Une année de Mathématiques en Tlej.herbaut75.free.fr/IMG/pdf/polytsti.pdf · CHAPITRE 1. LES...

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sTerminale STI2D 2012-2013

au lycée Gustave Eiffel

Une année demathématiques

en Tle STI2D

Jérôme HERBAUT

Une année demathématiques en Tle

STI2D

TA B L E D E S M AT I È R E S

1 Les suites 81.1 Définitions et mode de génération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Suite définie de façon explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Suite définie par un = f (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Utilisation de la calcularice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Suite divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Compléments sur les suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Expression de un en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4 Somme de termes consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.5 Limite d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Limites de fonctions 172.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Lectures par tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Déterminer une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Limites de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Cas des limites à l’infini des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Limite par composée de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Les asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Les asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Les asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 COMPLEXES - Parte oane 263.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Le nombre i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Premiers calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4 Conjugué d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.5 Inverse d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2 Argument d’un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4

5

3.3.3 Ecriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.4 Lignes trigonométriques remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Compléments de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.1 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Dérivées et primitives 364.1 Nombre dérivé d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Approche graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.1 Dérivées des fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.3 Dérivée des fonctions de u2, un, et 1

un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 Rappel : Tableau de signes de ax+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.1 Exemples et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2 Ensemble des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.3 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Logarithme népérien 445.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Etude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.2 Le nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.4 Signe de lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.5 Equations et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.6 Exemple d’étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Propriétes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.1 Logarithme d’un produit, d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.2 Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.3 Equations lnx = n, n ∈ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Quelques formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.1 En +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.2 En 0+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5 Fonction ln(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5.1 Sens de variation, limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5.2 Dérivée de ln(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6 Fonction logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 La fonction exponentielle 516.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.3 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.4 Sens de variation, limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.6 Exemple d’étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.7 Equations, inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Fonction composée eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Jérôme Herbaut - Lycée Gustave Eiffel - Tle STI2D - année - 2012/2013

6

6.2.1 Sens de variation, limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.2 Dérivée de eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.3 Un exercice de bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3 Croissances comparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Les intégrales 587.1 Aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.1 unité d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.1.2 Exemple de calcul d’aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.3 Propriété de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3.1 1res propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.3.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3.3 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.4.1 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.4.2 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Lois de probabilités continues- Parte oane 638.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.1.1 Simulation de la loi uniforme sur [0;1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.1.2 Fonction de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2 Densité et loi de probabilité d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.3.1 loi uniforme sur [0;1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.3.2 loi uniforme sur [a;b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.3.3 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.3.4 Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.4.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4.4 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9 Equations différentielles 729.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.2 Équations différentielles du type y′ + ay = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.2.1 Cas de l’équation y′ + ay = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.2.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2.3 Unicité de la solution sous condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3 Équations différentielles du type y′′ +ω2y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.3.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.3.2 Unicité de la solution sous condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10Lois de probabilités continuesLE RETOUR 7810.1 La loi Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10.1.1 Définition et cadre naturel d’apparition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.1.2 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.1.3 Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.1.4 Intervalles « Un, deux, trois sigmas » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.1.5 Loi normale et calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


7

10.2 De la loi binomiale à la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2.2 De la loi binomiale à la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11Complexes le retour 9011.1 Notation exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.2 Efficacités de la notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


1Les suites

C H A P I T R E

CHAPITRE 1. LES SUITES 9

Définitions et mode de génération1

• 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . suite des puissances de 2 ou suite géomé-trique de raison 2,

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . . suite des carrés,

• −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, . . . suite arithmétique de raison 4,

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . suite de Fibonacci.

Exemple 1.1

En mathématiques, une suite u est une liste ordonnée de nombres réels : les élémentsde cette liste sont appelés termes de la suite u, et sont tous repérés par leur rang dansla liste ; ainsi le premier terme est souvent noté u0, le second u1 et ainsi de suite ...

u = ( u0 ; u1 ; u2 ; . . . ; un−1 ; un ; un+1 ; . . . ).

Soit u = (un)n∈N∗ , la suite qui à chaque entier naturel non nul associe son inverse :

Ô u1 = 1, u2 =12

, u3 =13

, . . ., un =1n

, . . . (on remarque qu’ici la suite com-

mence à l’indice 1).

Exemple 1.2

Une suite numérique est une fonction u associant à tout entier naturel, supérieurou égale à un entier n0, un réel u(n) noté un.Le réel un est appelé terme d’indice n ou de rang n. La suite est notée (un) ou(un)n>n0

Définition 1 - 1

Une suite peut être engendrée de deux manières :

1 1 Suite définie de façon explicite

Une suite (un) est définie de façon explicite si son terme général un est exprimé enfonction de n

Définition 1 - 2

1. Soit (un)n∈N la suite définie par un = −5 + 7n :

2. Soit (un)n>0 la suite définie par un = n2 − 5n+ 1.Calculer les 4 premiers termes de la suite ainsi que le terme de rang 100.

Exemple 1.3

1 2 Suite définie par récurrence

1 2 1 Cas général

Il s’agit des suites définies par leur premier terme et par une relation qui permetde calculer les termes de proche en proche.Définition 1 - 3


10 1.2. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

La suite (un) est définie par

u0 = 0

un+1 = un + 2n− 11Exemple 1.4

La suite de Fibonacci est définie par

u1 = 1

u2 = 2

un+2 = un+1 +un

Exemple 1.5

1 2 2 Suite définie par un+1 = f (un)

Soit (un)définie par

u0 = 3

un+1 = −2un + 1Calculer les 4 premiers termes de la suite.

Exemple 1.6

Représentation graphique2

2 1 Suite définie par un = f (n)

u1

u2

u3u4

~i

~j

O

(C f )

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5

0

0.5

1

1.5

(C f ) : y =1

xun = f (n) à partir de n = 1



2 2 Utilisation de la calcularice

2 2 1 Le mode

Vérifier que l’on se trouve en mode suite en accédant au menuz.

†††~~~Í

2 2 2 Représenter une suite de la forme un = f (n)

On veut représenter graphiquement la suite (un) définie sur N par un =√n et détermi-

ner u100.

Définir dans l’éditeur de fonctions o, le premier indicenmin=0 et la suite.

Ê†y¡„. . .

Définir le format du graphe, time (points de coordonnées(n;un)) par . : yq.

Í

Afficher le graphe par s.

Afficher la table de valeurs par 0 : ys.

Déterminer u100 en revenant au mode calcul 5 : yz.

y¬£À. . . Í


12 1.3. NOTION DE LIMITE

Notion de limite3

3 1 Suite convergente

On a représenté ci-contre la suite de terme

général un = 2 +1n

.

Compléter le tableau de valeurs :

n 1 2 3 . . . 10 11 . . . 100 1000

un . . . . . .

Que constate-t-on ?

Peut-on trouver un entier n à partir duquel2 ≤ un ≤ 2,00001 ?

Exemple 1.7

b

bb b b b b b b b

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

un

n

On dit qu’une suite converge vers un réel l(ou admet pour limite l quand n tend vers+∞) si les termes un deviennent tous aussiproche de l que l’on veut, à condition deprendre n suffisament grand.Ainsi pour tout entier p, il existe un rang àpartir duquel tous les termes un sont à unedistance de l inférieure à 10−p.On note alors lim

n→+∞un = l.

Définition 1 - 4

b

b

b

b

b

b

bb

bb

b b b b b b b b b b b b b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

l

un

n

Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est uniquePropriété 1 - 1

3 2 Suite divergente

Une suite qui ne converge pas est dite divergente.Définition 1 - 5



3 2 1 Suites ayant pour limite +∞ (ou −∞)

On a représenté ci-contre la suite de termegénéral vn = (n− 2)2.Compléter le tableau de valeurs :

n 0 1 2 3 4 5 6 10 50 100

vn

Que constate-t-on ?

Peut-on trouver un entier n à partir duquelvn > 106 ?

Exemple 1.8

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

bb b b

b

b

b

b

b

b

b

vn

n

On dit qu’une suite diverge vers +∞, (ou ad-met pour limite +∞ quand n tend vers +∞)si ses termes un sont tous aussi grands quel’on veut, à condition de prendre n suffisam-ment grand.Ainsi pour tout entier p, il existe un rang àpartir duquel tous les termes un sont supé-rieurs à 10p.On note lim

n→+∞un = +∞.

On définit de même une suite divergente vers−∞ (avec un aussi petit que l’on veut)

Définition 1 - 6

bb

b

bb

b

b bb b

bb

b

b

b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A

3 2 2 Exemple de suite n’ayant pas de limite

On a représenté ci-contre la suite de termegénéral wn = (−1)n ×n2.Compléter le tableau de valeurs :

n 0 1 2 3 4 5 6 50 51

wn

Que constate-t-on ?

Exemple 1.9b

b

b

b

b

b

b

b

b

0

20

40

−20

−40

1 2 3 4 5 6 7 8

b

wn

n

Compléments sur les suites géométriques4

4 1 Exemple

On place dans un incubateur une population de 400 bactéries, celles-ci se multiplientet la population double chaque heure.Au bout de combien de temps la population dépassera 1 million de bactéries ?


14 1.4. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES GÉOMÉTRIQUES

4 2 Définition

Soit (un) une suite et q un réel.On dit qu’une suite (un) est une suite géométrique de raison q si pour tout entiernaturel n :

un+1 = q ×un

Définition 1 - 7

Si q , 0 et u0 , 0 alors pour tout n ∈ N, un , 0.Remarque 1

1. La suite des puissances de 2 est la suite géométrique de premier terme 1 etde raison 2.

2. Soit (Un)n≥1 une suite géométrique de raison q = −12 et de 1er terme U1 = 6.

Exprimer Un+1 en fonction de Un et calculer les 4 1er termes de la suite.

3. Les suites u et v définies sur N par un = −4 × 3n et vn = n2 + 1 sont-ellesgéométriques ?

Exemple 1.10

Pour tout n,un+1

un=−4× 3n+1

−4× 3n = 3.

La suite u est donc géométrique de raison 3.v0 = 1, v1 = 2, v2 = 5 ainsi v1 = 2× v0 et v2 = 2,5× v1La suite v n’est donc pas géométrique.

4 3 Expression de un en fonction de n

Soit (un) une suite géométrique de raison q.Pour tous entiers naturels n et p :

un = up × qn−p

En particulier, pour tout entier naturel n :

un = u0 × qn

Propriété 1 - 2

1. Soit (un)n≥0 une suite géométrique de 1er terme u0 = 30 et de raison q = 10.Exprimer un en fonction de n et calculer u17.

2. Soit (vn)n≥0 une suite géométrique telle que v5 = 96 et v8 = 768.Calculer v10.

Exemple 1.11

4 4 Somme de termes consécutifs

Calculer la somme u0 + u1 + · · · + un−1 + un des termes consécutifs d’une suitegéométrique de raison q , 1.Exemple 1.12



La somme S des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q , 1 est :

S = 1er terme×1− qnombre de termes

1− q.

En particulier pour tout n on a :

u0 +u1 + · · ·+un−1 +un = u0 ×1− qn+1

1− q

u1 + · · ·+un−1 +un = u1 ×1− qn

1− qn∑i=0

qi = 1 + q+ q2 + · · ·+ qn−1 + qn =1− qn+1

1− q

Propriété 1 - 3

1. Soit (un)n≥0une suite géométrique de raison q = −3 et telle que u5 = 10Calculer S = u5 +u6 + · · ·+u18.

2. Calculer S = 24 + 12 + 6 + 3 + 32 + · · ·+ 3

512 .

3. Déterminer la somme des n premières puissances de 2 (1+2+22 + · · ·+2n−1)).

Exemple 1.13

La suite des puissances de 2 est la suite géométrique de raison 2 et telle que u0 = 1

Ainsi, u0 +u1 + · · ·+un−1 = u0 ×1− qn

1− q= 1× 1− 2n

1− 2= 2n − 1

4 5 Limite d’une suite géométrique

On a calculé et représenté sur un tableur les premiers termes de la suite géométriqueqn pour différentes valeurs de q.Associer chaque suite à un graphique puis établir une conjecture sur la limite de qn

selon les valeurs de q.


16 1.4. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES GÉOMÉTRIQUES

Limite d’une suite géométrique

• Si −1 < q < 1 alors limn→+∞

qn =

• Si q > 1 alors limn→+∞

qn =

• Si q ≤ −1 alors

• Si q = 1, alors (qn) est

Propriété 1 - 4

Si (un) est une suite géométrique de raison q alors un = u0qn.

Le théorème précédent permet donc de trouver la limite d’une suite géométrique.Remarque 2

Déterminer la limite de la suite géométrique (un) de raison 1,1 et de terme initialu0 = −4.

Exemple 1.14

Déterminer limn→+∞

1 +12

+122 + · · ·+ 1

2nExemple 1.15


2Limites defonctions

C H A P I T R E

18 2.1. INTRODUCTION

Introduction1

Soit f une fonction. Intuitivement, déterminer la limite de cette fonction revient à déterminersi la fonction s’approche d’une « valeur particulière » lorsque x prend des « valeurs extrêmes ».

1 1 Lectures graphiques

x

y

1

1

f (x)x

y

1

1

g(x)

À partir de la courbe représentative de f , on observe que plus x est « grand », plus f (x)se rapproche de 0.On notera lim

x→+∞f (x) = 0 .

On dira que la limite de f est égale à 0 lorsque x tend vers +∞ (ou au voisinage de+∞).B Cela ne signifie pas que f (x) s’annule à un certain moment ! f (x) peut se rapprocher de 0sans jamais l’atteindre.

