CABRIWORLD II Montréal / UQÀM / Juin 2001

Une transformation

géométrique particulière :

l’inversion Atelier 507

Harry White Harry_White@uqtr.uquebec.ca

Université du Québec à Trois-Rivières

Québec / Canada

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INTRODUCTION

Dans Cabri, le menu déroulant pour les transformations géométriques présentent six

transformations : symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation, homothétie et

inversion. Si les cinq premières sont généralement assez bien connues, il en est autrement pour la

dernière. L’objectif de cet atelier est d’initier les participants et les participantes à cette

transformation un peu particulière qu’est l’inversion.

1. TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES USUELLES

Vous trouverez ci-joint quelques exemples de transformations géométriques usuelles (translation,

rotation, réflexion, symétrie centrale, homothétie). Ce sont des fichiers Cabri (.fig).

2. EXPLORATION SUR L’INVERSION

Pour effectuer une inversion à l’aide de Cabri, il faut d’abord tracer un cercle. Ce cercle sera

appelé le cercle d’inversion. Le centre du cercle est appelé centre d’inversion ou pôle.

À l’aide de la transformation inversion de Cabri, examiner ce qui se passe dans les conditions

suivantes : que peut-on dire de l’image d’un point pris… à l’intérieur du cercle ? à l’extérieur du

cercle ? sur le cercle ?

Procédure

1° faire un cercle et marquer un point ; 2° utiliser la fonction « inversion » de Cabri ;

3° indiquer le point et le cercle d’inversion ; 4° l’image du point apparaît ; 5° faire bouger le point initial et observer ce qui se passe.

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3. PROPRIÉTÉS, CONSTRUCTION, DÉFINITION

Une transformation conforme est une transformation qui préserve la mesure des angles.

L'INVERSION est une transformation conforme qui présente la particularité de pouvoir

transformer des cercles en des droites, et réciproquement, des droites en des cercles.

Étant donné un cercle Ω (lire : oméga) de centre O et de rayon « r », et un point P ≠ O (centre),

nous définissons l'INVERSE de P comme étant le point P' situé sur OP tel que OP OP k⋅ =' où

« k » est un nombre donné ≠ 0 (zéro). Le centre O ne fait pas partie du domaine de définition

d’une inversion dans le plan cartésien.

Dans le cas d’une inversion strictement positive, on considère le cercle d’inversion de centre O,

et de rayon « r » tel que k = r 2 . Notre étude des inversions se limitera aux inversions positives

seulement. De ce fait, nous retiendrons les conditions suivantes : O, P, P’ sont alignés, et

OP OP r⋅ =' 2 .

Ex. Soit le cercle Ω de centre O et de rayon « r », et un point P ≠ O (centre).

ΧΧ

Σ

OP

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Le point O est appelé CENTRE D'INVERSION. Le cercle de centre O et de rayon « r » est

nommé le CERCLE D'INVERSION. La transformation envoyant P en P' est appelée

INVERSION. Le nombre « r2 » est appelé PUISSANCE d’inversion.

PROPRIÉTÉS

a) P ≡ P' ⇔ P ∈ au cercle d'inversion. Les seuls points qui soient leurs propres inverses sont

les points ∈ au cercle d'inversion.

b) Si P est à l'intérieur, alors P' est à l'extérieur ; et si P est à l'extérieur, alors P' est à

l'intérieur du cercle d'inversion. L'inversion permute l'intérieur et l'extérieur du cercle.

c) L'inverse de l'inverse d'un point est le point de départ, ce que l'on exprime en disant que

l'inversion est une transformation involutive.

INVOLUTION : transformation qui est égale à son propre inverse, et qui n’est pas

l’identité.

d) Toute droite passant par le centre O est sa propre inverse, excluant le point O lui-même.

e) L’inverse d’un cercle de centre O et de rayon « R », est un cercle concentrique au

premier.

f) L’inverse d’une droite quelconque « d » ne passant par O, est un cercle passant par O (le

point O étant exclu). Le diamètre de ce cercle passant par O est ⊥ à « d ».

g) Tout cercle passant par O (ce point étant exclu) a pour inverse une droite ⊥ au diamètre

passant par O, c’est-à-dire une parallèle à la tangente en O au cercle donné.

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Dans une inversion, plus les points sont proches du centre O, plus leurs images sont éloignées de

O. L’image de O serait à l’infini.

Pour éviter l’exclusion de O, il faut ajouter un seul autre point au plan euclidien que l’on nomme

point à l’infini, noté P ∞∞∞∞ , qui est l’inverse du centre de tout cercle d’inversion. Nous appellerons

ce nouveau plan, le PLAN D’INVERSION. Il est formé du plan euclidien auquel on ajoute P ∞ .

Dans le plan d’inversion, on peut considérer une droite comme un cas particulier d’un cercle.

Elle peut être vue comme un cercle passant par le point P ∞ .

Il existe des instruments qui permettent de tracer la figure inverse de tout lieu géométrique

donné. L’inverseur de Hart et celui de Peaucellier réalisent une inversion de centre O qui est le

seul point fixe du mécanisme.

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Construction 1 (voir fichier construction.fig)

Construire l’inverse du point P ( ≠ du centre) sachant qu’il est à l'intérieur du cercle Ω.

DÉMARCHE

Traçons TU ⊥ à la demi-droite OP. TU est la corde passant par P.

Menons les tangentes en T et en U.

Soit P' l'intersection de la tangente en T avec la demi-droite OP.

P’ est le point inverse demandé.

En effet le ∆ TOP est ∼ ∆ TOP' (AA car ∠ O est commun et ∠ TPO ≅ ∠ OTP’ = 90°).

Sachant que dans les ∆ ∼ les côtés homologues sont proportionnels, il s’ensuit que ...

OPOT

OTOP

=' d'où

OP OP OT r⋅ = =' e j

22 car OT r=

Donc P' est l'inverse de P par définition de l’inversion. ♦

Χ Χ

Σ

OP

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Construction 2

Construire l’inverse du point P sachant que P est à l'extérieur du cercle Ω.

DÉMARCHE

Soit M le point milieu du segment OP. Traçons le cercle C de centre M passant par O et P.

Le cercle C coupe le cercle Ω en deux points T et U. TP et UP sont tangentes à Ω car ∠ OTP et

∠ OUP sont des angles droits comme étant inscrits dans un demi-cercle. Il s’ensuit que

OT TP⊥ et OU UP⊥ . L'inverse P' de P est l'intersection de TU et OP .

En effet, le ∆ TOP est ∼ ∆ TOP' (AA car ∠ O est commun et ∠ droit). Comme dans les ∆ ∼ les

côtés homologues sont proportionnels, il s’ensuit que...

OPOT

OTOP

=' d'où OP OP OT r⋅ = =' e j

22 car OT r=

Donc P' est l'inverse de P par définition de l’inversion. ♦

Χ Χ

Σ

O P

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PRÉALABLES

1. Si l’on a un cercle, et deux droites concourantes en un point O qui coupent le cercle

respectivement en A, B et C, D, alors on a la relation : OA OB OC OD⋅ = ⋅ .

Il y a deux possibilités : le point O est à l’intérieur, ou le point O est à l’extérieur.

2. La condition nécessaire et suffisante pour que quatre points A, B, C et D soient sur un

même cercle est exprimée par la relation : OA OB OC OD⋅ = ⋅ .

Proposition 1

Deux couples de points, A’ inverse de A, B’ inverse de B, dans une même inversion, sont

sur un même cercle.

Hyp. : Soit les points A et A’ des inverses par rapport au cercle Ω de centre O, et de

rayon « r ». Il en est de même pour B et B’.

On a : OA OA OB OB r⋅ = ⋅ =' ' 2

Con. : A, A’, B, B’ ∈ au même cercle.

ΧΧ

Χ

Χ

Χ

OA

BC

D

AΧ

Χ

Χ

Χ

Χ

B

C

D

O

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Preuve

Les droites AA’ et BB’ sont sécantes en O. Puisque que A’ et B’ sont les points inverses de A et

B, il s’ensuit que OA OA OB OB r⋅ = ⋅ =' ' 2 (définition de l'inversion). C’est la condition

nécessaire et suffisante pour que les points A, A’, B et B’ soient sur un même cercle.

En effet, la condition est nécessaire, car si les 4 points sont sur un cercle, on a bien :

OA OA OB OB⋅ = ⋅' ' . Elle est suffisante, car par hypothèse OA OA OB OB⋅ = ⋅' ' (1)

Par les points non alignés A, A’ et B, il passe un cercle. La droite OB n’est pas tangente au

cercle, sinon on aurait : OA OA OB⋅ =' e j2

. Elle coupe donc le cercle en B, et ensuite en un certain

point, disons « X ».

Puisque A, A’, B et X sont sur un même cercle, on a : OA OA OB OX⋅ = ⋅' (2)

Cette condition (2) comparée à l’hypothèse (1) entraîne que OX OB≅ ' , d’où X ≡ B’. Le point B’

est donc sur le cercle qui passe par A, A’ et B.

Donc A, A’, B et B’ ∈ au même cercle. ♦

Χ

Σ

O

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4. CABRI ET L’INVERSION

Même si Cabri ne produit que l’inverse d’un point, il est possible à l’aide des fonctions

primitives Trace et Animation d’avoir l’inverse d’une figure. Voici quelques exercices à

compléter à l’aide de Cabri. Quelques fichiers Cabri sont joints à cet effet.

Soit un cercle d’inversion Ω de centre O. Déterminer l’inverse…

a) d’une corde du cercle Ω ;

b) d’un diamètre du cercle Ω ;

c) d’un cercle de rayon R > r (rayon du cercle Ω) ;

d) d’une droite NE PASSANT PAS par le centre du cercle Ω ;

e) d’une droite PASSANT par le centre du cercle Ω ;

f) d’une tangente au cercle Ω ;

g) d’un ∆ inscrit dans le cercle Ω ;

h) d’un carré circonscrit au cercle Ω ;

i) d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle Ω.

5. RÉFÉRENCE

Réunion de professeurs (1954). Cours de géométrie (N° 265E). Paris : Ligel.

Remarque : vous trouverez également la présentation PowerPoint (18 diapositives) qui

accompagne ce texte.

Harry_White@uqtr.uquebec.ca