1

ELEC 2311 - Projet Tutoriel pour modèle magnétique par éléments finis Dest.: Etudiants 16-10-08 v.0 Auteur : VK

Introduction: La méthode des éléments finis permet, en discrétisant un système continu de résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles représentant la dynamique d’un système physique. Dans le cadre de ce cours, nous allons travailler avec le logiciel COMSOL multiphysics.

Définition du modèle : Il s’agit de réaliser un modèle magnétique par éléments finis d’un électro-aimant.

hc

hd

e

d

r1

r2

r3

is

is

Utilisation de COMSOL multiphysics: Cette application utilise le module spécifique « AC/DC module » du logiciel de modélisation par éléments finis COMSOL multiphysics. Cela veut dire que les équations décrivant la physique (ici, l’électromagnétisme) sont déjà implémentées dans COMSOl, et il suffit de rentrer la valeur des différents paramètres. De manière générale, en travaillant avec COMSOL, il faut toujours commencer par préciser avec quelle(s) physique(s) on désire travailler, ensuite, dessiner la géométrie, définir les caractéristiques physiques, mailler, et enfin résoudre le modèle.

2

Model navigator A l’ouverture du logiciel, on précise que nous travaillons en électromagnétisme. L’électro-aimant ayant une géométrie axisymétrique, on choisira plutôt: « space dimension : Axial symmetry (2D) », et dans l’arbre : « application mode : AC/DC module, statics, magnetostatics, azimuthal currents».

.

3

Options and settings Pour avoir plus facile par la suite, nous allons définir des axes et une grille adaptée à nos besoins (menu Options > Axis, grid settings). Prenons pour les axes -0.03<r<0.03 et -0.004<z<0.04, ainsi qu’une grille espacée de 0.0005m

Nous allons également définir quelques constantes caractéristiques de notre problème. (menu Options > Constants) La densité de courant dans la bobine est de 5 A/mm², et la résistivité électrique du cuivre est de 1.7 10e-8 Ohm m.

4

Geometry modeling La barre d’outils à gauche sur l’écran permet de construire la géométrie en dessinant des rectangles, des cercles, des lignes, … On peut également travailler par l’union, l’intersection ou la soustraction de plusieurs éléments géométriques. Notez que l’unité est le mètre.

On va commencer par tracer un premier rectangle (première icône) : largeur = 0.012, hauteur = 0.025, avec le coin situé en (0,0). On peut soit cliquer sur l’icône et tracer le rectangle, soit sélectionner l’icône en maintenant la touche shift enfoncée, ce qui permet de rentrer directement les caractéristiques du rectangle.

Le deuxième rectangle que nous allons tracer représente la dent : largeur = 0.0065, hauteur = 0.019, coin en (0.0035,0). Le troisième rectangle représente l’isolant : largeur = 0.0045, hauteur = 0.018, coin en (0.0045, 0). Le quatrième rectangle représente la partie mobile de l’électro-aimant : largeur = 0.012, hauteur = 0.002 et coin en (0,-0.0025). Le dernier rectangle représente l’entrefer : largeur = 0.012, hauteur = 0.0005, et coin en (0,-0.0005). Enfin, l’électro-aimant est situé dans de l’air. Un rectangle représente cet air : largeur=0.019, hauteur=0.038, et coin en (0,-0.008)

5

Physics settings Il faut maintenant affecter les caractéristiques physiques à chaque sous-domaine, et une condition à chaque frontière. Commençons par les sous-domaines (Physics > Subdomain settings). Deux sous-domaines sont en fer : les deux parties du circuit ferromagnétique. En les sélectionnant, on remarque que ces sous-domaines portent les numéros 2 et 4. On peut maintenant leur affecter les propriétés du fer.

On peut faire de même pour les autres sous-domaines. matériau Perméabilité relative Conductivité

électrique Courant

fer 4000 1.12 107 0 isolant 1 1 0 cuivre 1 1/rho_cuiv dens_cour air 1 1 0 Pour pouvoir calculer la force développée par l’électro-aimant sur la plaque (sous-domaine 2) par le tenseur de Maxwell, il faut définir un nom de variable pour cette force.

