Master Informatiques des Systmes Rpartis

Rsolution de problmatiques de transport combin Objectif de projet : Adquation entre la formation interne et la recherche externe Modlisation de problme de transport combin Mis en place lalgorithme de transport qui vise rechercher le cot total minimum de transport Mis en place de nouveau logiciel pour la rsolution du problme de programmation linaire

Description de projet :

Rsoudre le problme de transport combin dans les deux tats (routiers, arienne) en appliquant ce que nous avons dj vu dans le cours magistrale amliorant nos recherches externes et en introduisant de nouveaux logiciels pour la rsolution de problme de ce genre

Equipe / Encadrant :TAHIRI Boubaker EL-HARBYLY Abderrahman

Mr. Ahmed Asimi

Avant dentamer ce modeste travail, nous tenons remercier toutes les personnes qui ont contribu son accomplissement. Nous tenons prsenter nos vifs remerciements Mr ASIMI AHMED qui nous a donn cette occasion, aussi pour leurs conseils constructifs et lensemble dinformations quon acquit en cours de la formation. Nos remerciements vont aussi nos parents, notre famille, nos amis tous ceux qui ont aid de prs ou de loin la ralisation de ce travail.

Introduction :Dans le cadre de notre formation en premire anne Master Informatiques des systmes rpartis nous avons t amens concrtiser un projet qui nous permettons la mise en pratique de tout ce quon a appris en formation interne ou plutt les cours de la classe officielle, la dcouverte rellement des stratgies, des mcanismes et plutt les nouveauts du domaine. Afin que nous arrivons raliser lobjectif principal: ladquation entre la formation interne et la recherche externe. Cest ainsi que nos vifs remerciements sont destins Mr ASIMI AHMED qui nous a donn cette occasion, aussi pour leurs conseils et lensemble dinformations quon acquit en cours de la formation. Dans ce sens, mon projet va traiter la rsolution linaire de problme de transport combin (routiers, arienne) : Ce projet dans une premire tape nous nous permettons denrichisse nos concepts au bord de laide la dcision qui peut tre dfinis par un ensemble des mthodes et techniques rationnelles orientes (recherche oprationnelle) ainsi que la programmation linaire et leurs utilits en vie courant (proposer des modles conceptuels en vue, analyser et matriser des situations complexes pour permettre aux dcideurs de faires les choix les plus efficaces au but dobtenir les meilleurs rsultats que possibles), dans une deuxime partie une modlisation de transport combin, son principe et mler ses diffrents modes de transports (stratgie), et la dernire partie on va traiter lalgorithme de transport qui vise rechercher le cot total minimum de transport (routier et arienne).

CHAPITRE IIntroduction :Dans la vie courante ou dans les domaines complexes et pleins d'incertitudes de la gouvernance, de la sret, de la scurit, de la sant, des transports, de la logistique, de l'amnagement du territoire ou l'environnement ou d'autres..., les lus, dcideurs, mdecins, chirurgiens ont besoin d'indicateurs et d'outils d'aide au diagnostic et la dcision pour effectuer, valider, justifier, valuer ou corriger les dcisions importantes qu'ils doivent prendre. Ceci se fait en fonction de critres de plus en plus complexes interdpendants et mondialiss, tels que par exemple la consommation d'nergie, de foncier, de ressources naturelles (ressources pas, peu, difficilement, couteusement, ou lentement renouvelables), ou encore selon les ressources humaines, financires ou en temps disponibles, ou selon divers critres d'acceptabilit, socioconomiques ou plus socio-politiques. La recherche oprationnelle (RO) est un outil puissant d'aide la dcision. Elle se rvle particulirement prcieuse pour aborder les problmes face auxquels le " bon sens " se rvle impuissant : dans le domaine combinatoire, o un problme apparemment tout simple peut mener une multiplicit de solutions (c'est l'explosion combinatoire); dans les situations o intervient le hasard (phnomnes alatoires) ; enfin, dans les situations de concurrence, o se combinent les caractres combinatoire et alatoire. Pour rsoudre de tels problmes, la

