INSA de Rouen Année 1 / Semestre 1

Travaux dirigés de l’EC P2-1 Mécanique du point matériel

Année2021-2022

Grandeurs physiques usuelles : Masse de la Terre : MT = 5.972´1024kg; Masse de la Lune : ML=7.36´1022kg ; distance Terre-Lune LT=3.844´108m; RT=6.371´106m, RL=1.737´106m ; Constante gravitationnelle : G = 6,67.10-11 Nm2kg-2 ;

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Opérateurs Mathématique TD N°1 Exercice 1 : Opérations sur les vecteurs Soient une base orthonormée directe !𝑂, 𝑢!%%%%⃗ , 𝑢"%%%%⃗ , 𝑢#%%%%⃗ ' et les vecteurs :

�⃗� = 3𝑢!%%%%⃗ + 4𝑢"%%%%⃗ − 5𝑢#%%%%⃗ 𝑏%⃗ = −𝑢!%%%%⃗ + 2𝑢"%%%%⃗ + 6𝑢#%%%%⃗

𝑐 = 𝑢!%%%%⃗ + 2𝑢"%%%%⃗ 𝑑 = 4𝑢"%%%%⃗

Calculer : La norme, le produit scalaire, la somme, la différence, l’angle que forment les vecteurs :

�⃗�et 𝑏%⃗ puis 𝑐 et 𝑑

Exercice 2 : Dérivées et intégrales A terminer pour le TD suivant.

1. Calculer les dérivées des expressions suivantes :

2. Calculer la primitive de la fonction suivante ainsi que son intégrale pour t compris entre 1 et 2.

Exercice 3 : Oscillations d’un pendule élastique (à finir à la maison) Un pendule élastique est constitué d’un ressort et d’un point mobile A fixé à une de ses extrémités. L’autre extrémité du ressort est immobile dans le référentiel d’étude. Le point mobile A oscille perpétuellement (pas de frottements) de manière sinusoïdale autour de sa position d’équilibre A’. A a une vitesse V0 = 0,800 m.s-1 quand il passe par sa position d’équilibre, et une vitesse V1 = 0,400 m.s-1 quand il passe à X1 = 5 cm de celle-ci.

En déduire l’amplitude des oscillations ainsi que leur période. On vérifiera l’homogénéité des expressions littérales.

( )( )1lnsin5

2

2

+=

= -

xyey x

)sin(

)cos(

fw

fw

t +=

+=

-tAex

tAxt

)cos( fw += tAx

La cinématique TD N°2

Exercice 4 : Problème de cinématique Une voiture roule pendant 25 s sur une route horizontale rectiligne. Des informations partielles sont connues (voir schémas ci-contre). En vous justifiant par le calcul, compléter cette description cinématique du mouvement de la voiture. A côté de chaque portion de courbe ajoutée, indiquer la nature du mouvement et compléter les valeurs manquantes au schéma.

Exercice 5 : Les équations différentielles 1. Etudier la fiche « Résolution des équations différentielles ». 2. Faire les exemples en fin de fiche.

Les forces TD N°3

Exercice 6 : Equilibre d’un système de ressorts Soient deux ressorts de raideurs respectives k1 et k2 et de longueurs à vide l1 et l2 en configuration verticale reliés au point M par une masse m et attachés par leurs autres extrémités. La distance séparant les deux extrémités fixes est notée l = 40 cm. On prendra g = 9.81U S.I. 1. Faire le bilan des forces s’appliquant au point M. 2. Sachant qu’à l’équilibre, la somme des forces est nulle, déterminer l’expression

analytique de la position d’équilibre du point M. 3. Déterminer cette position d’équilibre lorsque k1 = k2 , l1 = l2 en l’absence de masse. 4. On place maintenant une masse m = 50 g à la jonction et observons un déplacement de

cette dernière depuis la précédente position d’équilibre de 2 cm. En déduire la raideur des ressorts. Faire l’application numérique.

