Une nouvelle approche non param etrique pour estimer la … · avec Sophie Dabo-Niang et...

Une nouvelle approche non parametrique pour estimer la fonction de regression spatiale

Une nouvelle approche non parametrique pourestimer la fonction de regression spatiale

Camille Ternynck

Laboratoire EQUIPPE - Universite Lille 3

Seminaire ”Modeles aleatoires et applications”,a l’universite de Caen, le 16 Septembre 2014

avec Sophie Dabo-Niang et Anne-Francoise Yao

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Plan de l’expose

Motivations

ModelisationEtat de l’artNotre approche

ApplicationsSimulationsDonnees reelles

Extension

Conclusion et perspectives

Bibliographie

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Motivations

Motivations

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Motivations

Objectif

Prevision spatiale:

§ observation de phenomenes sur des ensembles spatiaux;

§ prediction en des sites non-observes.

Etape preliminaire: estimation de la fonction rp¨q du modele de regressionsuivant

Y “ rpX q ` ε

ou Y P R, X P Rd et ε est l’erreur aleatoire.

Ñ estimation a partir de l’echantillon d’un processus spatial pZi, i P ZNq,N ě 1, Zi “ pXi,Yiq de meme loi que pX ,Y q.

i “ pi1, . . . , iNq (site)

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Motivations

En pratique

Recolter des donnees coute cher Ñ besoin de ces methodes dans demultiples domaines ou les donnees sont localisees dans un espacemulti-dimensionnel.

Par exemple en epidemiologie, meteorologie, econometrie, archeologie,traitement d’images, . . .

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Motivations

Caracteristiques

Observations spatialement dependantes‰ dependance temporelle (notions de passe, present, futur)

ë theories de statistique temporelle non adaptees aux donnees spatiales

Difficulte: pas de relation d’ordre naturel

Soit In un ensemble spatial.Champ aleatoire Z sur In: donnee d’une collection Z “ tZi, i P Inu dev. a. indexees par In.

Donnees spatiales = realisations de champs aleatoires.

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Motivations

Trois types de donnees spatiales (suivant la nature de In):

1. donnees latticielles sur un reseau In discret;

2. processus ponctuels spatiaux;

3. donnees geostatistiques;§ In est un sous-espace continu de Rd

§pn sites i1, . . . , in sont echantillonnes (avec pn :“ n1 ˆ . . . ˆ nN)

methodes parametriques, tres developpees et utilisees, en particulierles methodes de krigeage

methodes non parametriques, plus recentes (Tran 1990) et au coeurd’une dynamique de rechercheë cadre de ce travail

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Modelisation

Modelisation

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Modelisation

Etat de l’art

Methode parametrique: Krigeage / Cokrigeage

Prediction (ou Krigeage) de Zi0 :

§ chercher le predicteur ”BLUP” de Zi0 , a partir de Z “ pZi1 , . . . ,Zinq;

§ necessite l’estimation du variogramme de Z ;

§ ne donne pas de resultats satisfaisants sur des donnees non normales.

Quelques references: Matheron (1962), Ripley (1981), Cressie (1993),Goovaerts (1997), etc.

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Modelisation

Etat de l’art

Methodes non parametriques

Soit un processus spatial pZi “ pXi,Yiq P Rd ˆ R, i P ZNq, observe surl’ensemble discret

In “

i P ZN , 1 ď ik ď nk , k “ 1, . . . ,N(

§ les Zi admettent une densite inconnue, fX ,Y par rapport a la mesurede Lebesgue sur Rd`1;

§ les Xi admettent une densite f ;

§ la fonction de regression de Y sur X est definie par

rnpxq “

"

ϕpxq{f pxq si f pxq ‰ 0;EpY q sinon,

ou ϕpxq “ş

R yfX ,Y px , yqdy avec y P R et x P Rd .

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Modelisation

Etat de l’art

Methodes non parametriques - Estimateurs a noyau

Estimation de la fonction de densite:Tran (1990), Carbon, Tran et Wu (1997), Biau (2003), El Machkouri(2011), Dabo-Niang et Yao (2013), . . .

