Ecole Centrale Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique MARSEILLE MARSEILLE (France)

TRAVAIL DE FIN D'ETUDESdu 2 avril 2013 au 30 septembre 2013

Modélisation des renfortsdans les pneumatiques d'avions

RAIMBAULT Aurélien3ème année promotion 2013

Parcours Modélisation Mécanique des Matériaux et des Structures

Maître de stage : M. Iulian ROSUResponsable pédagogique : M. Thiery DESOYER

SOMMAIRE

RÉSUMÉ....................................................................................................................................4

SUMMARY.................................................................................................................................5

REMERCIEMENTS....................................................................................................................6

MOTS CLES...............................................................................................................................7

GLOSSAIRE...............................................................................................................................8

INTRODUCTION........................................................................................................................9

I – PRÉSENTATION DU CONTEXTE......................................................................................10

1.1) Présentation du Centre National de Recherche Scientifique (CNRS)....................101.2) Présentation du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique (LMA)........................111.3) Présentation des pneumatiques et de leur modélisation.........................................14

1.3.1. Généralités sur les pneumatiques...........................................................141.3.2. Fabrication des pneumatiques................................................................16 1.3.3. Modélisation des pneumatiques..............................................................17

II – ÉTUDE DES MODÈLES NUMÉRIQUES DE RENFORTS...............................................21

2.1) Modélisation des renforts.........................................................................................212.2) Modélisation 3D.......................................................................................................21

2.2.1. Etude des REBARS dans un élément.....................................................212.2.1.1. Etude en traction................................................................................212.2.1.2. Etude en flexion.................................................................................23

2.2.2. Etude des BEAMS dans un élément en traction.....................................242.2.3. Tableau comparatif REBAR/BEAM..........................................................252.2.4. Conclusion et perspectives......................................................................25

2.3) Premières observations...........................................................................................262.3.1. Vérification de l'influence de l'orientation des renforts............................26 2.3.2. Vérification de l'influence de l'espacement des renforts..........................27

III – VALIDATION EXPÉRIMENTALE......................................................................................28

3.1) Présentation des essais...........................................................................................283.2) Réalisation...............................................................................................................283.3) Analyse des résultats et comparaison avec le calcul..............................................29

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3.4) Essais thermiques....................................................................................................303.4.1. Dispositif expérimental.............................................................................303.4.2. Résultats des tests...................................................................................313.4.3. Analyse des résultats...............................................................................33

IV – MODÉLISATION DU PNEUMATIQUE AVEC DIFFÉRENTS TYPES DE RENFORTS.. .34

4.1) Réalisation du maillage 3D sans renfort..................................................................344.1.1. Objectifs de l'étude...................................................................................344.1.2. Calcul des nouvelles coordonnées.........................................................354.1.3. Calcul Abaqus..........................................................................................36

4.2) Définition des renforts..............................................................................................384.2.1. Problématique.........................................................................................384.2.2. Définition des plans de renforts...............................................................384.2.3. Modélisation des renforts.........................................................................39

4.3) Etude des résultats..................................................................................................394.3.1. Validation du modèle...............................................................................39

4.3.1.1. Validation statique..............................................................................404.3.1.2. Calcul de dérapage............................................................................40

4.3.2. Influence de l'orientation des renforts......................................................444.3.3. Influence de l'espacement des renforts...................................................45

CONCLUSION..........................................................................................................................48

BIBLIOGRAPHIE......................................................................................................................49

ANNEXES................................................................................................................................50

Annexe 1 : Organigramme du laboratoire de mécanique et d'acoustique...............................50Annexe 1.1 : Organisation des services..........................................................................50Annexe 1.2 : Organisation des différents pôles...............................................................51

Annexe 2 : Résultats des essais de flexion 3 points................................................................52Annexe 3 : Programme de calcul des coordonnées................................................................53Annexe 4 : Matériaux du modèle numérique...........................................................................59Annexe 5 : Documentation Abaqus, théorie des éléments contenant des REBARS..............64

PROGRAMME DE TRAVAIL....................................................................................................66

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TABLE DES FIGURES

Figure 1.1 : Bâtiment du LMA à MarseilleFigure 1.2 : Machine de tractionFigure 1.3 : Scanner à ultrasonsFigure 1.4 : Chambre anéchoïqueFigure 1.5 : Différentes couches de renforts sur un pneumatique d'avionFigure 1.6 : Bande de roulement sur un pneumatique d'avionFigure 1.7 : Différentes couches d'un pneumatiqueFigure 1.8 : Schéma de définition des renfortsFigure 2.1 : Déformation d'un élément ne contenant qu'un seul plan de REBARSFigure 2.2 : Comparaison des déformations pour un et deux élémentsFigure 2.3 : Déformation pour des REBARS dans un élément sur deuxFigure 2.4 : Comparaison des déformations pour un et deux élémentsFigure 2.5 : Comparaison des déformations pour un et deux élémentsFigure 2.6 : Modèle d'étudeFigure 3.1 : Dispositif expérimentalFigure 3.2 : Lot d'éprouvettesFigure 3.3 : Eprouvette modélisée sous Abaqus et résultat du calculFigure 3.4 : Graphique comparatif des résultatsFigure 3.5 : Photos du dispositif expérimentalFigure 3.6 : Courbes de l'essai 1Figure 3.7 : Courbes de l'essai 2Figure 3.8 : Courbes de l'essai 3Figure 4.1 : Tranche de pneumatique 2DFigure 4.2 : Fonction de calcul des nouvelles coordonnéesFigure 4.3 : Maillage 3D du pneumatiqueFigure 4.4 : Préparation du pneumatique pour le calcul en dérapageFigure 4.5 : Schéma de définition des renfortsFigure 4.6 : Tranche de pneumatique avec plans de renfortsFigure 4.7 : Mesure de la déflexion latérale et de l'écrasementFigure 4.8 : Définition de la surface de contactFigure 4.9 : Définition de l'auto-contactFigure 4.10 : Graphe comparatif des modèles en dérapage latéralFigure 4.11 : Profil du pneumatique en dérapage latéralFigure 4.12 : Graphe comparatif des modèles en dérapage longitudinalFigure 4.13 : Eléments déformés en dérapage longitudinalFigure 4.14 : Influence des variations d'angles en dérapage latéralFigure 4.15 : Influence des variations d'angles en dérapage longitudinalFigure 4.16 : Schéma explicatif du nombre de renforts par élémentFigure 4.17 : Influence de la variation de l'espacement sur le dérapage latéralFigure 4.18 : Influence de la variation de l'espacement sur le dérapage longitudinal

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RÉSUMÉ

Dans le cadre de sa collaboration avec Airbus, le Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique de Marseille est chargé d'apporter son expertise pour étudier le comportement des pneumatiques d'avions, notamment de leur comportement au niveau du contact avec le sol. Parmi les modèles existants, le modèle éléments finis est utilisé ici pour représenter sa structure complexe. La nature même du matériau qui compose un pneumatique, la gomme, implique de prendre certaines précautions avant d'effectuer un calcul. Le fait qu'il s'agisse de pneumatiques d'avions, qui subissent de très fortes contraintes, les rend d'autant plus difficiles à concevoir et donc à modéliser.

Au cours de ce stage, je me suis plus particulièrement intéressé à la modélisation des renforts au sein du pneumatique.

Il semble, en effet, que la définition de ces renforts dans le logiciel de calculs par éléments finis soit incomplète ou imparfaite et que cela puisse conduire à des écarts entre les modèles de calcul et les essais expérimentaux. Je me suis donc d'abord attaché à étudier le comportement d'un unique élément renforcé soumis à différentes contraintes. Les renforts ont été modélisés de plusieurs façons, avec des modèles dédiés et des modèles de poutres, et plusieurs configurations géométriques ont été testées, dans le but de comparer les résultats entre eux et ainsi de choisir la définition respectant au mieux la représentation du pneumatique réel.

Etant donné la difficulté de compréhension de la définition des REBARS, modèle de renforts utilisés dans le logiciel de calcul, cette première partie du travail a aussi été l'occasion de mieux comprendre leur utilisation et d'essayer de nouvelles définitions sur des cas simples.

Par la suite, pour caractériser le comportement des renforts dans des cas simples, j'ai pu réaliser des essais expérimentaux de flexion sur des éprouvettes.

Finalement, l'objectif principal a consisté à modéliser différemment le pneumatique pour mieux prendre en compte la définition des renforts et plus précisément la continuité des fils. En reprenant le travail déjà effectué pour obtenir les coordonnées des nœuds d'une tranche 2D de pneumatique, j'ai d'abord réalisé un nouveau maillage sans renfort, et directement en 3D. Par la suite, j'ai ajouté les plans contenant les renforts au maillage. J'ai enfin testé différentes configurations et différents types de définitions pour modéliser le renforcement et ainsi approcher au mieux la géométrie réelle du pneumatique.

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SUMMARY

Through its collaboration with Airbus, The Laboratory of Mechanics and Acoustics of Marseille is in charge of the study of planes tires’ behavior and more precisely the study of the contact with the ground.

With its complex structure, a plane tire is modeled with finite elements in this case. The nature of the tire’s material, the rubber, implies to take care before executing a calculation. In addition, plane tires, which suffer big constraints, are more difficult to conceive and thus, to model.

During this internship, I have more precisely been involved in the model of tire’s reinforcement.

In fact, the definition of the reinforcement in the finite element software is not complete or not perfect and it can be a cause of error in the calculation. That is why I started studying the behavior of a single element with various constraints. The reinforcement was modeled with various models, with dedicated models or beams, and several geometry configurations were tested to compare the results and to choose the best definition, according to the representation of the real tire.

Given the difficulties to understand the definition of the REBAR, model of reinforcement used in the software, this first part gave me the opportunity to understand their use better and to test some new definitions on simple cases.

Then, to characterize the behavior of the reinforcement, I realized some experiments of flexion.

Finally, the main objective was to model tires in a new way to take the reinforcement definition into account. Starting from the past work in order to obtain nodes coordinates of a 2D part of a tire, I realized a new mesh without reinforcement. Then, I took into account this reinforcement to define the planes with REBARS. At last, I tested some configurations and definitions to model the reinforcement and to get a better representation of the real tire.

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REMERCIEMENTS

Je souhaite remercier plus particulièrement M. ROSU pour l'aide qu'il m'a apportée au cours de ce stage, ainsi que l'ensemble de l'équipe du LMA.

J'adresse aussi mes remerciements à M. BOURGEOIS, enseignant à l'école Centrale Marseille, grâce à qui j'ai pu me porter candidat pour ce stage et à M. LEUJEUNES, enseignant à l'école Centrale Marseille qui m'a suivi au cours de cette période et à qui j'ai pu faire part de mes interrogations.

A NOTER :

Pour des raisons de confidentialité de certaines données appartenant à Airbus, certaines valeurs ne sont pas présentées et les courbes de dérapage sont normalisées.

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MOTS CLES

Mots clés choisis pour caractériser ce stage :

PNEUMATIQUE

AVION

GOMME

RENFORTS

MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS

CALCUL NUMÉRIQUE

CONTINUITÉ

ABAQUS

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GLOSSAIRE

Bande de roulement Couche de gomme en contact avec la chaussée et qui permet une bonne adhérence

BEAM Modèle de poutre utilisé dans AbaqusCarcasse Nappe de renforts garantissant la tenue de la

forme du pneumatiqueCEAT Centre d'Essais Aéronautiques de ToulouseCeinture Nappe de renforts assurant la rigidité du

pneumatique, notamment sa rigidité latéraleCNRS Centre National de Recherche ScientifiqueDérapage latéral Traction dans la direction perpendiculaire à celle

du roulement du pneumatiqueDérapage longitudinal Traction dans la direction parallèle à celle du

roulement du pneumatiqueEspacement Distance qui sépare deux fils de renforts

consécutifsFlan Zone latérale du pneumatique comprise entre la

jante et la bande de roulementLMA Laboratoire de Mécanique et d'AcoustiquePME Petites et Moyennes EntreprisesPMI Petites et Moyennes IndustriesREBAR Reinforced Bar, modèle de renfort utilisé dans

AbaqusTringle Renfort métallique permettant la tenue du

pneumatique sur la janteVulcanisation Procédé chimique consistant à incorporer un

agent vulcanisant à un élastomère pour former après cuisson des ponts entre les chaînes moléculaires

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INTRODUCTION

La structure des pneumatiques d'avion est très complexe. En effet, ils sont composés d'un très grand nombre de matériaux aux propriétés mécaniques très différentes et les configurations géométriques des renforts sont diverses. Leur comportement peut être modélisé par éléments finis, mais la définition du modèle numérique reste difficile à mettre en place.

Or, sur les pneumatiques, du fait de la concurrence existante entre les grands groupes sur ce marché, les informations fournies sont très peu nombreuses, notamment quant à la définition des renforts. Cela introduit donc une difficulté de modélisation puisqu'il faut mesurer les données sur un pneumatique du marché.

De plus, les avionneurs comme Airbus souhaitent avoir des modèles performants pour améliorer les conditions de vol des avions, notamment lors des phases de roulement des appareils (décollage, atterrissage, taxi…). Etant de fait un organe vital sur l'avion, la connaissance de son comportement est primordiale. Il faut, de plus, souligner le caractère extrême des sollicitations qui s'appliquent sur un pneumatique d'avion, vitesses d'utilisation élevées, masse importante qui repose sur une faible surface de contact avec le sol...

Lors de ce stage, je me suis plus particulièrement attaché à étudier la définition géométrique des renforts dans le modèle de pneumatique. La connaissance en la matière sur le modèle actuel est aujourd'hui incomplète. On peut noter que le modèle utilisé donne des résultats satisfaisants par rapport aux essais réels menés sur un banc d'essais dédié aux pneumatiques d'avions. Mais une différence est présente et pourrait provenir de la définition des renforts. C'est donc dans cette optique que j'ai mené cette étude.

Après une brève présentation du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique et des pneumatiques en général, j'ai concentré mon étude sur le comportement des renforts au sein d'un ou deux éléments en comparant plusieurs définitions. J'ai, par la suite, réalisé quelques essais expérimentaux pour comparer les résultats avec les calculs numériques. J'ai enfin procédé à une nouvelle modélisation par éléments finis du pneumatique d'avion afin d'appliquer au modèle complet de nouvelles définitions de renforts.

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I – PRÉSENTATION DU CONTEXTE

1.1) Présentation du Centre National de Recherche Scientifique (CNRS)

Le Centre National de la Recherche Scientifique est un organisme de recherche public à caractère scientifique et technologique placé sous la tutelle du Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche.

Alain FUCHS en est le Président et il est assisté dans son rôle par deux directeurs généraux, Joël BERTRAND à la science et Xavier INGLEBERT aux ressources.

L'effectif est de près de 34.000 personnes, dont 11.415 chercheurs et 14.090 ingénieurs. Avec un budget de 3.415 milliards d'euros en 2013, le CNRS est présent dans tous les champs de la connaissance et s'appuie sur plus de 1.100 unités de recherche et services répartis sur tout le territoire. Fort de ses 18 lauréats de prix Nobel et 11 de la Médaille Fields, le CNRS a une longue tradition d'excellence.

Le CNRS est le principal organisme de recherche pluridisciplinaire en France et il mène des études dans l'ensemble des domaines scientifiques, technologiques et sociétaux. Les compétences des chercheurs vont des mathématiques, de la physique, des sciences et technologies de l'information et de la communication, de la physique nucléaire aux sciences de la planète et de l'univers, en passant par les sciences humaines et sociales.

Ces connaissances sont regroupées au sein de 10 instituts :

– institut des sciences biologiques,– institut de chimie,– institut écologie et environnement,– institut des sciences humaines et sociales,– institut des sciences de l'information et de leurs interactions,– institut des sciences de l'ingénierie et des systèmes,– institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions,– institut de physique,– institut national de physique nucléaire et physique des particules,– institut national des sciences de l'univers.

De plus, le CNRS développe des collaborations entre spécialistes de différentes disciplines. Des actions interdisciplinaires de recherche sont notamment menées dans les domaines suivants :

– le vivant et ses enjeux sociaux,– l'information, la communication et la connaissance,– l'environnement, l'énergie et le développement durable,– les nanosciences, nanotechnologies, matériaux,– les astroparticules : des particules à l'univers.

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Avec 19 délégations en régions, le CNRS peut ainsi avoir une gestion directe et locale de ses laboratoires et entretenir des liens privilégiés avec les partenaires locaux et collectivités territoriales.

Les partenariats représentent une caractéristique majeure du CNRS, notamment avec l'enseignement supérieur et l'industrie. Ils permettent aux grands groupes de profiter des recherches et du savoir-faire de ses laboratoires.

En quelques chiffres, le CNRS équivaut à :

– 4.521 familles de brevets principaux et 959 licences actives en portefeuille fin 2012,– 704 entreprises innovantes créées depuis 2000, – des accords de coopération avec une cinquantaine de pays, – 331 programmes internationaux de coopération scientifique, – 127 laboratoires internationaux associés– 112 groupements de recherche internationaux.

1.2) Présentation du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique (LMA)

Le LMA est une unité propre de recherche du CNRS rattachée à l'Institut des Sciences de l'Ingénierie et des Systèmes (INSIS). Il est, de plus, lié par convention à Aix Marseille Université et à l'école Centrale Marseille. Le LMA est membre de l'Institut Carnot STAR (“Sciences et Technologies pour les Applications de la Recherche”).

Figure 1.1 : Bâtiment du LMA à Marseille

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L'effectif du LMA est d'environ 135 personnes et se compose de chercheurs, enseignants- chercheurs, doctorants et post-doctorants.

Les thèmes de recherche ont trait à la mécanique et l'acoustique.

En mécanique, les études portent sur le comportement des matériaux, le comportement des structures et des interfaces et les vibrations non-linéaires. En acoustique, elles concernent la propagation d'ondes, le traitement des sons et de la musique, la vibroacoustique, le contrôle actif, l'imagerie acoustique sous-marine, la perception et la qualité sonores.

Le LMA participe activement à des programmes spécifiques très divers :

– Groupement de recherche français et européen,– Actions Concertées Incitatives,– Plan Pluri-Formation,– Equipe de Recherche Technologique,– Programmes européens.

Des collaborations régulières s'effectuent avec les grands groupes industriels et les PMI et PME locales. Les principaux domaines d'activité du laboratoire concernent les transports, le nucléaire, la santé ou l'environnement.

Le laboratoire dispose d'importants moyens expérimentaux permettant de laisser une place importante à la pratique :

– chambres anéchoïques dont une de 455 m3,– cuve acoustique sous-marine dont un bassin de 20 m de long,– centrale hydraulique d'essais dynamiques,– scanners à ultrasons,– machines de traction et de fatigue,– 2 cabines audiométriques.

Les activités du laboratoire sont réparties en plusieurs axes :

– axe matériau et structures,– axe ondes et imagerie,– axe son.

Axe matériaux et structures :

La partie «matériaux» de cet axe consiste à étudier le comportement des matériaux à travers notamment leur loi de comportement, mais aussi à mener des études de fatigue, d'endommagement ou de rupture. Cette branche s'attache à étudier la complexité en prenant en compte la multi-physique.

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La partie «structures» de cet axe vise à étudier le comportement des structures et des systèmes mécaniques. Il peut s'agir, par exemple, d'études de vibrations non linéaires. Les problèmes de contact sont aussi traités au sein de ce pôle.

Figure 1.2 : Machine de traction

Axe ondes et imagerie :

Cet axe est chargé de l'étude des problèmes de vibroacoustique et de contrôle actif du bruit ainsi que de la propagation des ondes en milieu hétérogène. Les recherches concernent l'imagerie ultrason et sous-marine et les applications sont destinées aux domaines de la biologie et des transports.

Figure 1.3 : Scanner à ultrasons

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Axe son :

Cet axe traite les problèmes d'audition ainsi que des applications médicales. Des études portent sur la perception de la qualité sonore et la création et le contrôle des sons.

Figure 1.4 : Chambre anéchoïque

L'organigramme du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique figure en annexe 1.

Mon stage s'est déroulé au sein de l'équipe «Modélisation Mécanique du Contact». Les sujets de recherche abordent le contact avec frottement ainsi que le comportement des interfaces en mécanique des structures.

Ces informations sont issues de la référence [1] de la bibliographie.

1.3) Présentation des pneumatiques et de leur modélisation

1.3.1. Généralités sur les pneumatiques

Les pneumatiques sont apparus à la fin du XIXème siècle (1889) grâce à John Boyd Dunlop. Edouard Michelin les perfectionne ensuite en 1891 en inventant le pneu à chambre à air. La première voiture équipée de pneumatiques voit le jour en 1895. Depuis cette période, de multiples évolutions sont apparues pour apporter toujours plus de performances aux pneumatiques.

Structure des pneus :

Les pneumatiques sont structurés par couches. Ces couches contiennent des renforts qui viennent s'insérer dans la gomme pour garantir les propriétés mécaniques souhaitées pour le roulement. Deux grands types de structures existent :

– Plis croisés : Des nappes de tissus gommés forment des couches sur le pneu. Elles sont disposées avec des angles de moins de 90° par rapport à l'axe central de la bande de roulement,

– Plis avec structure radiale : Elle est composée de la même manière qu'avec des plis croisés avec des angles d'environ 90°. La stabilisation de la carcasse se fait par une ceinture circulaire quasi- inextensible.

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Figure 1.5 : Différentes couches de renforts sur un pneumatique d'avion

Une bande de roulement avec nervures circulaires assure une bonne motricité.

Figure 1.6 : Bande de roulement d'un pneumatique d'avion

Caractéristiques d'un pneu d'avion :

Pour un gros porteur, la structure des pneus est composée d'une carcasse conventionnelle renforcée par une carcasse radiale. Les pneus sont gonflés à 17 bars et chaque pneu subit une charge de 20 à 30 tonnes. La masse d'un pneu est d'environ 100 kg.

La surface en contact avec le sol pour un pneumatique est d'environ 191 cm2. Lors d'un atterrissage ou d'un décollage classique, la vitesse est comprise entre 250 et 300 km/h, et la roue fait un tour complet en approximativement 19 millisecondes. Enfin, lors d'atterrissage par vent latéral, le pneu peut subir un dérapage latéral puisque l'avion est obligé de se poser sans être aligné avec l'axe de la piste, « en crabe ». Des calculs de dérapage latéral du pneumatique sont d'ailleurs effectués afin d'étudier ce phénomène.

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La simulation en roulement pour le pneu a pour but de prédire les efforts latéraux, longitudinaux et les moments (auto-alignement notamment). Le moment d'auto-alignement est la capacité du pneu à revenir dans l'axe de la trajectoire lorsqu'il n'est plus sollicité.

1.3.2. Fabrication des pneumatiques

Un pneu se compose :

– d'une enveloppe interne en caoutchouc synthétique avec renforts, qui assure l'étanchéité,

– de tringles et renforts associés,– de flans et renforts latéraux pour maintenir la forme du pneu,– de tissus de fils tressés (nylon, acier, kevlar...) pour assurer la rigidité en flexion du

pneu,– d'une ceinture renforcée (tissus de fibres tressées) qui maintient la planéité de la bande

de roulement,– d'une bande de roulement qui assure l'adhérence par rapport au sol, la résistance à

l'usure et à l'abrasion et qui doit s'échauffer faiblement.

Figure 1.7 : Différentes couches d'un pneumatique

Le pneu est fabriqué par dépose des couches successives qui le composent. Une première mise en forme grossière est réalisée par soufflage après la pose des flans. La mise en forme finale se fait par vulcanisation. Cette opération consiste à chauffer le pneu dans un moule. Une pression interne est appliquée pour assurer la bonne géométrie du pneumatique (rainurage et indications notamment). Après vulcanisation, le pneu prend sa forme finale.

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1.3.3. Modélisation des pneumatiques

La gomme qui compose les pneus est un matériau thermo-visco-hyperélastique incompressible. Il s'agit en fait d'un élastomère vulcanisé qui se compose d'un grand nombre d'ingrédients mélangés (environ 80) qu'on appelle la formulation pour un caoutchouc. L'hypothèse des petites déformations ne peut pas s'appliquer au pneumatique du fait de sa composition en élastomère.

Actuellement, dans le milieu industriel, le comportement étudié est un comportement hyperélastique en grandes déformations.

Le comportement mécanique des pneus est défini par une déformabilité réversible, mais il faut noter que le retour à la forme initiale ne se fait qu'au bout d'un temps assez long. Le retard entre la contrainte et la déformation témoigne d'un phénomène d'hystérésis. Ce retard est lié à une perte d'énergie.

Les conditions aux limites du pneu sont définies par la jante d'un côté et par le sol de l'autre où interviennent les mécanismes de frottements.

Trois phénomènes permettent aux pneus de transmettre des efforts :

- face à un obstacle, le pneu se déforme mais le phénomène d'hystérésis engendre une déformation qui diffère de la déformation initiale d'où des contraintes dans le matériau qui génèrent une force qui s'oppose au glissement du pneu. Ce phénomène s'appelle l'indentation.

- un deuxième phénomène vient s'opposer au glissement, l'adhérence, qui apparaît suite aux interactions moléculaires entre le sol et le pneu (liaison de Van der Waals) ; l'étirement de la chaîne moléculaire d'élastomère génère des forces qui s'opposent au glissement.

- un troisième phénomène provient de la déformation élastique des 2 objets en contact, soit dans le cas qui nous intéresse, le pneu et la piste.

Le comportement du caoutchouc est généralement modélisé par une loi de type Mooney-Rivlin. Il faut cependant tenir compte du fait que celle-ci n'est valable que pour une déformation inférieure à 40 % du pneu. Au-delà, elle ne fournit plus de bons résultats. Les éléments de renforts (carcasse, ceinture, ...) peuvent être modélisés par des éléments de type REBAR (Reinforced Bar) dans Abaqus.

Le coefficient de frottement dépend de plusieurs variables :

– l'humidité,– les vibrations,– l'usure du pneumatique,– la charge de surface,– la pressions de contact,– la vitesse de glissement.

On peut noter que, pour un pneu usé, une variation de vitesse de roulement ou de température entraîne une variation plus sensible du coefficient de frottement que pour un pneu neuf.

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Pour déterminer le comportement d'un pneu, il est nécessaire d'identifier ses paramètres matériaux. En effet, les manufacturiers ne fournissent pas les données des matériaux composant les pneus. Pour cela, des éprouvettes sont réalisées et permettent de déterminer la loi de comportement du matériau (coefficients matériaux). Il faut néanmoins noter que la forme de l'éprouvette influe sur les résultats, il convient donc de faire des essais avec des éprouvettes normalisées. Les essais pouvant être réalisés sont des essais de traction simple, de compression isotrope, de traction biaxiale et de traction plane.

Différents modèles hyperélastiques peuvent être utilisés pour l'étude des pneumatiques :

Modèles dont la forme ne dépend que du premier invariant :

– Néo-Hookéen

– Yeoh

– Arruda-Boyce

Modèles dont la forme dépend de deux invariants :

– Mooney-Rivlin

– Van der Waals

avec

Modèles écrits à l'aide des élongations principales :

– Odgen

Pour des grandes déformations, supérieures à 50 %, le modèle de Yeoh est le meilleur tandis que, pour des déformations inférieures à 50 %, les modèles de Mooney-Rivlin ou Néeo-Hookéen seront préférés.

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Comportement thermique :

La thermique influence directement le comportement du pneu puisqu'elle entraîne des changements de ses propriétés mécaniques dus, par exemple, à une perte de gomme.

Pour étudier le comportement d'un pneu, on doit donc considérer une modélisation thermique des phénomènes. Une conduction thermique se produit à travers l'interface de contact si la température des deux surfaces est différente, et une dissipation d'énergie intervient par frottement. On notera que ce dernier phénomène est très difficile à modéliser.

On remarquera que la conduction de la chaleur est faible pour un pneu d'avion. En effet, une élévation de la température de 100 °C en surface entraîne une élévation de seulement 10 °C sur la paroi interne.

