique constitué par la mise en

série des systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre identifiés lors du TP identification.

En reprenant les fonctions de transfert identifiées, construire sous Matlab l'objet système

correspondant à la mise en série des deux systèmes. Recommencer le travail demandé lors du

paragraphe 3.1 avec ce nouveau système (sans la mesure de la pulsation d'oscillation).

Après avoir relié la sortie du système du 1er ordre à l'entrée du système du 2nd ordre, connecter la

l'entrée du 1er ordre au boîtier d'extension de la carte en utilisant la voie 2 bipolaire et la sortie du 2nd

ordre à une entrée analogique. Charger le fichier "proc_3.mdl". Le modifier de manière à reproduire

le schéma de la figure 2. Vérifier que le bloc "Envoi d'une tension bipolaire sur la voie 2" soit

configuré de manière à générer une tension de 0 Volt en fin de simulation.

Vérifier expérimentalement les résultats obtenus en simulation avec vos modèles. Les résultats sont-

ils différents ? Expliquer.


33

3.3 – Compromis performances - stabilité

L'objectif est de mettre en évidence le compromis performance – stabilité sur le système du 3ème

ordre en simulation. Reprendre les fonctions de transfert identifiées. Choisir quelques valeurs

adéquates de gain et à l'aide de la réponse indicielle du système en boucle fermée et des tracés

fréquentiels (Bode, Nyquist et Black-Nichols), illustrer ce compromis. Pour cela, évaluer, dans

chaque cas, les performances ainsi que les marges de stabilité correspondantes.


34

CORRECTION PI, PD, PID

I. RAPPEL SUR L'OBJECTIF D'UN ASSERVISSEMENT.

Une configuration générale de système bouclé avec un retour unitaire est la suivante :

Figure 1 : système en boucle fermée

Le problème est de choisir le correcteur C(p) et de régler ses paramètres pour que l'asservissement

fonctionne correctement c'est-à-dire faire suivre le mieux possible la sortie du système y(t) vers le

signal de référence y*(t) malgré la présence de perturbations qui agissent sur le système. νu(t) et

νy(t) représente les perturbations qui agissent respectivement à l'entrée et à la sortie du système. w(t)

représente du bruit de mesure. De plus, la commande u(t) doit être admissible pour le système

(problème de saturation des actionneurs par exemple).

Ce réglage est effectué de manière à respecter des spécifications imposées par un cahier des charges.

Ainsi, il peut être demandé d'avoir :

• une bonne précision statique (régime permanent) • un faible temps de réponse et dépassement limité • un bon rejet des perturbations, problème de régulation • un bon suivi de trajectoire, problème de poursuite • une bonne stabilité • une bonne robustesse (garantir le bon fonctionnement sur le procédé réel) • etc.

Pour cela, l'automaticien a, à sa disposition, plusieurs types de correcteur possédant chacun des

avantages et des inconvénients. Rappelons rapidement l’effet des différents types disponibles de

correcteur pour une régulation continue :

G(p) Y(p) Y*(p) C(p) +

-

U(p) +

νu(p) νy(p)

+

+ w(p)


35

II. CARACTERISTIQUES PRINCIPALES DES CORRECTEURS P, PI, PD, PID.

• Correcteur Proportionnel (P): ( )C p Kp= .

L’augmentation de Kp améliore la précision statique et peut aussi améliorer les performances

en dynamique mais un gain trop important peut déstabiliser un système.

• Correcteur Proportionnel et Intégral (PI) : ( ) pi

1C p K 1

T p

= +

Il supprime l’erreur de position en régime permanent mais diminue les marges de robustesse

car il s’agit d’une action à retard de phase. Il peut déstabiliser le système s'il est mal choisi.

• Correcteur Proportionnel et Dérivé (PD) : dp

d

T pC(p) K 1

T1 p

N

= + +

.

En pratique, il n’est pas possible de réaliser un dérivateur idéal (signaux à énergie infinie).

On implante donc un module de dérivée filtrée. Le réglage de la constante de filtrage Td/N

permet de limiter le gain donné aux hautes fréquences. Le coefficient N correspond au gain

donné au module de dérivée filtrée. En d’autres termes, le bruit de mesure ou les

changements de consigne seront amplifiés au plus par N.

Sauf cas particulier, ce type de correcteur est utilisé avec des procédés comportant un

intégrateur. Il améliore les performances en dynamique. Mal choisi, il est inefficace mais

rarement déstabilisant.

• Correcteur Proportionnel, Intégral et Dérivé (PID) : dp

di

T p1C(p) K 1

TT p 1 pN

= + + +

.

Il regroupe les avantages et les inconvénients des correcteurs précédents.

Sous cette forme, il s'agit de la forme fondamentale, standard ou mixte du PID.

Figure 2 : exemple de structure de correcteur PID

y(t) u y*(t)

ε


36

Il existe plusieurs structures de P.I.D. Si ces structures ne modifient pas la position des pôles en

boucle fermée, elles agissent sur l’ordre du numérateur de la fonction de transfert du système en

boucle fermée (cf. cours).