recherche oprationnelle utilise diverses mthodes : graphes, programmation mathmatique, thorie des processus stochastiques, thorie des jeux, programmation dynamique, simulations La recherche oprationnelle se situe au carrefour de diffrentes sciences et technologies. Par exemple, l'analyse conomique est souvent ncessaire pour dfinir l'objectif atteindre ou pour identifier les contraintes d'un problme. Elle est aussi lie l'ingnierie des systmes. Par rapport celle-ci, le champ d'application de la recherche oprationnelle est historiquement plus ax sur les vnements incertains et l'industrie, et ses mthodes plus particulirement mathmatiques. La recherche oprationnelle utilise de nombreuses mthodes issues de thories mathmatiques diverses. En ce sens, une partie de la recherche oprationnelle peut tre considre comme une branche des mathmatiques appliques. Les mathmatiques, notamment les statistiques, contribuent aussi poser efficacement les termes d'un problme. La thorie des graphes sert de support la rsolution d'un vaste chantillon de problmes, notamment certains issus de l'algorithmique classique, tels que les problmes de plus court chemin, le problme du voyageur de commerce, les problmes d'ordonnancement de tches, les problmes de planning ou encore les problmes d'optimisation de flux. Les progrs de l'informatique ont intgr l'aide la dcision, domaine visant concevoir des outils informatiques (dont logiciel-expert) pour aider un dcideur analyser un problme ou une situation, et lui fournir des solutions, ventuellement hirarchises sur la base des critres logiques qu'il aura slectionn. Ainsi l'informatique dcisionnelle, qui fait partie de ce que les anglophones appellent business intelligence dsigne les moyens, les outils et les mthodes qui permettent de collecter, consolider, modliser

et restituer les donnes, matrielles ou immatrielles, d'une entreprise en vue d'offrir une aide la dcision et de permettre aux responsables de la stratgie d'entreprise ou d'une collectivit davoir une vue densemble de lactivit traite. La recherche oprationnelle travaille dans ce domaine la production de modles raliste du problme d'un dcideur dans son contexte, puis la rsolution des problmes, et hirarchisation des solutions possibles.

Programation linaire :En Optimisation, qui est une branche des mathmatiques, un problme d'optimisation linaire est un problme d'optimisation dans lequel on minimise (ou maximise) une fonction linaire sur un polydre convexe. La fonction de cot (conomique) et les contraintes peuvent donc tre dcrites par des fonctions linaires, d'o vient le nom donn ces problmes. Ceux-ci ne sont cependant pas linaires dans le sens o leurs solutions dpendraient linairement de certaines donnes ; une nonlinarit importante est en effet induite par la prsence des ingalits dfinissant les contraintes (en l'absence d'ingalits, le problme devient linaire dans ce sens, mais est alors trivial : soit il n'y a pas de solution, soit tous les points admissibles sont solutions). L'optimisation linaire (OL) est la discipline qui tudie ces problmes.

Transport intermodal:

Il est possible de concevoir les systmes de transport comportant plus d'un mode sous deux angles conceptuels: Le transport intermodal : Un systme soutenu par une logistique pousse faisant appel au moins deux modes de transport. Les modes partagent des caractristiques au niveau manutentionnaire, permettant ainsi un transfert efficace de fret (ou de passagers) entre modes durant le parcours originedestination. Le transport multimodal : Un ensemble de modes de transport offrant leurs services sur une distance quelconque entre origine et destination. Bien que le transport intermodal soit possible ici, le transport multimodal n'implique pas ncessairement ce dernier. La concurrence entre les modes de transport a eu tendance produire un systme de transport segment et non intgr. En effet, chaque mode a cherch exploiter ses propres avantages en matire de cot, de service, de fiabilit et de scurit. Les transporteurs tentent de maintenir leurs activits en maximisant les lignes qu'ils exploitent et contrlent. C'est ainsi que tous les modes en viennent se percevoir les uns les autres avec mfiance et suspicion. Le manque d'intgration modal fut aussi exacerb par des politiques gouvernementales interdisant les compagnies de dtenir des firmes oprant dans d'autres modes que le leur ( tel qu'aux tats-Unis avant la drglementation), ou encore en plaant un mode directement sous la tutelle de l'tat ainsi menant au monopole (tel qu'en Europe). Les quarante dernires annes ont vu nanmoins des efforts considrables d'intgration de systmes de transport disjoints par le biais de l'inter modalit. Ce concept implique l'usage d'au moins deux modes de transport entre origine et destination. Le phnomne fut rendu possible en partie grce la technologie. Les techniques de transbordement de fret d'un mode un autre ont effectivement facilit