Exercice 7 : Problème sur le calcul d’un champ gravitationnel On considère l’alignement Terre – Mobile – Lune de masses respectives mT, m, mL. 1. Exprimer la force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet de masse

m situé à la distance x de celle-ci. 2. En faire de même avec la Lune. 3. On définit le champ gravitationnel résultant G%%⃗ tel que ∑F%⃗ = mG%%⃗ . Déterminer ce dernier. 4. Calculer la norme de ce champ lorsque le mobile est à la surface de la terre puis lorsque

ce dernier est à la surface de la lune. 5. Déterminer à quelle distance de la terre puis de la lune il faut se positionner pour que le

champ gravitationnel résultant soit nul. Application du PFD TD N°4

Exercice 8 : Oscillations d’un pendule élastique (reprise exo 3) Un pendule élastique est constitué d’un ressort et d’un point mobile A fixé à une de ses extrémités. L’autre extrémité du ressort est immobile dans le référentiel d’étude. Le point mobile A oscille perpétuellement (pas de frottements) de manière sinusoïdale autour de sa position d’équilibre A’.

1. A l’aide du principe fondamental de la dynamique, établir l’équation différentielle

régissant le mouvement du point mobile A. 2. Montrer que la solution de cette équation différentielle est de la forme

où vous expliciterez la relation entre 𝜔 et T, la période. 3. On considère maintenant que le mobile est exposé à un frottement fluide, établir la

nouvelle équation différentielle. 4. A l’aide de la fiche sur la résolution des équations différentielles, discuter de la nature

des oscillations du mobile.

Exercice 9 : Plan Incliné (à finir pour le TP) On considère le dispositif ci-dessous où un mobile M2 de masse m2 est entraîné sur une surface plane inclinée, par M1 de masse m1 par l’intermédiaire d’un fil inextensible et d’une poulie sans frottement et de masse négligeable (M1 et M2 seront assimilés à des points matériels).

)cos( fw += tAx

1. En utilisant des

systèmes d’axes judicieux, appliquer le principe fondamental de la dynamique aux deux masses. Commenter le comportement du système pour différents angles d’inclinaison du banc en fonction des couples de masses.

2. Reprenez le problème en tenant compte de l’existence d’un frottement solide entre le plan incliné et le mobile M2 caractérisé par le coefficient de frottement f.

Mise en œuvre du PFD (séance problème) TD N°5 Un tournoi de robot est organisé entre les différentes écoles d’ingénieur de France. L’école gagnante est celle qui arrivera à créer un robot capable de lancer un ballon de basket-ball depuis le Trocadéro, pour que celui-ci arrive au 3ème étage de la tour Eiffel. Le concours impose certains paramètres :

• La position du robot est située à 600 m de la verticale de la tour et à l’altitude z=0.

• Le troisième étage est à une hauteur de 276m au-dessus du sol.

• L’angle de tir de 25° par rapport à la verticale.

• La masse du ballon est de 1 kg. N’ayant que peu de connaissances en électronique, les étudiants de première année sont chargés de la partie prédiction de la trajectoire du ballon. L’objectif de ce problème est d’établir la vitesse initiale du ballon en fonction de 3 conditions de tir : absence de frottements, λ =0,01 kg/s et λ =0,1 kg/s. A vous de jouer ! Préparation du TP N°2 TD N°6 Exercice 10 : Résonnance mécanique (à terminer pour la séance de TP) Le dispositif utilisé dans le TP n°2 est représenté sur la figure 1. Le système oscillant est un point matériel de masse m (point M) attaché à un ressort (au point B) de raideur k et de longueur à vide l0, lui-même excité périodiquement via le point A par un moteur dont on peut modifier la vitesse angulaire de rotation. La masse peut être plongée dans un fluide où elle subira une force de frottement proportionnelle à la vitesse caractérisée par un coefficient de frottement µ. Les notations xA’, xB’ et xM’ correspondent aux positions respectives sur l’axe D des points A, B et M à l'équilibre, c’est à dire en l’absence de tout mouvement.

M2

M1

a

Figure 1 : Illustration de l’oscillateur

L’objectif de cet exercice est d’établir l’équation différentielle régissant la position de la masse m et d’étudier cette position en fonction de conditions du problème. Les différentes relations obtenues serviront ensuite lors de la séance de TP pour vérifier la pertinence des résultats expérimentaux obtenus. Mise en équation

1. Effectuer un bilan des forces s’appliquant au mobile M et donner l’expression de ces

dernières dans le système d’axes proposés. 2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse M et projeter l’équation

vectorielle ainsi obtenue. Montrer que ce résultat peut s’exprimer comme une équation différentielle de la coordonnée mesurée xB.

3. Que devient cette équation lorsque le système est à l’équilibre (moteur éteint, mobile à l’équilibre)? Montrer que la relation suivante est obtenue :

Que vaut alors la constante C ?

équation 1

4. Utiliser ce résultat pour que les termes liés au poids, à la poussée d’Archimède et à la longueur à vide l0 n’apparaissent plus dans l’équation différentielle précédente.

5. On pose maintenant y(t)=a(xB-xB’), paramètre qui représente, à un coefficient multiplicateur près, les oscillations du point B autour de la position d’équilibre. On pose par ailleurs x(t)=a(xA-xA’) le déplacement du point A (l’excitation du système). A partir des résultats obtenus au cours des questions précédentes, montrer que l’équation différentielle du mouvement peut s’écrire de la forme :

�̈�(𝑡) +𝜔$𝑄 �̇�(𝑡) + 𝜔$%𝑦(𝑡) = 𝜔$%𝑥(𝑡) équation 2

6. Expliciter les constantes w0 (pulsation propre) et Q le facteur de qualité en fonction de m,

k et µ. Comment évolue Q avec le coefficient de frottement ?

Px

Py

axe (D)

Ox

Omes

Oy

k

m

eau

mesure deposition

Moteur

poulie

Pm

eD

Oorigine

vecteurunitairede l'axe

A

B

M

XB’

XA’

XM’

xu

Cxgkm B += '

Cas du régime pseudo périodique 7. Montrer que lorsque Q>1/2, le régime des oscillations est de nature pseudo-périodique

(discriminant de l’équation caractéristique négatif). 8. Montrer que la solution est alors de nature périodique amortie :

avec une pseudo-pulsation

A l’aide de formules trigonométriques on peut réécrire cette expression de la forme suivante :

avec Équation 3

Cas du régime sinusoïdal entretenu (forcé) On considère maintenant que le moteur est en marche. Le rôle joué par la poulie est de transformer le mouvement de rotation du moteur en un mouvement de translation verticale sinusoïdale :

équation 4 où X est l’amplitude de l’oscillation et est la pulsation de l’excitatrice définie par une fréquence f=1/T. Pour simplifier les calculs, cette excitation peut-être écrite en notation complexes :

avec équation 5 On recherche maintenant en régime permanent établi une solution particulière de l’équation différentielle (équation 2). Cette solution est également sinusoïdale, de même fréquence que l’excitatrice mais pouvant admettre une amplitude différente ainsi qu’un déphasage par rapport à l’excitatrice. Ce postulat se traduit en notation complexe par:

avec équation 6 9. Montrer, en conservant la notation complexe, que cette solution particulière vérifie

l’équation différentielle si la relation entre l’excitatrice et la réponse du système vérifie la relation suivante où H s’appelle la fonction de transfert suivante :

10. La norme de la fonction H (encore appelée fonction de transfert) correspond au rapport de l’amplitude du mobile par celle de l’excitatrice, on parle d’amplification du système. Calculer cette norme.

