P.-Y. Lagree, cours ENSTA, Transferts de Masse

7. Transferts de masse

Resume

Nous allons etablir la loi de Fick et faire lanalogie entre lequation dela chaleur et celle de la diffusion. Des applications a` des ecoulements avecchimie puis avec erosion et sedimentation sont suggerees.

Jusqua` present nous navons examine que le cas dun fluide homoge`ne. Orles fluides peuvent etre des melanges de plusieurs espe`ces. Par exemple :

les flammes sont le sie`ge de reaction chimiques exothermiques avec mou-vement

dans un piston on aura un melange air/ essence qui va reagir (moteur a`explosion)...

dans un reacteur chimique on aura plusieurs espe`ces qui vont reagir (ilsagit principalement de convection massique forcee)...

dans une rivie`re on aura de la vase et des particules en suspension... dans une centrale nucleaire on aura des neutrons dans les barres dUra-nium...

dans les centrales, ou les cocottes minutes, on a de leau en ebullition(melange eau/gaz...)...

dans la fumee de lusine on a des polluants (gaz, gouttes ou particules...)... dans le panache de leruption volcanique il y a des cendres... Le Gulf Stream est un exemple de convection thermosolutale : chauffea` lequateur, se refroidit vers les poles, il est aussi plus chaud en surfacequen profondeur, de plus la densite de sel est plus forte en profondeur... ladynamique de lensemble est fondamentale pour les mode`les de climats...

...Nous allons donc poser les equations dans le cadre de la TPI (thermodynamiquedes Processus irreversibles) et les simplifier pour justifier la loi de Fick. Nousinsisterons sur lanalogie forte entre lequation de diffusion et lequation de lachaleur.

7.1. Les equations dans le cadre de la TPI.

7.1.1. Conservation des espe`ces

Dans le cadre la thermodynamique des processus irreversibles il faut intro-duire un nouvel effet qui est le melange de plusieurs espe`ces. Soit c1 le rapport dela masse dune des espe`ces par rapport a` lensemble des espe`ces c1 = 1/

i.

Bien entendu la somme de toutes les concentrations vaut un :

ci = 1. Si ilny a aucun effet de melange (c1 distingue certains elements fluides qui sont en

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Transferts de masse

fait strictement identiques aux autres), on a simplement :

c1t

+ (c1u) = 0

cest a` dire le transfert passif. Si maintenant on admet quil y a un effet demelange cest a` dire que les particules ne suivent plus les lignes de courant, il fautajouter un nouveau terme de flux j1 (de diffusion) a` lequation de conservationainsi quun terme de creation volumique (par exemple par reaction chimique,ou desintegration radioactive...) :

c1t

+ (c1u+ j1) = w1Cette equation est la nouvelle equation de conservation. On aura de meme unetelle equation de conservation pour chaque constituant du melange.

RemarqueCette relation peut se retrouver en faisant un bilan de masse pour chaque consti-tuant ci anime de la vitesse ui :

it

+ (iui) = wien posant pour definition de la vitesse barycentrique, et par definition ds concen-trations :

u =ni=1

iui, ci = i/ avecni=1

i = etni=1

ci = 1,

lecart entre la quantite de mouvement de chaque espe`ce et la vitesse barycen-trique permet de construire ce vecteur ji qui traduit bien lecart du mouvementdu constituant i par rapport a` la moyenne :

it

+ (iu) + ji = wi, avec ji = (iui iu)

La forme de lequation de la masse pour le constituant ecrite avec la concen-tration :

cit

+ (ciu) + ji = wi,

7.1.2. Creation dentropie

Pour simplifier, on suppose dans la suite quil ny a que deux constituants.Cest un melange binaire. Apre`s avoir defini les nouvelles equations de conser-vations, il faut aussi introduire le travail reversible associe. La thermostatiquenous avait appris quil fallait associer a` un changement de concentration lepotentiel chimique . Pour lentropie du melange de disons 1 et 2, on ecriralequation habituelle plus le terme de potentiel chimique :

ds =de

T p2d dc.

