Transferts en Milieux Poreuxmquintard.free.fr/cours/mp00.pdf · 22/02/15 Transferts en Milieux...

22/02/15

Transferts en Milieux Poreux1

M. Quintard

Transferts en Milieux PoreuxTransferts en Milieux Poreux

M. QuintardD.R. CNRS

22/02/15


M. Quintard

[email protected]@imft.frhttp://mquintard.free.frhttp://mquintard.free.fr

stabilité des déplacements (“fingering”) méthodes de changement d’échelle, prise en compte des

hétérogénéités, écoulements multiphasiques/multicomposants passifs ou réactifs

génie pétrolier:– hétérogénéités, milieux fracturés,

– méthodes de récupération: miscible, injection de mousse, méthodes thermiques, injection d’acide,

pollution des ressources en eau sûreté nucléaire séchage applications industrielles: aéronautique, piles à combustibles,

stockage de déchets, ...

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M. Quintard

V

- p h a s e

- p h a s e

H

PlanPlan Introduction Diffusion en milieu poreux Ecoulement monophasique Dispersion Transfert thermique Ecoulement diphasique Transferts couplés:

– Séchage

– Transferts réactifs, dissolution d’un polluant dans un sol

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M. Quintard

IntroductionIntroduction

Milieux poreux: notions, applications Changement d’échelle Grandeurs et équations macroscopiques

22/02/15


M. Quintard

Exemple 1: Exemple 1: Ecoulement multiphasique multicomposant Ecoulement multiphasique multicomposant dans un aquifèredans un aquifère

zone saturée

zone non saturée

o

g

g

o

w

ww

w

w

s

s

s

s

s

eau + air

eau + air + hydroc.

eau + hydroc.

eau contaminée

eau

panache

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M. Quintard

Exemple 2: Réservoir PétrolierExemple 2: Réservoir Pétrolier

22/02/15


M. Quintard

Exemple 3: Exemple 3: Colonne de Réacteur ChimiqueColonne de Réacteur Chimique

A d s o r b e d I s l a n d s

P o r o u s M e d i u mP a c k e d B e dR e a c t o r

M i c r o P o r e s

M a c r o P o r e s

22/02/15


M. Quintard

Exemples 4: FiltresExemples 4: Filtres F i l t e r

- p h a s e

- p h a s e

- p h a s e

- p h a s eB o u n d a r yC o n d i t i o n

22/02/15


M. Quintard

Différents Types de Milieux PoreuxDifférents Types de Milieux Poreux

Tailles de particules (Analyse photographique, tamis, …)

Fibres Milieu non-consolidé

Milieu consolidé

p ( d )d p

d pd 1 0

1 0 %

22/02/15


M. Quintard

Taille de particule (cont.)Taille de particule (cont.)

Coefficient d ’uniformité:

Coefficient de gradationC d du 60 10/

0.002 0.02 0.2 2 mmargile sable gravier

22/02/15


M. Quintard

Tailles de poreTailles de pore

p ( )

Note: mesure par analyse photographique, porosimétrie fluide (Hg, …)

22/02/15


M. Quintard

Changement d’EchelleChangement d’Echelle

physique à une échelle donnée (ex. Échelle du pore)

description à une échelle supérieure?

Grandeurs macroscopiques?

L

UNIT CELL

l2

l1

22/02/15


M. Quintard

Hypothèse: échelle du pore Hypothèse: échelle du pore mécanique des milieux continusmécanique des milieux continus

Libre parcours moyen:

Nombre de Knudsen:

Kn<<1 Kn>>1

22 mol A

RT

d N Pl

p

mécanique des milieux continus

effet Klinkerberg, Knudsen, ...

npore

Kd

l

Exemple: O

( )

10

210 23 5

-7

3.64 10

8.3145 300

2 3.64 10 6.02 10 10

0.69 10 m

mold m

lp

l

-

- +

´

´

´ ´ ´ ´ ´ ´

´

III – Intro.

22/02/15


M. Quintard

Objectif: obtenir les équations macroscopiques, les propriétés effectives, et les conditions aux limites macroscopiques

Changement d’EchelleChangement d’Echelle

()=0

=g(x)

*()=0

=g*(x)

Ech. Pore Ech. Locale

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M. Quintard

Fraction volumique de la phase

Prise de Moyenne VolumiquePrise de Moyenne Volumique(Marle, Gray, Slattery, Whitaker, etc... …)(Marle, Gray, Slattery, Whitaker, etc... …)

-phase

y

x

r

V-phase

n

xx y +

1

VdV

V

( )

Moyenne intrinsèque de phase

avec l’indicatrice de la phase e

e

22/02/15


M. Quintard

Changement d’Echelle: Méthode de prise de Changement d’Echelle: Méthode de prise de moyenne spatialemoyenne spatiale

Les variables macroscopiques sont des moyennes spatiales

solution approchée, si << r << L

+ ~

( )( )

, 0 équations à l'échelle du pore

, 0 équations moyennées

ì ïí

ïî

%

%

( ) (fermeture) propriétés effectivesf Þ%

( ), ( ) 0 équations macroscopiquesf

Équationscouplées

22/02/15


M. Quintard

Exemple: diffusion, convectionExemple: diffusion, convection

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

t = 1 0 s

x

Con

cent

ratio

n

d i r e c t s i m u l .

a v e r a g e d b e h a v i o r

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

t = 1 0 s

x

Con

cent

rati

on

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 .

t = 1 0 s

x

Con

cent

rati

on

Ac

A A Ac c c

+ %. ..A Ac c

Ñ +b%déviation

22/02/15


M. Quintard

e x / e

x

0

0lim e

REFERENCES:Bensoussan et al. (1978), SanchezPalencia (1980), ...

Autres méthodes: HomogénéisationAutres méthodes: Homogénéisation

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M. Quintard

<(r)(r+r')>

.... N .....

= E( )

REFERENCES:Matheron (1965), Dagan (1989), ...

Autres Méthodes: Approche StochastiqueAutres Méthodes: Approche Stochastique

milieu réel, ergodicité

22/02/15


M. Quintard

Prise de MoyennePrise de Moyenne

Définitions Théorèmes Exemple: indicatrice de phase et porosité Changement d’échelle

22/02/15


M. Quintard

Grandeurs MoyennesGrandeurs Moyennes

- p h a s e

y

x

r

V - p h a s e

n

xx y +

1

VdV

V

( )l r 0 l H

M i c r o h é t é r .

m a c r o h é t é r .+

n o n - l i n é a r i t é s

h o m o g è n e

r l R LH0 0

Hypothèse de Séparation des échelles

22/02/15


M. Quintard

Grandeurs moyennes, formalisme Grandeurs moyennes, formalisme généralgénéral

fonction spatialement régularisée (contexte: théorie des distributions)

– exemple de problème

( ) ( ) ( )* rm m dV -xxx r r

periodic with + . =

oo

TTT rh

VVV mmm

TT Ñ-+ .)(. xrxh

m

x0

V

?voir Quintard & Whitaker (1993, 1994) pour le choix approprié de m

22/02/15


M. Quintard

Indicatrice de Phase, Fraction Indicatrice de Phase, Fraction Volumique, PorositéVolumique, Porosité

Indicatrice de phase

Fraction volumique

Porosité:

e

Saturation

Moyenne intrinsèque de phase

S e e1

1i N

ii

S

å

e 1

1i N

ii

e

å

[ ]0,1S Î

1 e e -

22/02/15


M. Quintard

PorositéPorosité

Sols: 50 à 60% Grès: 10 & 20% Gravier et sable: 30 à 35% Fibres de verre: >90%

e e -1 P o ro s i t é f e rm é e

P o ro s i t é o u v e rt e

P o re c u l - d e - s a c( d e a d - e n d p o r e )

ep

- 16

0 476. ep

- 14

0 215.

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M. Quintard

ThéorèmesThéorèmes

1

1

1

A

A

A

dAV

dAV

dAt t V

Ñ Ñ +

Ñ× Ñ × + ×

¶¶ - ×

¶ ¶

n

A A n A

n w

voir: Quintard & Whitaker (Chem. Eng. Science, 93; TiPM, 94)

Effets Interfaciaux (tortuosité, …)

- p h a s e

y

x

r

V - p h a s e

n

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M. Quintard

Approximations usuellesApproximations usuelles

1. : ...

2

æ ö + Ñ + ÑÑ +ç ÷è øx x xx x

y yy

...

e + »x xx

+ %

0

+ Þ »% %

22/02/15


M. Quintard

Structure générale d’une équation de Structure générale d’une équation de transport macroscopiquetransport macroscopique

échelle du pore

échelle macroscopique

( ) ( ) {

( )( )réaction homogène

réaction hétérogène

. .

B.C. 1 . ( ) sur

D rt

D f A

r r r

r r

¶+Ñ Ñ Ñ -

¶

- - Ñ

v

n v w123

( ). . D r Kt

r r r

¶+Ñ Ñ Ñ - -

¶v

( )( )1.

A

K D dAV

r r - - Ñ n v wavec

22/02/15


M. Quintard

t = 1 0 s

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

t = 1 0 s

x

Con

cent

ratio

n

d i r e c t s i m u l .

a v e r a g e d b e h a v i o r

Exemple: treillis de cylindre

Exemple de Changement d’Echelle: Exemple de Changement d’Echelle: DiffusionDiffusion

Problème à l’échelle du pore Equation macroscopique Coefficient de diffusion

effectif, « Tortuosité »

22/02/15


M. Quintard

Problème à l’échelle du pore (cas du traceur)

Déviation:

Equation moyenne

Diffusion (cont.)Diffusion (cont.)

