Transpa TS

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IUP Avignon J.-P. Costa Repr´ esentation fr´ equentielle Transform´ ee de Fourier des signaux d’´ energie finie Soit un signal s(t) `a temps continu d’´ energie finie E , la transform´ ee de Fourier S (f ) de s(t) est d´ efinie par : S (f )= Z +-∞ s(t)e -j 2πft dt S (f ) est aussi appel´ e spectre complexe (ou tout simplement spectre) et correspond `a la repr´ esentation fr´ equentielle du signal s(t). La formule d’inversion est donn´ ee par : s(t)= Z +-∞ S (f )e j 2πft df Une condition d’existence suffisante mais pas n´ ecessaire est que s(t) soit une fonction sommable, c’est `a dire Z +-∞ |s(t)| dt < alors |S (f )| < Z +-∞ |s(t)| dt < Traitement du signal 1

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  • IUP Avignon J.-P. Costa'

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    Representation frequentielle

    Transformee de Fourier des signaux denergie finie

    Soit un signal s(t) a` temps continu denergie finie E, la transformee de Fourier S(f)

    de s(t) est definie par :

    S(f) =

    +

    s(t) ej2pift dt

    S(f) est aussi appele spectre complexe (ou tout simplement spectre) et correspond a`

    la representation frequentielle du signal s(t).

    La formule dinversion est donnee par :

    s(t) =

    +

    S(f) ej2pift df

    Une condition dexistence suffisante mais pas necessaire est que s(t) soit une fonction

    sommable, cest a` dire +

    |s(t)| dt

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    Transformee de Fourier des signaux denergie finie

    1. Linearite : s1(t)TF

    S1(f), s2(t)

    TF

    S2(f),

    1s1(t) + 2s2(t)TF

    1S1(f) + 2S2(f) 1, 2 C

    2. Translation en temps : s(t t0) TF

    ej2pift0S(f)

    3. Translation en frequence : S(f f0) =TF

    [s(t) ej2pif0t], une translation en

    frequence correspond a` une modulation en temps.

    4. Dilatation en temps : y(t) = s(at) avec a > 0, Y (f) = 1aS(f/a). Une dilatation

    (0 < a < 1) de lechelle des temps correspond a` une compression ( 1a> 1) de

    lechelle des frequences et inversement.

    Traitement du signal 2

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    Transformee de Fourier des signaux denergie finie

    5. Inversion du temps : s(t) TF

    S(f),

    6. Conjugaison du signal : s(t)TF

    S(f),

    7. Formes particulie`res :

    s(t) reelle S(f) symetrie hermitiennes(t) reelle paire S(f) reelle paires(t) reelle S(f) imaginaire impaires(t) imaginaire paire S(f) imaginaire paires(t) imaginaire impaire S(f) reelle impaire

    8. Convolution en temps : on appelle produit de convolution de 2 signaux

    Traitement du signal 3

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    denergie finie x(t) et y(t) le signal z(t) defini par :

    z(t) = x(t) y(t) = +

    x(u)y(t u) du = y(t) x(t)

    z(t)TF

    Z(f) = X(f)Y (f)

    Cette propriete de convolution est la plus fondamentale pour les applications de

    lanalyse de Fourier notamment pour le filtrage lineaire.

    9. Convolution en frequence : z(t) = x(t)y(t)TF

    Z(f) = X(f) Y (f)

    La TF transforme convolution en multiplication et multiplication en

    convolution.

    Traitement du signal 4

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    Transformee de Fourier des signaux denergie finie

    Densite spectrale

    La densite spectrale ss est definie comme etant la TF de la fonction

    dautocorrelation Css.

    ss(f) = TF[Css()] = S(f)S(f) = |S(f)|2

    On peut dire que ss(f) est une densite spectrale denergie puisque son integrale

    donne lenergie totale du signal.

    Theore`me de Parseval

    On obtient par transforme de Fourier inverse, legalite de Parseval :

    Es =

    +

    |s(t)|2 dt = +

    |S(f)|2 df = Css(0)

    On a lexpression de lenergie dun signal dans le domaine du temps ou dans le

    domaine des frequences.

    Traitement du signal 5

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    Transformee de Fourier des signaux denergie finie

    Exemple On cherche a determiner la transformee de Fourier du signal Porte

    (/2(t)) lequel est defini comme suit

    T (t) =

    1 pour |t| < T0 pour |t| > T(f) =

    +

    /2 ej2pift dt

    (f) =

    +/2/2

    ej2pift dt

    (f) =sin(2pif/2)

    pif=

    sin(pif)

    pif

    (f) = sinc(f)

    Traitement du signal 6

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    Transformee de Fourier des signaux denergie finie

    Exemple

    15 10 5 0 5 10 150

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Signal porte /2(t), avec =10

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.55

    0

    5

    10

    Tranforme de Fourier (f), (f)=0 pour f=1/

    Frquence

    Fonction porte et sa transformee de Fourier

    Traitement du signal 7

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    Dirac et peigne de dirac

    On peut definir comme la limite de la fonction s(t) (+ s(t) = 1) definie par :

    s(t) =1

    /2(t)

    ou le signal porte T est defini comme suit T (t) =

    1 pour |t| < T0 pour |t| > TDonc (t) = lim0 s(t) avec

    + (t) = 1

    On represente classiquement le dirac par une fle`che de poids=1 representant laire.

    Si on calcule lenergie de s(t) on obtient :

    Es(t) =

    +

    s(t)2 dt =

    1

    donc lim0 =. Le dirac a une energie infinie et nest pas periodique, ce nestpas un signal realisable physiquement. On admettra que (t) est paire.

    Traitement du signal 8

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    Transformee de Fourier des signaux denergie infinie

    Calcul de la TF La TF de s(t) est sinc(f) par consequent

    TF[(t)] = 1

    On admet que les proprietes fondamentales de la TF entre la convolution et produit

    de fonctions sappliquent aux distributions.

    Quelques proprietes

    v(t) (t) = v(0) (t)

    v(t) (t t0) = v(t0) (t t0)

    Traitement du signal 9

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    Transformee de Fourier des signaux denergie infinie

    TF1 [(f)] = 1, TF [(t t0)] = ej2pift0 , TF [ ej2pif0t] = (f f0)], TF [A cos(0t)] = A2 (f f0) + A2 (f + f0), (t t0) (t) = (t t0), (t t0) (t t1) = (t t0 t1), v(t) (t) = v(t), v(t) (t t0) = v(t t0), Un peigne de dirac est defini par (t) =+k= (t kTe),TF[(t)] = (f) = 1

    T

    +k= (f k/T )

    Traitement du signal 10

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    Transformee de Fourier des signaux denergie infinie

    Exemple On cherche a` determiner la TF de la fonction suivante :

    z(t) = x(t) y(t) = A/2(t) cos(0 t) alors Z(f) = TF[x(t)] TF[y(t)]on a vu que TF[x(t)]=[A/2(t)]=A sinc(f) il reste donc a` calculer TF[cos(0 t)].

    Y (f) = 1/2

    [ +

    ej2pi(ff0)t dt+ +

    ej2pi(f+f0)t dt]

    Y (f) = 1/2 [(f f0) + (f + f0)]Donc

    Z(f) =A

    2sinc(f) (f f0) + A

    2sinc(f) (f + f0)

    Z(f) =A

    2sinc(f f0) + A

    2sinc(f + f0)

    Traitement du signal 11

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    Transformee de Fourier dun signal periodique

    s(t) =

    +n=

    S(nf0) ej2pinf0t

    S(f) =

    +n=

    S(nf0)(f nf0)

    et les coefficients de Fourier sont donnes par :

    S(nf0) = Sn =1

    T0

    +T0/2T0/2

    s(t) ej2pif0t dt

    Traitement du signal 12

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    Exercices

    Classification des signaux

    Tracer les signaux suivants et determiner sil sagit de signaux a` energie finie, a`

    puissance finie ou nappartenant a` aucune de ces deux categories. La fonction u(t)

    etant la fonction de Heaviside.

    x(t) = A sin(t), pour < t < +, x(t) = A[u(t+ ) u(t )], avec > 0, x(t) = e|t|, avec > 0, x(t) = u(t), x(t) = t u(t).

    Traitement du signal 13

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    Dirac

    1. En utilisant la relation dequivalence suivante :

    soit g(t) et f(t) deux fonctions, il existe une relation dequivalence qui enonce

    que g(t) = f(t) si et seulement si :

    +

    g(t)(t)dt =

    +

    f(t)(t)dt (1)

    verifier la proprietes suivante : (at) = 1|a| (t).

    2. Evaluer les integrales suivantes :

    + (t2 + cos(pit))(t 1) dt, + et (2t 2) dt, + e2t (t) dt.

    Traitement du signal 14

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    Filtrage des signaux a` temps continu

    Filtre lineaire continu et invariant dans le temps

    Un syste`me est dit lineaire si pour les entrees x1(t) et x2(t) respectivement on

    obtient les sorties y1(t) et y2(t) alors pour lentree a1 x1(t) + a2 x2(t) on obtient

    a1 y1(t) + a2 y2(t) avec a1, a2 C.

    Un syste`me est dit invariant dans le temps si son comportement se reproduit de

    facon identique au cours du temps. Si pour une entree x(t) on a une sortie y(t), alors

    pour x(t ) on a y(t ).

    Un syste`me est dit instantane ou sans memoire si la relation entreesortie est du

    type y(t) = g[x(t)].

    Un syste`me est dit stable si la reponse a` toute entre bornee est elle meme bornee.