Modélisation du contact sol/pneu :

Pour modéliser ce contact, le modèle choisi est celui du contact implémenté dans Abaqus. La jante est de plus modélisée par une surface rigide pour laquelle il n'y a pas de glissement avec le pneu.

Deux types de modèles existent pour la bande de roulement, un modèle avec les rainures, et un modèle lisse, sans les rainures. Dans ce dernier cas, la bande de roulement est modélisée par une surface lisse car il est difficile de développer un maillage pour une forme complexe de pneu avec rainures par exemple, et un calcul avec ce niveau de détail représente un coût élevé en temps et en mémoire. Il faut néanmoins veiller à bien valider le modèle pour garantir la validité des résultats avec une modélisation ne prenant pas en compte certains détails.

En fait, selon ce que l'on souhaite étudier, la finesse de représentation aura une influence plus ou moins grande. Elle sera importante pour une étude locale et le sera moins pour une étude globale. C'est dans cette optique qu'un modèle avec rainures a aussi été développé. C'est d'ailleurs ce modèle que j'utiliserai dans le développement de ce rapport.

Etapes de calcul :

La première étape du calcul consiste à gonfler le pneu. On vient, dans la deuxième étape, charger le pneu par le poids de l'avion et placer le sol par rapport au pneu. Enfin, on simule dans un troisième temps le comportement du pneu en dérapage suivant différents angles.

Modèle éléments finis :

La modélisation est réalisée à partir d'une numérisation d'une section du pneu. Cette étape permet d'obtenir une section 2D de pneumatique.

Trois types de propriétés matériaux sont envisagés, un matériau élastique orthotrope, un matériau hyperélastique isotrope et un modèle avec REBAR (Reinforced Bar, modèle de renforts défini dans Abaqus).

Le maillage est obtenu manuellement du fait de la complexité des formes à mailler. La base est tout de même obtenue à partir du maillage automatique réalisé dans Abaqus. Le pneu 3D est ensuite obtenu par une révolution de la section 2D autour de l'axe du pneu.

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Pour ce stage, je me suis intéressé au modèle avec REBAR. Avec le modèle numérique utilisé actuellement par les équipes du LMA, la modélisation du dérapage latéral et surtout longitudinal ne correspond pas aux essais réalisés sur des pneumatiques réels. Un écart est présent et pourrait provenir de la façon de définir le renforcement du pneumatique. En effet, dans la modélisation actuelle, rien n'assure la continuité des fils de renforts à l'interface entre les éléments.

Les renforts sont en effet définis à partir de la section 2D de départ, qui est ensuite tournée automatiquement pour obtenir le pneumatique 3D. Dans chaque élément, les renforts sont donc définis de façon identique et ne sont donc pas nécessairement continus.

Définition actuelle

Définition souhaitée

Figure 1.8 : Schéma des définitions de renforts

C'est donc dans le but d'assurer la continuité des fils de renforts que j'ai créé un nouveau modèle de pneumatique, directement en 3D pour ensuite intervenir sur la définition des renforts dans chaque couche. On peut, en effet, définir le renforcement tranche par tranche et ainsi mieux le contrôler.

Je me suis appuyé sur les références [2], [3], [4] et [5] de la bibliographie pour découvrir ces différents aspects.

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II – ÉTUDE DES MODÈLES NUMÉRIQUES DE RENFORTS

2.1) Modélisation des renforts

Actuellement, les renforts dans les pneumatiques sont modélisés par des REBARS, qui sont des éléments ABAQUS dédiés au renforcement des matériaux composites. Cependant, la connaissance du fonctionnement de ce modèle est incomplète, il s'agit donc de simuler de façon académique le comportement des éléments composant un pneumatique afin de mieux en comprendre la définition et ainsi de pouvoir en tirer des conclusions pour la modélisation du pneumatique.

On veut notamment comparer le modèle avec REBARS à un modèle avec BEAMS et ainsi étudier les différences.

Le modèle 3D tel qu'il existe est composé de 2 fichiers :

– dans le premier, on définit les propriétés des REBARS ainsi que leur positionnement dans un plan 2D,

– dans le second, on effectue une rotation autour de l'axe de la roue pour obtenir un modèle 3D.

Dans le cadre de ce stage, un seul fichier est utilisé, le pneumatique est directement modélisé en 3D.

Pour étudier ces propriétés de façon simple, j'ai réalisé un modèle comportant un seul élément que j'ai ensuite divisé en 2. Les dimensions de cet élément sont de 4 cm en longueur par 4 cm en largeur et de 8 cm en hauteur. J'ai utilisé des matériaux élastiques pour simplifier l'étude. Un matériau représente la gomme, avec un module d'Young de 7.105 Pa et un coefficient de Poisson de 0,45. Un second matériau représente les renforts avec un module d'Young de 52,4.109 Pa et un coefficient de Poisson de 0,3. J'ai ensuite joué sur le nombre de REBARS et sur leur orientation selon les résultats que je souhaitais mettre en évidence.

L'objectif de ce travail est de comprendre la réponse d'un élément à différents chargements avec diverses configurations de renforts, et ainsi de préparer la modélisation du pneumatique complet.

2.2) Modélisation 3D

2.2.1. Etude des REBARS dans un élément

2.2.1.1. Etude en traction

Dans un premier temps, on place un REBAR dans un seul élément 3D afin d'en observer le comportement lorsqu'on lui applique une charge de traction.

Pour appliquer une charge, on crée un corps rigide muni d'un point de référence. On encastre ensuite ce plan avec la face chargée de l'élément et on y applique une force. La face opposée est encastrée.

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Figure 2.1 : Déformation d'un élément contenant un seul plan de REBARS

On observe une flexion de l'élément, ce qui ne permet pas d'étudier uniquement le phénomène de traction souhaité ni de comparer les différents résultats. Ce phénomène est dû au fait que, lors de la traction, le renfort, incliné avec un angle de 20°, aura tendance à se placer dans la direction de la traction. Par la suite, on adopte une modélisation des renforts symétriques pour éliminer au maximum les phénomènes parasites.

On modélise donc ce même élément avec deux plans de renforts symétriques par rapport au plan médian. Chaque plan de renfort contient 2 REBARS avec une inclinaison de 20° pour le premier et de -20° pour le second.

Figure 2.2 : Comparaison des déformations pour un et deux éléments

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Dans les deux cas de figure, on observe un allongement de l'élément sous l'effet de la traction. Dans le cas mono-élément, on ne peut constater le rétrécissement de l'interface entre les éléments car il n'y a pas de nœud au centre de l'arête et donc pas de degré de liberté.

On réalise enfin la modélisation des REBARS de façon à ce qu'ils soient seulement dans un élément, c'est-à-dire qu'ils ne traversent pas la frontière.

Figure 2.3 : Déformation pour des REBARS dans un élément sur deux

Dans ce cas, si on ne définit pas de REBARS dans un plan de renfort, Abaqus ne prend pas en compte ce plan dans la modélisation. L'élément est donc beaucoup plus souple.

2.2.1.2. Etude en flexion

On modélise, par la suite, la flexion de l'élément en appliquant une force orientée vers le bas au point de référence comme le montre la figure suivante.

Figure 2.4 : Comparaison de la déformation pour un et deux éléments

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On observe ici une déformée différente pour chacun des cas. Dans le cas mono-élément, la face chargée fléchit et, dans le cas bi-éléments, on observe à la fois une flexion et une forte déformation de l'interface.

La flèche est aussi plus grande dans le cas mono-élément car il n'y a pas de dissipation des efforts au niveau de la frontière entre les éléments.

2.2.2. Etude des BEAMS dans un élément en traction

Il importe d'étudier le comportement en traction d'un ou deux éléments lorsque les renforts sont modélisés comme des poutres. Pour ce faire, on modélise un élément dans lequel on place une BEAM. Comme expliqué précédemment pour les REBARS, afin de ne pas avoir de déformation parasite et de pouvoir comparer les résultats, on place les renforts de façon symétrique dans l'élément.

Figure 2.5 : Comparaison de la déformation pour un et deux éléments

Du fait du nœud central de jonction entre les éléments, on introduit un degré de liberté supplémentaire sur l'arête, on n'observe donc pas la même déformée dans les 2 cas.

On constate ici un allongement pur de l'élément dans le cas mono-élément, et un allongement accompagné d'un rétrécissement à la liaison entre les 2 éléments dans le cas bi-éléments.

L'allongement est plus grand dans le second cas du fait du rétrécissement à la jonction entre les éléments.

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2.2.3. Tableau comparatif REBAR/BEAM

Pour comparer les 2 types de modèles, on s'appuie sur la traction. Dans ce cas, il est en effet plus aisé de mesurer des déplacements et ainsi de comparer rapidement les données.

Il faut, de plus, faire attention à comparer les modèles contenant le même nombre d'éléments entre eux et non comparer un modèle avec un seul élément à un modèle contenant deux éléments.

Coin sup. face chargée

en x

Coin sup. face chargée

en y

Coin sup. face chargée

en z

Noeud central face

sup. en x

Noeud central face

sup. en y

Noeud central face

sup. en z1 élément, 4 rebars

0 0 3.73 / / /

1 élément, 4 beams

0 0 5.97 / / /

2 éléments, 4 rebars

0 0 3.74 -2.71 -5.88 3.49

2 éléments, 4 beams

0 0 10.15 0.98 -11.41 5.73

Toutes les grandeurs sont exprimées en mm.