( ).c

D ct

¶ Ñ Ñ

¶. .1 . 0 sur C L D c A Ñ n

c c c

+ %

tortuosité

.A

c DD c c dA

t V

ee

æ öç ÷¶ç ÷ Ñ Ñ +

¶ ç ÷ç ÷è ø

n %1442443

22/02/15


M. Quintard


Equation à l ’échelle du pore

( ) ( ). .cc

D c D ct t

¶¶+ Ñ Ñ +Ñ Ñ

¶ ¶

%%

. .1 . . sur C L c c A

Ñ - Ñn n%

modifiée en utilisant l’équation moyenne...

( )effet non-local

. .A

c DD c c dA

t V

æ ö¶ç ÷ Ñ Ñ -Ñç ÷¶ è ø

n%

% %

144424443

22/02/15


M. Quintard

Approximation du problème couplé:– temps caractéristiques

– terme non-local


2 2

pore: ; macro: l L

D D

( )12

0 . .A

D cO

D clO

l L

DD c c dA

V

e -

æ öç ÷

æ öç ÷è ø ç ÷

ç ÷è ø

æ öç ÷ Ñ Ñ -Ñç ÷è ø

n

%%

% %14243

144424443( )0 . D c Ñ Ñ %

22/02/15


M. Quintard


Fermeture

Problème local (cellule périodique représentative)

Equation macroscopique

Tenseur de diffusion effective

. ...c c

Ñ +b%

( ) ( )

20

C.L.1 . sur

0

i

A

Ñ

Ñ -

+

b

n b n

b r b r l

b

( )*. .c

ct

ee

¶ Ñ Ñ

¶D

* 1

A

D dAV

æ öç ÷ +ç ÷è ø

D I n b

22/02/15


M. Quintard


0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

P o r o s i t y

K i m e t a l .

C u r r i e

H o o g s c h a g e n

S C

B C C

F C C

M a x w e l l

W e i s s b e r g

W a k a o a n d S m i t h

R y a n ( 2 D )

eD/D

22/02/15


M. Quintard

Tortuosité: notions classiquesTortuosité: notions classiques

Tortuosité

Facteur de formation L

L *

Archie (1942):

* *

D Lf

D L

t æ ö ç ÷è ø

Fet

mF ae - avec m facteur de cémentation » 1.4 - 2.8

22/02/15


M. Quintard

Exemple: cas du tube tortueuxExemple: cas du tube tortueux

( )*2 1*

dans le tubeD

j c cL

-

( )*2 1*

pour la section f

Dq A c c A

L -

2* *2 1

* avec /eff f

L c cj D L A LA

L Le e-æ ö æ ö ç ÷ ç ÷

è ø è ø

* / coeff. de diffusion effectif

et tortuosité

D D tt

A fA

L

L *

22/02/15


M. Quintard

Ecoulement MonophasiqueEcoulement Monophasique

Equation de Darcy Modèles simples de perméabilité Effets non-linéaires Fluides compressibles Hétérogénéités Exemples

22/02/15


M. Quintard

Equation de DarcyEquation de Darcy

Darcy (1856)

K: perméabilité intrinsèque [K] = m2

Q

A

H

P 2

P 1

1 21/

P P gHQ A K

H

rm

- -

Déb

it/p

erte

de

char

ge

R e

R é g im ed e D a rc y

R é g im en o n - l in é a i r e

Repv d

r

m

validité?

22/02/15


M. Quintard

Problème échelle du poreProblème échelle du pore

Régime de Darcy (Re<<1) Masse volumique et viscosité constante Solide indéformable

2

. 0

0

C.L.1 0 sur

p

A

r m

Ñ

-Ñ + + Ñ

v

g v

v

22/02/15


M. Quintard

Exemple: treillis de cylindreExemple: treillis de cylindre

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

pres

sure

direct simul.

averaged behavior

vx p

22/02/15


M. Quintard

Equation macroscopique:

– sans chgt de phase

– porosité constante

. 0t

rr

¶+Ñ

¶v

( )1. .

A

dAt V

rr r

¶+Ñ - -

¶ v n v w

Equation de continuité (cas général)Equation de continuité (cas général)

. 0t

e¶+Ñ

¶v

. 0Ñ v

tecr

22/02/15


M. Quintard

Equation de quantité de mouvementEquation de quantité de mouvement

équation moyenne

équation pour les déviations

( )2

termes de Brinkman

10 . .

A

p p dAV

e e r m m e m - Ñ + + Ñ - Ñ Ñ + - + Ñg v v n I v% %1444442444443

.( ) . 0

Ñ -Ñ »v v%

( )2 1 1.

A

p p dAV

m e m--Ñ + Ñ - + Ñv n I v% % % %

B.C. 1 sur A

-v v%

22/02/15


M. Quintard

Lien Micro-Macro Lien Micro-Macro (Sanchez-Palencia, Whitaker, …)(Sanchez-Palencia, Whitaker, …)

. .. ; . ..p

m + +b v v B v% %

0 , 0 b B

. 0Ñ B

( )( )2 1 1.

A

dAV

e --Ñ +Ñ - +Ñb B n Ib B

at ,A -B I

( ) ( ) ( ) ( )i i+ + b r l b r B r l B r

avec:

( )( )1 2 1.

A

dAV

e - - - - +ÑK n Ib B

exemple: Whitaker, 1986

22/02/15


M. Quintard

Exemple: reconstruction de milieux Exemple: reconstruction de milieux poreuxporeux

Anguy et al., 1994

22/02/15


M. Quintard

avec K, tenseur de perméabilité intrinsèque

Loi de DarcyLoi de Darcy

note: K»dp2

1 Darcy »10-12 m2

( )1. p

rm

- Ñ -v K g

1 0 - 2 0 1 0 - 1 6 1 0 - 1 1 1 0 - 7 m 2

R o c h e s

S o l s

: g r a n i t e d o l o m i e g r è s

: a r g i l e s a b l e s a r g i l e u x s a b l e s f i n s s a b l e s g r a v i e r s

(Bear, 1972)

22/02/15


M. Quintard

Modèle capillaire

Modèle Hele Shaw

Modèles simples de perméabilitéModèles simples de perméabilité

Kozeny (1927)

Kozeny-Carman (Carman, 1937)

: surface spécifique

(c0=0.5 cercle; 0.562 carré)

3

0v

K ca

e

1v

A

Aa dA

V V

( )

2 3

2180 1md

Kee

-

6m

vs

da

1v

vs

aa

e

-

21

32

pdU v

x

m¶-

¶

2

32

dK

2

12

bK e

22/02/15


M. Quintard

Combinaison de la loi de Darcy et de l ’équation de continuité

Si masse volumique constante

Si milieu homogène (voir théorie des fonctions analytiques):

Equation en pressionEquation en pression

soit

( )( ). . 0p

rÑ Ñ - K g

.P p

r - g x ( ). . 0PÑ Ñ K

0PD

22/02/15


M. Quintard

Conditions aux limitesConditions aux limites

A

A e

A i As

. 0 sur iA n v sur s sp p A

sur e ep p A

sur p p A

. . sur A n v n v

22/02/15


M. Quintard

ExemplesExemples

( ) ( )1

0 0

e ep p K

V U

r m

e

- + - + -

g v x x

v i i

1D

radial

- 2- 1

01

2

- 2- 1

01

2

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

pres

sion

ln2

2

ee

Q rp p

K r

Qv

r

mp

p

æ ö - ç ÷

è ø

22/02/15


M. Quintard

Cas non-linéaireCas non-linéaire

Darcy-Forcheimmer

Note: équation à caractère heuristique, recherche de meilleurs modèles en cours (pb. anisotropie)

10 p K

rr m

- -Ñ + - -g v v v

passabilité

3

1 (1 )

p

Bd

e e

- Ex. (Ergun, 1952): B~1.8

22/02/15


M. Quintard

Exemple: expériences de Sampath and Keighin (1982), N2

où b (facteur de Klinkenberg) dépend du milieu considéré

P P »

1b

K Kp

¥

æ öç ÷ +ç ÷è ø

( ) 0.53(en Pa) 0.0955 /b K e -

¥

Effet Klinkenberg (1941)Effet Klinkenberg (1941)

Si pression faible, ou pores petits: libre parcours moyen de l’ordre de grandeur des dimensions de pores

22/02/15


M. Quintard

Conservation de la masse

Loi de Darcy

P p

V vet

Récapitulatif et Notation simplifiéeRécapitulatif et Notation simplifiée

( ) ( ) 0t

r er

¶+Ñ

¶Vg

( )P

rm

- Ñ -V ggK

Vitesse de filtration

22/02/15


M. Quintard

Hydrologie: conductivité hydrauliqueHydrologie: conductivité hydraulique

La phase est de l’eau

Conductivité Hydraulique( ) /P gg xg f r r -

H f - ÑV gK

H

g

rm

K K

avec KH en m/s: 710H »K K

22/02/15


M. Quintard

Ecoulement dans une nappe aquifère Ecoulement dans une nappe aquifère confinée: transmissivitéconfinée: transmissivité

x

zh 2 h 1

a q u i f è re

avec

2

1

( , )

( , )

.h x y

xy

h x y

dz PQ V

( , ) xy HT x y f - ÑQ

2

1

( , )

( , )

( , )h x y

H

h x y

T x y K dz 2

1

( , )

( , )

1h x y

H

h x y

dzH

f f

22/02/15


M. Quintard


En utilisant la règle de Leibniz

2 2

1 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

.h x y h x y

H xy H xy

h x y h x y

K dz K dzf f - P Ñ - Ñ Q xy x y

f ff ¶ ¶Ñ +

¶ ¶i j

2 2

1 1

( , ) ( , )

2( , ) ( , )