    On appelle filtre un syste`me lineaire continu et invariant dans le temps.

    Traitement du signal 15

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    Filtrage des signaux a` temps continu

    Filtrage frequentiel

    On appelle filtrage frequentiel, loperation consistant a` prelever, supprimer, ou

    seulement attenuer tout ou une partie des composantes frequentielles dun signal.

    Par definition y(t) = h(t) x(t), H(f) sappelle la reponse en frequences du filtre |H(f)| sappelle le gain en frequences du filtre Arg(H(f)) sappelle la phase du filtre.

    La relation fondamentale des filtres est donnee par,

    Y (f) = H(f)X(f) avec

    X(f) = TF [x(t)]X(f) = TF [x(t)]Traitement du signal 16

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    on appelle h(t) = TF1[H(f)] la reponse impulsionnelle du filtre.

    En effet, par TF inverse

    y(t) = x(t) h(t) = +

    h(t)x(t t) dt

    dans le cas ou x(t) = (t), y(t) = h(t) (t) = h(t), dou le nom de reponseimpulsionnelle pour h(t).

    h(t) ne peut pas commencer avant 0 cest a` dire preceder la cause. Un filtre est

    realisable si sa reponse impulsionnelle h(t) est causale (h(t) = 0 pour t < 0) et sil

    est stable.

    On rappelle quun filtre est stable ssi a` toute entree bornee correspond une sortie

    bornee,+ |h(t)| dt

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    Filtrage des signaux a` temps continu

    Puissance et energie des signaux avant et apre`s filtrage

    Filtrer un signal revient aussi a` lui prelever une partie de son energie. Il est

    important de considerer la puissance et lenergie des signaux avant et apre`s filtrage

    dans le temps et en frequence.

    Y (f) = H(f)X(f)

    |Y (f)|2 = |H(f)|2 |X(f)|2

    Or on a vu que |X(f)|2 = xx(f) correspond a` la densite spectrale denergie(signaux a` energie finie), dou :

    yy(f) = |H(f)|2xx(f)par TF inverse on montre que :

    Cyy() = Chh() Cxx()avec Chh() =

    + h(t)h

    (t ) dt.

    Traitement du signal 18

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    Si x(t) est a` energie finie, xx(f) est la densite spectrale denergie,

    Cxx() =+ x(t)x

    (t ) dt = +

    xx(f) ej2pif df

    Cxx(0) =+ x(t)x

    (t) dt = +

    xx(f) df = Ex

    Si x(t) est a` puissance moyenne finie, xx(f) est la densite spectrale depuissance,

    Cxx() = limT

    1

    T

    +T/2T/2

    x(t)x(t ) dt

    Cxx(0) = limT

    1

    T

    +T/2T/2

    x(t)x(t) dt = Px = +

    xx(f) df

    Si x(t) est un signal periodique de periode T0, xx(f) est la densite spectrale depuissance, et Cxx() est de periode T0.

    xx(f) = TF [Cxx()] =

    +k=

    |Xk|2 (f k

    T0)

    Traitement du signal 19

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    Filtrage des signaux a` temps continu

    Fenetrage temporel

    On appelle fenetrage temporel, le fait de multiplier un signal de dure infinie par une

    fenetre pour obtenir un signal a` duree finie correspondant a` un signal physique.

    La fenetre la plus simple est la fenetre rectangulaire mais il en existe bien dautres.

    Leffet de cette fenetre temporelle sur le signal et sur son spectre est tres important.

    En effet, si par exemple on a le signal temporel suivant :

    x(t) = cos(2pif0t)

    Si on lui applique une fenetre du type w(t) = /2(t) alors,

    y(t) = x(t)w(t)

    Y (f) = X(f) W (f)Le fenetrage en temps correspond a` une convolution des spectres en frequence,

    Y (f) =

    2sinc[(f f0) ] +

    2sinc[(f + f0) ]

    Traitement du signal 20

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    Filtrage des signaux a` temps continu

    Filtre sans distorsion

    On a vu quun filtre (syste`me lineaire continu, invariant dans le temps) modifiait

    lamplitude et la phase des composantes sinusodales du signal dentree.

    En transmission de signal au contraire on souhaite transmettre un signal dun point

    a` un autre, sans distorsion. On suppose que le canal de transmission peut etre

    modelise idealement par un syste`me lineaire invariant dans le temps (cest a` dire un

    filtre). On definit le filtre sans distorsion, comme un filtre qui apporte un gain K et

    un retard t0 au signal dentree x(t),

    y(t) = K x(t t0)Y (f) = K ej2pift0X(f)H(f) = K ej2pift0

    Le gain du filtre est K et la phase est Arg(H(f) = 2pift0.

    Traitement du signal 21

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    Pour realiser un filtre sans distorsion il faut un gain constant f et une phase egale a`une fonction negative de la frequence. Ceci est irrealisable physiquement car h(t) est

    un dirac. En fait dans la pratique on souhaite ces deux conditions seulement pour les

    frequences ou le signal dentree a un contenu spectral. On dit que la bande passante

    du filtre doit contenir les supports frequentiels des signaux a` lentree du filtre.

    Remarque : loreille humaine est sensible a` la distorsion de phase.

    Traitement du signal 22

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    Filtrage des signaux a` temps continu

    Exercices

    - Soit le signal periodique s(t) defini par s(t) = A cos(2pif0t+ 0)

    1. Donner la fonction dautocorrelation Css() et la densite spectrale de puissance

    de s(t).

    2. Soit la sortie du filtre h(t) definie par y(t) = h(t) x(t) = x(t) x(t T )(a) Quel est le signal de sortie si le signal dentree x(t) est un dirac (t).

    (b) Calculer la reponse en frequence du filtre H(f).

    (c) Calculer |H(f)|2 et en deduire Chh().3. On conside`re maintenant que lentree x(t) = s(t).

    (a) Calculer la fonction dautocorrelation Cyy() de y(t).

    (b) En deduire la puissance moyenne du signal de sortie.

    (c) Calculer la densite spectrale du signal de sortie y(t).

    Traitement du signal 23

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    (d) En deduire la puissance moyenne du signal de sortie, par

    Py =+ yy(f) df

    - Soit un signal x(t) reel non nul pour 0 < t < t1 et de fonction dautocorrelation

    Cxx(). Soit y(t) la sortie dun filtre lineaire de reponse impulsionnelle h(t). On dit

    quun filtre est adapte au signal x(t) si h(t) = x(t1 t).1. Calculer dans ce cas y(t) et lexprimer en fonction de Cxx().

    2. Pour quelle valeur de t, la sortie y(t) est-il maximal? On utilisera une propriete

    des fonctions dautocorrelation.

    Traitement du signal 24

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    Lechantillonnage

    On appelle echantillonnage dun signal analogique x(t) le fait de prelever

    regulie`rement (tous les Te secondes) les valeurs x(k Te). Lechantillonnage parfait est

    realise par une suite de diracs separes par Te de poids 1 qui multiplie le signal de

    spectre [B,B].

    0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    x(t)=sin(wt)

    temps (t)

    Signal analogique

    0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    x(kTe)=sin(wkTe)

    temps (kTe)

    Signal echantillonne

    0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Conversion en signal binaire

    temps (kTe)

    Conversion numerique

    On definit le signal echantillonne par xe(t) = x(t)(t) = x(t)+

    k= (t kTe)

    Traitement du signal 25

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    Lechantillonnage

    Xe(f) secrit

    Xe(f) = X(f) Fe+

    k=(f kFe)

    Xe(f) = Fe

    +k=

    X(f kFe)

    Le spectre du signal echantillone Xe(f) sobtient en perodisant avec une periode

    Te =1Fe

    le spectre X(f). Echantillonner dans le temps revient a` periodiser dans

    lespace des frequences. Il y a un proble`me lorsque Fe < 2B. En effet, dans ce cas il

    y a repliement des spectres ou recouvrement ou aliasing. Ceci implique quon ne

    peut plus reconstruire X(f) a` partir de Xe(f) et donc x(t) a` partir de x(kTe).

    Traitement du signal 26

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    Lechantillonnage

    Theore`me dechantillonnage : Shannon/Nyquist

    Un signal x(t) denergie finie dont le spectre est a` support sur [B,B] peut etreechantillonne tous les Te sans perte dinformation a` condition que la frequence

    dechantillonnage Fe (ici frequence de Nyquist) verifie :

    Fe >1Te

    2BSans perte dinformation signifie quon peut reconstruire x(t) instant t a` partir dela suite infinie des echantillons x(kTe), pour cela il suffit de filtrer x(kTe) par un

    filtre passe bas ideal de reponse en frequences H(f) = TeFe (f), h(t) = sinc(Fe t).

    y(t) = xe(t) h(t) =+

    k=x(kTe) (t kTe) sinc(Fet)

    x(t) =

    +k=

    x(kTe) sinc (Fe(t kTe))

    Cette dernie`re equation correspond a` la formule dinterpolation de Shannon.

    Traitement du signal 27

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    Signaux deterministes a` temps discret

    Signaux a` temps discret elementaires

    Impulsion unite

    (k) = 1 si k = 0= 0 si k 6= 0 Lechelon unite

    u(k) = 1 si k 0= 0 si k < 0 La porte de longueur N

    N (k) = 1 si 0 k N/2 1= 0 si k N/2Traitement du signal 28

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    Signaux deterministes a` temps discret

    Proprietes

    Un signal x(k) est periodique de periode N N si N est le plus petit entier telque x(k) = x(k +N) k

    On definit lenergie par Ex =+

    k= |x(k)|2

    On definit la puissance moyenne par Px = limN 12N+1+N

    k=N |x(k)|2

    Signaux a` energie finie, a` puissance moyenne finieSi on a 0 < Ex

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    TF de Fourier des signaux a` temps discret

    X(f) = X( ej2pif ) =

    +k=

    x(k) ej2pikf

    X(f + 1) =

    +k=

    x(k) ej2pik(f+1)

    X(f + 1) =

    +k=

    x(k) ej2pikf = X(f)

    Donc X(f) est periodique de periode 1. Attention le spectre X(f) du

    signal a` temps discret x(k) est a` la frequence continue et de periode

    F0 = 1.