les transferts intermodaux. Le piggyback, ou le fait de disposer une remorque de camion sur un wagon de train, ainsi que le LASH (lighter aboard ship) qui consiste embarquer des chalands fluviaux bord de navires maritimes. Il reste que la plus grande innovation est sans conteste le conteneur, lequel permet une manutention aise entre les systmes modaux. Le gerbage de conteneurs sur wagon permet de doubler la capacit de transport de fret des trains tout en encourant des frais supplmenta ires minimes et, par suite, amliorer la comptitivit du rail l'endroit du camionnage sur des parcours de longue haleine. La conteneurisation devient le type d'expdition privilgi. Bien que les technologies de manutention y soient pour beaucoup dans le dveloppement de l'inter modalit, le vritable virage fut rendu possible par les changements au sein des politiques gouvernementales ainsi que par les avances en technologies informationnelles. La drglementation aux tats-Unis l'aube des annes 1980 a dlivr les firmes du contrle gouvernemental. L'interdiction de dtenir des firmes oprant travers plus d'un mode tant dsormais leve, une emphase sur la concurrence intermodale fut alors enclenche. Les lignes de transport commencrent notamment offrir un service intgr leur clientle combinant rail et route. Les avantages de chaque mode pouvait toujours tre mis profit l'intrieur d'un systme sans rupture de charge. Les clients pouvaient ds lors faire appel ce type de service pour expdier leurs produits d'une porte l'autre sans mme se soucier des barrires modales. C'est donc dire que la caractristique centrale l'inter modalit est la fourniture d'un service via un seul ticket (pour les passagers) ou un seul bordereau (pour le fret). Ceci n'aurait pu advenir sans une srie de pralables rvolutionnaires touchant l'organisation et le contrle de l'information. Au coeur de l'inter modalit moderne se trouvent des systmes de manipulation, de traitement et d'acheminement de donnes essentiels tout mouvement de fret et de passagers empruntant

plusieurs modes de faon scuritaire, fiable et rentable. L'change de donnes lectroniques (EDE) est une technologie bourgeonnante qui aide les compagnies prives et agences gouvernementales (documentation douanire, entre autres) faire face l'incessante complexification d'un systme de transport global. La politique publique intervient galement l'endroit du statut dominant du transport routier au sein de la concurrence modale mais aussi l'gard de proccupations touchant la congestion et la scurit routires et la dgradation environnementale. En Europe, des politiques ont t mises sur pied afin d'exonrer les routes du transport de fret et de passagers. Le transport intermodal est peru comme une solution des plus valables dans certains contextes. En Suisse par exemple, les lois stipulent que toute marchandise transitant par le pays doit emprunter le rail de manire rduire la pollution de l'air en valles alpines. De son ct, l'Union Europenne tente de faire la promotion d'alternatives intermodales par des subventions cibles sur le rail et les infrastructures de transport tout en augmentant les pages aux usagers de la route. L'inter modalit a ses racines dans l'espace maritime avec l'avnement du conteneur la fin des annes 1960. Suivant les tendances de drglementation et de privatisation entreprises l'aube des annes 1980 le phnomne a pris de l'expansion vers l'intrieur des terres. De nos jours le transport intermodal est en train de transformer une part croissante des flux de marchandises tenus sur de moyennes et longues distances travers la plante. Les transporteurs intgrs de grande envergure fournissent des services porte porte de telle sorte que le client n'a ni conscience ni soucis l'gard de la voie qu'empruntera son chargement pour rejoindre sa destination. Les modes employs autant que les parcours slectionns ne relvent plus de son intrt. La proccupation immdiate se situe au niveau du cot et de la qualit du service. En dcoule le paradoxe voulant que l'espace gographique

devient dpourvu de sens aux yeux du client ayant recours ce type de service; mais pour le fournisseur de transport intermodal l'itinraire, le cot et les frquences de service prennent une signification des plus cruciales.

