Une Inégalité de Heisenberg Inverse

UNE INEGALITE DE HEISENBERG INVERSE

Par

JEAN-PiERRE KAHANE , JEAN-MARc LEVY-LEBLOND ET JOHANNES SJOSTRAND

Abstract. L' im!gali\i de Heisenberg s'ecrit f:ll6.p ~ !. L'inegalite inverse

est f:ll6.p ~ Jz . On donne des conditions pour qu ' il en soit ainsi, portant sur

la fonction d'onde cp = e-..p, ou sur Ie potentiel V tel que cp soit fonction propre

d'energie minimale de l'hamiltonien H = -~ £2 + V. Exemples : cp = e- 1xl , V = -6 et ces exemples sont stables en des sens qu'on peut preciser. Type de condition sur t/J : t/J" estsomme d'one masse ponctuelle en ° et d'une fonction paire, positive, localement integrable et telle de plus que t/J" ( .JX) soit decroissante et convexe sur (0, 00). Types de condition sur V : V = -)..6 + U, oil ).. ~ ° et U est one fonction paire, inregrable au voisinage de 0, avec U j , U' 1, U" j sur (0,00) ; ou bien V convexe et paire, avec sup V" ~ 2 inf V". On montre en passant comment certaines proprieres du potentiel V se reftechissent en proprieres de I' etat fonclamental cp.

Abstract. Heisenberg's inequality is f:ll6.p ~ ~. The paper gives conditions

for the reverse inequality f:ll6.p ~ Jz . These conditions involve either the wave

function cp = e-..p, or the potential V (cp is eigenfunction of H = - ~ fir + V

with the lowest eigenValue). Examples: cp = e-1xl , V = -6, and small variations around. Condition on t/J : t/J" = )..6 + g, ).. ~ 0, g being even, positive, locally integrable, and g(.JX) decreasing and convex on (0, 00). Conditions on V : V = -)..6 + U,).. ~ 0, U being even, locally integrable, with U j, U' 1, U" jon (0,00) ; or V convex and even, with sup V" ~ 2 inf V". One provide also some answers to the question, to what extend the ground state mirrors properties of V.

135 JOURNAL D' ANALYSE MATHEMATIQUE, Vol. 60 (1993)

136 I.-P. KAHANE ET AL.

Au milieu des annees 1960 Szolem Mandelbrojt a patronne une recherche cooperative sur programme du CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) intitulee "problemes mixtes sur transformees de Fourier", associant des mathematiciens, des physiciens theoriciens et des cristallographes. Mixte avait deux sens. II pouvait s'agir de questions ou les interets des physiciens et des mathematiciens se trouvaient melanges, ou bien de questions ou se trouvaient melangees des conditions sur une fonction et sur sa transformee de Fourier. Dans ce volume en hom~age a sa memoire il nous a semble indique de contribuer a I'etude d'nn probleme rnixte sur transformee de Fourier, dans les deux sens du terme: issu de la physique, et concernant un couple (~, <p) de transformees de Fourier.

1. Motivations physiques

On connait l'importance en th60rie quanti que des "inegalites de Heisenberg" qui expriment en termes physiques la non-compatibilite des grandeurs position et moment d'un quanton. En designant par & et 1::.p les dispersions quadratiques de ces grandeurs, l'inegalite de Heisenberg usuelle s'ecrit

(1.1 ) 1

&!::.p>-2

[dans un systeme d 'unites ou la constante de Planck reduite est prise pour unite]. Elle vaut pour tout etat (toute fonction d'onde) du quanton. Sa demonstration mathematique, fort simple, peut etre consideree comme un exercice relativement elementaire sur les transformees de Fourier (de meme que nombre de ses generalisations [1]), mais son interet physique est profond. Par deIa sa signification conceptuelle quant a la nature des grandeurs en theorie quantique, l'inegalite de Heisenberg (1.1) possede en e:ffet une valeur heuristique considerable [2]. Sous la forme, non d'une minoration, mais d'une estimation en ordre de grandeur:

(1.2) &1::.p,:::,l,

cette relation entre les dispersions en position et en moment permet de tres fructueuses estimations des proprietes caracteristiques (niveau d'energie, extension spatiale, etc.) d'un quanton soumis a des forces dependant d'un potentiel V(x) assez general.

La large validite de cette demarche approximative laisse a penser qu' elle possede un fondement rigoureux--qu'il s' agit done de mettre en evidence. II suffirait, pour donner un sens assure a l'evaluation (1.2), de pouvoir donner du produit &1::.p nne minoration, c'est-a-dire de demontrer une "inegalite de Heisenberg inverse". Cependant, nne telle inegalite ne saurait avoir la generalite de l'inegalite usuelle

UNE INEGALITE DE HEISENBERG INVERSE 137

(1.1) car I'usage heuristique de (1.2) vaut pour l' etat Jondamental (c'est-a-dire retat de plus basse energie) d'un quanton dans un puits de potentiel--c'est-a-dire pour nne fonction Vex) presentant, pour l'essentiel, un "creux" bien marque et un seul [dans un double puits, c'est-a-dire pour un Vex) a deux "creux" separes par une distance d , ona Llx ~ d et l:!..p independant de d lorsque d ~ 00, ce qui invalide (1.2)] . La caracterisation des potentiels V qui donnent lieu (pour leur etat fondamental) a une inegalite de Heisenberg inverse est precisement Ie noeud du probleme que nous abordons ici.

