FFTTransformée de Fourier Rapide

Cours DSP

Principe de la FFTLa FFT utilise le formalisme de la TFD complexe.Méthode de J.W.Cooley et J.W.Tuckey (1965)

1ère étape : Décompositions par alternance du signal de N = 2m points dans le domaine temporel en N signaux de 1 point. A chaque fois la suite des échantillons pairs forment un nouveau signal et la suite des échantillons impairs forme l’autre nouveau signal. Il y a log2N décompositions successives en tout (16→→→→4, 512→→→→7, 4096→→→→12 etc…)

0 8 4 12 2 10 6 14 1 9 5 13 3 11 7 15

0 8 4 12 2 10 6 14 1 9 5 13 3 11 7 15

0 4 8 12 2 6 10 14 1 5 9 13 3 7 11 15

0 2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 11 13 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 signal de 16 points

2 signaux de 8 points

4 signaux de 4 points

8 signaux de 2 points

16 signaux de 1 point

Principe de la FFT1ère étape (suite) : Une autre façon de voir la décomposition qui revient à

réordonner les échantillons en fonction d’un index dont les bits sont inversé par rapport à l’index de départ.

Principe de la FFT

2ème étape : Trouver le spectre TF de chaque signal de 1 point.

Cette étape est triviale: le spectre d’un signal de 1 point est égal à lui-même.

Démonstration tout aussi triviale :

Cette étape se réduit donc à ne rien faire !

]0[x]0[X 1,Npour

e]i[x]k[X1N

0i

N/ki2

==

=∑−

=

π−

Principe de la FFT

3ème et dernière étape : Combiner les N spectres de fréquence à 1 point chacun de façon à « défaire » la décomposition dans le domaine temporel de la première étape.

Il faut donc faire dans le domaine fréquentiel la manipulation correspondant à la suivante dans le domaine temporel:

1 signal de 16 points

2 signaux de 8 points

4 signaux de 4 points

8 signaux de 2 points

16 signaux de 1 point

a b c d e f g h i j k l m n o p

a b c d e f g h i j k l m n o p

a c b d e g f h i k j l m o n p

a e c g b f d h i m k o j n l p

a i e m c k g o b j f n d l h p

Principe de la FFT

3ème et dernière étape (suite) : Prenons l’un des étages de cette recombinaison :4 signaux de 4 points

8 signaux de 2 points

a b c d e f g h

a e b f c g d h

Cette recombinaison dans le domaine temporel peut être faite de la façon suivante, par dilution des deux signaux à combiner avec des 0, décalage et addition :

a b c d

a 0 b 0 c 0 d 0

e f g h

0 e 0 f 0 g 0 h

a e b f c g d h

+

Principe de la FFT

3ème et dernière étape (suite) : La correspondance temporel-fréquentiel de cette suite d’opération est la suivante :

Dilution avec des 0

a b c d

a 0 b 0 c 0 d 0

e f g h

0 e 0 f 0 g 0 h

a e b f c g d h

+

A B C D

A B C D A B C D

E F G H

E F G H E F G H

+

E F G H

×××× sinusoïde

Domaine temporel Domaine fréquentiel

Duplication du spectre

Décalage Multiplication par une sinusoïde

Addition Addition

Principe de la FFT

3ème et dernière étape (suite) : Le diagramme en bloc de la dernière étape ou étape de synthèse est donc:

××××S

++++−−−−

++++

Spectre de 4 pointsimpaires

Spectre de 8 points

××××S

++++−−−−

++++

××××S

++++−−−−

++++

××××S

++++−−−−

++++

Spectre de 4 pointspaires

××××S

++++−−−−

++++

L’opérateur de base se réduisant à:

Principe de la FFTDiagramme entier de l’algorithme FFT :

Tri par ordre des bits renversés

××××S

++++−−−−

++++

Bouclesur LogN étages de

recompositionBoucle

sur chaque sous-groupe

Bouclesur

chaque papillon

Décomposition dans le domaine temporel

Synthèse dans le domaine fréquentiel

Domaine temporel

Domaine fréquentiel

Programmes FFTProgramme TFD complexe par corrélation :