2 2 1 1

1 1

1 1( , , ) ( , , )

h x y h x y

xy H xy xy

h x y h x y

xy xy

H dz dzHH

x y h h x y h hH H

f f f

f f

æ öÑ - Ñ + Ñç ÷ç ÷

è ø

+ Ñ - Ñ

( )2 2 1 1( , , ) ( , , )H xy H H H xy xy xyK H K H x y h h x y h hf f f f - Ñ - Ñ - Ñ + ÑQ

22/02/15


M. Quintard


Si écoulement ~ horizontal

De même si:

( )2 2 1 1( , , ) ( , , )H xy H H H xy xy xyK H K H x y h h x y h hf f f f - Ñ - Ñ - Ñ + ÑQ

( , )H xy H xy HK H T x yf f - Ñ - ÑQ

( , , ) ( , )H HK K x y z x yf f

2

1

( , )

( , )

( , )h x y

H

h x y

T x y K dz

22/02/15


M. Quintard

Ecoulement dans une nappe aquifère Ecoulement dans une nappe aquifère phréatique: approximation de Dupuitphréatique: approximation de Dupuit

z

x

s u r f a c e

z

x

s u r f a c e

h ( x )

22/02/15


M. Quintard


Si , on a

2

1

( , , )

( , )

h x y t

H

h x y

K dzx

f¶ -

¶Q

( , )H HK K x y

2

1

( , )

2 12 1

( , )

( , , ) ( , , )h x y

x H H

h x y

h hQ K dz K x y h x y h

x x xf f f

æ ö ¶ ¶¶ æ ö - - -ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶è øè ø

2

1

( , , )

2 1 ( , )

1h x y t

H

h x y

dzh h

f f-

22/02/15


M. Quintard


La surface libre est à pression constante:

Les lignes équipotentielles sont quasi-verticales:

2 1( , , ) ( , , ) Hx y h x y hf f f; ;

2 1 2 1( ) ou ( )Hx H H xy HQ K h h K h h

x

ff

¶ - - - - Ñ

¶Q

H hf

2 1( )H xyK h h h - - ÑQ

22/02/15


M. Quintard

Coefficient de stockage, équation de bilan Coefficient de stockage, équation de bilan transitoiretransitoire

Fluide faiblement compressible, déformation élastique des grains, Vr (vitesse relative du fluide)

( ) ( )*

0 . 0rSt

f¶+Ñ

¶V

( )0S gr a e +0

*

( )

p

p

dpz

g p

fr

+ Potentiel de Hubbert: Coefficient de stockage:

: compressibilité du sol ; : compressibilité du fluidea

22/02/15


M. Quintard

Equation transitoire pour la charge Equation transitoire pour la charge hydrauliquehydraulique

Equation

Applicable:– Aquifère confiné: charge hydraulique

– Aquifère non-confiné: hauteur de la nappe

( )0 . ( , )xy

hS q x y

t

¶+Ñ

¶Q

22/02/15


M. Quintard

Exemple de simulation de nappe Exemple de simulation de nappe aquifèreaquifère

résultats obtenus avec PMWIN™

22/02/15


M. Quintard

Exemple: pollution Exemple: pollution d’une napped’une nappe

Chardigny, E., P. Siegel, R. Mosé, and P. Ackerer. 1996. Parameter identification for complex groundwater systems. Pages 305-312 in A. A. e. al., editor. Computational Methods in Water Resources XI. Computational Mechanics Publications, Cancun, Mexico.

22/02/15


M. Quintard

Ecoulements dans les milieux Ecoulements dans les milieux hétérogèneshétérogènes

- r e g i o n

- r e g i o n

V ¥

R 0

L

{ } 1

V

dVV

¥¥

22/02/15


M. Quintard

Ecoulements dans les milieux hétérogènes: Ecoulements dans les milieux hétérogènes: exemple des milieux stratifiésexemple des milieux stratifiés

V V

f b f b

f a f a

1 2

effV Kx

f¶ -

¶

{ }effK K 1 1

effK Kì ü í ýî þ

V V1 2

22/02/15


M. Quintard

Ecoulements dans les milieux fracturésEcoulements dans les milieux fracturés

- r e g i o n

- r e g i o n

P Kc P

t mæ ö¶

Ñ Ñç ÷¶ è øg

Dans chaque région

22/02/15


M. Quintard

Essais de Puits:Essais de Puits:

22/02/15


M. Quintard

Non équilibre local: Modèle pseudo-Non équilibre local: Modèle pseudo-permanentpermanent

Barenblatt et

Zheltov (1960)

{ } { } { } { }( ){ } { } { } { }( )

*

*

1. .

1. .

mfm mm

m m m m m f

f

f f mf

f f f f f m

Pc P P P

t

Pc P P P

t

afm m

afm m

¶ æ ö Ñ Ñ - -ç ÷¶ è ø

¶ æ ö Ñ Ñ - -ç ÷¶ è ø

K

K

{ } { } { }( ) { } { }( ){ } { } { }( ) { } { }( )

* *

* *

1. . .

1. . .

mf fm mm

m m mm m mf f m f

f

f fm mf

f f fm m ff f f m

Pc P P P P

t

Pc P P P P

t

afm m

afm m

¶ Ñ Ñ + Ñ - -

¶

¶ Ñ Ñ + Ñ - -

¶

K K

K K

Quintard & Whitaker, 1993, 1996

22/02/15


M. Quintard

Facteur de formeFacteur de forme

/ mka Stratified System 2D-Rectangular

System

3D-Parallelepiped

System

AsymptoticValue

Warren & Root(1963)

Kazemi et al.(1976, 1992)

Quintard &Whitaker

(1992)

22/02/15


M. Quintard

DispersionDispersion

Introduction Equations macroscopiques Courbes de dispersion Exemples

22/02/15


M. Quintard

MécanismesMécanismes

T a y l o r d i s p e r s i o n

M e c h a n i c a l d i s p e r s i o nA B

A '

B '

R e t a r d a t i o n d u e t o d e a d - e n d p o r e s

c o n v e c t i o n

d i f f u s i o n

22/02/15


M. Quintard

Echelle du poreEchelle du pore

Cas du traceur: masse volumique constante

découplage: Navier-Stokes et bilan de masse

( ) ( ). .c

c D ct

¶+Ñ Ñ Ñ

¶v

. .1 . 0 sur C L D c A Ñ n

. 0Ñ v

22/02/15


M. Quintard

( ) ( )dispersion

tortuosité

1. . .

A

cc c D c c dA

t V

ee

æ öç ÷¶ç ÷+Ñ +Ñ Ñ Ñ +

¶ ç ÷ç ÷è ø

v v n% % %14243

1442443

. ...c c

Ñ +b%

( )

( ) ( )

. .

C.L.1 . sur

0

i

D

A

+ Ñ Ñ Ñ

Ñ -

+

v v b b

n b n

b r b r l

b

%

Prise de Moyenne et Fermeture Prise de Moyenne et Fermeture (Eidsath et al., 1983)(Eidsath et al., 1983)

fermeture

22/02/15


M. Quintard

Equations macroscopiquesEquations macroscopiques

Tenseur de dispersion:

Equation de conservation de la masse globale + loi de Darcy + équation de dispersion:

( ) ( )*. . .c

c ct

ee

¶+Ñ Ñ Ñ

¶v D

* 1

A

D dAV

æ öç ÷ + -ç ÷è ø

D I n b v b%

22/02/15


M. Quintard

RécapitulatifRécapitulatif

C c

e V v U

( ) ( )*. . .C

C Ct

¶+Ñ Ñ Ñ

¶U D

( ). 0t

e¶+Ñ

¶V

( ). P

rm

- Ñ -V gK

+ Conditions aux limites

Notations:

Si porosité constante

( ) ( )*. . .C

C Ct

ee

¶+Ñ Ñ Ñ

¶V D

22/02/15


M. Quintard

Courbes de DispersionCourbes de DispersionV l

PeD

e(Nb. de Péclet )

Taylor-Aris Theory

In-Line cylinders

RifaiBlackwell et al.Edwards & RichardsonCarberry & BrettonEbach & WhitePfannkuch

106

106

104

104

102

102

100

Pep

10010-210 4-

Random cylinders

Dxx

D

22/02/15


M. Quintard

Dispersion LongitudinaleDispersion Longitudinaleet Transversaleet Transversale

Exemple d’écriture (dispersion linéaire):

Anisotropie induite par l’écoulement:

0

0 0

0 0

0 0

L

T

T

D

U D

D

é ùê ú ê úê úë û

U i D

0 ( )T L T

a a a + + -U U

D D U IU

(m) dispersivité transversale

(m) dispersivité longitudinaleT

L

aa

avec

22/02/15


M. Quintard

Dispersion LongitudinaleDispersion Longitudinaleet Transversale (cont.)et Transversale (cont.)

t > 0t = 0

1

1

DL

Deff/D

Pe

DT

10 100

10

100

22/02/15


M. Quintard

Exemples 1DExemples 1D

0

1exp

2 4 4

c x Ut x x Uterfc erfc

c UDDt Dt

é ùì ü ì ü- +æ ö +ê í ý í ýúç ÷è øî þ î þë û

0

1

2 4

c x Uterfc

c Dt

ì ü- í ý

î þ

( ) 2

0

1exp

44

x Utc

c DtDtp

æ ö-ç ÷ -ç ÷è ø

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

2 4 6 8 1 0x

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4x

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

2

2 . 2

2 . 4

2 . 6

2 . 8

2 4 6 8 1 0 1 2x

2

0

2( )

uterf u e dt

p-

( ) 1 ( )erfc u erf u -

22/02/15


M. Quintard

Dispersion et Réaction Chimique: Dispersion et Réaction Chimique: exemple, réaction du 1er ordreexemple, réaction du 1er ordre

Radioactivité, modèle simple de biodégradation, …

exemple (solution par transformée de Fourier, cas Dirac, milieu infini)

2

2

C UC DCkC

t x x

e e ee

¶ ¶ ¶+ -

¶ ¶ ¶ 1/ 2

ln(2)k

T

2( )( , ) exp

44k t M x U t

C x t eDtDtp

- æ ö- -ç ÷

è ø

22/02/15


M. Quintard

22/02/15


M. Quintard

- p h a s e

r o

A d s o r b e d I s l a n d s

Dispersion et AdsorptionDispersion et Adsorption

Attractions électriques Forces de van der Waals

Forces intermoléculaires Chemisorption (interaction

chimique)

22/02/15


M. Quintard

Adsorption: description des équilibresAdsorption: description des équilibres

échelle microscopique: isotherme d’adsorption

Fractions massiques: Fluide Solide

c c

( )c F c

22/02/15


M. Quintard

Exemple d’isotherme d’adsorptionExemple d’isotherme d’adsorption

isotherme linéaire:

Kd: coefficient de partition Freundlich (1926):

Langmuir (1916, 1918):

…., théories cinétiques, ...