S 'il existe une telle inegalite, Ia valeur numerique de Ia borne superieure dont il s'agit de prouver I'existence se prete en tout cas a une conjecture assez naturelle. De fait, Ie potentiel en un certain sens "Ie plus simple" est celui qui se roouit a une mesure de Dirac (negative) ; il mode lise une interaction agissant ponctuellement sur Ie quanton. On peut legitimement penser que c'est la la contrainte la plus limitee qui se puisse exercer sur Ie quanton pour donner naissance a un etat lie (d'ailleurs un tel potentiel ne possede qu'un seul etat lie) et que la restriction ainsi imposee aux dispersions en position et moment est la plus faible. Le calcul (rappele ci-dessous) montre dans ce cas que

(1.3) 1

Llx l:!..p = - (potentiel - 8) . .j2

Nous formulons donc plus generalement I 'hypothese que, sous des conditions qu'il s' agit justement de formuler, est valide I' inegalite de Heisenberg inverse

(1 .4)

Nous limiterons notre etude a un cas tres simple, unidimensionnel et pair.

2. Notations et preliminaires

Suivant l'u~age, la variable de position est designee par x (x E R), Ie moment par p (p E R), et la dualite est donnee par Ie caractere eixp. La fonction d'onde est rp(x) ; on suppose rp(x) E L2(R,dx) et

(2.1)

La transformee de Fourier de rp(x) est tj;(P). L' application rp ~ tj; est Ie prolongement a L 2 de I' application rp ~ tj; definie sur LIn L 2 par

(2.2)

138 J.-P. KAHANEET AL.

c' est une isometrie, donc

(2.3)

On pose

(2.4) )1/ 2

Lli = (L J?- 1 c,o(x) 12 dx ,

(2.5)

L'inegalite de Heisenberg, rappelons Ie, est

(1.1) Llil:1p 2: 1/2.

La fonction d ' onde a laquelle s' interessent les physiciens est une fonction propre de

(2.6) l~

H = -2 dx2 + Vex) ,

ou Vex) est Ie potentiel. La fonction d 'onde de l'etat fondamental correspond a la plus basse valeur de l' etlergie, E , qui est la valeur propre correspondante. La relation entre c,o et Vest exprimee par l' equation de Schrodinger H c,o = Ec,o , soit

(2.7) 1

-2c,o"(X) + (V(x ) - E)c,o(x) = O.

n existe une abondante litterature sur l'existence et les proprietes de c,o(x ) en fonction de V ex). Nous n'en aurons pas besoin et nous y ajouterons quelques resultats nouveaux (theoremes 5 et 6) . Retenons seulement que, lorsque Vex ) est une fonction reelle et paire et que la fonction c,o(x ) existe (c'est-a-dire que H admet une valeur propre minimale, E) , c,o(x) est reelle et paire, et ne s'annule pas sur R . Lorsque Vex) = ax2 + b avec a> 0, c,o(x) est une fonction de Gauss: c'est Ie cas de l'oscillateur harmonique pour Iequell'inegalite de Heisenberg est saruree

(2.8) Llil:1p = 4. (potentiel harmooique).

Dans Ie cas deja evoque d'un potentiel de Dirac, soit V ex) = -hex) , il est aise de montrer que c,o(x) = exp( - 1 x I) , ce qui conduit a la formule ( 1.3), dont nous conjecturons qu 'elle correspond a une majoration du produit Llil:1p.

UNE INEGALrrE DE HEISENBERG INVERSE 139

Desonnais nous supposons que ip(x) est paire et strictement positive:

(2.9)

Nous supposons toujours ip(x) E L Z(R, dx), rnais nous renon«;ons ala nonnalisation (2.1) et nous posons

(2.10)

(2.11)

(2.1 2)

(2.12) est la traduction de

(2.13)

integrale toujours definie (::; (0); en cas de difficulte d'interpretation, il faut lire (2.13) au lieu de (2.12), et de meme pour la fonnule derivee

(2.14)

qui resulte de (2.12) par une integration par parties. La fonnule (2.7) s'ecrit

(2.15) -'ljl'(x) + 'Ij;'z(x) = 2V(x) - 2E.

Ainsi. a une constante additive pres, Vex) est bien definie quand 'Ij;"(x) est donnee. Nous nous bomerons au cas Oll 'Ij;"(x) est une mesure localement bomee (et symetrique par rapport a 0); alors 'Ij;' (x) est une fonction impaire, a variation bomee sur tout intervalle, et Vex) est une mesure localement bomee. Le cas ip(x) = e- 1xl

entre dans ce cadre: 'Ij;(x) =\ x \. 'Ij;' (x) = signe x, 'Ij;"(x) = 2.5(x), Vex) = -.5 (x) , E - _1 - z·

La fonnule (1 .4) s'ecrit

(2.16)

140 J.-P. KAHANE ET AL.

Nous poserons

(2.17) L = BCA-2 •

L ne change pas quand on change 1jJ(x) en 1jJ(x) + a (a reel), ou 1jJ(x) en 1jJ(>.x) (A> 0) .

Ainsi L ne depencLque de 1jJ", et on a

(2.18) L(A21jJ"(>.x)) = L(1jJ"(x».

