TRANSMISSION DE CHALEUR - · PDF fileL'expression de "transfert de chaleur" n'est pas correcte...

ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNEEidgenössische Technische Hochschule - LausannePolitecnico Federale - LosannaSwiss Federal Institute of Technology - Lausanne

___________________________________________________________

Département de génie mécanique

Laboratoire de thermique appliquée et de turbomachines

Professeur Dr. Albin Bölcs

TRANSMISSION DE CHALEURVolume I

T2

T3

T4

T ( C)o

3 0 03 1 0

3 2 03 3 03 4 03 5 03 6 03 7 03 8 03 9 04 0 0

T1

Lausanne septembre 1997

TABLE DES MATIERES, SYMBOLES I

TABLE DES MATIERES

1. Introduction, modes de trasmission de chaleur 1

1.1 Conduction 3

1.2 Convection 5

1.3 Rayonnement 7

2. Propriétés thermiques des matériaux 9

3. Introduction à la conduction thermique unidimensionnelle,

stationnaire 17

3.1 Relations fondamentales 18

3.2 Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire 24

4. Conduction thermique bidimensionnelle, stationnaire 33

4.1 Solutions analytiques 34

4.2 Analogie rhéoélectrique 40

4.3 Méthode graphique 42

4.4 Méthodes numériques 48

5. Conduction thermique instationnaire 67

5.1 Méthode de capacité thermique globale 68

5.2 Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire 73

5.3 Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle 75

instationnaire

5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire 86

6. Principes fondamentaux de la convection thermique 99

6.1 Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux 101

6.2 Propriétés de la couche limite turbulente 114

6.3 Etude de similitude et paramètres adimensionnels 119

II TABLE DES MATIERES, SYMBOLES

7. Convection pour l'écoulement externe 129

7.1 La couche limite laminaire sur une plaque plane 130

7.2 Ecoulement turbulent sur la plaque plane 139

7.3 Ecoulement autour d'un cylindre 147

7.4 Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes 151

8. Convection pour l'écoulement interne 157

8.1 Convection pour un tube circulaire 158

8.2 Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire 171

9. La convection libre 177

9.1 Consvection libre sur une paroi plane verticale 180

9.2 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces

externes 186


internes 189

10. Techniques de mesure 193

ANNEXE

TABLE DES MATIERES, SYMBOLES III

LISTE DES SYMBOLES

Symbole Unité Signification

A m2 section de passage

cp J/(kg K) chaleur massique à pression constante

cv J/(kg K) chaleur massique à volume constant

C f - coefficient de frottement (6.49)

C th J/K capacité thermique

d m diamètre

dh m diamètre hydrodynamique (8.60)

e J/kg énergie-travail massique

E J énergie-travail technique

E W=J/s puissance-travail technique

f - variable adimensionnelle de BLASIUS (7.4)

F N force

F - facteur de forme

g m/s2 accélération terrestre

h J/kg enthalpie massique

hc J/kg enthalpie totale massique

H m épaisseur, hauteur

IV TABLE DES MATIERES, SYMBOLES


k W/(m2 K) coefficient de transmission de chaleur global

L m longueur

m kg masse

m kg/s débit-masse

N - nombre de tubes dans un faisceau (Fig. 7.6, 7.7)

p N/m2 pression

P m périmètre

q J/kg énergie-chaleur, massique

q W/m2 flux surfacique de chaleur

qg W/m3 énergie-chaleur générée, par unité de volume

Q J énergie-chaleur

Q W puissance-chaleur, taux de chaleur transmise

r m rayon

R J/(kg K) constante des gaz parfaits

Rth K/W résistance thermique

s J/(kg K) entropie massique

t s temps

tx,y m distance entre les rangées de tubes (Fig. 7.6, 7.7)

TABLE DES MATIERES, SYMBOLES V


T °C, K température

Tm,log K différence de température logarithmique (8.49)

Tr K température de récupération (7.19)

Tδ K température moyenne dans la couche limite (7.70)

T* K température relative (7.10)

u m/s composante de la vitesse dans la direction x

u+ - vitesse adimensionnelle dans la couche limite (7.34)

v m/s composante de la vitesse dans la direction y

y+ - coordonnée adimensionelle de la couche limite (7.35)

v m3/kg volume massique

V m3 volume

V m3/s débit-volume

w m/s vitesse relative de l'écoulement

x, y, z m coordonnées

xe,h m longueur d'entrée hydrodynamique (8.2, 8.3)

xe,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26)

α W/(m2 K) coefficient de convection

β 1/K facteur de dilatation

VI TABLE DES MATIERES, SYMBOLES


xe,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26)

α W/(m2 K) coefficient de convection

β 1/K facteur de dilatation

δ m épaisseur de la couche limite

η - variable adimensionelle de BLASIUS (7.5)

ε N s/m2 viscosité turbulente (6.60)

εth m2/s coefficient de diffusion thermique turbulent (6.61)

κ - exposant isentrope (cp/cv)

λ W/(m K) coefficient de conduction (conductivité) thermique

m2/s diffusivité thermique (2.1)

µ N s/m2 coefficient de viscosité dynamique

ν m2/s coefficient de viscosité cinématique

ρ kg/m3 masse volumique (densité)

σ W/(m2 K4) constante de Stefan-Boltzmann

σ N/m2 tension visqueuse normale

τ t h s constante de temps

τ N/m2 tension de cisaillement

Θ K différence de température (5.3)

TABLE DES MATIERES, SYMBOLES VII

Indices

( )1 condition de départ

( )2 condition finale

( )ex grandeur de sortie

( )in grandeur d'entrée

( )m valeur moyenne

( )n composante normale

( )s surface, paroi

( )f fluide

( ) valeur moyenne

VIII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES

PARAMETRES ADIMENSIONNELS DE SIMILITUDE POUR LA

TRANSMISSION DE CHALEUR ET DE MASSE

Désignation: ( définition )

Interprétation:

Nombre de BIOT: Bi = α L

λsolide

Rapport entre la résistance thermique interne d'un solide et la résistance thermique de la

couche limite.

Coefficient de frottement: Cf = τs

ρ w2

2

Contrainte surfacique adimensionnelle.

Nombre d'ECKERT: Ec = w2

cp (Ts - Tm)

Rapport entre l'énergie cinétique du fluide et la différence d'enthalpie de la couche limite.

Nombre de FOURIER: Fo = t

L2

Rapport entre la chaleur de conduction et l'énergie thermique stockée dans le solide

(temps adimensionnel).

Nombre de FROUDE: Fr = w2

g L

rapport entre les forces d'inertie et les forces de gravité.

TABLE DES MATIERES, SYMBOLES IX

Nombre de GRASHOF: Gr = g β (Ts - T∞) L3

ν2

Rapport entre la force ascensionelle et la force visqueuse.

Nombre de MACH: M = wa

Rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse du son.

Nombre de NUSSELT: Nu = α L

λfluide

Gradient de température adimensionnel sur la surface.

Nombre de PECLET: Pe = w LΛ = ReL Pr

Paramètre indépendant, adimensionnel du transfert de chaleur.

Nombre de PRANDTL: Pr = νΛ =

cp µλ

Rapport entre la diffusivité de quantité de mouvement et la conductivité thermique.

Nombre de REYLEIGH: Ra = g β (Ts - T∞) L3

ν2 Pr

Produit de Gr et Pr: Ra = Gr Pr.

Nombre de REYNOLDS: Re = w L

ν

Rapport entre la force d'inertie et la force visqueuse.

X TABLE DES MATIERES, SYMBOLES

Nombre de SCHMIDT: Sc = ν

DAB

Rapport entre la quantité de mouvement et la diffusivité de la masse.

Nombre de STANTON: St = α

ρ w cp =

NuRe Pr

Nombre de NUSSELT modifié.

Nombre de SHERWOOD: Sh = α LDAB

Gradient de concentration adimensionnel à la surface.

Nombre de WEBER: We = r w2 L

σ

Gradient de concentration adimensionnel à la surface.

TABLE DES MATIERES, SYMBOLES XI

LITTERATURE

MAC ADAMS W. H. Transmission de chaleur

Dunod

INCROPERA F. P. Fundamentals of heat and mass transfer

DE WITT D. P. John Wiley & Sons

WELTY J. R. Engineering heat transfer

John Wiley & Sons

CHAPMAN A. J. Heat transfer

Macmillan Publishing Company

HOLMAN J. P. Heat transfer

McGraw-Hill Book Company

KERN D. Q. Process heat transfer

McGraw-Hill Book Company

LANGHAAR H. L. Dimensional analysis and theory of models

John Wiley & Sons

AUTEURS VDI - Wärmeatlas

VDI-Verlag Düsseldorf

XII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES

TRANSMISSION DE CHALEUR 1

1. INTRODUCTION, MODES DETRANSMISSION DE CHALEUR

1.1 Conduction

1.2 Convection

1.3 Rayonnement

T1

T2

Q ray.

T2T1

Qcond.T2

T1

w

Qconv.

2 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR

1. INTRODUCTION, MODES DE TRANSMISSION DE CHALEUR

En thermodynamique nous avons défini deux formes transitoires d'énergie, le travail et

la chaleur. Elles sont transitoires, car elles existent seulement quand un échange

d'énergie entre deux systèmes se produit (p.ex. énergie cinétique, potentielle, interne,

énergie d'écoulement, énergie chimique, etc.).

La transformation est appelée travail si l'échange se produit sans transmission de

masse et sans différence de température entre les deux systèmes.

Si l'échange se produit à cause de la différence de température entre les deux

systèmes, il s'agit de transmission de chaleur.

Les deux systèmes peuvent aussi être deux parties du même corps (p.ex. une barre

chauffée).

L'expression de "transfert de chaleur" n'est pas correcte selon le langage

thermodynamique car le "flux de chaleur" est un mécanisme de transmission d'énergie

interne et non une quantité en mouvement.

Le cours de transmission de chaleur conduit à l'étude des modes de transmission et au

calcul de la quantité d'énergie (chaleur) transmise. Nous développons des méthodes de

calcul dont l'application s'adresse aux problèmes de l'industrie et de l'environnement.

Importance de la transmission de chaleur

L'ingénieur mécanicien et le chimiste rencontrent très souvent dans leur travail des

problèmes qui concernent la transmission de chaleur.

Donnons quelques exemples:

• génération de forces (énergie) par des machines thermiques,

• chauffage et refroidissement divers,

• divers procédés chimiques (p.ex. raffinage du pétrole),

• pollution thermique par décharge de chaleur dans l'environnement (air, eau).

Concepts fondamentaux et modes de base de la transmission de chaleur

Le premier principe de la thermodynamique nous dit que la chaleur donnée par un corps

est égale à la chaleur reçue par l'autre.

Le second principe de la thermodynamique nous définit la direction de la transmission: la

chaleur est transmise du corps le plus chaud vers le plus froid.


Nous distinguons trois modes de base de transmission de chaleur (Fig. 1.1):

• conduction

• convection

• radiation

T1 T2

q

w

q

T1

T2

q1

2q

T1

T2

T1 > T2 T1 > T2 T1 T2

conduction convection rayonnement

à travers une d'une surface à entre deux

paroi solide un fluide surfaces

Figure 1.1 Différents modes de transmission de chaleur‚ conduction, convection et

rayonnement

1.1 CONDUCTION

La conduction est l'échange d'énergie interne d'un corps à un autre (ou d'une partie d'un

corps à une autre partie) par échange de l'énergie cinétique de mouvement des

molécules par communication directe ou par l'intermédiaire des électrons libres dans les

métaux.

Ce "flux" d'énergie (ou chaleur) passe des molécules de niveau d'énergie plus élevé

vers les molécules d'énergie plus faible (p.ex. une barre métallique chauffée d'un côté

se réchauffe à l'autre bout).

Le mécanisme physique est plus simplement démontré par l'observation d'un gaz (Fig.

1.1) entre deux parois de température différente. En chaque point de l'espace,


T1 T2

T2

T1

T

x

qx

Figure 1.2 Transmission de chaleur par la diffusion d'énergie due au mouvement

des molécules

la température est liée au mouvement moyen (translation ainsi que rotation et vibration

interne). Par la collision des molécules, l'énergie est transmise des molécules de niveau

d'énergie plus élevé aux molécules de niveau d'énergie moins élevé.

Pour des liquides la situation est semblable mais les distances entre les molécules sont

plus petites (collisions plus intenses et plus fréquentes).

Dans les solides la conduction est attribuée aux activités atomiques sous la forme de

vibrations du réseau cristallin. Dans un non-conducteur, la transmission d'énergie est liée

aux ondes cristallines, dans le conducteur aux mouvements des électrons libres.

La quantité (taux) de chaleur transmise est définie par l'équation de FOURIER, qui se

présente pour le cas monodimensionnel par

q = - λ dTdx (1.1)

Le flux de chaleur (q [W/m2]) dans la direction x par unité de surface est proportionnel(λ) au gradient de température dT/dx.


Le facteur λ est une propriété de transport caractéristique des matériaux que nous

appelons la conductivité thermique [W/(m K)].

Le signe négatif exprime le fait que le transport se produit dans la direction de

température décroissante.

Dans le cas unidimensionnel avec une distribution linéaire de température (stationnaire) le

gradient est donné par

dTdx =

T2 - T1L (1.2)

donc

q x = - λ T2 - T1

L = λ T1 - T2

L (1.3)

La chaleur (puissance) transmise est pour la surface A

Q x = q x A (1.4)

1.2 CONVECTION

La transmission de chaleur par convection se compose de deux mécanismes physiques

• transmission par le mouvement des molécules (diffusion),

• transmission par déplacement volumique (déplacement des volumes dans

l'espace).

Notre intérêt particulier se porte sur la transmission de chaleur entre un fluide en

mouvement et une paroi, la température des deux éléments étant différente (Fig. 1.3).

Dans le fluide, près de la paroi, nous trouvons une zone à fort gradient de vitesse la

couche limite de vitesse.

Dans le cas où il existe une différence de température entre le fluide et la paroi, il se

forme aussi une couche limite de température qui peut avoir une épaisseur égale ou

différente à celle de la couche limite de vitesse.La transmission de chaleur se met en route si Ts ≠ Tf.

Dans la zone près de la paroi, la transmission de chaleur est dominé par le mouvement

des molécules (diffusion) et à l'extérieur par le mouvement turbulent.

Dans ce type de transmission de chaleur, la mécanique des fluides joue un rôle

important.


Les lois de la conduction doivent être couplées avec celles du mouvement du fluide.

Les équations différentielles résultantes figurent par conséquent parmis les plus

complexes de la mathématique appliquée.

Concernant la nature de l'écoulement le long des parois, nous distinguons deux types

de convection:

• convection forcée

quand le mouvement est entraîné par une force extérieure (ventilateur, pompe, etc),

yy

y = δ wδ Tδ

q

distribution de vitesse distribution de température

Processus [W/(m2 K)]

• Convection libre 5 - 25

• Convection forcée

gaz 25 - 250

liquides 50 - 20'000

• Convection avec

changement de phase

(ébullition, condensation) 2'500 - 100'000

Valeurs typiques des coefficients de convection

Figure 1.3 Transmission de chaleur dans la couche limite


• convection libre

si le mouvement du fluide est causé par la différence de densité (en fonction de la

différence de température).

Par la convection en général l'énergie interne du fluide est transmise. Mais il existe aussi

des cas où la chaleur latente participe aussi à la transmission. Ce type d'échange est

normalement accompagné par un changement de phase (ébullition et condensation).α représente le coefficient de transmission de chaleur par convection qui dépend des

conditions de la couche limite (surface, Re, propriétés du fluide).

Quelques valeurs typiques sont présentées dans le tableau (Fig. 1.3).

La transmission de chaleur est définie par la relation de NEWTON

q = α (Ts - Tf) (1.5)

où q représente le flux de chaleur par convection, Ts la température de la paroi, Tf la

température du fluide.

1.3 RAYONNEMENT

Chaque surface solide, liquide ou gazeuse émet de l'énergie thermique par radiation. La

transmission d'énergie est réalisé par ondes électromagnétiques qui ne nécessitent pas

la présence d'un médium de transport.

Le flux maximal (W/m2) émis par la radiation est donné par la loi de STEFAN-

BOLTZMANN

q = σ T4s (1.6)

où σ = la constante de Stefan-Boltzmann

σ = 5,67 *10 -8 [W/(m2 K4)] (1.7)

Le flux réel émis par une surface réelle est

q = ε σ T4s (1.8)

où ε = émissibilité (rendement par rapport à la radiation idéale).


La radiation est émise dans toutes les directions. Les ondes électromagnétiques reçues

par une surface sont partiellement absorbées et partiellement réfléchies.

L'échange de radiations thermiques entre deux corps est donc considérablement plus

compliquée que l'équation de Stefan-Bolzmann.

entourage àtempérature T ent

air T f

surface : ε = émissivité , A = surface , T = températures

convq

qrad,ent

qrad ,s

Figure 1.4 Echange de rayonnement entre une surface et son entourage

Dans de nombreux cas techniques nous trouvons une petite surface (Ts) entourée d'une

grande surface (Tent), (Fig. 1.4). Le gaz entre les surfaces ne participe pas à la radiation.

Dans ce cas, la transmission est donnée par

q = QA = ε σ ( T4s - T4ent) (1.9)

RESUME DU CHAPITRE 1

• La conduction thermique est définie par l'équation de FOURIER.

• La convection thermique est définie par l'équation de NEWTON.

• Le rayonnement est défini par l'équation de STEFAN-BOLTZMANN.


2. PROPRIETES THERMIQUESDES MATERIAUX

2.1 Conductivité thermique

2.2 Chaleur spécifique

2.3 Diffusivité thermique

2.4 Coefficient d'expansion thermique

2.5 Viscosité

2.6 Nombre de Prandtl

10 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX

2. PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX

Pour pouvoir calculer les problèmes de transfert de chaleur, il faut connaître les valeurs

numériques des propriétés physiques des matériaux en considération.

2.1 CONDUCTIVITE THERMIQUE

La conductivité représente la facilité de propagation de la chaleur dans un matériau en

fonction d'une différence de température donnée.

Selon la loi de Fourier, la conductivité thermique est definie par

[W/m·K] = qx

(∂T/∂x) (2.1)

Donc pour une gradient de température donnée, le flux de chaleur augment avec

l'augmentation du coefficient de chaleur.

La conduction est essentiellement un transfert d'énergie par l'intermédiaire du

mouvement (vibration) des molécules. Par conséquent la conductibilité dépend de:

• la composition chimique,

• la phase (liquide, gaz, solide),

• la structure cristalline des solides,

• la température, la pression, et

• l'homogénéité.

Dans la suite nous considérerons des matériaux homogènes.

Nous observons dans le tableau A.1 que les liquides sont en général meilleurs

conducteurs que les gaz et les solides meilleurs conducteurs que les liquides.

L'exemple suivant montre les valeurs numériques pour les 3 phases du mercure:

• solide T = -193 °C λ = 48 W/(m K)

• liquide T = 0 °C λ = 8 W/(m K)

• gaz T = 200 °C λ = 0,0341 W/(m K)

Le tableau A.1 montre aussi que les matériaux cristallins (quartz) sont de meilleurs

conducteurs que les matériaux amorphes (verre).


Dans les cristaux il existe un mécanisme additionnel de transfert d'énergie thermique, la

vibration du réseau cristallin dans la direction décroissante de la température.

Les imperfections dans la structure cristalline dérangent la propagation de ces ondes et

diminuent généralement la capacité de convection.

Dans le cas des métaux, un troisième mécanisme entre en jeu, le mouvement des

électrons libres dans le réseau cristallin (les ions positifs occupent les places cristallines).

Un gradient de température cause une "dérive" des électrons vers la température la plus

basse (raison pour laquelle les métaux sont bons conducteurs).

La conductibilité des métaux est proportionnelle à la température absolue et au "libre

parcours moyen" des molécules. Ce dernier diminue avec la température.

La conductibilité des liquides dépend en premier lieu de la température.

La conductibilité des gaz augmente généralement avec la température et diminue avec

le poids moléculaire. La pression influence la conductibilité près du point critique.

Temperature (K)

500

200

100

50

20

10

5

2

1100 300 500 1000 2000 5000

(W/m·K)Argent

CuivreOr

Aluminium

Tungstène

Platine

FerAcier

Aluminium oxyde

Pyroceram Quarz

Figure 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux


Les isolants thermiques sont souvent de structure non homogène et dispersée dans un

volume d'air ou de gas. Leur conductivité thermique depend de la conductivité, de la

radiation thermique du solide, et du rapport volumétrique de l'espace libre.

0,01 0,1 1 10 100 1000

métaux purs

alliages

solides nonmétalliques

isolations

liquides

gaz

[W/(m K)]

Tableau 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux à

température et pression normales (20°C et 1 bar)

2.2 CHALEUR SPECIFIQUE

La chaleur spécifique représente la variation de la température d'un matériau avec la

quantité de chaleur introduite

• à pression constante

cp [J/(kg K)]

• à volume constant

cv [J/(kg K)]

La chaleur spécifique d'une substance est généralement fonction d'un état

thermodynamique.


La chaleur spécifique est dans la plupart des cas traités par l'ingénieur, indépendante de

la pression.

La température par contre influence la chaleur spécifique.Dans les gaz l'influence de la température sur cp est plus importante que pour les

solides. Pour la vapeur (par ex. eau) à la fois T et p influencent la chaleur spécifique.

2.3 DIFFUSIVITE THERMIQUE

Elle est définie par

[m2/s] = λ

ρ cp (2.2)

elle inclut la conductivité (λ), la chaleur spécifique (cp) et dépend de l'état du gaz (ρ).

2.4 COEFFICIENT D'EXPANSION THERMIQUE

La force agissant dans le cas de la convection libre est la gravité provoquant le

mouvement de couches de fluide de densité différentes. Le processus est caractérisé

par le coefficient d'expansion thermique

β = 1ρ

∂ρ

∂Tp

(2.3)

pour les gaz parfaits nous avons

ρ = p

R T (2.4)

il devient donc

β [1/K] = 1ρ

- p

R T-2 =

1T (2.5)

Pour les liquides le coefficient d'expansion thermique est approximativement donné


par

β [1/K] = 0,0776 ( Tcr - T ) - 0,641 (2.6)

2.5 VISCOSITE

Toutes les substances réelles montrent une résistance à la déformation. La résistance est

proportionnelle à la vitesse de la déformation (couche limite).

La résistance au mouvement de cisaillement est définie par le terme de viscosité.

Viscosité dynamique

Nous étudions le cas d'un écoulement laminaire le long d'une paroi. Le mouvement relatif

des molécules entre deux couches voisines provoque une force de frottement

tangentielle qui est selon NEWTON proportionnelle au gradient de vitesse

τ = µ dwdy (2.7)

Le coefficient µ [N s/m2] est appelé viscosité dynamique.

Viscosité cinématique

Le rapport de la viscosité dynamique et de la densité du fluide est appelé la viscosité

cinématique

ν [m2/s] = µρ (2.8)

Elle représente le rapport entre les forces visqueuses et les forces d'inertie du fluide.

La viscosité des liquides dépend en premier lieu de la température et seulement très

peu de la pression.

Pour les gaz c'est la température qui influence le plus la viscosité, la pression également

mais surtout autour du point critique.

La viscosité des vapeurs varie généralement en fonction de la température et de la

pression.


2.6 NOMBRE DE PRANDTL

Dans les problèmes de conduction, il existe un échange d'énergie tant par les effets de

viscosité que par ceux de conduction. Dans ce cas, le nombre de PRANDTL joue un

rôle important

Pr = µ cpλ =

ν ρ cpλ =

νΛ (2.9)

Sa valeur est donc définie par les propriétés du fluide et dépend donc en premier lieu

de la température.


• La conduction thermique est essentiellement un transfert d'énergie par

l'intermédiaire du mouvement des molécules qui dépend de la composition chimique, de

la phase, de la structure cristalline des solides, de la température, de la pression et de

l'homogénéité des matériaux.

• Les propriétés thermiques des matériaux sont définies par la chaleur spécifique cp,cv , la diffusivité thermique Λ, le coefficient d'expansion thermique β et la viscosité µ.


3. INTRODUCTION A LACONDUCTION THERMIQUEUNIDIMENSIONNELLE

3.1 Relations fondamentales

3.2 Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire

3.2.1 La plaque plane

3.2.2 La barre de section variable

3.2.3 La paroi circulaire

T1 T2

Qx

z+dzQ

xQ

yQ

zQ

genQ

stQx+dxQ

y+dyQ

dx

dy

dz

18 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE

3. INTRODUCTION A LA CONDUCTION THERMIQUE

3.1 RELATIONS FONDAMENTALES

La conduction de chaleur représente la transmission d'énergie par l'activité moléculaire en

fonction d'un gradient de température.

Nous étudions d'abord la conduction dans une barre (Fig. 3.1)

∆xA

A

qx

T1

T2

Figure 3.1 Transmission de chaleur par conduction dans une barre

Avec la relation de FOURIER, la quantité de chaleur transmise est

Qx = - A λ dTdx (3.1)

et le flux de chaleur

qx = Qx A = - λ

dTdx (3.2)

Nous rappelons que le signe négatif indique que la transmission se fait du côté haute

température vers le côté basse température. L'équation (3.2) montre que le flux de

chaleur est une quantité directionnelle. La section A est normale à la direction du flux.

Généralement le flux de chaleur est perpendiculaire aux surfaces isothermes.

Sous forme vectorielle nous pouvons écrire (T = champs de température (scalaire))


q = - λ

i ∂T∂x + j

∂T∂y + k

∂T∂z (3.3)

nous pouvons aussi écrire

qn = - λ ∂T∂n (3.4)

où n est la direction normale à la surface isotherme.

L'objectif de l'étude de la conductibilité est généralement de déterminer la distribution de

température dans un média à partir de conditions limites données. A partir de la

distribution de température nous pouvons calculer le flux de chaleur en tout point par la

relation de FOURIER (important p.ex. pour le refroidissement des aubes de turbines,

contraintes thermiques, etc.).

La démarche à suivre est l'utilisation de la loi de conservation de l'énergie‚ la définition du

volume de contrôle et l'identification des processus de transmission d'énergie. L'équation

différentielle résultante est à résoudre pour des conditions limites données.

Nous définissons d'abord dans le médium un petit volume de contrôle de (dx dy dz)

(voir Fig. 3.2). Si des gradients de température existent dans le médium, la conduction

se met en route.

Perpendiculairement aux surfaces nous obtenons les quantités de chaleur:

Qx+dx = Qx + ∂Qx∂x dx (3.5a)

Qy+dy = Qy + ∂Qy∂y dy (3.5b)

Qz+dz = Qz + ∂Qz∂z dz (3.5c)

Nous admettons une source d'énergie dans le volume (p.ex. par processus chimique,

électrique, nucléaire, etc.)

Qgen = qg dx dy dz (3.6)

L'énergie stockée dans le matériau est


T=cte (isotherme)

x

z y

T(x,y,z)

xQ

yQ

zQ

genQ

stQ

x+dxQ

y+dyQz+dzQ

dx

dy

dz

z y

Figure 3.2 Volume de contrôle pour la conduction dans un système de

coordonnées cartésiennes

Qst = ρ cp ∂T∂t dx dy dz (3.7)

où ρ cp (∂T/∂t) est la variation de l'énergie interne du médium par unité de volume.