    Traitement du signal 30

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    Exemple

    Calcul de la TF de x(k) = N (k),

    X(f) =

    +k=

    x(k) ej2pikf =N1k=0

    x(k) ej2pikf

    X(f) =1 ej2pifN1 ej2pif = e

    jpif(N1) sin(pifN)sin(pif)

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    sin(pi f N)/sin(pi f)N sinc(N f)

    Traitement du signal 31

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    Transformee de Fourier discre`te (TFD)

    Il faut definir une representation frequentielle pour letude des signaux reels, cest a`

    dire signaux a` support borne k 6= et egalement saffranchir de la contrainte fcontinue. On propose dutiliser la TFD :

    prendre un nombre fini (N) dechantillons x(k), k = 0, . . . , N 1,

    X(f) =

    N1k=0

    x(k) ej2pikf

    et discretiser la frequence f sur [0,1[. On choisit = 1/N , cest a` direfn = n/N pour n = 0, . . . , N 1.

    X(n

    N) =

    N1k=0

    x(k) ej2piknN avec n = 0, . . . , N 1

    On obtient ainsi N valeurs X(0), X(1/N), . . . , X(N 1/N) correspondant a` latransformee de Fourier discre`te.

    Traitement du signal 32

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    Transformee de Fourier discre`te (TFD)

    Par definition la TFD est une application lineaire qui a` N valeurs complexes

    (x(0), . . . , x(N 1)) associe N valeurs complexes (X0, . . . , XN1) et on note

    Xn =

    N1k=0

    x(k) ej2piknN avec n = 0, . . . , N 1

    La suite Xn est une suite periodique de periode N .

    La TFD inverse donne

    x(k) =1

    N

    N1n=0

    Xn ej2pik n

    N avec k = 0, . . . , N 1

    Traitement du signal 33

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    Transformee de Fourier discre`te (TFD)

    La TFD represente les valeurs echantillonnees de la TF dun signal discret deduree finie, x0, . . . , x(N 1).

    Si x(k) nest pas de duree finie, on a les valeurs echantillonnees de la TF dusignal discret x(k)N (k), N (k) etant le fenetre rectangulaire de longueur N .

    Ceci entrane des oscillations dans la TF et lutilisation de fenetres de

    ponderation g(k) pour les faire disparatre (Hamming, Hanning).

    La TFD ne represente les valeurs echantillonnees de la TF dun signal a` tempscontinu x(t) que si x(t) est a` duree limitee [0, NTe] et si sa TF X(f) a` un

    spectre a` bande limitee [ 12Te

    , 12Te

    ]. Comme il nexiste pas de signaux a` duree

    et a` bande limitee, on commet une erreur systematique en considerant les Xn

    comme des echantillons de la TF X(f) .

    Traitement du signal 34

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    Transformee de Fourier discre`te (TFD) : Exemple

    On cherche a` determiner la TDF Xn du signal

    x(k) = A cos(2pif0

    fek)

    Xn =

    N1k=0

    x(k) ej2piknN avec n = 0, . . . , N 1

    Signal reel le module du spectre est une fonction paireSignal echantillonnee le module du spectre est une fonction periodique (fe)TFD frequences discre`tes

    Signal a` support bornemultiplication en temps=convolution en frequence

    Traitement du signal 35

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux deterministes a` temps discret

    Transformee de Fourier discre`te (TFD) : Exemple

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    5.5TF pour N=256

    Frquence

    N = 256

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    5.5TF pour N=260

    Frquence

    N = 260

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    5.5TF pour N=266

    Frquence

    N = 266

    Traitement du signal 36

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Fenetres de ponderation

    Fenetre rectangulaire

    On multiplie le signal par un signal rectangulaire (fonction Porte), possedant N

    echantillons unites. Au niveau spectral cette multiplication revient a` convoluer la

    TF de x(t) par la TF de la fonction porte. Cette operation de convolution a pour

    effet dintroduire des ondulations dans le spectre.

    80 90 100 110 120 130 1400.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    Temps

    Fentre rectangulaire

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

    15

    20

    Frquences

    1/N

    80 90 100 110 120 130 1400.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    Temps

    Fentre rectangulaire

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5300

    250

    200

    150

    100

    50

    0

    50

    Frquences

    Traitement du signal 37

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    En re`gle generale la resolution en frequence sera dautant meilleure que :

    le lobe principale (central) est etroit, les lobes secondaires (lateraux) sont bas.

    Malheureusement la reduction en hauteur des lobes secondaires saccompagne

    toujours de lelargissement du lobe principal. Il faut donc accepter un compromis

    entre ces deux effets.

    Traitement du signal 38

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Fenetre de Hamming

    La fenetre de Hamming est donne par la relation suivante pour = 0.54 :

    w(k) = + (1 ) cos(2pik/N)) pour |k| N/2= 0 ailleurs (2)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    Temps

    Fentre de Hamming

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.560

    40

    20

    0

    20

    40

    Frquences

    La fenetre de Hanning est obtenue pour = 1/2 dans lequation 2.

    Traitement du signal 39

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Fenetre de Kaiser

    Une autre famille de fonctions fenetre a ete proposee par Kaiser. Elle permet selon

    la valeur dun parame`tre , de specifier dans le domaine des frequences le compromis

    entre la largeur de lobe principal et et lamplitude des lobes secondaires. Une

    caracteristique importante ce cette famille de raffinee de fenetres est quil est

    possible de dobtenir de fortes attenuations des lobes secondaires tout en conservant

    une largeur minimale pour la pic central. La forme generale de cette fonction est la

    suivante :

    w(k) =I0

    [N24k2

    ]I0(N)

    pour |k| N/2= 0 ailleurs

    (3)

    ou` I0 est la fonction de Bessel de premie`re espe`ce dordre zeros et ou` caracterise

    lechange denergie entre le pic central et les lobes secondaires. La largeur du pic

    central augmente avec .

    Traitement du signal 40

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    1.1

    Temps

    Fentre de Kaiser

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.560

    40

    20

    0

    20

    40

    Frquences

    = 0.8

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Temps

    Fentre de Kaiser

    0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.560

    40

    20

    0

    20

    40

    Frquences

    = 2

    Traitement du signal 41

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Exemple

    Traitement du signal 42

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.074

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    5x=2*cos(2*pi*200*t)+3*cos(2*pi*400*t)

    Temps

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

    0.5

    1

    1.5Fentre rectangulaire

    Frquences

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

    0.5

    1

    1.5Fentre hamming

    Frquences

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

    0.5

    1

    1.5Fentre kaiser

    Frquences

    Traitement du signal 43

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Rappels sur les probabilites

    Introduction

    Jusqua` present, nous avons parle des signaux deterministes dans letude des

    syste`mes lineaires invariant dans le temps, sans mentionner le role important que

    jouent les phenome`nes aleatoires en traitement du signal et plus particulie`rement en

    telecommunications.

    Une variable aleatoire X est une fonction qui associe un nombre reel, appele valeur x

    de X.

    Si X ne peut prendre quun ensemble denombrable de valeurs distinctes, on dit que

    X est une variable aleatoire discre`te. Si X peut prendre une valeur quelconque sur

    un ou plusieurs intervalles de la droite reelle, alors X est une variable aleatoire

    continue.

    Le nombre dappels telephoniques arrivant a` un bureau est une variable aleatoire

    discre`te, alors que la date exacte de larrivee dun de ces appels est une variable

    aleatoire continue.

    Traitement du signal 44

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Histogramme

    Pour caracteriser la variable, on commence par decouper lintervalle des reels en

    segments [xk, xk+1]. Puis, on effectue N mesures et on construit un histogramme.

    Pour cela on compte le nombre de fois nk ou` le resultat de la mesure x appartient a`

    chacun de ces segments. On tient compte du fait que les segments couvrent laxe des

    reels et sont disjoints et on definit la probabilite

    proba(x [xk, xk+1[) = limN

    nk

    N(4)

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.50

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    Valeurs de x

    Nb doccurences de x

    Traitement du signal 45

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Fonction de repartition

    On definit la fonction de repartition de la variable aleatoire X comme etant la

    probabilite que X soit strictement inferieure a` x :

    FX(x) = P (X < x) pour tout x variant de a` + (5)

    Cest une fonction non decroissante qui peut presenter des paliers et des

    discontinuites. Elle tend vers 0 lorsque x et 1 lorsque x +.

    Les proprietes de FX(x) sont les suivantes :

    FX() = 0, FX() = 1, 0 FX(x) 1, FX(x1) FX(x2) si x1 x2, P{x1 < X x2} = FX(x2) FX(x1).

    Traitement du signal 46

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Exemples

    Le premier exemple correspond a` la fonction de repartition dun signal de type

    gaussien. Le second exemple consiste a etudier le lancer de de (6 faces). La variable

    aleatoire est une variable aleatoire discre`te et si le de nest pas truque on a

    FX(x) =6

    i=1 P (xi)u(x xi).