Par lecture graphique des courbes données de f et de g, émettre une conjecturesur les limites suivantes :

1. limx→−∞

f (x) 2. limx→0

f (x) 3. limx→+∞

g(x) 4. limx→−∞

g(x)

5. limx→0x>0

g(x) 6. limx→0x<0

g(x) 7. limx→1

g(x)

Exemple 2.1

1 2 Lectures par tableau de valeurs

La calculatrice affiche les tableaux de valeurs suivants pour une certaine fonctionf .

Que peut-on conjecturer à propos de lalimite de f au voisinage de +∞ ?

Que peut-on conjecturer à propos de lalimite de f au voisinage de 0?

Exemple 2.2


CHAPITRE 2. LIMITES DE FONCTIONS 19

Déterminer une limite2

Objectifs :

t Connaître les limites des fonctions usuelles

t Savoir appliquer les règles d’opérations des limites

t savoir lever une indétermination

2 1 Limites de fonctions usuelles

2 1 1 La fonction carrée

limx→+∞

x2 = +∞

limx→−∞

x2 = +∞

x

yx2

Intuitivement, le carré d’un nombre « très grand » est un nombre « très grand »positif.Remarque 3

2 1 2 La fonction cube

limx→+∞

x3 = +∞

limx→−∞

x3 = −∞x

yx3

Intuitivement, le cube d’un nombre « très grand » est un nombre « très grand » demême signe.Remarque 4


20 2.2. DÉTERMINER UNE LIMITE

2 1 3 La fonction inverse

limx→+∞

1x

= 0

limx→−∞

1x

= 0

limx→0x>0

1x

= +∞ (limite à droite de 0)

limx→0x<0

1x

= −∞ (limite à gauche de 0)

x

y

1x

Intuitivement,

• l’inverse d’un nombre « très grand » est un nombre « très petit » (de mêmesigne) ;

• l’inverse d’un nombre « très petit » est un nombre « très grand » de mêmesigne.

Remarque 5

2 1 4 La fonction racine carrée

limx→+∞

√x = +∞

limx→0x>0

√x = 0 (limite à droite de 0)

x

y

2 2 Règles opératoires

Dans cette section,

• a désigne soit un nombre, soit +∞, soit −∞,

• L et L′ désignent des nombres,

• F.I. signifie « forme indéterminée », on ne peut conclure directement.

2 2 1 Somme de limites

Soit f la fonction définie par f (x) = 1x + x2. Étudions sa limite au voisinage de +∞.

On a

lim

x 7→+∞1x = 0

limx 7→+∞

x2 = +∞donc par somme des limites, lim

x→+∞f (x) = +∞.

Exemple 2.3



limx→a

f (x) L L L +∞ +∞ −∞

limx→a

g(x) L′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

limx→a

(f (x) + g(x)) L + L′ +∞ −∞ +∞ F.I. −∞

Propriété 2 - 1

L’indétermination est dûe au fait que selon les expressions de f et de g, la limitede la somme n’est pas la même (il est donc impossible de donner une règled’opération.

Remarque 6

Dans les cas suivants, vérifier que l’étude directe des limites en +∞ de f et de g nepermet pas d’obtenir la limite en +∞ de leur somme puis en réduisant f (x) + g(x),déterminer cette limite.

1. f (x) = 2x et g(x) = −x ; 2. f (x) = x et g(x) = −3x ;3. f (x) = x+ 4 et g(x) = −x.

Exemple 2.4

2 2 2 Produit de limites

Soit f la fonction définie par f (x) = −5 × x2. Étudions sa limite au voisinage de+∞.

On a

lim

x 7→+∞(−5) = −5

limx 7→+∞

x2 = +∞donc par produit des limites, lim

x→+∞f (x) = −∞.

Exemple 2.5

limx→a

f (x) L L , 0 0 +∞ +∞ −∞

limx→a

g(x) L′ ±∞ ±∞ +∞ −∞ −∞

limx→a

(f (x)× g(x)) L× L′ ±∞ F.I +∞ −∞ +∞

Propriété 2 - 2

L’indétermination est dûe au fait que selon les expressions de f et de g, la limite duproduit n’est pas la même (il est donc impossible de donner une règle d’opération.Remarque 7

Dans les cas suivants, vérifier que l’étude directe des limites en +∞ de f et de g nepermet pas d’obtenir la limite en +∞ de leur produit puis en réduisant f (x)× g(x),déterminer cette limite.

1. f (x) = 1x et g(x) = x2 ; 2. f (x) = 1

x et g(x) = −3x ;3. f (x) = 1

x2 et g(x) = x.

Exemple 2.6


22 2.2. DÉTERMINER UNE LIMITE

2 2 3 Quotient de limites

Soit f la fonction définie par f (x) = 5x2 . Étudions sa limite au voisinage de +∞.

On a

lim

x 7→+∞5 = 5

limx 7→+∞

x2 = +∞donc par quotient des limites, lim

x→+∞f (x) = 0.

Exemple 2.7

limx→a

f (x) L L , 0 L ±∞ 0 ±∞

limx→a

g(x) L′ , 0 0 ±∞ L′ 0 ±∞

limx→a

f (x)g(x)

LL′ ±∞ 0 ±∞ F.I. F.I.

Propriété 2 - 3

Dans les cas suivants, vérifier que l’étude directe des limites en +∞ de f et de g

ne permet pas d’obtenir la limite en +∞ de leur quotient puis en réduisant f (x)g(x) ,

déterminer cette limite.

1. f (x) = x et g(x) = x2 ; 2. f (x) = 6x et g(x) = −3x ;3. f (x) = −x2 et g(x) = x.

Exemple 2.8

Losque le dénominateur a pour limite 0, il sera nécessaire de déterminer son signe.Il en découle la notion d’étude de la limite à droite et à gauche (voir un exemple dela section suivante).

Remarque 8

2 3 Cas des limites à l’infini des polynômes

AdmisÀ l’infini, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme deplus haut degré.

limx→±∞

(axn + . . .) = limx→±∞

axn .

Théorème 2 - 1

Déterminer la limite en +∞ et en −∞ de la fonction f : x 7→ −3x5 + 2x2 − x+ 3.Exemple 2.9

AdmisÀ l’infini, la limite d’un quotient de polynômes est égale au quotient simplifié deses termes de plus haut degré.

limx→±∞

axn + . . .bxm + . . .

= limx→±∞

axn

bxm.

Théorème 2 - 2

Déterminer la limite en +∞ et en −∞ de la fonction f : x 7→ −4x5+2x2−x+32x2+x−1 .Exemple 2.10



2 4 Limite par composée de fonctions

Admisa, L et L′ désignent des nombres, +∞, ou −∞, les fonctions f et u sont telles quela composée f ◦u existe sur un intervalle de borne a.Si lim

x→au(x) = L et si lim

X→Lf (X) = L′ alors lim

x→af (u(x)) = L′ .

Théorème 2 - 3

Etudier le limite en −∞ de le fonction f définie par f (x) = 1x2+1 .

On a

lim

x→−∞

(x2 + 1

)= +∞

limX→+∞

1X = 0

d’où par composée limx→−∞

1x2+1 = 0.

Exemple 2.11

Soit f la fonction définie par f (x) =(x+ 1

x

)2.

1. Étudier la limite de la fonction u : x 7→ x+ 1x en −∞.

2. En déduire la limite de f en −∞. Justifiez.

Exemple 2.12

Soit f la fonction définie par f (x) = −5x2−5x+6 .

1. Étudier le signe de x2 − 5x+ 6 sur R.

2. En déduire l’étude de la limite de f au voisinage de 2.

Exemple 2.13

Les asymptotes3

3 1 Les asymptotes horizontales

Soit l un réel.

• Si limx→+∞

f (x) = l alors la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale

à la courbe de f en +∞.

• Si limx→−∞

f (x) = l alors la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale

à la courbe de f en −∞.

Propriété 2 - 4

La figure ci-contre représente la courbe de la fonction f définie par f (x) = 1x + 1.

Comme limx→+∞

f (x) = 1, il en découle que

la droite d’équation y = 1 est une asymp-tote horizontale à la courbe de f en +∞.

x

y

f (x)y = 1

Exemple 2.14


24 2.3. LES ASYMPTOTES

Interprétation graphiqueDire qu’une droite est une asymptote horizontale à la courbe d’une fonction f en+∞ signifie que plus x devient grand, plus la courbe se rapproche de la droite.

Remarque 9

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 4x2−x+12x2+1 .

1. Déterminer la limite de f en +∞ et en −∞.

2. Donner une interprétation graphique de ces résultats.

3. Vérifier la cohérence de vos réponses à l’aide de la calculatrice.

Exemple 2.15

3 2 Les asymptotes verticales

Soit a un réel.Si lim

x→af (x) = ±∞ alors la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la

courbe de f .Propriété 2 - 5

La figure ci-dessous représente la courbe de la fonction f définie sur ]1;+∞[ parf (x) = 1

x−1 .Comme lim

x→1x>1

f (x) = +∞, il en découle que la droite d’équation x = 1 est une asymp-

tote verticale à la courbe de f .

x

y

f (x)

x = 1

Exemple 2.16

Interprétation graphiqueDire qu’une droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe d’unefonction f signifie que plus x se rapproche de a, plus la courbe se rapproche de ladroite.

Remarque 10



Soit f la fonction définie sur ]− 1 ; 2[ par f (x) = xx2−x−2 .

1. Représenter à l’aide de votre calculatrice Cf dans une fenêtre de paramètres :Xmin = −1, Xmax = 2, Ymin = −10 et Ymax = 10

2. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

3. Donner une interprétation graphique de ces résultats.

4. Vérifier la cohérence de vos réponses à l’aide de la calculatrice.

Exemple 2.17


3COMPLEXES -Parte oane

C H A P I T R E

Les nombres complexes portent bien leur nom ! Ils interviennent partout: en algèbre, en analyse, en géométrie, en électronique, en traitement dusignal, en musique, etc. Et en plus, ils n’ont jamais la même apparence :tantôt sous forme algébrique, tantôt sous forme trigonométrique, tantôtsous forme exponentielle, ... Leur succès vient en fait de deux propriétés :en travaillant sur les nombres complexes, tout polynôme admet un nombrede racines égal à son degré et surtout ils permettent de calculer facilementen dimension 2. Ce n’est pas clair ? Alors commençons par parcourir ledeuxième millénaire qui a vu mûrir petit à petit cette notion dans les esprits.

CHAPITRE 3. COMPLEXES - PARTE OANE 27

Introduction1

Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées3 et −3.Par contre, aucun réel négatif n’a de racine carrée (réelle).Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice !

1 1 Le nombre i

Le nombre i est un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i2 = −1.De plus, son opposé −i a aussi pour carré −1. En effet : (−i)2 = i2 = −1.Les deux racines de −1 sont les deux nombres iréels i et −i.

1 2 L’ensemble des nombres complexes

On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s’agit de N,Z,D,Qet R :

N

0

1

√9

103

63

Z −1

−√4−37

−10025

D 0.008

−1.2

325

1106

Q 0.333

−1319

16

√

49

R π1236π

√2

−2π3

On définit l’ensemble C qui a les caractéristiques suivantes :

ä Ses éléments sont appelés nombres complexes,

ä Il contient le nombre i vérifiant i2 = −1.

Définition 3 - 1

C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N ⊂ Z ⊂D ⊂Q ⊂ R ⊂ C.

Remarque 11


28 3.2. FORME ALGÉBRIQUE

Forme algébrique2

2 1 Définition

Chaque élément z de l’ensemble C s’écrit de manière unique z = a+ ib, a et b étantdes réels.

ä a est appelé partie réelle de z et est notéRe(z),

ä b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Définition 3 - 2

Nombres particuliers :

• si b = 0, on a z = a, z est donc réel,

• si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur.

Remarque 12

Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imagi-naire :

Ô z = 2 + 3i a = 2 b = 3

Ô z = −1 + 12 i a = −1 b = 1

2

Ô z = −i a = 0 b = −1

Ô z = π a = π b = 0

Ô z = 4i − 13 a = −1

3 b = 4.

Exemple 3.1

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partieréelle et la même partie imaginaire :

z = z′ ⇔ a+ ib = a′ + ib′ ⇔ a = a′ et b = b′ .

Propriété 3 - 1

2 2 Premiers calculs

On pose z = a+ ib, z′ = a′ + ib′ et k un réel, on a :

© z + z′ = (a+ a′) + i(b+ b′),

© z − z′ = (a− a′) + i(b − b′),© kz = ka+ ikb,

© zz′ = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b).

Propriété 3 - 2

Démonstration de la dernière propriété :

zz′ = (a+ ib)(a′ + ib′)

= aa′ + iab′ + ia′b+ i2bb′

= aa′ + iab′ + ia′b − bb′

= (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b).



Soit z = 2 + 3i et z′ = i − 5, on a :

Ô z + z′ = 2 + 3i + i − 5 = −3 + 4i,

Ô z − z′ = 2 + 3i − (i − 5) = 2 + 3i − i + 5 = 7 + 2i,

Ô 2z − 3z′ = 2(2 + 3i)− 3(i − 5) = 4 + 6i − 3i + 15 = 19 + 3i,

Ô zz′ = (2 + 3i)(i − 5) = 2i − 10 + 3i2 − 15i = 2i − 10− 3− 15i = −13− 13i,

Ô z2 = (2 + 3i)2 = 22 + 2× 2× 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i.

Exemple 3.2

2 3 Représentation graphique

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct(O;−→u ,−→v

).

ä Au point M de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexez = a+ ib,

On dit que z = a+ ib est l’affixe du point M.

ä Au vecteur #»w de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexez = a+ ib,

On dit que z = a+ ib est l’affixe du vecteur #»w.

ä Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repèreorthonormal direct,

on dit qu’on se place dans le plan complexe.