5000 'COMPLEX DFT BY CORRELATION5010 'Upon entry, N% contains the number of points in the DFT, and5020 'XR[ ] and XI[ ] contain the real and imaginary parts of the time domain.5030 'Upon return, REX[ ] and IMX[ ] contain the frequency domain data.5040 'All signals run from 0 to N%-1.5050 '5060 PI = 3.14159265 'Set constants5070 '5080 FOR K% = 0 TO N%-1 'Zero REX[ ] and IMX[ ], so they can be used5090 REX[K%] = 0 'as accumulators during the correlation5100 IMX[K%] = 05110 NEXT K%5120 '5130 FOR K% = 0 TO N%-1 'Loop for each value in frequency domain5140 FOR I% = 0 TO N%-1 'Correlate with the complex sinusoid, SR & SI5150 '5160 SR = COS(2*PI*K%*I%/N%) 'Calculate complex sinusoid5170 SI = -SIN(2*PI*K%*I%/N%)5180 REX[K%] = REX[K%] + XR[I%]*SR - XI[I%]*SI5190 IMX[K%] = IMX[K%] + XR[I%]*SI + XI[I%]*SR5200 '5210 NEXT I%5220 NEXT K%5230 '5240 RETURN

Programmes FFTProgramme FFT en FORTRAN :

SUBROUTINE FFT(X,M)COMPLEX X(4096),U,S,TPI=3.14159265N=2**MDO 20 L=1,MLE=2**(M+1-L)LE2=LE/2U=(1.0,0.0)S=CMPLX(COS(PI/FLOAT(LE2)),SIN(PI/FLOAT(LE2)))DO 20 J=1,LE2DO 10 I=J,N,LEIP=I+LE2T=X(I)+X(IP)X(IP)=(X(I)-X(IP))*U

10 X(I)=T20 U=U*S

ND2=N/2NM1=N-1J=1DO 50 I=1,NM1IF(I.GE.J) GO TO 30T=X(J)X(J)=X(I)X(I)=T

30 K=ND240 IF(K.GE.J) GO TO 50

J=J-KK=K/2GO TO 40

50 J=J+KRETURNEND

Programmes FFTProgramme FFT en BASIC :

1000 'THE FAST FOURIER TRANSFORM1010 'Upon entry, N% contains the number of points in the DFT, 1020 'REX[ ] and IMX[ ] contain the real and imaginary parts of the input. 1030 'Upon return, REX[ ] and IMX[ ] contain the DFT output. 1040 'All signals run from 0 to N%-1.1050 PI = 3.14159265 'Set constants1060 NM1% = N%-11070 ND2% = N%/21080 M% = CINT(LOG(N%)/LOG(2))1090 J% = ND2%1100 '1110 FOR I% = 1 TO N%-2 'Bit reversal sorting1120 IF I% >= J% THEN GOTO 11901130 TR = REX[J%]1140 TI = IMX[J%]1150 REX[J%] = REX[I%]1160 IMX[J%] = IMX[I%]1170 REX[I%] = TR1180 IMX[I%] = TI1190 K% = ND2%1200 IF K% > J% THEN GOTO 12401210 J% = J%-K%1220 K% = K%/21230 GOTO 12001240 J% = J%+K%1250 NEXT I%1260 '

1270 FOR L% = 1 TO M% 'Loop for each stage1280 LE% = CINT(2^L%)1290 LE2% = LE%/21300 UR = 11310 UI = 01320 SR = COS(PI/LE2%) 'Calculate sine & cosine values1330 SI = -SIN(PI/LE2%)1340 FOR J% = 1 TO LE2% 'Loop for each sub DFT1350 JM1% = J%-11360 FOR I% = JM1% TO NM1% STEP LE% 'Loop for each butterfly1370 IP% = I%+LE2%1380 TR = REX[IP%]*UR - IMX[IP%]*UI 'Butterfly calculation1390 TI = REX[IP%]*UI + IMX[IP%]*UR1400 REX[IP%] = REX[I%]-TR1410 IMX[IP%] = IMX[I%]-TI1420 REX[I%] = REX[I%]+TR1430 IMX[I%] = IMX[I%]+TI1440 NEXT I%1450 TR = UR1460 UR = TR*SR - UI*SI1470 UI = TR*SI + UI*SR1480 NEXT J%1490 NEXT L%1500 '1510 RETURN

Programmes FFTProgramme FFT inverse utilisant la FFT précédente :