Thorie de graphe:Lhistoire de la thorie des graphes dbute peut-tre avec les travaux dEuler au XVIIIe sicle et trouve son origine dans ltude de certains problmes, tels que celui des ponts de Knigsberg, la marche du cavalier sur lchiquier ou le problme de coloriage de cartes. La thorie des graphes sest alors dveloppe dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales. Depuis le dbut du XXe sicle, elle constitue une branche part entire des mathmatiques, grce aux travaux de Knig, Menger, Cayley puis de Berge et dErds. De manire gnrale, un graphe permet de reprsenter la structure, les connexions dun ensemble complexe en exprimant les relations entre ses lments : rseau de communication, rseaux routiers, interaction de diverses espces animales, circuits lectriques,. . . Les graphes constituent donc une mthode de pense qui permet de modliser une grande varit de problmes en se ramenant ltude de sommets et darcs. Les derniers travaux en thorie des graphes sont souvent effectus par des informaticiens, du fait de limportance quy revt laspect algorithmique.

CHAPITRE IIIntroduction :Les impacts du transport sur lenvironnement et la socit sont indniables de nos jours. La mondialisation et les prises de consciences environnementales sans cesse croissantes contraignent les autorits gouvernementales et les entreprises prendre des mesures pour limiter les impacts de leurs activits sur lenvironnement et la socit. Les entreprises de logistiques et de transport ne sont pas en reste dans cette dynamique, et des recherches sont de plus en plus menes pour mieux comprendre et limiter les impacts manant de leurs activits. Le transport est connu comme tant une activit conomique ayant dnormes impacts sur lenvironnement; lobjectif de notre tude est de dvelopper un systme daide la dcision au choix dun chemin dans un systme de transport intermodal permettant de rduire ces impacts. Le cot et le temps de transport ne sont donc plus les seuls critres de choix dun chemin ; ainsi nous prenons en compte galement les critres environnementaux et socitaux. Le modle ici prsent tente de reproduire les caractristiques et le comportement dun systme de transport intermodal afin de proposer aux dcideurs un chemin avec le meilleur rapport impact/cot.

Transport combin(routier-arienne) :Le transport combin est la combinaison dau moins deux modes de transport au sein dune mme chane. Il nintervient aucune rupture de charge de la marchandise. Seul le contenant (caisse mobile, semiremorque) est transbord dun mode de transport lautre. La plus grande partie du trajet doit saccomplir par voie ferre, navigable ou maritime. Le trajet par la route tant le plus court possible. La technique du transport combin est adapte aux transports nationaux et internationaux de marchandises sur de longues distances (suprieures 500/600 km) et sur des axes o des transports en masse sont possibles. Sur ces trajets pertinents, elle offre une solution alternative performante au transport purement routier, et prsente un certain nombre davantages, surtout au niveau environnemental. Le transport combin permet d'acheminer des marchandises sur un trajet de porte--porte, en empruntant au moins deux modes de transport sans changer de vhicule ou d'unit de chargement (remorque ou conteneur).Les parcours initiaux et/ou terminaux sont effectus par la route, les parcours principaux par le rail (mais aussi par le fleuve ou par mer). Dot dune efficacit nergtique jusqu' 5 fois suprieure celle du transport routier, le transport combin permet notamment de rduire les missions de dioxyde de carbone, principal gaz effet de serre. Il diminue aussi lencombrement des rseaux routiers et rend la France moins dpendante du ptrole, sur le plan nergtique. La technique du transport combin permet aux entreprises de sengager dans une dmarche environnementale. Elle possde aussi des atouts

conomiques. Les transporteurs routiers peuvent en effet diminuer leurs cots variables (carburants, pneumatiques), accrotre leur productivit (il est possible de transporter plus de marchandises avec le mme personnel et le mme parc), et mieux grer leur matriel et leurs salaris. Ce mode de transport rpond aussi aux attentes de leurs clients, puisquil propose une capacit de chargement supplmentaire de 10% par rapport la route, grce aux 44 tonnes de poids total roulant, et des dlais performants avec une rgularit horaire. Le transport combin convient galement aux chargeurs. Ces entreprises industrielles et commerciales, clientes des transporteurs, qui affrtent les vhicules, y font charger des marchandises et les expdient dun point un autre. Il leur apporte par exemple des solutions logistiques nouvelles comme le stockage mobile. Garantit le respect des rglementations routires et sociales. Et offre une plus grande scurit pour lacheminement de marchandises dangereuses ou de grande valeur A lheure actuelle, 10% des trafics de marchandises effectus sur des distances suprieures 500 km sont raliss par transport combin. Ce qui reprsente environ 4 000 poids lourds vits chaque jour sur les routes de France. Le transport combin permet d'acheminer des marchandises sur un trajet de porte--porte, en empruntant au moins deux modes de transport sans changer de vhicule ou d'unit de chargement (remorque ou conteneur).Les parcours initiaux et/ou terminaux sont effectus par la route, les parcours principaux par le rail.

