Lycée de l’Essouriau, PSI, 2018/2019

TD E1 : Stabilité des systèmes linéaires

TD E2 : Systèmes avec rétroaction – exemple de l’ALI

TD E3 : Oscillateurs auto-entretenus

TD E4 : Modulation et démodulation du signal

Travaux dirigés

Electronique 2018/2019

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Chapitre 1: Stabilité des systèmes linéaires Exercices

TD E1 : Stabilité des systèmes linéaires

Exercice 1 : Tracé de réponses spectrales et temporelles à la sortie d’un filtre

En vous aidant du document-support de l’activité sur le filtrage linéaire sur la décomposition en série deFourier des signaux les plus courants, représenter qualitativement l’allure des réponses spectrale et temporelledes signaux de sortie dans les situations suivantes :1. un filtre passe-bas de fréquence de coupure égale à 2 kHz soumis à une tension triangulaire de fréquenceégale à 1 kHz2. un filtre passe-haut de fréquence de coupure égale à 3 kHz soumis à une tension triangulaire defréquence égale à 1 kHz3. un filtre passe-bande sélectif de fréquence caractéristique égale à 2 kHz soumis à une tension triangu-laire de fréquence égale à 1 kHzExercice 2 : Filtre de Wien

On considère le filtre dont le schéma électrique est donné ci-dessous :

1. Fonction de transfert du filtre de Wien.(a) En étudiant le comportement asymptotique du filtre à haute et basse fréquence et sans établir lafonction de transfert, déterminer la nature du filtre.(b) Montrer que la fonction de transfert harmonique de ce filtre s’écrit :H(jω) = 13 + j( ωωo − ωo

ω )avec ωo = 1

RC .(c) Transposer la fonction de transfert dans le domaine temporel (relation différentielle, sans intégrales).(d) Ce système linéaire est-il stable ? Justifier.2. On étudie le régime transitoire de ce filtre lorsqu’on applique une marche de tension en entrée (voirschéma ci-dessous).(a) Montrer que vs(0+) = 0 et que i(0+) = ER . En déduire une condition initiale sur dvs

dt (0+).(b) Pour t>0, montrer que vs s’écrit sous la forme :vs(t) = Ce−αωot sinh(βωot)

où C, α et β sont des constantes positives à préciser.(c) Tracer l’allure du graphe de vs en fonction du temps.

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Chapitre 1: Stabilité des systèmes linéaires Exercices

Exercice 3 : Filtre de récepteur radio (extrait de Mines PSI 2013)

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Chapitre 1: Stabilité des systèmes linéaires Exercices

Exercice 4 : Filtre de Hartley

1. Déterminer la fonction du filtre de Hartley représenté ci-contre sans calcul, à l’aide d’une étude asymp-totique.2. Etablir sa fonction de transfert et la mettre sous la forme :H(ω) = K1 + jQ

(ωω0 − ω0

ω

)On précisera les expressions de K , ω0 et Q.

Exercice 5 : Electronique de réception (extrait de e3a PSI 2007)

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Chapitre 1: Stabilité des systèmes linéaires Exercices

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Chapitre 2: Systèmes avec rétroaction - exemple de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) Exercices

TD-E2 : Systèmes avec rétroaction - exemple de l’ALI

Révisions de cours :

Donner les ordres de grandeur du gain différentiel statique et du temps de réponsed’un ALICiter les hypothèses du modèle de l’ALIReprésenter les relations entre les tensions d’entrée et de sortie par un schémafonctionnel (schéma bloc)Analyser la stabilité du régime linéaire d’un ALI au sein d’un montage comportantune rétroaction sur la borne inverseuse ou non inverseuseIdentifier un indice probable de stabilité du régime linéaire, ou d’un probablecomportement en saturation, suivant la présence ou l’absence d’une rétroaction.Etablir la conservation du produit gain-bande passante du montage non inverseurDécrire le cas limite d’un ALI idéal de gain infiniALI idéal de gain infini en régime linéaire : établir la relation entrée-sortie desmontages non inverseur, suiveur, inverseur, intégrateur. Exprimer les impédancesd’entrée de ces montages.Expliquer l’intérêt d’une forte impédance d’entrée pour une association en cascadeALI idéal de gain infini en régime saturé : établir la relation entrée-sortie d’uncomparateur simple.Pour une entrée sinusoïdale, faire le lien entre la non linéarité du système etl’apparition d’harmoniques en sortie.Etablir le cycle d’un comparateur à hystérésis. Décrire le phénomène d’hystérésisen relation avec la notion de fonction mémoire.