Selon la loi de conservation de l'énergie

Q in - Qex + Qgen = Qst (3.8)


Donc avec (3.6) et (3.7)

Qx + Qy + Qz + qgen dx dy dz - Qx+dx - Qy+dy - Qz+dz = ρ cp ∂T∂t dx dy dz (3.9)

avec (3.5)

- ∂Qx∂x dx -

∂Qy∂y dy -

∂Qz∂z dz + qg dx dy dz = ρ cp

∂T∂t dx dy dz (3.10)

Avec les équations de FOURIER

Qx = - λ dy dz ∂T∂x (3.11a)

Qy = - λ dx dz ∂T∂y (3.11b)

Qz = - λ dx dy ∂T∂z (3.11c)

Nous obtenons finalement

∂

λ

∂T∂x

∂x + ∂

λ

∂T∂y

∂y + ∂

λ

∂T∂z

∂z + qg = ρ cp ∂T∂t (3.12)

(3.12) représente l'équation de la transmission de chaleur. La solution nous permet de

calculer la distribution de température en fonction du temps.

L'équation (3.12) exprime qu'en tout point d'un médium la transmission de chaleur par

conduction dans le volume de contrôle et de l'énergie générée à l'intérieur est égale à la

variation de la chaleur stockée dans le volume.Dans le cas où la conductibilité (λ) est constante, nous avons

∂2T∂x2 +

∂2T∂y2 +

∂2T∂z2 +

qgλ =

1Λ

∂T∂t (3.13)

où (Λ = λ/ρ cp) représente la diffusivité thermique.


z r

x y

T(r, ,z)

r d

dr

dz

rQ

ϕQ

zQ

r+drQ

ϕ+dϕQ

z+dzQ

Figure 3.3 Volume de contrôle [dr (r d ) dz] pour la conduction dans un système

de coordonnées cylindriques (r, , z)

Dans le cas de conditions stationnaires (∂T/∂t=0) l'équation se réduit à

∂

λ

∂T∂x

∂x + ∂

λ

∂T∂y

∂y + ∂

λ

∂T∂z

∂z + qg = 0 (3.14)

Finalement pour le cas unidimensionnel et stationnaire et sans source de chaleur interne(qg=0) nous obtenons

d

λdT

dxdx = 0 (3.15)

Les équations (3.16) et (3.17) représentent l'expression pour la transmission par

conduction dans respectivement des coordonnées cylindriques

1r

∂

λr

∂T∂r

∂r + 1r2

∂

λ∂T∂ϕ

∂ϕ + ∂

λ

∂T∂z

∂z + qg = ρ cp ∂T∂t (3.16)


z

y

T(r, )

Q r

Q r+dr

Qϕ+dϕ

Qϕ

Q ψ+dψ

Q ψ

drr sin ψ dϕ

r dψ

Figure 3.4 Volume de contrôle [dr (r sin d ) (r dy)] pour la conduction dans un

système de coordonnées sphériques (r, , )

et sphériques

1r2

∂

λr2

∂T∂r

∂r + 1

r2sin2ϕ ∂

λ∂T∂ϕ

∂ϕ + 1

r2sin2ψ ∂

λsinψ∂T∂ψ

∂ψ + qg = ρ cp ∂T∂t (3.17)

CONDITIONS LIMITES ET CONDITIONS INITIALES

Pour déterminer la distribution de température dans un médium, il faut résoudre

l'équation (3.13) pour des conditions initiales et des conditions données sur la surface.

• Pour définir les conditions sur la surface il faut deux conditions limites pour chaque

coordonnée (équation du 2ème degré dans des coordonnées spatiales).

• Pour définir la condition initiale, une seule condition suffit car l'équation est du 1er

ordre pour le temps.


3.2 CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE,

STATIONNAIRE

Nous désignons le problème de la transmission de chaleur comme étant

monodimensionnel quand une seule coordonnée spatiale est suffisante pour décrire

le phénomène de transport.

La stationnarité exprime que la température en chaque point ne varie pas avec le

temps.

3.2.1 LA PLAQUE PLANE

La Fig. 3.5 montre une coupe de la paroi. Nous obtenons la distribution de température

dans la paroi par l'équation (3.14) appropriée

d

λdT

dxdx = 0 (3.18)

Pour des températures constantes des parois, la solution est donnée par

T(x) = C1 x + C2

Les constantes C1 et C2 sont à déterminer par les conditions aux limites

T(0) = Ts,1 et T(L) = Ts,2

pour x=0: Ts1 = C2

pour x=L: Ts2 = C1 L + C2 = C1 L + Ts,1

C1 = (Ts,2 - Ts,1)

L

La solution générale est donc

T(x) = Ts,1 + (Ts,2 - Ts,1) xL (3.19)


L'équation (3.19) nous montre que la température dans la paroi est, pour le cas donné,

linéaire avec x.

La quantité de chaleur peut être calculée avec l'équation de FOURIER (3.1)

Qx = -λ A dTdx =

λ A L (Ts,1 - Ts,2) (3.20)

et le flux de chaleur

qx = Qx A =

λL (Ts,1 - Ts,2) (3.21)

Il est à noter que le flux de chaleur est indépendant de x. Nous pouvons obtenir le

même résultat par un bilan d'énergie sur les surfaces.

x

x=0 x=L

w1

w2

fluide chaud

fluide froid

T

Tf,1Ts,1

Tf,2

Ts,2

a) distribution de température

b) Circuit thermique équivalent

1α A1

1α A2λ A

LT f,1 Ts,1 Ts,2 Tf,2Qx

Figure 3.5 Transmission de chaleur à travers une plaque plane


L'équation (3.21) nous rappelle qu'il existe une analogie entre la diffusion de la chaleur et

la conduction électrique.

Similaire à la loi de OHM pour l'électricité

Rél = (Us,1 - Us,2)

I (3.22)

nous pouvons définir une résistance thermique de conduction

Rth,cond = (Ts,1 - Ts,2)

Qx‚ cond(3.23)

et une résistance thermique de convection

Rth,conv = (Ts - Tf)Qconv

(3.24)

Utilisant pour la conduction la relation de FOURIER (1.1) et pour la convection à la

surface l'équation de NEWTON (1.6), on obtient

Rth,cond = (Ts‚1 - Ts‚2)

A λ (Ts‚1 - Ts‚2)L

= L

λ A (3.25)

et

Rth,conv = (Ts - Tf)

A α (Ts - Tf) =

1α A (3.26)

La chaleur conduite au travers de la paroi selon la Fig. 3.5 est identique dans les trois

sections

Qx = (Tf‚1 - Ts‚1)

1α1 A

= (Ts‚1 - Ts‚2)

Lλ A

= (Ts‚2 - Tf‚2)

1α2 A

(3.27)

ce qui nous donne

Qx = (Tf‚1 - Tf‚2)

Rth‚tot (3.28)

avec

Rth,tot = 1

α1 A + L

λ A + 1

α2 A (3.29)


La résistance thermique totale en série est donc égale à la somme des résistances des

éléments.

Cette forme est utile pour définir les conditions dans une paroi composée par des

couches de propriétés thermiques différentes. La Fig. 3.6 montre l'exemple d'une paroi

composée de trois couches.

La puissance-chaleur transmise dans une paroi composée de N couches se calcule

selon (3.28) avec

Rth,tot = 1

αf1 A + L1

λ1 A + L2

λ2 A + L3

λ3 A +.....+ LN

λN A + 1

αf2 A (3.30)

Dans les parois composites il existe en général un saut de température entre les

couches qui est une conséquence de la résistance de contact.

b) Circuit thermique équivalent

a) distribution de température

w1

w2

fluide chaud

fluide froid

T

Tf,1

Ts,1

Tf,2L1 L2

L3

Ts,3

Ts,4

Ts,2

1α A1

1α A2

Qx

λ AL1

1 λ AL2

2 λ AL3

3

Figure 3.6 Circuit thermique équivalent pour une paroi composée de couches de

conductivité différentes


3.2.2 LA BARRE DE SECTION VARIABLE

Nous étudions la conduction monodimensionnelle dans une barre de section variableselon Fig. 3.7. Le taux de chaleur Qx reste constant le long de x mais le flux de chaleur

varie avec la section A(x)

Qx = q (x) A(x) = - λ(x) dTdx A(x) (3.31)

avec Qx(x) = cte l'intégration nous donne la distribution de la température T(x)

Qx ⌡⌠

x1

x

1

A(x) dx = - ∫T1

T λ(x) dT (3.32)

dx

x

x=L

A1

T1

A2

T2A(x)

T(x)

qx

qx+dxQ x Q x

Figure 3.7 Transmission de chaleur dans une barre de section variable

3.2.3 LA PAROI CIRCULAIRE

Dans diverses applications techniques on trouve des parois circulaires (tubes, etc.)

exposées à des fluides de température différentes entre la surface intérieure et

extérieure (Fig. 3.8).

Pour le cas de la conduction stationnaire et sans génération de chaleur le problème est

défini par l'équation (3.16) donc


1r

d

λ r

dTdr

dr = 0 (3.33)

Pour λ=cte la solution de l'intégration double est

T(r) = C1 ln r + C2 (3.34)

Les constantes sont définies par les conditions aux limites

pour r = r1: Ts,1 = C1 ln r1 + C2

pour r = r2: Ts,2 = C1 ln r2 + C2

donc C1 = Ts‚1 - Ts‚2ln (r1 / r2) et C2 = Ts‚1 -

Ts‚1 - Ts‚2ln (r1 / r2) ln r1

Introduit dans (3.33) nous obtenons pour la distribution radiale de la température

T(r) = Ts,1 - (Ts,1 - Ts,2 ) ln (r / r1)ln (r2 / r1) (3.35)

Notons que la distribution de la température dans la paroi cylindrique est logarithmique.

Ts1

Ts2

λ

T

r1 r2 r

Figure 3.8 Transmission de chaleur à travers une paroi circulaire


Avec la relation de FOURIER

Q r = q r A(x) = - λ(x) dTdr 2 π r L (3.36)

et avec la dérivé de la température selon (3.35) nous trouvons pour la puissance-

chaleur transmise

Q r = 2 π L λ Ts‚1 - Ts‚2ln (r2 / r1) (3.37)

pour la conduction

R th-r, cond = Ts‚1 - Ts‚2

Qr =

ln (r2 / r1)2 π L λ (3.38)

et pour la convection

R th-r, conv = Tf - Ts

Qr =

12 π L αf

(3.39)

λ 1 λ 3λ 2

T

r1 r2 r3 r4

Ts1

Ts2

Ts3

Ts4

r

λ 1 λ 3λ 2 ><

Exemple:

Tf2

Tf1

α 2α 1

Figure 3.9 Distribution de la température dans une paroi composite cylindrique


Par analogie avec la paroi plane nous obtenons pour le tube circulaire composé

Q r = Tf ‚1 - Tf‚2R th-r‚ tot

(3.40)

Pour la paroi à N couches (voir Fig. 3.9) la résistance thermique totale est donnée par

R th-r‚ tot = 1

2π r1 L αf‚1 +

ln (r2/r1)2 π L λ1

+ ln (r3/r2)

2 π L λ2 +....+

ln (rN+1/rN)2 π L λN

+ 1

2 π rN+1 L αf‚2

(3.41)


• La distribution de température est linéaire dans une plaque plane.

• La résistance thermique de conduction est définie par la géométrie (L, A) et lecoefficient de conduction λ.

• La résistance thermique de convection est définie par la géométrie (A) et lecoefficient de convection α.

• La résistance thermique totale d'une paroi composite est la somme de la résistance

de chacune des couches.

• Le taux de chaleur transmise à travers une plaque plane composite Q est

proportionnel à la différence de température des fluides et inversement proportionnel à

la résistance thermique totale.

• Dans une section variable, le taux de chaleur Q reste constant dans la direction

axiale mais le flux de chaleur q(x) est inversement proportionnel à la surface A(x).

• Le flux de chaleur dans la paroi circulaire varie d'une façon logarithmique dans la

direction radiale.

• La distribution de température dans la paroi circulaire a une allure logarithmique.


• La distribution de température dans la paroi composite cylindrique se calcule

comme celle de la paroi plane par la différence de température et la résistance

thermique.


4. CONDUCTION THERMIQUEBIDIMENSIONNELLE,STATIONNAIRE

4.1 Solutions analytiques

4.2 Analogie rhéoélectrique

4.3 Méthode graphique

4.4 Méthodes numériques

yx

T

T=cte

34 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE

4. CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE

Dans la plupart des cas le problème de la transmission de chaleur ne dépend pas

seulement d'une seule coordonnée. Etudions le cas de la Fig. 4.1.

Pour déterminer la distribution de température, nous utilisons la forme appropriée de

l'équation (3.13)

∂2T∂x2 +

∂2T∂y2 = 0 (4.1)

Les méthodes utilisées pour déterminer le champ de température, donc pour résoudre

l'équation (4.1) sont

• méthode analytique,

• méthode analogique,

• méthode graphique, et

• méthode numérique (différences finies).

La solution analytique de l'équation implique des séries mathématiques compliquées et

peut être calculée seulement dans de rares cas possédant une géométrie et des

conditions aux limites simples. Les méthodes analytiques donnent la solution exacte

pour la température en chaque point (x,y).

Les méthodes graphiques et numériques permettent de calculer des problèmes

complexes mais donnent seulement des valeurs approximatives en des points

discrets.

4.1 SOLUTIONS ANALYTIQUES

Nous discutons ici la méthode de séparation des variables. Dans ce but nous

considérons une plaque rectangulaire selon Fig. 4.2. La transmission de chaleur par

conduction est définie par (4.1).

Conformément à la méthode de séparation des variables, nous admettons que la

solution pour la distribution de température peut être exprimée par deux fonctions X(x)

et Y(y), chacune dépendant seulement d'une variable


yx

T

T=cte

H

Distribution de la température dans une plaque d'épaisseur constante: T=T(x,y)

300

310

320330

340 T=350 °C

360 370

380390

400

y

x

Représentation des isothermes dans la plaque

Figure 4.1 Transmission de chaleur bidimensionnelle dans une plaque


T(x,y) = X(x) Y(y) (4.2)

Avec (4.2) nous obtenons après division par (X Y) pour (4.1)

- 1X

∂2X∂x2 =

1Y

∂2Y∂y2 (= C2) (4.3)

Les deux côtés de l'équation (4.3) sont égaux à la même constante (C2). Nous

pouvons la définir par

∂2X∂x2 + C2 X = 0 (4.4)

∂2Y∂y2 - C2 Y = 0 (4.5)

La solution générale des deux équations différentielles ordinaires est définie par

Y = B1 sinh (C y) + B2 cosh (C y) (4.6)

X = B3 sin (C x) + B4 cos (C x) (4.7)

Avec (4.6) et (4.7), la solution générale pour T est

T = [B1 sinh (C y) + B2 cosh (C y)] [B3 sin (C x) + B4 cos (C x)] (4.8)

Les constantes C et B sont à déterminer par les conditions limites.

Plaque rectangulaire avec température constante sur trois bords et

distribution donnée sur un bord

La plaque chauffée est illustrée dans la Fig. 4.2. La température est tenue constante sur

les bords x=0, x=L et y=0. Sur le côté à y=W la température varie entre 0 < x < L

selon f(x).

L'équation différentielle (4.1) est donc à satisfaire pour les conditions aux limites:

x= 0: T = T1

x= L: T = T1


isothermes

300

320

340

360380

400

T=310°C

y

x

T1

T2

T1

T1

x=0 x=L

y=0

y=H

T =300 °C1

T =400 °C2

Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté

y

x

T1

T1

T1

x=0 x=L

y=0

y=H

T =300 °C1

T = f(x)

isothermes

300

T=310°C

350340330

320

Plaque avec température constante sur trois bords et distribution donnée sur un bord

Figure 4.2 Exemples de solution analytique pour la conduction thermique


y = 0: T = T1

y = W: T = f(x)

Le problème à résoudre consiste à trouver la distribution de température en chaque

point de la plaque T = T(x,y).

Pour simplifier les équations nous introduisons comme variable la différence de

température

Θ = T - T1 (4.9)

Le système à résoudre est maintenant

∂2Θ∂x2 +

∂2Θ∂y2 = 0 (4.10)

pour les conditions aux limites de

x= 0: Θ = 0 (1)

x= L: Θ = 0 (2)

y = 0: Θ = 0 (3)

y = W: Θ = f(x) - T1 (4)

La solution a la même forme que (4.8):

Θ = [B1 sinh (C y) + B2 cosh (C y)] [B3 sin (C x) + B4 cos (C x)] (4.11)

Pour satisfaire (3) il faut que B2 = 0, donc

Θ = B1 sinh (C y) [B3 sin (C x) + B4 cos (C x) ] (4.12)

Pour satisfaire (1) il faut que B4 = 0

Θ = B1 sinh (C y) [B3 sin (C x)] (4.13)

La substitution de la condition (2) donne avec B = B1 B3

0 = B sinh (C y) sin (C L) (4.14)


La seule possibilité de satisfaire (4.14) est que

sin (C L) = 0

donc pour

Cn = n πL , n= 0, 1, 2, 3, 4, ....... (4.15)

L'équation (4.15) donne un nombre infini de solutions pour l'équation différentielle (4.14).

La solution la plus générale est donnée par superposition

Θ = ∑n=1

∞ Bn sinh (Cn y) sin (Cn x) (4.16)

Bn représente la constante B pour chaque solution (Cn = 0 pour n=0).

Appliquons finalement la condition (4) pour y=W, nous avons

[f(x) - T1] = ∑n=1

∞ Bn sinh (Cn W) sin (Cn x) (4.17)

Cn = n πL n= 0, 1, 2, 3, 4, ....... (0 < x < L)

En utilisant les fonctions orthogonales et le fait que [Bn sinh (Cn W)]= cte, la solution pour

Bn de (4.17) est:

Θ = 2L ∑

n=1

∞

sinh

nπyL

sinh nπW

L

sin nπxL

⌡⌠

0

L

[ f(x) - T1 ] sin nπxL dx (4.18)

Dans le cas particulier, pour f(x)= T2 =cte à y = W, la solution selon (4.18) est

T - T1T2 - T1

= 2π ∑

n=1

∞

1 + (-1)n+1

n sinh

n π yL

sinh

n π WL

sin

n π xL (4.19)


La Fig. 4.2 montre le résultat d'un exemple de ce dernier cas.

L'avantage des solutions analytiques réside dans l'obtention de la valeur exacte de la

température en chaque point et à chaque instant, ce qui permet de varier facilement tous

les paramètres en jeu en vue d'une étude systématique d'optimalisation. La solution

exacte est malheureusement restreinte à peu de cas simples. Ces solutions analytiques

servent aujourd'hui à tester la précision des méthodes numériques.

4.2 ANALOGIE RHEOELECTRIQUE

Nous étudions le flux électrique dans une plaque plane d'épaisseur constante. Selon les

données de la Fig. 4.3

ix dy + iy dx =

ix +

∂ix∂x dx dy +

iy +

∂iy∂y dy dx (4.20)

donc∂ix∂x +

∂iy∂y = 0 (4.21)

où les variables représentent:

U (Volt) la tension électrique

I (Amp) le courant électrique

i (A/m) le courant par unité de largeur

R (Ohm) la résistance électrique

Avec

I = UR (4.22)

donc

ix = - 1R

∂U∂x

(4.23)

iy = - 1R

∂U∂y


ix dy

y

dy

dx

x

iy dx

iy + ∂ iy∂y

dy dx

ix + ∂ ix∂x

dx dy

V

+-

Voltmètre

V=cte

V

+ -

papier conducteur

v=cte

alimentation

a) isothermes b) flux de chaleur constant

grandeurs analogues

Champ de température champ électrique

T (K) U (Volt)q x, q y (W/m2) ix, iy (A/m)

Q (W) I (A)λ [W/(m K)] 1/R (1/Ohm)

Figure 4.3 Exemple de la méthode analogique pour la conduction thermique


nous obtenons l'équation différentielle de LAPLACE

∂2U∂x2 +

∂2U∂y2 = 0 (4.24)

où∆U = 0

Nous constatons une analogie formelle entre les équations de la transmission de chaleur

(4.1) et celle pour le flux d'électricité dans la plaque (4.24).

Les grandeurs analogues sont répertoriées dans la Fig. 4.3.

L'analogie rhéoélectrique peut être appliquée en général pour les problèmes décrits par

l'équation différentielle du type

∆Φ = F(Φ)

donc pour les champs de potentiel pour lesquels l'opérateur de LAPLACE (∆) est égal

à une fonction donnée F(Φ) (source interne).

Pour l'application pratique nous utilisons une couche (papier) conductrice dans laquelle

nous découpons la géométrie du corps à étudier. Les bords du modèle représentent

des frontières isolées, donc des lignes équipotentielles.

Nous introduisons le courant électrique sur les bords selon la Fig. 4.3. Pour obtenir les

lignes équipotentielles (lignes de température ou flux de chaleur constants) nous utilisons

un voltmètre.

La Fig. 4.3 représente un exemple d'analogie rhéoélectrique.

4.3 METHODE GRAPHIQUE

La méthode graphique est applicable pour des limites adiabates ou/et isothermes du

domaine de calcul. La méthode exige une patience considérable et ne donne que des

résultats d'une précision limitée.

L'avantage pour le débutant utilisant cette méthode est qu'elle développe l'intuition pour

la nature du champ de température et du flux de chaleur.

La méthode se base sur le fait que les lignes de température constante sont

perpendiculaires aux lignes de flux de chaleur. Le but de la méthode est de trouver les

lignes de températures et les lignes de flux de chaleur pour un problème posé. La

démarche de la méthode sera discutée sur la base de l'exemple selon la Fig. 4.4.


• Identifier des lignes de symétrie qui sont définies par les conditions géométriques

et thermiques.

• Définir les lignes de symétrie comme adiabates, donc des lignes de flux de chaleur

(pas de transmission perpendiculaire sur ces lignes).

• Tracer les lignes de température constante (coordonnées curvilignes y). A noter

que ces isothermes doivent être perpendiculaires aux adiabates.

• Tracer les lignes de flux de chaleur (coordonnées curvilignes x) en créant des

cadres curvilignes.Les segments ∆x et ∆y doivent être identiques ou approximatifs dans un élément (Fig.

4.4)

∆x ≡ ab + cd2 = ∆y ≡ ac + bd

2 (4.25)

Nous trouverons la solution généralement seulement après plusieurs itérations et la

précision atteinte n'est pas très élevée.La chaleur conduite dans un élément entre deux lignes de flux est Q j pour la solution

exacte et doit être identique pour chaque filet. La chaleur totale transmise est donc

Q = ∑j=1

M Q j = M Q j (4.26)

où M est le nombre de lignes de flux de chaleur dans le dessin.Avec la différence de température entre les isothermes ∆Ti nous obtenons selon

l'équation de FOURIER

Q j ≈ λ A j ∆Ti∆x ≈ λ L ∆y

∆Ti∆x (4.27)

L'accroissement de température est le même pour toutes les isothermes donc

∆T1-2 = ∑n=1

N ∆Ti = N ∆Ti (4.28)

avec (4.26) et (4.28) nous obtenons pour ∆x ≈ ∆y


L

T2T1

i=1 2 3 4 5 6N=6,1

j=1

M=4

3

2

isotherme

T2

adiabate

Q j

Q j

T1

∆T i

a

b

cd

y

x

∆x

∆y

Figure 4.4 Méthode graphique pour la conduction thermique

Q ≈ L MN λ ∆T1-2 (4.29)

Nous définissons le facteur de forme F

Q = F λ (T1 - T2) (4.30)

avec

F = L MN (4.31)

Le nombre des "canaux" M limités par des adiabates et le nombre des isothermes N

entre les deux parois à température donnée (T1, T2) sont obtenus par le dessin des

lignes orthogonales.


Pour assurer l'égalité des segments ∆x=∆y il est utile de dessiner à l'intérieur de chaque

élément une cercle touchant les isothermes et les adiabates.

La Fig. 4.5 montre pour quelques exemples le réseau des lignes isothermes etadiabates. Le diamètre des cercles (∆x) est une mesure pour le gradient local de la

température.

dT

dx i,j

≈

∆T

∆x i,j

Dans le tableau 4.1 on trouve des expressions analytiques pour le facteur de forme (F)

pour quelques configurations

B12

B22

B1/2B2/2

T2T1

z

T1

T2

d2

d1

Figure 4.5 Exemples de la méthode graphique pour la conduction thermique


configuration facteur de forme (F)

T1 T2

z

d1

d2

tube circulaire excentré de longueur L

à l'intérieur d'un cylindre de même

longueur

F = 2 π L

Arch

d1

2 + d22 - 4z2

2 d1 d2

T1

T2

dB

tube circulaire de longueur L à

l'intérieur d'un solide carré de même

longueur

F = 2 π L

ln

4 L

d

T1

T2

r2

r1

tube circulaire à l'intérieur d'un

tube hexagonal

F = 2 π L

ln

r2

r1 - 0‚1067

d

zT1

T2 tube enterré horizontalement de

longueur L

L >> d: F = 2 π L

Arch (2z/d)

L >> d et

z > 1,5d: F = 2 π L

ln (4z/d)

Tableau 4.1 - 1 Facteur de forme pour la conduction thermique


configuration facteur de forme (F)

d

z

T2

T1

sphère enterrée

F = 2 π d

1 - d

4 z

z

z

d

T2

T2

T1

tube circulaire horizontal de longueur L

entre deux plans parallèles de même

longueur et de largeur infinie (z>d/2)

F = 2 π L

ln

8 z

π d

T2T1

d1 d2

B

deux tubes cylindriques dans un

milieu infini homogène

F = 2 π L

Arch

4 B2 - d1

2 - d22

2 d1 d2

d

L

T2

T1

tube circulaire vertical dans un

milieu semi-infini (L>>d)

F = 2 π L

ln

4 L

d

Tableau 4.1 - 2 Facteur de forme pour la conduction thermique


4.4 METHODE NUMERIQUE

Pour la plupart des cas pratiques liés aux problèmes de transmission de chaleur, il est

impossible de trouver des solutions analytiques (géométries et conditions aux limites

complexes). Pour ces cas nous pouvons appliquer des méthodes numériques qui se

basent sur la discrétisation des variables. Les valeurs numériques de la température sont

définies en des points discrets du corps à des intervalles de temps discrets.

Il existe plusieurs méthodes numériques pour résoudre les problèmes liés à la

transmission de chaleur.

Nous discutons ici la méthode des différences finies qui se base sur la transformation

des dérivées de l'équation de transmission de chaleur en différences finies.

Une autre méthode utilisée aujourd'hui est appelée la méthode des éléments finis.

T(x)

i -1 i i+1i - 0,5 i + 0,5

x

∆x ∆x

i , j +1

i , j -1

i , ji -1, j i +1, j

maillage de calcul

approximation pardifférences finies

noeud intérieur

y

x

∆x

j

i

Figure 4. 6 Méthode numérique pour la conduction bidimensionnelle


Définition du maillage de calcul

Le premier pas à entreprendre est la définition du maillage de calcul pour le problème

posé (voir exemple Fig. 4.6). Il est important de noter que chaque noeud

représente la valeur (température) moyenne d'un certain domaine défini par le maillage

(voir Fig. 4.6).