La figure 2 montre la courbe théorique de la norme de la fonction de transfert en fonction de la fréquence d’excitation du système et ce pour différentes valeurs du facteur de qualité Q :

( ) ( ) ( )( ) Qt

aatrtr etBtADeCety 2

1

0

21 sincosw

ww-

+=+=

20 411Qa -=ww

( ) ( ) ( ) Qt

a etAty 21

0

coscos

w

jwj

-

+= ( )AB

-=jtan

( ) ( )tXtx wcos=fpw 2=

tiXex w= ( )xx Re=

( )jw += tiYey ( )yy Re=

Qix

yH

0220

20

wwww

w

+-==

Figure 2 : Cas du régime sinusoïdal entretenu : courbe d’amplification de la réponse du

système mécanique en fonction de la fréquence d’excitation normalisée. Principes énergétiques TD N° 7&8 Exercice 11 : Renvoi d’un point matériel par un ressort Un point matériel M(m) sur une surface horizontale, est abandonné en O avec une vitesse initiale V0. Il est soumis à des frottements solides de coefficient de frottement f. Après un parcours de longueur OA1 = L, il entre en contact avec un ressort de constante de raideur k. Lors du choc, le ressort est comprimé d’une longueur A1A2 = d, avant qu’il ne se détende à nouveau complètement.

Exprimer en fonction des données (V0, f, m, g, L, k, d) l’énergie mécanique de M : 1. en O ; 2. en A1 ; 3. en A2. En déduire la constante de raideur k du ressort.

Exercice 12 : Etude énergétique d’un mouvement « L’objectif de cet exercice est de retrouver le comportement dynamique d’un point matériel dont la description ne dépend que d’une variable. »

Une particule matérielle de masse m = 0.2 kg est assujettie à se déplacer sur un axe . Elle est soumise à une force �⃗� = 𝐹(𝑥)𝑢!%%%%⃗ dérivant d’une énergie potentielle 𝐸&(𝑥) dont les variations sont représentées ci-dessous.

1. Ecrire la relation entre et .

2. 2.a Quelles sont les positions d’équilibre de la masse m ? 2.b Lesquelles sont stables ? Instables ? 2.c Justifier.

3. Déterminer numériquement la force �⃗� aux points x = 0 et x = 2 m. 4. Le mobile est abandonné en x = 0 à la date t = 0 sans vitesse initiale.

4.a Déterminer la portion de l’axe susceptible d’être atteinte par la particule. 4.b En quels points la vitesse de la particule est-elle nulle ? maximale ? Calculer

numériquement la vitesse maximale. 5. Ecrire sous forme d’intégrale, sans la calculer, la période T du mouvement de la particule

en fonction de m, Ep(x) et Em énergie mécanique de la particule.

Exercice 13 : Dérivées et différentielle d’une fonction d’une variable 1. Calculer les différentielles des expressions suivantes :

2. Calculer les dérivées partielles, le gradient et les différentielles des expressions suivantes :

3. Donner l’expression de la différentielle du vecteur 𝐴(𝑥' , 𝑦' , 𝑧')

( )xU,0

F!

( )xE p

)sin(

)cos(

fw

fw

t +=

+=

-tAex

tAxt

( )

( ) yzzxxyzyxf

xxyyxf

+-=

+=42,,

42,

2

2

Exercice 14 : Travail d’une force dissipative. Une particule de charge q se déplace dans le plan !𝑂, 𝑢!%%%%⃗ , 𝑢"%%%%⃗ 'exposée à un champ électrique𝐸%⃗ (𝑀) = 𝑘!𝑥%𝑢!%%%%⃗ + 𝑥𝑦𝑢"%%%%⃗ '. Soient les points A(2,2), B(5,2), C(5,6), D(2,6). 1. Exprimer la force de Lorentz !�⃗� = 𝑞𝐸%⃗ + 𝑞𝑉%⃗ ∧ 𝐵%⃗ 's’appliquant à la charge, on négligera

le champ magnétique. 2. Calculer le travail de �⃗�(𝑀) le long du chemin ABC La suite de l’exercice est à traiter à la maison. 3. Reprendre le calcul du travail de �⃗�(𝑀) le long du chemin ADC. 4. Comparer les deux résultats. Que peut-on en conclure ? Exprimer le travail