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Chapitre 2: Systèmes avec rétroaction - exemple de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) Exercices

Exercice 1 : Utilisation d’un mauvais voltmètre

Dans le montage de la figure ci-dessous, dans lequel R2 = 80kΩ, R1 = 20kΩ et E = 9V , on souhaitemesurer la tension UAB entre les points A et B.

1. L’interrupteur est ouvert. Etablir l’expression de UAB .2. On effectue la mesure en utilisant un voltmètre, que l’on positionne entre les points A et B, enfermantn l’interrupteur K. Le constructeur spécifie que la résistance interne du voltmètre vaut10kΩ.V −1. Indiquer la mesure affichée par le voltmètre sur le calibre 2V. Expliquer le résultatobtenu.3. Proposer une amélioration du montage pour pallier ce problème.Exercice 2 : Représentation par un schéma fonctionnel

On étudie le montage dont le schéma électronique est donné ci-dessous. L’AO n’est pas considérécomme un AO idéal.

1. Formuler une hypothèse sur le régime de fonctionnement de l’AO.2. Représenter le fonctionnement de ce système bouclé par un schéma fonctionnel faisant apparaîtreles fonctions suivantes : un passe-bas du premier ordre, un opérateur proportionnel, un soustracteur.3. On considère l’AO comme idéal. Donner alors la fonction de transfert harmonique de ce filtre.4. A haute fréquence, quelle fonction réalise ce filtre ?

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Chapitre 2: Systèmes avec rétroaction - exemple de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) Exercices

Exercice 3 : Amplificateur opérationnel réel et idéal

On ne fait pas figurer l’alimentation ±15V dans la représentation de l’amplificateur opérationnel,constituée simplement d’un rectangle dont sont issues les deux bornes d’entrée et la borne de sortie.On convient de noter :• i+,i− et is les courants parvenant aux entréesnon-inverseuse et inverseuse et le courant ensortie de l’AO.• V +, V − et Vs les tensions respectives entrel’entrée non-inverseuse, l’entrée inverseuse, lasortie et la masse.On note E la différence de potentiel imposée entre les deux bornes d’entrée : E = V + − V − où Eest appelée tension différentielle d’entrée.La caractéristique de transfert statique (ω = 0) a l’allure donnée dans la figure ci-dessous :

1. Tracer la caractéristique de l’A.O. idéal2. Remplir le tableau ci-dessus avec uniquement les valeurs suivantes : 0, ∞, qq, ±Vsat .Exercice 4 : Résistance négative à base d’AO

Le montage ci-dessous peut être considéré comme un dipôle entre A et B, traversé par un courant iet alimenté par une tension u à ses bornes. En établissant la relation entre i et u, justifier l’appellationdipôle à résistance négative. On supposera l’AO idéal et fonctionnant en régime linéaire.

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Chapitre 2: Systèmes avec rétroaction - exemple de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) Exercices

Exercice 5 : Simulation d’inductance

On considère le montage donné par la figure ci-dessous. L’amplificateur linéaire intégré (ALI) estsupposé idéal et de gain infini.

1. Justifier que l’ALI fonctionne en régime linéaire.2. Déterminer l’impédance d’entrée Z = ueie du montage et montrer qu’elle est équivalente à celled’une inductance pure L en parralèle avec une résistance R.

Exercice 6 : Filtrage d’un signal créneau

1. En appliquant la loi des nœuds en M, établir la fonction de transfert du montage ci-dessous. Préci-ser les éléments caractéristiques (pulsation propre ωo, facteur d’amortissement ξ , gain statique Ho).2. Expliquer comment il est possible d’ajuster les valeurs de ωo et ξ indépendamment l’un de l’autre.3. On alimente le montage avec un signal d’entrée en créneaux, de période Te = 2, 5.10−5s (voirfigure ci-dessus). Choisir la valeur R de la résistance pour que la sortie soit un signal constant,dans le cas où C1 = 22nF et C2 = 330nF . Préciser alors la valeur du signal de sortie.