Le choix du réseau des noeuds est arbitraire et doit être adapté au problème spécifique

et à la précision du calcul souhaitée.

4.4.1 FORMULATION "DIFFERENCES FINIES"

Nous remplaçons dans l'équation différentielle (4.1)

∂2T∂x2 +

∂2T∂y2 = 0

les dérivées partielles par des différences finies dans les noeuds (i, j) selon Fig.

4.6 par

∂2T

∂x2 i, j

=

∂T

∂xi+0.5‚ j

-

∂T

∂xi-0.5‚ j

∆x (4.32)

Pour les gradients de température nous utilisons les approximations suivantes

∂T

∂x i+0.5‚ j

= Ti+1‚ j - Ti ‚ j

∆x (4.33)

∂T

∂x i-0.5‚ j

= Ti ‚ j - Ti-1‚ j

∆x (4.34)

Introduisant dans (4.32) nous obtenons

∂2T

∂x2 i, j

= Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 2 Ti ‚ j

∆x2 (4.35)


De la même manière nous obtenons pour la dérivée selon y

∂2T

∂y2 i, j

=

∂T

∂yi‚ j+0.5

-

∂T

∂yi‚ j-0.5

∆y (4.36)

∂2T

∂y2 i, j

= Ti‚ j+1 + Ti ‚ j-1 - 2 Ti ‚ j

∆y2 (4.37)

Pour un maillage avec ∆x = ∆y l'équation (4.1) se transforme avec (4.35) et (4.35) à

Ti‚ j+1 + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 4 Ti‚ j = 0 (4.38)

Pour le noeud (i, j) l'équation différentielle est donc transformée en une équation

algébrique approximative. Elle peut être appliquée à tout noeud interne équidistant de

ses voisins.

4.4.2 LA METHODE DE BILAN D'ENERGIE

Nous pouvons obtenir l'équation des différences finies pour un noeud également par un

bilan d'énergie pour un volume de contrôle autour du noeud.

Pour des conditions stationnaires nous pouvons écrire

Q in + Q g = 0 (4.39 a)

où Q in représente le flux de chaleur introduit et Q g la chaleur générée dans le volume

de contrôle. Pour l'élément selon Fig. 4.7-1 le bilan d'énergie donne

∑n=1

4 ( Qn )i ‚ j + q g (∆x ∆y 1) = 0 (4.39)

n représente ici les noeuds voisins et ( Q n )i,j la chaleur conduite entre les noeuds.

La transmission de chaleur par conduction (dans les directions x ou y seulement)


depuis les noeuds voisins vers [i, j] est donné par

Q (i-1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y) Ti-1‚ j - Ti ‚ j

∆x

Q (i+1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y) Ti+1‚ j - Ti ‚ j

∆x

(4.40)

Q (i, j+1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x) Ti‚ j+1 - Ti ‚ j

∆y

Q (i, j-1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x) Ti‚ j-1 - Ti ‚ j

∆y

Introduisant les équations (4.40) dans (4.39) pour ∆x = ∆y nous obtenons

Ti, j+1 + Ti, j-1 + Ti+1, j + Ti-1, j + q g ∆x ∆y

λ - 4 Ti, j = 0 (4.41)

Pour le cas sans source de chaleur interne (q g=0) l'équation (4.41) est identique à (4.38).

Ti‚ j+1 + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 4 Ti‚ j = 0 (4.42)

Pour obtenir les équations de différences finies pour les noeuds situés sur la surface

externe du corps il faut utiliser la méthode de bilan d'énergie. Pour illustrer cette méthode

nous étudions le cas selon Fig 4.7-2b.

Pour les surfaces en contact avec le corps solide nous obtenons

Q (i-1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y) Ti-1‚ j - Ti ‚ j

∆x

Q (i+1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y2 )

Ti+1‚ j - Ti ‚ j∆x

(4.43)

Q (i, j+1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x) Ti‚ j+1 - Ti ‚ j

∆y

Q (i, j-1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x2 )

Ti‚ j-1 - Ti ‚ j∆y

L'échange de chaleur par convection entre la surface du solide et le fluide est donné par

Q (f) ⇒(i, j) = α (1 ∆x2 ) (Tf - Ti‚ j) + α (1

∆y2 ) (Tf - Ti‚ j) (4.44)


Pour le cas q g = 0 l'équation de conservation d'énergie (4.39) prend la forme

Ti, j+1 + Ti-1, j + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j

2 + α ∆x Tf

λ - 3 + α ∆x

λ Ti, j = 0 (4.45)

Dans les Fig. 4.7 la formulation des équations de différences finies est répertoriée pourdifférentes configurations de noeuds avec ∆x = ∆y et sans génération de chaleur q g=0.

∆x

∆yQ

Q Q

Q

i, j

i, j +1

i, j -1

i -1, j i +1, j

T

y

x

i-1,j

i+1,j

i, j

i,j+1

i,j-1

Ti‚ j+1 + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 4 Ti‚ j = 0

Equation des différences finies pour un noeud interne

Figure 4.7 - 1 Méthode numérique pour un problème de conduction

bidimensionnelle


∆y

Q

Q

Q

∆x

Tf

i, j+1

i -1, j

i, j -1

i, j

Q conv

2 Ti-1, j + Ti, j +1 + Ti, j-1 + 2 α ∆x

λ Tf - 2

α ∆x

λ + 2 Ti, j = 0

a) Equation des différences finies pour un noeud sur une surface plane

∆x

Qconv

Qconv

Q

Q Q

Q

i, j i+1, ji -1, j

i, j+1

∆y

i, j -1 Tf

Ti, j+1 + Ti-1, j + 12 (Ti, j-1 + Ti+1, j ) +

α ∆xλ Tf -

3 + α ∆x

λ Ti, j = 0

b) Equation des différences finies pour un noeud dans un coin interne


bidimensionnelle


∆x

Qconv

Qconv

i, ji -1, j

∆y

i, j -1

Q

Q

Tf

(Ti-1, j + Ti, j -1 ) + 2 α ∆x

λ Tf - 2

α ∆x

λ + 1 Ti, j = 0

a) Equation des différences finies pour un noeud sur un coin externe

∆x

∆y

Q

Q

i, j +1

i, j -1

i -1, j i +1, j

i, j

∆x'

∆y'

∆x'/2

∆y'/2

T1

T2

Q conv

a=∆x'∆x

21+a Ti+1, j +

21+b Ti, j-1 +

2a(1+a) T1 +

2b(1+b) T2 -

2

a + 2b Ti, j = 0

b) Equation des différences finies pour un noeud près d'une paroi courbée avec

température non uniforme de la paroi (T1, T2)


bidimensionnelle


4.4.3 SOLUTION DES EQUATIONS "DIFFERENCES FINIES"

Par la formulation des équations des différences finies en chaque noeud de calcul, nous

obtenons un système d'équations algébrique linéaire, dont la solution donne la

distribution de la température en ces noeuds.

Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour résoudre ce problème que l'on peut

grouper en deux types distincts:

• méthodes directes, et

• méthodes itératives.

Dans la suite nous discuterons les deux types de solutions.

METHODE D'ELIMINATION DE GAUSS

L'idée de la méthode de GAUSS consiste à résoudre le système des équations

algébriques par substitution. Nous discutons cette méthode à l'aide de l'exemple d'un

système de trois équations suivant

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)

a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 = C2 (ii) (4.49)

a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 = C3 (iii)

L'équation doit être organisée de telle façon que a11≠0. Nous multiplions la première

équation (i) par

b2 = a21a11

et la déduisons de la deuxième (ii)

(a21 - b2 a11) T1 + (a22 - b2 a12) T2 + (a23 - b2 a13) T3 = C2 - b2 C1

Avec les nouveaux coefficients

a'21 = a21 - b2 a11 = 0

a'22 = a22 - b2 a12


a'23 = a23 - b2 a13

C'2 = C2 - b2 C1

Le système (4.49) devient

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)

a'22 T2 + a'23 T3 = C'2 (ii)' (4.50)

a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 = C3 (iii)

Ensuite nous définissons

b3 = a31a11

Par multiplication de (i) avec b3 et soustraction de (iii), nous obtenons

a'32 T2 + a'33 T3 = C'3

où les nouvelles constantes sont définies par

a'31 = a31 - b3 a11 = 0

a'32 = a32 - b3 a12

a'33 = a33 - b3 a13

C'3 = C3 - b3 C1

Le sytème (4.50) est maintenant réduit à

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)

a'22 T2 + a'23 T3 = C'2 (ii)' (4.51)

a'32 T2 + a'33 T3 = C'3 (iii)'

Nous procédons de la même manière avec les équations (4.51): (ii)' et (iii)' et

définissons


b'3 = a'32a'22

pour obtenir

a'33 T3 = C''3avec

a''32 = a'32 - b'3 a'22 = 0

a''33 = a'33 - b'3 a'23

C''3 = C'3 - b'3 C'2

La forme finale de l'équation (4.49) est la suivante

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)

a'22 T2 + a'23 T3 = C'2 (ii)' (4.52)

a''33 T3 = C''3 (iii)''

La solution pour les températures est obtenue par la dernière équation (4.52) (iii),substituant T3 dans (ii) et finalement T3 et T2 dans (i). Les résultats pour T1, T2 et T3 sont

T3 = C''3a''33

(i)

T2 = C'2 - a'23 T3

a'22 (ii) (4.53)

T1 = C1 - a12 T2 - a13 T3

a11 (iii)

Pour a11, a'22 et a'33 = 0 il n'existe pas de solution, le système (4.49) est singulier.

La figure 4.8 montre le schéma synoptique pour le calcul par ordinateur.


Données: ai,j = coefficients de la matrice

C j = constantes des équations linéaires

n = nombre total des noeuds

Tn = Cna n, n

non

oui

oui

non

non

k = 1

i = k + 1

ranger que : a k, k ≠ 0

a i, k = 0

b = a i, ka k, k

j = k + 1

a i, j = a i, j - b a k, j

j = j + 1

Ci = Ci - b Ck

k = n - 1

i = n

j = n

i = i + 1

k = k + 1

non

non

oui

oui

i = n - 1

j = i + 1

S = 0

S = S + ai Tj

Ti = Ci - Sa i, i

i = 1

stop

j = n j = j + 1

i = i - 1

oui

Figure 4.8 Schéma synoptique pour la méthode d'élimination de GAUSS


LA METHODE DE L'INVERSION DE MATRICE

Nous considérons un nombre N d'équations linéaires (N = nombre total des noeuds)

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 + ..... +a1N TN = C1

a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 + ..... +a2N TN = C2 (4.54)

.......

.......aN1 T1 + aN2 T2 + aN3 T3 + ..... +aNN TN = CN

Les coefficients aij et Cn représentent des valeurs connues et T1, T2 ... TN des

températures inconnues dans les noeuds. Dans l'écriture matricielle l'équation (4.54)

prend la forme

[ A ] [ T ] = [ C ] (4.55)

avec

[ A ] =

a11 a12 a13 .......... a1N

a21 a22 a23 .......... a2N

... ... ... .......... ...

aN1 aN2 aN3 .......... aNN

(4.56)

[ T ] =

T1

T2

T3

..

TN

[ C ] =

C1

C2

C3

..

CN

(4.57)

Le vecteur de solution [T] peut être exprimé selon la relation (4.51)

[ T ] = [ A ]-1 [ C ] (4.58)

où [A]-1 représente l'inverse de la matrice [A]


[ A ]-1 =

b11 b12 b13 .......... b1N

b21 b22 b23 .......... b2N

... ... ... .......... ...

bN1 bN2 bN3 .......... bNN

(4.59)

Nous obtenons les températures dans les noeuds selon (4.56) par

T1 = b11 C1 + b12 C2 + ..... + b1N CN

T2 = b21 C1 + b22 C2 + ..... + b2N CN (4.60)

.......

.......TN = bN1 C1 + bN2 C2 + ..... + bNN CN

Le problème consiste maintenant à calculer les coefficients de la matrice inverse [A]-1.

Pour ce problème il existe des programmes adéquats dans les bibliothèques des

divers centres de calcul.Les solutions directes posent des problèmes pour les coefficients non linéaires, donc aij

= f(T) et Cn = f(T).

D'autre part, pour résoudre le problème pour un grand nombre de noeuds (N), il faut un

ordinateur de très grande capacité.

METHODE D'ITERATION DE GAUSS-SEIDEL

Quand les méthodes directes deviennent trop encombrantes, on utilise de préférence

les méthodes itératives. Une des plus populaires est la méthode de GAUSS-SEIDEL.

Dans la suite, nous discuterons cette méthode à l'exemple d'un système d'équation

avec 3 inconnues (N = 3)

a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1

a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 = C2 (4.61)

a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 = C3

Pour a11 ≠ 0, a22 ≠ 0, ... aNN ≠ 0 nous pouvons écrire


T1 = 1

a11 (C1 - a12 T2 - a13 T3) (i)

T2 = 1

a22 (C2 - a21 T1 - a23 T3) (ii) (4.62)

T3 = 1

a33 (C3 - a31 T1 - a32 T2) (iii)

La procédure approximative pour résoudre les équations (4.62) est la suivante:

initialisation k = 0

• définition des valeurs initiales pour les températures T1(0), T2

(0), T3(0)

première itération k = 1

• calculer T1(1) selon (4.62) (i) avec T2

(0), T3(0)

• calculer T2(1) selon (4.62) (ii) avec T1

(1), T3(0)

• calculer T3(1) selon (4.62) (iii) avec T1

(1), T2(1)

deuxième itération k = 2

• calculer T1(2) selon (4.62) (i) avec T2

(1), T3(1)

• calculer T2(2) selon (4.62) (ii) avec T1

(2), T3(1)

• calculer T3(2) selon (4.62) (iii) avec T1

(2), T2(2)

et ainsi de suite....

k-ème itération

• T1(k) =

1a11

[C1 - a12 T2(k-1)- a13 T3

(k-1)]

• T2(k) =

1a22

[C2 - a21 T1(k)- a23 T3

(k-1)]

• T3(k) =

1a33

[C3 - a31 T1(k)- a32 T2

(k)]


Données: ai,j = coefficients des équations linéaires

C j = constantes des équations linéaires

IMAX = nombre des noeuds dans la direction x

JMAX = nombre des noeuds dans la direction yε = erreur admissible (erreur = somme des différences de température

dans les noeuds entre les deux dernières itérations)

stop

TDIFREL > ERRMAX

i = 1

T i = T 0

i = IMAX

ERRMAX = 0

i = 1

Σ = 0

i = i + 1

j = 1

j = i

Σ = Σ + a i, j + T i

j = JMAX

TEMP = 1a i, i

C i - Σ

TDIFREL = TEMP - T i

TEMP

ERRMAX = TDIFREL

T i = TEMP

ERRMAX > ε

oui

non

oui

non

oui

non

oui

non

oui

non

j = j + 1

i = i + 1

i = IMAX

Figure 4.9 Schéma synoptique pour la méthode itérative de GAUSS-SEIDEL


Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté.

Comparaison des résultats obtenus avec différents nombres de noeuds.

Figure 4.10-1 Exemple de calcul numérique pour la conduction thermique


Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur les côtés

Figure 4.10-2 Exemple de calcul numérique pour la conduction thermique


Le processus d'approximation est à poursuivre jusqu'à ce que la précision demandée

soit atteinte. Ce qui peut être défini par la différence entre deux approximations

successives

| Tn(k) - Tn

(k-1) | < ε (5.63)

ou par la différence relative

| Tn

(k) - Tn(k-1)

Tn(k) | < ε (5.64)

pour chaque noeud.

Le schéma synoptique pour la méthode itérative de GAUSS-SEIDEL est montré dans

la Fig. 4.9.

Les problèmes des méthodes numériques se résument ainsi:

• les erreurs numériques,

• la stabilité du calcul, et

• la convergence.


• La conduction thermique 2D est décrite par l'équation de LAPLACE.

• Pour déterminer le champ de température 2D nous utilisons des méthodes:

analytique, analogique, graphique et numérique.

• Les solutions analytiques servent souvent à tester les programmes de calcul

numérique.

• La méthode numérique de type différences finies se base sur la transformation des

dérivées de l'équation de la transmission de chaleur en différences finies.

• Les équations des différences finies aux noeuds de calcul peuvent être obtenues

par un bilan d'énergie pour un volume de contrôle autour du noeud.


• Par la formulation des équations des différences finies en chaque noeud de calcul,

nous obtenons un système d'équation algébrique linéaire, dont la solution donne la

distribution de la température en ces noeuds.

• Le système d'équation algébrique linéaire peut être résolu par des méthodes

directes ou itératives.

• Les problèmes des méthodes numériques sont les erreurs numériques, la stabilité

de calcul et la convergence.


5. CONDUCTION THERMIQUEINSTATIONNAIRE

5.1 Méthode de capacité thermique globale

5.2 Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire

5.3 Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle

instationnaire

5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire

Tf

T i

T( t)

T(t )0T(t )1

T(t )2

T(t )3

68 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE

5. CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE

Nous appelons le phénomène de transmission de chaleur instationnaire ou

transitoire quand la distribution de température varie dans un corps avec le temps.

Chaque processus de transmission de chaleur parcourt cette phase avant que la

conduction stationnaire ne soit établie. Cette phase est souvent négligeable par rapport

au temps de fonctionnement stationnaire (p.ex. fonctionnement d'une centrale

thermique), dans certains cas par contre la condition transitoire est le processus primaire

(traitement thermique des matériaux). Pour les machines thermiques (p.ex. turbine à gaz,

turbine à vapeur) pendant la période de démarrage la distribution de la température

dans les éléments chauds peut provoquer des contraintes thermiques dangereuses.

Dans ce chapitre nous traitons les problèmes de conduction thermique pour les cas où le

temps apparaît comme variable supplémentaire à côté des coordonnées spatiales.

5.1 METHODE DE CAPACITE THERMIQUE GLOBALE

Nous rencontrons le plus souvent le cas où la température à la limite d'un corps à

température constante change brusquement.

Nous plongeons soudainement un corps à température homogène Ti dans un liquide à

température Tf < Ti (Fig. 5.1). A partir de l'instant de submersion (t=0) la température du

corps diminue et se rapproche de Tf. Nous admettons d'abord que la température varie

dans le corps d'une façon uniforme, donc homogène [T(x,y) = cte] à chaque instant t

(nous admettons que les gradients de température sont négligeables dans le corps).

Cette approximation est valable si la résistance à la conduction est faible par rapport à la

résistance de transmission de chaleur sur la surface entre liquide et solide. Négligeant les

gradients (�∂ T/∂xn) nous ne pouvons pas utiliser l'équation de transmission de chaleur

(3.13) mais seulement un bilan d'énergie global. Nous pouvons écrire

Qex + Qst = 0 (5.1)

ou

α As (T - Tf) + ρ V cp dTdt = 0 (5.2)


Nous introduisons la différence de température

θ ≡ T - Tf (5.3)

Avec (dT/dt =dθ/dt) nous obtenons

α As θ + ρ V cp dθdt = 0

La température à l'instant t est obtenue par intégration à partir des conditions initiales θi =

(Ti - Tf)

A sT T i

=

t = 0

t > 0

T = T ( t )

T i

T f < T i Q st Q ex

Ti = température initiale du bloc

Tf = température du fluide

Figure 5.1 Refroidissement d'un bloc plongé soudainement dans un bain froid

ρ V cpα As

⌡⌠

θi

θdθθ = - ∫

0

tdt

donc

ρ V cpα As

ln θiθ = t (5.4)


ou

θθi

= T - TfTi - Tf

= e- t

α Asρ V c p (5.5)

L'équation (5.4) nous permet de calculer le temps jusqu'à ce que le corps prenne la

température (T) tandis que l'équation (5.5) nous donne la température à un instant (t)

donné.

Le facteur (5.5) représente une constante de temps du problème

τth (sec) = 1

α As ρ V cp = Rth, conv C th (5.6)

que l'on peut interprêter comme le produit de la résistance thermique de convection (Rth,

conv) et de la capacité thermique (Cth) du bloc (voir 3.26).

L'énergie-chaleur transmise dans le temps est donnée par

Q = ∫0

t

Q dt = ∫0

t

q As dt = ∫0

t α As (T -Tf) dt

donc

Q = α As ∫0

t θ dt

avec θ selon (5.5)

Q = ρ V cp θi

1 - e- t

τth(5.7)

La question qui se pose est jusqu'à quelle limite peut-on négliger les gradients de

température à l'intérieur du corps pendant la période de transition, donc quelles sont les

limites d'application de la méthode développée ci-dessus.

Pour répondre à cette question nous étudions le cas selon la Fig. 5.2. Nous tenons la

température sur la surface S1 constante Ts,1.

La température de la paroi S2 est T f < Ts,2 < Ts,1. Dans des conditions stationnaires le

bilan d'énergie donne

λ A (Ts‚1 - Ts‚2)Lc

= α A ( Ts,2 - Tf )


ou

Ts‚1 - Ts‚2Ts‚2 - Tf

=

Lcλ A1

α A =

Rth‚condRth‚conv

Nous appelons ce rapport le nombre de BIOT

Bi ≡ Rth‚condRth‚conv

= α Lλ (5.8)

écoulementw

xL couche limite

convection ( α )

T f

T

T s,1T ⇒ Bi << 1s,2

conduction ( λ )

T ⇒ Bi 1s,2

T ⇒ Bi >> 1s,2

Q cond = Q conv

Figure 5.2 Signification du nombre de BIOT pour un problème de transmission

de chaleur par convection

Le paramètre adimensionnel Bi joue un rôle fondamental dans les problèmes de

transmission de chaleur par convection sur une paroi.

La figure 5.2 montre l'influence du nombre de BIOT sur le gradient de température dans

la paroi. Il représente le rapport entre la différence de température dans la paroi et la

différence entre la surface et le fluide.

La figure 5.2 révèle que pour les valeurs Bi«1 le gradient de température est

négligeable dans les processsus instationnaires.


Par contre, pour les valeurs élevées de Bi»1, les gradients de température dans le

corps sont importants dans la phase transitoire de conduction.

La méthode de capacité de chaleur globale peut être utilisée (erreur inférieure à 5%)

pour

Bi = α Lc

λ ≤ 0,1 (5.9)

où Lc représente la longueur caractéristique du problème définie par

Lc = VAs

(5.10)

Avec la longueur caractéristique l'exposant de (5.5) peut être exprimé par

t α Asρ V cp

= t α

ρ cp Lc =

α Lcλ

t λLc

2 ρ cp

t α Asρ V cp

= Bi Fo (5.11)

avec

Fo = t ΛLc2 (5.12)

Le coefficient Fo est appelé nombre de FOURIER et représente un temps

adimensionnel et est une autre grandeur caractéristique importante des problèmes de

transmission de chaleur instationnaire.

5.2 PARAMETRES UNIVERSELS DE LA METHODE DE CALCUL

INSTATIONNAIRE

Quand le nombre de Biot pour un problème de conduction instationnaire dépasse la

limite Bi ≥ 0,1, la méthode de calcul globale donne des erreurs trops grandes

(supérieures à 5 %). Dans ce cas, nous devons calculer avec une méthode précise.

Nous étudions d'abord un cas simple de conduction monodimensionnelle et considérons

une paroi d'épaisseur 2L sans génération de chaleur (Fig. 5.3). L'équation générale du


problème (3.13) se réduit dans ce cas à

∂2T∂x2 =

1Λ

∂T∂t (5.13)

où la température dans les points x est aussi une fonction du temps (t)

T = T(x, t)

xL L

xL Lδ δ

Ti

Ts Ts

TfTf

T0

w w

T

t ≤ 0 t > 0Tf = Ti Tf < Ti

Figure 5.3 Distribution de la température dans une paroi symétriquement

refroidie par convection

Dans les conditions initiales pour t<0 la température de la paroi est

T(x,0) = Ti (5.14)

tandis que la distribution est homogène

∂T

∂x x=0 = 0 (5.15)


A partir du temps t = 0, un flux de liquide de refroidissement à température Tf < Ti

parcourt les surfaces et refroidit la paroi. Les conditions aux limites sont définies à chaque

instant par le bilan d'énergie

- λ

∂T

∂x x=L = α [T(L,t) - Tf] (5.16)

La température dans la paroi dépend donc des 8 paramètres suivants:

T = T(x, t, Ti, Tf, L, λ, Λ, α) (5.17)

Pour résoudre le problème, il est avantageux de réduire le nombre de paramètres

indépendants. Dans ce but nous définissons :

• la température adimensionnelle (0 ≤ Θ* ≤ 1)

Θ* ≡ ΘΘi

= T - TfTi - Tf

(5.18)

• la coordonnée adimensionnelle

x* ≡ xL (5.19)

• le temps adimensionnel (nombre de Fourier)

t* ≡ Λ t

L2 = Fo (5.20)

• le nombre de Biot

Bi ≡ α Lλ (5.21)

Avec ces paramètres les équations dimensionnelles peuvent être transformées en

∂2Θ*∂x*2 =

∂Θ*∂Fo (5.22)

avec

Θ*(x*,0) = 1 (5.23)


∂Θ*

∂x* x*=0 = 0 (5.24)

et

∂Θ*

∂x* x*=L = - Bi Θ*(1,t*) (5.25)

Le nombre de variables indépendantes du problème est réduit à 3:

Θ* = f(x*, Fo, Bi) (5.26)

La distribution instationnaire de la température pour une géométrie similaire est donc une

fonction universelle de x*, Fo et Bi.

5.3 SOLUTION ANALYTIQUE POUR LA CONDUCTION MONODIMEN-

SIONNELLE INSTATIONNAIRE

Le problème de conduction thermique instationnaire selon Fig. 5.3 est décrit par

l'équation

∂2Θ∂x2 =

1Λ

∂Θ∂t (5.27)

où

Θ ≡ T - Tf

La solution peut être déterminée par la méthode de séparation des variables (voir

chapitre 4.1)

Θ(x,t) = X(x) τ(t) (5.28)

La substitution dans (5.27) donne

τ d2X

dx2 = 1Λ X

dτdt (5.29)


ou après division par (X τ)

1X

d2Xdx2 =

1Λ

1τ

dτdt (5.30)

Nous définissons ς2 pour la valeur constante pour les deux côtés et obtenons

1X

d2Xdx2 = ς2 (5.31a)

et1Λ

1τ

dτdt = ς2 (5.32a)

La solution générale de (3.32-a) est

τ = A e Λ ς2 t (5.33a)

L'expression (5.33a) donne une augmentation de τ avec t et se rapproche de l'infini

pour des grandes valeurs de t. Ce résultat est physiquement impossible (voir 5.28).