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.50

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0.14

    1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    valeur de x

    Fonction de rpartition

    2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1Fonction de rpartition pour le lancer de d

    Traitement du signal 47

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Densite de probabilite

    La densite de probabilite (ddp) pX(x) de la variable aleatoire X et a donc pour

    definition :

    pX(x) =dFX(x)

    dx(6)

    Cest une fonction non negative, mais ce nest pas une probabilite, elle

    nest pas necessairement inferieur a` un.

    les proprietes de pX(x) sont les suivantes :

    pX(x) 0, + pX(x)dx = 1, FX(x) =

    x pX()d,

    P{x1 < X x2} = x2x1

    pX(x)dx

    Traitement du signal 48

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Dans le cas dune variable aleatoire discre`te, on a :

    pX(x) =i

    P (xi)(x xi) (7)

    On peut estimer la densite de probabilite en construisant un histogramme pour

    lequel le pas dechantillonnage de laxe des reels est infiniment grand. Dans lexemple

    de la figure suivante, le nombre dechantillons est de 1000, 10000 et enfin 100000.

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.50

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    N=1000

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.50

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    N=10000

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.50

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    N=100000

    Traitement du signal 49

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Lois de repartition particulie`res

    Loi de Bernouilli x

    La loi de Bernouilli x prend la valeur 0 avec la probabilite r et la valeur 1 avec la

    probabilite (1-r). Sa densite de probabilite secrit :

    pX(x) =i

    P (xi)(x xi) = r(x) + (1 r)(x 1)

    Loi de poisson

    Cette loi correspond a` la loi que lon obtient en comptant des evenements aleatoires

    independants : arrivee dune particule sur un capteur, decompte des appels sur un

    central telephonique, comptage de voitures sur une route, etc. Cest la loi centrale

    des etudes sur les files dattente dans les reseaux de communication. Elle depend

    dun parame`tre qui caracterise le debit moyen du flux. La probabilite dobserver k

    evenements pendant une duree t est donne par

    pX(x, t) =(tk)

    k!et pour k 0 et t 0 et ou` 0! = 1. (8)

    Loi uniforme

    Traitement du signal 50

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    On dit quune variable aleatoire X suit une loi uniforme si elle prend ses valeurs

    uniquement dans lintervalle [a, b[ et que sa densite de probabilite vaut

    pX(x) =1

    b a (9)

    Sa fonction de repartition est composee de 3 segments de droites.

    Pour x < a, pX(x) = 0 donc FX(x) = 0, pour [a, b[,

    FX(x) =

    x

    pX(u)du

    FX(x) =

    xa

    1

    b adu

    FX(x) =x ab a

    pour x b, FX(x) = 1

    Traitement du signal 51

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    3 2 1 0 1 2 30.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    x

    Densit de probabilit

    3 2 1 0 1 2 30.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2Fonction de rpartition

    x

    a=0.5

    a=0.5

    b=1.5

    b=1.5

    Loi uniforme

    Traitement du signal 52

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Loi normale ou gaussienne

    On dit quune variable aleatoire X suit une loi normale si sa densite de probabilite a

    pour expression :

    pX(x) =1

    x2pi

    e (xmx)2

    22x (10)

    La densite de probabilite passe par son maximum pour x = mx. Cette loi presente

    plusieurs caracteristiques importantes :

    Cette loi joue un role fondamental dans letude des phenome`nes aleatoires quelon rencontre dans les syste`mes physiques. La plupart des processus aleatoires

    naturels sont pratiquement gaussiens. De plus, dapre`s le theore`me central

    limite (cf paragraphe ??), la somme dun grand nombre de variables aleatoires,

    sous certaines conditions suit une loi normale.

    Tout linformation est donnee directement par la moyenne mx et la variance xde la variable aleatoire X. 95 % des valeurs de x sont contenues dans

    lintervalle [x 2, x+ 2]. Elle permet des developpements mathematiques efficaces.

    Traitement du signal 53

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %m

    x

    x

    1/(2pi)0.5

    4 = 95%

    Figure 1: Loi normale

    Traitement du signal 54

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Moyennes statistiques

    Esperance mathematique moment dordre 1

    On appelle moyenne statistique, la quantite E :

    E[X] = mx =

    +

    x pX(x) dx (11)

    Si X est une variable aleatoire discre`te, on a :

    E[X] = mx =

    +

    x

    [i

    P (xi)(x xi)]dx =

    i

    xi P (xi) (12)

    si les probabilites sont uniformement reparties, P (xi) =1N, on a :

    E[X] = mx =1

    N

    Ni=1

    xi (13)

    ce qui donne la moyenne arithmetique des xi.

    Traitement du signal 55

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Remarques

    On notera que lesperance mathematique est un operateur lineaire :

    E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] (14)

    E[cX] = c E[X] ou` c = constante. (15)

    Moments et variance

    Le moments dordre n de la variable aleatoire X a pour expression :

    Mn = E[Xn] =

    +

    xnp(x)dx (16)

    Le moment dordre centre n de X a pour definition :

    E[(X mx)n] = +

    (xmx)n pX(x) dx (17)

    avec mx = E[X].

    Traitement du signal 56

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Variance

    Le moment centre dordre 2 est appele variance de X, soit :

    var[X] = 2x = E[(X mx)2] (18)

    La racine carre de la variance, notee x, est appelee ecart type de X. La variance

    est une mesure de la dispersion des valeurs de X autour de sa valeur

    moyenne mx.

    2x = E[X2 2mxX +m2x] = E[X2] 2mx E[X] +m2x = E[X2]m2x (19)

    2x = E[X2] E[X]2 (20)

    Traitement du signal 57

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    4 2 0 2 4 6 8 10 120

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0.14Densit de probabilit

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12Signal alatoire de loi gaussienne

    2x = 4, mx = 4

    3 4 5 6 7 8 9 100

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12Densit de probabilit

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5003

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10Signal alatoire de loi gaussienne

    2x = 1, mx = 6

    Traitement du signal 58

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Moments conjoints et covariance

    Un des objectifs fondamentaux du calcul des probabilites est detablir un lien

    eventuel entre plusieurs resultats dexperiences. On est ainsi amene a` etudier le

    comportement conjoint de plusieurs variables aleatoires.

    Repartition conjointe

    Soit deux variables aleatoires X et Y . On definit FXY (x, y), la fonction de

    repartition conjointe de X et Y par :

    FXY (x, y) = P (X x, Y y) (21)

    La densite de probabilite conjointe de X et Y a pour expression :

    pXY (x, y) =2

    xyFXY (x, y) (22)

    pXY (x,y) 0

    Traitement du signal 59

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Repartition marginale

    FX(x) et FY (y) sont appelees fonction de repartition de probabilite marginales :

    FX(x) = FXY (x,) (23)FY (y) = FXY (, y) (24)

    Les densite de probabilite marginales pX(x) et pY (y) ont pour expression :

    pX(x) = FX(x) =

    +

    pXY (x, y)dy (25)

    pY (y) = FY (y) =

    +

    pXY (x, y)dx (26)

    Traitement du signal 60

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Variables aleatoires independantes

    Deux variables aleatoires X et Y sont independantes si :

    FXY (x, y) = FX(x)FY (y) et

    pXY (x, y) = pX(x) pY (y)

    Correlation

    La correlation de X et de Y , que lon note RXY , a pour expression :

    RXY = E[XY ] =

    +

    +

    x y pXY (x, y) dxdy (27)

    Covariance

    La covariance de X et de Y , notee CXY , se definit comme suit :

    CXY = E[(X mx)(Y my)] (28)En developpant la relation, on obtient :

    CXY = E[XY ] E[X] E[Y ] = RXY mxmy (29)

    Traitement du signal 61

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Coefficient de correlation

    Le coefficient de correlation de X et Y a pour definition :

    =CXY

    x y(30)

    ou` x, y sont respectivement les ecarts types de X et Y . On peut montrer que

    || 1, il sen suit que |CXY | x y.Si deux variables aleatoires X et Y sont non correlees si et seulement si CXY = 0.

    Dans ce cas

    E[XY ] = E[X] E[Y ] (31)

    Traitement du signal 62

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Variables conjointement gaussiennes

    Les variables X et Y sont dites conjointement normales si leur probabilite conjointe

    a pour expression :

    pXY (x, y) =1

    2pixy1 2

    e

    [(xmxx

    )22( xmxx

    )(ymyy

    )+

    (ymyy

    )2](32)

    Cette formule fait apparatre les variances de chacune des deux variables, leur

    moyenne, ainsi que leur coefficient de correlation. Si le coefficient de correlation est

    nul ( = 0), pXY (x, y) secrit comme le produit

    pXY (x, y) =

    (1

    x2pi

    e (xmx)

    2

    22x

    ) 1y2pi

    e (ymy)

    2

    22y

    (33)Les variables sont donc independantes. La figure represente pXY (x, y) pour mx = 0,

    x = 3, my = 1 et y = 1).

    Traitement du signal 63

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %5

    0

    5

    5

    0

    50

    0.02

    0.04

    0.06

    x

    p(x,y) de variables alatoires gaussiennes

    y

    Traitement du signal 64

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Changement de variables

    Fonction de variables aleatoires

    Etant donne une variable aleatoire X et une fonction g(x), lexpression

    Y = g(X)

    constitue une autre variable aleatoire dont la fonction de repartition est :

    FY (y) = P (Y y) = P (g(X) y) (34)

    Determination de la densite de probabilite

    Pour trouver la densite de probabilite pY (y), on resout lequation y = g(x). En

    designant par xk les racines reelles de lequation y g(x) = 0, on a :

    pY (y) =k

    pX(x)

    |g(xk)|(35)

    ou` g(x) est la derivee de g(x).

