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Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer Exercice 1 . 1) a) Quelle est la distance parcourue sur un cercle de rayon 1 à partir de si on fait 1 tour complet ? Un demi tour ? Un quart de tour ? Un sixième de tour ? [Introduction du radian] b) A quels angles ces distances correspondent-elles ? (mettre dans un tableau) Distance parcourue, mesurée en nombres de tours 1 tour Un demi tour Un quart de tour Un sixième de tour Distance parcourue = Longueur de l'arc de cercle 2 2 1 π 3 Mesure de l'angle en radians 2 2 1 ... Mesure de l'angle en degré 360° 180° 90° 57,3° 60° 2) Charles, Thierry et Juliette vont faire une pique nique. Ils suivent un chemin circulaire dans la forêt de rayon 1 km. Ils se donnent RV à π 4 de l'entrée. a) Thierry ne rejoint pas les deux autres. Pourquoi ? [introduire sens trigonométrique, différence entre angles géométriques et angles orientés] b) Farceurs, ils donnent RV à Enguerrand π 4 +6 π km de l'entrée. Enguerrand pique-niquera-t- il avec eux ? [ introduire : Plusieurs mesures pour un même angle notées α+2 k π ] c) Une autre façon d'être sûrs de se retrouver est de donner les coordonnées du point de RV. « RV au point de coordonnées (x, y) » est sans ambiguïté ! [ introduire le cos et le sinus d'un angle]. Quelles sont les coordonnées du lieu de pique-nique ? Et celles de l'endroit où les attend Thierry ? [ Angles associés] COURS 1 ère S Mme Helme-Guizon 1

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Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer

♠ Exercice 1 . 1) a) Quelle est la distance parcourue sur un cercle de rayon 1 à partir de si on fait 1 tour complet ? Un demi tour ? Un quart de tour ? Un sixième de tour ? [Introduction du radian] b) A quels angles ces distances correspondent-elles ? (mettre dans un tableau)

Distance parcourue, mesurée en nombres de tours

1 tourUn demi

tourUn quart de

tourUn sixième

de tour

Distance parcourue = Longueur de l'arc de cercle

2

21

π3

Mesure de l'angle en radians 2

21 ...

Mesure de l'angle en degré 360° 180° 90° ≈57,3° 60°

2) Charles, Thierry et Juliette vont faire une pique nique. Ils suivent un chemin circulaire dans la

forêt de rayon 1 km. Ils se donnent RV à π4 de l'entrée.

a) Thierry ne rejoint pas les deux autres. Pourquoi ? [introduire sens trigonométrique, différence entre angles géométriques et angles orientés] b) Farceurs, ils donnent RV à Enguerrand π

4+6π km de l'entrée. Enguerrand pique-niquera-t-

il avec eux ? [ introduire : Plusieurs mesures pour un même angle notées α+2 k π ] c) Une autre façon d'être sûrs de se retrouver est de donner les coordonnées du point de RV. « RV au point de coordonnées (x, y) » est sans ambiguïté ! [ introduire le cos et le sinus d'un angle]. Quelles sont les coordonnées du lieu de pique-nique ? Et celles de l'endroit où les attend Thierry ? [ Angles associés]

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Ch 9 Trigonométrie 1ère S

Table des matières

I.Le cercle trigonométrique......................................................................2A.enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique............................................................................2B.Le radian..................................................................................................................................................................3C.cosinus et sinus d'un nombre réel............................................................................................................................4

II.Angles orientés................................................................................4A.Mesures d'un angle orienté......................................................................................................................................4B.Cosinus et sinus d'un angle orienté..........................................................................................................................4C.Propriétés des angles orientés..................................................................................................................................4

III.Lignes trigonométriques......................................................................6A.Valeurs remarquables (à connaître!)........................................................................................................................6B.Propriétés.................................................................................................................................................................6C.Angles associés........................................................................................................................................................7D.Équations trigonométriques.....................................................................................................................................7E.Formules d'addition et de duplication......................................................................................................................7

IV.Repérage polaire d'un point du plan. [plus au programme].................................8

Objectifs du chapitreCochez ce qui est acquis pour vérifier que vous êtes au point sur ce chapitre.

Notions à connaître : cercle trigonométrique, radian, sens trigonométrique.