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Chapitre 2: Systèmes avec rétroaction - exemple de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) Exercices

Exercice 7 : Comparateur monostable

Un montage comparateur à hystérésis est dit bistable dans la mesure où la tension de sortie présentedeux états stables pour la position ue = 0 : Usat et −Usat . On s’intéresse ici à un montage dit monostable,la tension de sortie ne présentant qu’un seul état de repos stable. On considère l’AO comme idéal, unealimentation de tension continue E est intégrée au montage, schématisé ci-dessous :

1. Formuler une hypothèse sur le régime de fonctionnement de l’AO.2. Etablir et tracer le cycle du comparateur (us en fonction de ue). On fera appraître deux tensionscaractéristiques, toutes deux prises négatives pour la représentation graphique.3. Un tel comparateur est dit monostable s’il n’y a pas de point d’intersection entre le cycle et l’axeue = 0. En déduire la condition sur E pour que le comparateur soit monostable.

Exercice 8 : Cycle d’un comparateur à hystérésis non inverseur

Figure 1: Comparateur à hystérésis non inverseur

1. Justifier que l’on étudie ce montage en régime saturé.2. Déterminer le cycle à hystérésis de ce montage.11

Chapitre 2: Systèmes avec rétroaction - exemple de l’amplificateur linéaire intégré (ALI) Exercices

Exercice 9 : Filtre à plusieurs ALI

Le circuit de la figure ci-dessous commporte trois ALI parfaits de gain infini fonctionnant en régimelinéaire. On alimente le circuit en E par une tension sinusoïdale ue(t) de pulsation ω.

1. Chercher sans calculs la nature du filtre proposé, de tension de sortie us(t).2. Montrer que la fonction de transfert H = usue se met sous la forme H = Ho1+j( ω

ω1− ω2ω

) avec Ho = −R2R1 ,

ω1 = 1R2C et ω2 = R2

R4R5C .3. Déterminer la pulsation de résonnance.

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Chapitre E3: Oscillateurs auto-entretenus Exercices

TD-E3 : Oscillateurs auto-entretenus

Révisions de cours :

Décrire le fonctionnement d’un oscillateur quasi-sinusoïdal avec un filtre passe-bande et un am-plificateurExprimer les conditions théoriques en gain et fréquence d’auto-oscillation sinusoïdale d’un systèmelinéaire boucléAnalyser sur l’équation différentielle l’inégalité que doit vérifier le gain de l’amplificateur afind’assurer le démarrage des oscillationsInterpréter le rôle des non linéarités dans la stabilisation de l’amplitude des oscillationsDécrire le fonctionnement d’un oscillateur optique (le laser) en termes de système bouclé auto-oscillant. Relier les fréquences des modes possibles à la taille de la cavité.Décrire les différentes séquences de fonctionnement d’un oscillateur de relaxation associant unintégrateur et un comparateur à hystérésis. Exprimer les conditions de basculement et déterminerla période d’oscillations.

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Chapitre E3: Oscillateurs auto-entretenus Exercices

Exercice 1 : Démarrage des oscillations dans un oscillateur quasi-sinusoïdal à résistance négative

On considère le montage ci-contre qui est un oscillateur quasi-sinusoïdal à résistance négative, où l’ALIest idéal et supposé fonctionner initialement en régime linéaire. On mesure la tension u aux bornes de l’ALI.L’inductance de la bobine ets notée L et on note r sa résistance interne, le condensateur est supposé parfait(pas de résistance interne).

1. Montrer que u = −Rni.2. Déterminer la condition sur Rn pour qu’il y ait démarrage des oscillations.3. Déterminer la fréquence théorique des oscillations sinusoïdales qui s’auto-entretetiennent dans l’oscil-

lateur. A quelle condition sur RN cette fréquence est-elle obtenue ?4. Après démarrage des oscillations, expliquer pourquoi l’amplitude des oscillations reste de valeur finie.

Déterminer l’amplitude maximale des oscillations u(t) et expliquer pourquoi les oscillations sont quasi-sinusoïdales.

Exercice 2 : Oscillateur à réseau déphaseur

On considère l’oscillateur à réseau déphaseur ci-dessous. Les deux ALI sont supposés idéaux et de gain infini.

La fonction de transfert K (jω) du réseau déphaseur en boucle ouverte :

K (jω) = 11− 5(RCω)2 + jRCω(6− (RCω)2) (1)

1. (question facultative) Montrer que la fonction de transfert s’écrit sous la forme de l’équation (1).2. Donner le rôle de chaque élément de l’oscillateur. Justifier l’utilisation d’un montage suiveur.3. Déterminer la fréquence d’oscillation ainsi que la condition sur les valeurs des résistances R1 et R2 pour

que les oscillations s’auto-entretiennent.4. Quel déphasage introduit le réseau déphaseur pour une oscillation à la pulsation ωo ? Expliquer comment

les oscillations sinusoïdales s’auto-entretiennent. On pourra l’illustrer sur un graphique.

