tsa analyse-temps-frequence

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  • Page *Traitement du Signal AvancReprsentation temps- frquenceJamila BAKKOURY

  • PlanRappel : Transforme de Fourier ExemplesLimitations de la TFTransforme de Fourier a court termeTransforme en ondelettes *

  • Analyse de Fourier

    Rappel : voir cours TS de base : outils mathmatiques pour le TS

    Page *

  • Reprsentations dun signal - ExempleReprsentation temporelle :

    Ne renseigne pas sur le contenu frquentiel.

    Page *Reprsentation frquentielle :

    Dcomposition sur des exponentielles complexes.Ne renseigne pas sur la localisation (temporelle) des frquences.

    Rappel

  • Page *Signal stationnaire :

    Ses caractristiques (spectrales) ne varient pas dans le temps. Lanalyse spectrale (de Fourier) est bien adapte.

    Exemples Onde pure Combinaison linaire dondes pures (harmoniques)

    Signal non stationnaire :

    Ses caractristiques (spectrales) varient au cours du temps.Exemple :Morceau de musique : chaque note a un temps dmission, une dure, une hauteur (frquence) et une intensit.

    Rappel

  • Page *Exemple 1 :

    Sinusode pure x(t)=sin(2f0t) porte rectangulaire w(t)=T(t)

    1- Rappeler le spectre de x(t)2- Dterminer TF(wT)3- Dterminer TF(x.wT)4- Que devient ce spectre si w est dcale de ?5- Reprsenter les spectres pour diffrentes valeurs de T.6- Commenter.

    Analyse de Fourier standard

  • Page *Exemple 2 :

    x(t)=sin(2f0t) pour t

  • Page *Pour une sinusode infinie, toute lnergie du spectre est concentre une frquence donne, cest dire la frquence de la sinusode. Exemple 1Analyse de Fourier

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    Exemple1 Analyse temps-frquence

  • Page * La TF du signal A stationnaire est identique la TF du signal B non stationnaireDans le spectre de B, on ne peut dire dans quel l'ordre ont t places les trois sinusodes. Limites de lanalyse de Fourier standard

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    Limites de lanalyse de Fourier standard

    *SEER2 15-16

  • Lanalyse spectrale standard perd linformation temporelle puisquelle moyenne sur tous les temps. Cette analyse convient pour les signaux stationnaires o chaque composante de frquence existe tout instant, mais ne convient pas aux signaux non stationnaires.

    Si l'on recherche une localisation temporelle des composantes spectrales, on a besoin d'une autre transformation qui permette de donner une reprsentation temps - frquences du signal. Analyse par morceaux : adapte les outils Lanalyse spectrale standard aux variations dans le temps. Page *Limites de lanalyse de Fourier standard

  • Page *Le but de l'analyse temps-frquence est d'offrir une description plus informative du signal rvlant la variation temporelle de son contenu frquentiel. Une solution, la plus intuitive, consiste a associer a un signal non stationnaire une suite de transformes de Fourier a court terme ( STFT: Short Time Fourier Transform) en essayant d'adapter les fentres d'observation successives aux variations de structure du signal de telle sorte que les hypothses de stationnarit, soient localement satisfaites. Analyse temps-frquence

  • Page *consquence d'un fentrage sur la TF d'une sinusode Analyse temps-frquence

  • Page *Consquence d'un fentrage sur la TF d'une sinusode :

    Le fentrage consiste a multiplier le signal par une fentre rectangulaire (de hamming, ...). Le fentrage correspond dans le domaine frquentiel un produit de convolution de leurs transformes de Fourrier. Dou :Perte de rsolution dans le domaine frquentiel puisque "le pic s'est largit". Apparition de bandes de frquence.

    La fentre ne doit pas tre trop grande pour que le signal fentr soit stationnaire et que la rsolution temporelle soit correcte.Mais elle ne doit pas tre trop petite non plus pour que les lobes correspondant la TF de la fentre ne soient pas trop larges et pour que la rsolution frquentielle soit correcte.Analyse temps-frquence

  • Page *Utilisation dune fentre rectangulaire :La troncature du sinus, implique : Une rpartition de lnergie autour de la frquence du sinus (talement) Une apparition dnergie dans toutes les frquences (fuite spectrale).

    Analyse temps-frquence

  • Page *Utilisation une fentre non rectangulaire :La troncature au moyen dune fentre non rectangulaire, implique :Des transitions du signal plus douces. Une limitation des fuites spectrales Une augmentation de ltalement frquentiel

    Analyse temps-frquence

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    Transforme de Fourier court terme (STFT)Analyse le signal segment par segment (ou fentre par fentre).