2000 'INVERSE FAST FOURIER TRANSFORM SUBROUTINE2010 'Upon entry, N% contains the number of points in the IDFT, REX[ ] and2020 'IMX[ ] contain the real and imaginary parts of the complex frequency domain.2030 'Upon return, REX[ ] and IMX[ ] contain the complex time domain.2040 'All signals run from 0 to N%-1.2050 '2060 FOR K% = 0 TO N%-1 'Change the sign of IMX[ ]2070 IMX[K%] = -IMX[K%]2080 NEXT K%2090 '2100 GOSUB 1000 'Calculate forward FFT2110 '2120 FOR I% = 0 TO N%-1 'Divide the time domain by N% and2130 REX[I%] = REX[I%]/N% 'change the sign of IMX[ ]2140 IMX[I%] = -IMX[I%]/N%2150 NEXT I%2160 '2170 RETURN

RapiditéTemps d’exécution pour une TFD complexe par la méthode de corrélation : 2

TFDNk T =

NlogNk T 2FFT=Temps d’exécution pour une FFT :

s7sprécalculé coset sin s25boucle la dans calculés coset sin

kTFD

µµ

soit plus de 25 (ou 7) secondes pour une TFD sur 1024 points, ou près de 25 (ou 7) ms par points, c’est lent !

(temps pour un Pentium 100MHz)

s7kTFD µ≈ (sur un Pentium 100MHz)

soit environ 70 ms pour une TFD sur 1024 points, ou près de 300 fois plus vite que la TFD classique.

524283.3414.1029.56323,187,104,64Nlog

NTT

1048576240961024512256128643216points de Nombre

2FFT

TFD

20

hh

hh

≈

=

RapiditéTemps d’exécution pour une FFT comparé à une TFD complexe par la méthode de corrélation :

PrécisionLa précision est en général bien meilleure pour la FFT que pour la TFD par corrélation, car toutes choses égales par ailleurs, la FFT requiert beaucoup moins d’opérations que la TFD et souffre beaucoup moins des erreurs d’arrondi et de précision du calcul en virgule flottante.

Toujours plus viteIl existe de nombreuse variantes autour de l’algorithme de Cooley-Tuckey. Elles consistent toujours à réduire une TFD sur un grand nombre de points en plusieurs TFD plus courtes, intercalées avec une multiplication par des matrices de phases correspondants aux décalages temporels.

Exemple: une FFT Cooley-Tuckey sur un signal de longueur 15 = 3 ×××× 5

x[0]

x[3]

x[6]

x[9]

x[12]

x[1]

x[4]

x[7]

x[10]

x[13]

x[2]

x[5]

x[8]

x[11]

x[14]

TFD-5

TFD-5

TFD-5

x[0]

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

x[5]

x[6]

x[7]

x[8]

x[9]

x[10]

x[11]

x[12]

x[13]

x[14]

TFD-3

TFD-3

TFD-3

TFD-3

TFD-3Wnk

( ) N/nk2jnkN eW π−=

Toujours plus viteAutre exemple: une FFT Cooley-Tuckey de base N ×××× 4, idem l’exemple précédent, qui se réduit sous forme matricielle à:

unitél' de racine ième-N laest eet W

WW

W1

j-1-j11-11-1j1-j-11111

Mou

]3k4[xW

]2k4[xW

]1k4[xW

]k4[xW

]4/N3n[X]4/N2n[X

]4/Nn[X]n[X

N/2jN

n3N

n2N

nN

1)4/N(

0k

nk4/N

1)4/N(

0k

nk4/N

1)4/N(

0k

nk4/N

1)4/N(

0k

nk4/N

π−

−

=

−

=

−

=

−

=

=

=

+

+

+Μ=

+++

∑

∑

∑

∑

Toujours plus viteAutre exemples: une FFT de base 2, de base 4 et de base mixte (split radix)

x[0]

x[15] ��������

����

����

����

����

����

����

X[0]

X[14]X[1]

X[15]

TFD2

TFD8

TFD8

FFT base 2x[0]

x[4]

x[8]

x[12]

x[15] ������������

������������

������������

X[15]

X[3]X[14]

X[2]X[13]

X[1]X[12]

X[0]

TFD4

TFD4

TFD4

TFD4

TFD4

FFT base 4

x[0]

x[4]

x[8]

x[12]

x[15] ������������

������������

X[15]

X[3]X[13]

X[1]X[14]

X[0]TFD

8

TFD4

TFD4

TFD2/4

FFT base mixte

Toujours plus viteComparaisons de rapidité :

16388235602048

71727856102481024

30764360512

128413921800256

516712128

19620826464

688832

20202416

mixtebase 4base 2N

61444686162048

2765228336307281024

1229213566512

538054885896256

23082504128

964976103264

38840832

14814815216

mixtebase 4base 2N

Nombres de multiplications Nombres d’additions

Remarque : les algorithmes basés sur la méthode de Cooley-Tuckey sont adaptés à des signaux dont la longueur est une puissance de 2, ou dont la longueur est composite N = N1 × N2 . Il existe des algorithmes adaptés aux cas non-factorisable ou la longueur du signal est un nombre premier. L’algorithme de Rader, la permutation de Good, l’algorithme des facteurs premiers et l’algorithmes de Winograd en sont des exemples.