Connaître les valeurs remarquables de sinus et cosinus, par exemple sin(π3 ) ou cos(

π4 )

Définition de la mesure d'un angle orienté. Savoir trouver la mesure principale d'un angle orienté. Savoir utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les sinus et cosinus d'angles associés, par

exemple savoir exprimer cos(x+π) en fonction de cos x . Savoir utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre dans ℝ des équations de la forme

cos x=cos a ou sinx=sin a . trouver la mesure principale d'un angle orienté.

I. Le cercle trigonométrique.

A. enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique Définition: Le plan est rapporté à un repère O ; i ,j orthonormé. Le cercle de centre O et de rayon 1 est appelé cercle trigonométrique. Le sens inverse des aiguilles d'une montre est appelé le sens direct (positif).

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Définition : L'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet de repérer chaque point M du cercle par un unique réel t de l'intervalle ]– ;] . En enroulant la droite des réels sur le cercle, on se rend compte que plusieurs réels repèrent le point M, ils sont de la forme t2 k avec k∈ ℤ .

B. Le radian Définition: Le radian est une mesure d'angle proportionnelle au degré et caractérisée par π rad=180∘

Intérêts du radian : • Un arc de cercle de rayon R intercepté par un angle α a pour longueur Rα à condition que

l'angle α soit exprimé en radian. Si α soit exprimé en degrés, la longueur de l'arc est Rα π180 .

• La dérivée de x cos x est x −sin x condition que x soit exprimé en radian et c'est x − π

180sin x si x est exprimé en degrés. (idem pour la dérivée de sinus)

Soit l, la longueur de l'arc de cercle AM. Si l=1, on définit l'angle AOB comme mesurant 1 radian.

Définition: Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de cercle de longueur 1 unité.

On a le tableau de correspondance suivant :

Longueur de l'arc 2

21 ...

Mesure de l'angle en radians 2

21 ...

Mesure de l'angle en degré 360° 180° 90° ≈57,3° ...

On remarque que sur un cercle trigonométrique, si 0x2 alors l=x .

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C. cosinus et sinus d'un nombre réel

II. Angles orientés

A. Mesures d'un angle orienté

Définition: u=OM et v=ON sont deux vecteurs non nuls. Les demi-droites [OM) et [ON) coupent le cercle trigonométrique en A et B. Au couple OA ;OB , on associe une famille de nombres de la forme +2 k π , (k ∈ ℤ), où est la longueur ( ⩾0 ) de l'arc de cercle AB, parcouru de A vers B dans le sens direct.

Chacun de ces nombres est une mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs u ;v .

On note u ;v un angle de vecteurs. On écrira u ;v =

6mod 2 .

Propriété: Un angle orienté u ;v a une unique mesure appartenant à l'intervalle ]– ;] , on l'appelle mesure principale de l'angle.Les autres mesures sont les réels 2 k , avec k ∈ ℤ.

B. Cosinus et sinus d'un angle orienté

C. Propriétés des angles orientés.

Propriété: u , v et w sont des vecteurs non nuls.v ;u=– u ;v mod 2u ;v v ;w =u ;w mod 2 . (Relation de Chasles)

Propriété: u et v non nuls sont colinéaires ⇔ u ;v =0 mod 2 ou u ;v =mod 2

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Propriété: u et v non nuls sont colinéaires ⇔ −u ;−v=u ;v mod 2 .

Propriété: Soit C un cercle de centre O passant par A et B. Pour tout point M (≠A et B) du cercle, on a : OA ;OB =2MA ;MB mod 2 .

Autrement dit, en divisant par 2 (y compris le modulo π !), (M⃗A ; M⃗B)=12(O⃗A; O⃗B)mod (π)

Démo : On a dans AMO, MA ;MO AO ;AM OM ;OA= mod 2or MA ;MO =AO ;AM (triangle isocèle)

donc 2 MA ;MO =−OM ;OAmod 2 (1)

De même dans OBM, on a OB ;OM BM ;BO MO ;MB=mod 2or MO ;MB=BM ;BO (triangle isocèle)

donc 2 MO ;MB =−OB ;OM mod 2 (2)

En ajoutant (1) et (2), on obtient : 2 MA;MO 2 MO ;MB=2 – OB ;OAmod 2 .

Soit 2 MA;MB=OA;OBmod 2

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III.Lignes trigonométriques.