On peut d'abord noter que le modèle avec REBAR est plus rigide que le modèle avec BEAM, il y a en effet un allongement plus important dans le second cas.

Les modèles ne sont pas en tout cas équivalents.

2.2.4. Conclusion et perpectives

On observe que chaque façon de modéliser les renforts traduit un comportement différent de l'élément. Il convient donc de prendre garde à modéliser les renforts de la façon la plus appropriée au regard de ce que l'on souhaite étudier.

La suite de l'étude consiste à essayer de modéliser les renforts de façon différente. En effet, dans le modèle actuel, on ne contrôle pas les points d'arrivée et de départ des fils de renforts. Cela peut induire des discontinuités des renforts dans la modélisation alors qu'ils sont bien sûr continus dans le pneumatique réel. Au premier abord, avec l'utilisation des REBARS, il semble difficile de contrôler ce phénomène car ils sont définis dans des plans et non avec un point de départ et un point d'arrivée. Une hypothèse pourrait donc être de modéliser les renforts par des poutres définies par un point de départ et un point d'arrivée.

Cependant, modéliser les renforts par des poutres et non des REBARS n'entraîne pas les mêmes résultats. Il ne paraît donc pas judicieux d'utiliser un modèle de poutre bien que plus explicite à mettre en place pour modéliser le pneumatique.

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Le problème auquel j'ai été confronté par la suite a donc été de connaître les coordonnées exactes des nœuds de départ et d'arrivée des renforts et de pouvoir les implémenter dans le modèle contenant des REBARS.

2.3) Premières observations

Dans cette partie, quelques résultats simples permettant de mettre en évidence les propriétés des éléments renforcés vont être vérifiés.

2.3.1. Vérification de l'influence de l'orientation des renforts

Dans un premier temps, l'étude va porter sur l'influence de l'orientation des renforts sur la rigidité en traction de deux éléments.

Dans le premier élément, les renforts sont placés avec des angles de +/-20 ° dans tous les essais. Dans le second, trois configurations sont testées :

– des angles de base de +/- 20 °– des angles plus petits de +/- 15 °– des angles plus grands de +/- 25 °

Les plans de renforts sont placés de façon continue entre les 2 éléments.

Figure 2.6 : Modèle d'étude

Pour comparer les modèles, on choisit d'étudier le déplacement du point situé au centre de la face chargée qui est celle au premier plan sur la figure 2.6.

Angles +/- 20 ° Angles +/- 15 ° Angles +/- 25 °Déplacement (mm) 6.37 5.72 7.39

La première conclusion qui se dégage est donc que plus on augmente l'angle d'orientation des renforts, plus l'élément sera souple dans la direction de traction considérée.

Au contraire, si les angles se rapprochent de 0, l'allongement de l'élément sera moindre, il sera donc plus rigide dans la direction de traction considérée.

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2.3.2. Vérification de l'influence de l'espacement des renforts

Il est procédé, dans un second temps, à l'étude de l'influence de l'espacement entre les renforts sur la rigidité en traction de 2 éléments, en considérant le même modèle que celui étudié précédemment. Ici, les renforts sont placés avec un angle de +/-20 ° et on fait varier l'espacement :

– espacement de base– espacement de base moins 20 %– espacement de base plus 20 %.

Pour comparer les modèles, on choisit d'étudier le déplacement du point situé au centre de la face chargée qui est celle au premier plan sur la figure 2.6.

Espacement de base Espacement +20 % Espacement -20 %Déplacement (mm) 6.37 6.98 5.76

La conclusion est que plus on diminue l'espacement, plus l'élément est rigide. En effet, diminuer l'espacement revient à augmenter le nombre de fils à l'intérieur de l'élément. Celui-ci sera donc plus renforcé, et donc plus rigide.

Lors de cette phase de découverte, les références [6] et [7] m'ont été d'une aide précieuse.

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III – VALIDATION EXPÉRIMENTALE

3.1) Présentation des essais

Afin de valider une hypothèse de calcul utilisée pour le modèle 3D du pneumatique, j'ai réalisé des essais en flexion 3 points sur une éprouvette de gomme prélevée sur un pneumatique. J'ai par la suite modélisé cette même éprouvette sur Abaqus pour démontrer l'hypothèse faite plus loin sur l'espacement des renforts et ainsi décider ou non de son usage.

3.2) Réalisation

Pour réaliser ces essais, je me suis servi d'un banc de flexion adapté à la taille des éprouvettes. J'ai exercé une force sur l'éprouvette et j'ai ensuite mesuré le déplacement de son centre.

Figure 3.1 : Dispositif expérimental

Pour donner plus de valeur aux résultats, j'ai effectué des essais sur 4 éprouvettes différentes mais ayant été découpées dans la même couche de pneumatique.

Figure 3.2 : Lot d'éprouvettes

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Afin de pouvoir comparer plusieurs valeurs de déplacement, j'ai effectué les essais en appliquant différents poids sur l'éprouvette.

Masse (g) 30 50 80 100 200Poids (N) 0.2943 0.4905 0.7848 0.981 1.962

Au total, j'ai donc réalisé 20 essais de flexion pour obtenir des résultats fiables.

De la même manière, j'ai mesuré les dimensions de l'ensemble des éprouvettes que j'ai ensuite moyennées afin d'obtenir une éprouvette type que je pouvais modéliser sous Abaqus.

Les résultats de ces essais sont disponibles en annexe 2.

3.3) Analyse des résultats et comparaison avec le calcul

L'étape suivante a consisté à la modélisation d'une éprouvette du même type que celle de l'essai sous Abaqus pour pouvoir comparer les résultats et ainsi valider l'hypothèse sur l'espacement des renforts.

J'ai donc réalisé l'éprouvette aux bonnes dimensions que j'ai ensuite maillé avec 12*4 éléments.

Figure 3.3 : Eprouvette modélisée sous Abaqus et résultat du calcul

Pour chaque valeur de la force, j'ai effectué un calcul sur l'éprouvette. J'ai ensuite modifié la définition des renforts dans cette éprouvette de façon à ce que le nombre de renforts dans chaque élément corresponde à la réalité de la gomme. J'ai ainsi augmenté l'espacement pour que moins de fils ne soient modélisés dans les éléments qui en contiennent moins. On peut voir sur le graphique suivant la comparaison des résultats (les valeurs numériques sont disponibles en annexe 2).

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Figure 3.4 : Graphique comparatif des résultats

Dans le cas de calcul de base, on retrouve la même tendance que pour les essais expérimentaux avec toutefois un écart. Dans le cas où l'espacement est modifié, on peut observer que cet écart diminue, ce qui laisse croire à la validité de l'hypothèse. Même si un écart persiste, on approche mieux la courbe expérimentale, démarche qui est souhaitée sur le pneumatique.

Même si un écart persiste, il est minime, et l'hypothèse faite ici ne permet pas de respecter la définition exacte des fils mais seulement de s'en approcher.

3.4) Essais thermiques

Durant mon stage, j'ai procédé à des essais thermiques sur des pneumatiques en collaboration avec un autre stagiaire, chargé de travailler sur le comportement thermique des pneumatiques. Pour des raisons de sécurité, les manipulations doivent se faire à plusieurs, nous avons donc réalisé ces essais thermiques ensemble.

Le but de ces essais était de comprendre le comportement du pneumatique lorsque celui- ci est chauffé.

3.4.1. Dispositif expérimental

Les essais consistaient à chauffer une tranche de pneumatique à l'aide d'une décapeuse thermique, celle utilisée est un modèle de type STEINEL HG 2310 LCD permettant une température de chauffage comprise entre 50 °C et 500 °C. Deux capteurs de températures, reliés à un ordinateur ont permis de relever la valeur de la température en deux points du pneumatique. Ces appareils sont des capteurs infrarouges Optris CT. Ils réalisent une mesure toutes les millisecondes, ce qui permet d'avoir un suivi de la température en temps réel. A l'aide de pistolets thermiques, nous avons pu également mesurer, de façon ponctuelle, la température à différents endroits de la gomme.

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Plusieurs paramètres sont à prendre en compte pour réaliser cette manipulation. Il faut choisir la température à laquelle on chauffe la gomme, le temps de chauffe et la distance de chauffe.

Pour ce faire, nous avons au préalable réalisé différents tests d'étalonnage. Il en ressort que si la distance de chauffe est trop importante (≥ 4 cm), on ne chauffe pas une partie significative de la gomme et on ne peut rien en conclure en exploitant les résultats. Nous avons donc choisi une distance de 2 à 4 cm pour procéder aux essais.

Pour ce qui est de la température de chauffe, le but est de reproduire autant que possible les conditions dans lesquelles sont réalisés les essais réels sur des pneumatiques roulant sur piste. Pour cela, nous avons chauffé dans des gammes de températures comprises entre 60 et 150 °C. Si la température est inférieure à 60 °C, on peine à voir une tendance se dégager, et si elle est supérieure à 150 °C, le risque de brûler la gomme augmente.

Enfin, pour ce qui est du temps de chauffe, il faut laisser le temps aux mécanismes thermiques internes au pneumatique de se mettre en place. Pour cela, nous avons dû chauffer le pneumatique sur des durées comprises entre 30 secondes à 5 minutes.

Figure 3.5 : Photos du dispositif expérimental

3.4.2. Résultats des tests

Trois essais ont été retenus, avec différentes conditions expérimentales.