6

Pour rappel, le tenseur de Maxwell définit les contraintes sur une surface fermée, et il suffit alors de l’intégrer le long de cette surface pour obtenir la force, ce que Comsol fait pour nous : (voici un extrait de l’aide décrivant le tenseur de Maxwell, dans le cas particulier de la magnéto-statique)

Force and torque calculations using Maxwell’s stress tensor are available in the application modes for electrostatics, magnetostatics, and quasi-statics(…). In magnetostatics and quasi-statics the expression

(2-2)

is integrated on the surface to obtain the force. E is the electric field, D the electric displacement, H the magnetic field, B the magnetic flux density, and n1 the outward normal from the object

Il faut maintenant préciser les conditions aux frontières. (Physics > Boundary settings) Les différentes conditions aux frontières proposées par le logiciel sont : (repris de l’aide de comsol)

Magnetic Field

The magnetic field boundary condition

specifies the tangential component of the magnetic field at the boundary.

Surface Current

The surface current boundary condition

lets you specify a surface current flowing in the z direction.

Electric Insulation

The electric insulation boundary condition

7

sets the magnetic field to zero. The term electric insulation comes from the fact that this boundary condition makes the normal component of the electric current equal to zero.

Magnetic Potential

The magnetic potential boundary condition

specifies the magnetic potential.

Magnetic Insulation

The magnetic insulation boundary condition

sets the magnetic potential to zero at the boundary. This boundary condition can also be used at symmetry boundaries where the magnetic field is known to be tangential to the boundary.

The term magnetic insulation comes from the fact that this boundary condition makes the normal component of the magnetic field zero. Thus the boundary is not truly insulating.

Impedance Boundary Condition

The impedance boundary condition

is used at boundaries where the field is known to penetrate only a short distance outside the boundary. This penetration is approximated by a boundary condition to avoid the need to include another domain in the model. The material properties that appear in the equation are those for the domain outside the boundary.

The skin depth, that is, the distance where the electromagnetic field has decreased by a factor e-1, is for a good conductor

The impedance boundary condition is a valid approximation if the skin depth is small compared to the size of the conductor.

The source electric field Esz can be used to specify a source current running along the boundary.

Transition Boundary Condition

The transition boundary condition

can be used on interior boundaries to model a thin sheet of a conducting medium. The surface impedance η is a function of the material properties of the sheet and the thickness.

Thin Low Permeability Gap

The thin low permeability gap boundary condition

8

can be used to model gaps filled with a low permeable material with zero conductivity such as air.

Continuity

The continuity boundary condition

is the natural boundary condition implying continuity of the tangential component of the magnetic field

Dans ce cas-ci : les frontières sur l’axe de symétrie ont bien sûr une condition de symétrie axiale, et on peut supposer que les frontières à l’extérieur ont un champ magnétique tangentiel (magnetic insulation). Toutes les frontières internes ont une condition de continuité par défaut.

Mesh generation Le maillage est généré automatiquement. On peut régler plusieurs paramètres dont la finesse du maillage. (Mesh > Mesh parameters)

Pour générer le maillage : Mesh >initialize mesh, (ou bouton )et ensuite l’affiner : Mesh

> refine mesh.( )

9

Solve Solver > Solver Parameters (ou ) On peut choisir entre différents algorithmes de résolution. (itératif ou pas, etc) Un « solver » adapté au type de mode et d’analyse voulus est sélectionné par défaut. En règle générale, les problèmes n’ont pas de matrices symétriques. Pour plus de détails, vous pouvez vous référer à l’aide de COMSOL.

Une fois le bon solver choisi, il suffit de lancer la résolution.

Résultat (Postprocessing, ) Dans le post-processing on peut représenter différentes variables. Ici, les flèches représentent le trajet du flux magnétique.

10

Pour connaître la valeur numérique de la force en z sur la plaque, il suffit maintenant d’aller dans le menu Postprocessing>Point Evaluation, de choisir un point (n’importe lequel), et de lui demander la valeur de la variable mobile_forcez_emqa . Il affiche alors cette valeur dans la fenêtre du bas. Elle vaut 13.54N.

On peut également lui demander de la représenter sur un graphe dans le cas d’une résolution paramétrique (Postprocessing>Domain Plot Parameters>point)

Notes sur le calcul des forces On aurait pu calculer la force d’autres façons. De manière générale, il y a 3 possibilités pour calculer des forces dans Comsol dans le module AC/DC.

• Tenseur de Maxwell (voir «Permanent magnet » dans les tutoriaux de Comsol) • Intégrale sur un volume de J x B (voir « Electromagnetic Forces on Parallel Current-

Carrying Wires ») • Via les travaux virtuels (voir « Linear Electric Motor of the Moving Coil Type »)