A. Valeurs remarquables (à connaître!)

t 0

6=30º

4=45º

3=60º

2=90º

cos t 1 32

22

12

0

sin t 012

22

32

1

B. Propriétés Propriétés: cos t2 k =cos t sin t2 k =sin t cos2 tsin2 t=1

– 1cos t1 – 1sin t1 tan t= sin tcos t

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C. Angles associés A savoir retrouver instantanément ou presque sur le cercle trigonométrique:cos – t =cos t sin – t =−sin tcos t=−cos t sin t=−sin tcos – t =−cos t sin – t =sin t

Les formules suivantes sont plus difficiles à retrouver sur le cercle. Si vous avez du mal à les retrouver sur le cercle, apprenez-les:

cost

2 =– sin t sint

2 =cos t

« π2−… inverse sin et cos. » :

cos2 – t=sin t sin2 – t=cos t

D. Équations trigonométriques On les résout au moyen du cercle trigonométrique (sans oublier les 2k∏.)

Cas particuliers à connaître : cos x=cos a ⇔ x=a+2 k π ou x=−a+2 k πsin x=sin a ⇔ x=a+2 k π ou x=π−a+2 k π .

E. Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition bababa sinsincoscos)cos(

abbaba cossincossin)sin(

bababa sinsincoscos)cos(

abbaba cossincossin)sin(

Formules de duplication

(conséquence des précédentes)∀ a , sin 2 a=2sin a×cos a et

cos 2a = cos2 a−sin2 a= 2cos2 a−1= 1−2sin2 a

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Moyen mnémotéchnique: Sinus est simple et sympa. Cosinus est égoïste et compliqué.

Ne pas oublier les 2k∏ et si on a 3x au lieu de x, se rappeler que tout sera divisé par 3, y compris le 2k∏ .

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IV. Repérage polaire d'un point du plan. [plus au programme]Définition : Soit un point M du plan (M ≠ O) et i un vecteur unitaire.Un couple de coordonnées polaires de M dans le repère O ; i est un couple r ; où r est la distance

OM et une mesure de l'angle orienté i ;OM .

C'est une autre amnière de repérer un point dans le plan.

Propriété : Soit r∈ ℝ*+ , ∈ ℝ et i un vecteur unitaire et j un vecteur unitaire avec i ;j=

2.

M a pour coordonnées polaires r ; équivaut à OM =r cos ir sin j .

Démo : OM =rOm donc OM =r cos isin j=r cos ir sinj

Propriété : Soit M ≠O , M a pour coordonnées polaires r ; , M a pour coordonnées cartésiennes

x ; y , alors {x= r cosy=r sin

et r=x2 y2 , cos= x

x2 y2 et sin= y

x2 y2 .

Démo :avec la démo précédente, on a OM =r cos ir sin jdonc x=r cos et y=r sin .

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d'où x2 y2

=r 2cos2

sin2=r2

Donc r=x2 y2 car r0

et cos= x

x2 y2 et sin= y

x2 y2

Exercice 1 . Activités p 111 du livre : Fourmis et placement/VTT.• Fourmis : un est la population de la fourmilière au 1er jour du n-ième mois après le 1er janvier

2010 . 0nnu est la suite définie par {u0=4000un+1=u n×1,05−100

.

• Placement/VTT : 125 euros à 0,35 % mensuel. v n est le capital sur le livret après n mois de

placement. 0nnv est la suite définie par {v0=125vn+1=v n×1,0035

soit

Exercice 2 . A1, A2, … . , An sont des points distincts d'un cercle c . Combien de segments peut-on former en joignant ces points 2 à 2.Objectifs : (1) Introduire la notation indicielle.

(2)Une suite définie par récurrence apparaît spontanément.SOL : On note w n le nombre de segments que l'on peut former en joignant ces points 2 à 2. w n+1=wn+n

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Définition: ℕ={0 ;1 ; 2 ;3. ... } est l'ensemble des entiers naturels.

Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ (définie à partir d’un certain rang). Autrement dit,

u :{ℕ → ℝn u (n)=un

Dans un=u(n) , n est l'indice et un est le terme d'indice n .

n ↔ x, un ↔ f (x ) et (un) ou u ↔ f

Une suite numérique n’est donc rien d’autre qu’une fonction dont le domaine de définition est réduit aux valeurs entières.

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Terme d'indice n (par exemple le nombre de fourmis)

Indice n (par exemple le nombre de mois écoulés depuis le 1er janvier 2010.)

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Exercice 3 . Les suites suivantes, définies par la donnée de leur terme général, sont-elles croissantes, décroissantes, ou ni l’un ni l’autre ?

3) 73 nun ; 4)

1000

60

0

1

u

uu nn; 5) un=(2 n−3)2−4(n2+5) ; 6) n

nu 53 ; 7)

48

7

0

1

u

uu nn ;

8)

28

7

0

1

u

uu nn ; 9) un=2n+5 ; 10) {un+1=−2+un+cos(u n)

u 0=−8.

e est majorée, minorée ou bornée. En effet. Si f est majorée sur R+ alors est majorée et si f est minorée sur R+ alors est minorée (réciproques fausses).

♠ Exercice 4 . Soit la suite un définie par un=−1n1

n1. Cette suite est-elle majorée, minorée, ou ni

l’un ni l’autre? Est-elle bornée ?

♠ Exercice 5 . Les suites suivantes, définies par la donnée de leur terme général, sont-elles majorées, minorées, ou ni l’un ni l’autre ? Certaines sont-elles bornées ?

1) n

nu

2

13 ; 2)

n

nun

1 ; 3) )cos(nvn ;

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Suites en 1S : EXERCICES

Exercice 6 . Déterminer le terme général d’une suite récurrente (quand c’est possible). Soit 0nnt la suite définie par 00 t et .121 ntt nn

1. Calculer les quatre premiers de cette suite.2. Émettre une conjecture sur l’expression de nt fonction de n.3. La démontrer.

Méthode: Une suite est entièrement déterminée par son premier terme et la relation de récurrence donc si deux suites ont le même premier terme et si elles satisfont la même relation de récurrence alors elles sont égales.

Exercice 7 .

1) Soit 0nnu la suite définie par {un+1=u n+60u 0=1000

. Calculer u18 et donnez l’expression de un en

fonction de n .

2) Soit 2nnu la suite définie par {un+1=u n−3u8=5

. Calculer u12 et donnez l’expression de un en

fonction de n .

Exercice 8 . La population d'une ville diminue de 2% par an. En 1996, date du dernier recensement, la ville comptait 486 000 habitants. On note C 1996 la population de la ville en 1996, C 1997 la population de la ville en 1997, ...etc. Quelle est la population de cette ville en 2011 ?

Exercice 9 . Intérêts composésUn capital de 6 500 € est bloqué pour 10 ans sur un compte rapportant un intérêt annuel de 4%. A la fin de chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et deviennent à leur tour générateur d’intérêts. On parle alors d’intérêts composés. On appelle C0 le capital de départ et pour 1n , on appelle Cn le capital figurant sur le compte au bout de la nème année (après le versement des intérêts).1) Exprimer Cn+1 en fonction Cn de pour 1n .2) Quel sera le capital au bout de 5 ans ?3) Avec la calculatrice, déterminer le nombre d’années nécessaires pour que le capital ait augmenté d’au

moins 50%.

Exercice 10 . Prime de Noël 2 La directrice d’une entreprise décide d’allouer à ses employés une prime de Noël d’un montant de 400 €, cette prime étant revalorisée chaque année de 2%. On note 0p la prime initiale et np la prime au bout de n années (n 1)

Calculer p1 et p2. Exprimer pn+1 en fonction de pn. En déduire l’expression de pn en fonction de n. Quel est le montant de la prime au bout de 10 ans ? Quel est le montant total de toutes les primes versées à une personne jusqu’à cette 10ème année

incluse ?

Exercice 11 . Soit (un)n⩾0 la suite définie par {u0=2

un+1=−un+1

u n+1. Faire une conjecture sur les suites (u2 n)n⩾0

et (u2 n+1)n⩾0 et les prouver. Que se passe-t-il si on choisit une autre valeur de u0 ?

Solutions des exercices

Solution de l'exercice 11 . (u2 n)n⩾0 suites et (u2 n+1)n⩾0 sont constantes quel que soit u0 .

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Suites en 1S : TICE

♠ Exercice 1 . On considère la suite u définie par u0=1 et pour tout

entier n, .

u est définie par récurrence et on souhaite trouver une formule explicite pour un . Comme on ne voit pas comment faire directement, on utilise une suite auxiliaire bien choisie v qui nous permettra d'atteindre ce but.