élémentaire𝛿𝑊. Existe-t-il une fonction énergie potentielle Ep qui permette d’exprimer 𝛿𝑊 = 𝑑𝑊 = −𝑔𝑟𝑎𝑑!𝐸&'%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%⃗ ∙ 𝑑𝑂𝑀%%%%%%⃗ ?

5. Reprendre le problème pour le champ de force suivant �⃗�(𝑀) = 𝑞𝑘!𝑥𝑦%𝑢!%%%%⃗ + 𝑥%𝑢"%%%%⃗ ' en étudiant à nouveau le travail élémentaire𝛿𝑊.

PFD dans le repère polaire TD N°9

Exercice 15 : Opérations sur les vecteurs Soient une base orthonormée directe !𝑂, 𝑢!%%%%⃗ , 𝑢"%%%%⃗ , 𝑢#%%%%⃗ ' et les vecteurs : �⃗� = 3𝑢!%%%%⃗ + 4𝑢"%%%%⃗ − 5𝑢#%%%%⃗ , 𝑏%⃗ = −𝑢!%%%%⃗ + 2𝑢"%%%%⃗ + 6𝑢#%%%%⃗ , 𝑐 = 𝑢!%%%%⃗ + 2𝑢"%%%%⃗ et 𝑑 = 4𝑢"%%%%⃗ Calculer : 1. le produit vectoriel de

�⃗� et 𝑏%⃗ puis 𝑐 et 𝑑

Exercice 16 : Différentielle et dérivée angulaire d’un vecteur unitaire. 1. Montrer que 𝑑!𝐴 ∙ 𝐵%⃗ ' = 𝑑𝐴 ∙ 𝐵%⃗ + 𝐴 ∙ 𝑑𝐵%⃗ . 2. Sachant que 𝑢(%%%%⃗ est unitaire, montrer que ce vecteur est orthogonal à sa différentielle. 3. Exprimer, dans le repère cartésien !𝑂, 𝑢!%%%%⃗ , 𝑢"%%%%⃗ , 𝑢#%%%%⃗ ', les vecteurs de la base polaire (𝑢(%%%%⃗ , 𝑢)%%%%⃗ ). 4. Exprimer, dans la base polaire, les dérivées par rapport à q puis par rapport au temps de

et . Que vaut la norme de ces vecteurs dérivés?

ru qu

Exercice 17 : Application du PFD au pendule simple (à finir à la maison) Un objet ponctuel 𝐴 de masse 𝑚 est suspendu à l’extrémité 𝑃 d’une tige 𝑂𝑃 rigide, de masse négligeable et de longueur 𝐿. Il peut effectuer des mouvements de rotation dans le plan vertical (𝑂𝑥𝑦), autour de l’axe horizontal (𝑂𝑧). La position de l’objet 𝐴 est repérée par l’angle 𝜃 que fait la tige avec la verticale. L’étude sera menée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Les frottements au niveau de l’axe de rotation et les frottements de l’air seront négligés dans tout le problème. L’ensemble ainsi décrit se trouve plongé dans le champ de pesanteur terrestre considéré uniforme. 1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet 𝐴. 2. Appliquer la deuxième loi de Newton afin d’obtenir une égalité vectorielle. 3. En projetant dans le repère de votre choix, déterminer l’équation différentielle vérifiée

par l’angle 𝜃. 4. Déterminer à l’aide de l’équation précédente les positions d’équilibre du système. 5. Le point 𝐴 est lâché sans vitesse initiale avec un angle 𝜃*'! tel que 𝜃*'! < 10°

(l’amplitude des oscillations est faible permettant la simplification suivante 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ≈ 𝜃). Déterminer analytiquement la vitesse maximale du point 𝐴 lors de ses oscillations en fonction de 𝐿, 𝑔 et 𝜃*'!.