Pour obtenir une solution valable il faut que ς2 ait un signe négatif. Les équations (5.31)

et (5.32) prennent donc la forme

dτdt = -Λ ς2 τ (5.31)


0,05

0,6

0,2

0,8

0,4

13 2,5 2

1,75 1,5

1,25

4

5

6

78

91015

30

40

50

60

70

8090

100

1/B

i=20

1

0,00

1

0,00

2

0,00

3

0,00

4

0,00

6

0,00

80,

01

0,02

0,03

0,04

0,06

0,080,

1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,8

Fo

0 i

LL

Ti

Tf

T0

T f

x

02

46

810

2040

6080

100

200

300

400

500

600

700

800

T

Figure 5.4-1 Température au milieu ( x = 0 ) de la paroi (solution analytique)


0,2

0,4

0,6

x* = 0,8

0,9

1

0

0,2

0

0,4

0,6

1

0,01 0,05 0,1 0,5 1 5 10 100501/Bi

Figure 5.4-2 Distribution de température dans la paroi ( 0 < x < L )

Bi = 0,001

0,01

0,1

1 5

10

20

50

0

1

0,6

0,4

0,2

QQ 0

10-5 10 -4 10 -3 10-2 10-1 10 21 10 103 104

Fo Bi2

Figure 5.4-3 Echange d'énergie dans la paroi


et

d2Xdx2 = - ς2 X (5.32)

La solution générale de (5.31) et (5.32) est

τ = A e −Λ ς2 t(5.33)

et

X = B cos (ς x) + C sin (ς x) (5.34)

Pour la température Θ nous obtenons selon (5.28)

Θ(x,t) = e −Λ ς2 t [ A B cos (ς x) + A C sin (ς x) ] (5.35)

La solution du problème est finalement avec ξn = ςn L

Θ* = ∑n=1

∞ Kn e −ξn2 Fo

cos (ξn x*) (5.36)

où les constantes sont obtenues par les conditions aux limites

Kn = 4 sin ξn

2 ξn + sin (2 ξn) (5.37)

où ξn représente les "valeurs propres" de l'équation transcendante (n=1,2,3, ...)

ξn tg ξn = Bi (5.38)

Les figures 5.4 représentent les résultats du calcul analytique pour la paroi selon Fig. 5.3.

La Fig. 5.4-1 permet de calculer la température au milieu (x=0) de la paroi dans les

instants t et la Fig. 5.4-2 la distribution dans les points 0<x<L. La Fig. 5.4-3 représente la

transmission d'énergie en fonction du nombre de Biot (Bi) et du nombre de Fourier (Fo).


1

0,5

00 0,5 1x/L

50100

200

400

800

t=1600 min

3200

Ti(°C) = 250

Tf(°C) = 50

L(m) = 0,1

ρ(kg/m3) = 1000

cp(J/kg K) = 4218

λ(W/m K) = 50

α(W/m2 K) = 5

Bi = 0,01

1

0,5

00 0,5 1x/L

50100

200400

800

t=1600 min

3200

Ti(°C) = 250

Tf(°C) = 50

L(m) = 0,1

ρ(kg/m3) = 1000

cp(J/kg K) = 4218

λ(W/m K) = 0,5

α(W/m2 K) = 5

Bi = 1

1

0,5

00 0,5 1x/L

50

100200

400

800

t=1600 min3200

Ti(°C) = 250

Tf(°C) = 50

L(m) = 0,1

ρ(kg/m3) = 1000

cp(J/kg K) = 4218

λ(W/m K) = 0,5

α(W/m2 K) = 50

Bi = 10

Figure 5.5 Evolution de la température dans une paroi pour différents nombres

de Biot


Pour le calcul numérique il est avantageux d'utiliser les relations données dans le tableau5.1. Il donne des équations approximatives pour les quatres premiers coefficients ξn de

la série (5.36), donc

Θ* = T - TfTi - Tf

= K1 e −ξ12 Fo cos (ξ1 x*) + K2 e −ξ22 Fo

cos (ξ2 x*) +

+ K3 e −ξ32 Fo cos (ξ3 x*) + K4 e −ξ42 Fo

cos (ξ4 x*) (5.39)

QQ0

= 1 - K1

sinξ1ξ1

e -ξ12 Fo+ K2

sinξ2ξ2

e -ξ22 Fo+

+ K3

sinξ3ξ3

e -ξ32 Fo+ K4

sinξ4ξ4

e -ξ42 Fo (5.40)

AvecQ0 = ρ cp V (Ti - Tf) (5.41)

La Fig. 5.5 montre l'évolution de la température dans une paroi pour différents nombres

de Biot selon le calcul à l'aide des relations (5.39) et (5.40). Nous constatons que pour

Bi=0,01 la température est presque constante dans la paroi à chaque moment. La

variation maximale de la température dans la paroi reste au dessus de 5% pour Bi<0,1,

c'est pourquoi la méthode de capacité globale peut être appliquée jusqu'à cette limite.

Pour Bi=1 nous obtenons une distribution variable de la température dans la paroi et

pour Bi=10 une très grande différence dans le centre et sur la surface pendant le

refroidissement.

Par une méthode analogue à celle de la plaque plane on peut trouver la solution

analytique pour le cylindre et pour la sphère. Les Tableaux 5.2 et 5.4 donnent les

équations approximatives pour le calcul numérique des séries des solutions analytiques.

La définition des variables adimensionnelles pour le cylindre et la sphère sont

r* = rr0

, Fo = t Λr02 , Bi =

α r0λ (5.42)

avec r0 comme diamètre extérieur.

Pour le cylindre J0 et J1 représentent des fonctions de BESSEL données dans le

Tableau 5.3.


• 0 < Bi < 10

ξ1 = 0.0349 + 0.7241 Bi

1+Bi - 0.0374e-0.3Bi + 0.0584 Bi0.3

1+Bi0.3 + 0.9297 Bi0.5

1+Bi0.5

• 10 < Bi < ∞

ξ1 = 2.1783 - 2.4753 Bi

1+Bi - 0.6863e-0.3Bi - 4.3632 Bi0.3

1+Bi0.3 + 5.8457 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 4

ξ2 = 4.3360 - 0.0696 Bi

1+Bi - 1.1940e-0.3Bi - 0.0167 Bi0.3

1+Bi0.3 + 0.0341 Bi0.5

1+Bi0.5

• 4 < Bi < ∞

ξ2 = 3.7451 - 2.3609 Bi

1+Bi - 0.5639e-0.3Bi - 8.5132 Bi0.3

1+Bi0.3 + 11.0653 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ3 = 6.2832 + 0.1508Bi + 0.0120 Bi0.2

1+Bi0.2 - 0.0351 Bi0.33

1+Bi0.33 + 0.0309 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ3 = 9.2452 -4.6813 Bi

1+Bi -24.0280 Bi0.2

1+Bi0.2 +7.3786Bi0.33

1+Bi0.33 +15.7064 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ4 = 9.4248 + 0.1032Bi + 0.0049 Bi0.2

1+Bi0.2 - 0.0147 Bi0.33

1+Bi0.33 + 0.0126 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ4 =11.3864 -5.3934 Bi

1+Bi -19.5291 Bi0.2

1+Bi0.2+5.4268 Bi0.33

1+Bi0.33 +15.7884 Bi0.5

1+Bi0.5

Θ* = ∑n=1

N

Kn e −ξn2 Fo cos (ξn x*)

Kn = 4 sin ξn

2 ξn + sin (2 ξn)

QQ0

= 1 - ∑n=1

N

Kn sin ξn

ξn e- ξn2 Fo

Q0 = ρ cp V (Ti - Tf)

Tableau 5.1 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la

conduction instationnaire dans une plaque plane


• 0 < Bi < 1

ξ1 = 1.2099 Bi

1+Bi - 2.0891 Bi0.3

1+Bi0.3 +2.7480 Bi0.33

1+Bi0.33 +0.6260 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ1 = 0.3839 + 1.4883 Bi

1+Bi - 2.5928 Bi0.3

1+Bi0.3 -0.2197 Bi0.33

1+Bi0.33 +3.0479 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ2 = 3.8317 + 0.2381 Bi + 0.2692 Bi0.3

1+Bi0.3 -0.3585 Bi0.33

1+Bi0.33 +0.1122 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ2 = 4.7263 - 3.5882 Bi

1+Bi - 11.448 Bi0.3

1+Bi0.3 -0.7017 e-0.3Bi +14.781 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ3 = 7.0162 + 0.1439 Bi - 0.2858 Bi0.3

1+Bi0.3 +0.3549 Bi0.33

1+Bi0.33 -0.0756 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ3 = 7.4019 - 5.8604 Bi

1+Bi - 11.767 Bi0.3

1+Bi0.3 -8.9596 Bi0.33

1+Bi0.33 +26.083 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ4 = 10.174 + 0.1046 Bi - 0.472 Bi0.3

1+Bi0.3 +0.5907 Bi0.33

1+Bi0.33 -0.1324 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ4 = 9.9370 - 6.3556 Bi

1+Bi - 3.0187 Bi0.3

1+Bi0.3 -14.604 Bi0.33

1+Bi0.33 +24.671 Bi0.5

1+Bi0.5

Θ* = ∑n=1

N

Kn J0(ξn r*) e−ξn2 Fo

Kn = 2ξn

J1(ξn)

J02(ξn) + J12(ξn)

QQ0

= 1 - ∑n=1

N

4 Bi2

ξn2 (ξn

2 + Bi2) e- ξn2 Fo

Q0 = ρ cp V (Ti - Tf)


conduction instationnaire dans un cylindre


Fonction d'ordre 0 non modifiée

• 0 < x < 3J0(x) = 1 - 2.2499997 (x/3)2 + 1.2656208 (x/3)4 - 0.3163899 (x/3)6 +

0.0444479 (x/3)8 - 0.0039444 (x/3)10 + 0.0002100 (x/3)12

• 3 < x < ∞J0(x) = x-1/2 f0 cosθ0

f0 = 0.79788456 - 0.00000077 (3/x) - 0.00552740 (3/x)2 - 0.00009512 (3/x)3 +

+ 0.00137237 (3/x)4 - 0.00072805 (3/x)5 + 0.00014476 (3/x)6

θ0 = x - 0.78539816 - 0.04166397 (3/x) - 0.00003954 (3/x)2 +

+ 0.00262573 (3/x)3 - 0.00054125 (3/x)4 - 0.00029333 (3/x)5 +

+ 0.00013558 (3/x)6

Fonction d'ordre 1 non modifiée

• 0 < x < 3J1(x) = x [ 0.5 - 0.56249985 (x/3)2 + 0.21093573 (x/3)4 - 0.03954289 (x/3)6 +

+ 0.00443319 (x/3)8 - 0.00031761 (x/3)10 + 0.00001109 (x/3)12 ]

• 3 < x < ∞J1(x) = x-1/2 f1 cosθ1

f1 = 0.79788456 + 0.00000156 (3/x) + 0.01659667 (3/x)2 + 0.00017105 (3/x)3 -

- 0.00249511 (3/x)4 + 0.00113653 (3/x)5 - 0.00020033 (3/x)6

θ1 = x - 2.35619449 + 0.12499612 (3/x) + 0.00005650 (3/x)2 -

- 0.00637879 (3/x)3 + 0.00074348 (3/x)4 + 0.00079824 (3/x)5 -

- 0.00029166 (3/x)6

x = ξn ou x = ( ξn r* ) selon tableau 5.2

Tableau 5.3 Formules approximatives pour la fonction de BESSEL


• 0 < Bi < 1

ξ1 = 1.6620 Bi

1+Bi -3.7134 Bi0.3

1+Bi0.3 +4.9112 Bi0.33

1+Bi0.33 +2.5350 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ1 = 0.5210 + 1.7032 Bi

1+Bi - 3.6814 Bi0.3

1+Bi0.3 -1.7041 Bi0.33

1+Bi0.33 +5.7561 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ2 = 4.4933 + 0.2192 Bi - 0.0743 Bi0.3

1+Bi0.3 +0.0909 Bi0.33

1+Bi0.33 -0.0146 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ2 = 5.6788 - 4.9072 Bi

1+Bi - 15.512 Bi0.3

1+Bi0.3 -0.7286 e-0.3Bi +19.569 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ3 = 7.7256 + 0.1330 Bi - 0.2793 Bi0.3

1+Bi0.3 +0.3515 Bi0.33

1+Bi0.33 -0.0799 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ3 = 9.4503 - 6.4472 Bi

1+Bi - 86.584 Bi0.3

1+Bi0.3 +70.379 Bi0.33

1+Bi0.33 +19.468 Bi0.5

1+Bi0.5

• 0 < Bi < 1

ξ4 = 10.904 + 0.0923 Bi - 0.0457 Bi0.3

1+Bi0.3 +0.0582 Bi0.33

1+Bi0.33 -0.0137 Bi0.5

1+Bi0.5

• 1 < Bi < ∞

ξ4 = 11.872 - 6,4183 Bi

1+Bi - 79.490 Bi0.3

1+Bi0.3 +68.683 Bi0.33

1+Bi0.33 +15.551 Bi0.5

1+Bi0.5

Θ* = ∑n=1

N

Kn sin (ξn r*)

ξn r* e−ξn2 Fo

Kn = 4 (sin ξn - ξn cos ξn)

2 ξn - sin (2 ξn)

QQ0

= 1 - ∑n=1

N

12ξn

3 (sin ξn - ξn cos ξn)2

2 ξn - sin (2 ξn) e- ξn2 Fo


conduction instationnaire dans une sphère


5.4 METHODES NUMERIQUES POUR LA CONDUCTION

INSTATIONNAIRE

La solution analytique du problème est seulement possible pour des géométries très

simples. Dans les problèmes réels rencontrés par l'ingénieur on utilise pour cette raison

dans la plupart des cas des méthodes numériques.

Le problème de conduction instationnaire sans génération de chaleur interne est décrit

par (voir 3.13)

∂2T∂x2 +

∂2T∂y2 +

∂2T∂z2 =

1Λ

∂T∂t

Les méthodes numériques se basent sur la même démarche que celle discutée au

chapitre 4.4 pour la condition stationnaire.

A part les conditions spatiales (x, y, z) il faut toutefois aussi discrétiser le temps.

Pour le faire nous introduisons le paramètre p et définissons le temps actuel par

t = p ∆t (5.43)

où ∆t représente le laps de temps entre deux pas de calcul.

Nous commençons le calcul instationnaire à partir d'une solution stationnaire. Après le

calcul de la température en chaque noeud nous avançons de ∆t (donc: p+1) et

recalculons l'équilibre pour ce pas (Fig. 5.6).

Nous devons donc déterminer la température en chaque noeud (Ti, j) à des instants

précis

⇒ t, t+∆t, t+2∆t, ...

ou avec (p) comme index de pas de calcul dans le temps

⇒ p, p+1, p+2, ...

Pour l'expression des différences finies, nous distinguons deux méthodes différentes:

• la méthode explicite, et

• la méthode implicite.

Dans la suite, nous discutons les deux méthodes à l'exemple de la conduction

instationnaire monodimensionnelle donnée par


∂2T∂x2 =

ρ cpλ

∂T∂t (5.44)

∆x

Qconv

Qst

Qcond

ii -1∆x

∆x ∆x

i -1 i +1i

Qst

Qcond Qcond

noeud interne noeud sur une surface plane

t

T

x

∆x∆x

∆x ∆t∆t

i-1,p

i,p

i+1,p

i-1, p+1

i+1, p+1

i, p+1

Evolution de la température dans les noeuds de calcul en fonction du temps

Figure 5.6 Distribution de la température dans les noeuds pour un calcul

numérique de la conduction instationnaire monodimensionnelle dans une paroi


LA METHODE EXPLICITE

Nous utilisons la méthode de discrétisation selon chapitre 4.4. La transmission de chaleur

par conduction depuis les noeuds voisins vers le noeud (i) est donnée pour un noeud

interne (Fig. 5.6) avec (∆y=∆x) par

Q (i-1) ⇒(i) = λ (1 ∆x) Ti-1 - Ti

∆x (5.45)

Q (i+1) ⇒(i) = λ (1 ∆x) Ti+1 - Ti

∆x (5.46)

et la chaleur "stockée" dans le temps ∆t

( )Qst ∆t = ρ cp (1 ∆x2) Ti

(p+1) - Ti (p)

∆t (5.47)

La somme des taux de chaleur est à chaque instant égale à zéro, donc

λ [ ]Ti-1(p) - Ti

(p) + Ti+1(p) - Ti

(p) = ρ cp ∆x2

∆t (Ti (p+1) - Ti

(p)) (5.48)

ouλ

ρ cp

∆t∆x2 [ ]Ti-1

(p) - Ti(p) + Ti+1

(p) - Ti(p) = Ti

(p+1) - Ti (p) (5.49)

La température à l'instant (t+∆t) ou (p+1) dans le noeud (i) est après introduction du

nombre de Fourier

Ti (p+1) = Ti

(p) (1- 2 Fo) + Fo ( ) Ti-1(p) + Ti+1

(p) (5.50)

Pour le noeud sur la surface (Fig. 5.6) nous obtenons avec

Q (i-1) ⇒(i) = λ (1 ∆x) Ti-1 - Ti

∆x (5.51)

Q (conv) ⇒(i) = α (1 ∆x) (Tf - Ti) (5.52)

et

( )Qst ∆t = ρ cp (1 ∆x ∆x2 )

Ti (p+1) - Ti

(p)

∆t (5.53)


Par l'équilibre des flux de chaleur

λ ( )Ti-1(p) - Ti

(p) + α ∆x ( )Tf - Ti(p) = ρ cp

∆x2

2 ∆t ( )Ti (p+1) - Ti

(p) (5.54)

2 λ

ρ cp

∆t∆x2 ( )Ti-1

(p) - Ti(p) + 2

α ∆xλ

∆t λρ cp ∆x2 ( )Tf - Ti

(p) = Ti (p+1) - Ti

(p) (5.55)

pour la température sur la paroi à l'instant t+∆t (ou p+1)

Ti (p+1) = 2 Fo ( )Ti-1

(p) + Bi Tf + ( )1- 2 Fo - 2 Bi Fo Ti (p) (5.56)

Cette formulation est nommée la formulation explicite car elle permet de calculer la

température "future" dans les noeuds Ti(p+1) d'une façon explicite par la distribution de

température actuelle dans les noeuds.

LA METHODE IMPLICITE

La formulation implicite est donnée par

Ti+1 (p+1) - 2 Ti

(p+1) + Ti-1 (p+1)

∆x2 = 1Λ

Ti (p+1) - Ti

(p)

∆t (5.57)

Dans cette formulation nous calculons les températures "futures" dans les noeuds (Ti(p+1))

par la température actuelle Ti (p) et les températures futures des noeuds voisins.

Comparaison des méthodes explicite et implicite

La Fig. 5.7 explique la différence entre la méthode explicite et implicite à l'exemple de la

conduction instationnaire monodimensionnelle. Dans la méthode explicite nous

définissons la température pour le noeud (i) dans l'instant (t+∆t) à partir de la distribution

de la température dans les trois noeuds voisins (i-1, i, i+1) au moment


∆x∆x

∆x∆t

t

T

x

T i P

T i +1 P

T i P+1

T i -1 P

a) Méthode explicite

∆x∆x

∆x∆t

t

T

x

T i P

T i P+1

T i -1 P+1

T i +1 P+1

b) Méthode implicite

Figure 5.7 Différence entre la méthode explicite et implicite


(t). L'évolution de la température dans le temps dépend ici du gradient de température

dans la direction x qui a tendance à s'équilibrer vers la solution stationnaire [T(x)=Tf]. La

température à l'instant (t+∆t) peut être calculée directement par les valeurs connues à

l'instant (t).

Dans la méthode implicite la température à l'instant (t) est définie par les gradients de

température au même instant. Nous obtenons donc un système d'équations linéaires

avec autant d'inconnues que de noeuds de calcul.

Il est évident que la méthode explicite est plus simple. Elle a toutefois le désavantage

que le pas spatial (∆x) et le pas de temps (∆t) doivent satisfaire les critères selon figures

5.8 pour assurer la stabilité du calcul.

Cette considération conduit souvent à de très petits ∆t qui résultent lors de périodes de

calcul très longues afin d'obtenir la solution.

Pour réduire le temps de calcul on a recourt pour cette raison souvent à une méthode

implicite qui demande la solution simultanée du système des équations algébriques

linéaires. Cette méthode a l'avantage d'être stable sans condition préalable.

Si la température aux limites varie avec le temps [Tf = f(t)] on traite le problème

normalement comme le cas avec température Tf = cte. On fixe les conditions pendant le

calcul d'un pas et varie (Tf) avant d'éxécuter le pas suivant.

La formulation des équations des différences finies pour le cas bidimensionnel peut être

développée par la méthode du bilan d'énergie discutée au chapitre 4.4.2. Dans les

figures 5.8 nous trouvons les définitions de différents éléments typiques pour les

configurations bidimensionnelles les plus courantes.


∆x

∆yQ

Q Q

Q

i, j

i, j +1

i, j -1

i -1, j i +1, j

méthode explicite (5.58)

Ti,j(p+1) = Fo [ Ti+1,j

(p) + Ti-1,j(p) +Ti,j+1

(p) + Ti,j-1(p) ]+ (1 - 4 Fo) Ti,j

(p)

critère de stabilité: Fo ≤ 1/4

méthode implicite (5.59)

(1 + 4 Fo) Ti,j(p+1) - Fo [ Ti+1,j

(p+1) + Ti-1,j(p+1) + Ti,j+1

(p+1) + Ti,j-1(p+1) ] = Ti,j

(p)

Equation des différences finies pour un noeud interne

définition: Bi = α ∆x

λ

Fo = Λ ∆t∆x2


bidimensionnelle instationnaire


∆y

Q

Q

Q

∆x

Tf

i, j+1

i -1, j

i, j -1

i, j

Q conv


Ti,j(p+1) = Fo [ 2 Ti-1,j

(p) + Ti,j+1(p) +Ti,j-1

(p) + 2 Bi Tf ] + [1 - 4 Fo - 2 Bi Fo] Ti,j(p)

critère de stabilité: Fo (2 + Bi) ≤ 0.5


[1 + 2 Fo (2 + Bi)] Ti,j(p+1) - Fo [ 2 Ti-1,j

(p+1) + Ti,j+1(p+1) + Ti,j-1

(p+1)] =

= Ti,j(p) + 2 Bi Fo Tf

Equation des différences finies pour un noeud sur une surface plane


λ

Fo = Λ ∆t∆x2




∆x

Qconv

Qconv

Q

Q Q

Q

i, j i+1, ji -1, j

i, j+1

∆y

i, j -1 Tf


Ti,j(p+1) =

23 Fo [ Ti+1,j

(p) + 2 Ti-1,j(p) + 2 Ti,j+1

(p) + Ti,j-1(p) +

+ 2 Bi Tf ] + [1 - 4 Fo - 43 Bi Fo] Ti,j

(p)

critère de stabilité: Fo (3 + Bi) ≤ 34


[1 + 4 Fo (1 + 13 Bi)] Ti,j

(p+1) - 23 Fo [ Ti+1,j

(p+1) + 2 Ti-1,j(p+1) +

+ 2 Ti,j+1(p+1) + Ti,j-1

(p+1) ] = Ti,j(p) +

43 Bi Fo Tf

Equation des différences finies pour un noeud dans un coin interne


λ

Fo = Λ ∆t∆x2




∆x

Qconv

Qconv

i, ji -1, j

∆y

i, j -1

Q

Q

Tf


Ti,j(p+1) = 2 Fo [ Ti-1,j

(p) + Ti,j-1(p) + 2 Bi Tf ] + [1 - 4 Fo - 4 Bi Fo] Ti,j

(p)

critère de stabilité: Fo (1 + Bi) ≤ 14


[1 + 4 Fo (1 + Bi)] Ti,j(p+1) - 2 Fo [ Ti-1,j

(p+1) + Ti,j-1(p+1)] = Ti,j

(p) + 4 Bi Fo Tf

Equation des différences finies pour un noeud sur un coin externe


λ

Fo = Λ ∆t∆x2




oui

non

oui

T 1 (p) = T 1

(p-1) (1 - 2 Fo) + Fo 2 T 2 (p-1)

T N1 (p) = 2 Fo T N

(p-1) + Bi Tf +

+ 1 - 2 Fo - 2 Bi Fo T N (p-1)

T i (p) = T i

(p-1) + 1 - 2 Fo +

+ Fo T i -1 (p-1) + T i +1

(p-1)

i = N

t = t max

i = 2

stop

non

∆ t réductionoui

non

oui

i = i + 1

Fo = Λ ∆ t∆ x2

∆ x = LN

N1 = n+1p = 1t = 0i = 1

T i = T in

p = p + 1t = p ∆t

Fo < 0,5

i = N1

non

i = i + 1

Données :

Tin , Tf , λ , c p , α , ρ, L , N , ∆ t , t max

i = 1 i -1 i i+1 i = N1

Tf

∆ y = ∆ x∆ x

L

i = 2 i = N

∆ x

Tableau 5.5 Schéma synoptique pour la méthode de calcul explicite de

transmission de chaleur monodimensionnelle instationnaire


Tableau 5.6 Valeurs propres n (n=1,2,3,4,5) en fonction du nombre de Biot pour

la conduction monodimensionnelle instationnaire



• Nous appelons phénomène de transmission de chaleur instationnaire ou transitoire

lorsque la distribution de température varie dans un corps avec le temps.

• Le nombre de Biot (Bi) joue un rôle fondamental dans les problèmes de

transmission de chaleur par convection. Il représente le rapport entre la résistance

thermique de conduction d'un solide et la résistance thermique de convection.

• Le nombre de Fourier (Fo) est le deuxième paramètre important de la transmission

de chaleur instationnaire. Il represente le temps adimensionnel.

• La méthode de capacité de chaleur globale peut être utilisée (erreur inférieure à

5%) pour Bi ≤ 0,1.

• Il existe une solution analytique pour la conduction instationnaire dans la plaque

plane, pour le cylindre et pour la sphère. Les solutions générales sont représentées par

les paramètres adimensionnels Bi et Fo.

• Les méthodes numériques se basent sur la transformation des dérivées de

l'équation différencielle du problème en différences finies. En plus des conditions

spatiales (x, y, z) il faut également discrétiser le temps.

• Pour l'expression des différences finies, nous distinguons deux méthodes: la

méthode explicite et la méthode implicite.

• La formulation explicite permet de calculer la température "future" dans les noeuds

Ti(p+1) directement à partir de la distribution de température actuelle dans les noeuds.

• Dans la formulation implicite nous calculons les températures "futures" dans les

noeuds Ti(p+1) par la température actuelle Ti

(p) et les températures futures des noeuds

voisins. Nous obtenons donc un système d'équations linéaires avec autant d'inconnues

que de noeuds de calcul.


6. PRINCIPES FONDAMENTAUXDE LA CONVECTIONTHERMIQUE

6.1 Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux

6.1.1 La couche limite hydrodynamique

6.1.2 La couche limite thermique

6.1.3 Simplifications et approximations

6.2 Propriétés de la couche limite turbulente

6.3 Etude de similitude et paramètres adimensionnels

6.3.1 Méthode de l'analyse dimensionnelle

6.3.2 Signification physique des paramètres adimensionnels

u u

100 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE

6. LA CONVECTION THERMIQUE

Nous appelons convection thermique la transmission d'énergie-chaleur entre une

surface et un fluide se déplaçant le long de la surface.

Dans les chapitres précédents nous avons appliqué la convection comme condition aux

limites pour les problèmes de conduction avec le coefficient de convection donné.

Dans les chapitres suivants nous discutons les mécanismes de transmission par

convection et nous développons des méthodes pratiques pour la détermination du

coefficient de convection α.

La transmission de chaleur par convection est étroitement liée à la mécanique des fluides

car le transport de chaleur se fait ici essentiellement par le mouvement des particules du

fluide dans le voisinage de la surface de contact.

Considérons l'écoulement autour des aubes d'une turbine (Fig. 6.1). La vitesse (w) et la

température (Tf) du fluide varient le long de l'aube (x). Le flux de chaleur local est donné

par

dQ = q(x) dAs (6.1)

ou avec la relation de NEWTON

dQ = α (Tf(x) - Ts) dAs (6.2)

Le coefficient de convection est lui-même une fonction des conditions locales

α = α(x)

et doit être déterminé avec les grandeurs d'écoulement.

La chaleur totale transmise par convection est

Qtot = ∫

α (Tf - Ts) dAs (6.3)

Pour les grandeurs d'écoulement données (w, Tf) le problème consiste à déterminer les

coefficients de convection locaux α(x).

Nous distinguons deux modes différents de transmission de chaleur par convection:


• convection forcée: dans ce cas le mouvement du fluide est dû à des forces

externes (p. ex. pompe ou différence de pression dans la Fig. 6.1).

• convection libre: le mouvement du fluide est ici dû à la différence de densité qui

résulte de l'échauffement du fluide par le corps lui-même.

Dans le cas de la convection forcée l'écoulement le long des surfaces est normalement

calculé séparément du problème thermique.

Pour la convection libre par contre, l'écoulement résulte de la distribution de la

température dans le solide‚ c'est pourquoi la transmission de chaleur et l'écoulement

autour du corps doivent être calculés simultanément.

La solution analytique du problème de convection est possible seulement pour peu de

cas très simples. Pour les problèmes pratiques nous sommes obligés de développer

des méthodes approximatives. Dans le but de choisir les variables valables du

problème et de comprendre leur signification physique, nous étudions d'abord

l'écoulement visqueux le long d'une plaque plane.

6.1 PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ECOULEMENT VISQUEUX

Nous étudions les principes fondamentaux de l'écoulement visqueux à l'exemple de

l'écoulement le long d'une plaque plane à vitesse externe w∞ constante (Fig. 6.2). A une

distance assez grande (y > δ) nous avons un écoulement potentiel non

x

w1

w2

x

d A s

w (x)

T (x)f

q (x)

T (x)s

δ (x)

Figure 6.1 Transmission de chaleur par convection sur une aube de turbine


influencé par la viscosité. Les effets de celle-ci se font seulement remarquer dans la

couche d'écoulement au voisinage direct de la surface solide dans la couche limite.

La couche limite se forme sous l'influence du frottement sur la paroi où la vitesse de

l'écoulement converge vers la valeur zéro.

Avec la distance croissante (y ⇒ δ) la vitesse du fluide augmente et atteint la valeur de

l'écoulement potentiel pour y = δ. L'épaisseur de la couche limite est définie à

l'endroit où w(y) = 0,99 w .

Nous définissons la force de frottement entre les couches à vitesses différentes (w(y))

comme tension de cisaillement τ.

Elle représente la force visqueuse tangentielle par unité de surface de contact. Selon

NEWTON la tension de cisaillement est proportionnelle au gradient de vitesse local

τ = µ dwdy (6.4)

Le coefficient de proportionnalité µ est appelé viscosité dynamique. Il est une

propriété des matériaux et dépend généralement de la température. Pour l'air par

exemple la fonction est donnée selon SUTHERLAND par

µair [N s/m2] = 1,486.10-6 T1‚5

T + 110‚6 (6.5)

Dans le cas où la température de la surface solide (Ts(K)) est différente de la

température du fluide (Tf(K)), nous obtenons également une couche limite de

température à proximité du corps solide (voir Fig. 6.2).

Le mécanisme de transmission à travers la couche limite dépend du mouvement des

molécules dans celle-ci. Nous distinguons différents types de couches limites qui se

forment le long d'une paroi solide dans un écoulement. Nous les discutons avec

l'exemple d'une plaque plane dans un écoulement parallèle de vitesse w∞ = cte (Fig.

6.3).

Couche limite laminaire

Dans la première partie de la couche limite les molécules se déplacent en étant

ordonnées dans les couches suivant la direction de l'écoulement potentiel (w∞). Le


y

w(y)τ

τδ (x)

x

δ

w∞w∞

y

a) Couche limite de vitesse sur une plaque plane

y

x

δ

T∞y

T∞

δ (x)th

th

T(y)

b) Couche limite de température sur une plaque plane

Figure 6.2 Définition de la couche limite

profil de vitesse dans la couche limite laminaire est à peu près parabolique. La

transmission d'énergie se passe ici par frottement des molécules entre les couches

adjacentes. La transmission de chaleur dans la couche limite laminaire se fait par

conduction selon la loi de FOURIER.

Couche limite transitoire

Après une certaine distance le mouvement des particules dans la couche limite devient

instable et elles commencent à se déplacer à travers les couches. L'endroit de la

transition dépend de l'écoulement externe, des propriétés du fluide et de la rugosité de

la surface. Pour la plaque plane à surface lisse la transition commence


x laminaire turbulent

y

transitoire

sous-couche laminaire

couche limite

δ

zone tampon

u∞

Différents types de couche limite le long d'une plaque plane

y

δ

W

y

δ

W

W = w / w

= (T - T ) / ( T - T )s

∞

∞ ∞

W = w / w

= (T - T ) / ( T - T )s

∞

∞ ∞

a) couche limite laminaire b) couche limite turbulente

Profils de vitesse et de température typiques dans la couche limite

Figure 6.3 Evolution de la couche limite sur une plaque plane


pour

Re = w∞ x

ν = ρ w∞ x

µ ≤ 5.105 (÷106) (6.6)

Le paramètre Re est une valeur adimensionnelle et est appelé le nombre de

REYNOLDS.

Couche limite turbulente

Après la zone de transition (Refin/Redébut ≤ 2) la couche limite devient complètement

turbulente. Dans la couche limite turbulente il n'existe plus de couche d'écoulement

ordonnée. Au mouvement principal du fluide, se superpose un mouvement aléatoire

des groupes de molécules dans toutes les directions. Pour des raisons d'échelle des

groupes, l'échange d'énergie est ici beaucoup plus intense que dans la couche limite

laminaire.

Dans la suite nous développons les équations de base pour la couche limite de vitesse

(couche limite hydrodynamique) et la couche limite thermique.

6.1.1 LA COUCHE LIMITE HYDRODYNAMIQUE

La conservation de masse pour l'élément de contrôle (Fig. 6.4-a) est donnée par

(ρu) dy + (ρv) dx -

ρu +

∂(ρu)∂x dx dy -

ρv +

∂(ρv)∂y dy dx = 0 (6.7)

Après division par (dx.dy) l'équation de continuité prend la forme

∂(ρu)∂x +

∂(ρv)∂y = 0 (6.8)

Une deuxième relation est définie par l'équation de quantité de mouvement qui dit que

la variation de quantité de mouvement de l'élément est égale à la somme des forces

agissant sur celui-ci.


d x

d y

y

x

lignes de courant dansla couche limite

Elément de contrôle dans la couche limite

y

x

x, y

w

u

v

d x

d yρ u ρ u +

∂ ( ρ u )∂ x

d x

ρ v + ∂ ( ρ v )

∂ y d y

ρ v

Conservation de masse pour l'élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche limite

Figure 6.4-a Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

limite


y

x

x, y

d x

d y

σy y

σx x

σx x + ∂ ( σx x )

∂ x d x

σy y + ∂ ( σy y )

∂ y d y

τy x + ∂ ( τy x )

∂ y d y

τx y + ∂ ( τx y )

∂ x d x

τx y

τy x

Contraintes normales et de cisaillement sur l'élément de contrôle (dx.dy.1) dans la

couche limite

σx x σx x

τy x

τy x

τx yτx y

a) Déformation linéaire par les b) Déformation angulaire par les

contraintes normales contraintes de cisaillement

Déformations de l'élément de fluide par les contraintes visqueuses

Figure 6.4-b Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

limite


y

x

x, y

d x

d y

( ρ v ) u + ∂ [ ( ρ v ) u ]

∂ y d y

( ρ u ) u + ∂ [ ( ρ u ) u ]

∂ x d x( ρ u ) u

( ρ v ) u

Echange de quantité de mouvement dans un élément de contrôle (dx.dy.1) dans la

couche limite

Figure 6.4-c Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

limite

y

x

x, y

dx

dyQ conv, x

Q cond, x Q cond, x+dx

Q conv, x+dx

Q conv, y+dyQ cond, y+dy

Q cond, y Q conv, y

Q g

E

Echange d'énergie thermique dans un élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche

limite

Figure 6.4-d Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

limite


Nous distinguons deux types de forces sur l'élément (Fig. 6.4-b).

• Les forces massiques (d'accélération)

(force du corps, gravitation, centrifuge, magnétique, etc.) qui sont proportionnelles au

volume. Leur composantes dans les directions x, y par unité de volume sont Fm,x et

Fm,y.

• Les forces surfaciques

(pression, contraintes visqueuses normales [σ] et tangentielles [τ] qui sont

proportionnelles aux surfaces. Leurs composantes dans les directions x, y sont Fs,x et

Fs,y.

Les forces surfaciques sont données par

Fs,x =

∂σxx

∂x - ∂p∂x +

∂τyx∂y dx dy (6.9)

Fs,y =

∂σyy

∂y - ∂p∂y +

∂τxy∂y dx dy (6.10)

L'échange de quantité de mouvement dans l'élément est représenté dans la Fig. 6.4-c.

Pour l'écoulement incompressible, stationnaire nous obtenons pour l'équation de

quantité de mouvement dans la direction x

u ∂u∂x + v

∂u∂y = Fm,x -

1ρ

∂p∂x +

1ρ

∂σxx

∂x + ∂τyx∂y (6.11)

et dans la direction y

u ∂v∂x + v

∂v∂y = Fm,y -

1ρ

∂p∂y +

1ρ

∂σyy

∂y + ∂τxy∂x (6.12)

Pour les fluides dits "Newtoniens" les contraintes visqueuses sont proportionnelles aux

gradients de vitesses et sont définies par les relations de STOKES

σxx = 2 µ ∂u∂x -

23 µ

∂u

∂x + ∂v∂y (6.13)

σyy = 2 µ ∂v∂y -

23 µ

∂u

∂x + ∂v∂y (6.14)


τxy = τyx = µ

∂u

∂y + ∂v∂x (6.15)

Les équations (6.8) et (6.11) avec l'hypothèse de STOKES (6.15) définissent les

conditions d'écoulement visqueux dans la couche limite. Elles sont connues sous le nom

d'équations de NAVIER-STOKES.

Pour l'écoulement stationnaire laminaire on obtient

u ∂u∂x + v

∂u∂y = Fm,x -

1ρ

∂p∂x + ν

∂2u

∂x2 + ∂2u∂y2 (6.16)

et

u ∂v∂x + v

∂v∂y = Fm,y -

1ρ

∂p∂y + ν

∂2v

∂x2 + ∂2v∂y2 (6.17)

Afin de déterminer la distribution des vitesses dans la couche limite, il faut résoudre le

système d'équations mentionné.

6.1.2 LA COUCHE LIMITE THERMIQUE

L'énergie de l'écoulement par unité de masse se compose de l'énergie interne (e) et de

l'énergie cinétique w2/2 (avec w2 = u2 + v2).

L'énergie de convection liée au mouvement des particules (c'est-à-dire des groupes) au

travers de l'élément de contrôle (Fig. 6.4-d) est donnée par (nous définissons ici

l'énergie comme chaleur)

Qconv,x - Qconv,x+dx = ρu

e+w2

2 dy -

ρu

e+w2

2 + ∂∂x

ρu

e+w2

2 dx dy =

= - ∂∂x

ρu

e + w2

2 dx dy (6.18)

En outre, de l'énergie est aussi échangée par le mouvement moléculaire thermique c'est-

à-dire par la conduction.

Qcond,x - Qcond,x+dx = -λ ∂T∂x dy -

-λ∂T∂x -

∂∂x

λ

∂T∂x dx dy =

= ∂∂x

λ

∂T∂x dx dy (6.19)


Le travail des forces externes (Fm) peut aussi amener une part supplémentaire

d'énergie

Eext,x = Fm,x u dx dy + ∂∂x[ ](∂σxx - p)u dx dy +

∂∂y[ ]∂τyx u dx dy (6.20)

Les équations (6.18) à (6.20) avec les équations analogues pour les composantes y

avec une production interne d'énergie (qg) donnent finalement

- ∂∂x

ρu

e+w2

2 - ∂∂y

ρv

e+w2

2 + ∂∂x

λ

∂T∂x +

∂∂y

λ

∂T∂y +

+ Fm,x u + Fm,y v - ∂(pu)

∂x - ∂(pv)

∂y + ∂(σxxu+τxyv)

∂x - ∂(τyxu+σyyv)

∂y + qg = 0 (6.21)

Il est plus commode de transformer cette équation par multiplication par u et v et de

déduire le résultat obtenu de (6.21)

ρu ∂h∂x + ρv

∂h∂y =

∂∂x

λ

∂T∂x +

∂∂y

λ

∂T∂y + u

∂p∂x + v

∂p∂y + µ Φ + qg (6.22)

avec l'enthalpie

h = e + pρ (6.23)

et la dissipation visqueuse (µ Φ)

µ Φ ≡ µ

∂u

∂y + ∂v∂x

2 + 2

∂u

∂x2 +

∂v

∂y2

- 23

∂u

∂x + ∂v∂y

2(6.24)

Les termes de l'équation (6.24) sont dus aux tensions visqueuses tangentielles et

normales. Ils représentent la quantité d'énergie mécanique produite dans l'écoulement

par les forces visqueuses transformée en énergie thermique (dissipation).

6.1.3 SIMPLIFICATIONS ET APPROXIMATION

La forme complète de la couche limite hydrodynamique et thermique peut être

simplifiée dans la plupart des cas pratiques. Les simplifications suivantes peuvent être


faites:

• écoulement stationnaire,

• écoulement incompressible (ρ = cte),

• propriétés physiques (λ, µ, etc) constantes,

• forces massiques négligeables (Fm = 0), et

• sans génération d'énergie (qg = 0).

En outre, pour la couche limite on peut faire les approximations suivantes:

• Pour la couche limite hydrodynamique

u » v (6.25)

∂u∂y »

∂u∂x ,

∂v∂y ,

∂v∂x (6.26)

Dans ce cas on peut négliger les contraintes normales (6.13) et (6.14) et pour les

contraintes de cisaillement on obtient

τxy = τyx = µ ∂u∂y (6.27)

• Pour la couche limite thermique on peut admettre

∂T∂y »

∂T∂x (6.28)

Avec les simplifications (6.25) à (6.28) nous obtenons pour l'équation de continuité

∂u∂x +

∂v∂y = 0 (6.29)

et pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x

u ∂u∂x + v

∂u∂y = -

1ρ

∂p∂x + ν

∂2u∂y2 (6.30)

L'équation de quantité de mouvement dans la direction y sera réduite à


∂p∂y = 0 (6.31)

c'est-à-dire que la pression statique est constante à travers la couche limite et définie par

l'écoulement potentiel externe!

Avec les simplifications mentionnées l'équation d'énergie prend la forme

u ∂T∂x + v

∂T∂y = Λ

∂2T∂y2 +

νcp

∂u

∂y2

(6.32)

La partie (ν cp)(∂u/∂y) de l'équation représente la dissipation visqueuse (µΦ). Dans de

nombreux cas ce terme peut être négligé par rapport au terme de convection (côté

gauche de l'équation) et la conduction Λ (∂2T/∂y2).

Afin de déterminer la distribution de u, v, T dans la couche limite, les équations (6.29),

(6.30) et (6.32) doivent être résolues pour le problème donné.

La couche limite hydrodynamique (6.29), (6.30) n'est pas couplée avec (6.32) et peut

être calculée indépendamment.

La distribution de température dans la couche limite dépend de la distribution de vitesse

selon (6.32). Après avoir calculé T(x,y) on peut déterminer le coefficient de transmission

par convection en appliquant la relation de FOURIER pour la conduction sur la surface

q = - λf

∂T

∂yy=0

(6.33)

car à y=0 la vitesse de fluide w=0 et la transmission de chaleur se fait seulement par

conduction. Par égalité entre la chaleur transmise par conduction et par convection

(équation de NEWTON)

q = α (Ts - Tδ) (6.34)

nous obtenons pour le coefficient de transmission de chaleur par convection

α = - λf

∂T

∂yy=0

1Ts - Tδ

(6.35)

La valeur numérique du coefficient α dépend du mécanisme de la transmission dans la

couche limite, des propriétés du fluide et de la géometrie de la surface.


Il existe une différence importante entre la transmission de chaleur dans la couche limite

laminaire et turbulente:

• dans la couche limite laminaire l'énergie est transférée par le mouvement

moléculaire (conduction)

• dans la couche limite turbulente l'échange d'énergie se fait par un mouvement

aléatoire intense des groupes ("boules") tourbillonnaires de molécules.

Pour des raisons d'échelle entre molécules et "boules tourbillonnaires" le transfert de

chaleur dans la couche limite turbulente est beaucoup plus importante que dans la

couche limite laminaire.

Néanmoins à cause de la présence d'une sous-couche laminaire à la base de la couche

turbulente, la conduction joue un rôle important également dans la transmission de chaleur

dans la couche limite turbulente.

6.2 PROPRIETES DE LA COUCHE LIMITE TURBULENTE

Les problèmes pratiques de l'ingénieur concernent dans la plupart des cas des

écoulements turbulents. Dans la couche limite turbulente les grandeurs d'écoulement

fluctuent ( ' ) autour d'une valeur moyenne (— ). Pour l'écoulement turbulent

bidimensionnel stationnaire nous pouvons écrire

u = _u + u'

v = _v + v'

(6.36)

p = _p + p'

T = _T + T'

Il est à retenir que l'intégrale des valeurs moyennes des fluctuations est nulle (p. ex.)


_u' =

1∆t

∫t

t+∆t u' dt = 0 (6.37)

mais les valeurs moyennes intégrales des produits ne sont pas nécessairement nulles

___u' v' =

1∆t

∫t

t+∆t u' v' dt ≠ 0 (6.38)

Pour la description de l'écoulement turbulent nous devons formuler les équations

instationnaires du problème. Dans le tableau 6.3 nous trouvons les équations de

continuité, quantité de mouvement et d'énergie pour l'écoulement laminaire et turbulent.

Après introduction des valeurs moyennes (— ) dans les équations de forme

instationnaire, les équations pour la couche limite turbulente prendront la même forme

que pour l'écoulement laminaire.

Dans la couche limite turbulente le déplacement des "boules" tourbillonnaires

provoquent un échange de quantité de mouvement et d'énergie-chaleur

supplémentaire. Comme pour la couche limite laminaire nous pouvons définir une

contrainte de cisaillement turbulente qui est proportionnelle aux vitesses de

fluctuations

τt = - ρ ___u' v' = ρ ε

∂u∂y (6.39)

Le terme (ρ ___u' v') est aussi appelé tension de Reynolds.

De même le flux de chaleur turbulent provenant des fluctuations macroscopiques

qt = - ρ cp

___u' T' = - ρ cp εh

∂_T

∂y (6.40)

Après introduction dans les équations pour l'écoulement turbulent (voir tableau 6.3),

nous obtenons pour la couche limite turbulente des équations de même forme que pour

la couche limite laminaire

∂_u

∂x + ∂_v

∂y = 0 (6.41)


_u

∂_u

∂x + _v

∂_u

∂y = - 1ρ

∂p∂x +

1ρ

∂( )τ l + τ t

∂y (6.42)

_u

∂_T

∂x + _v

∂_T

∂y = ( )τl + τt

ρ cp ∂_u

∂y + ( )−ql −qt

ρ cp(6.43)

Pour la solution nous devons connaître les fluctuations turbulentes de u', v', T'.

Dans le tableau 6.3 nous avons composé les définitions de la tension de cisaillement et

du flux de chaleur pour la couche limite laminaire et turbulente.

Pour la couche limite laminaire les facteurs de proportionnalité µ et Λ représentent des

propriétés physiques.

Pour la couche limite turbulente la viscosité turbulente et le coefficient de diffusion

thermique turbulente h ne sont pas des propriétés physiques du fluide mais

dépendent eux-mêmes du gradient de vitesse (∂_u/∂y), respectivement du gradient de

la température (∂_T/∂y).

ε = —

u' v'

∂—u /∂y

(6.44)

εh = —

u' T'

∂—T /∂y

(6.45)

Dans la couche limite turbulente nous pouvons définir une tension de cisaillement et un

flux de chaleur apparent

τ app = τ l + τ t = ρ (ν + ε) ∂

_u

∂y (6.46)

q app = q l + q t = -ρ cp (Λ + εh) ∂

_T

∂y (6.47)

En les introduisant dans les équations de base (6.57) à (6.59) nous obtenons des

équations de même forme pour la couche limite laminaire et turbulente.


Nous avons constaté que le nombre de PRANDTL moléculaire (laminaire)

Pr = νΛ (6.48)

est une propriété physique des fluides. Le nombre de PRANDTL turbulent défini

selon

Prt = εεh

(6.49)

ne représente pas une propriété physique mais dépend de la distribution de ε et εh

dans la couche limite. Dans la couche limite turbulente on prend souvent Prt = 1 pour des

raisons de similitude de transmission de quantité de mouvement et de chaleur

turbulente.

Le tableau 6.3 montre la comparaison des équations de base pour la couche limite

laminaire et turbulente.


couche limite laminaire couche limite turbulente

continuité:

∂u∂x +

∂v∂y = 0

∂u∂x +

∂v∂y = 0

∂_u

∂x + ∂_v

∂y = 0

quantité de mouvement:

u ∂u∂x + v

∂u∂y = -

1ρ

dpdx + ν

∂2u∂y2 =

= - 1ρ

dpdx +

1ρ

∂τ l∂y

∂u∂t + u

∂u∂x + v

∂u∂y = -

1ρ

dpdx + ν

∂2u∂y2

—u

∂—u

∂x + —v

∂—u

∂y = - 1ρ

d—p

dx + ν ∂2—

u∂y2 -

∂(___u' v')∂y

énergie:

u ∂T∂x + v

∂T∂y = -

νcp

du

dy2 + Λ

∂2T∂y2

=

= - 1

ρ cp τ l

dudy +

1ρ cp

∂q l∂y

∂T∂t + u

∂T∂x + v

∂T∂y =

1ρ cp

du

dy2 + Λ

∂2T∂y2

—u

∂—T

∂x + —v

∂—T

∂y = - νcp

d—u

dy

2 +

(___u' v')cp

∂—u

∂y +

+ Λ ∂2—

T∂y2 -

∂(___v' T')∂y

tension de cisaillement:

τ l = µ dudy = ρ ν

dudy τ t = -ρ (

___u' v') = ρ ε

d–u

dy , ε =

___u' v'

∂—u

∂y

flux de chaleur:

q l = -λ dTdy = -ρ cp Λ

dTdy q t = -ρ cp (

___v' T') = -ρ cp εh d

—T

dy , εh =

___v' T'

∂—T

∂y

Tableau 6.3 Comparaison des équations de base pour la couche limite laminaire et

turbulente incompressible


6.3 ETUDE DE SIMILITUDE ET PARAMETRES ADIMENSIONNELS

Nous avons déjà vu dans le chapitre 5.2 que par groupement des variables en

paramètres adimensionnels il est possible de réduire le nombre de variables

indépendantes d'un problème. Par conséquent nous pouvons simplifier le traitement

analytique et les études systématiques. D'autre part les paramètres de similitude

permettent de dériver une solution d'un problème en étude d'un problème similaire déjà

connu avec des conditions physiques différentes.

Dans la suite nous discutons brièvement les principes de base de la méthode de

l'analyse des dimensions et ensuite nous les appliquons aux problèmes de

transmission de chaleur. Pour les détails de la méthode se référer à la littérature spéciale

(p.ex. Langhaar H. L., Dimensional Analysis and Theory of Models, John Wiley &

Sons).

6.3.1 METHODE DE L'ANALYSE DIMENSIONNELLE

Toutes les grandeurs physiques sont exprimées dans les quatre dimensions

fondamentales suivantes:

• la masse (kg) M

• la longueur (m) L

• le temps (s) t

• la température (K) T

Les variables de base des problèmes de transmission de chaleur et leur dimensions

sont données dans le tableau 6.1.

Le nombre de variables indépendantes du problème de transmission de chaleur par

convection (w, L, ρ, µ, cp, λ, α) est n = 7.

Selon le théorème de BUCKINGHAM nous pouvons formuler

N = n - r (6.50)


variable symbole (unité) dimension

vitesse w (m s-1) L1 t-1

longueur caractéristique L (m) L1

densité de fluide ρ (kg m-3) M1 L-3

viscosité du fluide µ (kg s-1 m-1) M1 t-1 L-1

chaleur massique cp (J kg-1 K-1) L2 t-2 T-1

coefficient de conduction λ (W m-1 K-1) M1 L1 t-3 T-1

coefficient de convection α (W m-2 K-1) M1 t-3 T-1

Tableau 6.1 Unités et dimensions des variables de la transmission de chaleur par

convection

variables adimensionnelles, où (r) représente le rang de la matrice défini par les

exposants des dimensions des variables données dans le tableau 6.2.

w L ρ µ cp λ α

M 0 0 1 1 0 1 1

L 1 1 -3 -1 2 1 0

t -1 0 0 -1 -2 -3 -3

T 0 0 0 0 -1 -1 -1

Tableau 6.2 Exposants des dimensions des variables de la transmission de

chaleur par convection

La matrice définie dans le tableau 6.2 a le rang r = 4. Selon BUCKINGHAM nous

pouvons donc formuler

N = 7 - 4 = 3

paramètres adimensionnels pour les problèmes de transmission de chaleur par

convection.


Chaque paramètre (∏i) sera formulé par des expressions potentielles des variables de

base:

∏i = w k1i L k2i ρ k3i µ k4i cp k5i λ k6i α k7i (6.51)

pour i = 1 ⇒ N.

Pour que les paramètres ∏i deviennent adimensionnels, l'exposant de chaque

dimension doit avoir la valeur (0).

∏i[1] = [L1 t-1]k1i [L1]k2i [M1 L-3]k3i [M1 t-1 L-1]k4i [L2 t-2 T-1]k5i *

* [M1 L1 t-3 T-1]k6i [M1 t-3 T-1]k7i (6.52)

ou avec les dimensions groupées

∏i[1] = M (k3i+k4i+k6i+k7i) L (k1i+k2i-3k3i-k4i+2k5i+k6i) *

* t (-k1i-k4i-2k5i-3k6i-3k7i) T (-k5i-k6i-k7i) (6.53)

Pour éliminer les dimensions, les exposants entre parenthèses doivent avoir la valeur

zéro, ce qui nous définit le système d'équations linéaires suivant

k3i + k4i + k6i + k7i = 0

k1i + k2i -3 k3i - k4i + 2 k5i + k6i = 0

(6.54)

-k1i - k4i -2 k5i -3 k6i -3 k7i = 0

-k5i - k6i - k7i = 0

Afin de déterminer les paramètres adimensionnels ∏i nous devons résoudre le

système d'équations linéaires (6.54) pour les coefficients ki. Pour la définition de chaque

paramètre ∏i nous pouvons choisir la valeur de quatre des coefficients ki (normalement

on donne la valeur ki = 0) et calculer les autres trois ki par l'équation (6.54).