En particulier, L(AI) = L(8). Observons que, sur Ie cone r des mesures positives, localement bOffieeS et paires

sur R, et non nulles, I' application 1jJ" -+ L( 1jJ") est continue pour la topologie faible: si J f 1jJ~ tend vers J f 1jJ" pour toute fonction f continue a support compact, L( 1jJ~) tend vers L( 1jJ").

n n' est pas difficile d' evaluer L dans les deux cas suivants:

Exemple 1 1jJ"(x) = H8(x - a) + 8(x + a» (a 2:0). Enchoisissant 1jJ(0) =

1jJ(a) = 0, on obtient

A= 2(1 + a),

donc L S 1 si et seulement si a2 - 3a - 6 S 0, soit

(2.19)

Exemple 2 1jJ"(x) = ill 1 [-a ,aj (x) (a> 0) . En choisissant 1jJ(a) = 0 on obtient, en utilisant (2.12) et (2.14),

A = 2(1 + 2aC),

B = 4(1 + a + a2C),

1 r a2 -x2 C = 2a io exp 2a dx,

L = C(1 + a + a2C)(1 + 4aC + 4a2C2 )-I ..

ONE INEGALITE DE HEISENBERG INVERSE

Ainsi L S; 1 equivaut it 1

a2C2 + (a - I)C + 2 2: °

141

et cela a lieu quel que soit a :> ° : pour a > ! parce que Ie trinome en C ne s ' annule pas, et pour a < 1 a cause de I'inegalire 2C S; tf1 /2.

On peut varier ces exemples en utilisant (2.18). Le premier exemple montre que rinegalite L S; ! a lieu sur une partie propre du cone r. Peut-on expliciter cette partie propre au moyen de proprietes de 'IjJ" , ou au moyen des potentiels V associes ? est-ce une partie convexe-de r ? Nous n'avons pas ete capables de repondre a ces questions.

Le second exemple suscite une autre question, encore ouverte : a-t-on L S; 1 chaque fois que 'IjJ"(x) est une fonction decroissante sur [O,oo[ ? La reponse est positive moyennant une condition additionnelle (theoreme 4).

Observons que, lorsque a tend vers 0, les mesures 'IjJ" des exemples 1 et 2 tendent vers 8, et que L tend vers 1/2 par valeurs inferieures. Observons aussi que (par

(2.18»

(2.20)

quand a tend vers l'infini, la fonction indicatrice du second membre tend vers 1, et

L vers !, sa valeur minimum. Remarquons enfin que (2.18) s' ecrit aussi

(2.21) L(t'IjJ"(x» = L (!'IjJ"(::») t t.

(I> 0),

(2.22) L(12'IjJ"(X» = L('IjJ"(::» . t

D'apres la continuite faible de l'application 'IjJ" -> L('IjJ"), (2.21) entraine que

(2.23) liIDL(t'I/J") == ! t--+O 2

lorsque J 'IjJ" < 00, et (2.22) en"trame que

(2.24) lim L(t'IjJ") = 4! t.----+ex>

lorsque 'IjJ" est one fonction continue en ° et que 'IjJ"(O) i= O. Dans Ie theoreme 2 nous etudierons la variation de L( t'IjJ") en fonction de t pour certaines fonctions 'IjJ!I. En particulier, nous verrons que L(t'IjJ") est decroissante sur (0,00) Iorsque

'IjJ" = 1 [-a,aj ' D'apres (2.21), cela revient it dire que, dans I'exemple 2, Lest fonction decroissante de a, ce qui n 'est pas evident sur la formule.


3. Conditions sur la fonction d'onde

Theoreme 1 On a L(1/;") :::; ! au voisinage de (j dans chacun des deux sens

suivants:

(a) it existe une constante absoLue a1 > 0, telle que si 1/;" est une mesure positive

paire de masse totale 1 portee par l'intervalle [-at,aIJ on a L(1/;") :::; !; (b) queUe que soil La mesure positive paire h" bornee sur :JR, on a L( (j + th") :::; !

pour t > ° assez petit (0 < t < t(h")).

La preuve montrera qu'on peut choisir aJ = y'3 - 1. Remarquons qu'en utilisant (2.18), autrement dit l'invariance deL quand on

change 1/;(x) en 1/;(Ax) , la partie a) du tMoreme dit que L(1/;") :::; ! lorsque 1/;" est line mesure positive paire de masse totale A portee par l'intervalle [-aI/ A, aI/ A]. au encore, L ( 1/;") S ! pour toutes les fonctions 1/; reelles, paires, convexes sur :JR, et comprises entre deux fonctions de la forme ! (I Ax I -a d et ! (I Ax I -a d + .En particulier, remarquons que, si 1/;" est a support compact, on a L(t1/;") :::; ~ quand

t > ° est assez petit. Convenons de dire qu 'une fonction definie sur (0,00) est concave-convexe si,

pour un certain 0' > 0, elle est concave sur (0, 0'] et convexe sur [0' , (0). Sauf mention du contraire, "concave", "convexe", "croissant", "decroissant" doivent s' entendre au sens large.

Them"erne 2 Supposons que 1/;" est une fonction paire, 2: 0, localement nt,"

integrable, decroissante sur (0,00), telle que 7 soit decroissante sur (0,00) et que, pour tout t E [0, 1], (1/;" - t1/;'2) ( yX) soit une fonction convexe ou concave

convexe sur (0,00) . Alors L(t1/;") est une fonction decroissante de t (0 :::; t S 1), et

L(1/;") :::; ~.

Avant d'aller plus loin, voici quelques remarques et exemples. Soit 1/;({ une ,p" ,pilI

fonction paire et 2: 0, localement integrable, decroissante ainsi que ~ et --}-

sur (0, (0). Exemples: 1/;({(x) = b I x I-c avec b > 0, 0< c < 1, ou 1/;({(x) = (a - b I x n+ avec a> 0, b > 0, 0< c S 2. Alors 1/;({( yX) est convexe (car )x1/;({I( yX) net

-1/;OZ( yX) est convexe (car 1/;({C yX) et )x 1/;b ( yX) sont positifs decroissants). Donc

les hypotheses sont satisfaites, et L( 1/;({) :::; !. Soit maintenant 1/;" = 1/;({ /\ 1/;1/ (0'), c'est-a-dire 1/;1/(x) = 1/;1/(0') sur (0,0'] et 1/;" (x) = 1/;:{(x) sur [0', (0) ; un calcul simple

permetde verifierles hypotheses, doncL(1/;") S 1. Soitenfin 1/;" = bI l-a,a] (b > 0); les hypotheses sont visiblement satisfaites et Ie theoreme 2 permet de retrouver L:::; i dans l'exemple 2.

Le theoreme 1 b est un cas particulier du suivant.


Theoreme 3 Supposons que 'lj;" et h" sont deux mesures positives paires

bornees sur.JR, 'lj;" portee par un intervalle compact [-a , a] (de masse J 'lj;") , h" portee par (-00, - a) U (a , (0), avec l' une des conditions additionnelles suivantes:

(0:) a J 'lj;" ::; a2 , constante absolue ;

(f3) sur (0, 00 ), 'lj;" est une fonction decroissante et ('lj;" - 'lj;(2) (../X) est convexe

ou concave-convexe.

Alors

(3.1 ) L( 'lj;" + th") ::; L( 'lj;")

pour t > 0 assez petit (0 < t < t( 'lj;", h"» .

On verra apres la demonstration qu'on ne peut pas se dispenser d 'une condition additionneUe.

Voici enfin Ie resultat annonce dans la section 2.

Them"erne 4 Supposons que 'lj;" est fa somme d ' une masse ponctuelle 2 0 en

o et d' une fonction paire, 2 0, decroissante et localement integrable sur (0,00). Supposons en outre que 'lj;" ( ../X) est convexe. Alors L( 'lj;") ::; ~.

Demonstrations des theoremes 1, 2, 3, 4 Elles se fondent toutes sur Ie meme principe, a savoir l'etude de la variation en fonction de t sur un intervalle reel! deL('lj;:'), ou 'lj;t(x) designe une fonction du couple (x,t) (E R x I) paire et convexe en x . Quand 00 remplace 'lj; par 'lj;t, A, B, C, L deviennent des fooctions

de t, soit At, B10 CI, Lt· On eerira -J;ll A" .. . au lieu de fr'lj;t, frA1o .. . lorsque ces derivees partielles existent, et on utili sera quand elles soot justifiees les formules

(3.3)

(3.4)

(3 .5)

B = -2 J . i. re-2.p, t '1-'/ , ,

Ct = -2 J -J;/'lj;'(-e- 2.p, + J ('lj;,(-) 'e-2.p,

= - 2 J (-J;/'lj;;2 - -J;;'lj;;)e - 2.p,

= -2 J -J;/('lj;;' - 'lj;;2)e-2.p,


et la forrnule de

J (x2 1j;" 1j;12 2) (3.6) XI = (logLr)" = -2 ~I B + I ~ I - Ii e-21{J, .

Remarquons que, queUe que soit 1j; paire et convexe,

(3.7) J (x2 1j;" _1j;12 _~) -21{J_ B + CAe -0,

(3.8) J I (X2 1j;" _1j;/2 _~) -21{J _ x1j; B + CAe - o.

En effet, si on applique (3.6) a 1j;1(X) = 1j;(x) +t resp. 1j;1(X) = 1j;(xt), LI estconstante, done XI = 0 et (3.7) resp. (3.8) en decoule.

Preuve du tbeoreme 1, partie (a) Quitte a remplacer 1j;" par une mesure voisine, nous pouvons supposer que 1j;" est une mesure positive paire diffuse de masse totale 1 portee par I'intervalle [-a, a]. Ainsi 1j;' croit continument de 0 a ! quand t croit de 0 a 00. Po sons

1j;1(X) = 1 { 1j;(x) sur [0, t],

1j;(t) + 2(x - t) sur [t, (0) .

Ainsi 1j;1(X) = 1j;(x) lorsque I ~ a. Au lieu d'appliquer (3.6), qui necessite une interpretation, calculons directementA/ BI , C I et leurs derivees:

d'ou

Al = 2 fol e-21{J + 2e-2..p(I) ,

Bt = 2 fol re-2..p + 2(i + 2t + 2)e-21{J(I),

Ct = ll 1j;IIe-2..p + (~ -1j;'(I») e-21{J(t),

Al = 2(1 - 21j;' (t))e-21{J(I),

BI = (1 - 2'!fJ'(t))(4 + 41 + 2i)e-21{J(t),

(;1 = -1j;'(t)(1 - 21j;'(t)e-21{J(I) ,

XI = (iogLI)" = (1 _ 21j;'(t»)e-2..p(I) (4 + 41 + 2t2 _ 1j;'(t) _ ~) . BI CI AI

UNE INEGALfrn DE HEISENBERG INVERSE 145

En consequence, XI S 0 lorsque

(3.9)

nest tres facile de voir que que (3.9) est realisee quand test assez voisin de o (independant de '¢). Pour tirer Ie meilleur parti de (3.9) etablissons Ie lemme suivant.