    La longueur de ce segment est constante et doit tre telle que la portion de signal fentr soit stationnaire.La TF de chaque portion de signal fentr est calcule comme suit (le centre de la fentre tant place au temps ) :

    La fentre de largeur T et centre en permet d'extraire une portion de signal. w* designe le complexe conjugu de w

    Cette analyse fournit une reprsentation temps-frquence du signal.

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    STFT Exemple2

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    STFT Exemple2Les deux signaux B et C sont constitus de sinusodes se succdant dans un ordre diffrent. Leurs TF sont identiques.Leur STFT permettent de les distinguer puisqu'elles mettent en vidence les frquences dominantes relatives chaque priode dobservation.

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  • Page *Principe d'incertitude d'Heisenberg :

    Les rsolutions en temps et en frquence ne peuvent pas tre arbitrairement petites en mme temps. Si represente la fenetre danalyse, alors : Analyse temps-frquence La limite infrieure de cette ingalit est atteinte seulement pour une fentre danalyse de forme gaussienne.

  • Page *STFT-ExempleSignal vocal - Utilisation dune fentre de Hanning

  • Page *STFT-ExempleSignal vocal- Utilisation dune fentre rectangulaire

  • Page *STFT-ExempleSignal vocal - comparaison fentre rectangulaire/ hanning :

    Avec la fentre rectangulaire au lieu de la fentre de Hanning, ltalement spectral est plus faible et les lignes sur le spectrogramme plus fines, mais les fuites spectrales sont plus importantes ce qui se traduit par par un manque de contraste dans spectrogramme.

  • Page *La STFT considere implicitement un signal non stationnaire comme une succession de situations quasi-stationnaires, a lechelle de la fenetre danalyse. La resolution temporelle dune telle analyse est fixee par la largeur de la fenetre, la resolution frequentielle etant fixee par la largeur de sa transformee de Fourier. Pour un signal fortement non-stationnaire, une bonne resolution temporelle est requise, ce qui impose de travailler avec une fenetre courte, limitant la resolution frequentielle.Une analyse frequentielle fine necessite, une fenetre large, ce qui a pour consequence de moyenner les contributions frequentielles sur la duree de la fenetre et de degrader la resolution temporelle.

    STFT- Compromis

  • Page *STFT-CompromisElments importants dans lutilisation du spectrogramme:

    la longueur de fentre pour ajuster la prcision temporelle, au prix dun talement spectral qui peut devenir importantle choix de la fentre qui va conditionner le contraste du spectrogramme, pour une longueur de fentre donne. Compromis entre les resolutions temporelle et frequentielle.

  • Page *Transformation en ondelettesLe problme de la STFT est d'utiliser une fentre de taille fixe couvrant le domaine temps-frquence. Son inconvnient majeur est la rsolution temporelle et frquentielle fixe. La Transformation en Ondelettes offre la possibilit davoir une fentre qui s'adapte en fonction des irrgularits du signal.

    Les ondelettes sont une famille de fonctions localises en temps et en frquence et formant une base orthonormale. Elles sont engendres les unes partir des autres par translation et dilatation.

  • Page *Transformation en ondelettes

    Chaque ondelette est utilise pour dcomposer le signal comme on utilise chaque fonction exponentielles dans la transforme de Fourier. La diffrence est que les fonctions ondelettes sont bien localises dans le temps contrairement aux exponentielles.

    STFT

  • Page *Transformation en ondelettesLa transforme en ondelettes continue est dfinie par :

    est le coefficient de translation. Il s'agit d'un nombre rel. s-1 est le coefficient d'chelle. s est un nombre rel.(t) est l'ondelette mre. Cest une fonction oscillante de moyenne nulle.* dnote le complexe conjugu de Les sont les coefficients d'ondelettes

  • Page *Transformation en ondelettesUne fonction ondelette est generee, par dilatation (ou contraction) et translation (selon l'axe temporel).

    La TOC est definie comme la projection d'un signal sur toute la famille des fonctions ondelettes.

    A chaque point ( ,s) dans le plan temps-echelle, l'amplitude de la transformee ondellete fournit une information sur le degre de ressemblance entre le signal analyse et la version de londelette mre dcale de , a l'echelle s.

    La CWT (TOC) est conue pour donner une bonne rsolution temporelle avec une pauvre rsolution frquentielle dans les hautes frquences (s petit ) et une bonne rsolution frquentielle avec une pauvre rsolution temporelle dans les basses frquences (s grand).

  • Page *Rappel :

    Principe d'incertitude d'Heisenberg :Analyse temps-frquence La limite infrieure de cette ingalit est atteinte seulement pour une fentre danalyse de forme gaussienne.

  • *Domaine frquentielFTsupport infiniRsolution temps-frquenceDomaine Temps-Frquence STFTFentre de largeur fixeDomaine Temps-EchelleWTFentre avec un nombre doscillations fixeAnalyse temps-frquence

  • Page *Exemple de reprsentations Temps-Echelles :Une seule frquence est prsent