Définition 3 - 3

0 #»u

#»v

#»w

M(z = a+ ib)

a

b b

On place dans le plan complexe les points Mi d’affixes zi :

Ô z1 = 2 + 3i

Ô z2 = 3 + i

Ô z3 = −1 + 2i

Ô z4 = 2− iÔ z5 = i

Ô z6 = −2i

Ô z7 = −2

Ô z8 = −i − 3

bM1

bM2

bM3

bM4

bM5

bM6

bM7

bM8

bi

0 1

Exemple 3.3


30 3.2. FORME ALGÉBRIQUE

Si M a pour affixe z = a+ ib et si M′ a pour affixe z′ = a′ + ib′ , alors :

• Le vecteur# »

MM′ a pour affixe z′ − z = (a′ − a) + i(b′ − b),

• || # »

OM|| =√a2 + b2,

• ||# »

MM′ || =√

(a′ − a)2 + (b′ − b)2,

• Le milieu I de [MM′] a pour affixe zI =z + z′

2.

Propriété 3 - 3

2 4 Conjugué d’un complexe

On appelle conjugué du nombre complexe z = a+ ib le nombre z = a− ib.Définition 3 - 4

Géométriquement, si M1 est le point d’affixe z, le point M2 d’affixe z est le symétriquede M1 par rapport à l’axe des abscisses.

0#»u

#»v

M1(z)

M2(z)M3(−z)

M4(−z)

a

b

−a

−b

Soit z = 3 + 5i et z′ = −2 + 3i, on a :

Ô z + z′ = (3 + 5i) + (−2 + 3i) = 1 + 8i,z × z′ = (3 + 5i)× (−2 + 3i) = −6 + 9i − 10i + 15i2 = −6− i − 15 = −21− i.

Ô z = 3− 5i,z′ = −2− 3i.

Ô z + z′ = (3− 5i) + (−2− 3i) = 1− 8i,z + z′ = 1− 8i.

Ô z × z′ = (3− 5i)× (−2− 3i) = −6− 9i + 10i + 15i2 = −6 + i − 15 = −21 + i,z × z′ = −21 + i.

Exemple 3.4

Soit z et z′ deux nombes complexes, alors :

© z + z′ = z + z′ .

© z × z′ = z × z′ .© z = z.

© z ∈ R⇐⇒ z = z. © z ∈ iR⇐⇒ z = −z.

© Re(z) =12

(z + z). © Im(z) =12i

(z − z).

Propriété 3 - 4



2 5 Inverse d’un complexe

Soit z = a+ ib, on a : zz = (a+ ib)(a− ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 qui est un nombre réel.Ainsi, on a :

1z

=zzz

=z

a2 + b2 =a− iba2 + b2 .

Calculs d’inverses :

Ô1

1 + i=

1− i(1 + i)(1− i)

=1− i

2=

12− 1

2i.

Ô1

2− 3i=

2 + 3i(2− 3i)(2 + 3i)

=2 + 3i

13=

213

+3

13i.

Ô2i

=2×−ii ×−i

=−2i1

= −2i.

Ô2 + i−3 + i

=(2 + i)(−3− i)

(−3 + i)(−3− i)=−6− 2i − 3i + 1

10=−5− 5i

10= −1

2− 1

2i.

Exemple 3.5

Soit z et z′ deux nombes complexes, alors :

©

(1z

)=

1z

. ©

( zz′

)=

z

z′.

Propriété 3 - 5

Forme trigonométrique3

3 1 Module d’un nombre complexe

Le module du complexe z est le réel positif noté |z| tel que |z| =√z z =

√a2 + b2.Définition 3 - 5

Si a est un réel, |a| =√a a =

√aa =

√a2 car a = a.

La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R.Remarque 13

Calcul du module de nombres complexes :

• |3 + 4i| =√

32 + 42 =√

9 + 16 =√

25 = 5.

• |1− i| =√

12 + (−1)2 =√

1 + 1 =√

2.

• |−5− 2i| =√

(−5)2 + (−2)2 =√

25 + 4 =√

29.

• |−5| = 5.

• |9i| =√

02 + 92 =√

81 = 9.

Exemple 3.6


32 3.3. FORME TRIGONOMÉTRIQUE

© |z| = 0⇔ z = 0.

© |−z| = |z| = |z|.© |z × z′ | = |z| × |z′ |.

©

∣∣∣∣∣1z∣∣∣∣∣ =

1|z|

.

©∣∣∣∣ zz′ ∣∣∣∣ =

|z||z′ |

.

Propriété 3 - 6

3 2 Argument d’un complexe non nul

Soit z = a+ ib un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z :

• On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que θ = ( #»u ,# »

OM)[ 2π],

• On note θ = arg(z),

• θ vérifie :

cosθ =

a√a2 + b2

,

sinθ =b

√a2 + b2

.

Définition 3 - 6

Calcul d’un argument de nombres complexes :

• z1 = 2 + 2i :

cosθ =

2√

22 + 22=

2

2√

2=

√2

2

sinθ =2

√22 + 22

=2

2√

2=

√2

2

⇒ θ =π

4

donc arg(2 + 2i) =π

4.

• z2 = 1 + i√

3 :

cosθ =

1√12 +√

32

=1√

4=

12

sinθ =

√3√

12 +√

32

=2√

4=

√3

2

⇒ θ =π

3

donc arg(1 +√

3i) =π

3.

Exemple 3.7

Propriétés algébriques des arguments

© arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) [2π].

© arg(1z

) = arg(z) = −arg(z) [2π].

© arg(zz′

) = arg(z)− arg(z′) [2π].

Propriété 3 - 7



D’après l’exemple précédent, on obtient :

• arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) =π

4+π

3=

7π12

.

• arg(

1z1

)= −argz1 = −π

4.

• arg(z1

z2

)= argz1 − argz2 =

π

4− π

3= − π

12.

Exemple 3.8

3 3 Ecriture trigonométrique

On se place dans un plan muni du repère(O;−→u ,−→v

).

Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme z = r(cosθ + i sinθ)avec :

• arg(z) = θ ∈ R est l’argument de z

• |z| = r ∈ R+∗ est le module de z

Cette écriture s’appele la forme trigonométrique de z.

Définition 3 - 7

0 #»u

#»v

r =√a2 + b2

M(z)

θ

a = r cosθ

b = r sinθ

Pour trouver la forme trigonométrique d’un nombre z, il faut donc calculer successive-ment le module et l’argument de z.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

• z1 = 1− i :

|1 + i| =

√2

cosθ =√

22

sinθ = −√

22

⇒ r =√

2 et θ = −π4

Donc 1− i =√

2[cos

(−π

4

)+ i sin

(−π

4

)].

• z2 =√

3 + i :

∣∣∣√3 + i

∣∣∣ = 2

cosθ =√

32

sinθ = 12

⇒ r = 2 et θ =π

6

Donc√

3 + i = 2[cos

(π

6

)+ i sin

(π

6

)].

Exemple 3.9


34 3.4. COMPLÉMENTS DE TRIGONOMÉTRIE

Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométriquese "voit" :

• 1 = cos0 + i sin0 donc |1| = 1 et arg(1) = 0.

• i = cos(π

2

)+ i sin

(π

2

)donc |i| = 1 et arg(i) =

π

2.

Remarque 14

3 4 Lignes trigonométriques remarquables

Pour déterminer l’argument d’un nombre complexe il est utile de connaître les résultatssuivants :

012

−12

π

π

32π3

−2π3

−π

3

p3

2

−

p3

2

π

6

π

2

5π6

−5π6

−π

2

−π

6

p3

2−

p3

2

12

−12

π

4

π

2

3π4

π

−3π4

−π

2

−π

4

p2

2−

p2

2

p2

2

−

p2

2

Compléments de trigonométrie4

4 1 Formules d’addition

Dans cette partie, nous allons mettre en place les formules suivantes

Formules d’additionSoient a et b deux réels,

cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) (3.1)

cos(a+ b) = cos(a)cos(b)− sin(a)sin(b) (3.2)

sin(a− b) = sin(a)cos(b)− cos(a)sin(b) (3.3)

sin(a+ b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) (3.4)

Propriété 3 - 8

Dans un repère orthonormé(O;−→ı ,−→

), on considère le cercle trigonométrique C .

Soient a et b deux réels et A et B les points du cercle C tels que ( #»ı ;−−→OA) = a et ( #»ı ;

# »

OB) =b.



1. (a) Exprimer# »

OA · # »

OB en fonctionde cos(a− b).

(b) Donner les coordonnées carté-siennes des points A et B dansce repère puis exprimer

# »

OA ·# »

OB en fonction de ces coordon-nées.

(c) En déduire la formule (3.1).2. Prouver la formule (3.2).3. En utilisant le fait que sin(a − b) =

cos(π2 − (a− b)

), prouver la formule

(3.3).4. Prouver alors la formule (3.4)

b

O I

J

B

A

ba

a-b

1. En remarquant que 7π12 = π

4 + π3 , calculer cos

(7π12

)puis sin

(7π12

).

2. En utilisant une méthode analogue, calculer cos(π12

)puis sin

(π12

).

Exemple 3.10

4 2 Formules de duplication

Dans cette partie, nous allons mettre en place les formules suivantes

Formules de duplicationSoient a et b deux réels,

cos(2a) = cos2(a)− sin2(a) (3.5)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) (3.6)

Propriété 3 - 9

1. En utilisant la formule (3.1) et en choisissant judicieusement a et b, prouver laformule (3.5).

2. En utilisant une méthode analogue, prouver la formule (3.6) à partir de laformule (3.3).

En utilisant le fait que pour tout a réel, cos2(a) + sin2(a) = 1

1. Montrer que cos(2a) = 1− 2sin2(a) = 2cos2(a)− 1.

2. En déduire que sin2(a) = 1−cos(2a)2 et cos2(a) = 1+cos(2a)

2 .

3. Calculer cos(π8

)et sin

(π8

).

Exemple 3.11


4Dérivées etprimitives

C H A P I T R E

CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET PRIMITIVES 37

Nombre dérivé d’une fonction en un point1

1 1 Approche graphique

Soit f une fonction dont la courbe représenta-tive admet une tangente au point d’abscisse a.Le nombre dérivé de f en a, noté f ′(a) est lecoefficient directeur de cette tangente.

Définition 4 - 1 f (a)Cf

A

(Ta)

a

Lire graphiquement f ′(1) et f ′(2) :

Le point d’abscisse 1 est . Le coefficientdirecteur de la tangente en ce point estdonc f ′(1) =

Le point d’abscisse 2 est . Le coeffi-cient directeur de la tangente en ce point estdonc f ′(2) =

Exemple 4.1

1

2

3

4

5

−1−2

1 2 3 4 5 6−1−2

Cf

b A

(TA)bB

(TB)

1 2 Équation de la tangente

La tangente au point d’abscisse a a pour équation y = f ′(a)(x − a) + f (a)Théorème 4 - 1

Déterminer les équations des tangentes aux points d’abscisse 1 et 2 à la courbe Cfprécédente.Exemple 4.2

Fonction dérivée2

Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I, alors la fonctionqui à x associe f ′(x) est appelée fonction dérivée de f sur I.Définition 4 - 2


38 4.2. FONCTION DÉRIVÉE

2 1 Dérivées des fonctions de référence

f est dérivable sur f (x) = dérivée f ′(x) =

R k (constante)

R x

R x2

R xn, n entier naturel

]−∞;0[∪]0;+∞[ 1x

]−∞;0[∪]0;+∞[ xm, m entier négatif

]0;+∞[√x

R cosx

R sinx

R cos(ax+ b)

R sin(ax+ b)

2 2 Opérations sur les dérivées

u et v sont des fonctions si f (x) s’ecrit alors f est dérivable sur I

définies et dérivables sur I et f ′(x) est égal à

Somme u + v f (x) = u(x) + v(x) f ′(x) = u′(x) + v′(x)

Différence u − v f (x) = u(x)− v(x) f ′(x) = u′(x)− v′(x)

Produit de u par un réel k f (x) = ku(x) f ′(x) = ku′(x)

Produit u × v f (x) = u(x)× v(x) f ′(x) = u′(x)× v(x) + v′(x)×u(x)

Inverse1v

pour v(x) , 0 f (x) =1

v(x)f ′(x) = − v′(x)(

v(x))2

Quotientuv

pour v(x) , 0 f (x) =u(x)v(x)

f ′(x) =u′(x)× v(x)− v′(x)×u(x)(

v(x))2



Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1. f (x) = x3 + x − 5

2. g(x) = 7x2

3. h(x) = 4x2 − 3x+ 2

4. i(x) = (4x − 1)(3x+ 7)

5. j(x) =1

−4x+ 2

6. k(x) =3x2 + 15x − 2

Exemple 4.3

2 3 Dérivée des fonctions de u2, un, et 1un

Soit u est une fonction si f (x) s’ecrit alors f est dérivable sur I

définie et dérivable sur I et f ′(x) est égal à

u2 2u′u

n entier naturel non nul un n×u′ ×un−1

n entier naturel non nul et u(x) , 01un −n×u

′

un+1

Calculer les fonctions dérivées dans chacun des cas suivants :

1. f (x) = (2x+ 1)2 + x2 + 5x+ 4

2. g(x) = 2x(x2 + 5)2

3. h(x) = (7x2 + 2x − 3)4

4. i(x) =1

(x2 + x+ 1)3 .

5. k(x) =−3

(2x − 1)2 .

Exemple 4.4

En physique et en mécanique, on utilise la notation différentielle :df

dx= f ′ et

d2f

dx2 = f ′′Remarque 15

Sens de variation d’une fonction3

La dérivée f ′ est positive si et seulement si la fonction f estLa dérivée f ′ est négative si et seulement si la fonction f estThéorème 4 - 2


40 4.3. SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION

Compléter le tableau de variation suivant :

x −10 0 4 9 +∞f ′(x) − 0 + 0 − 0 +

f

Exemple 4.5

3 1 Rappel : Tableau de signes de ax +b

Le signe de ax+b est donné par le tableau suivant où α est la solution de l’équationax+ b = 0.

x −∞ α +∞ax+ b signe opposé 0 signe de a

Théorème 4 - 3

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − 3x2 + 5.