Lemme 1 Si '¢" est une mesure de probabilite, on a

(3.10) B - >2. A-

Preuve n suffit d' etablir (3.10) sous la condition additionnelle que '¢" est portee par un intervalle borne [-a, a] . Alors I' ensemble des '¢" est faiblement compact, et ~ est une fonction faiblement continue de ,¢" , qui atteint son minimum en '¢" = W{. Supposons '¢g f:. 8. n existe alors une fonction '¢I (x) = 4 I x I - £ (£ reel) telle que

(3.11)

et '¢1 - 1/;0 est < 0 pilis > 0 quand x croit de 0 a 00, donc

(3.12)

Po sons '¢l = '¢O + t( '¢l - '¢o) (0 < t < 1); c ' est une mesure de probabilite portee par [- a ,a] , et, d'apres (3 .11) et (3.12), ~ a une derivee strictement negative en t = 0,

contrairement a I 'hypothese que !~ est minimum. Done WI = 8, et alors !~ = 2,

d'ou (3.10). L'application de (3.10) a (3 .9) montre qu'on aXt SO lorsque 2 ~ 1 + t +~, soit

t S v'3 - 1. n en resulte que, si

(3.13) aSv'3-1 ,

on a L = La S Lo = 4, c'est-a-dire la conclusion du theoreme 1, partie (a), en

choisissant a l = v'3 - 1.

Preuve du theoreme 1, partie (b) On suppose ici '¢ = J¥, donc A = 2, B = 4, C = 1, et '¢I = '¢ + tho Les formules (3.3) a (3.6) sont alors justifiees, et

(3.6) s ' ecrit

Xo = -2 J h(x) (: - ~ -1) e-1x1dx.

146 I .-P. KAHANE ET AL.

Tenant eompte de (3.7) et (3.8),

Xo = -2 j (h(X) - >'1 x I _p,)(x2 -! - l)e- 1x1 dx 4 2

pour tout >. et p, reels. En ehoisissant >. et p, de fa~on que Ie produit des parentheses so it ?: 0, on voit que Xo :s: 0 , done, pour t ?: 0 assez petit, on a L( 6 + th") :s: !, ce qu ' on devait demontrer.

Preuve du theoreme 2 On suppose que 1/1" verifie les hypotheses du theoreme 2. La conclusion du theoreme 2 resulte du theoreme 1, partie (a), et des lemmes suivants, que nous allons demontrer.

Lemme 2.1 Si (outre Les hypotheses du theoreme 2), 1/1" est a support compact, L(t1/1" ) est fonction decroissante de t sur (0, 1).

Corollaire Comme L(t1/1" ) :s: ! quand test assez petit (remarque a La suite du theoreme 1), on a L( 1/1") :s: !.

Lemme 2.2 Soit a > 0, et soil 1/1~ la fonction paire definie par

(3.14) "() { 1/1" (x) (x :s: a) , 1/1a x = (1/1"(a) + 1/1111(a)(x - a ))+ (x?: a) ,

1/1" etant supposee (outre les hypotheses du theoreme 2) derivable en a. ALors, si a est assez grand, 1/1:; verifie les hypotheses du theoreme 2.

Corollaire Comme L(1/1" ) est approchable par les L(1/1:;) et L(1/1~) :s: !, on a L ( 1/1") :s: ~ . Pour La meme raison , L(t1/1") :s: L(s1/1") si 0 < s < t < 1.

Preuve du lemme 2.1 Posons 1/11 = 11/1 , 0 < t :s: 1. On peut utiliser (3.6) avec

~ = 1/1, done

(3.15)

avee

(3 .16)

D'apres (3.7) et (3.8), on a


quels que soient les reels a et fl. De plus, x'l/;' crolt continument de 0 a 00 quand x varie de 0 a 00. II s'ensuit que Ia fonction WI change au moins deux fois de signe sur (0,00).

Or, '1/;" etant decroissante sur [0, 00), (2.10) et (2.14) donnent C1 < f 'l/; //(O)At , c'est-a-dire wl(O) > O. Comme ('1/;// - t'l/;,2)(.;x) est convexe ou concave-convexe sur (0, 00), il en est de meme pour Wl( .;x). II resulte de ces deux faits que Wt change au plus deux fois de signe sur (0, 00) .

Posons

vex) = fox wle-2tf;( .

On a v(O) = v( 00) = 0, et v possede exactement deux extrema; donc v s 'annule en un point unique Xo sur (0,00). Comme Wt(O) > 0, on a v 2: 0 entre 0 et xo, v :::; 0 entre Xo et 00. Remarquons que

(3.17)

(integration par parties a partir de (3.15)) et

(3.18)

(integration par parties a partir de (3.8»). Posons entin

(3.19)

On a (xljJ')'v 2: 0 entre 0 et Xo, (x'l/;')'v :::; 0 entre Xo et 00. Compte tenu de (3.18), u( 00) = u(O) = 0, et u est croissante puis decroissante, donc u ~ 0 sur (0, 00). Une nouvelle integration par parties, a partir de (3.17), donne

(3 .20) rOO ( '1/;' )' Xl = -4 Jo (x'l/;')' u.

L'hypothese que xr est decroissante sur (0,00) equivaut a (x~:r decroissante,

donc (x~:)( croissante. Donc Xt :::; 0, ce qui etabIit Ie lemme 2.1.