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Chapitre E3: Oscillateurs auto-entretenus Exercices

Exercice 3 : Oscillateur de Clapp

La structure d’un oscillateur de Clapp est donné sur la figure ci-dessous.

On donne la fonction de transfert du filtre :

H(jω) =uBuA

= 12

11 + jωR

(C12 −

CLCω2−1

)

1. En étudiant son comportement à haute et basse fréquence, préciser le rôle du filtre dans ce montage.2. Indiquer la fonction que réalise l’autre partie de l’oscillateur. Donner sa fonction de transfert uA

uB

3. Quelles sont les tensions d’entrée et de sortie du bloc amplificateur ? Même question avec le filtre ?4. Déterminer la condition sur le gain de l’amplificateur et la fréquence pour que les oscillations soient

auto-entretenues.5. Calculer la valeur de la capacité C1 qu’il faut choisir pour réaliser une oscillation à la fréquencef = 100kHz . On prendra C = 10nF et L = 10mH . Réponse : C1 ≈ 0, 52nF .

Exercice 4 : Multivibrateur astable

L’oscillateur représenté ci-dessous est utilisé comme générateur de signaux rectangulaires. Il est constituéd’un filtre passe-bas intégrateur à haute fréquence et d’un comparateur à hystérésis de type inverseur, dont lecycle est donné ci-dessous.

Figure 1: Multivibrateur astable

Figure 2: Cycle à hystérésis d’un comparateur in-verseur

On suppose qu’à t=0, la tension u1 passe de la valeur Usat à −Usat . On cherche à déterminer le tempst1 au bout duquel u1 rebasculera à la valeur Usat puis le temps T au bout duquel l’oscillation a effectué unepériode complète.

1. Justifier que la tension u2 est une fonction continue du temps.2. A quelle condition sur u2 le basculement en t1 aura t-il lieu ?3. Détermine t1 et représenter grapiquement u2(t) pour t ∈ [0; t1]. On représentera également u1(t) sur le

même graphique.4. Déterminer la période T des oscillations en fonction des paramètres du problème.

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Chapitre E3: Oscillateurs auto-entretenus Exercices

Exercice 5 : Générateur d’impulsions

1. On suppose que la tension e(t) est constante. Montrer le montage possède, en régime établi (indépendantdu temps), un seul état stable, et donner la valeur de s(t) correspondante.

2. Déterminer, en régime variable, l’équation différentielle liant u(t) à e(t). On posera τm = 3RC ′.3. On suppose qu’à l’instant t = 0−, e(0−) = −E et que le régime établi est atteint. A l’instant t = 0, l’entrée

bascule et e(t) prend la valeur e(0+) = +E . Déterminer la valeur de la discontinuité (u(0+)− u(0−)) dela tension u(t) à l’instant t = 0.

4. Déterminer l’évolution de u(t) à partir de cet instant.5. La tension d’entrée e(t) est un signal rectangulaire symétrique prenant les valeurs +E et −E de périodeT . Tracer soigneusement sur le même graphe, pour T = 10τm et pendant une période de e(t), les tensionse(t), u(t) et s(t).

6. Donner la largeur T2 des impulsions de sortie correspondantes en fonction de τm.

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Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices

TD-E4 : Modulation et démodulation du signal

Révisions de cours :

Définir un signal modulé en amplitude, en fréquence, en phase.Citer les ordres de grandeurs des fréquences porteuses utilisées pour les signaux radio AM, FM,la téléphonie mobile.Expliquer l’intérêt et la nécessité de la modulation pour les transmissions hertziennes (au moinstrois arguments).Interpréter le signal modulé (en amplitude) comme le produit d’une porteuse par une modulante.Décrire le spectre d’un signal modulé en amplitude.A partir de l’analyse fréquentielle, justifier la nécessité d’utiliser une opération non linéaire.Expliquer le principe de la détection synchrone.