Les algorithmes de base 2 et de base 4 requièrent respectivement 50% et 12,5% plus de multiplications que l’algorithmes de base mixte.

Transformation de Laplace

Cours DSP

Transformation de LaplaceLa définition mathématique rigoureuse

de la transformée de Laplace est la suivante:Soit f(t) fonction du temps possédant les 3 propriétés suivantes:

� ∀∀∀∀ t < 0 , f(t) = 0 (signal causal, ceci correspond à une réalité physique)� f est continue par morceaux sur ]0,∞∞∞∞[� ∀∀∀∀ S < 0 , f(t) est sommable sur [0,S]� ∃∃∃∃ trois nombres M, c, T tels que: |f(t)| ≤≤≤≤ Mect ,∀∀∀∀ t ≥≥≥≥T

Alors la transformée de Laplace de la fonction f(t) existe et est définie par :

avec

( ) ( )[ ] ( )sFtfLtf L =→

∫∞

0

st- f(t)dte = F(s)

Transformation de Laplace

Analyse non plus seulement eu terme de composantes fréquentielles, mais en termes de sinusoïdes et d’exponentielles

∫∞

∞−

ω−=ω dte)t(x)(X tj

∫∞

∞−

ω−σ−=ωσ dtee)t(x),(X tjt

TF:

TL:

avec σσσσ + jωωωω= s

Le plan complexe ou domaine s

σσσσ

jωωωω

s

s = σσσσ + jωωωω

NB: on trouve souvent la variable complexe notée p au lieu de s dans les ouvrages francophones

Le plan complexe ou domaine s

σσσσ

jωωωω

s

s = σσσσ + jωωωω

Exponentielles croissantes

Exponentielles décroissantes

Le plan complexe ou domaine s

σσσσ

jωωωω

s

s = σσσσ + jωωωω

Fréquences positives

Fréquences négatives

Le plan complexe ou domaine s

Domaine s Signaux associés

Analyse de Laplace1ère étape:Signal dans le domaine temporel x(t)

2ème étape:Multiplication par e-σσσσtpour tout σσσσ ∈∈∈∈ ]−∞−∞−∞−∞, ∞∞∞∞[

3ème étape:Calculer la TF de chaque signal pondéré par une exponentielle

4ème étape:Construire la TL dans le plan s constituée d’une infinité de spectres en fréquence juxtaposés le long de l’axe σσσσ

Transformation de LaplaceDomaine temporel

Domaine Fréquentiel Domaine sTF TL

Signaux Tests

u(t)

1

t 0

[ ]s1 = U(s)= u(t)L

1) Échelon unitaire :

C’est également la fonction de transfert d’un intégrateur pur.

Signaux Tests

0

δ(t)

t

[ ] 1 = (s) = (t) L ∆δ

Aire sous la courbe=1

2) Impulsion de DiracDéfinition de l’impulsion de Dirac δ (t):- ∀ t ≠ 0 , δ (t) = 0- pour t=0, δ (0) = ∞ ,avec aire sous la courbe de δ (t) = 1

Signaux Tests

f(t)=at u(t)

t 0

[ ] 2saatL =

3) Rampe atf(t)=0 pour t < 0 , f(t) =at ∀ t ≥ 0 . On peut écrire f(t)=at u(t)

Signaux Tests

f(t)=e-at u(t)

t 0

( )[ ]as

1tueL at+

=−

4) Exponentielle décroissante

Propriétés générales

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sGsFdgufnConvolutio

sFs1duufnIntégratio

0f0fssFsdt

tfdseconde Dérivée

0fssFdt

tdfdérivée la de Théorème

sFtfedécalagedu ThéorèmesFetfretarddu ThéorèmeasF

a1atféchelled'Facteur

bG(s) + aF(s)bg(t)+af(t)LinéaritéesTransforméOriginalesPropriétés

t

0

t

0

22

2

t

s

∫

∫

τττ−

′−−

−

ω+τ−

++

+

ω−

τ−

Transformées Classiques

( )[ ]

