tsa analyse-temps-frequence

Traitement du Signal AvancéReprésentation temps- fréquence

Jamila BAKKOURY

Plan

1. Rappel : Transformée de Fourier 2. Exemples3. Limitations de la TF4. Transformée de Fourier a court terme5. Transformée en ondelettes

2

Analyse de Fourier

Rappel : voir cours TS de base : outils mathématiques pour le TS

Représentations d’un signal - Exemple

Représentation temporelle :

• Ne renseigne pas sur le contenu fréquentiel.

Représentation fréquentielle :

• Décomposition sur des exponentielles complexes.

• Ne renseigne pas sur la localisation (temporelle) des fréquences.

Rappel

Signal stationnaire :

Ses caractéristiques (spectrales) ne varient pas dans le temps. L’analyse spectrale (de Fourier) est bien adaptée.

Exemples • Onde pure• Combinaison linéaire d’ondes pures (harmoniques)

Signal non stationnaire : Ses caractéristiques (spectrales) varient au cours du temps.Exemple :Morceau de musique : chaque note a un temps d’émission, une durée, une hauteur (fréquence) et une intensité.

Rappel

Exemple 1 :

Sinusoïde pure x(t)=sin(2πf0t) porte rectangulaire w(t)=πT(t)

1- Rappeler le spectre de x(t)2- Déterminer TF(wT)3- Déterminer TF(x.wT)4- Que devient ce spectre si w est décalée de τ ?5- Représenter les spectres pour différentes valeurs de T.6- Commenter.

Analyse de Fourier standard

Exemple 2 :

x(t)=sin(2πf0t) pour t<t0

x(t)=sin(2πf1t) pour t0<t<t1

x(t)=sin(2πf2t) pour t>t!

porte rectangulaire w(t)=πT(t)

1- Effectuer une analyse spectrale, par tranche, de x(t).2- Représenter le spectre en fonction du temps.6- Commenter.

Analyse de Fourier standard

Pour une sinusoïde infinie, toute l’énergie du spectre est concentrée à une fréquence donnée, c’est à dire la fréquence de la sinusoïde.

Exemple 1Analyse de Fourier

Exemple1 Analyse temps-fréquence

La TF du signal A stationnaire est identique à la TF du signal B non stationnaire Dans le spectre de B, on ne peut dire dans quel l'ordre ont été placées les trois

sinusoïdes.

Limites de l’analyse de Fourier standard

• L’analyse spectrale standard perd l’information temporelle puisqu’elle moyenne sur tous les temps.

• Cette analyse convient pour les signaux stationnaires où chaque composante de fréquence existe à tout instant, mais ne convient pas aux signaux non stationnaires.

Si l'on recherche une localisation temporelle des composantes spectrales, on a besoin d'une autre transformation qui permette de donner une représentation temps - fréquences du signal.

Analyse par morceaux : adapte les outils L’analyse spectrale standard aux variations dans le temps.


Le but de l'analyse temps-fréquence est d'offrir une description plus informative du signal révélant la variation temporelle de son contenu fréquentiel.

Une solution, la plus intuitive, consiste à associer à un signal non stationnaire une suite de transformées de Fourier à court terme ( STFT: Short Time Fourier Transform) en essayant d'adapter les fenêtres d'observation successives aux variations de structure du signal de telle sorte que les hypothèses de stationnarit , soient é́localement satisfaites.

Analyse temps-fréquence

conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde


Conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde :

Le fenêtrage consiste a multiplier le signal par une fenêtre rectangulaire (de hamming, ...). Le fenêtrage correspond dans le domaine fréquentiel à un produit de convolution de leurs transformées de Fourrier. D’ou :

• Perte de résolution dans le domaine fréquentiel puisque "le pic s'est élargit".