    Traitement du signal 65

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Exercices

    Variables aleatoires, fonctions de repartition et densites

    I. La densite de probabilite dune variable aleatoire X a pour expression :

    pX(x) =

    k pour x [a1, a2[0 ailleursou` k est une constante.

    Determiner la valeur de k. Soit a1 = 1 et a2 = 2. Evaluer la proba(|X| 1/2).

    II. La densite de probabilite de X a pour expression :

    pX(x) = k eaxu(x)

    ou` a est une constante positive. Determiner la valeur de la constante k et

    dessiner pX(x).

    III. La probabilite conjointe de X et Y a pour expression :

    pXY (x, y) = k e(ax+by)u(x)u(y)

    Traitement du signal 66

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    ou` a et b sont des constantes positives. Determiner la valeur de k.

    IV. La probabilite conjointe de X et Y a pour expression :

    pXY (x, y) = xy e(x2+y2)/2u(x)u(y)

    Evaluer les densites de probabilite marginales pX(x) et pY (y). X et Y sont-ils independants?

    Moyennes statistiques

    I. Soit Y = aX + b. Montrer que si la moyenne de X est mx et sa variance 2x,

    alors, my = amx + b et 2y = a22x.

    II. En utilisant lequation 35, evaluer et tracer pY (y) pour Y = X2, lorsque X suit

    une loi gaussienne avec mx = 0 et 2x = 1.

    III. Calculer la covariance de X et Y :

    lorsque X et Y sont independants. lorsquil existe entre X et Y la relation Y = aX + b.

    Traitement du signal 67

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoire

    Il existe de nombreux signaux naturels ou artificiels, comme les signaux de parole

    issu dun micro, la consommation delectricite, un signal binaire de transmission, ...

    Dans ces exemples, on ne peut pas predire exactement lechantillon suivant avant de

    lavoir observe. On ne peut donc pas considerer ces signaux comme deterministes.

    On modelisera ce signal x(k) comme la realisation dun processus aleatoire X(k). On

    ignorera les valeurs instantanees du signal pour sinteresser aux valeurs statistiques

    (valeur moyenne, variance, fonction dautocorrelation,...).

    Lanalyse spectrale de processus aleatoire fait appel aux valeurs statistiques. Un

    processus stochastique a une energie infinie et lanalyse spectrale est obtenue en

    prenant la TF de la fonction dautocorrelation, cest la densite spectrale de

    puissance.

    Traitement du signal 68

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Les moments temporels, les relations de base

    Moyenne temporelle

    On appelle moyenne temporelle, la quantite :

    x(t) = limT

    1

    T

    T/2T/2

    x(t) dt

    Autocorrelation temporelle

    On appelle autocorrelation temporelle, la quantite :

    x(t)x(t+ ) = Rxx() = limT

    1

    T

    T/2T/2

    x(t)x(t+ ) d

    Traitement du signal 69

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Caracteristiques statistiques dun processus aleatoire

    Moyenne statistique

    On appelle moyenne statistique, la quantite :

    E[X(t)] = mx(t) =

    +

    x p(x, t) dx

    ou` p(x, t) correspond a` la densite de probabilite de la variable aleatoire X(t).

    Autocorrelation statistique

    On appelle autocorrelation statistique, la quantite :

    Rxx(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] =

    +

    +

    x1 x2 p(x1, x2; t1, t2) dx1 dx2

    avec p(x1, x2; t1, t2) la densite de probabilite conjointe des deux variables aleatoires.

    Traitement du signal 70

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Caracteristiques statistiques dun processus aleatoire

    Fonction dautocovariance statistique (Cxx) et variance (Var)

    Cxx(t1, t2) = E[(X(t1)mx(t1)) (X(t2)mx(t2))]Var[X(t)] = E[(X(t)mx(t))2] = 2x

    Processus aleatoire stationnaire

    Pour un processus aleatoire stationnaire au second ordre :

    1. La moyenne mx(t) doit etre independante du temps :

    mx(t) = mx = cste .

    2. La fonction dautocorrelation ne depend que de = t2 t1 :Cxx() = Rxx()m2x et dans le cas ou X(t) est centre mx = 0 et Rxx() = Cxx()

    Traitement du signal 71

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Caracteristiques statistiques dun processus aleatoire

    Processus ergodique

    Si les resultats obtenus a` partir des moyennes statistiques sont equivalents a` ceux

    obtenus a` partir des moyennes temporelles, alors le processus est ergodique.

    Un processus aleatoire est ergodique a` lordre n si les moyennes temporelles jusqua

    lordre n sont independantes du choix de la realisation.

    Un processus stationnaire du second ordre est ergodique si Rxx() = Rxx()

    Traitement du signal 72

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    En Resumepour un processus aleatoire X(t) stationnaire du 2nd ordre et ergodique :

    1. la moyenne mx est independante de linstant dobservation et peut etre obtenue

    a` partir dun trajectoire quelconque du processus par :

    mx = E[X(t)] = limT

    1

    T

    T/2T/2

    x(t) dt

    2. la fonction dautocorrelation ne depend pas de lorigine des temps et peut etre

    obtenue a` partir dune trajectoire quelconque par :

    Rxx() = E[X(t)X(t+ )] = lim

    T1

    T

    T/2T/2

    x(t)x(t+ ) dt

    Traitement du signal 73

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Correlation

    Autocorrelation statistique

    Lautocorrelation de X(t) a pour valeur,

    Rxx() = E[X(t)X(t+ )] (36)

    Proprietes

    fonction paire, Rxx() = Rxx(), maximum en 0, |Rxx()| Rxx(0) = E[X2(t)],

    Intercorrelation statistique

    La fonction dintercorrelation de 2 processus aleatoires stationnaires vaut :

    Rxy() = E[X(t)Y(t+ )]

    avec Rxy() = Rxy().Dans le cas ou` les processus sont ergodiques, on definit

    Rxy() = Rxy() = limT

    1

    T

    T/2T/2

    x(t) y(t+ ) dt

    Traitement du signal 74

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Autocovariance

    Dans ce cas la fonction dautocovariance est donnee par

    Cxx() = E[(X(t) E[X(t)])(X(t+ ) E[X(t+ )])] (37)Cxx() = Rxx()m2x (38)

    Intercovariance

    Lintercovariance de X(t) et Y (t) a pour expression :

    Cxy() = E[(X(t) E[X(t)])(Y (t+ ) E[Y (t+ )])] (39)Cxy() = Rxy()mxmy (40)

    Les deux processus stochastiques X(t) et Y (t) sont dit mutuellement orthogonaux si

    Rxy() = 0.

    Les deux processus stochastiques X(t) et Y (t) sont dit non correles

    lorsque Cxy() = 0.

    Traitement du signal 75

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Analyse spectrale numerique

    Processus aleatoires : theore`me de WienerKhintchine

    La densite spectrale de puissance dun processus aleatoire stationnaire est la

    transformee de Fourier de sa fonction dautocorrelation statistique :

    Rxx()TF

    xx(f) =

    +

    Rxx() ej2pif d

    Definition du bruit blanc b(t)

    Un bruit blanc b(t) de variance 2b est un signal aleatoire stationnaire centre

    (mb = 0) dont la fonction dautocorrelation statistique

    Rxx() = E[b(t) b(t+ )] = 2 ()

    Traitement du signal 76

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    dou`

    Rxx()TF

    (f) = 2b

    donc

    E =

    +

    (f) df =

    Le bruit blanc est un signal a energie et puissance infinie.

    Bruit colore

    Dans de nombreuses applications, les syste`mes rencontres ont une largeur de bande

    limitee (B/2, B/2). On modelise souvent le bruit par un processus reel, dans ladensite spectrale de puissance est egale a` 2b dans cette bande et nulle partout

    ailleurs. Sa puissance est alors B2b . On parle dans ce cas de bruit colore.

    Traitement du signal 77

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Analyse spectrale numerique

    Attention cest un mode`le theorique cest a` dire que le calcul de (f) a une

    frequence necessite le calcul de lautocorrelation Rxx() de ],+[.

    En pratique :

    1. On echantillonne les variables x(k), Rxx(k),

    x(t) x(k) = x(kTe) : on na pas de perte dinformation si x(t) a unefrequence max fe

    2(sinon on utilise un filtre antirepliement).

    2. On conside`re un intervalle fini dobservation.

    On a seulement des estimes Rxx(k) de Rxx(k) et donc (f) sera entache

    derreur. De plus, on a un nombre fini de valeur de Rxx(k). Pour toute ses

    raisons on ne parle plus danalyse spectrale mais destimation spectrale.

    Traitement du signal 78

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Processus aleatoires particuliers

    Sequences independantes et identiquement distribuees (i.i.d.)

    Le mode`le le plus simple de suite aleatoire est celui ou` toutes les variables de la suite

    ont la meme loi et sont independantes.

    Considerons un processus aleatoire X(t) et definissons n variables aleatoires

    X(t1), X(t2), . . . , X(tn) correspondant a` n instants de mesure t1, t2, . . . , tn. On

    forme un vecteur aleatoire X (n 1), qui a pour definition :

    X =[X(t1) X(t2) . . . X(tn)

    ]t(41)

    La loi de probabilite dune variable aleatoire de X, prise a` un instant n quelconque,

    est independant de n : on dit alors que X est identiquement distribuee.

    Quel que soit le nombre dinstants et quelle que soit la suite des instants les

    variables aleatoires X(t1), X(t2), . . . , X(tn) sont mutuellement independantes.