( )[ ]

[ ]

[ ]

[ ] ( )[ ]

[ ] 22

22

2at

at

2

sstcosL

stsinL

as1teL

as1eL

saatL

1tLs1tuL

ω+=ω

ω+ω=ω

+=

+=

=

=δ

=−

−

Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale

Théorème de la valeur finale

( ) ( ) ( ) existe limite cette si spFlimtflimf0st →∞→

==∞

Théorème de la valeur initiale

( ) ( ) ( ) existe limite cette si spFlimtflim0fs0t ∞→→

+ ==

Applications aux fonctions de transfert

Equations différentielles linéaires

Considérons le système :

Processus

Entrée e(t) Sortie s(t)

dont le processus est régit par les équations différentielles suivantes:d ydt

+ 5 dydt

+ 6y = e( t)

Conditions initiales : dydt

(0) = 2 et y(0) = 2

2

2

A t = 0, on applique une entrée constante e(t) = 6. Que vaut y(t) ?

Application aux fonctions de transfert

Appliquons les transformées de Laplace à : d ydt

+ 5 dydt

+ 6y = e(t)2

2

On obtient : ( ) ( )( ) ( ) ( )sEsY62ssY52s2sYs2 =+−+−−

Conditions initiales :

( ) ( ) s6sE6te +⇒= On en tire Y(s):

2)+3)(s+s(s6+ 12s + 2s =

6)+ 5s+ s(s6+ 12s + 2s =Y(s)

2

2

2

Application aux fonctions de transfert

2)+3)(s+s(s6+ 12s + 2s =

6)+ 5s+ s(s6+ 12s + 2s =Y(s)

2

2

2

Décomposition en éléments simples :

2+sc +

3+sb +

sa =

2)+3)(s+s(s6+ 12s + 2s = Y(s)

2

Pour trouver a, on multiplie les 2 membres de l’égalité par s et on fait s = 0 Pour trouver b, on multiplie les 2 membres de l’égalité par s + 3 et on fait s = -3 Pour trouver a, on multiplie les 2 membres de l’égalité par s + 2 et on fait s = -2 On trouve alors :

2+s5 +

3+s4 -

s1 = Y(s)

soit :

( )y t e et t= − +− −1 53 2

Applications aux systèmes électriques

Rappe ls: Soit u(t) la tension aux bornes d’un composant (U(s) sa transformée de Laplace) et i(t) le courant qui le traverse (I(s) sa T.L.): • Pour une résistance: U(s) = R I(s)

• Pour une capacité: U(s) = I(s) / C s

• Pour une inductance: U(s) = L s I(s)

Applications aux systèmes électriques

Exemple :

C

s(t) e(t)

I supposé nul ( impédance d’entrée du circuit suivant infinie)

R1 R2

On a donc :

)CsR +(R +1CsR + 1 =

Cs1 + R +R

Cs1+R

= E(s)S(s)

21

2

21

2

Zéros et Pôles

C/1RsLsC/1Ls)s(H 2

2

+++=

( )( )( )( )

L2C/L4RRpLC/jz

L2C/L4RRpLC/jz

:avecpspszszs)s(H

2

12

2

11

21

21

−−−=−=

−+−==

−−−−=

Zéros Pôles

Zéros et Pôles

Zéros et Pôles

Analyse de filtres dans le domaine s

Circuit Sallen-Key

RC25A6A

RC23A 2 −+−±=ω−=σ

Pôles en σσσσ + jωωωω

Analyse de filtres dans le domaine s

Transformation en z

Cours DSP

Transformation en ZLa transformation en z reprend le formalisme et les propriétés de la

transformation de Laplace et les applique aux signaux discrets.

( ){ } ( ) ( )[ ] Tsez* tfzFtfTZ L ===

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∫∞

=

−∞

− =→==→0k

kZ

0

stL z]k[xzSktx]k[xdtetxpXtx

Exemple :

( )( ) ( )[ ] 3212121

Ts321Ts2Ts

21*

zzzteTZzE

eee0sE−−−

−−−

++==

+++=

e(t)

1

1/2

t

Transformée en Z = Transformée de Laplace de la fonction échantillonnée avec z = eTs ou T est la période d’échantillonnage.