1. Calculer puis factoriser f ′(x).

2. Dresser le tableau de signe de f ′ et le tableau de variation de f .

Exemple 4.6

3 1 1 Equation du second degré : ax2 +bx + c = 0

∆ = b2 − 4ac ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Solutions del’équation

ax2 + bx+ c = 0

2 solutions distinctes :x1 = −b−

√∆

2a x2 = −b+√∆

2a

une solutionx0 = −b2a

aucune solution

Factorisation deax2 + bx+ c

a(x − x1)(x − x2) a(x − x0)2 pas defactorisation

Signe deax2 + bx+ c

−∞ x1 x2 +∞

signe | signe | signe

de a 0 opposé 0 de a

| |

−∞ x0 +∞

signe | signe

de a 0 de a

|

−∞ +∞

signe de a

Soit f la fonction définie sur ]−∞;−2[∪]− 2;+∞[ par f (x) =x2 + 1x+ 2

.

1. Calculer f ′(x) et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variation de f .

Exemple 4.7



Les primitives4

4 1 Exemples et définition

4 1 1 Exemples

Soit f et F les fonctions définies sur R par f (x) = 9x2 − 1 et F(x) = 3x3 − x+ 5.Vérifier que pour tout x ∈ R, F′(x) = f (x)Soit h(x) = 2x − 1, trouver une fonction H(x) qui vérifie H′(x) = h(x).Peut-on en trouver d’autres ?

4 1 2 Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que, pourtout x de I, F′(x) = f (x).

Définition 4 - 3

4 1 3 Théorème

ExistenceToute fonction dérivable sur un intervalle I admet des primitives sur I.Théorème 4 - 4

4 2 Ensemble des primitives

4 2 1 Propriété

Si F est une primitive de f sur un intervalle I alors tout autre primitive G de f estde la forme G(x) = F(x) + k où k ∈ R.Propriété 4 - 1

Soit f la fonction dérivable sur R définie par f (x) = 3x2 − 2x+ 6Déterminer l’ensemble des primitives de f .

Exemple 4.8

4 2 2 Théorème

UnicitéSoit f est une fonction dérivable sur un intervalle I, x0 ∈ I et y0 ∈ R.Parmi les primitives de f il existe une et une seule primitive F de f vérifiantF(x0) = y0.

Théorème 4 - 5

Parmi les primitives de l’exemple précédent déterminer l’unique primitive F de fvérifiant F(2) = 5.Exemple 4.9


42 4.4. LES PRIMITIVES

4 2 3 Reconnaitre graphiquement une primitive

On considère une fonction f définie et dérivable surl’intervalle [−5; 5

2 ], dont la courbe représentative estdonnée ci-contre.Parmi les trois courbes ci-dessous, figurent la repré-sentation graphique de la fonction dérivée f ′ de lafonction f ainsi que celle d’une primitive F de f .Déterminer lesquelles en justifiant votre choix.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-5-4-3-2-101234

1

2

3

−1−2−3−4−5

1 2−1−2−3−4−5−6

(

Cf

)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1012345678

1

2

3

4

5

6

7

−1 1 2−1−2−3−4−5

C1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-2-101234567

1

2

3

4

5

6

−1−2

1 2−1−2−3−4−5

C2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-6-5-4-3-2-10123

1

2

−1−2−3−4−5−6

1 2−1−2−3−4−5

C3

4 3 Primitives des fonctions usuelles

4 3 1 Tableau

La fonction f définiepar f (x) =

admet pour primitiveF définie par F(x)

sur l’intervalle I =

k (fonction constante)

x

x2

x3

xn, n entier naturel1x2 −1

x ]−∞;0[∪]0;+∞[1xn , n entier naturel − 1

(n−1)xn−1 ]−∞;0[∪]0;+∞[

1√x

2√x ]0;+∞[

cosx sinx

sinx −cosx1x lnx

4 3 2 Conséquences des théorèmes de dérivations

Primitives de u + v et de ku.

Soit U une primitive d’une fonction u sur u intervalle ISoit V une primitive d’une fonction v sur I et k un nombre réel.Alors U + V est une primitive de u + v et kU est une primitive de ku.

Théorème 4 - 6



Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle précisé :

1. f (x) = x2 + x − 4, sur R2. g(x) = 8x − 2x3 + 5, sur R3. h(x) = 1− cosx, sur R.

4. c(x) =4x

+3x2 , sur ]0;+∞[

Exemple 4.10

4 3 3 Resumé

u désigne une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction f définiepar f =

admet pour primitiveF =

conditions sur u

u′u 12u

2

u′un,n ∈ N 1n+1u

n+1

u′

u2 − 1u u ne s’annule pas sur I.

u′un , n entier naturel >1 − 1

(n−1)un−1 u ne s’annule pas sur I.

cos(ax+ b) 1a sinu

sin(ax+ b) −1a cosu

Déterminer une primitive sur I de la fonction f dans chacun des cas suivants :

1. (a) f (x) = 2x(x2 + 3),I = R.

(b) f (x) = cosx sinx, I = R.

2. (a) f (x) = 2x(x2 − 1)3, I = R.

(b) f (x) = (x+ 1)(x2 + 2x − 3)4, I = R.

(c) f (x) = (5x+ 4)3, I = R.

3. f (x) = 2x+ 2cos(2x)− 6sin(3x − 1), I = R

4. f (x) =2

(2x − 1)2 , I =] 12 ;+∞[.

5. f (x) =2x

(x2 + 1)3 , I = R.

Exemple 4.11


5Logarithmenépérien

C H A P I T R E

Où les mathématiques rejoignent l’alchimie : guidés par la Force, nos hérostransforment les produits en somme, créent de nouvelles fonctions. Ontouche au divin...

CHAPITRE 5. LOGARITHME NÉPÉRIEN 45

Introduction1

Rappel : Les dérivées des fonctions puissances sont données par le tableau suivant :

f est dérivable sur f (x) = f ′(x) =

R xn

]−∞;0[ et ]0;+∞[1xn

R x3

R x2

R x

]−∞;0[ et ]0;+∞[1x1

]−∞;0[ et ]0;+∞[1x2

]−∞;0[ et ]0;+∞[1x3

On admet qu’il existe une unique fonction appelée fonction logarithme népériennotée ln telle que :

• ln est définie sur ]0;+∞[

• pour tout x ∈]0;+∞[, ln′(x) = 1x

• ln(1) = 0

Définition 5 - 1

On pourra utiliser la touche ∏ sur la calculatrice (texas instrument) :

ln(1) = 0ln(2) ≈ 0,69

ln(10) ≈ 2,3ln(0,5) ≈ −0,36

Remarque 16


46 5.2. ETUDE DE LA FONCTION LN

Etude de la fonction ln2

2 1 Sens de variation

x

(ln)′(x) = 1x

Variationde ln

0 +∞

+

−∞

+∞+∞

1

0

e

1

Admise• limx→+∞

ln(x) = +∞ • limx→0x>0

ln(x) = −∞.Propriété 5 - 1

2 2 Le nombre e

D’après le tableau de variation la fonction ln est strictement croissante et dérivablesur ]0;+∞[. De plus elle prend ses valeurs dans l’intervalle ]−∞;+∞[ donc il existe ununique nombre réel appartenant à ]0;+∞[ que l’on note e tel que ln(e) = 1.À la calculatrice on obtient e ≈ 2,7.


x 0.1 0.2 0.5 1 1.5 2 3 4 5 7 10

ln(x) −2.3 −1.6 −0.7 0.0 0.4 0.7 1.1 1.4 1.6 1.9 2.3

x

y

1

1

e

Cln

2 4 Signe de lnx

x

Signe deln(x)

0 1 +∞

− 0 +



Soit x un réel strictement positif,

ln(x) < 0 ⇐⇒ 0 < x < 1

ln(x) = 0 ⇐⇒ x = 1

ln(x) > 0 ⇐⇒ x > 1

Théorème 5 - 1

2 5 Equations et inéquations

Soit a et b deux réels stictement positifs,

ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a = b

ln(a) < ln(b) ⇐⇒ a < b

ln(a)6 ln(b) ⇐⇒ a < b

Théorème 5 - 2

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1. ln(2x+ 3) = 0.

2. ln(5x − 2)6 ln4.

Exemple 5.1

2 6 Exemple d’étude de fonction

Soit f la fonction définie sur ]0,10] par f (x) = x2 − 2x − 4lnx.

1. Étudier la limite de f en 0.

2. Calculer f ′(x).

3. Dresser le tableau de variation de f .

Propriétes algébriques3

3 1 Logarithme d’un produit, d’un quotient

Règles de calculPour tout réel a et b strictement positifs et n entier naturel :

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

ln(1a

)= − ln(a)

ln(ab

)= ln(a)− ln(b)

Propriété 5 - 2


48 5.4. QUELQUES FORMES INDÉTERMINÉES

3 2 Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée

Pour tout réel a et n entier naturel :

ln(an) = n ln(a)

ln(a−n) = −n ln(a)

ln(√

a)

=12

ln(a) .

Propriété 5 - 3

Exprimer en fonction de ln2 , ln3 et ln5.

1. ln72.

2. ln 18 .

3. 18 ln256.

4. ln√

8.

5. ln 62516 .

6. ln(

23

5

).

Exemple 5.2

3 3 Equations lnx = n, n ∈ Z

D’après le tableau de variation l’équation lnx = n admet une unique solution dans]0;+∞[.Or ln(en) = n lne = n donc cette solution est en.

Quelques formes indéterminées4

4 1 En +∞

En l’infini, les puissances de x l’emportent sur lnx, on a donc :

limx→+∞

ln(x)x

= 0

limx→+∞

ln(x)xn

= 0 pour tout entier n ≥ 1

Propriété 5 - 4

Etudier la limite de f en +∞ dans chacun des cas suivants :

1. f (x) = 2 lnxx − 4x.

2. f (x) = lnx5x2 − 3x − 7.

3. f (x) = lnx+2x3

x2 .

4. f (x) = 3lnx − x.

Exemple 5.3

4 2 En 0+

Pour tout entier n ≥ 1limx→0x>0

x ln(x) = 0

limx→0x>0

xn ln(x) = 0 .Propriété 5 - 5



Etudier la limite de f en 0+ dans chacun des cas suivants :

1. f (x) = 7x3 lnx − 5.

2. f (x) = 2lnx+ 4x .

3. f (x) = 3x(2− lnx).

4. f (x) = 2x3 + 1− x lnx.

Exemple 5.4

Fonction ln(u)5

Il s’agit d’étudier la fonction ln(u) définie par :

xu7−→ u(x)

ln7−−→ ln(u(x))

La fonction ln étant définie sur ]0;+∞[, il est nécessaire que u(x) soit strictementpositif.

5 1 Sens de variation, limites

Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I alors la fonction ln(u)a le même sens de variation que la fonction u.Théorème 5 - 3

α désigne un nombre réel, +∞ ou −∞.D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :

• Si limx→α

u(x) = +∞ alors limx→α

ln(u(x)) = +∞

• Si limx→α

u(x) = 0+ alors limx→α

ln(u(x)) = −∞

• Si limx→α

u(x) = l alors limx→α

ln(u(x)) = ln(l)

Théorème 5 - 4

5 2 Dérivée de ln(u)

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors lafonction ln(u) est dérivable sur I est

(ln(u))′ =u′

u.

Théorème 5 - 5


50 5.6. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL

Calculer les limites suivantes :

1. limx→+∞

ln(x2 + 2x+ 1)

2. limx→0+

ln(x2 + 2x+ 1)

3. limx→+∞

ln(3x+ 1x − 4

)4. lim

x→0+ln

(1x

)5. lim

x→+∞ln

( 1x2 + 4

)Exemple 5.5

Calculer f ′(x) dans chacun des cas suivants :

1. f (x) = ln(5x2 + 7x − 1)

2. f (x) = x ln(x+ 1)

3. f (x) = x2 + 4ln(2x+ 3)

4. f (x) = ln( 1x )

5. f (x) = ln(6x−1)x

Exemple 5.6

Fonction logarithme décimal6

On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur]0;+∞[ par log(x) = ln(x)

ln10 .Définition 5 - 2

• log(10) = ln10ln10 = 1. • log(10n) = n.Propriété 5 - 6


6La fonctionexponentielle

C H A P I T R E

52 6.1. LA FONCTION EXPONENTIELLE

La fonction exponentielle1

1 1 Définition

Pour tout n ∈ Z, ln(en) = n.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8−1

y = ln(x)

• Pour tout nombre réel x, il existe un unique réel c tel que ln(c) = x.Ce nombre est appelé « exponentielle de x » et est noté exp(x) ou ex.

• On appelle fonction exponentielle la fonction définie sur R par :

exp: R→ Rx 7→ ex

Définition 6 - 1

On pourra utiliser la touche J obtenue par y ∏ (sur texas instrument)Remarque 17

1 2 Propriétés

• e0 = 1.• e1 = e.• Pour tout réel x, ex > 0.

• ∀x, ln(ex) = x.

• ∀x > 0, exp(lnx) = x.

Propriété 6 - 1

Pour tout nombres réels a et b et pour tout entier relatif n.

• ea+b = ea × eb.

• ea−b = ea

eb.

• e−b = 1eb

.

• (ea)n = ena.