PFD & théorème énergétiques dans les repères polaires et sphériques TD N°10&11

Exercice 18 : Tambour en rotation Un palet modélisable par un point matériel M de masse m, est inséré en A dans un tambour de rayon R tournant à vitesse constante w. Le palet entraîné par le tambour tourne sans glisser, perd l'adhérence (angle q2), puis se stabilise dans une position repérée par l'angle q1: Une fois dans cette position, le palet est au repos dans le référentiel terrestre. 1. Le palet perd l’adhérence lorsqu’il est dans une position

repérée par l’angle q2. En utilisant le PFD, déterminer le coefficient de frottement f qui correspond à ce début de glissement.

2. Appliquer la même démarche pour déterminer le coefficient de frottement f correspondant à l'angle q1.

Exercice 19 : Fronde Un individu tient dans la main une fronde constituée d’une masse m (considérée comme ponctuelle) attachée au bout d’une ficelle de masse négligeable et de longueur L. Il la fait tourner dans un plan vertical : la masse m a donc un mouvement circulaire autour de la main de l’individu (supposée immobile). On néglige les frottements de l’air.

1. Soit V0 la vitesse de la masse quand elle passe à son point le plus bas. Déterminer, en

fonction de m, V0, L, g et l’angle q que fait le fil avec la verticale descendante, la vitesse de la masse et la tension du fil pour une position quelconque de la masse. Homogénéité. En déduire par le calcul la position de m pour laquelle la tension du fil est minimale.

2. Quelle doit être la vitesse minimale V1 de la masse m quand elle passe au point le plus haut pour que la corde ne se détende pas.

3. Quel sera le mouvement de la masse m si l’individu lâche la ficelle quand celle-ci passe à l’horizontale (m montant) ? Déterminer l’altitude maximale atteinte par la masse ?

TMC TD N° 11, 12 & 13 Exercice 20 : Pendule simple Etablir l’équation différentielle du mouvement d’un pendule simple non amorti, effectuant des petites oscillations libres : 1. Par le théorème du moment cinétique. 2. Par une étude énergétique ; 3. Quelle est la période des oscillations ? 4. Initialement, le pendule fait un angle q0 avec la verticale et sa vitesse est nulle.

Déterminer l’équation horaire du mouvement ;

Exercice 21 : Vitesse d’un satellite Le point S représente un satellite de la terre de masse m = 1 tonne. Ce satellite décrit relativement au référentiel géocentrique Rg, supposé galiléen, une trajectoire elliptique

autour de la terre. Le repère

est fixe dans Rg. Ce satellite n’est soumis qu’à la force d’interaction gravitationnelle de la terre. A l’instant représenté, la vitesse du satellite dans Rg est : v = 14 650 km/h. Le rayon de la terre est RT = 6 400 km.

1. Exprimer de façon analytique la force d’attraction gravitationnelle exercée par la terre sur le satellite.

2. Appliquer le PFD au satellite. Que dire de la direction de l’accélération du satellite, quel est le nom d’une telle accélération ?

3. Exprimer le vecteur moment cinétique en 0 du satellite et calculer analytiquement sa norme à l’instant considéré. Vous en ferez l’application numérique sans oublier son unité.

4. Dans ce cas de figure, où la seule force en présence est la force d’interaction gravitationnelle, que peut-on donc dire du moment cinétique ?

