TRC2 Optique Ondulatoire 1011

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    III.1) Description des ondes

    III.2) Interfrences

    III.3) Diffraction

    Chapitre III: Optique ondulatoire

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    III.1) Description des ondes

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    Onde plane harmonique progressive Un signal quelconque peut-tre dcompos en une srie

    de signaux harmoniques (Srie de Fourier)

    E = E0cos(t-kx) = Re{E} = Re{E0exp[j (t-kx)]}

    Visualisation du mme point si (t-kx) = constante

    Image un temps donn: t1E0

    -E0

    x1

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    Onde plane harmonique progressive Un signal quelconque peut-tre dcompos en une srie

    de signaux harmoniques (Srie de Fourier)

    E = E0cos(t-kx) = Re{E} = Re{E0exp[j (t-kx)]}

    Visualisation du mme point si (t-kx) = constante

    Image un temps donn: t2 > t1E0

    -E0

    x1 x2

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    Onde plane harmonique progressive Un signal quelconque peut-tre dcompos en une srie

    de signaux harmoniques (Srie de Fourier)

    E = E0cos(t-kx) = Re{E} = Re{E0exp[j (t-kx)]}

    Visualisation du mme point si (t-kx) = constante

    Image un temps donn: t3 > t2 > t1E0

    -E0

    x1 x2 x3

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    Onde plane harmonique progressive Pour le point bleu:

    E = E0cos(t-kx1)

    Pour le point rouge:

    E = E0cos(t-kx2) = E0cos(t-kx1-k(x2-x1))

    = Re{E0exp[j (t-kx1)-jkl)]} dphasage de -kl

    Image un temps donn: tE0

    -E0

    x1 x2

    l

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    n2

    volution de lamplitude travers un dioptre Rappel:

    k=EH dans un milieu isotrope

    Ei et Hi, onde incidente dans le milieu n1 Eret Hr, onde rflchie dans le milieu n1 Et et Ht, onde transmise dans le milieu n2

    Cas dune incidence normale

    EiEr Et

    Hi Hr Ht

    n1

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    n2

    volution de lamplitude travers un dioptre Coefficient de rflexion: = Er/ Ei

    Coefficient de transmission: = Et / Ei

    On obtient alors les coefficients de Fresnel:

    = (n1-n2)/(n2+n1)

    = 2n1/(n2+n1)

    EiEr Et

    Hi Hr Ht

    n1

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    Coefficient de Fresnel en intensit Rappel:

    I EE*

    R = * = [(n1-n2)/(n2+n1)]2

    T = * = [2n1/(n2+n1)]2

    Attention R + T 1, on a R+(n2/n1)T = 1

    car I

    IR+IT = Ii IR/ Ii +IT/ Ii = 1

    / + / = 1

    R + (n2/ n1) / = 1 R + (n2/ n1)T = 1

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    IV.2) Interfrences

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    Onde progressive et rgressive Cas de 2 signaux se dplaant lun vers lautre

    signal rsultant est la somme algbrique des 2 signaux

    Exprience 1 Exprience 2( Reprsentation de lamplitude du champ E suivant x)

    t1

    t2

    t3

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    Cas avec un miroir

    Rflexion dun miroir parfait:

    Ei+Er= Et = 0 donc Ei = - Erdonc = -1 et R = 1

    En x0, superposition de deux ondes planes: Progressive: Ei.cos(t-kx)

    Rgressive: Ei.cos(t-kx-) avec = -2k(L-x)

    E(t) E2(t)

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    Onde plane stationnaire Avec deux ondes planes harmoniques de sens opposs

    on a:

    E = Ei.cos(t-kx) + Ei.cos(t-kx-)

    E2 = [Ei.cos(t-kx) + Ei.cos(t-kx-) ]2

    = Ei2

    [cos

    2

    (t-kx) +

    2

    .cos

    2

    (t-kx-)+ 2.cos(t-kx-).cos(t-kx)]= Ei2[cos2(t-kx) + 2.cos2(t-kx-)

    + .cos(2t-2kx-) + .cos()]

    comme I = 0 et = 1/2

    I = Ii[1/2+ 2/2 + .cos()]

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    Onde plane stationnaireI = Ii[1/2+ 2/2 + .cos()]

    Si la rflexion est parfaite cest dire = -1 et R=1: I = Ii[1 - cos()] = Ii[1- cos2(/2) + sin2(/2)]

    I = Ii[1- (1-sin2(/2)) + sin2(/2)] = 2Iisin2(/2)

    On rappelle que = 2k(L-x)

    I = 2Iisin2(k(L-x))

    Amplitude indpendante du temps do la notion destationnaire

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    volution de lintensit avec = -1 I = 2Iisin2(k(L-x)) = 2Iisin2(2(L-x)/)

    L

    2Ii

    0

    Ii

    x

    L- p/2L- (2p+1)/4

    Londe incidente

    est phase avec

    londe rflchie

    Londe incidenteest opposition de

    phase avec londe

    rflchie

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    volution de lintensit avec 0 > > -1 I = Ii/2[1+ 2 + 2.cos(4(L-x)/)]

    L

    2Ii

    0

    Ii (1+2)

    x

    L- p/2L- (2p+1)/4

    [Ii(1-)2]/2

    [Ii(1+)2]/2

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    Facteur de visibilit Oscillation de lintensit suivant x entre deux valeurs:

    Imax = (Ii/2).(1- )2 et Imin = (Ii/2).(1+)2 si 0 > > -1

    On caractrise le contraste des franges dinterfrence par

    le facteur de visibilit : = (Imax- Imin)/(Imax+ Imin) = -4 / (2+22) = -2 / (1+2)

    Si = -1 alors = 1 Si = 0 alors = 0

    Plus est grand, plus le contraste des franges est grand

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    Interfrences de 2 points synchrones Deux points synchrones gnrent des ondes sphriques

    qui vont interfrer ensemble:

    Image un instant donn t

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    Interfrences avec la cuve ondes volution de lamplitude des vagues un instant donn

    dans une cuve ondes avec 2 points synchrones:

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    Interfrences dans le domaine optique volution du carr du champ:

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    Interfrences dans le domaine optique volution du carr du champ:

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    Interfrences dans le domaine optique volution de la moyenne du carr du champ:

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    Obtention de deux sources synchrones Par division du front donde:

    S 2 sources synchrones S1 et S2On suppose les fentes idales

    Par division damplitude:

    S

    S1

    S2fente

    fente

    S miroir semi-rflchissant

    miroir

    S1 S2

    Sources virtuelles

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    Fentes de Young (diviseur de fronts dondes)

    S1 et S2 sont considres comme deux nouvelles sourcesponctuelles synchrones (cas de fentes troites)

    S sur laxe de symtrie rayons en phase en S1 et S2

    Conditions paraxiales vrifies si lcran est loin des 2fentes (interfrences dondes planes)

    SS1

    S2fente

    fente

    Zonedinterfrences

    Axede symtrie

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    Dmonstration avec la cuve ondes volution de lamplitude des vagues un instant donn

    dans une cuve ondes:

    Onde sphrique incidente Onde planeincidente

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    Conditions dinterfrences En S1: E1=Acos(t)

    En S2: E2=Acos(t)

    Champ rsultant en M:EM= E1(M)+E2(M) = A[cos(t-kd1)+cos(t-kd2)]

    EcranD

    d2

    d1M

    y

    0a

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    Conditions dinterfrences Intensit rsultante dans le cas:

    I = = < A2[cos(t-kd1)+cos(t-kd2)]2>

    = A2[1/2+1/2+0+cos(kd2-kd1)] = A2[cos(k(d2-d1))+1]= 2A2cos2(k(d2-d1)/2)

    = 2A2cos2(k/2)

    Avec = d2-d1 diffrence de chemin optique parcouru

    => Donc = k avec k=2n/ avec longueur donde dans levide et n lindice de rfraction du milieu

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    Conditions dinterfrences = d2-d1 = asin() avec le cercle de rayon d1 centr en M

    tg() = (y+a/2)/D = y/D +a/2D comme a

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    Franges dinterfrences sur lcran Valeurs principales (p entier: ordre dinterfrence)

    volution de I (y ou k ou ou )