Propriété 6 - 2

Simplifier les expressions suivantes :

1. e4x−2 × e3x+1

2. e7x+3

e2x−1

3. e5ln2

4. (ex + 1)2

5. 5e−x + 4ex

6. 4eln3 − 7lne6

Exemple 6.1


CHAPITRE 6. LA FONCTION EXPONENTIELLE 53

Simplifier les expressions suivantes :

1. A = eln2x6ln(e4x)

2. B = 2e5lnx − 3ln(e3)

3. C = 2eln(x−1) + ln(e2)

4. D = (1 + ex)(1− ex)

5. E = (ex + e−x)2

6. F = ln( e3x+2

ex−1 )

Exemple 6.2

1 3 Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur R et pour tout x , exp′(x) = exp(x).Propriété 6 - 3

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1. f (x) = 7x2 + ex

2. g(x) = 1x − 2ex

3. h(x) = (4x − 7)ex

4. Etudier les variations de h sur R.

Exemple 6.3


exp′(x) = ex > 0

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.Propriété 6 - 4

limx→−∞

ex = 0 limx→+∞

ex = +∞Théorème 6 - 1

x

exp′(x)

exp

−∞ +∞

+

00

+∞+∞

0

1

1

e

Déterminer les limites suivantes :

1. limx→−∞

3x+ 4ex

2. limx→+∞

4x+ 1− 5ex

3. limx→+∞

(ex + 2)(e−x + 1)

Exemple 6.4


54 6.1. LA FONCTION EXPONENTIELLE


x−4 −3 −2 −1 1 2 3

y

1

2

3

4

5

O −→ı

−→

e

Cexp

1 6 Exemple d’étude de fonction

Soit f la fonction déinie sur R par f (x) =5

ex + 2.

1. Calculer f (′x), en déduire le sens de variation de f .

2. Etudier les limites aux bornes de Df .

3. Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur R.Déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près.

1 7 Equations, inéquations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc quelque soient lesréels a et b :

ea = eb ⇐⇒ a = b

ea < eb ⇐⇒ a < b

ea 6 eb ⇐⇒ a6 b

Théorème 6 - 2

On résout des équations et des inéquations avec exp ou ln en utilisant le fait queln(ex) = x et exp(lnx) = x.

Résoudre les équations ou inéquations suivantes :

1. ex < 2

2. 5ex+3 = 4

3. lnx 6 5

4. ln(−4x+ 1) < 2

5. 2e2x + ex − 3 = 0, en posant X = ex.

Exemple 6.5

On résout également des équations et des inéquations dans l’étude du signe de ladérivée d’une fonction.



Etudier les variations des fonctions f et g définie sur R par f (x) = 4x − 7ex etg(x) = 2ex − 3x − 4Exemple 6.6

Fonction composée eu2

Il s’agit d’étudier la fonction eu définie par :

xu7−→ u(x)

exp7−−−→ eu(x)

La fonction exp étant définie sur R u et eu ont le même domaine de définition.


La fonction eu a le même sens de variation que la fonction uThéorème 6 - 3

α désigne un nombre réel, +∞ ou −∞.

• Si limx→α

u(x) = −∞ alors limx→α

eu(x) = 0

• Si limx→α

u(x) = +∞ alors limx→α

eu(x) = +∞

• Si limx→α

u(x) = l alors limx→α

eu(x) = el

Théorème 6 - 4

2 2 Dérivée de eu

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction eu est dérivablesur I est (eu)′ = u′euThéorème 6 - 5

Calculer f ′(x) dans chacun des cas suivants :

1. f (x) = e3x2+2x−5

2. f (x) = e−4x

3. f (x) = e5lnx

Exemple 6.7

2 3 Un exercice de bac

On considère la fonction h définie et dérivable sur R par h(x) = e2x − 7ex + 6. On noteh′ sa fonction dérivée.

1. (a) Calculer la limite de la fonction h en −∞.(b) Calculer la limite de la fonction h en +∞

(on pourra utiliser l’égalité vraie pour tout réel x : h(x) = ex (ex − 7 + 6e−x).)

2. Calculer h[ln

(72

)], h(0) puis h(ln6).

3. Déterminer par le calcul h′(x) et étudier les variations de la fonction h.Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats desquestions précédentes dans ce tableau.

4. En déduire le tableau des signes de la fonction h.


56 6.3. CROISSANCES COMPARÉE

Croissances comparée3

On a représenté ci-contre les courbes des fonctions f , g, h et i définies par :

f (x) = x , g(x) = exp(x) , h(x) = x2 et i(x) = ln(x)

Associer à chaque courbe la fonction correspondante.

1

2

3

4

5

6

7

8

−11 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3

Compléter par "plus vite" ou "moins vite". En +∞ :

• La fonction ln croît ........................ que la fonction x 7→ x.

Donc limx→+∞

ln(x)x

= · · ·

• La fonction ln croît ........................ que la fonction x 7→ x2.

Donc limx→+∞

ln(x)x2 = · · ·

• La fonction exp croît ....................... que la fonction x 7→ x.

Donc limx→+∞

ex

x= · · ·

• La fonction exp croît ....................... que la fonction x 7→ x2.

Donc limx→+∞

ex

x2 = · · ·

La fonction exponentielle l’emporte en ±∞ sur toutes les puissances de x :Pour tout entier n strictement positif

limx 7→−∞

xnex = 0 et limx 7→+∞

ex

xn= +∞

Les autres limites ne sont pas indéterminées.

Théorème 6 - 6



Calculer les limites suivantes :

1. limx→+∞

5x6 − 7xex

2. limx→−∞

x3ex

3. limx→+∞

ex − x10

4. limx→+∞

ex

x3 − 2x+ 4

Exemple 6.8


7Les intégrales

C H A P I T R E

CHAPITRE 7. LES INTÉGRALES 59

Aire sous une courbe1

1 1 unité d’aire

Dans un repère orthogonal (O, I, J) l’unitéd’aire est l’aire du rectangle OIJKDéfinition 7 - 1

L’aire de la figure D est 2 unités d’aires onnote A (D) = 2 u.aExemple 7.1

1

2

3

−1

K

I

J

2O

1 u.a

D

1 2 Exemple de calcul d’aire sous une courbe

1. Représenter ci-dessous la courbe de la fonction g définie sur [0;1] par g(x) =−1

2x+ 1. Colorier puis calculer l’aire située « sous la courbe de g » (entre l’axe desabscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1).

1

1

2. On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction f définie sur [0;1] par f (x) =1

x+ 1.

(a) Colorier l’aire située « sous la courbe de f » entre 0 et 1 puis en estimer unevaleur approchée en u.a.

(b) Donner un encadrement de cette aire en utilisant la méthode des rectanglesavec des rectangles de largeur 0,2.

3. (a) Déterminer une primitive G de g sur R puis calculer G(1) − G(0). Queconstate-t-on ?

(b) Déterminer une primitive F de f sur R puis calculer F(1)−F(0). Que constate-t-on ?

1

1

Cf1

1

Cf1

1

Cf


60 7.2. INTÉGRALE

Intégrale2

Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b].On appelle intégrale de a à b de f le nombre F(b)− F(a), il est noté∫ b

af (x) dx = F(b)− F(a).

Définition 7 - 2

Si f est une fonction positive sur [a;b],

alors∫ b

af (x) dx est égal à l’aire du do-

maine compris entre la courbe de f ,l’axe des abcsisses, et les droites d’équa-tion x = a et x = b exprimé en unitéd’aire. (ua)

y = f(x)

a b

Domaine D

∫b

a

f(x) dx=aire du domaine D

x

y

O

Propriété 7 - 1

Calculer l’aire du domaine comprisentre la courbe d’équation 1

x , l’axe desabcsisses, et les droites d’équation x = 1

2et x = 4 dans un repère orthonormé(O;−→ı ,−→

)d’unité graphique 1 cm :∫ 4

12

1x

dx = [ln(x)]412

= ln4− ln12

= ln4 + ln2∫ 4

12

1x

dx = ln8 = 3ln2 u.a. ≈ 2,08 cm2

1

2

3

−11 2 3 4−1

Exemple 7.2

Propriété de l’intégrale3

3 1 1res propriétés

Soient f une fonction dérivable sur [ a ; b ] alors :

•∫ a

af (x) dx = 0.

•∫ b

af (x) dx = −

∫ a

bf (x) dx.

Propriété 7 - 2


CHAPITRE 7. LES INTÉGRALES 61

3 2 Linéarité

Soient f et g deux fonctions dérivables sur [ a ; b ] et k un réel, alors :

•∫ b

af (x) + g(x) dx =

∫ b

af (x) dx+

∫ b

ag(x) dx.

•∫ b

aλf (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx.

Propriété 7 - 3

Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonctioncomplexe (de type polynôme par exemple) à une succession d’intégrations de fonctionsplus élémentaires.

Calcul de l’intégrale : I =∫ 2

12x+

5x

dx :

I =∫ 2

12x dx+ 5

∫ 2

1

1x

dx

I = [x2]21 + 5 [lnx]2

1I = (4− 1) + 5(ln2− ln1)I = 3 + 5ln2.

Exemple 7.3

3 3 Relation de Chasles

Soit f une fonction dérivable sur R et b ∈ [ a ; c ], alors∫ c

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx+

∫ c

bf (x) dx.

Propriété 7 - 4

Interprétation graphique :

A1 A2

a b c


62 7.4. INTÉGRALES ET INÉGALITÉS

Intégrales et inégalités4

4 1 Ordre

Si f et g sont dérivables sur [a;b] et si,pour tout x ∈ [a;b], g(x) ≤ f (x) alors ona : ∫ b

ag(x) dx ≤

∫ b

af (x) dx

y = f(x)y = g(x)

a b x

y

O

Propriété 7 - 5

4 2 Valeur moyenne d’une fonction

On cherche µ de sorte que l’aire du rec-tangle ABCD soit égale à celle de l’aire sousla courbe de f entre a et b

µ

A

C

B

D

Soit f une fonction dérivable sur [ a ; b ].Si a , b, on appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre réel µ défini par

µ =1

b − a

∫ b

af (x) dx.

Définition 7 - 3

Calculer la valeur moyenne sur [0;1] de la fonction carré.Exemple 7.4


8Lois de probabilitéscontinues- Parteoane

C H A P I T R E

64 8.1. INTRODUCTION

Introduction1

1 1 Simulation de la loi uniforme sur [0;1]

On considère l’intervalle [0;1].On génère un nombre réel R aléatoire de l’intervalle [0;1] (on parlera de « tirage »).On veut déterminer la fréquence de l’événement « le réel R appartient à l’intervalle[

14 ; 1

2

]» après N tirages.

Ici nous allons simuler le choix d’un réel au hasard de l’intervalle [0;1] à l’aide de lacalculatrice.En effet, la calculatrice a une fonction qui lui permet d’afficher un nombre aléatoire :la fonction random (hasard) Ran# pour les casios et Aléat pour les TI.

1. Supposons que N = 10.À l’aide de la fonction Aléat de la calculatrice, relever la fréquence d’apparitiond’un réel de l’intervalle [ 1

4 ; 12 ] après 10 tirages.

On réalisera cinq échantillons de taille 10 et on consignera les fréquences obte-nues dans le tableau suivant :

échantillons de taille 10 1 2 3 4 5

Fréquence de l’événement

R ∈[

14 ; 1

2

]Que remarque-t-on?

2. On souhaite automatiser les calculs précédents et obtenir le résultat souhaitépour un très grand nombre N de tirages.Compléter pour cela l’algorithme suivant, qui permet d’obtenir la fréquenced’apparition d’un réel R de l’intervalle

[14 ; 1

2

]lorsqu’on génère N tirages d’un

nombre aléatoire de l’intervalle [0;1].

Algorithme : Simulation de N tiragesVariables : N,R,S,kEntrées : . . . . . .Traitement

S ← . . . . . . . . .pour k allant de 1 jusque . . . . . . faire

R← . . . . . . . . . . . .si . . . . . . . . . et . . . . . . . . . alors

S ← . . . . . . . . .fin

finS← . . . . . . . . . . . .

FinSorties : Afficher . . . . . . . . .


CHAPITRE 8. LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUES- PARTE OANE 65

3. Traduire l’algorithme précédent pour la calculatrice, puis compléter le tableausuivant :

Nombre de tirages N 10 50 200 1000

Fréquence de l’événement

R ∈[

14 ; 1

2

]4. Que remarque-t-on?

1 2 Fonction de densité

L’histogramme ci-dessous donne la répartition des tailles d’un groupe de personnes .L’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe correspondante.

représente 10 personnes

1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 2

A l’aide du graphique on peut déterminer l’effectif de chaque classe.On note nx16X6x2

le nombre de personnes dont la taille X appartient à l’intervalle[x1;x2].

1. Detreminer n1,656X61,7, n1,76X61,9 et nxmin6X6xmax.

2. Si on divise chaque effectif par l’effectif total on obtient des probabilités doncune unité d’aire représente une probabilité de 10

500 = 0,02.Déterminer alors P(1,656 X 6 1,7) , P(1,76 X 6 1,9) et P(xmin 6 X 6 xmax).

3. Avec ce procédé on peut associer une probabilité à l’aire des surfaces délimitéespar l’histogramme.En utilisant des intervalles d’amplitude de plus en plus petite, on peut construiredes histogrammes d’aire totale égale à 1 et une fonction positive f tels que leshistogrammes seront de plus en plus proches du domaine plan « sous la courbe »de la fonction f .On appelle cette courbe : « courbe de tendance de l’histogramme ».


66 8.2. DENSITÉ ET LOI DE PROBABILITÉ D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE

1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 2

Donc P(1,656 X 6 1,7) = et P(xmin 6 X 6 xmax) =

Densité et loi de probabilité d’une variable aléatoirecontinue2

• Lorqu’une variable aléatoire réelle prend des valeurs entières ou des valeursréelles en nombre fini, on dit que la loi de probabilité de cette variable aléatoireest discrète. (on a (X = k) avec k entier ou k dans un ensemble fini).