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Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices

Exercice 1 : caractéristiques d’un signal modulé en amplitude et puissance transportée

Avec un analyseur de on mesure le spectre d’un signal modulé en amplitude s(t) inconnu.1. Déterminer la fréquence de la porteuse et celle du signal de modulation.2. En reprenant la définition du cours, déterminer le facteur de modulation.Exercice 2 : Caractéristiques d’un signal modulé en amplitude et puissance transportée

On rappelle : la puissance instantanée algébriquement reçue par un dipôle p(t) = u(t)i(t), la puissancemoyenne dans le temps reçue par un dipôle : P = 〈p(t)〉t = lim

T→∞1T∫ T0 p(t)dt .

La figure 1 représente une simulation d’un signal modulé en amplitude avec porteuse.

1. Indiquer directement sur la figure, et dans les cases prévues à cet effet, les courbes correspondant auxondes porteuse et modulante.2. Déterminer graphiquement la fréquence de l’onde porteuse fp et la fréquence de l’onde modulante fm.3. France-inter émet sur les grandes ondes (radio AM) à la fréquence 162kHz . Soit un signal de tensionmodulé en amplitude créé avec une onde porteuse de fréquence fp = 162kHz et un signal de modulationsinusoïdal de fréquence fm = 3kHz .(a) Quelles sont les fréquences contenues dans le signal modulé ? Sachant que la loi autorise une largeurde bande maximale de 9kHz , que peut-on en conclure sur la qualité de retransmission musicale enradio AM ?(b) Sachant que la puissance totale de l’émetteur de France-Inter est PT = 2000kW et que le taux demodulation est m = 75%, calculer les puissances fournies à une antenne (assimilée à une résistancepure R), respectivement par les bandes latérales PB et par la porteuse PP . Commenter les valeursobtenues.

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Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices

Exercice 3 : Débruitage d’un signal par détection synchrone

On considère un signal u(t) = U cos(2πfot) dont l’amplitude U est porteuse d’une information que l’on sou-haite mesurer. A u(t) s’est rajouté un signal parasite p(t) = P cos(2πfpt), empêchant la mesure de U. Connaissantla fréquence fo, on propose d’utiliser une détection synchrone (ou démodulation synchrone) afin de récupérerl’information U, comme illustré sur le schéma ci-dessous. Pour cela on utilise un signal de référence parfaite-ment connu de même fréquence fo que le signal intéressant mais de phase Φ a priori différente. La détectionsynchrone est un système de détection couramment employé en traitement du signal, permettant notamment demesurer l’amplitude d’un signal noyé dans du bruit.

1. Déterminer le spectre du signal en sortie du multiplieur, le représenter graphiquement (on choisirafp < fo).2. Choisir la fréquence de coupure du filtre passe-bas afin de ne récupérer en sortie que le terme defréquence nulle.3. Quelle valeur de Φ doit-on choisir afin d’effectuer la mesure de U ?

Exercice 4 : Transmission d’un signal par modulation d’amplitude

On se propose de transmettre, àl’aide d’un signal sinusoïdal porteur ap,m cos(ωpt), représentant une tensionélectrique„ de fréquence fp = 1MHz , un signal de modulation périodique si(t), de fréquence fo = 1kHz et demotif :ai,m cos(π t

To) pour − To2 ≤ t ≤ To2 avecTo = 1

foOn rappelle qu’un signal périodique s(t) de période T peut se décomposer en série de Fourier et se mettresous la forme suivante :si(t) = +∞∑

−∞cnej2π nt

T avec cn = 1To

∫ + T2− T2

s(t)e−j2πfnt , fn = nT

1. Montrer que la tension si(t) peut s’écrire sous la forme :si(t) = Ao

[1 + 23 cos(2πfot)− 215 cos(4πfot) + ...] avec Ao = 2ai,m

π

2. Représenter le spectre de si(t) jusqu’à l’ordre 2 inclus.3. En déduire le spectre du signal s(t) modulé en amplitude :s(t) = [ap,m + si(t)] cos(2πfpt)

4. On supprime la bande latérale inférieure du signal à transmettre ; en outre, on ne garde que la composantestationnaire et le premier harmonique de si(t). Le signal résultant d’écrit alors :s1(t) = A1(t) cos(ωpt + Φ1(t))

Déterminer |A1(t)| et Φ1(t), sachant que ap,m = 10V et Ao = 1V .Réponses : |A1(t)| = [9, 1 + 2 cos(ωot)]1/2 et tan (Φ1(t)) = sin(ωot)9+cos(ωo(t))

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Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices

Exercice 5 : Démodulation par détection d’enveloppe (d’après CCP PSI 2005)

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