Preuve du lemme 2.2 Choisissons a assez grand pour que '1/;111 (a) soit strictement negatif. Conune _'I/;~2(.;x) est convexe (consequence de la decroissance de '1/;:;), ('I/;:; - t'l/;'})(vIx) est convexe sur (a2,00), donc ('I/;:; - t'l/;~2)(vIx) est concave

..plf convexe sur (0,a2 ) etconvexe sur (a2 , 00) . Reste a montrerque xtf;! estdecroissante

148 I.-P. KAHANE ET AL.

sur (a, 00). Soit b Ie premier point ou .,p:; s' annule. Sur [a, b] ce quotient est de la

forme q(x) = x.,p:;(x) = x(b - x)

.,p~(x) -f + bx + c

avec q(a) > 0, q'(a) < 0 (parce que X~:I est decroissante), q(b) = 0, q'(b) < 0, donc (q ne pouvant prendre la meme valeur en trois points) q est decroissant sur [a, b], et son prolongement par 0 sur [b, 00) est decroissant sur [a, 00). Le lemme 2 est etabli.

Remarquons qu' avec I' aide du lemme 2.2 on a la conclusion du lemme 2.1, c' esta-dire la decroissance de L(t.,pl!) quand t varie de 0 a 1, sous les seules hypotheses du theoreme 2. Mais il s'agit d'une decroissance au sens large; par exemple, pour .,p" =1 x I-c (0 < c < 1), L(t.,pl!) est constant puisque, en vertu de (2.18),

pour t)..2+c = 1. Par contre, lorsque .,pI! a son support compact et non reduit a 0, la

preuve au lemme 2.1 montre que L(t.,pl!) est decroissant au sens strict. D'ailleurs,

la compacite du support est requise, a priori, pour montrer que limt->oL(t.,p") ::; ~. L'exemple.,pl! =1 x I-c utilise de fa~on essentielle chacun des lemmes.

Preuve du theoreme 3 Comme pour Ie theoreme 1, partie b, on peut poser 'l/;t = .,p + tho D'apres (3.6),

Xo = -2 ! hwe-2..p

OU x2 .,pI! _ .,p,2 2

W= B + C -A'

Supposons d'abord J .,pI! = 1. Sur (a, 00), on a

x2 1 2 w------

- B 4C A' 1

.,p = 2: (x - a),

et on peut choisir h = 0 sur (0, a). Ainsi

to ((t+a? 1 2) Xo = -4 Jo h(t+a) B - 4C - A e-tdt.


Pour h(t) = (t - a)+, on obrient

Xo = -4 (6+4a+a2 __ 1 __ ~) B 4C A

donc Xo ::; 0 si et seulement si

(3.21)

Si on remplace a par b > a et qu'on choisit h(t) = (t - b)+ , (3.21) est encore verifiee, et on a de nouveau Xo ::; O. En consequence, (3 .21) est la condition necessaire et suffisante pour que I 'hypothese du theoreme, avec J 'if;" = 1, entraine la conclusion.

Prenons 'if; (a) = 0, donc

a x -a -2 ::; 'if;(x) ::; -2- sur (O,a).

Ona

de sorte que (3.21) a lieu lorsque

3 1 + ja + ~ 1 1 - ----->0 2 1 + a + ~ + ~ea 2 1 + a -

donc pour a < a l (al > 0 assez petit). La conclusion est donc etablie sous l'hypothese (a).

Sous l'hypothese ({3), op pose toujours 'if;t = 'if; + th et on opere comme dans la demonstration du theoreme 2. On aboutit a

(3.22) [00 ( h' )' Xo = -4 i o (x'if;')' u,

visiblement ::; 0, et la conclusion en T<!sulte. Remarquons que la condition (3.21) est violee lorsque 'if; = !(8a + 8- a ) et que a

est grand. Les expressions de A, B , C ont ete vues dans l'exemple 1.

150 J.-P. KAHANEET AL.

Preuve du theoreme 4 L'hypotbese revient aecrue

'¢" = >'8 + fooo Xsdp.(s),

03 >. ~ 0, Xs = 1 [-s,s] , et dp. est une mesure positive tdle que

roo ~l dp.(s) < 00. 10 s+

n suffit d'etablir la eonclusjon sous I'hypothese additionnelle que dp.(s) = m(s)ds, avec m(·) continue sur (0, 00), done

'¢" = ),,8 + fooo Xsm( s )ds.

Posons

(3.23) ).. t ,¢;(x) = "2 + 10 (x 1\ s)m(s)ds (t > 0),

et convenons que '¢, est la primitive de '¢: nulle en 0. En derivant (3.23) par rapport a t on obtient

(3.24) tb;(x) = (x 1\ t)m{t) (t > 0).

Suivons maintenant la preuve du lemrne 2.1. Au lieu de (3.15) et (3.16) nous avons

X, = - 2 f tbtw,e-21/J"

xl '¢:' - '¢'(- . 2 w,= -+ --. B, C At

L'hypothese faite sur '¢" passe a ,¢:' , et entraine que w,( Jx) est eonvexe (car '¢:' (Jx) et '¢;(Jx) IJx sont positifs deeroissants). Au lieu de (3.20) nous parvenons a

x, ~ - 4 f ( (X~:)' )' u

avec u ? a et tb; donne par (3.24). Or

(x,¢:)' = {'¢~' + ~. '¢ ... :. .sur (0, t) , x 1\ t constao.te sQr (t, 00),

ce qui est une fonction decroissante sur (0 , 00). II en resulte Xl S 0, done L{ '¢;') S ! et finalement L( '¢11) S !.