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Transferts de masse

est le potentiel chimique du melange (il y a deux constituants cest donc enfait 1dc1 + 2dc2, mais c1 + c2 = 1, on pose donc c = c1, dc = dc1, et doncdc2 = dc, dou` = 1 2, j1 + j2 = 0, j = j1). Il faut ensuite ecrire quela creation dentropie est positive. Apre`s manipulation comme deja` vu, cettecreation dentropie devient pour la partie vectorielle :

q jT 2

T j T

7.1.3 Flux

On en deduit, dans le cadre du premier gradient :

j = T,

q = T + j.Les conditions de symetrie permettent de poursuivre, si on pose = T/ :

j = T,

q = (+ T/)j T.On peut encore transformer a` laide de lenergie libre :

df = sdT + 1dp+ dc.

en posant D = c P,T

, kTDT = T P,c

+ , kp = p1

c P,T/c P,T

Au final :j = D(c+ kT

TT + kp

pp),

q = (+ kT

c P,T T

T P,c)j kT.

On note quil y a des effets croises : Leffet du flux de matie`re sur le flux dechaleur est leffet Dufour q(j,T ). Le flux thermique entrane la diffusion demasse, cest leffet Soret : j(c,T ). Ces effets sont tre`s souvent negligeables,cependant leffet Dufour est parfois pris en compte dans les reacteurs chimiques.Attention, lexistence de plusieurs types de constituants modifie la viscosite dufluide dans lequel ils sont introduits. Pour en tenir compte dans le cadre de laTPI, il faut introduire de nouvelles equations de conservation, par exemple uneequation portant sur la conservation du moment des constituants. On a alorsde nouveaux termes tensoriels a` modeliser dans le cadre du premier gradient...

7.1.4. Au final

Retenons que leffet preponderant est la loi de Fick ecrite ici pour un melangebinaire :

j = Dc,

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Transferts de masse

avecD coefficient de diffusion. On peut en premie`re approximation, si le melangeest tre`s dilue, prendre D constant et constant (le fluide porteur conserve alorstoutes ses caracteristiques pures : , , k, cp.... identiques malgre le melange).

Application immediate, lequation devolution du constituant considere est :

c

t+ (cu) + j1 = w1

dc

dt (Dc) = 0.

donc :dcdt D2c = 0.

On note que cette equation est strictement identique a` lequation de la chaleuren incompressible lorsque lon neglige toutes les sources volumiques.

7.2. Reactions chimiques

7.2.1. Notations

Si les espe`ces peuvent interagir par reaction chimique, le proble`me se com-plique enormement : il y a creation (ou disparition) volumique. On ecrit lareaction sous la forme (

designe la somme sur i) :

viAi

vi Ai,

et il est bien connu que la vitesse de reaction secrit pour lespe`ce j ( designele produit sur i, Mj est la masse molaire de lespe`ce j) :

wj = Mj(kdirectcvii kinversecv

I

I )

7.2.2. Chimie en phase fluide

Lequation de lespe`ce j a donc ce terme source :

dcjdt

D2cj = wj .

Il faut construire ensuite lequation de conservation pour lenergie, il ne faudrapas y oublier les termes de creation volumiques de chaleur par reaction chimiqueni les terme de flux des divers constituants (sans oublier que le cp sera la sommeponderee des differents cpj).

On peut definir un nouveau nombre sans dimensions le Damkohler :

Da =temps convectiftemps chimique

.

Lequation de la concentration devient (ecrite sans dimension) :

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Transferts de masse

dc

dt DUL

2c = Dawa.- Si Da > 1, la reaction est tre`s rapide, lecoulement est en equilibre

chimique, il ne reste que : wa = 0Le proble`me des conditions aux limites est delicat, on le voit au suivant sur

un exemple.

2.7.3. