Kotler Vivien 2AP - ENSGSI

Unfer Aurélien

Étude thermique des ailettes :

Objectifs :

Au cours de ce TP nous avons vérifié expérimentalement un calcul de transfert de chaleur en

régime permanent dans des ailettes à section droite. Ces ailettes sont de formes, de matériaux

et de longueur différents afin de rendre compte de l’influence de ces différents paramètres.

Une ailette a pour rôle de conduire la chaleur en provenance s’une source et ainsi augmenter

la surface d’échange convectif du milieu. On peut en trouver dans les ordinateurs afin de

refroidir les processeurs ou dans les voitures comme système de refroidissement du moteur.

Le montage expérimental se présente de la manière suivante :

Les caractéristiques des ailettes sont les suivantes :

Ailette 2 : Dural section circulaire, diamètre 20mm, longueur 150mm.

Ailette 3 : Dural section carrée, diamètre 20mm, longueur 150mm.

Ailette 4 : Acier section circulaire, diamètre 20mm, longueur 150mm.

Ailette 5 : Dural section circulaire, diamètre 20mm, longueur 300mm.

Cylindre rempli d’huile

chauffée

4 ailettes

5

3

2

4

5 thermocouples sont répartis le long de chaque ailette afin de mesurer la température. Le

thermocouple délivre une différence de potentiel proportionnelle à la température du milieu

dans lequel il se trouve. A l’aide d’une table de correspondance on peut déduire la

température du milieu.

Une sonde de platine nous donne la température de la soudure froide, la résistance de la sonde

varie linéairement avec la température selon la loi suivante : R(T) = R0 * (1 + 0.00385 * T),

avec R0 la résistance à 0°C qui vaut 100 Ohms et T exprimée en °C.

Modélisation de l’expérience :

Le problème peut se schématiser de la manière suivante :

Ta : température de l’air

T0 : température de la paroi

r(x) : flux échangé par convection

(x) et (x+dx) : flux échangé par conduction

T0

Ta

(x) (x+dx)

r(x)

Air

x x+dx L 0

On considère que la tranche d’épaisseur dx est à une température donnée T(x) et constante car

nous sommes en régime permanent. Cette hypothèse signifie que le transfert de chaleur est

unidirectionnel sur x. Cette simplification peut être réalisée sous l’hypothèse d’un nombre de

Biot très inférieur à 1. On rappelle que Bi=hL/ . On suppose que la barre est conductrice,

donc λ sera grand et le Biot petit. On retrouve alors l’hypothèse du transfert unidirectionnel.

Ainsi nous pouvons écrire le bilan des transferts thermiques pour l’élément dx :

(x) = (x+dx) + r(x) cela signifie que le flux entrant est égale à la somme des flux

sortants (régime permanent)

Le flux échangé par conduction est donné par :

(x) = (x) * S = - * grad(T(x)) * S

Le flux échangé par conduction est :

r(x) = h * p * dx * (T(x) – Te)

En remplaçant ces expressions dans la première équation, on obtient :

0)(***)(*)( TeThdxp

dxdTS

dxdT

dxxx

Avec :

λ : conductivité thermique du matériau (W.m-1

.K-1

)

h : coefficient d’échange convectif (W.m-2

.K-1

)

p : périmètre de section

S : surface de section

Après simplification :

0)(**

*2

2

TeTS

hp

dxTd on pose Θ(x) = T – Te et α

2 = (p*h)/(S*λ); on obtient donc :

0)(*)(

22

2

xx

x

Les solutions de cette équation différentielles sont de la forme :

(x) = A * ch ( * x) + B * sh ( * x)

(x) = C * exp(- * x) + D * exp( * x)

Afin de résoudre notre problème, nous disposons de 2 conditions limites : La première est

donnée par T0 en x=0. En ce qui concerne la seconde nous devons distinguer 3 hypothèses :

Ailette de longueur infinie

Flux en x=L est nul

Flux convectif échangé au bout de l’ailette

Modèle 1 :

On utilise la condition limite :

L θ(x) = 0 (ailette de longueur infinie)

En utilisant l’équation différentielle précédente, on a :

(L) = C * exp(- * L) + D * exp( * L) = 0

Quand L , exp( * L) . Si D 0 alors (L) , ce qui ne respecte pas la condition

limite donc D est nul.

L'équation devient: (L) = C * exp(- L);

Quand x = 0, (0) = C * exp(0) = C.

On obtient donc pour le modèle 1 l’équation suivante:

(x) = (0) * exp(- x)

Modèle 2 :

On utilise la condition limite :

Ψ (x = L) = 0 (flux nul traversant l’extrémité)

Ainsi : 0)(

**x

xS

x

L)( A * * sh ( * L) + B * * ch ( * L) = 0

Or A = (0)

donc B = -)*(

)*(*)0(

Lch

Lsh

On a donc :

(x)= (0)

On obtient donc pour le modèle 2 l’équation suivante:

(x) = (0) )*(

)**(

xch

xLch

ch ( * x) * ch ( * L) - sh ( * x) * sh ( * L)

ch ( * L)

Modèle 3 :

On considère un flux convectif échangé au bout de l’ailette :

(L) = h * S * (T(L) – Te) = - * S x

L)(

h * (L) = - * ’(L)

h * [ (0) * ch ( L) + B * sh ( L)] = - * *[ (0) * sh ( L) + B * ch ( L)]

On trouve B :

B = (0)

L’équation obtenue pour le modèle 3 est :

)*(**)*(*

))((**))((**)0()(

LchLshh

xLchxLshhx

h * sh ( L) + * * ch ( L)

- h * ch ( L) - * * sh ( L)

Partie expérimentale :

La température du bain d’huile est fixée à 90°C et nous relevons les valeurs des températures

sur chaque ailette et à différentes distance ainsi que la température de la soudure froide et la

température ambiante.

Ts = 32,62°C

Ta = 26 °C

Nous classons les températures des ailettes dans le tableau suivant :

Position x (mm) 0 30 50 100 150

T ailette 2 (°C) 85.62 81.12 79.82 77.12 75.12

(x)/ (0) ailette 2 1 0.9245 0.9027 0.8574 0.8239

T ailette 3 (°C) 83.62 80.82 79.82 77.62 76.62

(x)/ (0) ailette 3 1 0.9514 0.9341 0.8959 0.8785

T ailette 4 (°C) 86.62 78.62 73.62 65.62 58.82

(x)/ (0) ailette 4 1 0.868 0.7855 0.6536 0.5414

Position x (mm) 0 50 100 150 300

T ailette 5 (°C) 82.12 74.62 70.62 64.12 60.02

(x)/ (0) ailette 5 1 0.8664 0.7951 0.6793 0.6062

Après la modélisation de (x)/ (0) sur Regressi et en utilisant les 3 modèles vu

précédemment, on obtient les valeurs de α suivantes :

Modèle1 Modèle2 Modèle3

α 2 1,47700 4,22100 4,12000

α 3 0,95800 3,44300 3,35300

α 4 4,27000 7,48400 7,31000

α 5 2,02300 3,62700 3,58400

On remarque clairement que les valeurs de α sont différentes pour le modèle 1 par rapport aux

modèles 2 et 3. De plus le modèle 1 n’est pas acceptable car nous avons fait l’hypothèse d’une

ailette de longueur infinie. La température au bout de l’ailette devrait donc être à la

température ambiante. Or on remarque à l’aide de nos relevés que ce n’est pas le cas et on

peut l’observer aussi rien qu’au touché. On remarque que les valeurs de modèle 2 sont

proches du modèle 3 or ce dernier est le plus complet car il tient compte d’un échange

convectif au bout de l’ailette donc il est le plus proche de la réalité. On peut donc supposer

que le modèle 2 est acceptable.

Quelle devrait être la taille de l’ailette pour que le modèle 1 soit

acceptable ?

Il faudrait que T(L) Te (L) 0 on prendra (L)=10-4

afin d’effectuer le calcul

(0) = 59°C (0) = 59°C

Pour les ailettes en Dural : = 4 Pour l’ailette en acier : = 7.5

10-4

= 59 * exp(-4 L) 10-4

= 59 * exp(-7,5 L)

L = - ln(10-4

/ 59)/4 L = - ln(10-4

/ 59)/7.5

L = 3.32 m L = 1.77 m

Le modèle 1 n’est donc acceptable que dans le cas d’ailettes relativement grandes.

Calcul du coefficient d’échange h :

S

hp

*

*2 d’où p

Sh

**2

Ailette 2 : h = 0.9 * 2

Ailette 3 : h = 0.25 * 2

Ailette 4 : h = 0.9 * 2

Ailette 5 : h = 0.9 * 2

Nous obtenons les valeurs de h suivantes (théoriquement h=10Wm-2

K-1

) :

L’hypothèse d’un transfert unidirectionnel dans l’ailette est déjà apparemment vérifiée, nous

allons étudier le nombre de Biot afin de confirmer cette hypothèse. Si le nombre de Biot est

très faible devant 1, cela signifie que l’échange thermique par convection est très inférieur à

celui par conduction, ainsi le transfert est considéré comme unidirectionnel.

Le nombre de Biot s’exprime par la relation : B = hL /

Modèle2 Modèle3

B2 0,01415 0,01348

B3 0,00261 0,00248

B4 0,15123 0,14428

B5 0,02089 0,02040

Le nombre de Biot est donc très inférieur à 1 pour les deux modèles et pour les différentes

ailettes. Le transfert sera donc bien unidirectionnel.

(W.m-2.K-1) Modèle1 Modèle2 Modèle3

h2 1,96338 16,03516 15,27696

h3 0,22944 2,96356 2,81065

h4 16,40961 50,40923 48,09249

h5 3,68328 11,83962 11,56055

Calculons les différences entre les flux réellement échangés dans les ailettes et le flux échangé

sans ailette. Prenons pour exemple l’ailette en dural.

Avec ailette : φ = - ∆T/∆z = 170*(86,62-58,82)/(0,15) = 42840 Wm-2

Sans ailette : φconv = h∆T = 10*(86,62-58,82) = 278 Wm-2

On remarque que φconv est très inférieur à φ ce qui justifie l’utilisation d’une ailette.

Conclusion :

En conclusion on peut dire que pour refroidir un microprocesseur il faut utiliser une ailette

dont le matériau a un coefficient de conductivité thermique élevé. De plus il faut augmenter la

surface d’échange convectif afin de refroidir au mieux ; pour cela soit on augmente la

longueur soit on les fait plus petites mais plus fines. De plus pour augmenter le coefficient

d’échange convectif on peut placer un ventilateur.

Cette étude sur les ailettes nous a permis de vérifier les lois vues en cours de transfert de

chaleur. Nous avons aussi pu vérifier certaines conditions et hypothèses de transfert de

chaleur dans une ailette (nombre de Biot, transfert unidirectionnel…).