    SombresDestructives(p+1/2)/a(2p+1)/2(2p+1)/20

    BrillantesConstructivesp/app1

    FrangesInterfrencesk/2Cos(k/2)

    3206420

    3D/a2D/aD/a03/a2/a/a0

    ky

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    Interfrences en lumire blanche La position des franges dpend de

    Cas avec 3 radiations diffrentes:

    1= 0,5 m, 2 = 0,6 m et 3 = 0,7 m

    Frange centraleblanche

    1re

    frange brillanteirise

    2me frange brillanteirise

    Confusion des frangesblanc dordre suprieur

    y

    0

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    33/68

    Interfrences en lumire blanche La position des franges dpend de

    Cas avec 3 radiations diffrentes:

    1= 0,5 m, 2 = 0,6 m et 3 = 0,7 m

    Frange centraleblanche

    1re

    frange brillanteirise

    2me frange brillanteirise

    Confusion des frangesblanc dordre suprieur

    y

    0

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    Interfrences avec N fentes idales M rsulte de linterfrence de N rayons quasi-parallle

    converge linfini ou si D >> 1

    = a.sin()

    Si EM = Re[EM ] alors EM = A.exp[j(t-kdi)]

    avec di+1 = di +

    D

    d0

    d1

    ad2

    i=0

    N-1

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    Interfrences avec N fentes idalesE

    M= A.exp[j(t-kd0)]. exp[j(-ik)]

    Suite gomtrique: Un+1 = Un.rIci la raison r = exp[j(-k)]

    Comme Un = U0.(1-rN)/(1-r) avec N: nb de termes E

    M= A. exp[j(t-kd0)] (1- exp[j(-N)])/(1- exp[j(-)])

    I = < E2M > = EME*M= A2[(1-e-jN)/(1-e-j)].[(1-ejN)/(1- ej)]

    = A2[(ejN/2-e-jN/2)/(ej/2-e-j/2)].[(e-jN/2-ejN/2)/(e-j/2 - ej/2)]

    = A2[sin(N/2)/sin(/2)]2

    i=0

    N-1

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    Interfrences avec N fentes idales Figure dinterfrences pour N = 2, 4 et 8

    2 fentes

    3/a2/a/a0 Sin() 1

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    Position des pics sur lcran

    = a.sin() = sin()/mavec m = 1/a le nombre de fentes par mm

    Interfrence constructive si = p avec p = 0, 1, 2 avec p lordre dinterfrence du spectre

    Si p = 0 = 0, les rayons ne sont pas dvies

    Ceci est vrai pour tous les

    D

    d1 a

    d2

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    Interfrences avec N fentes idales Si sin() = mp, comme sin() 1 alors

    le nombre de pics observables est limit p 1/(m)

    Exemples: m = 500 traits/mm et = 0,5 m, on a pmax = 3

    m = 100 traits/mm et = 0,5 m, on a pmax = 19

    p = 3, r = 48,6

    p = 2, r = 30

    p = 1, r = 14,5p = 0, r = 0p = -1, r = -14,5p = -2, r = -30

    p = -3, r = -48,6

    p = 15, r = 48,6

    p = 10, r = 30

    p = 5, r = 14,5p = 0, r = 0p = -5, r = -14,5p = -10, r = -30

    p = -15, r = -48,6

    p = 19, r = 72

    p = -19, r = -72

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    Applications des rseaux Analyse spectrale optique:

    La position des pics est fortement diffrente avec

    Dispersion suprieure au prisme

    Tlcommunications optiques:

    Filtrage en longueurs donde, dmultiplexage

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    Interfromtre de Perot-Fabry Utilisation de deux miroirs non-parfaits:

    Coefficient de rflexion 1 et 2miroir L

    1 et 1miroir

    E0

    Eri = .E0 Eti = .E0

    2 et 2

    Interfrences entre

    diffrents rayons

    Quelles sont les valeurs de et de ?