Problme gnrale :Dans notre problme, nous prsentons une mthode dapproximation qui est une amlioration de la mthode de Vogel pour le problme de transport. Elle applique celle-ci au problme quivalent induit par les matrices de cots rduits. La rduction de la matrice restante est faite aprs chaque assignation. Cette dmarche permet didentifier loptimalit si le cot total rduit est nul. Dans ces cas, elle vite lapplication de lalgorithme de transport. Dans le cas particulier de nullit des pnalits, la mthode des moindres cots est utilise pour fournir la solution optimale

Dans cet article, nous considrons le problme de transport simple dont lobjectif est de minimiser la fonction cot rattache au transfert de diffrentes quantits dune matire ou de particules partir de m origines vers n destinations. En notant par lindice i = 1, ..., m les origines et par j = 1, ..., n les destinations, nous pouvons prsenter : les paramtres := cot de transfert dune unit d lorigine i vers la destination j := quantit de matire disponible lorigine i := quantit de matire disponible la destination j et les variables := quantit de matire transporte de lorigine i vers la destination j. En considrant le problme de transport balanc ou Alors la formulation mathmatique est

{

Le problme de transport est ainsi un programme linaire et peut donc tre rsolu par des mmthodes du simplexe (voir Balansky (1986) ou Arsham (1989)). Cependant il existe une mthode plus adapte connue sous le nom dalgorithme de transport (Charnes and Cooper (1954) ou Dantzig (1963)). Lalgorithme de transport, comme toute application de la mthode du simplexe `a la rsolution de ce type de problme, nncessite une solution initiale de base. Sa dtermination partir de la forme standard nest pas approprie compte tenu de la structure des problmes de transport. Dautres techniques plus simples et adaptes leurs sont appliques. Nous pouvons citer la mthode du Coin NordOuest et celle des cots. Dans cette mme optique, il existe des approches plus raffines qui sont des mmthodes dapproximation parmi lesquelles nous pouvons citer la mmthode de Russell (Russel, 1961) et la mmthode de Vogel (Vogel et al. 1958). Cette dernire approche a t le sujet dune modification pour la rsolution des problmes de transport non balancs [Goyal (1984) ou Ramakrishnam (1988)]. Dans cet article, nous prsentons une nouvelle mthode dapproximation qui est une amlioration de la mthode de Vogel. Certes, il nest pas ncessaire de consacrer normment defforts dans la recherche dune solution initiale, cependant les modifications, proposes dans cette tude, sont trs peu coteuses. De plus, nous observons que la mthode modifie fournit directement la solution optimale dans un nombre assez impressionnant de problmes. Afin de mieux introduire cette amlioration, nous prsentons les diffrentes tapes de la mthode dans la prochaine section. Ces diffrentes tapes y sont par la suite rsumes et prsentes sous forme algorithmique. Finalement, nous montrons la reconnaissance de loptimalit dans certaines situations et son caractre amliorant par rapport la mthode de Vogel. Un exemple dillustration de la mthode de Vogel modifie est par la suite prsent avant de procder des remarques concluantes.