III. APPLICATIONS.

III.1. Correction PI

Le premier système à asservir est le suivant : ( )( )1

0.5G (p)

p 1 0.5p 1=

+ +

Le cahier des charges précise pour le système en boucle fermée :

• L'erreur de position doit être nulle en régime permanent.

• Le dépassement de sa réponse indicielle doit être de 25% au maximum.

• Les marges de stabilité doivent être suffisantes (∆M>-6dB, ∆Φ>40°).

Travail préparatoire :

a) Pour répondre aux spécifications du cahier des charges, quelle(s) action(s) le correcteur doit-il

contenir ? Justifier la réponse.

b) Etablir l'expression de l'erreur de position et montrer que le correcteur PI permet d'annuler cette

erreur.

c) Avec ce type de correcteur, est-ce que le système bouclé est adapté pour rejeter une éventuelle

perturbation de type échelon en sortie et en entrée ? Pour chaque cas, justifier la réponse.

d) Par la méthode du lieu des racines, montrer que si l’on utilise un correcteur PI, la diminution du

temps de montée est limitée et montrer que cela entraîne obligatoirement une augmentation du

dépassement. Que faut-il faire pour éliminer cet inconvénient ?

e) Compte tenu du cahier des charges, quel est le contour (en dB) que doit tangenter le diagramme

de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte ? Quelle est la valeur du coefficient

d'amortissement ξ associé ?

Rappel : La valeur du 1er dépassement et le facteur de résonance sont donnés respectivement par les

relations suivantes : 2/ 1

%D 100 e−πξ −ξ= et 2

1Q

2 1=

ξ − ξ.

Travail expérimental : en utilisant les différents abaques, synthétiser un correcteur qui répond aux

spécifications. Justifier les valeurs des paramètres de C(p) par une analyse fréquentielle rigoureuse.

Vérifier le comportement temporel du système corrigé en utilisant le fichier boucle_fermee.mdl.


37

III.2. Correction PD

Le deuxième système à asservir est le suivant :

( )2

4G (p)

pp p 1 1

3

= + +

.

Travail préparatoire :

Avec ce type de correction, est-ce que le système bouclé est adapté pour rejeter une éventuelle

perturbation de type échelon en sortie et en entrée ? Pour chaque cas, justifier la réponse.

Travail expérimental :

a) Tracer les différents tracés fréquentiels pour le système G2(p).

b) En déduire la valeurs des paramètres suivants : marges de gain et de phase, résonance en boucle

fermée. Pour chacun de ces paramètres, déterminer approximativement la pulsation associée.

c) Expliquer en quoi il est nécessaire de faire une correction de type avance de phase.

d) Est-il utile de tracer la réponse indicielle de ce système en boucle fermée ?

e) On doit effectuer la conception du système bouclé avec un correcteur de type proportionnel et

dérivé et à retour unitaire de façon à vérifier les conditions imposées suivantes :

• L'erreur de position doit être nulle en régime permanent.

• Le premier dépassement de sa réponse indicielle ne doit pas dépasser 20%.

• Les marges de stabilité doivent être suffisantes (∆M>-6dB, ∆Φ>40°).

Déterminer les paramètres du correcteur à avance de phase permettant de répondre aux

spécifications. Calculer les marges de stabilité du système corrigé.

f) Vérifier le comportement temporel du système corrigé en utilisant le fichier boucle_fermee.mdl.

et déterminer le temps de réponse à 5%.

III.3. Correction PID

a) Asservir le système G1(p) avec un PID standard ou mixte de manière à obtenir un temps de

réponse minimal avec les marges de stabilité spécifiées par le cahier des charges.

b) Comparer les performances du système bouclé pour différentes structure de PID (forme parallèle,

série, actions dérivée ou proportionnelle et dérivée appliquées sur le signal de sortie.

TP AUTOMATIQUE L3 EEA – L3 IE – L3 EIA TP N°7 & 8

38

Asservissement d'un système thermique.

On cherche à asservir le système thermique présent dans la salle de TP. Ce système est constitué

d’un tube de PVC conduisant un flux ascendant d’air chaud. L’air est chauffé à la base du tube par

une résistance chauffante qui est elle-même alimentée par une tension délivrée par le micro-

ordinateur. La température est mesurée par un thermocouple situé à l’extrémité supérieur du tube.

La tension délivrée par le capteur de température est comprise dans un domaine de 0 à 10 Volts.

Le cahier des charges spécifie que l’asservissement devra remplir les conditions suivantes :

La sortie ne doit pas présenter d’erreur de position.

Les marges de gain et de phase doivent avoir des valeurs correctes.

Le dépassement, suite à une consigne de type échelon, doit être inférieur à 10 %.

Le temps de réponse doit être le plus rapide possible.

La mise au point de l’asservissement se fera sous l’environnement Matlab. Il est indispensable de

tester la boucle fermée en simulation avant de l'appliquer sur le système réel.

Remarques

1 - Le fichier aero.mdl contient les blocs de base permettant de connecter le PC au système.

2 - Le compte rendu doit être précis et concis, il doit notamment faire apparaître clairement les

justificatifs qui ont conduisent aux choix des paramètres du modèle et du correcteur proposés.

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