4. Conditions sur Ie potentiel

II peut etre desirable d' exprimer des conditions garantissant L( 'lj;") ::; ! en seule fonction du potentiel V. De maniere generale, "one can ask to what extend the ground state mirrors properties of V" ([3], p. 3). Rappelons un theoreme de Brascamp et Lieb ([3], p. 138): Si Vest convexe sur R" et que H = -!6. + V admet un hat fondamental 'P = e-,p, alors 'lj; est convexe. Vne demonstration rapide en a ete donnee par Singer, Wong, Yau et Yau [4]. Voici un resultat meilleur dans Ie cas qui nous interesse (v = 1, V pair).

Theoreme 5 Si V = -A8 + U, ou A ~ 0 et U est unefonction paire, integrable au voisinage de 0, et croissante sur (0,00), alors 'lj; est convexe.

Remarquons aussi que si Vex) = 0 pour I x I~ a, on a'lj;" = 0 hors de [-a, a] : il suffit de resoudre (2.7) sur (-00, -a) et sur (a, 00). Dans ce cas, I'lj;" = 2'lj;' (00) =

2../-2E, E etant comme toujours la plus petite valeur propre de l'operateur H = 1 d2

-2JXi + V.

CoroUaire 1 Si V verifie l' hypothese du theoreme 5 et Vex) = 0 pour I x I~ v'3- 1 I L < 1

2";-2£' a ors - 2·

n suffit d'appliquer Ie theoreme 1 (a), avec al = J3 - 1, sous la forme donnee

en remarque.

Corollaire 2 Designons par L[V]la valeur de L pour un potentiel V . Si V verifie l' hypothese du theoreme 5 et est majore sur (0,00) on a

limL[tV] = -21 . 1--->0

Si de p lus Vex) = 0 pour x assez grand, alors L[tV] < ! pour t assez petit

(0 < t < t(V)).

II s'agit de la transcription de 1a formule (2.23) et de la remarque qui suit Ie theoreme 1. Observons que 1 'hypothese sup V < 00 equivaut a I 'lj;" < 00.

Observons aussi que, d'apres (2.15) et (2.18), on a

et en particulier l ' analogue de (2.21)


Preuve du theoreme 5 Considerons l'equation differentielle

(4.1) y' = l - 2( U - E) (x > 0)

ou E est l' energie de I' etat fondamental, et Ia courbe integrale r partant a droite

du point (0, %); c 'est Ia courbe decrite par (x, 'Ij;'(x )) quand x> ° (voir (2.15». Si r rentrait dans Ie domaine y2 - 2(U - E) < ° elle y resterait pour toujours et elle finirait par descendre au dessous de i'axe des x, ce qui est en contradiction avec Ie

fait que e - 'ifJ E L 2. Donc r ne rentre pas dans Ie domaine y2 - 2( U - E) < ° et on a

donc y' ~ ° pour tout x, c'est-a-dire 'Ij;" ~ 0 . CQFD. L'etude de Ia famille des courbes integrales de (4.1) Iorsque ron considere E

comme un parametre permet d ' ailleurs, dans ce cas simple, de se passer de la theorie habituelle de l'equation de Schrodinger, et d 'obtenir directement I'existence de E

(borne inferieure des parametres pour lesqueis la courbe integrale rest ascendante) et de l'etat fondamental e-'ifJ.

On peut etendre Ie theoreme 5.

Them"erne 6 Si V = - >"6 + U, OU >.. ~ ° et U est une fonction paire , integrable

au voisinage de 0, derivablejusqu' a l' ordre p sur (0, 00), et telle que (-lYU(j) soit

croissante sur (0, 00) U = 0, 1, . . . ,p), alors 'Ij; est derivable jusqu' a l' ordre p + 1 sur (0,00), et ( - l Y'Ij;(j+l) est croissante sur (0, 00) U = 0, 1, . . . ,p).

Preuve Commenc;ons par Ie cas p = 2 , c'est-a-dire U croissanteconcave. Sur la courbe r , on a (4. 1) et les equations derivees

(4.2) y" = 2yy' - 2U' ,

(4.3) y'" = 2yt2 + 2yy" - 2U" ~ 2yy".

Si on avait y" > a > ° en x , on aurait d'apres (4 .3) y" > a > ° sur toute la demi-dioite (x, 00), donc, U etant concave,

(4.4) y2 _ 2(U - E) = l(1 + 0(1)) (x ---> 00)

ce qui entramerait que (4.1) n 'ait pas de solution definie sur (0, 00) . Donc y" S 0 , ce

qu'on avait a demontrer. Remarquons de plus que y' decroit vers ° quand x ---> 00; sinon, on aurait (4.4) et contradiction.

La preuve se fait desormais par recurrence. On suppose acquis Ie resultat de l' enonce, avec, de plus,

(4.5) lim 'Ij;(P) = lim.y(P- I ) = 0. x~(X) x---.+oo

UNE INEGALITE DE HEISENBERG INvERSE 153

On suppose maintenant que ( - 1 YUU) est croissante sur (0,00) pOUT j = 0, 1, . .. ,p + 1. En derivant (4 .1) p + 1 fois on obtient

(4.6)

avec Ck > 0. Tous les termes du second membre ont Ie signe de (-1 )P+l , sauf peutetre Ie terme 2yy(P+ 1), correspondant a k = 0. Si l ' on avait ( -1 )P+ I y(P+ I) > a > ° en x, on aUTait d 'apres (4.6) la meme inegalite SUT (x, (0), donc (-l)P+ly(P-I) tendrait vers +00, contrairement a (4.5). Done (-1 )P+ly (P+I) ::; 0. La fonction

( - 1)p+ I y(P) est done positive deeroissante, et Ie recoUTS a (4.5) montre qu' eIle tend

vers 0. On a donc Ia conclusion de l'enonee et la formule (4.5) en rempla~ant p

par p + 1, ce qui acheve la demonstration. Remarquons que Ie theoreme 5 a une version locale: si, au lieu de supposer

la croissance des (-l)iUU) SUT (O, oo),j = 1,2, ... ,p), on suppose seulement Ia croissance au voisinage de l'infini, on obtient la croissance des (-l)i"pU+I) au voisinage de l' infini.