• Lorqu’une variable aléatoire réelle prend (sous certaines conditions) des valeurssur tout un intervalle I de R, on dit que la loi de probabilité de cette variablealéatoire est continues. (par exemple (X = t) avec t variable du temps).

densité de probabilitéOn appelle fonction densité de probabilité toute fonction définie sur un intervalleI de R vérifiant les 3 conditions suivantes :

• f est dérivable sur I

• f est positive sur I

•∫

If (t)dt = 1.

Définition 8 - 1

loi de probabilité de densité fSoit f une densité de probabilité sur I et X une variable aléatoire à valeurs dans I.On dit que X suit une loi de densité f si pour tout sous intervalle [a;b] de I on a :

P(a6 X 6 b) =∫ b

af (t)dt .

Définition 8 - 2



Si a est un élément de I et f une fonction densité sur I alors :

P(X = a) = P(a6 X 6 a) =∫ a

af (t)dt = 0 .

Remarque 18

Loi uniforme3

3 1 loi uniforme sur [0;1]

3 1 1 Définitions et propriétés

La fonction constante égale à 1 est une densité sur l’intervalle [0;1].Propriété 8 - 1

La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction constante égale à 1 sur[0;1] est appelée loi uniforme sur [0;1].Définition 8 - 3

Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0;1] alors pour tout intervalle[a;b] inclus dans [0;1]

P(a6 X 6 b) =∫ b

a1dt = [t]ba = b − a .

Propriété 8 - 2

La loi uniforme modélise le choix d’un nombre réel X au hasard dans l’intervalle[0;1].Remarque 19

3 1 2 Interprétation graphique

On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérantl’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.

1

0 1−1a b

3 1 3 Exemple

La machine mesurant la concentration d’une substance est déréglée et donne unnombre au hasard entre 0 et 1.Les résultats X affichés par la machine suivent la loi uniforme sur [0;1].Déterminer la probabilité que la concentration affichée soit comprise entre 0,5mg/l et 0,75 mg/l.

Exemple 8.1


68 8.3. LOI UNIFORME

Pierre et Paul se donne rendez-vous à minuit dans un café. Pierre décide d’arriverà 00h30 et Paul au hasard entre 0h et 1h. Soit X la variable aléatoire égale à l’heured’arrivée de Paul.Calculer les probabilités des événements suivants :

• A=« Paul arrive avant Pierre »

• B=« Pierre attend Paul plus de 20 min »

Exemple 8.2

3 2 loi uniforme sur [a;b]

3 2 1 Définitions et propriété

Soit a et b deux réels tels que a < b.La fonction définie sur [a;b] par f (x) = 1

b−a est une densité de probabilité sur [a;b].Propriété 8 - 3

La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction constante définie sur [a;b]par f (x) = 1

b−a est appelée loi uniforme sur [a;b].Définition 8 - 4

Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a;b] alors pour tout intervalle[c;d] inclus dans [a;b]

P(c 6 X 6 d) =∫ d

c

1b − a

dt =d − cb − a

.

Propriété 8 - 4

3 2 2 Interprétation graphique

On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérantl’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.

a bc d

1b−a

3 2 3 Exemple

À partir de 7 heure, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt A. Un usagerse présente en A entre 7h et 7h30.On suppose que la durée entre 7h et son arrivée en A suit un loi de probabilitéuniforme sur l’intervalle [0;30].Quelle est la probabilité qu’il attende son prochain bus :

1. moins de 5 minutes ?

2. plus de 10 minutes ?

Exemple 8.3



3 3 Espérance

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b]. On appelle espé-

rance de X le réel noté E(X), défini par E(X) =∫ b

atf (t)dt, où f est la fonction

densité de la loi uniforme sur [a;b].Définition 8 - 5

L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur [a;b] esta+ b

2.Propriété 8 - 5

3 4 Variance et écart type

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b] de densité f . Onappelle :

• variance de X le réel noté V(X), défini par V(X) =∫ b

a(t − E(X))2f (t)dt.

• écart type de X le réel noté σ(X), défini par σ(X) =√

V(X)

Définition 8 - 6

Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b] alors :

V(X) =(b − a)2

12et σ(X) =

b − a√

12.

Propriété 8 - 6

Sur une autoroute, deux postes consécutifs de téléphone de secours A et B sont àune distance de 5 km.On note la variable aléatoire X qui, à tout véhicule tombant en panne entre A et B,associe la distance en km parcourue depuis le poste A. On considère que X suit laloi uniforme sur [0;5].

1. Quelle est la fonction de densité de la variable aléatoire X ?

2. Calculer les probabilités P(X ∈ [0;1]), et P(36 X 6 5).

3. Calculer l’espérance E(X), puis interpréter cette espérance.

4. Calculer l’écart type σ(X).

Exemple 8.4

Loi exponentielle4

4 1 Définitions

Soit λ un réel strictement positif.La fonction f définie sur [0;+∞[ par f (x) = λe−λx est une densité de probabilitésur [0;+∞[.

Propriété 8 - 7


70 8.4. LOI EXPONENTIELLE

loi exponentielleSoit λ > 0.Une variable X à valeurs dans [0;+∞[ suit un loi exponentielle de paramètre λlorsque X suit la loi de densité f définie par f (x) = λe−λx

Définition 8 - 7

Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors pour tout t > 0, on a :

P(X 6 t) = 1− e−λt .Propriété 8 - 8

4 2 Interprétation graphique

Dans le cas ou λ = 2 on peut représenter la probabilité précédente comme l’aire dudomaine grisé ci-dessous :

1

2

0 1 2−1

b

t

4 3 Exemple

La durée, en minutes, d’une conversation téléphonique est une variable aléatoireexponentielle de paramètre λ = 0,1.Vous arrivez à une cabine et juste à ce moment précis, une personne passe devantvous. Quelle est la probabilité que vous attendiez :

1. moins de 5 minutes?

2. entre 10 et 20 minutes?

3. plus de 10 minutes?

Exemple 8.5

4 4 Espérance

L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λest :

E(X) =1λ

Propriété 8 - 9



On note T la variable aléatoire qui, à tout composant électronique d’un certaintype prélevé au hasard dans un stock, associe sa durée de fonctionnement (enheure) avant une panne.On suppose que T suit la loi exponentielle de paramètre 0,0005.

1. Donner la fonction de densité de la variable aléatoire T.

2. Calculer la probabilité des événements suivants (arrondie à 10−3 près) :

(a) A : « le composant prélevé a une durée de vie inférieure à 1000 h » ;

(b) B : « le composant prélevé fonctionne encore après 500 h ».

3. Calculer l’espérance E(X), puis interpréter cette espérance.

Exemple 8.6


9Equationsdifférentielles

C H A P I T R E

CHAPITRE 9. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 73

Introduction1

Une équation différentielle est une équation liant une fonction et sa ou ses déri-vée(s).Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfontà l’égalité.

Définition 9 - 1

On cherche à résoudre l’équation différentielle y′(x) = x2.

On trouve ici y(x) =13x3 + k où k est une constante réelle. On remarque qu’il y a

une infinité de solutions, dépendantes de k.Si de plus on impose une contrainte du type y(0) = 1 (condition initiale), on obtient:

• y(0) =13× 03 + k = 1,

• or, y(0) = 1 donc, k = 1.

• Conclusion : y(x) =13x3 + 1 et dans ce cas, la solution devient unique.

Exemple 9.1

Par la suite, on écrira la solution sous la forme f (x) = ... , g(x) = ... plutôt quey(x) = ...

Remarque 20

Équations différentielles du type y ′ + ay = b2

2 1 Cas de l’équation y′ +ay = 0

2 1 1 Solution générale

Soit y′ + ay = 0 une équation différentielle, où a ∈ R et y est une fonction de lavariable réelle x définie et dérivable sur R.Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R par :

f (x) = k e−ax où k ∈ R.

Théorème 9 - 1

Démonstration.Soit (E) l’équation différentielle y′ + ay = 0.

• Soit f la fonctions définie sur R par f (x) = ke−ax, f est dérivable sur R de dérivéef ′(x) = −kae−ax.f ′(x) + af (x) = −kae−ax + a× ke−ax = 0 donc, f est bien solution de (E).

• Les solutions de la forme x 7→ ke−ax sont des solutions de (E). Il reste à montrerqu’il n’y a pas d’autres solutions que celles-ci.Pour cela, on suppose que g est un fonction définie et dérivable sur R solution


74 9.2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU TYPE Y′ + AY = B

de (E) et on va montrer qu’alors elle est de la forme x 7→ ke−ax.Soit h la fonction définie sur R par h(x) = g(x)eax. h est dérivable sur R de dérivéeh′(x) = g ′(x)eax + ag(x)eax

h′(x) = eax (g ′(x) + ag(x))mais comme g est solution de (E), on a g ′(x) + ag(x) = 0 soit h′(x) = 0.On a alors : h(x) = k ⇐⇒ g(x)eax = k ⇐⇒ g(x) = ke−ax.

�

1. Résolution de l’équation différentielle : y′ + 4y = 0 :Les solutions sont du type f (x) = ke−4x où k est une constante réelle.

2. Résolution de l’équation différentielle : y′ = 3y :Les solutions sont du type f (x) = ke3x où k est une constante réelle.

3. Résolution de l’équation différentielle : 2y′ − 5y = 0 :

Cette équation peut s’écrire y′− 52y = 0. Les solutions sont du type f (x) = ke

52 x

où k est une constante réelle.

Exemple 9.2

2 2 Cas général

Soit f et g deux solutions de l’équation différentielle (E) : y′ + ay = b, où a et b sontdeux nombres réels, avec a , 0.On a donc f ′ + af = b et g ′ + ag = b.On considère la fonction h(x) = f (x)− g(x).D’après ce qui précède h est solution de l’équation différentielle y′ + ay = 0 dont onconnaît les solutions ainsi h(x) = ke−ax avec k ∈ R. On en déduit que f (x) = ke−ax +g(x).Il suffit donc de trouver une solution particulière g de (E) pour obtenir l’ensemble dessolutions de (E).Or la fonction constante g(x) = b

a vérifie (E).Donc f (x) = ke−ax + b

a .Réciproquement, on peut vérifier facilement que si une fonction f est de la formef (x) = ke−ax + b

a , avec k ∈ R alors f est solution de (E).On peut donc en tirer le théorème suivant :

Soit y′ + ay = b une équation différentielle, où a et b sont deux réels, avec a , 0, ety est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur R.Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R par :

f (x) = k e−ax +ba

où k ∈ R.

Théorème 9 - 2

2 3 Unicité de la solution sous condition initiale

Soient x0, y0 et a des réels donnés, l’équation différentielle y′ + ay = b admet uneunique solution f définie et dérivable sur R vérifiant f (x0) = y0.Théorème 9 - 3

Démonstration.On sait que la solution générale de l’équation différentielle y′ + ay = b est une fonctionf définie et dérivable sur R de la forme f (x) = ke−ax + b

a où k est un nombre réel.De plus, f (x0) = y0 ⇐⇒ ke−ax0 + b

a = y0 ⇐⇒ k = (y0 − ba )eax0

D’où f (x) = (y0 − ba )eax0e−ax + b

a = (y0 − ba )e−a(x−x0) + b

a . �



Résolution de l’équation différentielle y′ + 3y = 0 dont la solution f vérife f (1) = 4:Les solutions sont du type f (x) = ke−3x où k est une constante réelle.f (1) = 4 ⇐⇒ ke−3×1 = 4 ⇐⇒ k = 4e3, D’où f (x) = 4e−3x+3.

Exemple 9.3

Équations différentielles du type y ′′ +ω2y = 03

3 1 Solution générale

Soit y′′ +ω2y = 0 une équation différentielle linéaires du second ordre à coefficientconstant ω positif.Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies et deuxfois dérivables sur R vérifiant :

f (x) = Acos(ωx) + Bsin(ωx)$

où A et B sont des constantes réelles.

Théorème 9 - 4

1. Résolution de l’équation différentielle (E) : y′′ + 4y = 0 :(E) s’écrit aussi y′′ + 22y = 0, on prend donc ω = 2.Les solutions sont du type f (x) = Acos(2x) + Bsin(2x) où A et B sont desconstantes réelles.

2. Résolution de l’équation différentielle : 27y′′ + 3y = 0 :

Cette équation peut s’écrire y′′+3

27y = 0, ou encore y′′+

(13

)2y = 0, on prend

ω =13

.

Les solutions sont du type f (x) = Acos( 13x) + Bsin( 1

3x) où A et B sont desconstantes réelles.

Exemple 9.4

3 2 Unicité de la solution sous condition initiale

L’équation différentielle y′′ +ω2y = 0 admet une unique solution f définie sur Rvérifiant deux conditions initiales données.

Théorème 9 - 5

On aura, en général, des conditions initiales du type :

f (x0) = y0

f (x1) = y1

ou f (x0) = y0

f ′(x1) = y1

.

Remarque 21

Déterminer la solution de l’équation différentielle 27y′′ + 3y = 0 vérifiant f (0) =2√

3 et f ( 3π2 ) = 2Exemple 9.5


76 9.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU TYPE Y′′ +ω2Y = 0

Il peut arriver que, pour plus de facilité, qu’on doive transformer l’écriture de lasolutionf (x) = Acos(ωx) + Bsin(ωx) en f (x) = Kcos(ωx+ϕ).Pour cela, on utilisera les formules de trigonométrie :

cos(a+ b) = cosacosb − sinasinb.

cos(a− b) = cosacosb+ sinasinb.

Démontrer que la solution f précédente peut s’écrire f (x) = 4cos(x

3− π

6

).

Ô Le plus simple est de partir de la forme "factorisée" pour obtenir la forme"développée" :

Ô 4cos(x

3− π

6

)= 4

(cos

x3

cosπ

6+ sin

x3

sinπ

6

)= 4

(√3

2cos

x3

+12

sinx3

), donc :

Ô 4cos(x

3− π

6

)= 2√

3cosx3

+ 2sinx3

.