1) Conjectures au moyen d'un tableur : d) A l'aide d'un tableur, calculer les 50 premiers termes de la suite u. e) Quelles conjectures peut-on formuler sur le signe de un et le sens de variation de u ? La suite u

semble-t-elle se rapprocher d'une valeur quand n tend vers +∞ , c'est à dire quand n devient très grand?

f) Calculer les 50 premiers termes de la suite v définie par v n=1un

. Quelle conjecture peut-on formuler

sur la nature de v ?

2) Signe de un : Prouvez votre conjecture sur le signe de un .

3) Étude de la suite v :

a) Prouvez votre conjecture sur la nature de v . Préciser la raison.

b) Exprimer v n en fonction de n . (On a donc obtenu une formule explicite pour v n ).

4) Étude de la suite u :

a) Exprimer un en fonction de n . (On a donc obtenu une formule explicite pour un . Victoire!).

b) Étudier le comportement quand n tend vers +∞ de v puis u.

♠ Exercice 2 .

On considère la suite u définie sur ℕ* =ℕ−{0} par un=11+

12+

13+...+

1n=∑

k =1

n 1k

. (Cette dernière

notation se lit « somme de k=1 jusqu'à n des 1 sur k ».)

1) Calculer les quatre premiers termes de la suite u. 2) Sens de variation de la suite u :

a) Donner la relation de récurrence qui exprime un+1 en fonction de un . b) En déduire que la suite est croissante, c'est à dire que chaque terme de la suite est plus grand que celui

qui le précède.

3) Programmation du calcul d'un terme de la suite u (boucle FOR) :

a) Écrire un programme qui demande n et qui affiche un au moyen d'une boucle FOR : « For k= 1 to ... ».

b) En déduire une valeur approchée à 0,1 près de u50 , u100 et u1000 .

4) Programmation du calcul de l'indice à partir duquel un dépasse une valeur donnée.

On admet que quand n tend vers +∞ , c'est à dire quand n devient très grand un finit par dépasser n'importe quelle valeur fixée d'avance.

Écrire un programme qui demande M et qui affiche le rang à partir duquel un dépasse M. En déduire le rang à partir duquel un⩾3 et le rang à partir duquel un⩾5 (et et le rang à partir duquel un⩾10 si votre machine en est capable!)

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Éléments de réponse pour l'exercice 1 .

v n+1=vn+25

; v n=1+2 n5

; un=5

5+2 n

Éléments de réponse pour l'exercice 2 .

u1=1 ; u2=32; u3=

116≈1,83 ; u4=

2512

≈2,08 .

Programme qui demande n et qui affiche un au moyen d'une boucle FOR : « For k= 1 to ... » :

1 VARIABLES2 u EST_DU_TYPE NOMBRE3 n EST_DU_TYPE NOMBRE4 k EST_DU_TYPE NOMBRE5 DEBUT_ALGORITHME6 LIRE n7 u PREND_LA_VALEUR 08 POUR k ALLANT_DE 1 A n9 DEBUT_POUR10 u PREND_LA_VALEUR u+1/k11 FIN_POUR12 AFFICHER "u_n = "13 AFFICHER u14 FIN_ALGORITHME

Applications :u50≈4,4992 ; u100≈5,1874 ; u1000≈7,4854709

Programme qui demande M et qui affiche le rang à partir duquel un dépasse M : 1 VARIABLES2 u EST_DU_TYPE NOMBRE3 k EST_DU_TYPE NOMBRE4 M EST_DU_TYPE NOMBRE5 DEBUT_ALGORITHME6 LIRE M7 u PREND_LA_VALEUR 18 k PREND_LA_VALEUR 19 TANT_QUE (u<M) FAIRE10 DEBUT_TANT_QUE11 k PREND_LA_VALEUR k+112 u PREND_LA_VALEUR u+1/k13 FIN_TANT_QUE14 AFFICHER "u_n > M dès que n ="15 AFFICHER k16 FIN_ALGORITHME

Applications :un⩾3 dès que n⩾11.un⩾5 dès que n⩾83.un⩾6 dès que n⩾227.un⩾10 dès que n⩾12367 .un⩾12 dès que n⩾91380 .

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