2) Mthode de Vogel modifie Elle comprend principalement plusieurs tapes. La premire consiste rduire la matrice des cots unitaires de transport ( )) ; i = 1,, m ; j =1, , n. Cette dmarche induit un problme quivalent au problme initial de transport PT. Cette procdure, assez bien connue, est souvent utilise pour rsoudre le problme daffectation par la mthode hongroise (Kuhn, 1955). Cette procdure de rduction est prsente dans la prochaine sous-section. 2.1 Rduction de la matrice des cots : La rduction de la matrice des cots unitaires de transport ( ) seffectue par le biais de la procdure ci-dessous ________Procdure 2.1 de rduction_________________________ Pour chaque ligne i, dterminer = { } et poser = ; j = 1,, n Pour chaque colonne j, dterminer = { } et poser = ; i = 1,, m La matrice R rsultante de la rduction contient au moins un zro au niveau de chaque range (ligne ou colonne). Cette approche est justifie par la proposition ci-dessous. Le problme de transport associ la matrice de cots rduits est quivalent au problme original PT. Preuve. Les contraintes du problme de transport restent inchanges durant toute la procdure. La rduction de la matrice naffecte que la fonction objectif. En considrant les valeurs et retranches respectivement aux lignes i et colonne j, alors les coefficients de la matrice de cots rduits deviennent = . Ainsi la fonction objectif vrifie

Ceci implique

Comme le dernier terme

est constant, minimiser revient minimiser . Le rsultat annonc se trouve ainsi tabli. Ltape suivante consiste associer comme dans la mthode de Vogel une pnalit chaque range. Ensuite la range de plus grande pnalit est choisie pour dterminer la variable assigner. La procdure est prsente dans la soussection ci-dessous. 2.2 Pnalits des ranges Dans cette sous-section, nous fournissons une procdure de dtermination de la plus grande pnalit de chaque ligne i et colonne j. Cette procdure est prsente ci-dessous. _____________________Procdure 2.2 de la plus grande pnalit 1. Dtermination des pnalits Dterminer pour chaque ligne i = et Dterminer pour chaque colonne j = et 2. Range de plus grande pnalit Dterminer la plus grande pnalit max { Si { } alors dterminer Sinon { } alors dterminer La variable allouer est .

}.

Proposition 2.2. Si une matrice rduite associe un problme de transport est telle que la plus grande pnalit est nulle, alors lassignation par les moindres cots au niveau de la matrice initiale fournit la solution optimale. Preuve. Comme la plus grande pnalit est nulle alors toutes les pnalits sont donc nulles. Ainsi, chaque range contient plus dun zro. La solution fournie par la mthode des moindres cots sera associe des zros de la matrice de cots rduits et en consquence `a un cot total rduit nul. Ce qui implique loptimalit. Ltape suivante consiste effectuer une assignation de la variable par la mthode de Vogel et la mise jour de la matrice des cots. 2.3 Assignation par la mthode de Vogel Dans cette sous-section, nous fournissons une brve prsentation de la mthode de Vogel. Pour chaque ligne i ou colonne j, elle value une pnalit qui reprsente la perte unitaire rsultante du transport dune unit de produit au second moindre cot plutt quau moindre cot de cette range. En dautres termes, elle reprsente le manque gagner si on rate le moindre cot de cette range pour se contenter du second moindre cot. La mthode de Vogel donne la priorit dassignation aux ranges de plus grande pnalit. Les diffrentes tapes de la mthode sont prsentes ci-dessous. ________________________Procdure 2.3 dassignation par Vogel 1. Dtermination de la plus grande pnalit Appliquer la procdure 2.2 de la plus grande pnalit 2. Allocation de la variable Allouer la variable en effectuant Poser := et := 3. Rayure dune range Lassignation de la variable implique : = 0 ou = 0 Donc la saturation dau moins une range qui est raye du tableau. 4. Embarras de choix

Si les deux ranges de la variable assigne sont satures en mme temps ou = 0 et =0 Alors il faut rayer celle de plus grande pnalit. Si lembarras persiste, alors le lever de manire arbitraire. 2.4Rduction successive La matrice restante nest plus ncessairement rduite. Il faut effectuer la rduction par le biais de la procdure ci-dessous. Pour la prsenter, nous considrons que la dernire variable assigne est Elle est associe aux pnalits et respectivement associes sa ligne et sa colonne. La plus grande pnalit est forcment ou pour que puisse tre la variable assigner. ____________________Procdure 2.4 de rduction successive 1. Test de non rduction Si la ligne k est raye telle que 0 et = 0 alors la matrice restante est encore rduite. Si la colonne r est raye telle que 0 et 0 alors la matrice restante est encore rduit. 2. Test de rduction Si la ligne raye est telle que = 0 alors aller ltape 2 Si la colonne raye est telle que = 0 alors aller ltape 3 2Rductions des colonnes Rduire les colonnes j telles que 0 et =0 3. Rductions des lignes Rduire les lignes i telles que 0 et =0 2.5Algorithme ___________________________Mthode de Vogel Modifie Etape 1. Matrice des cots rduits Rduire la matrice de cots par la procdure de rduction Etape 2. Plus grande pnalit Appliquer la procdure 2.3 de la plus grande pnalit soit pgp. Si pgp = 0 alors appliquer la mthode des moindres cots