    Une telle sequence est designee par sequence aleatoire i.i.d. (Independantes et

    Identiquement Distribuees).

    Le bruit blanc est un exemple de sequence i.i.d. centree.

    Traitement du signal 79

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Processus aleatoires particuliers

    Processus aleatoire gaussien

    Soit le vecteur aleatoire definit par lequation 41 au paragraphe precedent. Soit x un

    vecteur (n 1) ayant pour definition :

    x =

    x1

    x2

    . . .

    xn

    (42)

    X(t) est par definition, un processus gaussien si X presente une densite multivariable

    conjointement gaussienne pour tout ensemble fini de valeur ti et pour tout n.

    La densite multivariable dun processus gaussien a pour expression :

    p(x) =1

    (2pi)n/2|detC|1/2 exp[12(x-m)tC1(x-m)

    ](43)

    ou` m est le vecteur moyenne, C est la matrice de covariance, dexpression :

    Traitement du signal 80

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    m = E[X] =

    m1

    m2

    . . .

    mn

    =

    E[X(t1)]

    E[X(t2)]

    . . .

    E[X(tn)]

    (44)

    C =

    C11 . . . C1n

    . . . . . . . . .

    Cn1 . . . Cnn

    (45)ou` Cij = CXX(ti, tj) = RXX(ti, tj)mimj expression qui represente la covariancede X(ti) et X(tj), tandis que det C est le determinant de la matrice C.

    Traitement du signal 81

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Les proprietes les plus importantes dun processus gaussien sont enumerees ci-apre`s :

    1. un processus gaussien est entie`rement defini par lensemble de ses moyennes miainsi que par ses fonctions dautocorrelation RXX(ti, tj) avec i, j = 1, . . . , n.

    2. Si lensemble des variables aleatoires X(ti), ne presentent aucune correlation ,

    cest a` dire si Cij = 0 i 6= j, alors les X(ti) sont independants.3. Si un processus gaussien X(t) est stationnaire au sens large, alors il lest au sens

    strict.

    4. Si lon applique un processus gaussien a` lentree dun syste`me lineaire, le

    processus aleatoire en sortie est lui aussi gaussien.

    Traitement du signal 82

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Les relations en discret

    Autocorrelation discre`te du processus X(n) aleatoire stationnaire discret :

    Rxx(k) = E[X(n)X(n+ k)] avec k ],+[

    Intercorrelation entre deux processus X(n) et Y (n) aleatoires stationnaires :

    Rxy(k) = E[X(n)Y(n+ k)]

    La densite spectrale de puissance dun processus aleatoire stationnaire

    xx(f) =

    +k=

    Rxx(k) ej2pifk

    Un bruit blanc discret b(k) de variance 2b est un processus aleatoire stationnaire,

    centre, dont les echantillons b(k) ne sont pas correles entre eux dou`

    Rbb(k)) = 2b (k) et bb(k)) =

    2b

    avec (k) = 1 pour k = 0 et 0 si k 6= 0.

    Traitement du signal 83

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Filtre lineaire invariant dans le temps

    Soit le signal de sortie y(n) issue dun syste`me lineaire de reponse impulsionnelle

    h(n) excite par un signal dentree aleatoire x(n). La convolution lineaire secrit alors,

    y(n) =

    +l=

    h(l)x(n l) = x(n) h(n)

    Lautocorrelation du signal de sortie secrit

    Ryy(k) = Rhh(k) Rxx(k)

    Par transformee de Fourier, on obtient

    yy(f) = |H(f)|2 xx(f)

    Dans le cas ou x(n) est un bruit blanc, Rxx(n) = 2b (n) alors, yy(f) = 2b |H(f)|2.

    Traitement du signal 84

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Signaux aleatoires

    Notion destimation

    Soit X(k) un signal aleatoire stationnaire et ergodique dont on conside`re N

    echantillons chacun des echantillons x(k) est une V.A. ayant une densite de

    probabilite p[X(k)]. Soit lestimation dun parame`tre du processus aleatoire, par

    exemple la moyenne, la variance, la fonction dautocorrelation...

    = F [X(0), X(1), . . . , X(N 1)]Comme sexprime en fonction des V.A., est une V.A. de densite de probabilite

    p(). F est appele un estimateur.

    On peut avoir plusieurs estimateurs du meme parame`tre et on privilegiera celui

    dont la proba[ voisin ] soit la plus grande possible. On mesurera donc, le biais et

    la variance de lestimateur.

    Traitement du signal 85

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Le biais dun estimateur est defini parB = E[]

    Si B=0 on dit que lestimateur est non biaise.

    La variance dun estimateur est defini parvar = E[( E())2]

    On cherche a` obtenir une variance la plus faible possible.

    Si le biais et la variance tendent vers 0 lorsque le nombre dobservation N tend vers

    linfinie alors on parle destimateur consistant.

    Traitement du signal 86

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Identification parametrique

    La transformee en z bilaterale

    La transformee en z, X(Z), de x(n) est definie par : X(Z) =+

    n= x(n)Zn

    Z est une variable complexe

    Si la suite x(n) represente la suite des echantillons dun signal echantillonnes a` la

    periode T , la transformation de Fourier de cette suite secrit :

    X(f) =

    +n=

    x(n) ej2pifnT

    Ainsi pour Z = ej2pifT la transformee en Z de la suite x(n) concide avec sa

    transformee de Fourier. Cest a` dire que lanalyse dun syste`me discret peut se faire

    avec la transformee en Z et pour connatre la reponse en frequence, il suffit de

    remplacer Z par ej2pifT .

    Traitement du signal 87

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Identification parametrique

    Transformee en z unilaterale

    Dans le cas des signaux et syste`mes causaux, on utilise la transformee en z

    unilaterale definie pour n 0 :

    X(z) =

    +n=0

    x(n)Zn (46)

    Fonction de transfert

    Dans le cas dun filtre lineaire, la relation dentree / sortie est donnee par le produit

    de convolution suivant : y(n) = h(n) x(n) =+i= h(i)x(n i) En prenantrespectivement la transformee de Fourier et en z on obtient :

    Y (f) = H(f)X(f), Y (Z) = H(Z)X(Z)

    H(Z) est appelee fonction de transfert du filtre et H(f) =+

    n= h(n) ej2pifn

    est appele la reponse en frequence.

    Traitement du signal 88

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Fonction de transfert dun syste`me stable

    Si le syste`me est stable, alors sa reponse impulsionnelle est absolument sommable :

    +n=

    |h(n)| <

    Cette condition entrane que lanneau de convergence doit necessairement contenir le

    cercle unite.

    Fonction de transfert dun syste`me causal stable

    Les poles de la fonction de transfert dun syste`me lineaire invariant causal et stable

    doivent se trouver a` linterieur du cercle unite.

    On peut, par la position des poles dans ce plan, connatre immediatement si le

    syste`me est stable ou non.

    Traitement du signal 89

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Syste`mes definis par une equation aux differences

    Un syste`me de ce type est defini par la relation suivante :

    y(n) =Ni=0

    aix(n i)Mj=1

    bjy(n j) (47)

    En appliquant la transformation en z aux membres de cette equation, on obtient :

    Y (Z) =Ni=0

    aiZiX(Z)

    Mj=1

    bjZjY (Z) (48)

    soit

    Y (Z) = H(Z)X(Z)

    avec

    H(Z) =a0 + a1Z1 + . . .+ aNZN

    1 + b1Z1 + . . .+ bMZM(49)

    La fonction de transfert du syste`me H(Z) est une fraction rationnelle. Les ai et les

    Traitement du signal 90

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    bj sont les coefficients du syste`me.

    En mettant en evidence les racines des deux polynomes, on peut exprimer H(Z) par :

    H(Z) =N(Z)

    D(Z)= a0

    Ni=1(Z Zi)Mj=1(Z Pj)

    (50)

    Les Zi et Pj sont respectivement les zeros et les poles de la fonction de transfert

    H(Z).

    Lanalyse dun syste`me par sa fonction de transfert correspond a` un fonctionnement

    en regime permanent; elle est suffisante dans la mesure ou` les phenome`nes

    transitoires peuvent etre negliges.

    Traitement du signal 91

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Filtres a reponse impulsionnelle finie

    Les filtres numeriques a` reponse impulsionnelle finie (RIF) sont definis par une

    equation selon laquelle un echantillon du signal filtre, est obtenu par la somme

    ponderee dun ensemble fini de nombres dentree, representant les echantillons du

    signal a` filtrer.

    Les coefficients de la sommation constituent la reponse impulsionnelle du filtre.

    Ce filtre est du type a` memoire finie, cest a` dire quil determine sa sortie en fonction

    dinformations dentree danciennete limitee.

    Lequation dentreesortie est donnee par lequation :

    y(n) =Ni=0

    aix(n i) (51)

    Le filtre ainsi defini comporte un nombre N fini de coefficients ai.

    Traitement du signal 92

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Le filtre a pour reponse a` la suite unitaire la suite h(i) telle que

    h(i) = ai si 0 i N 1h(i) = 0 ailleursCest a` dire que la reponse impulsionnelle est simplement la suite des coefficients.

    La fonction de transfert du filtre secrit :

    H(f) =

    N1i=0

    ai e2ipifT (TF) (52)

    H(Z) =

    N1i=0

    aiZi (TZ) (53)

    La fonction H(f) est une fonction periodique, de periode fe = 1T. Les coefficients ai

    constituent le developpement en serie de Fourier de cette fonction :N1i=0 |ai|2 = 1fe

    fe0 |H(f)|2df

    Traitement du signal 93

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Exemples

    Filtre en cosinusode

    Soit x(t) represente par ses echantillons x(nT ), preleves a` la frequence fe = 1/T .