Remarque 22

On considère l’équation (E) : 4y′′ +π2y = 0 dont la solution vérifie les conditions

initiales f(

12

)=√

22 et f ′

(12

)= 0. Résolution de l’équation différentielle générale :

(E)⇐⇒ y′′ +(π2

)2y = 0.

Les solutions sont donc : f (x) = Acos(π

2x)

+ Bsin(π

2x)

.

Utilisation de la première condition :f(

12

)= Acos

(π4

)+ Bsin

(π4

)= A

√2

2 + B√

22 =

√2

2 (A + B). Sachant que f(

12

)=√

22 , on

obtient A + B = 1 .

Utilisation de la seconde condition :f ′(x) = −π2 Asin

(π2 x

)+ π

2 Bcos(π2 x

). f ′

(12

)= −π2 Asin

(π4

)+ π

2 Bcos(π4

)=

−π2 A√

22 + π

2 B√

22 = π

√2

4 (−A + B). Sachant que f ′(

12

)= 0, on obtient −A + B = 0 .

Résolution du système d’équations :

A + B = 1

−A + B = 0⇐⇒ A + B = 1

2B = 1⇐⇒

A = 12

B = 12

Conclusion :

f (x) =12

cos(π

2x)

+12

sin(π

2x).

Exemple 9.6



1. Résoudre l’équation différentielle : 4y′′ + y = 0.

2. Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant f (π) =√

3

f (0) = 1.

3. Montrer que cette solution f vérifie, pour tout x réel : f (x) = 2cos(x

2− π

3

).

4. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation d’inconnue x : f (x) =1 ; en donner les solutions appartenant à l’intervalle [ 0 ; 4π [.

Exemple 9.7


10Lois de probabilitéscontinuesLE RETOUR

C H A P I T R E

CHAPITRE 10. LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUESLE RETOUR 79

La loi Normale1

1 1 Définition et cadre naturel d’apparition

Cette loi est celle qui rend compte de diverses mesures d’une grandeur donnée, opéréesà diverses reprises, chaque mesure étant sujette à des erreurs.La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains phénomènes continus quifluctuent autour d’une valeur moyenne µ, de manière aléatoire, résultante d’un grandnombre de causes indépendantes dont les effets s’ajoutent sans que l’un d’eux soientdominant :Par exemple la taille d’un individu en cm, influencée par le sexe, la nourriture, l’envi-ronnement, l’hérédité, le lieu géographique . . .

On appelle loi Normale de paramètres µ ∈ R et σ > 0 la loi d’une variable aléatoirecontinue X prenant toutes les valeurs réelles, de densité de probabilité la fonctiondéfinie pour tout x ∈ R par

f (x) =1

σ√

2πe−

12 ( x−µ

σ )2

On note X N (µ;σ).

Définition 10 - 1

1 2 Espérance et variance

admiseOn admet que si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (µ;σ) alors

E(X) = µ et σ(X) = σ.

Ainsi les paramètres d’une loi normale sont en fait son espérance mathématiqueet son écart-type.

Propriété 10 - 1

1 2 1 Loi normale et espérance

On présente sur la figure 10.1 page suivante trois courbes de fonctions de densité deprobabilité correspondant à trois lois normales d’espérances respectives 2, 3 et 7 etd’écart-type 0,5.On constate qu’à une translation de vecteur k~ı près, les courbes sont identiques.

1 2 2 Loi normale et écart-type

On présente sur la figure 10.2 page suivante trois courbes de fonctions de densitéde probabilité correspondant à trois lois normales d’espérance 4 et d’écarts-typesrespectifs 0,5, 1 et 2.On constate que plus l’écart-type est important et plus la courbe de la fonction dedensité est « évasée » et plus le maximum est petit. En effet, un écart-type importantsignifie que la dispersion des données est importante.On notera que, dans tous les cas, l’aire sous la courbe de la fonction de densité deprobabilité (pour x variant de −∞ à +∞) est égale à 1.


80 10.1. LA LOI NORMALE

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

µ = 2 µ = 3 µ = 7

Figure 10.1 – Loi normale et espérance

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

σ = 0,5

σ = 2

σ = 1

Figure 10.2 – Loi normale et écart-type

Dans l’exemple précédent, on peut observer :

• que la courbe admet comme axe de symétrie la droite d’équation x = µ,

• que le maximum de la courbe est atteint en µ, espérance de la variable X (ce

maximum valant1

σ√

2π),

• et que plus σ est grand, plus la courbe « s’étale » autour de la moyenne, enaccord avec la signification de l’écart-type.

Remarque 23

1 3 Calculs de probabilités

Si une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres µ et σ alors pour tousnombres a et b réels tels que a ≤ b :

P(a ≤ X ≤ b) =1

σ√

2π

∫ b

ae−

12 ( x−m

σ )2dx.

Propriété 10 - 2



Dans le cas ou µ = 1,5 et σ = 1 on peut représenter la probabilité précédente commel’aire du domaine grisé ci-dessous :

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3−1−2 a b

Figure 10.3 – P(a ≤ X ≤ b) si X N (1,5;1)

La fonction de densité deN (µ ; σ) présente quelques caractéristiques bien utiles :

• Elle est positive et continue et l’aire sous sa courbe pour x variant de −∞ et+∞ est égale à 1 (admis).

• Sa courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation x = µ.

Remarque 24

On peut en déduire les propriétés suivantes :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normaleN (µ ; σ) et a un réel. Alors :

• p(X ∈ R) = 1.

• p(X 6 µ) = p(X > µ) = 0,5.

• p(X 6 µ− a) = p(X > µ+ a).

• p(X > a) = 1− p(X 6 a).

Propriété 10 - 3

Il est conseillé d’être capable de les retrouver graphiquement plutôt que de les apprendre.

1 4 Intervalles « Un, deux, trois sigmas »

Certaines valeurs dépendant de σ sont à retenir (par cœur) :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normaleN (µ ; σ)

• p(µ− σ 6 X 6 µ+ σ) ≈ 0,68 ;

• p(µ− 2σ 6 X 6 µ+ 2σ) ≈ 0,95 ;

• p(µ− 3σ 6 X 6 µ+ 3σ) ≈ 0,997.

Propriété 10 - 4

Cette propriété est illustrée par la figure 10.4 page suivante.

1 5 Loi normale et calculatrice

Soit X une variable aléatoire continue suivant la loiN (µ ; σ).La fonction de densité de cette loi normale n’a pas de primitive explicite mais lescalculatrices disposent de commandes spécifiques, µ et σ étant connus :

• p(α6 X 6 β) ;

• x tel que p(X 6 x) = a, a étant connu.


82 10.1. LA LOI NORMALE

µ − σ µ + σµ

P(µ− σ 6 X 6 µ+ σ) ≈ 0,68

µ − 2σ µ +2σµ

P(µ− 2σ 6 X 6 µ+ 2σ) ≈ 0,95

µ − 3σ µ +3σµ

P(µ− 3σ 6 X 6 µ+ 3σ) ≈ 0,997

Figure 10.4 – Un, deux, trois sigmas



Ces commandes sont résumées dans le tableau 10.1 de la présente page.

TI Casio

p(α6 X 6 β) DISTR puis 2 :normalFRep(α,β,µ,σ)

Menu Stat Dist Norm NCD

puis renseigner Lower = α ; Upper = β ; σ ; µ

x tel que p(X 6 x) = a DISTR puis 3 : FracNormale(a,µ,σ)Menu Stat Dist Norm InvN

puis renseigner Area = a ; σ ; µ

Table 10.1 – Commandes spécifiques des calculatrices concernant la loi normale

De la loi binomiale à la loi normale2

2 1 Loi binomiale

Rappels :Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire pour laquelle il n’y a quedeux issues, nommées, en général, « succès » et « échec » et notées, en général, S etS. On note p la probabilité du succès.Quand une même épreuve de Bernoulli est répétée plusieurs fois de manièreindépendante, on dit qu’on est en présence d’un schéma de Bernoulli. On note nle nombre de fois que l’épreuve de Bernoulli est répétée.Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue d’un schéma de Bernoulli associe lenombre de succès qu’elle comporte. On appelle loi binomiale la loi de probabilitéde X. On la note B(n,p).

Définition 10 - 2

Rappels :Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p). Alors :

• p(X = k) =

n

k

pk(1− p)n−k

• L’espérance de X est E(X) = np

• La variance de X est V(X) = np(1− p)

• L’écart-type de X est σ(X) =√np(1− p)

Propriété 10 - 5

2 2 De la loi binomiale à la loi normale

2 2 1 Exemple : Variable aléatoire Xn suivant la loi binomiale B(n ; 0,3)

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilitéd’une variable aléatoire Xn suivant la loi binomiale B(n ; 0,3) où l’on fera varier n.

1. On donne sur la figure 10.5 page suivante, pour n = 30, les valeurs approchéesdes probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10−2, les autres ayantété négligées) ainsi qu’une représentation graphique en bâtons.

(a) Calculer l’espérance µ et l’écart-type σ de X30.

(b) Représenter dans le repère de la figure 10.6 page suivante l’histogrammeoù chaque rectangle :


84 10.2. DE LA LOI BINOMIALE À LA LOI NORMALE

k · · · 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 · · ·p(Xn = k) · · · 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 · · ·

0.05

0.10

0.15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

Figure 10.5 – Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

• est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléa-toire ;

• a sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de lavariable aléatoire (soit ici une unité) ;

• a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à laprobabilité).

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

Figure 10.6 – L’histogramme de la loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

(c) Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tousles rectangles possibles (pas seulement ceux correspondant à une probabilitésupérieure à 10−2) ?

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et 200 et lerésultat est sur la figure 10.7 page ci-contre.

(a) Dans chacun de ces deux cas, calculer l’espérance et l’écart-type de lavariable aléatoire.

(b) Où retrouve-t-on l’espérance sur les graphiques ?

(c) Quelle est l’influence de l’écart-type sur les graphiques ?



n = 50 n = 200

0.05

0.10

0.15

10 20 30 40 50 60 70

0.05

0.10

0.15

20 40 60

Figure 10.7 – Lois binomiales B(50,0.3) et B(200,0.3)

2 2 2 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

admiseSi une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n,p) de paramètres n et p avecn> 30, n(1− p)> 5, alors la loi de X peut être approchée par la loi d’une variablealéatoire Y suivant la loi normaleN (µ ; σ) de même espérance et de même écarttype : µ = np et σ =

√np(1− p).

Propriété 10 - 6

Exercices3

Exercice 10 - 1Une étude menée sur l’eau du robinet provenant d’un même captage affirme que laquantité en milligrammes par litre (mg.L−1) de nitrates suit la loi normale d’espé-rance 30 et d’écart-type 8. Selon le code de santé publique, la teneur en nitrates doitêtre inférieure à 50 mg.L−1 afin d’assurer la protection des femmes enceintes et desnouveaux-nés.Quelle est la probabilité, à 10−4 près, que l’eau du robinet provenant de ce captageprésente, par sa teneur élevée en nitrates, un risque pour la santé ?

Exercice 10 - 2Une étude sur le teck, arbre recherché pour la qualité de son bois, affirme que, cinqannées après sa plantation, la hauteur d’un tel arbre suit la loi normale de paramètresµ = 23 m et σ = 1,5 m.Suite à des relevés, le propriétaire d’une exploitation de tecks plantés cinq ans aupara-vant apprend que la hauteur du plus grand teck sur son exploitation est de 20 m etcelle du plus petit teck est de 16 m.Doit-il s’inquiéter de la croissance des tecks plantés sur son exploitation ?

Exercice 10 - 3Le test le plus employé actuellement pour mesurer le quotient intellectuel (Q.I.)standard est la test de David Wechsler.On appelle X la variable aléatoire qui à toute personne choisie au hasard associe son


86 10.3. EXERCICES

Q.I. mesuré à l’aide de ce test. On admet que X suit la loi normale de paramètresµ = 100 et σ = 15.

1. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait un Q.I. entre 90 et110 ?

2. Quelle est la proportion de personnes :

(a) ayant un Q.I. entre 85 et 115 ?

(b) ayant un Q.I. entre 70 et 130 ?

(c) ayant un Q.I. entre 55 et 145 ?

3. Quelle est la proportion de personnes :

(a) ayant un Q.I. supérieur à 115 ?

(b) ayant un Q.I. supérieur à 130 ?

(c) ayant un Q.I. supérieur à 145 ?

4. D’après la littérature sur le sujet, une personne est considéré comme un génie sison Q.I. est supérieur à 140. Quelle est la proportion de génies dans la population?

La fiabilité du test de Q.I., censé mesurer l’intelligence, est parfois contestée,certains prétendant que ce test ne mesure pas l’intelligence d’une personne maisseulement sa réussite au test de Q.I.

Remarque 25

Exercice 10 - 4La taille exprimée en centimètres d’un enfant de cinq ans suit la loi normale d’espé-rance 105,5 cm et d’écart-type 4,7 cm.

1. Déterminer la probabilité qu’un enfant de cinq ans mesure entre 97 cm et 115 cm.

2. Peut-on affirmer qu’environ 94 % des enfants de cinq ans mesurent entre 97 et115 cm ? Expliquer.

Exercice 10 - 5Le fabricant d’un jeu, après avoir effectué une enquête auprès d’un grand nombre dejoueurs, a estimé que les durées des parties constituaient des données gaussiennesavec une moyenne µ = 62 s et un écart-type σ = 6 s. Ce fabricant annonce : « Vous avez95 % de chances de jouer chaque partie dans une durée comprise entre 50 s et 1 min14 s. »

1. Sur quoi se fonde cette affirmation du fabriquant ?

2. Jean, passionné de ce jeu, a joué 40 parties. Peut-on affirmer que 95 % des 40parties jouées par Jean ont une durée comprise entre 50 s et 1 min 14 s ?