Estimation de la fonction de regression:Biau et Cadre (2004), Carbon, Francq et Tran (2007), Dabo-Niang etYao (2007), Menezes, Garcıa-Soidan et Ferreira (2010), Dabo-Niang,Rachdi et Yao (2011), Wang, Wang et Huang (2012), . . .

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Modelisation

Etat de l’art

Estimation classique a noyau de f p¨q et rp¨qA partir des observations tpXi,Yiq, i P Inu, on a pour x P Rd :

rnpxq “

"

ϕnpxq{fnpxq si fnpxq ‰ 0;1pn

ř

iPInYi sinon,

avec

ϕnpxq “1

pnhdn

ÿ

kPIn

YkK

ˆ

x ´ Xk

hn

˙

et

fnpxq “1

pnhdn

ÿ

kPIn

K

ˆ

x ´ Xk

hn

˙

§ K noyau defini sur Rd , a support compact et a valeurs dans R

§ limnÑ8 hn “ 0p`q: fenetre

§pn :“ n1 ˆ . . .ˆ nN (taille de l’echantillon)

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Modelisation

Etat de l’art

Remarques

Dans certaines situations, on s’attend a ce que les estimateurs tiennentcompte de la position des sites d’observation.

Champ simulé

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”Everything is related to everything else,but near things are more related than distant things.”

Tobler (1979)

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Modelisation

Notre approche

Notre approche en quelques mots

Basee sur le produit de 2 noyaux:

l’un sur les observations

l’autre sur la positions des sites

Idee introduite dans Hall, Muller et Wu (2006), Wang et Wang (2009),Wang, Wang et Huang (2012), Dabo, Hamdad, Ternynck et Yao (2014),Ternynck (2014), . . .

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Modelisation

Notre approche

”Time-Dynamic Density” - Hall, Muller et Wu (2006)

Ñ estimateur a noyaux de la densite lorsque la distribution multivarieequi genere les donnees evolue avec le temps

Ñ utilise les donnees a partir d’une fenetre ”historique” du temps etdonc les donnees des distributions passees

Soit tXiu une sequence de variables aleatoires multivariees i.i.d. ouXi P Rp est observee au temps ti , avec 1 ď i ď n.

L’estimation de la densite au point x P Rp et au temps t est donnee par

pf px , tq “1

thpλ

ÿ

1ďtiďt

KT

ˆ

t ´ tiλ

˙

KS

ˆ

x ´ Xi

h

˙

, 1 ď i ď n

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Modelisation

Notre approche

Nouvelle estimation de f p¨q (Dabo et al (2014))

On note sj “jn (Ñ site normalise).

Pour chaque x P Rd fixee, localisee en j P In (notee xj) :

fnpxjq “1

pnbdnρ

Nn

ÿ

iPIn

K1

ˆ

xj ´ Xi

bn

˙

K2

ˆ

}sj ´ si}

ρn

˙

ou

§ K1 et K2: noyaux definis resp. sur Rd et R et a valeurs dans R

§ limnÑ8 bn “ 0p`q et limnÑ8 ρn “ 0p`q: fenetres

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Modelisation

Notre approche

Nouvelle estimation de rp¨q

A partir de l’estimation precedente de f , pour chaque x P Rd fixee,localisee en j P In et denotee xj, l’estimateur a noyau de rp¨q, est definipar

rnpxjq “

$

&

%

ϕnpxjq{fnpxjq si fnpxjq ‰ 0;1

pn

ÿ

iPIn

Yi sinon,

avec

ϕnpxjq “1

pnbdnρ

Nn

ÿ

iPIn

YiK1

ˆ

xj ´ Xi

bn

˙

K2

ˆ

}sj ´ si}

ρn

˙

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Modelisation

Notre approche

Condition de melange

Pour mesurer la dependance, on suppose que le champ Z estα-melangeant. Soient σpSq “ tZu,u P Su et σpS 1q “ tZu1 ,u1 P S 1u deuxσ-algebres, on definit