Transformation de Laplace Transformation en Z

Le plan ou domaine z

Propriétés de la transformées en ZZZZ

( ) ( ){ } ( ) ( )zGzFtgβtfαZT : Linéarité β+α=+

[ ]{ } ( ) kzzFknxTZ : Retard −=−

[ ]{ } ( ) [ ] km1km

0mzzmxzXknxZT : Avance

−=+ −−=

=∑

Cette propriété est particulièrement importante. Elle donne tout son intérêt à la transformée en Z. En effet, la multiplication par z-1 correspond à ma translation en temps d’un échantillon au suivant :

{ } ( ) 1zzX]1n[xTZ −=−

Propriétés de la transformées en ZZZZ

Conditions initiales et finales :

( ) ]n[xlimzXlim : Initiales0n0z →→

=

( ) ( )[ ]zX1zlim]n[xlim : Finales1zn

−=→∞→

si cette limite existe

Convolution : [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )zXzHzY alors

kxknhnySoit n

0k

⋅=

⋅−=∑=

Transformées en ZZZZ

Échelon unitaire :

( )

( )[ ]1z

zz1

1e11tuTZ

converge série la ,1e comme

eee1sU

1ez

Ts

T

Ts3Ts2Ts*

Ts −=

−=

−=

<

++++=

−=

−

−

−−−�

( )[ ]1z

ztuTZ−

=

Rampe unitaire :( )[ ] ( )21z

TztutTZ−

=à démontrer

Transformées en ZZZZ

Exponentielle :

Sinus et Cosinus : [ ] ( )

[ ]1z)aTcos(2z

)aTsin(z)t(u)atsin(TZ

1z)aTcos(2z)aTcos(zz)t(u)atcos(TZ

2

2

+−=

+−−=

( )[ ] aTat ezztueTZ −

−

−=

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )zen polynômes

zN ,zN,zN avec

1zzN

s1)t(ut

1zzN

s1)t(ut

1zTz

s1)t(ut

1zz

s1)t(u

tftftf

n32

nn

1nn

!n1

22

32

!21

22

ZL

�

���

−

−

−

−

+

Signaux test élémentaires(échelon unitaire, rampe,paraboles, etc ...) :

Fonction de transfert et Pôles dans le domaine Z

La sortie y[n] et x[n] d’un système physique linéaire échantillonné sont reliés par une équation aux différences :

∑∑==

−+−=P

1kk

M

0kk ]kn[yb]kn[xa]n[y

( ) ( )

=

− ∑∑=

−

=

−M

0k

kk

P

1k

kk zazXzb1zY

En prenant la TZ et en utilisant les propriétés de linéarité et de translation en temps, on obtient :

Systèmex[n] y[n]

On défini la fonction de transfert H(z) qui ne dépend que des ak et bk et qui résume les propriétés du systèmes :

la sortie au temps nT dépend des valeurs des échantillons connu à ce moment c.a.d x[n], x[n-1], x[n-2]… et y[n-1], y[n-2], … et des caractéristiques du systèmes définies par les ak et bk (système linéaire causal)

( ) ( ) ( )zXzHzY =Donc :

( ) ( )( )∑

∑

=

−

=

−

−== P

1k

kk

M

0k

kk

zb1

za

zXzYzH

Fonction de transfert et Pôles dans le domaine Z

Fonction de transfert en z, un rapport de polynômes en z avec M ≤≤≤≤ P pour un système physique.

( ) ( )( )∑

∑

=

−

=

−

−== P

1k

kk

M

0k

kk

zb1

za

zXzYzH

( )( )

( )∏

∏

=

=−

−

−= P

1jj

M

1ii

MP0

pz

zzzazH

qui peut se mettre également sous la forme :

Les zi sont les zéros et les pj sont les pôles du système. Les zéros et les pôles décrivent le système à un facteur d’amplitude près a0 (gain statique) et à un retard près zP-M avec P-M ≤≤≤≤ 0.

En particulier, on appellera

• filtres MA (à Moyenne Adaptée) les filtres n’ayant que des zéros (et des pôles en z = 0)

• filtres AR (Auto Régressifs) les filtres n’ayant que des pôles (et des zéros en z =0)

Pôles dans le domaine Z

( )( )( )( )

L2C/L4RRpLC/jz

L2C/L4RRpLC/jz

:avecpzpzzzzz)z(H

2

12

2

11

21

21

−−−=−=

−+−==

−−−−=