    Soit la relation dentree sortie suivante :

    y(nT ) = 1/2 [x(nT ) + x((n 1)T )]Si Y (f) et X(f) designent les transformees de Fourier des signaux y(t) et x(t), il

    vient

    Y (f) = 1/2X(f)(1 + e2ipifT )

    La fonction de transfert secrit donc : H(f) = eipifT cos(pifT )

    Cest une operation de filtrage, qui conserve la composante continue et elimine la

    composante a` la frequence fe/2. Dans lexpression de H(f), le terme complexe

    e2ipifT/2 caracterise un retard = T/2 qui est le temps de propagation du signala` travers le filtre.

    La reponse impulsionnelle h(t) qui correspond au filtre de fonction de transfert

    |H(f)| secrit :

    h(t) = 1/2 [(t+ T/2) + (t T/2)]

    Traitement du signal 94

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    |H(f)|

    fe/2 fe/2 fe

    f

    Filtre en cosinusode

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    |H(f)|

    fe/2 fe/2 fe

    f

    Filtre en cosinusode surelevee

    Traitement du signal 95

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Filtre en cosinusode surelevee

    Soit lequation recurrente suivante :

    y(nT ) = 1/4 [x(nT ) + 2x[(n 1)T ] + x[(n 2)T ]]

    Comme le filtre precedent, il conserve la composante continue et elimine celle a`

    fe/2. Elle correspond a` la fonction de transfert :

    H(f) = 1/4(1 + 2 e2ipifT + e2ipif2T ) =e2ipifT

    2(1 + cos(2pifT ))

    Le filtre obtenu est dit en cosinusode surelevee; son temps de propagation est = T .

    La reponse impulsionnelle est donne par :

    h(t) = 1/4 [(t+ T ) + 2(t) + (t T )]

    Ce filtre est un passe-bas plus selectif que le precedent et il apparat clairement que

    pour obtenir une fonction de filtrage plus selective encore il suffit daugmenter le

    nombre de termes de la suite x(nT ) sur lesquels porte la sommation ponderee.

    Traitement du signal 96

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    cos surlevcos

    |H(f)|

    fe/2 fe/2 fe

    f

    Traitement du signal 97

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Filtres a reponse impulsionnelle infinie

    Les filtres a reponse impulsionnelle infinie, en principe, conservent une trace des

    signaux qui leur ont ete appliques pendant une duree infinie, ils sont a` memoire

    infinie. Une telle memoire est realisee par une boucle de reaction de la sortie sur

    lentree.

    Expression generale

    Le filtre RII general a pour expression :

    y(n) =Ni=0

    ai x(n i)Mj=1

    bj y(n j) (54)

    La fonction de transfert (en Z) de ce syste`me secrit :

    H(Z) =a0 + a1Z1 + . . .+ aNZN

    1 + b1Z1 + . . .+ bMZM(55)

    Cest le quotient de deux polynomes en Z. Les coefficients ai et bjsont etant reels,

    H(Z) est un nombre complexe.

    Traitement du signal 98

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Comparaison entre les filtres RIF et RII

    Les deux types de filtres examines RIF et RII, permettent de satisfaire un gabarit

    quelconque donne. La question du choix entre ces deux approches se pose

    frequemment au concepteur de syste`mes. Le crite`re est la complexite des circuits a`

    mettre en oeuvre; en pratique la comparaison se rame`ne principalement a`

    levaluation du parame`tre simple qui constitue le nombre de multiplications a`

    effectuer.

    En effet, le fait davoir une reponse impulsionnelle infinie permet dobtenir en

    general des fonctions de filtrage beaucoup plus selectives que celles des filtre RIF a`

    quantite de calculs equivalente. Cependant la boucle de reaction complique letude

    des proprietes et la conception de ces filtres et ame`ne des phenome`nes parasites.

    Traitement du signal 99

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Processus aleatoire

    Lidee consiste a` utiliser les mode`les de filtres pour representer des processus

    aleatoires; la suite aleatoire (supposee centree), est consideree comme etant la sortie

    dun filtre lineaire excite par un bruit blanc.

    Processus MA

    On conside`re le processus aleatoire (i.i.d.) x(n) comme etant la combinaison lineaire

    suivante :

    x(n) = b0w(n) + b1w(n 1) + . . .+ bMw(nM) (56)

    ou` w(n) designe un processus aleatoire reel, centre, stationnaire, blanc de variance

    2w non correle avec x(n) et {bi} une suite de coefficients reels. Le processus ainsiconstruit apparat comme la moyenne pondere des M + 1 dernie`res valeurs des

    entrees par la suite {bi}. Pour cette raison, on parle de moyenne mobile, qui se diten anglais Moving Average (MA). Par construction, x(n) est la sortie dun filtre

    lineaire dont la reponse impulsionnelle est la suite {bi}. Ce filtre a donc pourfonction de transfert :

    Traitement du signal 100

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    H(z) = b0 + b1z1 + b2z2 + . . .++bMzM (57)

    Cette fonction de transfert ne posse`de pas de poles. Elle correspond donc a` un filtre

    a reponse impulsionnelle fini (filtre stable). Ce mode`le permet de representer

    facilement des processus ayant des vallees dans leur densite spectrale.

    Processus AR

    Par definition on dit quun processus aleatoire x(n) est AutoRegressif (AR), si x(n)

    verifie lequation recurrente suivante :

    x(n) + a1x(n 1) + a2x(n 2) + . . .+ aNx(nN) = w(n) (58)x(n) = w(n) a1x(n 1) a2x(n 2) . . . aNx(nN) (59)

    ou` tous les ai reels. La fonction de transfert du filtre ayant pour sortie la suite x(n)

    et pour entree la suite w(n) est donnee par :

    H(z) =1

    1 + a1z1 + . . .+ aNzN(60)

    Ce mode`le est tout pole, il correspond a un filtre a reponse impulsionnelle infinie, il

    Traitement du signal 101

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    pourra representer des processus ayant des pics dans la densite spectrale. On

    rappelle quun filtre est stable si et seulement si tous les poles de sa fonction de

    transfert sont a` linterieur du cercle unite; lequation 59 admet alors une solution

    stationnaire unique x(n) qui sexprime a` partir de w(n) de la manie`re suivante :

    x(n) =n

    k=h(n k)w(k) (61)

    ou` la suite h0, h1, . . . , hp, . . . est la suite des coefficients du developpement en serie

    entie`re de H(z).

    0.0.1 Exemple

    Soit x(n) = sin(0nT ), sa transformee en Z est donne par :

    X(Z) =Z sin(0T )

    Z2 2Z cos(0T ) + 1=

    Z1 sin(0T )1 2Z1 cos(0T ) + Z2

    La transformee inverse de cette equation est

    Traitement du signal 102

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    x(n+ 2) 2 cos(0T )x(n+ 1) + x(n) = 0

    0.0.2 Equation de YuleWalker

    Lequation de YuleWalker exprime une relation entre les coefficients de lequation

    59 et les covariances du processus x(n).

    Considerons le processus AR reel dordre 1

    x(n) = a1x(n 1) + w(n)

    En prenant lesperance mathematique de cette dernie`re equation, on trouve que le

    processus x(n) est centre. En effet,

    E[x(n)] + a1 E[x(n 1)] = E[w(n)] (62)

    comme E[w(n)] = 0 (processus centre), il vient que E[x(n)] = E[x(n 1)] = 0.Comme le processus x(n) est centre, la fonction dautocovariance sexprime par

    R() = E[x(n)x(n+ )] et verifie le syste`me dequations :

    Traitement du signal 103

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    R(0) + a1R(1) = 2wR(1) + a1R(0) = 0 (63)En effet, on obtient ces equations en prenant lesperance mathematique de x(n)x(n)

    et x(n)x(n 1) a` partir de lequation .Le syste`me dequation peut se mettre sous forme matricielle RA = c, ou` on a pose

    A = [1 a1]t et c = [2w 0]t et :

    R(0) R(1)R(1) R(0)

    Partant de syste`me dequations, on peut en deduire a1 et 2w par :

    a = R(1)R(0)

    et 2w = R(0)R2(1)

    R(0)(64)

    Traitement du signal 104

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    0.0.3 Generalisation

    Ces equation se generalisent au cas dun mode`le AR dordre N dont la fonction

    dautocovariance verifie le syste`me matriciel :

    R(0) R(1) . . . R(N)

    R(1) R(0). . .

    ...

    .

    ... . .

    . . . R(1)

    R(N) R(1) R(0)

    1

    a1...

    aN

    =

    2w

    0

    ..

    .

    0

    (65)

    Comme x(n) est reel, cette matrice est symetrique. Elle depend de N(N + 1)/2

    valeurs de la fonction dautocovariance, de plus, elle posse`de une forme particulie`re

    appele matrice de Toeplitz.

    Traitement du signal 105

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    0.1 Processus ARMA

    Les processus ARMA sobtiennent en mettant en serie une structure AR et une

    structure MA. Soit lequation recurrente :

    x(n)+a1x(n1)+ . . .+aNx(nN) = b0w(n)+b1w(n1)+ . . .+bMw(nM) (66)

    Lequation du filtre est donne par lequation 55.

    On montre que cette equation recurrente admet une solution x(n), stationnaire au

    second ordre, unique, qui sexprime en fonction de w(n), si et seulement si les racines

    du denominateur, qui sont les poles de la fonction de transfert, sont de modules

    inferieur a` 1.

    Traitement du signal 106

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    1 Application a` la prediction lineaire

    1.1 Definitions

    1.1.1 Predicteur a` un pas dordre p

    Par definition le predicteur a` un pas, dordre p cherche a` predire le signal a` linstant

    n, connaissant le signal aux instants n 1, n 2, . . ., x(n p).

    x(n|n 1) = p

    k=1

    akx(n k) (67)

    1.1.2 Predicteur a` deux pas dordre p

    Un predicteur a` deux pas dordre p serait la valeur predite a` linstant n a` partir des

    valeurs aux instants n 2, . . ., x(n p).

    Traitement du signal 107

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    1.1.3 Predicteur a` pas dordre p

    x(n|n ) = p

    k=1

    akx(n + 1 k)

    1.1.4 Erreur de prediction

    On definit lerreur de prediction par :

    e(n) = x(n) x(n|n 1) (68)

    Dans le cas ou` e(n) est un bruit blanc alors

    x(n) = p

    k=1

    akx(n k) + e(n)

    x(n) sera alors un processus AR. Le proble`me est de connatre les coefficients akconnaissant les mesures de x.

    Traitement du signal 108

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    Pour determiner les parame`tres, il faudrait inverser la matrice dautocovariance (eq.

    65) qui est symetrique. Il existe dans la litterature des algorithmes permettant de

    saffranchir de cette inversion. Lalgorithme de Levinson en est un exemple.

    1.1.5 Algorithme de Levinson

    Il consiste a` calculer de manie`re recursive des predicteurs a` un pas dordre croissant.

    En considerant tout dabord une matrice 2 2 : Rxx(0) Rxx(1)

    Rxx(1) Rxx(0)

    1a11

    = P1

    0

    On obtient facilement :

    a11 = Rxx(1)

    Rxx(0)

    P1 = (1 a11(a11))

    ou` P (0) = Rxx(0) et P1 est la puissance (ou variance) de lerreur de prediction et a11

    Traitement du signal 109

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    est le coefficient de reflexion. Il pour caracteristique davoir un module inferieur a`

    lunite.

    Lalgorithme de Levinson secrit alors sous la forme generale :

    P0 = Rxx(0)

    ki = [Rxx(i)+

    i1j=1 a

    i1j Rxx(ij)

    ]Pi1

    aii = ki

    aij = ai1j + ki

    (ai1ij

    ), 1 j i 1

    Pi =(1 |ki|2

    )Pi1

    (69)

    ou` i et j correspondent respectivement a` lordre et au pas.

    1.2 Exemple

    On cherche a` determiner un predicteur a` 1 pas.

    x(n) = A cos(n0T + )

    Traitement du signal 110

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    est une variable aleatoire uniformement repartie sur [0, 2pi].

    Rxx(k) =A2

    2cos(k0T )

    1.2.1 Methode directe

    1.2.2 Predicteur a` 1 pas dordre 1

    Le predicteur a` 1 pas secrit x(n|(n 1)) = a11 x(n 1).Lerreur de prediction est egale a` e = x(n) (x)(n|(n 1)) = x(n) a11x(n 1)La variance de lerreur de prediction est donnee par V = E

    [(x(n) a11x(n 1)

    )2]La meilleure valeur du coefficient a11 est celle qui rend V minimale.

    V = E[x2(n) 2a11x(n)x(n 1) + (a11)2x(n 1)2

    ]V = Rxx(0) 2a11Rxx(1) + (a11)2Rxx(0)

    Traitement du signal 111

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    On cherche Va11

    = 0 :

    2Rxx(1) + 2a11Rxx(0) = 0

    a11 =Rxx(1)

    Rxx(0)= cos(0T )

    La variance dans ce cas vaut : V = A2

    2sin2(0T ) A22

    1.2.3 Predicteur a` 1 pas dordre 2

    Le predicteur a` 2 pas secrit x(n|(n 1)) = a21 x(n 1) + a22x(n 2).Lerreur de prediction : (n) = x(n) x(n|(n 1)) = x(n) a21 x(n 1) + a22x(n 2)La variance de lerreur de prediction :

    V = E[(x(n) a21x(n 1) a22x(n 2)

    )2]On determine les coefficients a2i par la minimisation de variance pour chaque

    coefficients.

    Traitement du signal 112

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

    &

    $

    %

    V

    a21= E

    [x(n 1)(x(n) a21x(n 1) a22x(n 2))] = 0V

    a21= Rxx(1) a21Rxx(0) a22Rxx(1) = 0

    et

    V

    a22= E

    [x(n 2)(x(n) a21x(n 1) a22x(n 2))] = 0V

    a22= Rxx(2) a21Rxx(1) a22Rxx(0) = 0

    On obtient le syste`me suivant :

    Rxx(0) Rxx(1)Rxx(1) Rxx(0)

    a21a22

    = Rxx(1)

    Rxx(2)

    Traitement du signal 113

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

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    Ce qui equivaut a :

    R a = r

    Pour determiner les coefficients a2i , il suffit dinverser la matrice R; on obtient alors :

    a = R1r

    avec Rxx(0) =A2

    2, Rxx(1) =

    A2

    2cos(0T ), Rxx(2) =

    A2

    2cos(20T ),

    On trouve :

    a21a22

    = 1sin2(oT )

    1 cos(oT ) cos(oT ) 1

    cos(oT )cos(2oT )

    = 2 cos(0T )

    1

    1.2.4 Algorithme de Levinson

    1.2.5 Predicteur a` 1 pas dordre 1

    i = 1

    Traitement du signal 114

  • IUP Avignon J.-P. Costa'

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    k1 = Rxx(1)Rxx(0)

    = cos(0T )

    a1 = k1 = cos(0T )

    P0 = Rxx(0) =A2

    2

    P1 = (1 (k1)2)P0 = (1 cos(0T ))A2

    2

    i = 2

    k2 = [Rxx(2) + a11Rxx(0)

    P1

    ]= 1

    P2 = (1 1)P1 = 0a22 = k2 = 1

    a21 = a11 + k2a

    11 = 2 cos(0T )

    Traitement du signal 115

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    Reconnaissance de la parole par DTW

    Introduction

    Il existe de nombreuses methodes permettant de faire de la reconnaissance de la

    parole. Dans la plupart des cas, les syste`mes de reconnaissance automatique de la

    parole necessite des parame`tres dentree (ceptres,...), des donnees dapprentissages

    permettant de regler les mode`les (fichiers audios,...) et des donnees de test

    (fichiers audios,...). Les mode`les les plus utilises sont bases sur des mode`les

    probabilistes (HMM,...) et necessite une mise en oeuvre assez lourde. La DTW

    (Dynamic Time Warping) permet de se familiariser avec ces techniques tout en

    ayant une mise en oeuvre beaucoup plus simple.

    Traitement du signal 116

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    Reconnaissance de la parole par DTW

    La DTW

    Principe general

    Lidee directrice de la DTW consiste a` mettre en correspondance la representation

    dun mot reference, issu de lapprentissage, avec la representation dun mot inconnu

    afin devaluer lecart entre ces mots. Muni dune mesure de distance, il devient alors

    possible de calculer un cout de deformation entre le mot inconnu et la reference. Le

    but est donc de realiser un alignement temporel, le meilleur qui soit, entre une

    reference et un mot a` tester.

    Soient R la reference dun mot du dictionnaire et T le mot a` reconnatre de

    longueurs respectives I et J. R est compose delements r(1), r(2), r(3), ..., r(I)

    (respectivement pour T : t(1), t(2), t(3), ..., t(J)) qui representent les vecteurs

    acoustiques du signal a` un instant donne. On appelle d(ri, tj) la distance entre les

    vecteurs acoustiques r(i) et t(j). La figure 2 illustre ce principe.

    Traitement du signal 117

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    Reconnaissance de la parole par DTW

    Figure 2: Principe de la DTW

    Traitement du signal 118

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    Reconnaissance de la parole par DTW

    Distances usuelles

    Plusieurs mesures de distance peuvent etre utilisees en fonction des methodes de

    parametrisation retenues:

    la mesure de distance utilisant les normes Ln (n allant de 1 a` l) est plutotutilisee dans les syste`mes a` base danalyse cepstrale. La norme L2 est la plus

    utilisee. Cette norme est plus connue sous le nom de distance euclidienne.

    dn(ri, tj) =

    (p

    k=0

    |rk tk|n) 1n

    la mesure dItakura est plutot utilisee dans le cadre dune parametrisation parprediction lineaire.

    dit(ri, tj) = log

    [ritRbri

    tjtRbtj

    ],

    avec Rb representant la matrice des coefficients dautocorrelation evalues sur le

    segment tj .

    Traitement du signal 119

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    Reconnaissance de la parole par DTW

    Contraintes locales

    Afin de tenir compte des realites physiques du mecanisme de production de la

    parole, les deplacements entre les vecteurs de parame`tres sont limites (contraintes

    locales). Les contraintes locales les plus courantes sont representees dans la figure 3.

    Le principe est donc de trouver le chemin dalignement de cout minimum. La

    distance cumulee g(i,j) est definie (en fonction de la contrainte locale choisie - ici 3.a)

    par :

    g(i, j) = min

    g(i 1, j) + d(i, j)

    g(i 1, j 1) + 2 d(i, j)g(i, j 1) + d(i, j)

    En normalisant par les longueurs de R et T, on obtient donc :

    D(R, T ) =g(I, J)

    I + J

    Traitement du signal 120

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    %Figure 3: Contraintes locales utilisees dans la DTW

    Traitement du signal 121