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    41/68

    Interfromtre de Perot-Fabry Utilisation de deux miroirs non-parfaits:

    Coefficient de rflexion 1 et 2miroir L

    1 et 1miroir

    E0

    Eri = .E0 Eti = .E0

    2 et 2

    Si tous les Eti sont en phase: 1 et 0

    Si tous les Eri sont en phase: 0 et 1

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    Transmission du Perot-Fabry Juste aprs le miroir: 1errayon: E1 = 1.2.E0

    2eme

    rayon: E2 = E1.1.2. e-j2kL

    3eme rayon: E3 = E2.1.2. e-j2kL

    qeme rayon: Eq = Eq-1.1.2. e-j2kL

    Donc .E0 = 1.2.E0.(1.2)q. e-j2qkL

    miroirL

    1et 1 2 et 2

    miroir

    E0

    .E0 .E0

    q=0

    N

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    Transmission du Perot-Fabry .E0 = 1.2.E0. ri

    = (1.2.E0).(1-rN+1)/(1-r) si |r| < 1 alors r 0

    = (1.2)/(1-r).E0donc = 1.2/(1-r) = T/(1-Rej)

    avec R = 1.2 , T = 1.2 et = -2kL

    miroirL

    miroir

    E0

    .E0 .E0

    i=1

    N

    1et 1 2 et 2

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    Transmission du Perot-Fabry En puissance, on a alors: ||2 = |T|2/|1-Rej|2= A0/(1+M.sin2(/2))

    avec A0 = (T/1-R)2 et M = 4R/(1-R2)

    La relation 1/(1+M.sin2(/2)) est appele une fonction

    dAiry

    Interfrence constructive pour = 2p

    T/ A0 = 1 Interfrence destructive pour = (2p+1)

    T/ A0 = 1/(1+M)

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    Transmission du Prot-Fabry volution de linterfrence suivant R

    Apparition de rsonances:Si = 2p alors ||2 = 1(4 /)L =2p = 2L/p

    Exemple: p = 1, L=0.5 mLongueurs dondes filtres:1 = 1 m, 2 = 0.5 m,3 = 0.33 m

    La finesse F des raies est: F = 2/ avec la largeur mi-

    hauteur de la raie donc F = R/(1-R)

    Dphasage en rad

    Transmis

    sion||2

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    Interfrences observes dans la nature Lame mince (paisseur < dans le visible): Fine paisseur dune bulle de savon

    Film dhuile sur une route mouille

    Le dphasage dpend de:

    La longueur donde Lincidence des rayons sur le film

    Franges de couleur, dcomposition de la lumireblanche

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    Rsonateur optique Si on produit des photons dans la cavit, dphasage dunaller-retour = 2kL+arg(1)+arg(2 ):

    = 2p interfrences constructives, les photons avec correspondant rsonne dans la cavit

    = (2p+1) interfrences destructives, les photonsavec correspondant ne rsonne pas dans la cavit(fuite quasi immdiate)

    miroirL

    1 2

    miroir

    1.E0 2.E0

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    Analyse Spectrale haute rsolution Slection du analyser en changeant le dphasagedans la cavit

    L0

    1

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    Analyse Spectrale haute rsolution Slection du analyser en changeant le dphasagedans la cavit

    L0 L

    1

    1+

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    Analyse Spectrale haute rsolution Slection du analyser en changeant le dphasagedans la cavit

    Application capteur Variation dindice, mouvement

    Modulateur, filtre accordable

    L0 L

    1

    1+

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    51/68

    Couche anti-reflet Une lentille de verre renvoie environ 4% de la lumire

    Dans ce cas on a une relation simple entre lindice du

    substrat (verre) et du matriau (couche anti-reflet) dposer: n = (ns.nair) = ns 2k0ne = e = /(4n)

    e

    E0

    Eri = .E0 0 Eti = .E0

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    Cohrence temporelle Une source monochromatique pic de Dirac en Cela nexiste pas rellemment

    Transforme de Fourier inverse cos(t) allant de +

    Tout signal physique est limit dans le temps

    0-0

    0-0

    0

    t0-t0

    + -

    1

    1 1

    =1/t0

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    Lumire naturelle Les photons sont mis dune manire alatoire Train donde limit dans le temps

    La lumire naturelle est donc une succession de trainsdonde dune dure compltement alatoire

    0- 0

    c

    t

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    Exemple avec les trous de Young Champ rsultant en M:EM= E1(M)+E2(M) = A[cos(t-kd1+(t))+cos(t-kd2)]

    I = = E21(M)+E22(M) Lintensit est la mme quelque soit la position en y !!!

    cranD

    d2

    d1M

    y

    0

    a

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    Quelques exemples de sources Temps de cohrence: cLongueur de cohrence (longueur du train donde): lc = cc

    Largeur spectrale: c =1/ c

    800 nm2,67 fs3,75.1014Soleil ( = 0,4 0,8 m)

    300 m1 s1.106Monomode HeNe laser

    20 cm0,67 ns1,5.109Multi. HeNe laser ( = 0,6 m)

    600 m2 ps5.1011Lampe Sodium Basse

    Pression

    20 m67 fs1,5.1013DEL ( = 1 m, = 50 nm)

    lcccSources

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    III.3) Diffraction

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    Mise en vidence du phnomne Onde diaphragme: a >>

    Onde diffracte: a

    a

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    Schmatisation de lexprience Onde diaphragme: a >>

    Onde diffracte: a

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    Principe dHuyghens Une surface d onde peut tre dcompose comme unesuccession de sources ponctuelles

    Image en M: somme des champs issus des diffrentessources secondaires du diaphragme

    Interfrences qui produit une image de diffraction

    Diaphragme

    a/2

    -a/2

    cran

    M

    S1S2

    S3S4

    Plan donde PS

    x

    0

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    Formulation mathmatique: Fresnel Si on considre seulement ces 4 sources:EM E1 exp[j(t)] + E2 exp[j(t-k)] + E3 exp[j(t-2k)] +E4exp[j(t-3k)]

    Ce qui revient dire que pour N sources:EM = Ei.exp[j(t-ik)]

    = E(x).exp[j(t-k(x))]dx

    avec

    - x allant de -a/2 et a/2 (ouverture du diaphragme)- E(x): amplitude du champ sur le plan donde PS- k(x): dphasage dun rayon par rapport au rayon issu

    de la position x=0

    i=1

    N

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    Cas dune fente de largeur a = k = kxsin()

    Ondes secondairesde mme amplitude A

    E= A.ej(t+kxsin( ))dx

    = A ej(t) ejkxsin()dx = A ej(t) ejudu

    = 2A/(ksin()) .ej(t).sin[kasin()/2] = Aa.sinc().ej(t)

    avec = kasin()/2

    I = = (Aa)2/2. sinc2() = I0. sinc2()

    x = -a/2

    a

    x S1

    S2

    x = a/2

    u = -kasin()/2

    u = kasin()/2

    x = -a/2

    x = a/2

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    Carte dintensit de la diffraction Minimum: = p = avec p = 1, 2, 3 . sin() = p/a avec y = D.tg()

    Maximum: = 0 donc = 0 (faisceau direct) Exemple: D = 10 m et = 0.6 m

    a / = 103a / = 102a / = 50a / = 10

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    Cas de deux fentes Schma

    E= A.ej(t+kxsin( ))dx = A ej(t) [ ejkxsin()dx + ejkxsin()dx]

    = 2Aa.sinc().cos(/2).ej(t)

    avec = kasin()/2 et = kbsin()

    I = = I0. sinc2(). cos2(/2)

    x

    b

    P

    S1

    S2

    P

    x = (-a+b)/2

    x = (a+b)/2

    x = (-a-b)/2

    x = (a-b)/2

    Terme de diffraction Terme d interfrences

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    Carte dintensit de la diffraction (b=5a)

    2/a-/a-2/a 0 Sin()/a

    /b

    Diffraction

    Interfrences 2 ondes

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    Diffraction travers un diaphragme circulaire

    2Rairy = 1.22/ON 1.22/d

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    Spararation de deux images

    Rairy = 0.61/ON 0.61/d

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    Consquences de la diffraction Diffraction des pares brises: Dpt de poussire, graisse,eau de pluie orients en arc de cercle

    grce aux essuie-glace

    Diffraction alatoire Contrairement lessuie-glace, une multitude de direction de

    diffraction sont privilgies