Numéro Température Distance Temps de chauffe Conditions expérimentales

1 150 °C 4 cm 30 s Capteurs de températures sur la gomme de roulement et dans une rainure

2 60 °C 2 cm 5 min Capteurs de températures à l'intérieur de la gomme, en son centre et dans une rainureet mesure externe avec pistolet thermique

3 100 °C 2 cm 5 min Capteurs de températures à l'intérieur de la gomme, en son centre et dans une rainureet mesure externe avec pistolet thermique

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Figure 3.6 : Courbes de l'essai 1

Figure 3.7 : Courbes de l'essai 2

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Figure 3.8 : Courbes de l'essai 3

3.4.3. Analyse des résultats

Lors du premier essai, on observe une évolution similaire entre la température de la bande de roulement et celle de la rainure. On remarque néanmoins que la température maximale dans la rainure est moins élevée que celle de la bande de roulement. Ce résultat est cohérent puisque l'on chauffe directement la bande de roulement et que la rainure est plus éloignée de la zone de chauffage.

La première conclusion que l'on peut faire est que, lorsque l'on chauffe la bande de roulement avec la décapeuse, l'air chaud se propage autour du pneumatique et vient chauffer la gomme au niveau de la rainure.

Lors du second essai, les capteurs infrarouges sont placés à l'intérieur de la gomme. Une protection métallique est, de plus, mise en place au niveau de la zone de chauffage pour éviter le phénomène observé lors du premier essai.

On observe alors que la bande de roulement s'échauffe puis refroidit de façon plus rapide que la rainure. Celle-ci a tendance à garder la même température après que la source de chaleur ait été arrêtée.

Les mesures des points effectuées avec les pistolets thermiques en surface permettent de déduire que l'intérieur de la gomme garde la chaleur plus longtemps puisque les températures chutent moins vite dans la gomme qu'en surface.

Afin de valider ce second essai, nous en avons réalisé un troisième avec le même dispositif expérimental, en élevant la température de la décapeuse de 40 °C.

La gomme est donc le lieu d'un phénomène de diffusion thermique. Pour cette raison, on observe un échauffement de la rainure par diffusion de la chaleur apportée au niveau de la bande de roulement.

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IV – MODÉLISATION DU PNEUMATIQUE AVEC DIFFÉRENTS TYPES DE RENFORTS

4.1) Réalisation du maillage 3D sans renforts

4.1.1. Objectifs de l'étude

L'objectif de cette partie est d'adopter un nouveau modèle pour le pneumatique entier dans le but de modéliser les renforts différemment, et notamment d'essayer de contrôler la continuité des fils. Avec un modèle axisymétrique, comme celui utilisé jusqu'à présent, ce contrôle n'est pas possible car on part d'une tranche 2D que l'on fait tourner par symétrie de révolution pour obtenir le pneumatique. Il faut donc directement réaliser un maillage 3D en partant d'une tranche 2D de pneumatique.

Pour ce faire, on réalise d'abord un maillage 3D du pneumatique en oubliant totalement les renforts. Il ne reste en fait que les parties de gomme et les attaches en acier.

Figure 4.1 : Tranche de pneumatique 2D

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J'ai utilisé un programme python, que j'ai construit, pour obtenir un modèle 3D. Pour comprendre la modélisation, je vais préalablement expliquer le fonctionnement du programme.

4.1.2. Calcul des nouvelles coordonnées

Le point de départ est une tranche 2D qui a déjà été maillée. On connaît donc les nœuds et les éléments qui la composent. Le but de cette manipulation est de créer 51 éléments délimités par des plans identiques au premier et tournés de 360/51 degrés.

J'ai pu récupérer directement les coordonnées du maillage dans un fichier de calcul, mais il me semble intéressant de rappeler la méthode permettant d'obtenir ces coordonnées. En effet, les fabricants de pneumatiques ne communiquent pas de données concernant leur production, il faut donc utiliser une méthode de mesure puis de numérisation des points. La méthode utilisée par le laboratoire consiste à numériser une tranche 2D de pneu posée bien à la perpendiculaire de la surface de numérisation. L'image est ensuite traitée à l'aide d'un script Matlab qui contient un programme de vectorisation et qui réalise une interpolation polynomiale. Un script python est ensuite utilisé pour générer l'ensemble des points. On obtient ainsi un fichier contenant les coordonnées planes d'une tranche de pneumatique.

La première étape consiste donc à créer une fonction, que j'ai appelé translate et qui permet de calculer les coordonnées des nœuds sur chaque nouvelle tranche 2D après rotation. On utilise pour cela l'équation paramétrique d'un cercle.

Figure 4.2 : Fonction de calcul des nouvelles coordonnées

La deuxième étape consiste en la création d'une première matrice contenant les numéros des nœuds ainsi que leurs coordonnées, une seconde contenant les numéros des éléments quadrangulaires et les numéros des nœuds de chaque élément, et enfin, une troisième contenant les numéros des éléments triangulaires et les numéros des nœuds de chaque élément.

Une fois cette définition réalisée, il convient ensuite de calculer les nouvelles coordonnées de chaque nœud sur le plan suivant. Lorsque ce calcul est exécuté, il faut de nouveau remplir les mêmes matrices que précédemment avec les nouvelles coordonnées, les nouveaux numéros de nœuds et les nouveaux numéros d'éléments.

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A l'aide des six matrices ainsi définies, on peut maintenant construire les éléments 3D en leur affectant les numéros de nœuds correspondants. On notera qu'il faut prendre des précautions pour respecter la numérotation des nœuds dans chaque élément telle qu'elle est définie dans Abaqus.

Les plans suivants sont calculés à l'aide d'une boucle en incrémentant l'angle de 360/51 degrés à chaque itération.

Il reste enfin à écrire ces informations dans un fichier d'entrée Abaqus pour visualiser le pneumatique en 3D et réaliser, par la suite, des calculs mécaniques. Un premier fichier contient les numéros de l'ensemble des nœuds sur la première colonne ainsi que leurs coordonnées sur les 3 colonnes qui suivent. Un second fichier contient les numéros des éléments à 8 nœuds ainsi que les numéros des nœuds qui les composent. Enfin, un dernier fichier contient les numéros des éléments à 6 nœuds ainsi que les numéros des nœuds associés.

Le programme de calcul des coordonnées est disponible en annexe 3.

4.1.3. Calcul Abaqus

Dès lors que l'on connaît ces 3 fichiers, on peut les définir comme une entrée d'un fichier .inp Abaqus et lancer un premier calcul pour obtenir une modélisation 3D.

Figure 4.3 : Maillage 3D du pneumatique

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Ensuite, il convient de définir les surfaces de gonflage et de contact avec le sol dans Abaqus. Pour cela, j'ai repéré ces surfaces sur la tranche 2D dans le calcul qui avait déjà été réalisé. J'ai ensuite généré une liste contenant toutes les surfaces concernées pour le modèle volumique. J'ai fait de même pour les nœuds qui composent la liaison entre la gomme et la jante.

Il faut également attribuer à chaque élément du pneumatique le matériau qui le compose. Cette répartition est telle que celle décrite en annexe 4.

Le modèle utilisé ici prend en compte les rainures et, lors de l'écrasement du pneu sur la piste, un auto contact peut se produire à ce niveau. Pour le modéliser, je me suis appuyé sur le travail qui avait déjà été effectué au préalable par l'équipe du laboratoire.

Enfin, la dernière étape de cette mise en place du nouveau modèle consiste à implémenter les étapes de calcul dans Abaqus :

– le gonflement du pneumatique : on applique une pression sur la surface interne du modèle

– la création et le positionnement de la piste : la piste est modélisée comme un corps rigide ; on impose un déplacement de la piste pour que celle-ci soit en contact avec le pneumatique

– le chargement du pneumatique sur la piste : on impose une force sur le pneumatique correspondant au poids de l'avion sur une roue

Figure 4.4 : Préparation du pneumatique pour le calcul en dérapage

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4.2) Définition des renforts

4.2.1. Problématique

Une des difficultés de la modélisation des renforts réside dans le fait que leur définition dans Abaqus n'est pas claire. En effet, des paramètres sont pris en entrée, mais il est impossible d'observer la définition du renfort dans le logiciel, à la suite du calcul. On ne contrôle pas leur définition dans le modèle utilisé actuellement. Une mauvaise définition peut donc conduire à une modification de la rigidité structurelle par exemple, si les renforts ne sont pas continus à travers les éléments.

C'est donc dans ce but que je me suis intéressé à la modélisation de ces renforts dans le pneumatique. L'objectif est de définir différemment les renforts, en s'assurant de leur continuité entre les éléments. Le schéma suivant illustre de façon claire la problématique.

Définition actuelle

Définition souhaitée

Figure 4.5 : Schéma de définition des renforts

On veut, en fait, que les renforts soient définis de façon continue à la traversée de 2 éléments, tandis que la définition actuelle semble définir 2 renforts identiques dans 2 éléments successifs.

4.2.2. Définition des plans de renforts

Dans Abaqus, il faut d'abord définir un plan qui contient les REBARS dans l'élément. Pour définir l'ensemble des plans sur l'intégralité du pneumatique, j'ai repris le travail effectué dans la partie précédente afin de calculer les coordonnées des nœuds formant les plans de renforts et de construire ces plans.

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Figure 4.6 : Tranche de pneumatique avec plans renforts

Une fois définis les plans dans le modèle 3D, il convient encore de définir les REBARS avec la bonne géométrie. Cette partie du travail a été la plus difficile compte tenu de la difficulté de modélisation des REBARS dans Abaqus.