Nous obtenons par la méthode de l'analyse de dimension pour la convection thermique

les paramètres adimensionnels suivants:


∏1 ⇒ nombre de REYNOLDS

Re = w ρ L

µ (6.55)

∏2 ⇒ nombre de PRANDTL

Pr = µ cpλ =

νΛ (6.56)

∏3 ⇒ nombre de NUSSELT

Nu = α Lλ (6.57)

Par la division du nombre de Nusselt (Nu) par le produit de (Re Pr) nous obtenons le

nombre de STANTON

St = NuRe Pr =

αρ w cp

(6.58)

Les paramètres (6.55) à (6.57) peuvent être développés également à partir des

équations de la couche limite hydrodynamique et thermique.

L'introduction des paramètres adimensionnels permet de réduire le nombre de variables

du problème de 7 à 3. Avec les paramètres adimensionnels nous obtenons des

relations simplifiées et généralisées.

Quand nous avons trouvé la relation (par essais ou par calculs)

Nu = f( Re, Pr )

nous pouvons l'appliquer pour des géométries similaires.

Dans les chapitres suivants nous développons des méthodes pour la détermination de

relations [Nu = f( Re, Pr )] pour des cas pratiques.


6.3.2 SIGNIFICATION PHYSIQUE DES PARAMETRES

ADIMENSIONNELS

Le nombre de REYNOLDS peut être interprêté comme le rapport entre les forcesd'inertie (FI) et les forces visqueuses (Fτ) dans la couche limite.

Ces forces peuvent être exprimées par les grandeurs caractéristiques de l'écoulement:

FI ≈ ρ w2

L

Fτ ≈ µ wL2

Le nombre de REYNOLDS est donc:

FIFτ

≈ ρ w L

µ ≡ Re (6.59)

Le nombre de PRANDTL représente une propriété physique du fluide pour la couche

limite laminaire. Il exprime le rapport entre la diffusion de la quantité de mouvement et la

diffusion thermique:

Pr ≡ νΛ (6.60)

avec

Λ = λ

ρ cp

Il définit également le rapport entre l'épaisseur des couches limites hydrodynamique (δ)

et thermique (δth) selon POHLHAUSEN:

δδth

= Pr 1/3 (6.61)

Dans les tableaux A.2 nous trouvons des exemples de valeurs pour des gaz et des

liquides.

La Fig. 6.5 montre l'influence du nombre de Prandtl sur le rapport entre l'épaisseur de la

couche limite hydrodynamique et thermique:


• pour Pr 1

la diffusion d'énergie thermique est beaucoup plus importante que la diffusion de la

quantité de mouvement par conséquent

th >> .

C'est le cas pour les bons conducteurs avec facilité de dégager de la chaleur ou pour

des fluides à faible viscosité (p.ex. les métaux liquides).

Comportement typique pour des huiles pour lesquelles le nombre de Pr augmente

considérablement pour des températures décroissantes.

y y y

δ

δ th

Tδ

uδ

Tδ

Tδuδ

uδ

δ th

δ th

δ

δ

=

Pr << 1 Pr = 1 Pr >> 1

<< th = th >> th

10-3 10-2 10 2 10 310-1 1041011Pr =

huileseaugazmétaux liquides

Grandeurs typiques des nombres de Prandtl pour fluides techniques

Figure 6.5 Signification physique du nombre de Prandtl


• pour Pr 1

la diffusion de la quantité de mouvement et la diffusion thermique sont à peu près du

même ordre de grandeur. L'épaisseur des couches limites hydrodynamique et

thermique est identique selon (6.61)

th

Nombreux gaz montrent ce comportement.

• pour Pr » 1

La transmission de quantité de mouvement l'emporte sur les transmissions de chaleur

donc

th «

Une grandeur importante pour la couche limite, le coefficient de frottement C f

C f = τs

ρ u2

2

(6.62)

du

dy

uδδ

y

u

dT*

dy*

y*

T*(y*)

T(y*)δ th

T* , T

couche limite hydrodynamique couche limite thermique

Figure 6.6 Signification du nombre de Nusselt


est définie avec la tension de cisaillement (τs) sur la surface

τs = µ

∂u

∂yy=0

(6.63)

Pour la couche limite thermique la grandeur analogue au Cf est exprimée par le nombre

de NUSSELT (voir Fig. 6.6)

Nu =

∂T*

∂y* y*=0(6.64)

avec

T* = T(y*) - Ts

T∞ - Ts(6.65)

y* = yL

Le coefficient de convection n'est pas une grandeur physique. Il dépend des propriétés

de matériaux mais il est fortement influencé par le mode d'échange de l'énergie chaleur à

travers la couche limite.

Le tableau 6.4 montre les valeurs typiques du coefficient de convection pour des cas

plus importants dans le domaine technique.


• Nous appelons convection thermique la transmission d'énergie-chaleur entre une

surface et un fluide se déplaçant le long de la surface.

• Nous distinguons deux modes différents de transmission de chaleur par

convection: la convection forcée et la convection libre.

• Selon la relation de Newton la chaleur transmise par convection est proportionelle(α) à la différence de température entre le fluide et la surface.


• Le coefficient de convection thermique (α) est une fonction des conditions locales

de la couche limite hydrodynamique.

• Dans la couche limite laminaire les molécules se déplacent en étant ordonnées

dans les couches suivant la direction de l'écoulement potentiel.

• Dans la couche limite turbulente, au mouvement principal du fluide, se superpose

un mouvement aléatoire des groupes de molécules dans toutes les directions.

L'échange d'énergie est ici beaucoup plus intense que dans la couche limite laminaire.

• L'écoulement visqueux dans la couche limite est décrit par l'équation de NAVIER-

STOKES.

• Les équations pour la couche limite hydrodynamique (Navier-Stokes) ne sont pas

couplées avec l'équation d'énergie et peuvent être calculées indépendamment. La

distribution de température dans la couche limite par contre dépend de la distribution de

vitesse.

• Pour la couche limite laminaire la viscosité et le coefficient de diffusion thermique

représententent des propriétés physiques.

• Pour la couche limite turbulente, la viscosité turbulente et le coefficient de diffusion

thermique turbulent ne sont pas des propriétés physiques du fluide mais dépendent

eux-mêmes du gradient de vitesse respectivement du gradient de la température.

• Les paramètres adimensionnels importants de la convection forcée sont: le

nombre de REYNOLDS (Re), le nombre de PRANDTL (Pr) et le nombre de

NUSSELT (Nu).


Vap

eurs

con

dens

ées

Eau

en

ébul

ition

Con

vect

ion

forc

ée e

au

Con

vect

ion

natu

relle

eau

Fre

on c

onde

nsé

Fre

on é

vapo

ré

Hyd

roca

rbur

es c

onde

nsée

s

Hyd

roca

rbur

es é

vapo

rées

Hyd

roca

rbur

es li

quid

es

Hyd

roca

rbur

es g

azeu

ses

Hui

les

Hyd

rog

èn

e

Air

com

prim

é

Con

vect

ion

forc

ée a

ir-at

m.

Con

vect

ion

natu

relle

air-

atm

.

(W/m

K)

23

10

410

1

510

2

4

6 8

2

4

6

82

4

6 8

2

4

6

82

4

6 8

102

10

Ta

ble

au

6.4

V

ale

urs

appro

xim

ativ

es

du c

oeffic

ient de c

onve

ctio

n α


7. CONVECTION POURL'ECOULEMENT EXTERNE

7.1 La couche limite laminaire sur une plaque plane

7.2 Ecoulement turbulent sur la plaque plane

7.3 Ecoulement autour d'un cylindre

7.4 Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes

u

u

130 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE

7. CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE

L'écoulement autour d'un objet se situant dans un champ sans limite est appelé

écoulement externe. Dans un tel cas la couche limite sur la surface de l'objet se

développe sans influence de l'entourage (p.ex. sur une aile d'avion).

Dans le chapitre 6 nous avons trouvé que le phénomène de convection forcée peut être

défini par une relation entre les trois paramètres adimensionnels Nu, Re et Pr. Le

problème de calcul de la transmission de chaleur consiste à déterminer la relation

Nu = f( Re, Pr )

La solution peut être obtenue par

• calcul théorique

par la solution des équations de base (développée au chapitre 6) pour une géométrie

et des conditions aux limites données.

• méthode expérimentale (ou empirique)

par des mesures systématiques sur diverses géométries. Les relations entre les

paramètres adimensionnels sont obtenues dans ce cas par la corrélation des valeurs

mesurées.

La solution analytique du problème est seulement possible dans quelques cas très

simples. Pour les cas pratiques, on recourt aux expériences.

L'importance des solutions théoriques réside dans le fait qu'elles nous montrent le

caractère des relations et permettent d'évaluer l'influence des paramètres physiques ce

qui est important pour développer des relations empiriques.

7.1 LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE SUR UNE PLAQUE PLANE

SOLUTION DE BLASIUS POUR LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE SANS

DISSIPATION

L'écoulement sur une plaque plane représente non seulement le cas le plus simple mais

également un cas pratique et important pour l'ingénieur.

Nous étudions l'écoulement stationnaire, incompressible et laminaire sans dissipation le

long d'une plaque plane (Fig. 7.1).


x laminaire turbulent

y

transitoire

sous-couche laminaire

couche limite

δ

zone tampon

u∞

Couche limite sur une plaque plane

1

0

y

δ

5

0

2

3

4

1

η η = y u ∞ν x

1 0 u / u∞ 1 0 u / u∞

a) couche limite laminaire b) couche limite turbulente

Figure 7.1 Couche limite hydrodynamique sur une plaque plane

Les équations de base se réduisent à (voir chapitre 6):

• la continuité

∂u∂x +

∂v∂y = 0 (7.1)


• la quantité de mouvement pour dp/dx = 0

u ∂u∂x + v

∂v∂y = ν

∂2u∂y2

(7.2)

∂p∂y = 0

• l'énergie [sans dissipation donc (ν/cp)(∂u/∂y)2 = 0]

u ∂T∂x + v

∂T∂y = Λ

∂2T∂y2

(7.3)

La solution pour la couche limite hydrodynamique a été trouvée par BLASIUS.Les vitesses sont définies par la fonction de courant ψ(x,y) selon

u ≡ ∂ψ∂y et v ≡ -

∂ψ∂x

Après introduction des nouvelles variables f et η

f(η) ≡ ψ

u∞ ν xu∞

= ψ

ν x u∞(7.4)

et

η ≡ y u∞ν x (7.5)

l'équation de quantité de mouvement peut être transformée en une équation différentielleordinaire (valeurs numériques pour η, f', f'' dans le Tableau 7.1).

La solution de l'équation nous donne les résultats suivants:• l'épaisseur de la couche limite laminaire (δ=y pour u/u∞ = 0,99)

δ ≡ 5u∞ν x

= 5 x Re-1/2 (7.6)

• la tension de cisaillement sur la surface (y=0) au point x

τs = µ

∂u

∂y y=0(7.7)


τs = 0,332 u∞ ρ µ u∞

x (7.8)

• le coefficient de frottement local

C f,x = τs‚x

ρ u∞2

2

= 0,664 Rex-1/2 (7.9)

La solution de BLASIUS est une solution de similitude (η = variable de similitude) c'est-

à-dire que le profil de vitesse u/u∞ reste géométriquement similaire à partir de x=0. Avec

η = y u∞ν x =

yx Rex1/2

uu∞

= Φ

y

δ = Φ ( η )

avec δ comme épaisseur de la couche limite.

A partir du profil de vitesse dans la couche limite nous pouvons calculer la distribution de

la température dans celle-ci. Avec la température relative

T* = T - TsT∞ - Ts

(7.10)

l'équation d'énergie prend la forme

d2T*dη2

+ 0,5 Pr f(η) dT*dη = 0 (7.11)

La solution a été trouvée numériquement pour différents nombres de PRANDTL pour

les conditions aux limites

T*(0) = 0 et T*(∞) = 1


f f'=u/u f''00,20,40,60,8

1,01,21,41,61,8

2,02,22,42,62,8

3,03,23,43,63,8

4,04,24,44,64,8

5,05,25,45,65,8

6,06,26,46,66,8

7,07,27,47,67,8

8,08,28,48,6

00,006640,026560,059740,10611

0,165570,237950,322980,420320,52952

0,650030,781200,922301,072521,23099

1,396821,569111,746961,929542,11605

2,305762,498062,692382,888263,08534

3,283293,481893,680943,880314,07990

4,279644,479484,679384,879315,07928

5,279265,479255,679245,879246,07923

6,279236,479236,679236,87923

00,066410,132770,198940,26471

0,329790,393780,456270,516760,57477

0,629770,681320,728990,772460,81152

0,846050,876090,901770,923330,94112

0,955520,966960,975870,982690,98779

0,991550,994250,996160,997480,99838

0,998980,999370,999610,999770,99987

0,999920,999960,999980,999990,99996

0,999960,999960,999960,99996

0,332060,331990,331470,330080,32739

0,323010,316590,307870,296670,28293

0,266750,248350,228090,206460,18401

0,161360,139130,117880,098090,08013

0,064240,050520,038970,029480,02187

0,015910,011340,007930,005430,00365

0,002400,001550,000980,000610,00037

0,000220,000310,000070,000040,00002

0,000010,000010,000000,00000

Tableau 7.1 Valeurs de la fonction f( ) pour la convection forcée sur la plaque

plane


Les résultats donnent avec Pr≥0,6 pour le gradient de température sur la surface (η=0)

∂T*

∂η η=0 = 0,332 Pr1/3 (7.12)

avec (7.5) et (7.10)

∂T*

∂η η=0 =

1T∞ -Ts

u∞ν x

∂T

∂y y=0(7.13)

∂T

∂y y=0 = (T∞ -Ts)

u∞ν x 0,332 Pr1/3 (7.14)

Le coefficient de convection local (αx) peut être calculé par le flux de chaleur sur la paroi

αx = qx

Ts -T∞ =

- λTs -T∞

∂T

∂y y=0

avec (7.14)

αx = - λ

Ts -T∞ (T∞ -Ts)

u∞ν x 0,332 Pr1/3 (7.15)

nous obtenons la relation

Nux = αx x

λ = 0,332 Rex1/2 Pr1/3 (7.16)

valable pour Pr ≥ 0,6.L'équation (7.16) montre que le coefficient de convection αx varie avec la coordonnée x.

Pour la plaque de longueur x=L nous obtenons les valeurs moyennes

NuL = αx L

λ = 0,664 ReL1/2 Pr1/3 (7.17)

La Figure 7.2a montre la distribution de température dans une couche limite laminaire

pour différents nombres de PRANDTL.

Il est à noter que pour une raison d'égalité formelle de l'équation de quantité de

mouvement (7.2) et d'énergie (7.3) nous obtenons des formes similaires pour le profilde vitesse (u/u∞) et le profil de température (T*) pour le cas de ν = Λ donc Pr=1


T - TsT∞ -Ts

= uu∞

(7.18)

Nous rappelons que pour les gaz l'ordre de grandeur du nombre de PRANDTL est Pr ≤1.La Figure 7.2a montre que pour Pr > 1, δth < δ et pour Pr <1, δth > δ.

COUCHE LIMITE LAMINAIRE AVEC DISSIPATION

Dans la solution de BLASIUS nous avons admis que la dissipation est négligeable par

rapport aux autres termes de l'équation d'énergie. Cette simplification n'est plus valable

si la vitesse de l'écoulement externe dépasse une certaine limite.

Ecoulement sur une surface adiabate

Nous étudions l'écoulement sur une plaque isolée. Dans ce cas, il n'existe pas de flux dechaleur sur la paroi donc (dT/dy)y=0 = 0. La température d'équilibre de la paroi est

nommée température de récupération (Tr).

La démarche du calcul est similaire à celle de BLASIUS.

La solution est

Tr = T∞ + r0(Pr) u∞2

2cp(7.19)

La fonction r0(Pr) est le facteur de récupération qui est donné pour la couche limite

laminaire par

r0(Pr) ≈ Pr1/2 (7.20)

et pour la couche limite turbulente par r0(Pr) ≈ Pr1/3.

ECOULEMENT LAMINAIRE VISQUEUX SUR UNE PLAQUE CHAUFFEE OU

REFROIDIE

Nous étudions maintenant le cas où la température de la paroi est maintenue à Ts. Nous

trouvons la solution par introduction du paramètre de BLASIUS

η = y u∞/(ν x)


Les résultats possibles sont montrés dans la Figure 7.2b.Par rapport à la température de récupération Tr (température pour paroi adiabate) nous

distinguons trois cas:• pour Ts > Tr, le flux de chaleur passe de la paroi vers le fluide,

• pour Ts = Tr, nous avons les conditions adiabates, et

• pour Ts < Tr, le flux de chaleur est dirigé vers la paroi.

L'inversion du profil de température exprime le fait que la chaleur dissipée s'écoule

partiellement vers la paroi et partiellement dans le fluide.

Les résultats pour la couche limite avec dissipation sont identiques à celui sans

dissipation, donc

Nux = 0,332 Rex1/2 Pr1/3 (7.21)

NuL = 0,664 ReL1/2 Pr1/3 (7.22)

mais le flux de chaleur se calcule avec la température de récupération selon

q = α (Ts - Tr) (7.23)

A partir de (7.29) on peut écrire pour la couche limite laminaire

Tr - T∞ = Pr1/2 u∞2

2 cp

divisé par (Tr - T∞)

Tr - T∞Ts -T∞

= 0,5 r0(Pr) u∞2

cp(Ts -T∞)


δ - hydrodynamique

6

5

4

3

2

1

0

0 0,5 1

Pr = 1

0,7

3

10

50

T*

η = y u ∞ν x

a) Distribution de la température dans la couche limite sans dissipation

T∞T

Tr

couche limite

u∞

yq = 0q < 0 q < 0 q > 0

Ts < Tr Ts < Tr

Ts < T∞ Ts > T∞ Ts = Tr > T∞

Ts > Tr > T∞

b) Distribution de la température dans la couche limite avec dissipation

Figure 7.2 Couche limite laminaire sur une plaque plane chauffée


Le dernier facteur de (7.23) représente le nombre de ECKERT

Ec = u∞2

cp(Ts - T∞) (7.24)

Nous pouvons donc écrire

Tr - T∞Ts - T∞

= 0,5 r0(Pr) Ec = 0,5 Pr0,5 Ec (7.25)

Le nombre de Eckert est une mesure pour la compressibilité de l'écoulement. La relation

entre le nombre Ec et le nombre de Mach pour le gaz idéal est donnée par

Ec = (κ-1) T∞

Ts - T∞ M∞

2 (7.26)

7.2 ECOULEMENT TURBULENT SUR LA PLAQUE PLANE

La couche limite se développe sur une plaque plane au début toujours laminaire. Si le

nombre de Reynolds dépasse la valeur critique, la couche limite devient turbulenteaprès une zone de transition (Recrit = 5.105-106).

Le profil de vitesse dans la couche limite turbulente est plus rempli que dans le cas

laminaire. Il est approximativement

uu∞

=

y

δ1/7

(7.27)

Dans la région à proximité de la paroi l'écoulement reste laminaire (sous-couche

laminaire). Dans cette région (7.27) n'est pas valable.

De nombreux essais ont permis d'obtenir les différentes relations pour la couche limite

turbulente sur la plaque plane (SCHLICHTING). L'épaisseur de la couche limite

turbulente est décrite par

δ = 0,381 x Rex- 0,2 (7.28)

valable pour: 5.105 < Rex < 107.


La relation montre que l'épaisseur de la couche limite turbulente augmente plus

rapidement que celle de la couche limite laminaire.

Le coefficient de frottement est donné par

C f = τs

ρ u∞2

2

= 0,045

u∞ δ

ν- 0,25

(7.29)

L'expression

Reδ = u∞ δ

ν (7.30)

représente le nombre de REYNOLDS relatif à l'épaisseur de la couche limite.Il est plus pratique de relier Cf avec Rex

C fx = 0,0592 Rex- 0,2 (7.31)

valable pour: 5.105 < Rex < 107.

La transmission de chaleur locale est définie par

Nux = 0,0296 Rex0,8 Pr 0,33 ( 0,6 < Pr < 60 ) (7.32)

Une meilleure approximation que la distribution exponentielle de (1/7) est donnée par la

distribution universelle de vitesse. Elle est donnée par

u = C1 τsρ ln y + C2 (7.33)

Le terme s/ est appelé la vitesse de cisaillement

uτ = τsρ =

C f u∞2

2 (7.34)

où τs peut être calculé par le coefficient de frottement Cf (7.29).

Avec la vitesse et les coordonnées adimensionnelles

u+ = uuτ

(7.35)

y+ = y uτν (7.36)


on obtient

u+ = C1 ln y+ + C3 (7.37)

Les expériences ont donné pour les trois zones de la couche limite turbulente lesrelations suivantes (avec ε selon (tableau 6.1))

• sous-couche laminaire: 0 < y+ < 5

u+ = y+ (7.38)

εν = 0 (7.39)

• zone tampon: 5 < y+ < 30

u+ = 5 ln y+ - 3,05 (7.40)

εν =

y+

5 - 1, 0 < εν < 5 (7.41)

• zone turbulente: y+ > 30

u+ = 2,5 ln y+ + 5,5 (7.42)

εν =

y+

2‚5 - 1, εν > 11 (7.43)

Pour le calcul de la transmission de chaleur nous utilisons la similitude entre la transmission

de quantité de mouvement et de chaleur. Nous étudions d'abord l'écoulement

laminaire.

Pour la vitesse adimensionnelle (u/u∞) nous pouvons écrire (solution de BLASIUS)

d2

u

u∞

dη2 + 0,5 f(η) d

u

u∞dη = 0 (7.44)

avec les conditions aux limites

u(0)u∞

= 0, u(∞)u∞

= 1

Pour la température adimensionnelle T* = (T - Ts) / (T∞ - Ts) nous obtenons


d2T*dη2 + 0,5 f(η) Pr

dT*dη = 0 (7.45)

avec

T*(0) = 0, T*(∞) = 1

Pour Pr = 1 les deux équations (7.44) et (7.45) sont similaires, où

T* ⇒ uu∞

doncT - TsT∞ -Ts

⇒ uu∞

(7.46)

Ces relations impliquent que

1T∞ -Ts

∂T∂y = 1u∞

∂u∂y (7.47)

Pour l'écoulement laminaire avec les définitions

τ = ρ ν ∂u∂y (7.48)

q = ρ cp Λ ∂T∂y (7.49)

on peut écrire (7.47) pour Pr = ν/Λ = 1

qτ = - cp T∞ -Ts

u∞(7.50)

La conséquence de (7.50) est que dans la couche limite laminaire pour Pr=1 le rapport

entre le flux de chaleur et la tension de cisaillement est constant.

Pour l'écoulement laminaire nous pouvons écrire pour (7.50)

qTs -T∞

= τ cpu∞

(7.51)

En introduisant le coefficient de convection α

α = τs cpu∞

(7.52)


Pour Pr=1 il existe donc une relation unique entre le coefficient de convection (α) et la

contrainte de cisaillement sur la paroi (τs).

Par conséquent une valeur élevée de transmission de chaleur est accompagnée de

pertes importantes.A partir de (7.52) nous pouvons développer la relation ( pour Pr = 1, ν = Λ ou µ = λ/cp )

αx xλ =

τs cp xλ u∞

= τs xµ u∞

(7.53)

Nux = 0,5 Cfx Rex (7.54)

Dans la suite nous étendons la similitude aux écoulements turbulents et Pr≠1.

L'ANALOGIE DE REYNOLDS POUR LA CONVECTION TURBULENTE

Pour l'écoulement turbulent nous avons introduit

τ = ρ (ν + ε) ∂u∂y (7.55)

et

q = - ρ cp (Λ + εh) ∂T∂y (7.56)

Reynolds a négligé les zones laminaires et transitoires de la couche limite turbulente. Lesgrandeurs turbulentes sont ε » L et nous pouvons les éliminer

qτ = - cp

εhε

∂T∂y = -

cpPrt

∂T∂u (7.57)

Pour Prt ≈ 1 nous avons ε ≈ εh donc

qτ = - cp

∂T∂u (7.58)

REYNOLDS a admis que la similitude existe entre la couche limite laminaire etturbulente‚ par conséquent (q/τ) est aussi constant dans le cas turbulent (voir (7.51)).

Avec (7.48) et (7.49)


qsτs

= - cp T∞ - Ts

u∞(7.59)

ou

α = τs cpu∞

(7.60)

Avec cp selon Pr = ν ρ cp/λ = 1

α = τs λ Prµ u∞

(7.61)

et

Nux = 0,5 Cf Rex Pr (7.62)

(7.62) est appelé l'analogie de REYNOLDS pour la convection turbulente sur une

surface plane. Avec (7.28) et (7.29) nous obtenons pour 5.105 < Re < 107

Nux = 0,0296 Rex0,8 Pr (7.63)

et pour Rex > 107

Nux = 0‚185 Rex Pr(log10 Rex)2‚584 (7.64)

La relation de REYNOLDS a été corrigée sur la base des mesures effectuées par

COLBURN

pour 5.105 < Rex < 107

Nux = 0,5 Cf Rex Pr 0,33 (7.65)

ou

Nux = 0,0296 Rex0,8 Pr 0,33 (7.66)

et pour Rex > 107

Nux = 0‚185 Rex Pr1/3

(log10 Rex)2‚584 (7.67)


ANALOGIE DE PRANDTL

PRANDTL a introduit la sous-couche laminaire et obtenupour 5.105 < Rex < 107

Nux = 0‚5 C f Rex Pr

1+5 C f2 (Pr-1)

(7.68)

ou

Nux = 0‚0296 Rex0‚8 Pr

1+0‚860 Rex-0‚1 (Pr-1)(7.69)

ANALOGIE DE von KARMAN

Von KARMAN a introduit en plus la zone tampon (y+ = 30) et obtenu

Nux = 0‚5 C f Rex Pr

1+5 C f2 {(Pr-1)+ln[1+0‚8333(Pr-1)]}

(7.70)

Nux = 0‚0296 Rex0‚8 Pr

1+0‚860 Rex-0‚1 {(Pr-1)+ln[1+0‚8333(Pr-1)]}(7.71)

pour 5.105 < Rex < 107

La valeur moyenne pour une plaque de longueur L est

NuL = α Lλ = Pr 0,33 [ ]0‚037 ReL0‚8 - A (7.72)

pour ReL = 3. 105 A = 527

ReL = 5. 105 A = 871

ReL = 1. 106 A = 1670

ReL = 3. 106 A = 4472

Les analogies présentées se basent sur divers modèles physiques et donnent pour le

nombre de Nusselt des valeurs différentes pour les mêmes conditions d'écoulements.D'autre part il faut tenir compte de la variation des propriétés physiques (λ, µ) avec la

température variable dans la couche limite thermique. Pour les calculs on détermine les

propriétés physiques à la température moyenne de la couche limite


Tm = Ts - Tf

2

Pour les calculs pratiques on recommande les relations suivantes:

Couche limite laminaire

• pour Rex < Rex,crit = 5.105

0,6 < Pr < 50

Nux = (7.16)

NuL = (7.17)

• pour Rex < Rex,crit = 5.105

Pr < 0,05

Nux = 0,565 (Rex Pr) 0,5

NuL = 1,13 (ReL Pr) 0,5

Couche limite turbulente

• pour 5.105 < Rex < 109

Pr ≈ 1

Nux = (7.70) ou (7.71)

avec

C f = 0,0592 Rex- 0,2 pour 5.105 < Rex < 107

C f = 0,37 ( log10 Rex ) -2,584 pour Rex > 107

• pour 5.105 < Rex < 109

0,6 < Pr < 60

Nux = (7.66) ou (7.67)

Plaque plane avec couche limite laminaire + turbulente

La valeur moyenne pour la plaque de longueur L est

• pour 5.105 < ReL < 107

0,6 < Pr < 60

NuL = (7.72)

• pour ReL < 107

NuL = Pr 0,33 [ 0,228 ReL (log10 ReL ) -2,584 - 872 ]


7.3 ECOULEMENT AUTOUR D'UN CYLINDRE

La transmission de chaleur sur un cylindre (tube) dans un écoulement perpendiculaire à

son axe représente un cas élémentaire important pour la pratique (p.ex. échangeur de

chaleur).