5. En déduire la valeur de la vitesse du satellite à son apogée (point A) et à son périgée (Point P).

Exercice 22 : Pendule électrostatique Un pendule électrostatique est constitué d'une petite sphère métallique (S1) de charge Q et de masse m, suspendue à l'extrémité d'un fil sans masse inextensible, de longueur l. Une seconde petite sphère métallique (S2) isolée électriquement porte la charge -Q. On approche alors (S2) de (S1) de telle sorte que, à l'équilibre, le centre de (S2) soit à la distance d du centre de (S1) et à la même hauteur. Les sphères (S1) et (S2) seront assimilées à des points matériels. 1. Calculer les moments de toutes les forces appliquées à (S1). 2. En déduire l'angle a que fait à l'équilibre le pendule avec la verticale en utilisant le

théorème du moment cinétique.

( )zyx eee ,,;0

Exercice 23 : Mise en évidence des orbites elliptiques On se propose, dans cet exercice, d’étudier les trajectoires possibles d’un point matériel soumis à une seule force centrale attractive (K/r2) en fonction de son énergie mécanique totale 1. Ecrire la norme du vecteur vitesse du point matériel en coordonnées polaires et montrer

que l'énergie mécanique du système peut s'écrire sous la forme 𝐸* = +%𝑚�̇�% + 𝐸&,--(𝑟),

avec Epeff(r) l’énergie potentielle effective, fonction de la seule coordonnée r. 2. Dans le cas d’une force centrale attractive, on peut montrer que l’énergie potentielle

effective est de la forme suivante :

Déterminer graphiquement les positions pour lesquelles �̇� = 0 pour les trois cas suivants : Em>0, Em=0 et Em<0

3. En vous servant des formules de Binet (voir fiche cours) écrire le principe fondamental de la dynamique du point matériel soumis à la force centrale. Montrer que la solution de l’équation différentielle issue du PFD peut s’écrire sous la forme:

4. En posant , , , simplifier l’expression précédente

5. Exprimer l’énergie mécanique du point matériel à partir de la formule de Binet pour la vitesse. Vous remplacerez alors la variable u par la solution trouvée en question 3 de façon à associer à chaque type de trajectoire (valeur de e) un type d’énergie mécanique.

6. En déduire le type de trajectoire du point matériel en fonction de l’énergie mécanique (voir fiche fonctions coniques)

20 )cos()(mCKAu --= qqq

KmCp

2

=K

AmCe2

= 00 =q

Mise en œuvre des théorèmes en repère cylindrique (séance problème) TD N°14 Deux billes M1 et M2 (de masses m1 et m2) sont reliées par un fil inextensible de longueur l. La première bille glisse sans frottement sur une table horizontale percée en son centre alors que la seconde bille est suspendue verticalement par la corde passant par le centre de la table. Le repère cartésien !𝑂, 𝑢!%%%%⃗ , 𝑢"%%%%⃗ , 𝑢#%%%%⃗ ' lié à la table est associé au référentiel R considéré galiléen. Un second repère « tournant » (𝑂′, 𝑢(%%%%⃗ , 𝑢)%%%%⃗ , 𝑢#%%%%⃗ ) est en permanence associé au mouvement de la première bille. Un opérateur tire sur la bille M1 jusqu’à ce que la seconde bille soit bloquée au niveau de la table. A l’instant t=0 l’opérateur lance la bille M1 orthogonalement au segment de corde, avec une vitesse de norme égale à V0. A partir de cet instant la bille M2 entraîne dans sa chute la bille

M1 qui, de ce fait, trace une spirale sur la table. On note la vitesse angulaire de

rotation de la bille M1 dans le plan de la table. Cette vitesse angulaire n’est pas nécessairement constante! On prendra l’accélération de la pesanteur g=9.81 U.S.I. L’objectif de ce problème est de déterminer le système d’équations différentielles décrivant le mouvement de la bille M1 et d’étudier le cas particulier du mobile M1 effectuant une trajectoire circulaire uniforme de rayon r. En particulier, vous devrez déterminer l’expression de la vitesse angulaire de rotation du mobile M1 en fonction de m1, m2 g et r permettant à la bille M1 d’effectuer un mouvement circulaire uniforme de rayon r.

( )dtdt qw =