4.2.3. Modélisation des renforts

L'enjeu est de comprendre comment sont placés les REBARS dans un plan donné. Il faut en effet connaître le point de départ des renforts ainsi que l'angle avec lequel ils sont orientés.

Tout d'abord, il m'a été nécessaire de définir un repère pour chaque plan contenant des renforts. Sans cela, le calcul de gonflage du pneumatique donne une déformée qui n'est pas symétrique, et qui n'est donc pas admissible pour mon étude. Contrairement au cas d'une modélisation axisymétrique, où l'orientation des REBARS par défaut donne un résultat correct, dans le cas 3D, il faut définir un repère pour obtenir un pneumatique gonflé de forme circulaire.

J'ai, par la suite, défini le renforcement de façon indépendante sur chaque tranche (solution qui n'est possible qu'avec le modèle 3D, d'où son intérêt) dans le but d'améliorer la modélisation des fils de renforts.

4.3) Etude des résultats

4.3.1. Validation du modèle

Afin de valider le nouveau modèle d'étude, j'ai dû le comparer à un modèle de pneumatique déjà existant. J'ai donc défini un modèle comprenant les mêmes définitions de renforts et les mêmes caractéristiques que les modèles actuellement utilisés par l'équipe du laboratoire.

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4.3.1.1. Validation statique

J'ai cherché, dans cette partie, à comparer le modèle axisymétrique, qui fait office de référence, au modèle issu du programme python lors de la phase de chargement du pneumatique, c'est-à-dire le gonflement et la mise en place sur la piste.

J'ai ainsi comparé deux grandeurs, l'écrasement du pneumatique et la déflexion au niveau des flancs.

Figure 4.7 : Mesure de la déflexion latérale et de l'écrasement

Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

Modèle axisymétrique Modèle 3DEcrasement (cm) 8.70 8.80Déflexion latérale (cm) 8.27 8.27

Au vu des résultats, on peut valider la création du modèle 3D.

4.3.1.2. Calcul de dérapage

La première difficulté que j'ai rencontrée avec le dérapage latéral et longitudinal est le temps de calcul très long pour obtenir les résultats de dérapage du pneumatique, à tel point qu'avec mon premier modèle, je n'ai jamais pu atteindre la fin du calcul.

La solution a consisté à modifier la gestion du contact entre la gomme et le sol. En effet, dans la première définition du contact, la bande de roulement est considérée comme une surface de contact sur 360°. Lors du calcul, le contact est donc étudié sur tout le pneumatique alors que seulement la partie basse est en contact avec le sol. J'ai donc réduit la surface de contact à son minimum, en ne définissant que la partie inférieure de la gomme, avec une marge de 5 % de chaque coté pour ne pas risquer une définition erronée. Cette différence s'observe sur la figure suivante :

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Figure 4.8 : Définition de la surface de contact

J'ai ensuite procédé de la même manière pour définir les surfaces d'auto-contact dans les rainures en sélectionnant les mêmes éléments.

Dans le même temps, j'ai apporté une nouvelle modification permettant de réduire le temps de calcul en modifiant la définition de l'auto-contact. Cette nouvelle définition est celle utilisée par l'équipe du laboratoire et permet, selon elle, une meilleure gestion de ce phénomène.

Alors qu'auparavant, l'auto-contact était défini entre les deux surfaces latérales de la rainure, il est maintenant défini entre toute la surface de la rainure et elle-même (y compris le fond). La figure 4.9 permet une meilleure compréhension de la définition.

Auto-contact de base Nouvel auto-contact

Figure 4.9 : Définition de l'auto-contact

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Suite à ces modifications, j'ai pu obtenir les résultats du calcul en dérapage de mon modèle et ainsi le comparer aux autres modèles existants. Les données de comparaison proviennent :

– du manufacturier,– d'essais expérimentaux (Centre d'Essais Aéronautiques de Toulouse qui fait référence),– du modèle développé à partir d'une thèse réalisée au sein du LMA.

Figure 4.10 : Graphe comparatif des modèles en dérapage latéral

On peut observer, sur la figure suivante, le profil du pneumatique lors d'un dérapage latéral.

Figure 4.11 : Profil du pneumatique en dérapage latéral

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-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Dérapage latéralForce latérale en fonction du déplacement

Essais expérimentaux3D Stage2D axiManufacturier

Déplacement (m)

Forc

e (N

)

Figure 4.12 : Graphe comparatif des modèles en dérapage longitudinal

On peut voir la déformation des éléments en contact avec la piste lors d'un dérapage longitudinal sur la figure suivante.

Figure 4.13 : Eléments déformés en dérapage longitudinal

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-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Dérapage longitudinalForce longitudinale en fonction du déplacement

2D axi3D StageManufacturierEssais expérimentaux

Déplacement (m)

Forc

e lo

ngitu

dina

le (N

)

4.3.2. Influence de l'orientation des renforts

Toujours dans le but de s'assurer que le nouveau modèle donne des résultats corrects et pour étudier ses propriétés, j'ai, par la suite, cherché à étudier l'influence de l'orientation des renforts. La problématique réside dans le fait de savoir quelle est l'influence d'une variation de plus ou moins 10 % des angles sur le comportement du pneumatique. Seules deux couches de renforts ont été considérées ici, la couche de renforts en nylon et la couche de renforts appelée « carcass ».

Les calculs ont été lancés pour deux types de dérapage, longitudinal et latéral. Les angles utilisés sont répertoriés dans le tableau suivant :

Variation de - 10% Variation de + 10%Carcass +/- (α-10%) +/- (α+10%)Ceint +/- (β-10%) +/- (β+10%)

Ensuite, j'ai superposé les courbes représentant la force latérale et la force longitudinale en fonction du déplacement obtenu à la suite des différents calculs.

Figure 4.14 : Influence des variations d'angles en dérapage latéral

44

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Influence des variations d'angleForce latérale en fonction du déplacement

3D3D axisymétriqueCarcass -10%Carcass +10%Ceint -10%Ceint +10%

Déplacement (m)

Forc

e la

téra

le (N

)

Figure 4.15 : Influence des variations d'angles en dérapage longitudinal

On peut remarquer ici que les angles influencent la rigidité du pneumatique de façon plus ou moins significative. En effet, leur variation semble avoir un impact plus important sur la rigidité latérale que sur la rigidité longitudinale.

Ces calculs permettent de s'assurer que l'angle d'orientation des renforts joue bien un rôle direct dans la rigidité du pneumatique. C'est donc un paramètre qui va influencer directement les résultats du calcul de dérapage.

4.3.3. Influence de l'espacement des renforts

Comme on l'a vu précédemment, on souhaite travailler sur la définition géométrique des renforts de façon à assurer leur continuité dans le modèle numérique. Cependant, la modélisation de ces renforts dans Abaqus ne permet pas de contrôler le point de départ des fils de renforts dans chaque élément.

En effet, lors du calcul, le plan de renforts est considéré homogène et les fils ne sont pas pris en compte explicitement. Selon les paramètres que l'on donne, le plan va plus ou moins modifier la rigidité de l'élément dans lequel il se trouve imbriqué. On ne peut donc pas modifier clairement la définition géométrique des REBARS (cf. annexe 5 pour un extrait de la documentation Abaqus et référence [8]).

Afin de modéliser le plus fidèlement possible les renforts, je me suis en revanche attaché, dans un premier temps, à vérifier le nombre de fils dans le pneumatique réel pour chacune des 51 tranches et, dans un deuxième temps, à faire varier l'espacement en fonction de cette donnée, pour garantir que le modèle numérique contient bien le bon nombre de renforts dans chaque élément.

45

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,160

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Influence des variations d'angleForce longitudinale en fonction du déplacement

3D3D axisymétriqueCeint -10%Ceint +10%Carcass -10%Carcass +10%

Déplacement (m)

Forc

e lo

ngitu

dina

le (N

)

D'une tranche à l'autre, le nombre de renforts peut varier. En effet, si l'espacement n'est pas un multiple de la longueur de l'élément, un décalage va apparaître dans l'élément qui lui est adjacent. Ce décalage peut se reporter sur l'élément suivant et ainsi de suite. Si la valeur de ce décalage dépasse l'espacement entre les renforts, le nombre de renforts dans l'élément va changer. Ce phénomène est illustré sur la figure 4.16. Dans le premier élément, pour un espacement donné, on aura 4 renforts. Avec ce même espacement, il n'y en aura que 3 dans le suivant si on suit la géométrie du pneumatique réel.

Figure 4.16 : Schéma explicatif du nombre de renforts par élément

Cependant, dans le modèle numérique utilisé actuellement dans le laboratoire, la définition des renforts est la même dans tous les éléments, ce qui signifie que 4 renforts seront présents dans le second élément, comme dans le premier. Cela modifie ainsi la rigidité du pneumatique dans le modèle numérique par rapport au pneumatique réel.

Pour corriger ce problème, la solution envisagée est d'augmenter l'espacement dans le second élément dans le modèle numérique, de façon à n'avoir que 3 renforts.

Pour traduire ce phénomène dans Abaqus, j'ai modifié la valeur de l'espacement dans les éléments en fonction du nombre de fils qu'il contient, sur chacune des 51 tranches. J'ai ainsi pu réaliser un nouveau modèle et lancer des calculs de dérapage pour le comparer aux précédents.