Exercice 10 - 6Une machine remplit des paquets de pâtes dont le poids est supposé être de 500 g. Onappelle X la variable aléatoire qui à tout paquet rempli par cette machine associe sonpoids en grammes. On admet que X suit la loi normaleN (500; 2).

1. On choisit au hasard un paquet rempli par cette machine. Quelle est la probabilitéque ce paquet ait un poids compris entre 490 g et 505 g ?

2. Un grand magasin affirme qu’un de ses clients a acheté un paquet de moins de480 g. Que peut-on en penser ?



Exercice 10 - 7Le fréquence cardiaque est le nombre de pulsations du cœur par minute. La fréquencecardiaque au repos, en abrégé FCR, est la fréquence cardiaque la plus faible rencontréechez une personne après une longue période de calme. On admet que la FCR d’unsportif régulier (qui pratique un sport 2 à 4 fois par semaine) suit la loi normale deparamètres µ = 52 et σ = 4.

1. Sans calculatrice, préciser la probabilité (arrondie au centième) que la FCR d’unsportif régulier soit comprise entre 44 et 60.

2. Mehdi, cycliste régulier, affirme qu’il a une FCR comprise entre 38 et 40 pulsa-tions par minutes. Ses camarades sont très sceptiques : sa FCR serait très prochede celle de Richard Virenque.Que peut-on en penser ? Argumenter à l’aide d’un calcul.

Exercice 10 - 8La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de type « Française FrissonePis Noir » (FFPN) peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loinormale de moyenne µ = 6000 et d’écart-type σ = 400.

1. Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée),en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître desvaches de ce type souhaite disposer de probabilité.

(a) Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de ce type produise moinsde 5 800 L par an.

(b) Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de ce type produise entre5 900 et 6 100 L de lait par an.

(c) Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de ce type produise plus de6 520 L par an.

2. Dans son futur troupeau, l’éleveur souhaite connaître :

• la production maximale prévisible des 30 % des vaches les moins productivesdu troupeau ;

• la production minimale prévisible des 20 % des vaches les plus productives.

Répondre aux souhaits de l’éleveur.

Exercice 10 - 9L’entreprise Granulex distribue un certain aliment dans un contenant métallique dontle poids après remplissage est en moyenne de 340 grammes.Le poids est distribué normalement avec un écart-type de 4 grammes.Toutefois on peut ajuster le processus de remplissage pour obtenir une valeur moyennedésirée sans changer l’écart-type.

1. Quelle est la probabilité qu’un contenant choisi au hasard de la production aitun poids entre 334 et 346 g ?

2. Sur une production de 1 000 contenants, combien auront un poids inférieur à 330grammes ?

3. À quel niveau moyen doit-on fixer le remplissage de sorte que seulement 5 % descontenants aient un poids supérieur à 348 grammes ?

Exercice 10 - 10Un ascenceur peut supporter une charge de 1 000 kg. On admet qu’un individu pris auhasard parmi les utilisateurs de cet ascenseur a une masse, en kg, qui suit la loi normalede paramètres µ = 75 kg et σ = 16 kg et que la somme des masses de n personnes dont


88 10.3. EXERCICES

la masse suit cette loi normale suit elle-même une loi normale de d’espérance n× µ etd’écart-type σ ×

√n.

1. L’ascenseur peut-il supporter 9 personnes ?

2. L’ascenseur peut-il supporter 11 personnes ?

3. Quel est le nombre maximum de personnes que l’on peut autoriser à monter dansl’ascenseur si l’on veut que le risque de surcharge ne dépasse pas 10−6 ? Justifier.

Exercice 10 - 11Lors d’une consultation, le médecin informe le couple Leïla et Nathanaël qu’« ungarçon de trois mois pèse en moyenne 5,3 kg » et qu’« il y a 50 % de chances queson poids soit compris entre 4,8 kg et 5,8 kg ». Il ajoute toutefois qu’« il n’y a aucuninquiétude à avoir tant que le poids de l’enfant est normal », c’est-à-dire tant qu’il sesitue dans l’intervalle [µ− 2σ ; µ+ 2σ].Le fils du couple pèse 4,1 kg et est âgé de trois mois.En admettant que le poids en kilogrammes d’un garçon de trois mois suit une loinormale, la situation est-elle préoccupante ?

Exercice 10 - 12Une entreprise fabrique en grande série des tubes de 2 m de longueur à utiliserlors d’une installation électrique. Si une plus grande longueur est nécessaire lors del’installation, ces tubes sont prévus pour s’emboîter les uns dans les autres grâce à uneforme évasée à l’une des deux extrémités.Dans ce problème, les résultats seront à arrondir à 10−3.Un tube fabriqué par cette entreprise est dit conforme lorsque le diamètre d1 del’extrémité de forme évasée du tube, exprimé en millimètres, appartient à l’intervalle[17,5; 18,5] et lorsque le diamètre d2 de l’autre extrémité, exprimé aussi en millimètres,appartient à l’intervalle [15,5; 16,5].

1. On note D1 la variable aléatoire qui, à chaque tube prélevé au hasard dans laproduction de cette entreprise, associe le diamètre en millimètres de l’extrémitéde forme évasée du tube.On suppose que la variable aléatoire D1 suit la loi normaleN (18; 0,2).Calculer p(17,56 D1 6 18,5).

2. On note D2 la variable aléatoire qui, à chaque tube prélevé au hasard dans laproduction de cette entreprise, associe le diamètre en millimètres de l’extrémitéde forme non évasée du tube.On suppose que la variable aléatoire D2 suit la loi normaleN (16; σ2).On admet que p(15,56 D2 6 16,5) = 0,97.Déterminer une valeur approchée au centième près de l’écart-type σ2.

3. On admet que : p({17,56 D1 6 18,5} ∩ {15,56 D2 6 16,5}) = 0,98.Interpéter ce résultat.

Exercice 10 - 13Dans une population, la glycémie, taux de sucre dans la sang, exprimée en grammespar litre (g.L−1), vérifie les résultats suivants :

• 15 % des individus présentent une glycémie inférieure à 0,82 g.L−1 ;

• 20 % des individus présentent une glycémie supérieure à 0,95 g.L−1.

On suppose que la glycémie de cette population suit une loi normale.

1. Déterminer l’espérance et l’écart-type de cette loi.

2. Préciser la probabilité d’avoir un taux de glycémie normal, c’est-à-dire comprisentre [µ− 2σ ; µ+ 2σ].



3. L’hyperglycémie correspond à une glycémie supérieure à 1,26 g.L−1.Quelle est la probabilité pour un individu de cette population de souffrir d’unehyperglycémie ?

Exercice 10 - 14Sur une chaîne d’embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cL) de liquidefournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut-êtremodélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ = 2.La machine peut être réglée pour modifier la valeur moyenne sans changer l’écart-type.La législation impose qu’il y ait moins de 0,1 % de bouteilles contenant moins d’unlitre.

1. À quelle valeur minimum de la moyenne µ doit-on régler la machine pour res-pecter cette législation ?

2. La contenance maximale des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors la proba-bilité qu’une bouteille déborde lors du remplissage ?

3. Le directeur de la coopérative veut qu’il y ait moins de 1 % de bouteilles quidébordent au risque de ne plus suivre la législation.

(a) Quelle est alors la valeur de µ ?

(b) Quelle est, dans les conditions de la question précédente, la probabilité quela bouteille contienne moins d’un litre ?

(c) Déterminer µ et σ afin qu’il y ait moins de 0,1 % de bouteilles de moins d’unlitre et moins de 1 % de bouteilles qui débordent.

Exercice 10 - 15Un appareil portatif multimédia fabriqué par la société Multisonic est garanti contretout défaut de fabrication durant une période de 2 ans.D’après l’expérience de la compagnie, il y a un appareil sur 1 000 qui présente unedéfectuosité majeure dans des conditions normales d’utilisation, 26 mois après l’achat.D’autre part, les chances d’observer une défectuosité majeure durant les 52 mois sui-vant l’achat sont de 975 sur 1 000.Supposons que le temps requis après l’achat pour qu’une défectuosité majeure sur-vienne est distribué normalement.Quelle est la probabilité qu’un appareil présente une défectuosité majeure avant la finde sa période de garantie ?


11Complexes leretour

C H A P I T R E

CHAPITRE 11. COMPLEXES LE RETOUR 91

Notation exponentielle d’un nombre complexe1

Les propriétés des fonctions exponentielles permettent d’écrire

kex × k′ex′

= kk′ex+x′

Ainsi, on multiplie les parties non exponentielle et on additionne les exposants.Cette similitude avec les propriétés des modules et arguments des nombres complexesamènent à la définition :

Notation exponentielle d’un nombre complexeSoit z un nombre complexe.La notation exponentielle de z est z = reiθ où

r est le module de z,

θ est un argument de z,

et e est le nombre tel que ln(e) = 1.

Définition 11 - 1

Le nombre complexe de module 2 et d’argument π3 est noté 2ei π3 .

Sa forme algébrique est z = 2(cos π3 + iπ3 ) = 1 + i√

3.Exemple 11.1

Il ne faut pas confondre la fonction exponentielle ex qui ne se calcule que pourtout réel x et la notation exponentielle eiθ qui est à valeur complexe.Remarque 26

Les propriétés sur les modules et les arguments des nombres complexes se tra-duisent par :

reiθ × r ′eiθ′ = r × r ′ei(θ+θ′) reiθ

r ′eiθ′ =rr ′ei(θ−θ′) (reiθ)n = rneinθ

Théorème 11 - 1

Efficacités de la notation2

La notation exponentielle permet de calculer plus facilement des produits ou desquotients de nombres complexes.

Soit z = 3ei 3π4 et z′ = 7ei −2π

3 .Calculer zz′ et z

z′ .Exemple 11.2

zz′ = 3× 7ei( 3π4 + −2π

3 ) = 21ei π12 et zz′ = 3

7 ei( 3π4 −

−2π3 ) = 3

7 ei 17π12 .

La notation exponentielle permet de calculer plus facilement des puissances denombres complexes.


92 11.3. APPLICATIONS

Calculer (1 + i)8.Exemple 11.3

(1 + i)8 = (√

2ei π4 )8 =√

28ei 8π

4 = 16ei2π = 16

La notation exponentielle permet d’obtenir (entre autre) les formules d’addition detrigonométrie :

Formules trigonométriques

cos(a+ b) = cosacosb − sinasinb sin(a+ b) = cosasinb+ cosb sinaThéorème 11 - 2

Démonstration.D’une part, ei(a+b) = cos(a+ b) + isin(a+ b).D’autre part ,

ei(a+b) = eia × eib

= (cosa+ isina)(cosb+ isinb)

= cosacosb − sinasinb+ i(cosasinb+ cosb sina)

Par identification des parties réelles et imaginaires, on retrouve les formules d’addition:

cos(a+ b) = cosacosb − sinasinb

etsin(a+ b) = cosasinb+ cosb sina

�

En remarquant que π12 = π

3 + −π4 , donner les valeurs exactes de cos(π12

)et sin

(π12

)Exemple 11.4

cos(π

12

)= cos

(π

3+−π4

)= cos

(π

3

)cos

(−π4

)− sin

(π

3

)sin

(−π4

)=

12×√

22−√

32× −√

22

=

√2

4×√

64

=

√6 +√

24

On montre de la même manière que sin(π12

)=√

6−√

24 .

Applications3

Formule de Moivre

(cosθ + isinθ)n = cosnθ + isinnθ.

Théorème 11 - 3


CHAPITRE 11. COMPLEXES LE RETOUR 93

Démonstration.(cosθ + isinθ)n = (eiθ)n = einθ = cosnθ + isinnθ �

Cette formule est à la base de la méthode permettant d’exprimer cosnθ et sinnθ enfonction de cosθ et sinθ.

Exprimer cos3θ et sin3θ en fonction de cosθ et sinθ.Exemple 11.5

D’une part , d’après la formule de Moivre, (cosθ + isinθ)3 = cos(3θ) + isin(3θ).D’autre part, la formule (a+ b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2b+ b3 donne :

(cosθ + isinθ)3 = cos3θ + 3cos2 i sinθ + 3cosθ(i sinθ)2 + 3(isinθ)3

= cos3θ − 3cosθ sin2θ + i(3cos2θ sinθ − sin3θ)

Par identification des parties réelles et imaginaires, on déduit :cos3θ = cos3θ − 3cosθ sin2θ = 4cos4θ − 3cosθ et sin3θ = 3cos2θ sinθ − sin3θ.

Formule d’Euler

cosθ =eiθ + e−iθ

2et sinθ =

eiθ − e−iθ

2i.

Théorème 11 - 4

Démonstration.

eiθ+e−iθ

2 = cosθ+isinθ+cos(−θ)+isin(−θ)2 = cosθ+isinθ+cosθ−i sinθ

2 = 2cosθ2 = cosθ

eiθ−e−iθ

2i = cosθ+isinθ−cos(−θ)−i sin(−θ)2i = cosθ+isinθ−cosθ+isinθ

2i = 2isinθ2i = sinθ �

LinéarisationLinéariser une expression trigonométrique, c’est trouver une expression du pre-mier degré qui lui soit égale.Les formules d’Euler sont à la base de la méthode permettant de linéariser cosnθ(ou sinnθ).

Définition 11 - 2

Linéariser cos4θ.Exemple 11.6

A l’aide de la relation (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 et de la formule d’Euler,on écrit

cos4θ = ( eiθ+e−iθ

2 )4

= (eiθ)4+4(eiθ)3e−iθ+6(eiθ)2(e−iθ)2+4eiθ(e−iθ)3+(e−iθ)4

16

= e4iθ+4e2iθ+6+4e−i2θ+e−i4θ

16

= (e4iθ+e−i4θ)+4(e2iθ+e−i2θ)+616

= 2cos4θ+4cos2θ+616

= cos4θ8 + cos2θ

2 + 38


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