Sinon continuer Etape 3. Dtermination de la variable assigner Appliquer la procdure 2.4 dassignation par la mthode de Vogel. Etape 4. Test darrt Sil reste une colonne ou une ligne non raye dans le tableau, la remplir et fin. Etape 5. Rduction de la matrice de cots rduits Appliquer la procdure de rduction 2.4. Rgles supplmentaires Notons que dans les tapes 2 et 3, nous appliquons la mthode de Vogel avec quelques rgles supplmentaires prsentes ci-dessous. Elles permettent de lever les situations dembarras de choix. Rgle 1. Comparaison de pnalits de ranges complmentaires Si la plus grande pnalit est atteinte plusieurs fois, alors un embarras de choix entre diverses ranges (lignes, colonnes) se pose. Elles ont t slectionnes car ayant le moindre cot dans une range de plus grande pnalit. Il faut considrer les pnalits de leurs ranges complmentaires et slectionner celles de plus grande pnalit. Rgle 2. Moindre cot non rduit Si lembarras du choix persiste, alors considrer toutes les variables candidates. `A chacune de ces ranges correspond au moins une variable associe au moindre cot. Lembarras du choix est donc report sur ces variables. La rgle 2 privilgie la variable Xij de moindre cot original pour lever cette indcision. Rgle 3. Si lembarras du choix persiste, alors il faut la lever arbitrairement. 3 Rsultats doptimalit Proposition 3.1. Si le problme de transport associ la matrice initiale de cots rduits fournit une solution ralisable telle que toute variable non nulle soit associe un cot rduit nul, alors cette solution est optimale pour le problme PT. Proposition 3.2. A chaque assignation de variable durant ltape 3 de la mthode modifie, si le problme de transport associ la matrice rduite courante possde une solution ralisable de cot , alors cette solution complte par

les variables dj assignes constitue une solution ralisable du problme rduit de mme cot = . Thorme 3.1 Si toutes les variables non nulles assignes au niveau des diffrentes itrations de la mthode modifie sont associes des cots rduits nuls, alors la solution ralisable obtenue est optimale. Preuve. De manire itrative, daprs la proposition 3.2, la solution ralisable obtenue est une solution ralisable du problme initial . Comme la matrice des cots est positive , alors, nous avons daprs la proposition 2.1 = 0 Ainsi, si = 0 alors le cot de transport atteint sa valeur minimale et devient en consquence optimale. Cette dmarche fournit ainsi un critre permettant dans le cas de lobtention dune solution nulle de de conclure loptimalit du problme PT. Elle permet ainsi de dtecter certaines situations doptimalit et dviter le test doptimalit et en consquence le recours lalgorithme de transport. Dautre part notons que la mthode de Vogel modifie est une approximation. Ceci rsulte du fait quelle amliore la mthode de Vogel qui est considre comme une approximation. Dailleurs, la comparaison de la mthode de Vogel et de la mthode modifie a t effectue en considrant diffrentes situations (Voir Gningue et al. (1998)). Elle rvle que les pnalits fournies par la mthode de Vogel ne mesurent pas, contrairement la mthode modifie, les pertes unitaires au niveau des ranges considres. Pour cette raison, le choix dict par la mthode de Vogel quant la ligne et colonne assigner nest pas ncessairement le plus pertinent. La mthode de Vogel effectue une analyse locale au niveau de chaque range tandis que la mthode modifie effectue une analyse plus globale. Toute la diffrence rside dans le fait que la valeur zro est le moindre cot de chaque ligne et colonne de la matrice. La mthode de vogel modifie, contrairement celle de Vogel, se rapproche plus de la mthode du simplexe par la rduction des cots avant lassignation de variables. Par cette dmarche, elle assure implicitement la nullit des cots rduits associs aux variables de base, ce qui est une condition ncessaire de dmarrage de lalgorithme du simplexe.

Dans cette section, nous proposons un exemple pour illustrer la mthode de Vogel modifie. La matrice des cots de transport est fournie par le tableau

La dernire colonne reprsente les offres des origines tandis que la dernire ligne fournit les demandes des destinations. La matrice rduite est fournie par

En appliquant la mthode de Vogel modifie, nous obtenons les Diffrentes tapes dassignation prsentes ci-dessous.

Assignation 1. La plus grande pnalit est = 3. La ligne 3 est donc choisie. La variable de moindre cot dans cette ligne est = = 10 et = = 10 10 = 0 Ensuite la ligne 3 et colonne 1 deviennent satures en mme temps. La ligne 3 de plus grande pnalit est raye du tableau. La matrice rsultante reste rduite. Assignation 2. Les pnalits associes aux lignes et colonnes restent inchanges. La plus grande pnalit est = 2 et = 2. Les pnalits des ranges complmentaires sont toutes nulles. Lembarras du choix persiste au niveau des variables et . La variable de moindre cot initial = 3 est sslectionne par le biais de la rgle 2. Ceci implique = 15 et la rayure de la colonne 2 qui reprsente la range de plus grande pnalit. La matrice restante est encore rduite. Assignation 3. Seule la pnalit de la ligne 1 change et devient = 3. La ligne 1 est celle de plus grande pnalit, la variable rentre dans la base avec = 0. Ceci est due au fait que la ligne 1 est sature. La ligne 1 est ainsi raye du tableau. La matrice restante est encore rduite. Assignation 4. La matrice est encore rduite. Seule la pnalit de la colonne 1 change pour devenir = 2. La plus grande pnalit est fournie par = = 2. Lembarras de choix se situe entre les variables et . La variable X41 de moindre cot est assigne de la valeur nulle donc = 0. La colonne 1 est ainsi sature et raye du tableau. Assignation 5. La matrice est encore rduite. Les pnalits restent inchanges. La plus grande pnalit est fournie par = 2. La variable est assigne et devient = 15. La colonne 5 est ainsi sature et raye du tableau. Assignation 6. La matrice restante est nulle. Lassignation peut tre finalise par utilisation de la rgle des moindres cots initiaux. Ceci implique lassignation = 12 qui sature la colonne 3 dont la rayure transforme la matrice en une seule range. Elle est complte par X24 = 6 et X24 = 10 pour fournir la solution : =0; = 15 ; = 10 ; = 15 = 10 ; = 12 ; =4

Elle est optimale car le cot rduit optimal est nul et le cot total associ est =425. Nous navons donc pas eu besoin deffectuer ditrations de lalgorithme de transport de Dantzig. La mthode de Vogel aurait ncessit au moins deux itrations supplmentaires pour obtenir la solution optimale.

Nous avons prsent une amlioration de la mthode de Vogel. Contrairement cette dernire, les pnalits values reprsentent rellement les pertes rsultantes du transport dune unit de produit au second moindre cot plutt quau moindre cot. La mthode modifie fournit la solution optimale, lorsque les cots rduits associs aux variables assignes sont nuls. De plus, dans beaucoup dexemples choisis de manire alatoire, elle fournit la solution optimale. La mthode de vogel se rvle tre une approximation avec un taux de russite de lordre de 96 % (Gningue et al. 1998). Les problmes de tests y sont cependant de trs faibles dimensions, il faudrait donc tester la mthode sur des problmes de plus grandes dimensions. Ceci ouvre une voie de recherche pour lamliorer en une mthode de rsolution de problmes de transport, ne serait-ce que dans certains cas. Notons galement que, lapplication de la mthode modifie aux problmes dassignation pourrait fournir les prmisses dune nouvelle mthode de rsolution de tels problmes. Il serait galement intressant deffectuer un rapprochement avec la version de la mthode modifie ou lannulation des cots commence par ceux associs aux colonnes. Cest dailleurs le rapprochement de ces deux diffrentes matrices de cots rduits qui a permis dtablir une mthode initiale propose