Les résultats des calculs latéral et longitudinal sont les suivants :

Figure 4.17 : Influence de la variation de l'espacement sur le dérapage latéral

46

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Dérapage latéralForce latérale en fonction du déplacement

3D espacement modifiéEssais expérimentaux3D3D axisymétrique

Déplacement (m)

Forc

e la

téra

le (N

)

Figure 4.18 : Influence de la variation de l'espacement sur le dérapage longitudinal

La variation de l'espacement au sein du modèle de pneumatique joue bien un rôle direct sur la rigidité en dérapage du pneumatique. Dans l'étude de ce modèle, l'objectif est de le faire correspondre aux données expérimentales de référence, pour avoir un modèle le plus fidèle possible à la réalité.

On peut voir que le nouveau modèle avec espacement modifié se rapproche légèrement de la courbe expérimentale en longitudinal. En latéral, le nouveau modèle s'écarte légèrement des valeurs expérimentales.

En conclusion de ces calculs, on peut dire qu'il n'est toujours pas possible de modéliser les non-linéarités correspondant au dérapage longitudinal, bien que l'on s'en approche, et qu'en revanche, le dérapage latéral peut être modélisé de façon convaincante.

La suite consisterait donc à optimiser un paramètre permettant de faire correspondre les modèles dans les 2 types de dérapage. Il semble cependant que cette problématique soit un sujet de travail de longue date pour l'équipe du laboratoire et qui n'a pas encore été résolue. En effet, des phénomènes fortement non-linéaires interviennent lors de cette modélisation et leur prise en compte est délicate.

Concernant le dérapage longitudinal, la modélisation du glissement entre la jante et la gomme n'est pas prise en compte dans le modèle numérique. Il semble en revanche que ce phénomène soit apparu lors des essais expérimentaux. Modéliser ce contact dans le modèle numérique serait une solution pour savoir quel rôle joue ce frottement dans le comportement du pneumatique.

47

-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Dérapage longitudinalForce longitudinale en fonction du déplacement

3DEssais expérimentaux3D espacement modifié3D axisymétrique

Déplacement (m)

Forc

e lo

ngitu

dina

le (N

)

CONCLUSION

L'objectif de ce stage consistait à modéliser, d'une façon différente de celle déjà existante, les renforts dans les pneumatiques d'avions.

Le travail réalisé a permis d'obtenir un nouveau modèle 3D de pneumatique sur lequel il est possible de faire varier les paramètres de définition des renforts, principe qui n'était pas possible avec un modèle 2D axisymétrique.

Tout au long de ce stage, mes réflexions ont porté sur la façon de définir le renforcement d'un pneumatique et les méthodes pour y parvenir sachant qu'elles sont complexes à mettre en œuvre. Malgré ces paramètres, j'ai pu obtenir un nouveau modèle du pneumatique permettant d'exploiter, de façon plus précise, les spécificités de définition des renforts, et plus particulièrement leur définition géométrique au sein des éléments finis.

Parallèlement, une partie expérimentale a été réalisée afin de venir en aide au second stagiaire présent dans l'équipe. Bien que les essais effectués n'aient eu aucun lien avec le sujet de mon étude, j'ai trouvé enrichissant de pouvoir manipuler sur une tranche de pneumatique pour comprendre son comportement, et ainsi montrer les phénomènes de diffusion thermique au sein de la gomme. J'ai, par la suite, moi-même effectué des essais de flexion afin de valider une nouvelle hypothèse de modélisation des renforts.

Les résultats obtenus par simulation numérique montrent une très grande sensibilité des réponses du pneumatique à la définition des renforts. Ceux-ci jouent, en effet, un rôle prépondérant dans le comportement mécanique du pneumatique. Faire varier leur espacement pour représenter le bon nombre de fils dans chaque élément semble être une hypothèse plausible car elle donne des résultats qui s'approchent des essais réels, mais il apparaît tout de même que cette seule modification ne permet pas de faire correspondre les résultats numériques et expérimentaux.

Modéliser les renforts d'une autre façon ou ajuster un autre paramètre de définition du pneumatique paraît être indispensable pour obtenir une modélisation qui soit au plus proche de la réalité des essais.

Sur le plan personnel, ce stage au sein de l'équipe du LMA m'a permis de poursuivre ma formation dans la continuité des enseignements dispensés à l'école. J'ai notamment appris de nouvelles méthodes de travail propres à la recherche qui nécessitent patience et rigueur, qualités indispensables au bon déroulement du travail.

Sur le plan technique, le logiciel Abaqus m'est maintenant beaucoup plus familier, j'ai notamment appris à l'utiliser à partir de lignes de commandes et non plus avec l'interface graphique. Cela me semble être un atout majeur si je dois utiliser un autre logiciel dans le cadre de mon futur emploi.

Bien que ne souhaitant pas travailler dans la recherche à la suite de mon cursus scolaire, ce stage a été l'occasion d'approfondir mes connaissances dans le domaine de la mécanique des matériaux et des structures et m'a conforté dans le choix de débuter ma carrière dans ce secteur d'activité.

48

BIBLIOGRAPHIE

Référence [1] : Site Internet du LMAhttp://www.lma.cnrs-mrs.fr

Référence [2] : Ange KONGO KONDE, Thèse Modélisation du roulement d'un pneumatique d'avion, Université de Provence, janvier 2011

Référence [3] : GOODYEAR, Aircraft Manualhttp://www.goodyearaviation.com/ressources/pdf/aircraftmanual.pdf

Référence [4] : Raluca MOISESCU, Gheorghe FRATILA, Finite element model of radial truck tyre for analysis of tyre – road contact stress, mars 2011

Référence [5] : Ivan KOVAC, Jan KRMELA, Finite Element analysis of automobile tire, décembre 2012

Référence [6] : Ecole des Mines d'Albi, Manuel simplifié Abaqus, décembre 1999http://www.perso.mines-albi.fr/~penazzi/emboutissage/abaqus-manutil-20-99.pdf

Référence [7] : ABAQUS, Abaqus Analysis Manual : section 2.2.4 Defining REBAR as an element property

Référence [8] : ABAQUS, Abaqus Theory Manual : section 3.7 REBAR

49

ANNEXES

Annexe 1 : Organigramme du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique

Annexe 1.1 : Organisation des services

50

Annexe 1.2 : Organisation des différents pôles

51

Annexe 2 : Résultats des essais de flexion 3 points

Dimensions des éprouvettes

N° éprouvette Longueur (mm) Largeur (mm) Profondeur (mm)1 9,15 6,52 118,432 9,01 7,03 118,583 8,8 6,71 118,814 9,14 5,79 119,12Moyenne 9,025 6,28 118,735

Valeur de la flèche en flexion 3 points

Force (N) 0,2943 0,4905 0,7848 0,981 1,962Déplacement éprouvette 1

0,24 0,36 0,50 0,66 1,50

Déplacement éprouvette 2

0,18 0,27 0,49 0,59 1,34

Déplacement éprouvette 3

0,25 0,33 0,56 0,73 1,48

Déplacement éprouvette 4

0,11 0,26 0,43 0,58 1,30

Moyenne 0,1925 0,305 0,495 0,64 1,405Calcul numérique de base

0,22 0,39 0,6 0,75 1,47

Calcul numérique espacement modifié

0,21 0,35 0,56 0,70 1,40

52

Annexe 3 : Programme de calcul des coordonnées

53

54

55

56

57

58

Annexe 4 : Matériaux du modèle numérique

Tringle en acier :

Ceinture en kevlar :

59

Ceinture en nylon :

Ceinture avec renforts en forme de sinusoïde :

60

Carcasse :

Gomme :

61

Gomme 2 :

Gomme 3 :

62

Gomme moins rigide :

Gomme de roulement :

63

Annexe 5 : Documentation Abaqus, théorie des éléments contenant des REBARSExtrait de la documentation Abaqus, Abaqus Theory Manual, section 3.7.2

Rebar modeling in three dimensions

Products: Abaqus/Standard Abaqus/Explicit

Let be the isoparametric coordinates of the basic finite element in which the rebar are placed. Let , be isoparametric coordinates on the surface of reinforcement, with

. Let t be a material coordinate along the rebar direction. See Figure 3.7.2–1.

Figure 3.7.2–1 Rebar in a solid, three-dimensional element.

64

The rebar is integrated using or Gauss points, depending on the order of the underlying element. The volume of integration at a Gauss point is

where is the cross-sectional area of each rebar, is the rebar spacing, is the Gauss weighting associated with the integration point, is the position of the Gauss point, and

In these expressions all quantities are taken in the reference configuration, and so Abaqus ignores changes in rebar cross-sectional area due to straining of the rebar and changes in the rebar spacing due to straining of the finite element in which the rebar is placed.

The strain in the rebar is

where

and G is the value of g in the original configuration.

For convenience we define s, a material coordinate that is distance measuring along the rebar in the current configuration:

The first variation of strain is

and the second variation of strain is

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PROGRAMME DE TRAVAIL

Avril 2013 Mai et juin 2013 Juillet et Août 2013 Septembre 2013

- Prise de renseignements sur le sujet

- Premiers calculs Abaqus sur 1 ou 2 éléments

- Réalisation des essais thermiques

- Réalisation du programme python de calcul de coordonnées

- Réalisation du maillage 3D du pneumatique

- Mise au point du modèle 3D de pneumatique dans Abaqus

- Préparation des premières étapes de gonflage et mise en charge du pneumatique

- Calculs de dérapage latéral et longitudinal avec le modèle de base

- Essais de flexion

- Calculs de dérapage latéral et longitudinal avec un modèle modifié

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