L'écoulement autour du cylindre est représenté dans la Fig. 7.3.

L'écoulement sans effet de viscosité (écoulement potentiel) donnerait une distributionsymétrique de vitesse sur le cylindre. Dans la partie 0°<ϕ<90° l'écoulement est accéléré

et dans la partie 90°<ϕ<180° il est décéléré.

Dans l'écoulement réel une couche limite laminaire se développe avec une épaisseur

croissante à partir du point d'arrêt. En général, l'énergie cinétique dans la couche limite ne

suffit pas pour surmonter le gradient de pression et la couche limite décolle de la surface(pour (∂u/∂y)s=0). Le point de décollement est appelé point de séparation. L'endroit de

la séparation (ϕsep) dépend du type de couche limite caractérisé par le nombre de

Reynolds

Red = ρ u∞ d

µ (7.73)

• pour Red 2.105 la couche limite est laminaire et ϕsep ≤ 80°

• pour Red 2.105 la couche limite se transforme avant le décollement en couche

turbulente et ϕsep ≤ 140°

Le coefficient de traînée (Fx = Force de traînée, Ac = surface frontale du cylindre)

Cx est également influencé par la condition de la couche limite, donc par le nombre de

Reynolds (voir Fig. 7.4).La force de traînée Fx a deux composantes: l'une est liée à la force de frottement sur la

surface et l'autre est la conséquence de la différence de pression entre les faces avant et

arrière du cylindre.

A cause de la complexité de l'écoulement autour du cylindre on recourt aux expériences

pour déterminer la relation Nu=f(Re, Pr). Les résultats des mesures sont représentés

dans la Fig. 7.5.

Cx = Fx

Ac ρ u∞2

2

(7.74)


dϕ

A A

u∞

A : point d'arrêtT: point de transitionS : point de séparation

Re d = u ∞ d

ν

Re d, crit = 2. 10 5

Au∞

S

S

c.l. laminaire décollement

Au∞

T

T

S

S

c.l. turbulente

décollementc.l. laminaire

laminaire

turbulente

sans frottement

p - p

r u2 / 2

°

1

0

-1

-2

-30 30 60 90 120 180

Figure 7.3 Ecoulement autour d'un cylindre (tube) circulaire


• pour Red < 105 la couche limite reste laminaire jusqu'au décollement. Le

coefficient Nu diminue entre le point d'arrêt ϕ = 0° et ϕsep = 80° et augmente à nouveau

dans la zone turbulente du sillage.• pour Red > 105 la couche devient turbulente et nous observons deux minima.

Dans la partie laminaire Nu diminue avec ϕ et augmente rapidement à partir de ϕ = 80°-

100° après la transition laminaire-turbulente. Dans la couche limite turbulente nousobservons à l'aval une diminution de Nuϕ qui augmente à nouveau une seconde fois

après la séparation (ϕ ≤ 140°).

100

10

1

0,1

110 -1 10 10 2 10 3 10 4 10 6

C x

Re d

Figure 7.4 Coefficient de traînée pour un cylindre lisse

Les valeurs de nombre de Nusselt pour le point d'arrêt sont données par

Nu0 = 1,14 Red 0,5 Pr 0,37 (7.75)

avec

Nu0 = α0 d

λ (7.76)


Re = 2,19 .10d5

1,86 .10 5

1,70 .10 5

1,40 .10 5

0,71 .10 51,01 .10 5

0

200

400

600

800

0 60 90 120 18030 °

Nuϕ

Figure 7.5 Variation du coefficient de convection pour un cylindre pour Pr=0,7

(Trans. ASME Vol 71, 1949)

Dans les cas pratiques il est intéressant de connaître des valeurs moyennes. La

corrélation empirique est obtenue par HILPERT selon

Nud = α dλ = C Red

m Pr 0,33 (7.77)

Les constantes C et m sont données dans le tableau 7.2. Les valeurs sont obtenuesavec la température du film (Tδ) selon

Tδ = Ts + Tδ

2 (7.78)

Les différentes mesures donnent une plus ou moins bonne concordance dans undomaine de Red. En général la précision ne dépasse pas 20 %.


Re C m

w

Td

0,4 - 4

4 - 40

40 - 4.103

4.103 - 4.104

4.104 - 4.105

0,989

0,911

0,683

0,193

0,027

0,330

0,385

0,466

0,618

0,805

w

Td 5.103 - 105 0,246 0,588

w

Td 5.103 - 105 0,102 0,675

w

Td

5.103 - 1,95.104

1,95.104 - 105

0,160

0,0385

0,638

0,782

w

Td 5.103 - 105 0,153 0,638

w

Td 4.103 - 1,5.104 0,228 0,731

Tableau 7.2 Constantes de l'équation (7.75)

7.4 ECOULEMENT TRANSVERSAL DANS UN FAISCEAU DE TUBES

Dans les divers échangeurs de chaleur utilisés dans l'industrie, nous rencontrons un

faisceau de tubes dans l'écoulement transversal. L'arrangement géométrique peut être

multiple. La Fig. 7.6 montre les tubes alignés et la Fig. 7.7 en quinconce.

Le coefficient de convection pour un tube dépend de sa position dans le faisceau.

Le coefficient pour la première rangée est approximativement égal aux conditions pour

les tubes isolés. Avec l'augmentation de la turbulence en aval, la transmission de chaleur

augmente également. Après la 4ème-5ème rangée, la transmission se stabilise.

GRIMISON donne pour l'écoulement de l'air dans un faisceau de tubes (pour plus de

10 rangées N ≥ 10) la valeur moyenne


¯Nud = C1 Red,maxm (7.79)

avec

Red,max = ρ wmax d

µ (7.80)

tubes alignés ty/d=1,25 ty/d=1,5 ty/d=2,0 ty/d=3,0

tx/d C1 m C1 m C1 m C1 m

1,25 0,348 0,592 0,275 0,608 0,100 0,704 0,0633 0,752

1,50 0,367 0,586 0,250 0,620 0,101 0,702 0,0678 0,744

2,00 0,418 0,570 0,299 0,602 0,229 0,632 0,198 0,648

3,00 0,290 0,601 0,357 0,584 0,374 0,581 0,286 0,608

tubes en quinconce ty/d=1,25 ty/d=1,5 ty/d=2,0 ty/d=3,0

tx/d C1 m C1 m C1 m C1 m

0,600 - - - - - - 0,213 0,636

0,900 - - - - 0,446 0,571 0,401 0,581

1,000 - - 0,497 0,558 - - - -

1,125 - - - - 0,478 0,565 0,518 0,560

1,250 0,518 0,556 0,505 0,554 0,519 0,556 0,522 0,562

1,500 0,451 0,568 0,460 0,562 0,452 0,568 0,488 0,568

2,000 0,404 0,572 0,416 0,568 0,482 0,556 0,449 0,570

3,000 0,310 0,592 0,356 0,580 0,440 0,562 0,428 0,574

Tableau 7.3 Constantes de l'équation (7.79)

valable pour

Nx ≥ 10

2000 < Red,max < 40000

Pr = 0,7


Les constantes C1, m sont données dans le tableau 7.3.

Pour d'autres fluides (Pr ≠ 0,7) on obtient Nu par

Nud = 1,13 C1 Red,maxm Pr1/3 (7.81)

valable pour

Nx 10

2000 < Red,max < 40000

Pr ≥ 0,7

Pour Nx < 10 le coefficient de convection selon (7.79) est réduit d'un rapport selon

tableau 7.4Le nombre de Reynolds Red,max est défini avec la vitesse maximale du fluide dans le

faisceau de tubes.

Pour des tubes alignés (voir Fig.7.6 a)

wmax = win tyty - d (7.82)

nombre de

rangées Nx

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pour tubes

alignés

0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 1,0

pour tubes

en quinconce

0,64 0,80 0,87 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,0

Tableau 7.4 Rapport des coefficients de convection ( d) pour faisceau de tubes

avec Nx < 10

Pour des tubes en quinconce avec (voir Fig.7.6 b)

w1 = win tyA1

= win ty

ty - d (7.83)

et

w2 = win ty

2 A2 = win

ty tx

2+ (ty /2)2 - d(7.84)


w in

T in

t y

d

t x

wmax

A 1

y

x

A1 = (ty - d)

wmax = win tyA1

a) faisceau de tubes alignés

w in

T in

t y

d

t x

A 1

y

x

A 2

A 2

A1 = (ty - d)

A2 = tx2+ (ty /2)2 - d)

w1 = win tyA1

w2 = win ty

2 A2

b) faisceau de tubes en quinconce

Figure 7.6 Définition des paramètres de calcul pour des faisceaux de tubes

La vitesse wmax apparaît dans la section la plus étroite donc

pour A1 < A2 : wmax = w1

et pour A2 < A1 : wmax = w2

Il est important de noter que pour le calcul de la transmission de chaleur dans la série de

tubes il faut tenir compte du changement de température dans la direction de

l'écoulement. La température moyenne dans l'échangeur est


∆Tm,log = (Ts - Tin) - (Ts - Tex)

ln Ts - TinTs - Tex

(7.85)

Tin étant la température à l'entrée, Tex la température à la sortie et Ts la température à la

surface.

La température de sortie peut être calculée par

Ts - TexTs - Tin

= e -

π d N αρ w in Ny t y c p (7.86)

ou N représente le nombre total des tubes (N=Nx Ny).Avec Tm,log nous obtenons la transmission de chaleur par unité de longueur

Q1 = N α π d ∆Tm,log (7.87)

La chute de pression est une autre grandeur importante pour l'échangeur de chaleur. Elleest donnée par (∆p en N/m2)

∆p = Nx 2 F (wmax ρ)2

ρin

µs

µm 0,14

(7.88)

Pour un faisceau de tubes alignés le facteur empirique F est

F =

0‚25 +

0‚118[ ](ty - d)/d 1‚08 Red,max

- 0‚16 (7.89)

et pour un faisceau de tubes en quinconce

F =

0‚044 +

0‚08 (tx/d)

[ ](ty - d)/d 0‚43+1‚13(d/tx) Red,max- 0‚15 (7.90)

avecµs = la viscosité pour la condition à la surface

µm = la viscosité pour la condition moyenne



• L'écoulement autour d'un objet se situant dans un champ sans limite est nommé

écoulement externe. Dans un tel cas la couche limite sur la surface de l'objet se

développe sans influence de l'entourage.

• La solution de BLASIUS pour la couche limite hydrodynamique laminaire est unesolution de similitude, c'est-à-dire que le profil de vitesse u/u∞ reste géométriquement

similaire à partir du point d'arrêt de la plaque.

• Si le nombre de Reynolds dépasse la valeur critique, la couche limite devientturbulente après une zone de transition (Recrit = 5.105-106).

• La distribution de vitesse dans la couche limite turbulente peut être décrite par une

fonction exponentielle de (1/7) ou mieux par la distribution universelle de vitesse.

• Selon la solution de BLASIUS le coefficient de convection peut être défini par une

relation du type Nu = C Re j Pr k.

• La température d'équilibre de la paroi est nommée température de récupération.

• Les relations pour la couche limite avec dissipation sont identiques à celles sans

dissipation, mais le flux de chaleur se calcule avec la température de récupération.

• Il existe plusieurs relations empiriques pour la convection thermique pour les cas

élémentaires comme l'écoulement sur la plaque plane, l'écoulement autour d'un cylindre

ou l'écoulement transversal dans un faisceau de tubes. Les résultats se basent sur des

mesures systématiques couvrant de larges domaines de nombres de Reynolds, et de

nombres de Prandtl.


8. CONVECTION POURL'ECOULEMENT INTERNE

8.1 Convection pour un tube circulaire

8.1.1 Ecoulement laminaire dans un tube

8.1.2 Ecoulement turbulent dans un tube

8.1.3 Transmission de chaleur dans un conduit circulaire

8.2 Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire

8.2.1 Ecoulement laminaire dans un tube circulaire

8.2.2 Ecoulement turbulent dans un tube circulaire

8.2.3 Convection forcée pour les tubes non circulaires

uT

158 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE

8. CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE

Quand le fluide passe dans un canal fermé nous parlons d'écoulement interne. Dans ce

cas la couche limite sur les surfaces se développe d'abord librement puis, après unecertaine distance (longueur d'entrée hydrodynamique xe,h) les couches limites sur les

parois opposées se rencontrent et remplissent toute la surface du canal (Fig. 8.1). Dans

un tel cas on ne peut plus parler de couche limite car il n'existe plus d'écoulement non

visqueux dans le conduit. Dans ce domaine nous désignons le profil de vitesse

"développé".

Les écoulements internes représentent des cas pratiques importants car on les trouve

dans toutes sortes de conduits de section circulaire ou non circulaire.

8.1 CONVECTION POUR UN TUBE CIRCULAIRE

ECOULEMENT DANS UN TUBE CIRCULAIRE

Nous étudions l'écoulement dans un tube circulaire de section constante (A) avec des

conditions d'entrée constantes u(r,0) = cte.

L'écoulement dans le tube est caractérisé par le nombre de REYNOLDS

Red ≡ um d

ν = ρ um d

µ (8.1)

Avec um comme vitesse moyenne dans la section

• pour Red 2300 l'écoulement est laminaire

• pour Red 4000 l'écoulement est entièrement turbulent

La longueur d'entrée hydrodynamique est pour l'écoulement laminaire

xe‚h

d lam

≈ 0,05 Red (8.2)

et pour l'écoulement turbulent dans le domaine

10 ≤

xe‚h

d turb

≤ 60 (8.3)


Dans l'écoulement incompressible la vitesse moyenne reste constante le long du tube

et peut être calculée par le débit-masse (m )

um = m

ρ A (8.4)

xxe,h

rr0

umum

u(r,x) u(r,x)

u(r,0)

écoulement non visqueux écoulement visqueux

profil de vitesse "développé"

u(r,x)τ r

r+drτ

p

d r

r

d x

p + d pd x

dx

Equilibre des forces sur l'élément circulaire

Figure 8.1 Ecoulement laminaire dans un tube circulaire


8.1.1 ECOULEMENT LAMINAIRE DANS UN TUBE

Dans la suite nous calculons le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement

développé pour l'écoulement incompressible à propriétés physiques constantes.

Dans ces conditions la vitesse radiale et le gradient dans la direction axiale restent

constants

v = 0

(8.5)dudx = 0

L'équation de quantité de mouvement pour un élément circulaire (Fig. 8.1) d'épaisseur

(dr) est

-τr (2 π r dx) +

τr(2πrdx) +

d[τr(2πrdx)]dr dr +

+ p(2 π r dr) -

p(2πrdr) +

d[p(2πrdr)]dx dx = 0 (8.6)

qui donne après simplification

d(rτr)dr = r

dpdx (8.7)

Avec la loi de NEWTON pour la tension de cisaillement

τr = µ dudr (8.8)

nous obtenons

µr

d

rdudr

dr =

dp

dx (8.9)

Comme le gradient de pression axial (dp/dx) est indépendant de r nous pouvons

intégrer l'équation (8.9) selon r et obtenons


u(r) = 1µ

dp

dx r24 + C1 ln r + C2 (8.10)

ou avec les conditions aux limites

u(r0) = 0 et

du

dr r=0

= 0

u(r) = - 14µ

dp

dx r20

1 -

r

r0

2

(8.11)

La relation (8.11) nous montre que le profil de vitesse de l'écoulement laminaire

entièrement développé est parabolique.

A partir de la distribution de vitesse selon (8.11) nous pouvons calculer par intégration la

vitesse moyenne

um ρ r20 π = ∫0

r0 u(r) ρ 2 π r dr

um = - 1r20 ⌡

⌠

0

r0

14µ

dp

dx r20

1 -

r

r0

2

2 r dr

um = - r208µ

dp

dx (8.12)

Introduite dans (8.11) nous obtenons le profil de vitesse adimensionnalisé

u(r)um

= 2

1 -

r

r0

2

(8.13)

Avec la définition du coefficient de perte

ζ ≡ -

dp

dx d

ρu2

m2

(8.14)


lam

inai

re

trans

itoire

cond

uite

s lis

ses

0,1

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

810

310

410

510

610

710

8e/d

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

80,

006

0,00

4

0,00

2

0,00

10,

0008

0,00

060,

0004

0,00

02

0,00

01

0,00

001

0,00

005

Re

d

e/d

= r

ugos

ité re

lativ

e

tube

s ét

irés

e

(µm

) =

1,5

acie

r ord

inai

re

46

font

e

26

0bé

ton

300

- 30

00

0,01

5

Figure 8.2 Diagramme de MOODY pour les pertes de pression dans un tube


on obtient à l'aide de (8.11) le coefficient de perte pour l'écoulement laminaire dans un

tube

ζ = 64Red

(8.15)

Nous définissons le coefficient de frottement sur la surface du tube avec la contrainte defrottement (τs)

C f ≡ τs

ρu2

m2

(8.16)

La relation entre les deux coefficients est avec

τs = 4µ umr0

(8.17)

C f = ζ4 (8.18)

La chute de pression dans un tube de longueur L est donnée par

∆p = ζ Ld ρ u2

m2 (8.19)

8.1.2 ECOULEMENT TURBULENT DANS UN TUBE

Le profil de vitesse de l'écoulement turbulent développé dans un tube est plus plein

que celui de l'écoulement laminaire.

Les mesures ont montré que la loi du 1/7ème (voir (7.27)) donne une bonne

approximation pour le profil de vitesse turbulent

uumax

=

r0 - r

r0 1/7

(8.20)

Pour une meilleure approximation nous utilisons le profil universel selon (7.32).


La vitesse moyenne est donnée par

um ≈ 0,8 umax (8.21)

et le coefficient de frottement par

C f = τs

ρu2

max2

= 0,045

ν

umax r0

0,25

(8.22)

Dans l'écoulement turbulent le coefficient de perte ζ est fortement influencé par la

rugosité de la surface. Dans ce domaine nous distinguons trois zones différentes (voir

Fig. 8.2).

La conduite hydrauliquement lisse

Si les inégalités de la surface ne dépassent pas l'épaisseur de la sous-couche laminaire

on parle d'une surface hydrauliquement lisse. Dans ce cas la quantité de mouvement est

transmise seulement par les contraintes surfaciques.Le coefficient de perte ζ dépend seulement du nombre de Reynolds

ζ = 0,316 Red- 0,25 pour 104 < Red < 5.104 (8.23)

etζ = 0,184 Red

- 0.2 pour 3.104 < Red < 106 (8.24)

La conduite hydrauliquement partiellement rugueuse

Dans ce domaine les forces de pression participent à côté des contraintes à la

transmission de la quantité de mouvement.

Pour ce domaine on peut appliquer la relation de PRANDTL

1ζ = 2,0 log

Red ζ

1 + 0‚1 (e/d) Red ζ - 0,8 (8.25)


ou celle de COLEBROOK

1ζ = 1,74 - 2,0 log

2

ed +

18‚7Red ζ

(8.26)

La conduite hydrauliquement rugueuse

Dans ce domaine la quantité de mouvement est transmise seulement par les forces de

pression. Par conséquence le nombre de Reynolds n'influence pas le coefficient de

perte.

Pour ce domaine von KARMAN donne

1ζ = 1,14 + 2,0 log

de (8.27)

La relation pour conduite hydrauliquement rugueuse (8.27) est utilisée pour

Red > Red-limite

avec

log Red-limite = 2,63315 - 1,29378 (log e/d) - 0,041575 (log e/d)2 -

- 0,001593 (log e/d)3 (8.28)

Pour calculer le coefficient de convection pour la transmission de chaleur dans un conduit

rugueux on peut utiliser la relation empirique de NORRIS

(Nud) rugueuse(Nud) lisse

=

ζ rugueuse

ζ lisse n

(8.29)

avec

n = 0,68 Pr 0,215 (8.30)


8.1.3 TRANSMISSION DE CHALEUR DANS UN CONDUIT CIRCULAIRE

Nous étudions la transmission de chaleur dans un tube avec température constante dufluide à l'entrée (Tin).

La température de la paroi du tube est Ts>Tin.

Après une certaine longueur (xe,th longueur d'entrée thermique) le profil de température

reste constant. Elle est donnée

• pour l'écoulement laminaire par

xe‚th

d lam

≤ 0,05 Red Pr (8.31)

• pour l'écoulement turbulent par

xe‚th

d turb

≈ 10 (8.32)

Nous définissons la température moyenne par un bilan d'énergie

m cv Tm = ∫A

ρ u cv T dA

donc

Tm = ∫A

ρ u cv T dA

m cv (8.33)

Pour cv=cte nous obtenons pour le tube circulaire

Tm = 2

um r20 ∫0

r0 u T r dr (8.34)

Il est important de noter que la température moyenne Tm varie dans la direction x (à

l'inverse de dum/dx = 0)

dTmdx ≠ 0


La loi de NEWTON peut être définie par la température Tm

q = αx (Ts - Tm) (8.35)

Le profil de température varie le long du tube en fonction de la transmission de chaleur

mais dans la région du profil développé la forme adimensionnelle du profil reste

constante. Avec

Ts(x) - T(r,x)

Ts(x) - Tm(x)x = 0 (8.36)

Nous pouvons obtenir les conditions (8.36)• pour un flux de chaleur constant (q s=cte)

• pour une température de surface constante (Ts=cte)

Pour calculer l'évolution de la température moyenne Tm nous formulons l'équation

d'énergie

dQ conv + m(cvTm+pv) -

m(cvTm+pv) + m

d(cvTm+pv)

dx dx = 0 (8.37)

où (p v) représente le travail de déplacement du fluide dans le tube.

Après simplifications nous obtenons

dQ conv = m d(cvTm+pv) (8.38)

Pour un gaz parfait, avec

p v = R Tm (8.39)

etcp = cv + R (8.40)

l'équation (8.38) devient

dQ conv = m cp dTm (8.41)

Avec les conditions d'entrée (in) et de sortie (ex)


Q conv = m cp (Tm,ex - Tm,in) (8.42)

Introduisant le flux de chaleur

dQ conv = q s P dx (8.43)

où P est le périmètre (pour le tube circulaire P=πd) avec (8.28)

dTmdx =

qs Pm cp

= P

m cp α (Ts - Tm) (8.44)

La solution de (8.44) Tm(x) dépend des conditions thermiques de la surface (Ts).

SOLUTION POUR q s(x) = cte

La chaleur transmise par convection est selon (8.43)

Q conv = q s P L (8.45)

et la variation de la température moyenne Tm(x) selon (8.44)

dTmdx =

qs Pm cp

= cte (8.46)

nous obtenons

Tm(x) = Tm,in + qs Pm cp

x (8.47)

La température moyenne varie donc de façon linéaire le long du tube.


x

Ts

Tm

x e,th

r

Tin TsTsTs Ts

T(r,x)

q = ctes

Profil de température pour q s=cte

x

Tm

x e,th

T in TsTsTs Ts

r

T(r,x)

q s

T = ctes

Profil de température pour Ts=cte

Figure 8.3 Profils de température dans un tube circulaire


SOLUTION POUR Ts(x) = cte

Avec la définition

∆T = Ts - Tm (8.48)

nous pouvons écrire (8.39) sous la forme

dTmdx = -

d(∆T)dx =

Pm cp

α ∆T (8.49)

L'intégrale pour la longueur 0<x<L

⌡⌠

∆Tin

∆Tex

d(∆T)

∆T = - P

m cp ∫

0

L α dx (8.50)

donne

ln ∆Tex∆Tin

= - P Lm cp

1L ∫

0

L α dx (8.51)

Avec la valeur moyenne du coefficient de convection α L

ln ∆Tex∆Tin

= - P Lm cp

α L (8.52a)

ou

∆Tex∆Tin

= Ts - Tm‚ exTs - Tm‚ in

= e-

P L α Lm cp (8.52b)

Pour la chaleur totale transmise Q conv nous obtenons à partir de (8.42)

Q conv = m cp [ ](Ts-Tm,in) - (Ts-Tm‚ex) = m cp (∆Tin - ∆Tex) (8.53)

avec (m cp) selon (8.52a)

Q conv = α L P L ∆Tm, log (8.54)


∆Tm, log représente la différence de température logarithmique

∆Tm, log ≡ ∆Tex - ∆Tin

ln∆Tex ∆Tin

(8.55)

8.2 CORRELATIONS POUR LA CONVECTION FORCEE POUR UN

TUBE CIRCULAIRE

Seules les relations pour l'écoulement laminaire peuvent être calculées théoriquement.

Les corrélations pour la transmission de chaleur par convection dans un écoulement

turbulent sont obtenues par des essais systématiques.

Dans la suite sont rassemblées les relations pour différents types d'écoulements.

8.2.1 ECOULEMENT LAMINAIRE DANS UN TUBE CIRCULAIRE

• pour Ts(x) = cte et un profil développé selon NUSSELT

Nud ≡ α dλ = 3,66 (8.56)

La relation de HAUSEN inclut l'influence de la longueur L

Nud = 3,66 + 0‚0668

dL Red Pr

1 + 0‚04

d

L Red Pr 0‚66 (8.57)

Pour les tubes "courts" avec influence des longueurs d'entrée (xe,h et xe,th) SEIDER et

TATE donnent

Nud = 1,86

Red Pr

Ld

0,33

µµs

0,14

(8.58)


pour Ts = cte

0,48 < Pr < 167000,0044 < (µ/µs) < 9,75

(d/L) Red Pr > 10

propriétés pour Tm

• pour q s(x) = cte

Nud = 4,36 (8.59)

8.2.2 ECOULEMENT TURBULENT DANS UN TUBE CIRCULAIRE

• Pour Pr ≤ 1 nous pouvons appliquer la relation de von KARMAN

Nud =

ζ8 Red Pr

1 + 5 ζ8 { }(Pr-1)+ln[1+0‚833(Pr-1)]

(8.60)

avec le coefficient de perte ζ selon (8.23) ou (8.24) pour la conduite lisse.