( ) mc b c r

1

a cc

b c

rr

+

dc K c r

22/02/15


M. Quintard

Dispersion et AdsorptionDispersion et Adsorption

Bilans de masse:

Echange de masse:

( ) ( )*. . .C

C C Kt

r er r e

¶+Ñ Ñ Ñ -

¶V D

CK

t

r e¶

-¶

1.

A

K K D c dAV

r - - Ñ n

22/02/15


M. Quintard

Dispersion et Adsorption: Equilibre Dispersion et Adsorption: Equilibre LocalLocal

Bilan de masse Global:

Equilibre Local:

Cas linéaire, et facteur de retard, R:

( ) ( ) ( )*. . .C C

C Ct

r e r er r e

¶ ++Ñ Ñ Ñ

¶V D

échelle microscopique échelle macroscopique

( ) ( )c F c C F C Þ 14243 1442443

( ) ( )*. . . avec 1 dRC K

C C Rt

r e e rr r e

e

¶+Ñ Ñ Ñ +

¶V D

22/02/15


M. Quintard

Effet des hétérogénéités: dispersion Effet des hétérogénéités: dispersion anormaleanormale

Perméabilité Concentration

22/02/15


M. Quintard

Effet des hétérogénéitésEffet des hétérogénéités

Dispersion à grande échelle? Mesures sur des aquifères:

cas général: pas d’équation de dispersion à grande échelle

exemple de cas particuliers: modèles à double-milieux

* (échelle d'observation)f D

22/02/15


M. Quintard

Influence de l’échelle d’observation sur la Influence de l’échelle d’observation sur la dispersivité apparentedispersivité apparente (Gelhar and Axness, 1983) (Gelhar and Axness, 1983)

S c a le ( m )

Disp

ers

ivity

(m)

1

1

1 0

1 0

1 0 0

1 0 0

0 . 1

. 0 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

22/02/15


M. Quintard

Non-Equilibre Local: modèle à deux Non-Equilibre Local: modèle à deux équationséquations

Milieux fracturés

Mobile/immobileMobile/Mobile

22/02/15


M. Quintard

ExemplesExemples

Negligible Dispersion

Important Dispersion

22/02/15


M. Quintard

ExemplesExemples

t = 1 h

t = 2 h

22/02/15


M. Quintard


Traçage miscible échantillon 3

-0.100

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

1.100

-1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

NVp

C/C

0

Données expérimentales

Modèle à deux équations

22/02/15


M. Quintard


( )

( )mimim

im

immm

mm

mm

m

cct

c

ccx

cD

x

cv

t

c

--¶

¶

--¶¶

¶¶

+¶¶

a

a2

2

Coats et Smith (1964)

( ) ( )

( ) ( )

*

*

. . .

. . .

CC C C C

tC

C C C Ct

j e a

j e a

¶+ Ñ Ñ Ñ - -

¶¶

+ Ñ Ñ Ñ - -¶

V D

V D

Ahmadi et al. (1998)

22/02/15


M. Quintard

Transferts de ChaleurTransferts de Chaleur

Changement d’échelle: équilibre local Conductivité thermique effective Non-équilibre local Applications

22/02/15


M. Quintard


V

- p h a s e

- p h a s e

H

( ) ( ) ( ). . in p p

Tc c T k T V

t

r r

¶+ Ñ Ñ Ñ

¶v

B.C.1 at T T A

B.C.2 . . at k T k T A - Ñ - Ñn n

( ) ( ). in p

Tc k T V

t

r

¶ Ñ Ñ

¶

22/02/15


M. Quintard

Températures (cas Températures (cas rrccpp constant) constant)

T T T

+~

1

V

T T dVV

1

V

T T dVV

Déviations de Température :

T T T

+~

indicatrice de phase

déviation

22/02/15


M. Quintard


( ) ( ) . ( ) .p p p

Tc c T c T

t

r r r

¶+ Ñ + Ñ

¶v v

%%%

1 11 1.( ) . .

A A

k T k T dA k T dAV V

e e- -æ öç ÷Ñ Ñ - Ñ - Ñç ÷è ø

n n% % %

+ même éq. pour

22/02/15


M. Quintard

Equations moyennesEquations moyennes

convectionaccumulation

conduction

dispersion

( ) ( )

1

V

1( )

V

p p

A

p

A

Tc c T

t

k T T dA

c T k T dA

e r e r

e

r

¶ + ×Ñ

¶

é ùæ öê úç ÷ Ñ × Ñ +

ç ÷ê úè øë û

- Ñ × + × Ñ

v

n

v n

144442444431442443

%

14444444244444443

%%144424443

flux à l'interface

144424443

+ même éq. pour

22/02/15


M. Quintard

C.L. and Termes Sources sur C.L. and Termes Sources sur AA

B.C. 1 ( )terme source

T T T T

- -% %1442443

terme source

. . . .k T k T k T k T

- Ñ - Ñ - Ñ - Ñn n n n% %1442443

B.C. 2

système d’équations couplées micro/macro

22/02/15


M. Quintard

Pore:

Darcy

si

– 1- équation pour le “mélange”

– sinon: théories non-équilibre local

l

D

l

D

2 2

,

L

D

L

D

2 2

* *

,

l

D

l

D

L

D

L

D

2 2 2 2

»æ

èçç

ö

ø÷÷

æ

èçç

ö

ø÷÷* *

,

Exemple: échelles de temps Exemple: échelles de temps (voir Whitaker, 1991; Quintard & Whitaker, 1995)(voir Whitaker, 1991; Quintard & Whitaker, 1995)

22/02/15


M. Quintard

Equilibre LocalEquilibre Local

T T T > > >

Fermeture: ( ). ( , ) ...T T t Ñ +b y x%(Carbonell & Whitaker, 84; Nozad et al, 85; …)

( ) ( ) ( ) ( )*r e r e r r

c T c T c T c Tp p p p +

( )( ) = ( + ) + eff p

A

k kk k dA c

V

e e r-

- n b v b%K I

( ) ( ) ( )*. . .p p eff

Tc c T T

t r e r

¶+ Ñ Ñ Ñ

¶U K

( ) ( ) ( )*

p p pc c c r e r e r +

22/02/15


M. Quintard

Problème de fermetureProblème de fermeture

(à résoudre sur une cellule représentative)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

. dans

B.C.1 . . sur

B.C.2 sur

0 dans

;

0 ; 0

p p

i i

c c k V

k k k k A

A

k V

r r+ Ñ Ñ

- Ñ - - Ñ -

Ñ

+ +

v v b b

n b n n b n

b b

b

b x l b x b x l b x

b b

%

22/02/15


M. Quintard

Bornes, estimationsBornes, estimations

1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

e

K

K //

K/ k

eff

k /k =5

Wiener, 1912:

Landau et Lifshitz (1960)

2 / 3 1/ 3//effK K K

31

2effk

k k k

k k

e

e

+æ ö+

-ç ÷ç ÷-è ø

Maxwell, 1873

//K k k e e + 1

K k k

e e

+

//effK K K £ £

22/02/15


M. Quintard

0 25 50 75 100 125 150 175

0

25

50

75

100

125

150

175

col

row

0 25 50 75 100 125 150 175

0

25

50

75

100

125

150

175

colrow

bx

úû

ùêë

é1.44.001-

.001-1.40

Exemple: Matériau Composite Exemple: Matériau Composite (Gounot & Quintard, 1990)(Gounot & Quintard, 1990)

Keff

22/02/15


M. Quintard

Milieux non-consolidésMilieux non-consolidés

1

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

k k

/

K /e f f

k

e = 0 . 3 6 F o r T h e o re t ic a l C a lc u la t io n s

C o n t in u o u s- p h a s e

C o n t in u o u s - p h a s e

C / a = 0 . 0 2

P R E S T O NW I L H E L M a n d J O H N S O NK R U P I C Z K AV E R S H O O R a n d S C H U I TS H U M A N N a n d V O S SK L I N GW A D D A M SY A G I a n d K U N IG O R R I N G a n d C H U R C H I L LK A N N U L U I K a n d M A R T I N

N O Z A D e t a l . 0 . 3 9 - 0 . 4 1

0 . 3 1 - 0 . 3 50 . 4 50 . 40 . 4 - 0 . 4 90 . 3 80 . 3 5 - 0 . 4 40 . 3 8 - 0 . 4 20 . 4 - 0 . 4 50 . 4 - 0 . 5 20 . 4 - 0 . 4 9

V o i d F r a c t i o n = e

M A X W E L L 0 . 3 6

22/02/15


M. Quintard

Effet des Points de ContactEffet des Points de Contact

k /k

1

1

10

10

100

100

1000

1000

10000 100000

No Contact

Point Contact

Good Contact

c/a = 0.01

k keff*

/

22/02/15


M. Quintard

- expériences:Yagi et al., 1960; Gunn and De Souza, 1974

- Zanotti & Carbonell, 1984: fitted at low Pe, square root dependence at large Pe

- Quintard & al., 1997: 3D results

Particle Peclet Number

1

10

100

1000

1.00 10.00 100.00 1000.00

Experiments

Zanotti and Carbonell (1984)

3D-SC

air-glass system

keff xx

* k/DispersionDispersion

22/02/15


M. Quintard

0 . 1

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

0 . 0 0 4 0 . 0 0 8 0 . 0 0 1 2 0 . 0 0 1 6 0 . 0 0

C e l l P e c l e t N u m b e r

N y l o n - e x p

N y l o n - 3 D

B r a s s - e x p .