αpvq “ supu,u1PRN ,}u´u1}“v

αpσpSq, σpS 1qq, v ě 0

ouαpσpSq, σpS 1qq “ sup

APσpSq,BPσpS 1q

|PpAX Bq ´ PpAqPpBq|

et on alimvÑ8

αpvq “ 0

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Modelisation

Notre approche

Conditions de regularite

A1: fX ,Y et f sont continues sur Rd`1 et Rd resp.

A2: f p¨q et rp¨q sont Lipschitziennes

Conditions sur les noyaux

A3: K1p¨q et K2p¨q sont des noyaux bornes et integrables sur R. Et K1p¨q

satisfait des conditions de Lipschitz.

A4: D C1i et C2i avec 0 ă C1i ă C2i ă 8, pour i “ 1, 2, telles que

C111r0,1sps1sq ď K1psq ď C211r0,1sps

1sq pour s P Rd

C121r0,1sptq ď K2ptq ď C221r0,1sptq pour t P R

ou s 1 denote la transposee de s.

Condition de dependance locale

A5: la densite de probabilite conjointe fXi,Xj de pXi,Xjq existe, est bornee

et @u, v P Rd , DC ą 0,

|fXi,Xjpu, vq ´ fXipuqfXjpvq| ă C

A6/A7: hypotheses sur les coefficients de melange19 / 42


Modelisation

Notre approche

Resultats de convergence

Sous les conditions A1-A7

Theoreme 1: rnp¨q converge presque completement vers rp¨q et

|rnpxjq ´ rpxjq| “ O

˜

bn `

d

log pn

pnbdnρ

Nn

¸

p.c.

Theoreme 2: rnp¨q converge en moyenne d’ordre q (q ą 1) vers rp¨q et

}rnpxjq ´ rpxjq}q “ O

˜

bn `

d

1

pnbdnρ

Nn

¸

20 / 42


Modelisation

Notre approche

Un modele de prediction spatiale

Soit un processus spatial pXi,Yiq observe sur On Ă In.On souhaite predire Yi0 sachant Xi0 en un site i0 R On.Pour cela, on utilise l’estimateur de la fonction de regression

pYi0 “ rnpXi0q “

ř

iPOnYiK1

´

Xi0´Xi

bn

¯

K2,ρnp}i0 ´ i}q

ř

iPOnK1

´

Xi0´Xi

bn

¯

K2,ρnp}i0 ´ i}q

Remarque: Si on dispose d’un seul processus Y “ pYiq, observe encertains sites i P On et a predire en d’autres sites i0 R On, on pose Xi unvecteur de d composantes issues de Yi (e.g. les plus proches voisins)

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Modelisation

Notre approche

i

Yi

Xi

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Applications

Applications

23 / 42


Applications

Algorithme - Validation croisee

1. Specifier les ensembles de fenetres Spbq et Spρq de K1 et K2 resp.;

2. Pour chaque bn P Spbq, ρn P Spρq et j P In, calculer

rnpXjq “

ř

iPIni‰j

YiK1iK2i

ř

iPIni‰j

K1iK2i

3. Determiner bn,opt et ρn,opt par validation croisee sur Spbq et Spρq.(bn,opt et ρn,opt minimisent le MSE sur les n sites);

4. Pour chaque j, en deduire rn,optpXjq

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Applications

Simulations

Champs simules: N “ 2 et d “ 3

Ypi,jq “ sin´

Xp1qpi,jq ` X

p2qpi,jq ` X

p3qpi,jq

¯

` εpi,jq

avec ε “ pεpi,jqq “ GRF p0, 0.01, 3q et

Xpdqpi,jq “ Dpi,jq

ˆ

2

M

˙1{2 Mÿ

k“1

cospwp1, kqi ` wp2, kqj ` qpkqtd ` rpkqq,

ou t1 “ 1, t2 “ 5 and t3 “ 9. Pour g “ 1, 2 et k “ 1, . . . ,M, wpg , kq etqpkq sont iid N p0, 0.5q, independants de rpkq iid Ur´π, πs.D assure la condition de melange spatial : plus a est grand, plus faibleest la dependance spatiale.

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Applications

Simulations

Un exemple de variable X simulee

5 10 15 20 25 30 35

510

1520

2530

x1

5 10 15 20 25 30 35

510

1520

2530

x2

5 10 15 20 25 30 35

510

1520

2530

x3

Figure : Champ X d (d “ 3) simule, pour une taille de grille pn “ 1050 et unevaleur de a “ 2

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Applications

Simulations

Resultats numeriques: 30 replications

Comparaison de notre estimateur r 7np¨q avec celui ne tenant pas comptede la position des sites r‹n p¨q:

a pn R27 R2‹ p-value

2 625 0.9241 0.3797 5.93 ˆ 10´25

1050 0.9008 0.2391 2.16 ˆ 10´31

5 625 0.9599 0.8748 1.08 ˆ 10´17

1050 0.9492 0.7884 1.82 ˆ 10´21

10 625 0.9677 0.9533 6.47 ˆ 10´12

1050 0.9649 0.9398 5.51 ˆ 10´17

25 625 0.9614 0.9595 2.14 ˆ 10´05

1050 0.9681 0.9650 5.71 ˆ 10´13

R2: moyenne des coefficients de determination sur 30 replications

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Applications

Simulations

Resultat en image

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 30

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 30

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 30

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Figure : Champ Y obtenu en considerant les variables explicatives Xprecedentes (pn “ 1050 et a “ 2) puis pour chaque site, l’erreur au carre deprediction en considerant r 7n et r‹n resp.

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Applications

Donnees reelles

Illustration: Jura Suisse

Enjeu: determiner les surfaces contaminees afin d’empecher, par exemple,de cultiver ces sols ou de les habiter.

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§ region de 14,5 km2

§ concentration en metaux lourdsdans le sol

§ 259 sites d’observation

§ 100 sites a predire

Donnees collectees par l’Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suisse).

Donnees beaucoup utilisees: e.g. Goovaerts (1997) (geostatistique)

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Applications

Donnees reelles

Jura Suisse: prediction

Cas Y X1 Cadmium Nickel, Zinc2 Cuivre Plomb, Nickel, Zinc3 Plomb Cuivre, Nickel, Zinc

§ X connus aux 359 sites

§ Y connus aux 259 sites

Ñ predire Y aux 100 sites non observes

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Applications

Donnees reelles

Resultats numeriques : MAE

Estimateur Cas 1 Cas 2 Cas 3Krigeage 0.58 15.40 20.90

R7n 0.56 14.99 20.10R‹n 0.61 15.53 21.96

Cokrigeage ordinaire 0.51 7.90 10.80Cokrigeage revisite (cov) 0.52 7.80 10.70Cokrigeage revisite (corr) 0.52 7.40 10.60

R7n 0.42 7.02 11.02R‹n 0.44 7.80 12.51

31 / 42


Extension

Cadre fonctionnel

32 / 42


Extension

Les donnees fonctionnelles sont de plus en plus considerees dans lalitterature:

§ Classification (Dabo et al. 2007, Delaigle et Hall 2012);§ ACP (Ramsay et Silverman 2005, Mas 2008, Shang 2014);§ Regression (Masry 2005, Dabo et Rhomari 2009, Ferraty et al.

2012);§ Detection de rupture (Berkes et al 2009, Hormann et Kokoszka

2010);

§...

et dans de nombreux domaines d’applications (e.g. Besse et al. 2000;Chebana et al. 2000; Jacques et Preda 2013; Antoniadis et al. 2014;Ferraty 2014 ):

§ consommation d’electricite§ spectrometrie§ hydrologie§ climat§ medecine: courbes de croissance, angle de flexion du genou

§...