• Apparition de bandes de fréquence.La fenêtre ne doit pas être trop grande pour que le signal fenêtré soit stationnaire et que la résolution temporelle soit correcte.Mais elle ne doit pas être trop petite non plus pour que les lobes correspondant à la TF de la fenêtre ne soient pas trop larges et pour que la résolution fréquentielle soit correcte.


Utilisation d’une fenêtre rectangulaire :

La troncature du sinus, implique :• Une répartition de l’énergie autour de la fréquence du sinus (étalement)• Une apparition d’énergie dans toutes les fréquences (fuite spectrale).


Utilisation une fenêtre non rectangulaire :

La troncature au moyen d’une fenêtre non rectangulaire, implique :• Des transitions du signal plus douces. • Une limitation des fuites spectrales • Une augmentation de l’étalement fréquentiel


Transformée de Fourier à court terme (STFT)

• Analyse le signal segment par segment (ou fenêtre par fenêtre). • La longueur de ce segment est constante et doit être telle que la portion de

signal fenêtré soit stationnaire.• La TF de chaque portion de signal fenêtré est calculée comme suit (le centre de

la fenêtre étant placée au temps τ) :

•La fenêtre de largeur T et centrée en τ permet d'extraire une portion de signal. w* designe le complexe conjugué de w •Cette analyse fournit une représentation temps-fréquence du signal.

STFT – Exemple2

STFT – Exemple2

• Les deux signaux B et C sont constitués de sinusoïdes se succédant dans un ordre différent.

• Leurs TF sont identiques.• Leur STFT permettent de les distinguer puisqu'elles mettent en évidence

les fréquences dominantes relatives à chaque période d’observation.

Principe d'incertitude d'Heisenberg :

Les résolutions en temps et en fréquence ne peuvent pas être arbitrairement petites en même temps. Si represente la fenetre d’analyse, alors :


La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement pour une fenêtre d’analyse de forme

gaussienne.

STFT-Exemple

Signal vocal - Utilisation d’une fenêtre de Hanning

STFT-Exemple

Signal vocal- Utilisation d’une fenêtre rectangulaire

STFT-Exemple

Signal vocal - comparaison fenêtre rectangulaire/ hanning :

Avec la fenêtre rectangulaire au lieu de la fenêtre de Hanning, l’étalement spectral est plus faible et les lignes sur le spectrogramme plus fines, mais les fuites spectrales sont plus importantes ce qui se traduit par par un manque de contraste dans spectrogramme.

• La STFT considère implicitement un signal non stationnaire comme une succession de situations quasi-stationnaires, à l’échelle de la fenêtre d’analyse.

• La résolution temporelle d’une telle analyse est fixée par la largeur de la fenêtre, la résolution fréquentielle étant fixée par la largeur de sa transformée de Fourier. Pour un signal fortement non-stationnaire, une bonne résolution temporelle est requise, ce qui impose de travailler avec une fenêtre courte, limitant la résolution fréquentielle.

• Une analyse fréquentielle fine nécessite, une fenêtre large, ce qui a pour consequence de moyenner les contributions fréquentielles sur la durée de la fenêtre et de dégrader la résolution temporelle.

STFT- Compromis

STFT-Compromis

Eléments importants dans l’utilisation du spectrogramme :

•la longueur de fenêtre pour ajuster la précision temporelle, au prix d’un étalement spectral qui peut devenir important•le choix de la fenêtre qui va conditionner le contraste du spectrogramme, pour une longueur de fenêtre donnée. •Compromis entre les résolutions temporelle et fréquentielle.

Transformation en ondelettes

Le problème de la STFT est d'utiliser une fenêtre de taille fixe couvrant le domaine temps-fréquence. Son inconvénient majeur est la résolution temporelle et fréquentielle fixe. La Transformation en Ondelettes offre la possibilité d’avoir une fenêtre qui s'adapte en fonction des irrégularités du signal.

Les ondelettes sont une famille de fonctions localisées en temps et en fréquence et formant une base orthonormale. Elles sont engendrées les unes à partir des autres par translation et dilatation.