B r a s s - 3 D

K

kef

f/

Expériences par Grangeot et al. (1990): Expériences par Grangeot et al. (1990): Assemblage Hexagonal de SphèresAssemblage Hexagonal de Sphères

22/02/15


M. Quintard

Effet de la Taille du Volume de Prise de Effet de la Taille du Volume de Prise de MoyenneMoyenne

2 . 5

2 . 7

2 . 9

3 . 1

3 . 3

3 . 5

0 100 200 300 400

n u m b er o f b lock s ( N x N )

E ( K * y y)

E (K *x x

)

22/02/15


M. Quintard

Effet de la Longueur de CorrélationEffet de la Longueur de Corrélation

m 22x

0

2

4

6

8

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

s i d e o f a v e r a g i n g s u r f a c e / l c

E ( K * x ) ( 1 0 - 1 )

v a r i a n c e = 9 . 2 1

v a r i a n c e = 0 . 2 2 3

s t a n d a r d d e v i a t i o n f o r v a r i a n c e = 9 . 2 1

s t a n d a r d d e v i a t i o n f o r v a r i a n c e = 0 . 2 2 3

22/02/15


M. Quintard

Exemple d’Expériences Non-Equilibre Exemple d’Expériences Non-Equilibre LocalLocal (Ramond et al., 98) (Ramond et al., 98)

IR camera

flash light

t=0

22/02/15


M. Quintard

22/02/15


M. Quintard

Modèles à Non-Equilibre LocalModèles à Non-Equilibre Local

Modèle à 1 équation: Effet des capacités calorifiques– Hsiao and Advani, 1999; Moyne et al., 2000

Modèle à 2 équations– Carbonell & Whitaker, 1984; Zanotti &

Carbonell, 1984; Quintard & Whitaker, 1993; Quintard et al, 1997; Moyne, 1997

22/02/15


M. Quintard

Modèles Heuristiques (Vortmeyer, 74; Schlünder, 75; …)


: tenseurs de dispersion thermique?

: coefficient d ’échange volumique?

( ) ( )*=( ) + ( ) . . .p p v

Tc c T T a h T T

t

e r e r -¶

Ñ Ñ Ñ -¶

v K

( ) ( )*( ) . .p v

Tc T a h T T

t

e r -¶

Ñ Ñ -¶

K

* * , K K

va h

22/02/15


M. Quintard

( ) ( )( ) + ( ) . . .

. . .

p p

v

Tc c T T T

t

T T a h T T

e r e r - -

-

¶Ñ Ñ Ñ

¶

Ñ Ñ + Ñ -

v u u

K K

( ) ( )( ) . .

. . .

p

v

Tc T T

t

T T a h T T

e r - -

-

¶Ñ Ñ

¶

Ñ Ñ + Ñ -

u u

K K


Théorie de prise de moyenne (Carbonell & Whitaker, 84;

Zanotti & Carbonell, 84; Quintard & Whitaker, 93, 95, 97; Quintard et al., 96; …...)

22/02/15


M. Quintard

Problèmes de la modélisation non-Problèmes de la modélisation non-équilibre local: Exemple de la diffusion équilibre local: Exemple de la diffusion purepure Modèles mixtes (éch. pore/éch. locale) Modèles à l’échelle locale, ou modèles à 2

équations Estimation des coefficients d’échange Exemple: conditions aux limites

oscillantes

22/02/15


M. Quintard

homogénéisation (k=(l/L)2k) conduit à: – 1 équation macroscopique pour (avec terme

d’échange)

– 1 problème à l’échelle du pore pour et pour calculer le terme d’échange)

( )( ) .p

TC k T

t

¶r

¶ Ñ Ñ

, in V

T T > , at A et T t ( , ) ( )x x 0

( )e r¶

¶f

( ) . .C

T

tTp Ñ Ñ -K*

Exemple Simple : Diffusion (Exemple Simple : Diffusion (kk<<k<<k))((Arbogast, Auriault, Barenblat & Zheltov, Carbonell, Chen, Douglas, Arbogast, Auriault, Barenblat & Zheltov, Carbonell, Chen, Douglas, Hornung, Moyne, Panfilov, Quintard, Royer, Warren & Root, Whitaker, Hornung, Moyne, Panfilov, Quintard, Royer, Warren & Root, Whitaker, Zanotti…)Zanotti…)

problème mixte!

22/02/15


M. Quintard

Implication Pratique : modèle mixte Implication Pratique : modèle mixte Ech. Pore/ Ech. LocaleEch. Pore/ Ech. Locale

simulation couplée éch. pore et éch. locale

très complexe pour des systèmes hétérogènes

calculs lourds Problème si est une

phase continue?

22/02/15


M. Quintard

Solution Générale (convolution en temps, caractéristique des problèmes de non-équilibre local)

Flux de chaleur formellement écrit comme

T tT

T dt

t

t

¶¶t

t t( , ) ( , )y y >

-

0

avec solution pour ( ), i.e. T =1 pour t>0A

T T Y t

-h t T T( )( )

Exemple Simple (cont.)Exemple Simple (cont.)

22/02/15


M. Quintard

0 . 9

0 . 80 . 60 . 40 . 2 1

0 . 8

0 . 7

1

h a d

t a d

< >T

a d

h ( 2 - E q . )a d

h ¥

( )T T s T T

- -( )x


22/02/15


M. Quintard

Comportement Asymptotique: Approximation de T

– Warren & Root (1962): s(y) paraboles

– Kazemi (1976):

– Formulation Générale : Carbonell & Whitaker, Zanotti & Carbonell, Quintard & Whitaker, Moyne

ht

T Tt¥ ¥

-

lim( )f

( )T T s T t T t

- -( ) ( , ) ( , )y x x

t 1

t 2

t 3

( ) ( )T T s T T gt

T T

¶¶

- - + - +( ) ( ) ...y y


22/02/15


M. Quintard

Coefficient d’Echange (Coefficient d’Echange (//kk))

Note: “inverse problem” (Van Genuchten) agrees with Q & W results

Stratified System 2D-Rectangular

System

3D-Parallelepiped

System

AsymptoticValue

Warren & Root(1963)

Kazemi et al.(1976, 1992)

Quintard &Whitaker

(1992)

22/02/15


M. Quintard

Exemple (cylindre dans une phase Exemple (cylindre dans une phase continue)continue)

22/02/15


M. Quintard

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

3 . 2 3 . 3 3 . 4 3 . 5 3 . 6 3 . 7

c o s ( ' t ' )

< > /T T

T T* /

' = 1 0

t 'Comparison between actual and predicted averagetemperature for oscillatory boundary conditions(t k t C l C l kp p'= '= r r/ ( ) , ( ) /2 2 ).


22/02/15


M. Quintard


'

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 10 100

maximum

relative error

1-eq 2-eq

Validity domain of the two-equation model predictions( r '= ( ) /C l kp

2

22/02/15


M. Quintard

T T

T Ts

-

-

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

?

( )y

( / ; / ( ) .';

( ) / )

k k t k t C l

C l k

p

p

r p

r

¥

'=

'=

2

2

5 252

2

( / ; / ( ) .';

( ) / )

k k t k t C l

C l k

p

p

r p

r

¥

'=

'=

2

2

5 252

200

low frequency

high frequency


22/02/15


M. Quintard

Implication Pratique : Modèles à 2 Implication Pratique : Modèles à 2 équationséquations

2 équations à l’échelle locale

moins précis que les modèles mixtes

peut prendre en compte des hétérogénéités spatiales via des variations des propriétés effectives

22/02/15


M. Quintard

fermeture :

refs: Carbonell & Whitaker, 84; Zanotti & Carbonell, 84; Quintard & Whitaker, 93, 95, 97; Quintard et al., 96; ….. + approximation d’ordre supérieur dans Moyne, 97.

Modèles à deux équations, approche Modèles à deux équations, approche théoriquethéorique

( )( )

. . + ...

. . + ...