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Extension

Regression spatiale pour donnees fonctionnelles

Yi “ rpXiq ` εi

ou

§ les observations X P pE , dp¨, ¨qq sont desfonctions (e.g. courbes)

§ la variable dependante Y est reelle

t

X(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

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Extension

Estimation de rp¨q,Pour xj P pE , dp¨, ¨qq, rnpxjq est definie comme dans le cas multivarie maisen considerant

fnpxjq “1

pnρNn E´

K1

´

dpxj,Xiq

bn

¯¯

ÿ

iPIn

K1

ˆ

dpxj,Xiq

bn

˙

K2

ˆ

}sj ´ si}

ρn

˙

et

ϕnpxjq “1

pnρNn E´

K1

´

dpxj,Xiq

bn

¯¯

ÿ

iPIn

YiK1

ˆ

dpxj,Xiq

bn

˙

K2

ˆ

}sj ´ si}

ρn

˙

K1 et K2 sont des noyaux (a support compact) definis sur Rbn et ρn sont les fenetres qui tendent vers 0dp¨, ¨q est une semi-metrique.

Des resultats de convergence sont donnes dans Ternynck (2014).

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Extension

Resultats numeriques

Modele Cas a R27 R2‹

A

1

5 0.652 0.057

20 0.956 0.896

50 0.981 0.969

2

5 0.925 0.054

20 0.960 0.895

50 0.982 0.970

B

1

5 0.914 0.361

20 0.994 0.988

50 0.998 0.997

2

5 0.926 0.356

20 0.993 0.988

50 0.997 0.996

36 / 42


Extension

Resultat en image

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure : Champ Y obtenu en considerant des variables explicatives Xfonctionnelles (pn “ 625 et a “ 5) puis pour chaque site, l’erreur au carre deprediction en considerant r 7n et r‹n resp.

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Extension

Resultat en image

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0.5

1.0

1.5

2.0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0.5

1.0

1.5

2.0


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Extension

Resultat en image

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4


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40 / 42



Perspectives

§ adapter l’estimateur aux donnees categorielles;

§ ameliorer le choix de bn et ρn;

§ generaliser ce travail lorsque les sites sont aleatoires;

§ considerer d’autres alternatives a l’esperance conditionnelle : e.g. lesquantiles conditionnels

§ tenir compte des ”effets de bord” (Edge effects);

§ traiter le cas ou la region In est continue.

41 / 42



Je vous remercie pour votre ecoute.

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Bibliographie

Gerard Biau and Benoıt Cadre, Nonparametric spatial prediction,Statistical Inference for Stochastic Processes 7 (2004), no. 3,327–349.

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Noel A C Cressie, Statistics for spatial data, revised ed., Wiley Seriesin Probability and Statistics, vol. 110, Wiley-Interscience, 1993.

Michel Carbon, Lanh Tat Tran, and Berlin Wu, Kernel densityestimation for random fields (density estimation for random fields),Statistics & Probability Letters 36 (1997), no. 2, 115–125.

Sophie Dabo-Niang, Leila Hamdad, Camille Ternynck, andAnne-Francoise Yao, A kernel spatial density estimation allowing for

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Bibliographie

the analysis of spatial clustering: application to Monsoon AsiaDrought Atlas data, Accepted, 2014.

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Pierre Goovaerts, Geostatistics for natural resources evaluation,Oxford University Press on Demand, 1997.

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Camille Ternynck, Spatial regression for functional data with spatialdependency, Journal de la Societe Francaise de Statistique (2014).

Lanh Tat Tran, Kernel density estimation on random fields, Journalof Multivariate Analysis 34 (1990), no. 1, 37–53.

Hongxia Wang and Jinde Wang, Estimation of the trend function forspatio-temporal models, Journal of Nonparametric Statistics 21(2009), no. 5, 567–588.

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Une nouvelle approche non param etrique pour estimer la … · avec Sophie Dabo-Niang et...

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