Il est important de souligner que la relation (8.60) a été développée pour des tubes

lisses et ne peut pas être appliquée aux tubes rugueux (voir équation (8.29)).

• ou la relation plus simple de COLBURN

Nud = 0,0395 Red0,75 Pr 0,33 pour 104 < Red < 5.104 (8.61)

Nud = 0,023 Red0,8 Pr 0,33 pour 3.104 < Red < 106 (8.62)

• ou la relation de DITTUS-BOELTER

Nud = 0,023 Red0,8 Pr n (8.63)

n = 0,4 pour Ts > Tm

n = 0,3 pour Ts < Tm


0,7 < Pr < 160104 < Red < 106

|Ts - Tm| < 6°C pour les liquides

|Ts - Tm| < 60°C pour les gaz


Les deux dernières relations peuvent donner des erreurs allant jusqu'à ± 20 %.

• Une meilleure approximation est donnée par la relation de PETUKHOV

Nud =

µ

µs

n ζ8 Red Pr

1‚07+12‚7 ζ8 (Pr 2/3 -1)

(8.64)

ζ = (1,82 log10 Red - 1,65) - 2

n = 0,11 pour les liquides, Ts > Tm

n = 0,25 pour les liquides, Ts < Tm

n = 0 pour les gaz

0,5 < Pr < 200 (÷ 2000 pour une précision de 10%)104 < Red < 5.106

|Ts - Tm| < 6°C pour les liquides

0 < µ/µs < 40


Les relations (8.63) à (8.64) sont valables pour L/d ≥ 60. Pour les tubes courts il faut

tenir compte de la longueur d'entrée. Dans ce cas, il est judicieux d'utiliser la

• relation de NUSSELT

Nud = 0,036 Red0,8 Pr 0,33

d

L

0,055

(8.65)

pour 10 < (L/d) < 400


8.2.3 CONVECTION FORCEE POUR LES TUBES NON

CIRCULAIRES

Pour les tubes à section non circulaire, nous pouvons utiliser les relations des tubes

circulaires en définissant le diamètre hydraulique comme

dh = 4 AP (8.66)

Ecoulement laminaire

Pour des sections rectangulaires nous définissons

Nud,h = α dhλ (8.67)

avec

dh = 2 a ba + b (8.68)

pour les sections avec coins les nombres de NUSSELT donnés dans le tableau 8.1

donnent de meilleurs résultats.

Ecoulement turbulent

Pour des écoulements turbulents (Red > 2300) nous remplaçons Nud et Red par Nud,h

et Red,h. Dans ce cas, la relation de DITTUS-BOELTER donne des résultats

satisfaisants.

Pour des tubes concentriques le diamètre hydraulique est défini par

dh = dext - dint (8.69)



• Quand le fluide passe dans un canal fermé nous parlons d'écoulement interne.

Dans un tel cas on ne peut plus parler de couche limite car il n'existe plus d'écoulement

non visqueux dans le conduit.

• Après une longueur d'entrée le profil de vitesse ne varie plus, on dit qu'il est

"développé".

• L'écoulement dans un tube est caractérisé par le nombre de Reynolds (Red):

- pour Red ≤ 2300 l'écoulement est laminaire

- pour Red ≥ 4000 l'écoulement est entièrement turbulent

• Le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement développé est

parabolique.

• Le profil de vitesse de l'écoulement turbulent développé dans un tube est plus

plein que celui de l'écoulement laminaire et suit la loi du 1/7ème.

• La rugosité de la surface n'influence pas le coefficient de perte pour l'écoulement

laminaire. Pour l'écoulement turbulent par contre l'influence est importante.

• Le profil de température dans un tube chauffé est développé après une longueur

d'entrée. Les longueurs d'entrée hydrodynamique et thermique ne sont en général pas

identiques.

• La température moyenne de fluide dans un tube varie de façon linéaire pour le casde flux de chaleur constant q s(x) = cte.

• La température moyenne de fluide dans un tube varie de façon exponentielle pourle cas de température de parois constante Ts(x) = cte.

• Seules les relations pour l'écoulement laminaire peuvent être calculées

théoriquement. Les corrélations pour la transmission de chaleur par convection dans un

écoulement turbulent sont obtenues par des essais systématiques. Elles sont

exprimées en général dans la forme Nud = f(Red, Pr).


• Pour les tubes à section non circulaire, nous pouvons utiliser les relations des tubes

circulaires en définissant le diamètre hydraulique.


9. LA CONVECTION LIBRE

9.1 Convection libre sur une paroi plane verticale


externes


internes

178 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE

9. CONVECTION LIBRE

La transmission de chaleur entre un fluide et une paroi est appelée convection libre ou

naturelle quand le mouvement du fluide est provoqué uniquement par des forces

d'ARCHIMEDE qui dépendent du gradient de densité. L'origine de la force d'ascension

(d'Archimède) est normalement la force de gravité mais dans les machines rotatives elle

dépend de la force centrifuge.

Dans la plupart des cas le gradient de densité résulte d'une différence de température

dans le fluide.

Les vitesses des écoulements naturels sont généralement faibles, il en résulte que la

chaleur transmise est généralement plus faible que dans le cas des écoulements forcés.

La convection libre est considérée comme un phénomène important dans de nombreux

cas techniques (p.ex. chauffage par radiateur, "pipelines", appareils électroniques,

mouvements atmosphériques et mouvements de la mer, etc.).

La Fig. 9.1 montre l'exemple d'une condition instable (a) et d'une condition stable (b)

d'un fluide stratifié. Dans le cas (a) la distribution de densité provoque un mouvement

dans le fluide qui établit la condition stable. Dans le cas (b) la

y

ρ(y)

T(y)

y

ρ(y)

T(y)

a) stratification instable b) stratification stable

Figure 9.1 Conditions dans un fluide entre deux parois horizontales à

températures différentes


x

y

u(y)

Ts > T∞

y

T∞

ρ∞

u∞ = 0

u(y)

y

T > T∞

x

T∞

ρ∞

u∞ = 0

ρ < ρ∞

a) convection libre sur un cylindre, b) convection libre sur une paroi

cas (I) verticale, cas (II)

u(y)

y

T∞

ρ∞

u∞ = 0

T > T∞

ρ < ρ∞

c) décharge d'un jet chaud dans un fluide, cas (I)

(I) écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini)

(II) écoulement avec conduction naturelle le long d'une paroi

Figure 9.2 Modes de convection (libre ou naturelle)


distribution de densité entraîne une condition de stabilité qui se traduit par un fluide sans

mouvement. Dans ce cas la transmission de chaleur entre les deux parois s'effectue par

conduction.

Nous distinguons deux types de conduction libre:

• écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini)

• écoulement avec conduction naturelle guidé par une paroi

La Fig. 9.2 montre des exemples pour les deux types de conduction libre.

9.1 CONVECTION LIBRE SUR UNE PAROI PLANE VERTICALE

Nous considérons la plaque plane verticale selon Fig. 9.2-b dont la température est plusélevée que le fluide qui l'entoure (Ts>T∞). Les forces d'ascension (force d'Archimède)

provoquent un écoulement montant le long de la paroi. La vitesse sur la surface est nulle

(u=0) à cause de la viscosité du fluide. Après avoir atteint un maximum, la vitesse tend

de nouveau vers u=0 à la frontière de la couche limite. La couche limite se développe

d'abord de façon laminaire et devient turbulente après une certaine longueur.

Pour analyser la transmission de chaleur par convection naturelle il faut d'abord formuler

l'équation de mouvement de la couche limite qui est définie par les équations de quantité

de mouvement et d'énergie.

La force de gravité réagit dans la direction x. Nous admettons un fluide incompressible

dont les propriétés sont constantes exceptée la densité, qui provoque la force

d'Archimède (approximation de BOUSSINESQ). Avec les simplifications mentionnées

nous pouvons appliquer l'équation (6.16) pour la couche limite.

u ∂u∂x + v

∂u∂y = -

1ρ

∂p∂x + Fm,x + ν ∂

2u∂y2 (9.1)

Sous l'influence de la gravitation la force d'ascension par unité de volume est

Fm,x = - ρ g (9.2)

Pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x nous obtenons ainsi

u ∂u∂x + v

∂u∂y = -

1ρ

∂p∂x - ρ g + ν ∂

2u∂y2 (9.3)


Le gradient de pression dans la direction x résulte de la hauteur donc du poids par unité

de surface de l'élément fluide

∂p∂x = - ρ∞ g (9.4)

Introduit dans (9.3) nous obtenons

u ∂u∂x + v

∂u∂y =

gρ (ρ∞ - ρ) + ν ∂

2u∂y2 (9.5)

Avec le facteur de dilatation β

β = 1ρ

∂ρ

∂T p(9.6)

qui représente la variation de la densité en fonction de la température à pression

constante, dont la formule approchée est

β ≈ - 1ρ

ρ∞ - ρT∞ - T (9.7)

ou(ρ∞ - ρ) ≈ ρ β (T - T∞) (9.8)

qui, introduite dans (9.5), donne pour la couche limite de la conduction libre

u ∂u∂x + v

∂u∂y = g β (T - T∞) + ν ∂

2u∂y2 (9.9)

Notons que pour la définition de la couche limite il faut connaître la distribution de la

température.

L'équation d'énergie pour la conduction libre est identique à celle pour la convectionforcée (voir (6.32)) dans laquelle la dissipation (ν cp)(∂v/∂y)2 peut être négligée

u ∂T∂x + v

∂T∂y = Λ

∂2T∂y2 (9.10)

Il existe plusieurs approches pour la convection sur la plaque verticale. Dans la suite

nous présentons la solution d'OSTRACH (1953).

Les conditions aux limites sont


y = 0 : u = v = 0, T = Ts

y = ∞ : u = 0, T = T∞

Nous introduisons le paramètre de similitude

η ≡ 12

Grx 0,25 yx (9.11)

défini par le nombre de GRASHOFF

Grx ≡ x3 g β (Ts - Tf)

ν 2(9.12)

Le nombre de Grashoff peut être interprété physiquement comme la relation entre la

force d'ascension et les forces visqueuses dans un système avec convection libre. Il

joue un rôle similaire à celui du nombre de Reynolds pour la convection forcée.

Les vitesses sont exprimées par une fonction de courant

ψ (x,y) = F(η)

4 ν

Gr

4 0‚25

(9.13)

Nous obtenons ainsi pour les composantes de la vitesse

u = ∂ψ∂y =

∂ψ∂η

∂η∂y =

2 νx Grx 0,5 F'(η) (9.14)

v = - ∂ψ∂x =

∂ψ∂η

∂η∂x =

νx 2

Grx 0,25 [ ]η F'(η) - 3 F(η) (9.15)

avec la définition de la température adimensionnelle

T* = T - TfTs - Tf

(9.16)

Nous obtenons pour les équations (9.9) et (9.10) après un calcul intermédiaireconsidérable deux équations ordinaires pour F(η)

F''' + 3 F F'' - 2 (F')2 + T* = 0 (9.17)

T*'' + 3 Pr F T*' = 0 (9.18)


Pour les conditions aux limites

F'(0) = 0, T*(0) = 1

F'(∞) = 0, T*(∞) = 0

Le gradient de T* sur la paroi pour le coefficient de convection à la position x est donné

par

αx = - λ

∂T

∂y y=0Ts - T∞

= 12

λx Grx 0,25 f(Pr) (9.19)

Pour la paroi de longueur L nous obtenons après intégration sur une longueur L

αL = 43

12

λL GrL 0,25 f(Pr) (9.20)

Dans la forme adimensionnelle les valeurs locales(x) et la valeur moyenne pour x=L

sont données par

Nux = αx x

λ = 12

Grx 0,25 f(Pr) (9.21)

NuL = αL L

λ = 43

12

GrL0,25 f(Pr) (9.22)

Pour la fonction f(Pr) OSTRACH donne

f(Pr) = 0,67 Pr0,5 (0,861 + Pr)-0,25 (9.23)


Pr = 1

0,72

2

10

100 1000

0,3

0,2

0

F'(η)

0,1

0 1 2 3 5

Profil de vitesse pour la convection libre dans la couche limite laminaire sur une plaque

verticale

0 1 2 3 50

T*(η)

1

0,6

0,4

0,2

0,72

Pr = 1

2

10100

1000

Profil de température pour la convection libre dans la couche limite laminaire sur une

plaque verticale

Figure 9.3 Solution pour la paroi verticale selon OSTRACH


qui, introduite dans (9.21, 9.22), donne finalement

Nux = 0,478 Grx 0,25 Pr 0,5 ( )0‚861 + Pr -0,25 (9.24)

NuL = 0,637 GrL 0,25 Pr 0,5 ( )0‚861 + Pr -0,25 (9.25)

La figure 9.3 montre la distribution de vitesse et de température dans la couche limite

selon OSTRACH.

Pour simplifier les relations des problèmes de convection libre, on réunit souvent le

produit (Gr Pr), c'est le nombre de RAYLEIGH

Ra ≡ x3 g β (Ts - Tf)

ν2 Pr (9.26)

qui, introduit dans (9.24) et (9.25) donne finalement

Nux = 0,478 Rax 0,25

1 + 0‚861

Pr-0,25

(9.27)

NuL = 0,637 RaL 0,25

1 + 0‚861

Pr-0,25

(9.28)

Convection libre dans la couche limite turbulente

La couche limite qui se développe sur une plaque verticale est d'abord généralement

laminaire sur une certaine longueur et, après un point de transition, acquiert un caractère

turbulent. Le point de transition dépend de la relation entre les forces d'ascension et les

forces visqueuses, donc du nombre de Grashoff resp. Rayleigh.

Le nombre de Grashoff critique pour la transition laminaire turbulente est

Grx,crit 4. 108

et le nombre de Rayleigh critique pour la transition laminaire turbulente est

Rax,crit 109

La transmission de chaleur par convection libre sur la paroi verticale dans la couche limite

turbulente est définie par


Nux = 0,0295 Grx 0,4 Pr 0,466 ( )1 + 0‚494 Pr 0‚66 - 0,4 (9.29)

NuL = 0,0246 GrL 0,4 Pr 0,466 ( )1 + 0‚494 Pr 0‚66 - 0,4 (9.30)

9.2 CORRELATIONS EMPIRIQUES POUR LA CONVECTION LIBRE SUR

LES SURFACES EXTERNES

La solution pour la plaque plane verticale nous montre la nature de la convection libre et

permet de définir les paramètres de similitude (Gr). Pour d'autres cas nous devons

recourir aux expériences pour obtenir les coefficients de convection. Il est également

difficile d'effectuer des mesures pour des écoulements à convection libre, considérant les

faibles vitesses mises en jeu (anémomètre à fil chaud, bulles d'hydrogène, anémomètre

à Laser). Pour la distribution de température on utilise la méthode d'interférométrie

(Mach-Zehnder Interférométrie, Holographie à Laser).

Les corrélations pour l'application pratique ont généralement la forme suivante

__Nu L =

_α Lλ = C Ra L

n (9.31)

Ra L = Gr L Pr = g β (Ts -T∞) L3

ν Λ (9.32)


ϕ ϕ

plaque verticale

plaque horizontale

plaque horizontale

plaque inclinée

cylindre horizontal

sphère

-q+q

-q

+q

-q

+q

-q+q

+q

+q

configuration équation limites

(9.33) -

(9.36)

(9.37)

10 < Ra < 10

10 < Ra < 10

4L

7

7 11L

10 < Ra < 105L

10(9.38)

(9.33)

(9.34)

9LRa > 10 , ϕ < 60°

9LRa < 10 , ϕ > 60°

g ⇒ g cos ϕ

10 < Ra < 10-5

d12(9.39)

(9.40)Ra < 10

Pr > 0,7

d11

Tableau 9.1 Corrélations empiriques pour convection libre pour différentes

géométries


PLAQUE VERTICALE

Le nombre de Nusselt est défini selon CHURCHILL et CHU pour tout le domaine de

RaL par

__Nu L =

0‚825 + 0‚387 Ra L

0‚166

[ ]1+ (0‚492 / Pr) 0‚563 0‚2963

2

(9.33)

Pour le domaine laminaire (9.34) donne une meilleure approximation

__Nu L = 0‚68 +

0‚670 Ra L0‚25

[ ]1+ (0‚492 / Pr) 0‚563 0‚444

(0 < Ra L < 109) (9.34)

PLAQUE HORIZONTALE

Pour cette configuration la corrélation pour Nu dépend de la position de la surface en

contact avec le fluide et de la direction du fluide de chaleur (chauffé ou refroidi).

La longueur caractéristique est définie par

L ≡ AsP (9.35)

Pour la surface supérieure de la plaque chauffée ou inférieure de la plaque refroidie

__Nu L = 0,54 Ra L

0‚25 (104 < Ra L < 107) (9.36)

et__Nu L = 0,15 Ra L

0‚33 (107 < Ra L < 1011) (9.37)

Pour la surface inférieure de la plaque chauffée ou supérieure de la plaque refroidie

__Nu L = 0,27 Ra L

0‚25 (105 < Ra L < 1010) (9.38)


PLAQUE INCLINEE

Pour l'écoulement laminaire l'équation (9.34) peut être utilisée avec remplacement de (g)par (g cos ϕ) dans la définition de RaL. Pour l'écoulement turbulent nous pouvons utiliser

l'équation (9.33) sans modification.

CYLINDRE HORIZONTAL

Cette géométrie représente un cas important et a été étudiée intensivement. Nous

présentons ici la relation de CHURCHILL et CHU qui est valable dans un large

domaine de Ra

__Nu d =

0‚60 + 0‚387 Ra d

0‚166

[ ]1+ (0‚559 / Pr) 0‚563 0‚296

2

(10-5 < Ra d < 1012) (9.39)

SPHERE

CHURCHILL recommande pour Pr>0,7 et Rad<1011 la relation

__Nu d = 2 +

0‚589 Ra d0‚25

[ ]1+ (0‚469 / Pr) 0‚563 0‚444(9.40)

9.3 CORRELATIONS EMPIRIQUES POUR LA CONVECTION LIBRE

SUR LES SURFACES INTERNES

CAVITE RECTANGULAIRE

Dans la cavité horizontale (ϕ=0°) les conditions sont instables pour (voir Fig. 9.4)

Ra L = g β (T1 -T2) L3

ν Λ > 1708 (9.41)

et il existe une transmission de chaleur par convection libre. Le nombre de Nusselt est

pour ce cas selon GLOBE et DROPKIN


__Nu L =

_α Lλ = 0,069 Ra L

0‚33 Pr L0‚074 (3*105 < Ra L < 7*109) (9.42)

Les propriétés physiques sont définies à la température Tm = (T1+T2)/2.Pour la cavité verticale (ϕ=90°)

__Nu L = 0,18

Pr

0‚2 + Pr Ra L 0,29

(9.43)

pour 1 < (H/L) < 2

10-3 < Pr < 105

103 < (Ra L Pr)/(0,2 + Pr)

et__Nu L = 0,22

Pr

0‚2 + Pr Ra L

0,28

H

L

-0‚25(9.44)

pour 2 < (H/L) < 10

Pr < 105

Ra L < 1010

et__Nu L = 0,42 Pr0,012 RaL

0‚25 ( )H

L

-0,3(9.45)

pour 10 < (H/L) < 40

1 < Pr < 2. 104

104 < Ra L < 109

Pour des cavités inclinées (p.ex. collecteur solaire)

__Nu L = 1 + 1,44

1 -

1708RaLcos ϕ

1 -

1708 (sin 1‚8 ϕ)1‚6

RaLcos ϕ +

+

RaLcos ϕ

5830

0‚33 - 1 (9.46)

pour (H/L) > 12 et 0 < ϕ < ϕ*.


L'angle critique est une fonction de H/L

(H/L) 1 3 6 12 >12

ϕ* ° 25 53 60 67 70

Quand l'expression entre crochets [ ] est négative, on remet à zéro.

CYLINDRES CONCENTRIQUES

Les relations pour la transmission par convection entre de longs cylindres concentriques

est selon RAITHBY et HOLLAND

λeffλ = 0,386

Pr

0‚861 + Pr0‚25

(Rac*)0‚25 (9.47)

avec

Rac* = [ln (d2 / d1)]4

L3 ( )d1-0‚6 + d2

-0‚6 5 RaL (RaL 102 < Rac* < 107) (9.48)

ϕ

gT1

T2

LH

q

Ld 1

d 2

T 2

T 1

cavité rectangulaire cylindres concentriques

Figure 9.4 Définition des dimensions géométriques pour la convection libre sur les

surfaces internes



• La transmission de chaleur entre un fluide et une paroi est appelée convection libre

ou naturelle quand le mouvement du fluide est provoqué uniquement par des forces

d'Archimède qui dépendent du gradient de densité.

• Nous distinguons deux types de conduction libre:

- écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini)

- écoulement avec conduction naturelle guidé par une paroi

• Le paramètre important pour la convection libre est le nombre de Grashoff. Il joue

un rôle similaire à celui du nombre de Reynolds pour la convection forcée.

• Pour simplifier les relations des problèmes de convection libre, on réunit souvent le

produit (Gr Pr), c'est le nombre de Rayleigh.

• Il existe une solution analytique pour le cas fondamental de la convection libre sur

une paroi plane verticale.

La vitesse tend vers u=0 à la frontière de la couche limite.

• La couche limite se développe d'abord de façon laminaire et devient turbulente

après une certaine longueur.

Le nombre de Grashoff critique pour la transition laminaire turbulente est Grx,crit ≈ 4. 108

et le nombre de Rayleigh critique pour la transition laminaire turbulente est Rax,crit ≈109.

• Il existe des corrélations empiriques pour la convection libre sur les surfaces

externes et les surfaces internes qui sont définies pour les géométries données par une

relation du type Nu = f( Gr, Pr) ou Nu = f( Ra, Pr).

TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 1

ANNEXE

A2 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE

matériau temp. de ρ cp λ

fusion [K] [kg/m3] [J/(kg K] [W/(m K)]

________________________________________________________________

METAUX

aluminium pur 933 2707 896 237

duralumin (AL-Cu) 2787 883 164

chrome 2118 7160 449 93,7

cobalt 1769 8862 421 99,2

cuivre pur 1358 8933 385 401

bronze commercial 1293 8800 420 52

(90% Cu, 10% Al)

or 1336 19300 129 317

fer pur 1810 7870 447 80,2

acier au carbone

(Mn<1%, Si<0.1%) 7854 434 60,5

magnésium 923 1740 1024 156

nickel pur 1728 8900 444 90,7

nichrome 1672 8400 420 12

(80% Ni, 20% Cr)

Tableau A.1-1 Propriétés thermiques des matériaux à 20°C




________________________________________________________________

inconel X-750 1665 8510 439 11,7

(73% Ni, 15% Cr, 6.7% Fe)

silicium 1685 2330 712 148

argent 1235 10500 235 429

étain 505 7310 227 66,6

titane 1953 4500 522 21,9

zinc 693 7140 389 116

carbone amorphe 1500 1950 - 1,60

Tableau A.1-2 Propriétés thermiques des matériaux à 20°C




________________________________________________________________

SOLIDES NON METALLIQUES

asphalte 300 2115 920 0,062

bakélite 300 1300 1465 1,4

brique réfractaire au carbone 872 - - 18,5

" 1672 - - 11,0

brique au chrome 473 3010 835 2,3

" 823 2,5

" 1173 2,0

argile réfractaire,

brûlée 1600 K 773 2050 960 1,0

" 1073 - 1,1

" 1373 - 1,1

argile réfractaire,

brûlée 1725 K 773 2325 960 1,3

" 1073 1,4

" 1373 1,4

brique en argile réfractaire 478 2645 960 1,0

922 1,5

1478 1,8

coton 300 80 1300 0,06

Tableau A.1-3 Propriétés thermiques des matériaux




________________________________________________________________

verre

plaque (chaux de soude) 300 2,500 750 1,4

pyrex 300 2,225 835 1,4

glace 273 920 2040 1,88

253 - 1945 2,03

roche 2,79

quartz 300 2640 1105 5,38

caoutchouc, vulcanisé

mou 300 1100 2010 0,13

dur 300 1190 - 0,16

téflon 300 2200 - 0,35

bois, grain croisé

balsa 300 140 - 0,055

cyprès 300 465 - 0,097

sapin 300 415 2720 0,11

chêne 300 545 2385 0,17

pin jaune 300 640 2805 0,15

pin blanc 300 435 - 0,11

Tableau A.1-4 Propriétés thermiques des matériaux




________________________________________________________________

ISOLATIONS

amiante 469 0,155

plaques de liège 160 0,043

laine de verre 24 0,0542

" 96 0,0377

laine minérale 64 0,0388

" 192 0,0391

Tableau A.1-5 Propriétés des matériaux à 20°C


GAZ à p = 1 bar

T ρ cp µ 106 λ 103 Λ 106 Pr

(K) (kg/m3) (J/kg K) (N s/m2) (W/m K) (m2/s) -

air

300 1,1614 1007 18,46 26,3 22,5 0,707

1000 0,3482 1141 42,44 66,7 168 0,726

2000 0,1741 1337 68,9 137 589 0,672

ammoniac (NH3 )

300 0,6894 2158 10,15 24,7 16,6 0,887

500 0,4101 2467 17,3 52,5 51,9 0,813

bioxyde de carbone (CO2 )

300 1,773 851 14,9 16,55 11 0,766

500 1,059 1020 23,1 32,5 30,1 0,725

hélium (He)

300 0,1625 5193 19,9 152 180 0,680

1000 0,0488 5193 44,6 354 1400 0,654

fréon (C Cl2 F2 )

273 5748 11,52 8,34 0,794

293 5956 12,33 9,35 0,785

333 6331 13,9 11,44 0,769

373 6656 15,41 13,6 0,754

Tableau A.2-1 Propriétés thermophysiques des materiaux


LIQUIDES SATURES

T ρ cp µ 102 λ 103 Λ 107 Pr

(K) (kg/m3) (J/kg K) (N s/m2) (W/m K) (m2/s) -

huile de machine

300 884,1 1909 48,6 145 0,859 6400

350 853,9 2118 3,56 138 0,763 546

400 825,1 2337 0,874 134 0,695 152

fréon (C Cl2 F2 )

300 1305,8 0,9781 0,0254 72 0,564 3,5

mercure (Hg)

300 13529 0,1393 0,1523 8540 45,3 0,0248

EAU saturée

T ρ cp µ 103 λ Λ 107 Pr

(°C) (kg/m3) (J/kg K) (N s/m2) (W/m K) (m2/s) -

0 999,8 4218 1,791 0,5619 1,3324 13,45

20 998,3 4182 1,003 0,5996 1,4362 6,99

40 992,3 4179 0,6531 0,6286 1,5158 4,34

60 983,1 4186 0,4668 0,6507 1,5812 3,00

80 971,6 4195 0,3550 0,6668 1,6359 2,23

100 958,1 4215 0,2822 0,6775 1,6776 1,76

200 864,7 4498 0,1336 0,6634 1,7056 0,91

300 712,2 5758 0,0858 0,5450 1,3290 0,91

Tableau A.2-2 Propriétés thermophysiques des materiaux

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