T T T s T T

T T T s T T

Ñ + Ñ - -

Ñ + Ñ + -

b b

b b

%

%

22/02/15


M. Quintard

Problem I ( )Problem I ( )T

Ñ

( ) + ( ) . = -1r r e c c kp p~v v b b cÑ Ñ -

2 , in V

B.C. 1. n.k Ñb + n k = n.k Ñb , at A

B.C. 2. b = b , at A

0 2= -1k eÑ -b c , in V

b(r + i) = b(r) , b(r + i) = b(r) , i=1,2,3

b = 0 , b = 0

c = n.k Ñb ; c = n.k Ñb )=-c

22/02/15


M. Quintard

Problem II ( )Problem II ( )T

Ñ

( ) . = - -1r e c kp v b b cÑ Ñ2 , in V

B.C. 1. n.k Ñb = n.k Ñb + n k , at A

B.C. 2. b = b , at A

0 2= - -1k eÑ b c , in V

b(r + i) = b(r) , b(r + i) = b(r) , i=1,2,3

b = 0 , b = 0

c = n.k Ñb ; c = n.k Ñb = - c

22/02/15


M. Quintard

Problem III ( )Problem III ( )( )T T

-

( ) . = - -1r e c s k s hp v Ñ Ñ2 , in V

B.C. 1. n.k Ñs = n.k Ñs , at A

B.C. 2. s = 1 + s , at A

0 2= + -1k s h eÑ , in V

s(r + i) = s(r) , s(r + i) = s(r) , i=1,2,3

s = 0 , s = 0

h = n .k Ñs ; h = - n .k Ñs = h = av h

22/02/15


M. Quintard

K = k (e I + n b) - (rcp)~v b

K = k n b - (rcp)~v b

u = c - k n s + (rcp)~v s

u = c + k n s - (rcp)~v s

K = k n b ; K = k (e I + n b)

u = c + k n s ; u = c - k n

s

a v h+

à partir du Pb III

Propriétés “Effectives” Propriétés “Effectives”

22/02/15


M. Quintard

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

- 0 . 6 3

- 0 . 3 9

- 0 . 1 5

0 . 0 9

0 . 3 2

0 . 5 6

0 . 8 0

1 . 0 4

sExemple: champs Exemple: champs ss

22/02/15


M. Quintard


0 . 1

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 . 0 1

0 . 1

1 0 .

1 0 0 .

k / k =

()

K

xx

/ k

22/02/15


M. Quintard

0 . 0 1

0 . 1

1 0 .

1 0 0 .

k / k =

()

K

xx /

k

- 2 . 5

- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0


22/02/15


M. Quintard


- 0 . 2 5

- 0 . 2

- 0 . 1 5

- 0 . 1

- 0 . 0 5

0

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 . 0 1

0 . 1

1 0

1 0 0

k / k =

()

/ (

) u

cv

x

pr

Termes ConvectifsTermes Convectifs

22/02/15


M. Quintard

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0


S t a g g . / = 0 . 1k k

1 0

I n - l i n e / = 0 . 1k k

1 0

l

x

y

I n - L i n e

l

x

y

S t a g g e r e d

22/02/15


M. Quintard

1

1 0

1 0 0

1 1 0 1 0 0

R e y n o l d s N u m b e r

Nu

ssel

t N

um

ber

W a t e r - B r a s s s y s t e m

W a t e r - N y l o n s y s t e m

W a k a o a n d K a g u e i ,1 9 8 2

Nud

Asf

d +2 11 0 6 1 3. Re Pr. /

Comparaison avec Corrélations classiquesComparaison avec Corrélations classiques

22/02/15


M. Quintard

la Géométrie est très importante Effet du rapport des conductivités est aussi très

important Rôle mineur des termes additionnels? Pour écoulements 1D, approximation:

Influence du nombre de Peclet peut ne pas ressembler aux théories classiques de couche limite

Propriétés Effectives : ComportementPropriétés Effectives : Comportement

( ). . .T T T

Ñ + Ñ » + ÑK K K K

22/02/15


M. Quintard

Exemple: expériences numériquesExemple: expériences numériques

22/02/15


M. Quintard

0 . 0 6 0 6

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

t = . 0

X

( T h . )

( T h . )

( E x . )

( E x . )

22/02/15


M. Quintard

Effet de la GéométrieEffet de la Géométrie

t *

0

0 . 0 0 0 2

0 . 0 0 0 4

0 . 0 0 0 6

0 . 0 0 0 8

0 . 0 0 1

0 . 0 0 1 2

0 . 0 0 1 4

0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

0 . 0 8

0 . 1

0 . 1 2

0 . 1 4

0 . 0 1 0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

k / k

22/02/15


M. Quintard

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0C e l l P e c l e t N u m b e r

B r a s s - e x p .

B r a s s - 2 D

B r a s s - 3 DN y l o n - e x p

N y l o n - 2 DN y l o n - 3 D

Contact point effects

Expériences par Grangeot et al. (1990): Expériences par Grangeot et al. (1990): Sphères, assemblage HexagonalSphères, assemblage Hexagonal

22/02/15


M. Quintard

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

*

2

2

xx xx xx xx xx

p p

v p p

K K K K K

c c U

a h c c

e r e r

e r e r

¥ + + +

++

t¥ (Zanotti & Carbonell, 1984):

bon test pour le choix de avh (Ahmadi et al., 98)

Comportement AsymptotiqueComportement Asymptotique

( ) ( )( ) ( ) ( )* * 2 *

*2p p p xx

T T Tc c c U K

t x x e r e r e r ¥

¶ ¶ ¶+ +

¶ ¶ ¶

effK¹

22/02/15


M. Quintard

Effet de résistances de contactsEffet de résistances de contacts

Nouvelle condition à l’interface -

Même équations macroscopiques :– Note: si R¥ , Þ 2 équations

macroscopiques indépendantes

Différents problèmes de fermeture

( )1B.C.2 . . = at k T k T T T A

R - Ñ - Ñ -n n

22/02/15


M. Quintard

m=km=k/k/k ee==ee=0.5=0.5

01

23

45 m

01

23

45

r

0

5

1 0

1 5

2 0

h *

22/02/15


M. Quintard

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0 . 2 0 . 4

< T > ( t * = 0 . 0 1 )

< T > ( t * = 0 . 0 1 )

T * ( t * = 0 . 0 1 , N = 2 0 )

T * ( t * = 0 . 0 1 , N = 2 0 )

T/T

ma

x

x / L

kk/k/k =500, =500, rrccpp//rrccpp=0.78, =0.78, eemm=25%, R*=100=25%, R*=100

RRk

*

Gobbé et al., 1996

22/02/15


M. Quintard

- p h a s e

- p h a s e

H

Effets de Termes SourcesEffets de Termes Sources 0 , in the -phase Ñ × v

( )( ) ( )

, in the -phase

p p

Tc c T k T

t

r r

¶+ ×Ñ Ñ× Ñ

¶v

B.C.1 , at AT T

B.C.2 , at A

k T k T

× Ñ × Ñ +n n

( )( ) , in the -phasepT

c k Tt

r ¶

Ñ× Ñ +¶

2

, in the -phase

pt

¶

r r r m¶

+ ×Ñ× -Ñ + + Ñv

v v g v

B.C.3 0 , at A v

22/02/15


M. Quintard

Equations moyennesEquations moyennes

accumulationconduction

interfacial flux

1( )

V

1

V

p

A

A

Tc k T T dA

t

k T dA

e r e

e

é ùæ ö¶ ê úç ÷ Ñ × Ñ +ç ÷¶ ê úè øë û

+ × Ñ +

n

n

%1442443

14444444244444443

144424443 homogeneousthermal source

14243

-phase:

-phase:

même équation + termes de dispersion

22/02/15


M. Quintard

Equations à l’échelle du Pore et B.C.Equations à l’échelle du Pore et B.C.

-phase:

BC 1 & 2:

1( )

1 1

p

A

A A

Tc k T k T dA

t V

k T dA k T dAV V

ré ùæ ö

¶ ê úç ÷é ù Ñ× Ñ -Ñ×ë û ê úç ÷¶ ç ÷ê úè øë û

- × Ñ × Ñ + -

n

n n

% %

% %

%

( )TT TT

+ -% %

T Tk k T kTk

× Ñ + × Ñ × Ñ + × Ñ + n n n n% %

source pour non-équilibre local

zéro si terme source constant

22/02/15


M. Quintard

Equilibre Local Equilibre Local

( ) v( )p p

TC c T T a

t

r e r e¶ + ×Ñ Ñ × ×Ñ + +

¶v K

T T T

,T T T T ×Ñ ×Ñ b b% %

( ) ( )p p pC c c r e r e r +avec

( ) ( )( )

V p

A

k kk k dA c

e e r -

+ + - n b v b%K I

pas d’impact des termes sources sur les propriétés effectives

22/02/15


M. Quintard

Application: milieu stratifiéApplication: milieu stratifié

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 10

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

x / L

T

< T >

(n=50)

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 10

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

x / L

T

< T >

(n=10)

22/02/15


M. Quintard

Fermeture (non-équilibre local )Fermeture (non-équilibre local )

Equations Macroscopiques

( )T T T s T T r ×Ñ + ×Ñ - - + b b%

( )T T T s T T r ×Ñ + ×Ñ + - + b b%

( ) ( ) ( )v v

( )

1

pT

c T Tt

T T a h T T a

e r

e

¶ - ×Ñ - ×Ñ

¶

Ñ× ×Ñ + ×Ñ - - + + -

u u

K K

( ) ( )v v

( ) ( )p p

Tc c T T T

t

T T a h T T a

e r e r

¶ + ×Ñ - ×Ñ - ×Ñ

¶

Ñ× ×Ñ + ×Ñ - - +

v u u

K K

coefficient de distribution

22/02/15


M. Quintard

2 1v( ) , in the -phasepc r k r a r e -×Ñ Ñ -v

B.C.1 1 , at k r k r A × Ñ × Ñ +n n

B.C.2 , at r r A 2 1

v0 (1 ) , in the -phasek r a e - Ñ - -Periodicity: ( ) ( ) , ( ) ( ) , =1,2,3i ir r r r i + + r r r r Average: 0 , 0r r

v

1

V A

a k r dA

× Ñ n

Note: propriétés effectives dépendent de b, s, et r , exemple:

Pb IV: distribution des termes sources Pb IV: distribution des termes sources hétérogèneshétérogènes

22/02/15


M. Quintard

Coefficient de Distribution pour des Coefficient de Distribution pour des milieux Simples milieux Simples

l

x

y

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.00.1 1 10 100

Pecell

inlinestaggered

k k 0 4.

k k 10.

k k 10

22/02/15


M. Quintard

Coefficient de Distribution pour des Coefficient de Distribution pour des milieux Simplesmilieux Simples

P e c e l l

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 1 1 1 0 1 0 0

S CS CS C

k k 0 1.k k 1 0.k k 1 0

- cubic array of spheres

-e=0.47

Note: Influence Modérée du nombre de Peclet?