Chaque ondelette est utilisée pour décomposer le signal comme on utilise chaque fonction exponentielles dans la transformée de Fourier. La différence est que les fonctions ondelettes sont bien localisées dans le temps contrairement aux exponentielles.

STFT


La transformée en ondelettes continue est définie par :

τ est le coefficient de translation. Il s'agit d'un nombre réel. s-1 est le coefficient d'échelle. s est un nombre réel.ψ(t) est l'ondelette mère. C’est une fonction oscillante de moyenne

nulle.Ψ* dénote le complexe conjugué de ψ

Les sont les coefficients d'ondelettes

Transformation en ondelettesUne fonction ondelette est générée, par dilatation (ou contraction) et translation (selon l'axe temporel).

La TOC est définie comme la projection d'un signal sur toute la famille des fonctions ondelettes.

A chaque point (τ ,s) dans le plan temps-échelle, l'amplitude de la transformée ondellete fournit une information sur le degré de ressemblance entre le signal analysé et la version de l’ondelette mère décalée de τ , à l'échelle s.

La CWT (TOC) est conçue pour donner une bonne résolution temporelle avec une pauvre résolution fréquentielle dans les hautes fréquences (s petit ) et une bonne résolution fréquentielle avec une pauvre résolution temporelle dans les basses fréquences (s grand).

Rappel :

Principe d'incertitude d'Heisenberg :


La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement pour une fenêtre d’analyse de forme gaussienne.

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Domaine fréquentielFT

support infini

Résolution temps-fréquence

Cosinus

T=2/f

Domaine Temps-Fréquence STFT

Fenêtre de largeur fixe

Domaine Temps-EchelleWT

Fenêtre avec un nombre d’oscillations fixe

Fréq

uenc

e cr

oiss

ante

Eche

lle c

rois

sant

e


D:\Pascal\Enseignements\DEA2002_2003\image006.gif

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

200 400 600 800 1000

10

20

30

40

50

60

70

Exemple de représentations Temps-Echelles :

Une seule fréquence est présente sur tout l’intervalle avec la même intensité

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

10

20

30

40

50

60

70

80

90


0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

200 400 600 800 1000

10

20

30

40

50

60

70


40


L’utilisation de la TFCT ou la TOC nécessite de trouver un compromis entre les résolutions temporelle et fréquentielle. Pour la TFCT, une fenêtre d’analyse plus étroite fournira une meilleure résolution temporelle, mais la concentration autour de l’origine de sa transformée de Fourier sera nécessairement moindre, ce qui implique une plus mauvaise résolution fréquentielle. Pour la TOC, le compromis est similaire, mais il dépend de la fréquence d’analyse : plus la fréquence d’analyse augmente, plus la résolution temporelle s’améliore, mais aux dépens d’une moindre résolution fréquentielle.

TFCT/TOC

Analyse de Fourier standard : bien adaptée aux signaux stationnaires. Mais ne permet pas d’obtenir d’information temporelle.

Solution : transformée de Fourier a court terme. Fenêtre d’analyse fixe. Compromis STFT : précision temporelle / fréquentielle. Solution : transformée en ondelettes. Les ondelettes permettent une décomposition multi-échelle. Inconvénient majeur de la WT : critère de choix sur le type d’ondelette mère à utiliser.

Conclusion

Références : •Patrick Flandrin - Temps-frequence. Editions Hermes - 1998. •Claude Gasquet et Patrivk Witomski - Analyse de Fourier et applications - Dunod.2004 •Stephane Mallat - Une exploration des signaux en ondelettes. Les éditions de l’école polytechnique – 2000. •Yves Meyer. Les ondelettes, algorithmes et applications. Editions Armand Colin.1992.•Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in•applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics. •http://fourierandwavelets.org•http://www.wavelet.org

http://fourierandwavelets.org/

http://www.wavelet.org/

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