Enon~ons comme theoreme un corollaire des theoremes 6 et 4, qui donne une condition raisonnable sur V pOUT avoir L ::; !.

Tbeoreme 7 Si V verifie l' hypothese du theoreme 6 avec p = 2 (c' est-a-dire U j , V' L U" j sur (0,00)), alors L::; !.

En effet, les hypotheses SUT V entrainent 'IjJ' j , "p" 1, 'IjJ'" j SUT (0, 00), et les hypotheses du theoreme 5 sont verifiees.

Terminons par un resultat SUT Ie comportement de L au voisinage de I' oseillateur harmonique.

Tneoreme 8 Supposons V convexe et paire sur R ; a/ors

(4.7) 1 sup V"

L<--- 4 infV" ·

La preuve s' appuie sur Ie lemme suivant, inspire de Ia demonstration du theoreme de Brascampet Lieb donnee par Singer, Wong, Yau et Yau [4].

Lemme Supposons ° < a = inf V" ::; sup V" = b < 00. Alors

(4.8)

Preuve du lemme Partons de

(4.9) 'IjJ"" = 2"p'"p1ll + 2( "p")2 _ 2V"


(equation (2. 15) derivee deux fois). Supposons d'abord que"p" admet un minimum

relatif resp. un maximum relatif en Xo ; on a alors "p~' = 0 et "p~" ;:::: 0 resp. ~ 0, done

(4.10)

Supposons maintenant qu'en un point X l la premiere inegalite (4.8) soit violee, e'est-a-dire 0 ~ "p~' < ..j(i puisque nous savons que "p" ;:::: O. II ne peut pas y avoir de minimum relatif apres Xl, paree que Ie premier minimum relatif violerait (4.10), done "pI! est deeroissante sur (XI,=)' Comme "p" ;:::: 0, il existe un X2 > Xl OU "p~" ;:::: 0, avee "p~' ~ 0, "p~ < ..j(i, ee qui viole (4.9). Cela etablit la premiere inegalite (4.8). La seconde s'obtient de fayon ~alogue, en constatant que si "p~' > .jb la fonction "p" est minoree par un polynome du second degre sur (Xl, =), ce qui est incompatible avec (2.15) (on utilise de nouveau Ie fait que (4.4) est incompatible avec (4.1)).

Preuve dn theoreme On sait que"p" est convexe et paire. Comme "p'(0) = 0, on a I "p'(x) 1;::::1 X I inf"p", done, en se referant a (2.10), (2.11), (2.12), (2.14) et (2.17),

On adonc

c'est-a-dire

< ' 2 -21[; 1 J B _ (inf"p")2 ("p) e

1 (inf '1/;")2 C

sup"pl! A ~ (inf "p")2 2 .

1 (sup"p")2 L = 4: 4(inf "p")2 .

La comparaison avec (4.8) donne (4.7).

Nalls avans deja mentionne une question ouverte: a-t-on L( "p") ~ ! sous i 'hypothese que '1/;" est une fonction paire et positive, decroissante sur (0, =) ? On peut se poser la meme question en considerant V a la place de"p" : a-t-on L( "p" ) ~ ! sous I'hypotMse que Vest paire, negative, et croissante sur (0, =)? C'est en fait cette question que nous nous etions proposee au depart, et elle reste ouverte.


REFERENCES

[I] Jean-Marc Uvy-Leblond, Local Heisenberg inequalities, Physics Letters 11 1 (1985), 353-355. [2] Jean-Marc Uvy-Leblond, Les inegalites de Heisenberg, Bull. Un. Phys. 558 (1973), I; Jean

Marc Levy-Leblond et Fran~ise Balibar, Quantique (Rudiments), Chapitre 3, CNRS/Intereditions, Paris, 1984.

[3] Barry Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, New York, 1979. [4] I. M. Singer, Bun Wong, Shing-Tung Yau and Stephen S.-T. Yau, An estimate of the gaps of

the first two eigenvalues of the SchriXlinger operator, Annali della Scuola Norm. Sup. Pisa, sec. IV, 12 (1985),319-333.

Jean-Pierre Kahane UNlVERSrrE DE PARIS-SUD

MATHEMATIQUE - BATlMENT 425 91405 ORSAY CEDEX, FRANCE

Jean-Marc Levy-Leblond UNIVERSITE DE NICE

LABORATOlRE DE PHYSIQUE THEoRIQUE

PARC VALROSE

06108 NICE CEDEX 2, FRANCE

Johannes Sjostrand UNIVERSrrE DE PARIS-SUO

MxnffiMATlQUE - BATlMENT 425 91405 ORSAY CEDEX, FRANCE

(Re~u Ie 26 mars 1992)

Une Inégalité de Heisenberg Inverse

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