22/02/15


M. Quintard

Influence du rapport des Conductivités Influence du rapport des Conductivités ThermiquesThermiques

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1

0.01 0.1 1 10 100

k / k

0.2

0.5

0.8

e

(stratified system)

si rapport des Conductivités Thermiques > 100: terme source appliqué à la phase la plus conductrice

22/02/15


M. Quintard

Application: Milieux StratifiésApplication: Milieux Stratifiés

Propriétés Effectives :

Expériences Numériques Expériences de Laboratoire

k

k ks b

b s s b

ex

e e=

+

2 ( + ) 12 ( / ) =

+ ( / )va h l l k k

k k kb s s b

b s b s be e

22/02/15


M. Quintard

Thermocouples

Résistance électrique Cellule élémentaire

Exemple :Exemple :

: Cuivre : Polystyrène

=500 W/m2 ; l=l=0.01 m ; (rcp)=106 J/m3 K ; (rcp)=104 J/m3 K

k=100 W/m K ; k=0.1 W/m K

22/02/15


M. Quintard

Comparaison théorie/expérienceComparaison théorie/expérience

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 200 400 600 800 1000 1200

time (s)

Tem

per

atu

re

Tb num. exp.Ts num. exp.

Tb aver. (theor.)Ts aver. (theor.)

22/02/15


M. Quintard

Comportement AsymptotiqueComportement Asymptotique

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1

limp p

vt v p p

c cT T a

a h c c

e r e r

e r e r¥

- -æ ö- ç ÷è ø +

Equilibre Local :

( )(1 )(1 )1

6 /limt

T T

k kl l k

e je j

¥

æ ö- æ ö- -ç ÷ -ç ÷ç ÷ ç ÷+ ç ÷ è øè ø

Cas Général:

Milieu Stratifié:

( )

( ) ( )p

p p

c

c c

e rj

e r e r

æ ö ç ÷ç ÷+è ø

with

22/02/15


M. Quintard

Différence de Température Différence de Température Stationnaire Stationnaire

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.11

10

k /k

0.2

0.50.8

j

j

()

TT

ll

k

-

+

( )

( ) ( )p

p p

c

c c

e rj

e r e r

æ ö ç ÷ç ÷+è ø

22/02/15


M. Quintard

Exemple:Exemple: / 0.5k k

0.091j

0.61j

22/02/15


M. Quintard

Application des Modèles à non-Application des Modèles à non-équilibre localéquilibre local

l >> l : géothermie milieux fracturés problèmes transitoires rapides (mais

pas nécessairement!):– méthodes mesures thermiques

transitoires (Flash)– Sûreté nucléaire,– Effet de termes sources: Combustion,

pyrolyse en milieu poreux

22/02/15


M. Quintard

Exemple: pyrolyse, combustion...Exemple: pyrolyse, combustion...

nozzles

organic composite

(thermal protection)

Exemple: couche ablative de protection (Puiroux, 2002)

outside wall of the nozzle (critical temperature)

22/02/15


M. Quintard

Modèle ConceptuelModèle Conceptuel

L

V

m

V

m

V

g-phase

p-phasei-phase

i-phase

a-phase

ro

Ro

lg

la

Macroscopic scale

Composite scale

Microscopic scale

22/02/15


M. Quintard

TempératureTempérature

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

x/L

T/T

max

inert- phase

active- phase

22/02/15


M. Quintard

PressionPression

0

20

40

60

80

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

x/L

P/P

0

2T model

1T model

t=1 s t=10 s t=30 s

advance of 1T model

22/02/15


M. Quintard

Avancement de la PyrolyseAvancement de la Pyrolyse

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

x/L

p

2T model

1T model

t=1 s t=10 s t=30 s

advance of 1T model

22/02/15


M. Quintard

Sûreté nucléaire: accidents gravesSûreté nucléaire: accidents graves

Contexte:– Three Miles Island 1979,

USA

– Tchernobyl 1986, URSS

Problématique:– Formation de lits de débris

– refroidissement

22/02/15


M. Quintard

Sûreté nucléaire: expériences de Sûreté nucléaire: expériences de renoyagerenoyage

t = 0st = 29st = 41st = 53s

wat

er

Petit et al., 1998

22/02/15


M. Quintard

Combustion en milieux poreuxCombustion en milieux poreuxD= 0.38PeO = 10PeFs = 1.0

D= 0.38PeO = 10PeFs = 10.0

D= 1.37PeO = 10PeFs = 2.8

Déséquilibre thermique

(G. Debenest)(G. Debenest)

22/02/15


M. Quintard

Problème: conditions aux limites?Problème: conditions aux limites?

22/02/15


M. Quintard

1

10

100

1000

0.0001 0.001 0.01 0.1

experiment

theory+boundary layer

theory

e=0.5, (rC )/(rC )=10, k /k =0.01, N=10

t*

T(x*=0)

22/02/15


M. Quintard

Application: convection forcéeApplication: convection forcée

cas T=T0 sur la paroi Rappel Milieu Fluide

y

T ∞

δ

U ∞U ∞ , P ∞ , T ∞

δ Tx

22/02/15


M. Quintard

Milieu poreuxMilieu poreux

2

p f2

0

;

( /( c ) )

yx

x y

x y eff

VV

x y

K P K PV V

x y

T T TV V k

x y y

m m

a a r

¶¶+

¶ ¶¶ ¶

- -¶ ¶

¶ ¶ ¶+

¶ ¶ ¶

0

Note: 0 ;

0

yV

T T y

δ T

y

T ∞

δ

U ∞U ∞ , P ∞ , T ∞

x

22/02/15


M. Quintard

SolutionSolution

, 0 , ( )x yV U V P x U x PK

m¥ ¥ ¥ - +

solution similaire

1/ 2

0

0

( )

x

x

U xPe

yPe

xT T

T T

a

¥

¥

-

-

1" 0

2(0) 0 , ( ) 1

+

¥

2erf

æ ö ç ÷è ø

1/ 2 1/ 20.564 , 1.128x x Leff

hLNu Pe Nu Pe

k

22/02/15


M. Quintard

Application: Convection naturelle en Application: Convection naturelle en milieu poreuxmilieu poreux

Exemple: couche inclinée, RaH=46

t=50000 st=2000 s

t= 0 s t=10000 s

T2> T1

T1

( )p fH

eff f

c Kg H TRa

k

r

D

22/02/15


M. Quintard

Application: Convection naturelle en Application: Convection naturelle en milieu poreuxmilieu poreux

Stabilité

10

100

1000

1 10 100

a

Ra H

n=1n=2n=34 p

2

( ) 22 2 2

2( , )H

nRa n

p aa

a

+

Nombre de Rayleigh critique = 4p2

sin( ) ad adpt i xad adT C n y e ap +

22/02/15


M. Quintard

Flux (corrélation Nu-Ra)Flux (corrélation Nu-Ra)

1

10

100

10 100 1000 10000

Ra H

Nu

Buretta and Berman(1976)Elder (1967)Schneider (1963)Kaneko et al. (1974)Yen (1974)Combarnous and Bories (1975)Gupta and Joseph (1973)Straus (1974)Combarnous and Bia (1971)Wang and Bejan (1987)

22/02/15


M. Quintard

Ecoulement DiphasiqueEcoulement Diphasique

Description à l ’échelle du pore– tension interfaciale

– mouillabilité

Modèle macroscopique Equilibre gravitaire Equation de Buckley-Leverett

22/02/15


M. Quintard

Ecoulement DiphasiqueEcoulement Diphasique

- p h a s e

L

- p h a s e - p h a s e

a v e r a g i n g v o l u m e V

22/02/15


M. Quintard

Interfaces et Modèle de GibbsInterfaces et Modèle de Gibbs

e s p è c e a

e s p è c e b

j

j

j

j

j

x

x

( a ) ( b )

( c )

22/02/15


M. Quintard

Interfaces et Tension InterfacialeInterfaces et Tension Interfacialen

w

A

n

R 1

R 2Avec courbure moyenne:H

( )( )( )( )

.

. 2

T

T

p

p H

m

m

- + Ñ + Ñ

- + Ñ + Ñ +

n n v v

n n v v n

1 2

1 12H

R R +

Si nombre capillaire petit (capillarité prépondérante): Loi de Laplace

( ) 2p p H -

22/02/15


M. Quintard

Ligne triple, mouillabilitéLigne triple, mouillabilité

Ligne triple (formule de Young)

<p/2 : est mouillant >p/2 : est non-mouillant

cos( ) 0 - + -

22/02/15


M. Quintard

Echelle du poreEchelle du pore0Ñ× v

20 p r m -Ñ + + Ñg v

C.L. 1 0 sur A v

C.L. 2 0 sur A v

C.L. 3 sur A v v

( )( )( )( )

C.L. 4

2 sur

T

T

p

p H A

m

m

- + × Ñ + Ñ

- + × Ñ + Ñ +

n n v v

n n v v n

0Ñ× v

20 p r m -Ñ + + Ñg v

22/02/15


M. Quintard

SaturationsSaturations

e Fraction volumique porosité: Saturation:

1 e e -

S e e

Avec:

e e e+

1S S +

22/02/15


M. Quintard

( )

. 0

1.

( )r

S

t

P

k S

e

rm

¶+Ñ

¶

- Ñ -

V

V K g

K K

Modèle MacroscopiqueModèle Macroscopique

pc: pression capillaire kr: perméabilité relative

( )

. 0

1.

( )r

S

t

P

k S

e

rm

¶+Ñ

¶

- Ñ -

V

V K g

K K

( )

1cP P p S

S S

-

+

P p

V v V v P p

22/02/15


M. Quintard

Pression Capillaire et Pression Capillaire et kkrr

S w

k r

1 - S o r 1S w i

Effet bouteille d’encre

V 1 V 2

Effet de « bypass »

Mécanismes d ’hystérésis:

Sw

imbibition

Couple:. w-mouillant. o-non-mouillant

drainage

Pc

1-Sor 1Swi

22/02/15


M. Quintard

Equilibre GravitaireEquilibre Gravitaire

s

g

Frange capillaire

( )c

P

P

p

r

r

r r

Ñ

Ñ

Ñ -

g

g

g

( )1

0( . )c c z

S p p r r-

+ - g x

22/02/15


M. Quintard

Avec mobilité:

Ecoulement 1DEcoulement 1D

Pression capillaire négligeable Vitesse totale constante (V=V+V)

0S f

Vt x e

¶ ¶+

¶ ¶

( )( ) 1 xV M K g

f SV M M M V

r ræ ö- -ç ÷ç ÷+ è ø

r

Mk

aa

a

m

22/02/15


M. Quintard

Ecoulement 1DEcoulement 1D

p c = 0

x

p c ¹ 0

S

22/02/15


M. Quintard

Hydrologie: Zone non saturéeHydrologie: Zone non saturée

Gradient de pression dans l’air négligé

c cP P P P Ñ -Ñ +Ñ -Ñ

On définit la hauteur capillaire:

/c ch P gr

Equation de Richard: r rKk Kk

Pct

er

m m

æ ö æ ö¶ Ñ Ñ -Ñç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷¶ è ø è ø

gg g

on a

à partir de

( )( ) ( ) ( )cc H c c H c

hC h K h h K h

t

æ ö¶ Ñ Ñ -Ñ ç ÷ç ÷¶ è ø

g

gg g

( ) ; ( ) ( ) /c H c r cc

dC h K h Kk h g

dhb

b b

er m= =

22/02/15


M. Quintard

Exemples de Corrélations (sols)Exemples de Corrélations (sols)

- Brooks & Corey (1964)

- Van Genuchten (1980)

- Burdine (1953)

Notation: w (f. mouillant), n (f. n.m.) w wrew

ws wr

Se ee e

-

-

( )1 ( ) 1-1/mn

ew vg cS h m na +

( )/ ,

1 , ew e c c e

ew c e

S h h h h

S h h

l >

£

1

222 20

1 1

2 20 0

(1 )

e

e

See

cScrw ew rn ew

e e

c c

dSdShh

k S k SdS dS

h h

é ùé ùê úê úê úê ú - ê úê úê úê úê úê úë û ë û

22/02/15


M. Quintard

Problèmes Couplés: humidité dans les Problèmes Couplés: humidité dans les milieux poreux, séchagemilieux poreux, séchage

Milieux capillaro-poreux: états de l’eau Courbes de séchage Modélisation Exemple

22/02/15


M. Quintard

Etats de l ’EauEtats de l ’Eau

Eau libre (état funiculaire) Eau piégée par capillarité (état pendulaire)

Eau liée (adsorption)

Teneur en eau base sèche:– W=(masse d ’eau)/(masse de produit sec)

Saturation:– S=(volume d ’eau dans les pores)/Volume de l ’espace poral)

22/02/15


M. Quintard

C e q

¥ C < Ce q e q

¥

Equilibre liquide-vapeurEquilibre liquide-vapeur

Influence des forces capillaires et d’adsorption

22/02/15


M. Quintard

Courbe d ’adsorptionCourbe d ’adsorption

H R

W e q

1

e a u l i b r e

a d s o r p t i o n m u l t i c .

a d s o r p t i o n m o n o c o u c h e

c o n d e n s a t i o n c a p i l l a i r e

22/02/15


M. Quintard

Courbes de séchageCourbes de séchage

d r y a i r / a i r s e c

g

W

F mp h a s e i s e n t h a l p e

n o n h y g r o s c o p i q u eh y g r o s c o p i q u e

W

t

22/02/15


M. Quintard

Echelle du pore

Echelle macroscopique

Equation de bilan de masseEquation de bilan de masse

avec le taux volumique d’évaporation:

( ) ( ). .c

c D ct

rr r

¶+Ñ Ñ Ñ

¶v

( ) ( ). . .c

c c Kt

r er r e

¶+Ñ Ñ Ñ +

¶v D

( )( )1.

A

K c D c dAV

r r - - - Ñ n v w

22/02/15


M. Quintard

Modèle completModèle complet

22/02/15


M. Quintard

Modèle complet (cont.)Modèle complet (cont.)

avec:

et hv: enthalpie de vaporisation

( )( ) ( ) ( ) ( ) .

. .

p p p a a p v v

v eff

Tc c c c T

t

K h T

r r r r ¶ é ù+ + + Ñ ë û¶+ Ñ Ñ

v v v

K

vc c c

r r r e - Ñv v D ×

(1 ) (1 )ac c c

r r r e- - + Ñv v D ×

( , , )c f W T p

22/02/15


M. Quintard

ExempleExemple

x

x

x

x

< T >S

C

L

L

L

L

t 2

t 2

t 2

t 2

t 1

t 1

t 1

t 1

t 3

t 3

t 3

f l u x l i q u i d e

22/02/15


M. Quintard

Dissolution en milieu poreux: exemple Dissolution en milieu poreux: exemple pollution d’une nappe par un fluide pollution d’une nappe par un fluide partiellement misciblepartiellement miscible

Introduction Ecoulements

multiphasiques/multicomposants Dispersion active Coefficient d’échange de masse

22/02/15


M. Quintard

Aquifère pollué par un contaminant Aquifère pollué par un contaminant partiellement misciblepartiellement miscible

z o n e s a t u r é e

Z o n e n o n s a t u r é e

aa

e a u+

a i re a u+

a i r+

h y d r o c .e a u

+h y d r o c .

e a u

22/02/15


M. Quintard

Introduction: cas multiphasique, Introduction: cas multiphasique, multicomposantmulticomposant

équations de bilan

Equations Maxwell-Stefan

+ CL

( )1 1

. ( )c cb N b N

a aa a a a a a ab ab b ba a

b b

a at

rr r

¶+Ñ - + + -

¶ å åv

v v T f P v v

Ta a T T

( ).aa a ar

t

r r

¶+Ñ

¶v

22/02/15


M. Quintard

Problèmes de la modélisationProblèmes de la modélisation

Dispersion dans le cas de systèmes multicomposant?

terme d’échange? Couplage avec les autres équations? réactions chimiques?

( ) ( )1. .

A

A A A A A

A

r dAt V

rr r

¶+Ñ - -

¶ v n v w

22/02/15


M. Quintard

( ) ( )B.C.1 sureq

cc D c

tc c A

¶+Ñ× Ñ× Ñ

¶

v

Exemple: cas d’un système binaireExemple: cas d’un système binaire

( ) ( )B.C.1 sureq

cc D c

tc c A

¶+Ñ× Ñ× Ñ

¶

v

Equations macroscopiques (voir Quintard et Whitaker, 1994)

( ) ( ) eq

cc c c c

t

¶

e e e a¶

+ ×Ñ Ñ× ×Ñ - -v D

( ) ( ) eq

CC C C c

t

¶

e e e a¶

+ ×Ñ Ñ× ×Ñ - -U Dou

-id- pour la phase

22/02/15


M. Quintard

Exemple d’équilibre: benzène-eauExemple d’équilibre: benzène-eau

02 6 3

3 0 3

3 4 3

3 8 3

4 2 3

4 6 3

5 0 3

5 4 3

2 0 4 0 6 0 1 0 0

S o lu b i l i t y ( g ( b e n z . ) / 1 0 0 g )

T(K)

22/02/15


M. Quintard

Equilibre Local / Non-Equilibre LocalEquilibre Local / Non-Equilibre Local

Equilibre Local

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 3 6 9 12 15 18

Volume injecté (l)

Csortie /Ceq Equilibre local

Pe=0,484

Pe=0,58

Pe=0,774

Concentration dans les effluents en fonction du nombre de Péclet (Radilla, 1997)

n o n é q u i l i b re lo c a l

é q u i l ib re lo c a l

x

x

S

S

22/02/15


M. Quintard

Dispersion LongitudinaleDispersion Longitudinale

0 . 1

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0


0 . 2 8 6

0 . 3 3

0 . 3 8 6

0 . 2 8 6

0 . 3 3

0 . 3 8 6

e

()

/D

*

xxD

22/02/15


M. Quintard

Coefficient d’échange (TCE)Coefficient d’échange (TCE)

0.01

0.1

1

10

100

1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

Re

Sh

Aigueperse et Quintard(1994) - 3DMiller et al. (1990)

Powers et al. (1992)

Imhoff et al. (1993)x/dp=180Imhoff et al. (1993)x/dp=1.4Aigueperse and Quintard(1994) - 2D disorderedQuintard and Whitaker(1994) - 2D

22/02/15


M. Quintard

Dissolution de NAPL: Expériences (Radilla, Dissolution de NAPL: Expériences (Radilla, 1997)1997)

22/02/15


M. Quintard

Toluène, Pe=0.48Toluène, Pe=0.48

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 20 40 60 80 100

Z (mm)

Sp

Spr

26

86

165

233

288

PV inject.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500 600

PV

C/C

eq

Exper.

Theor.

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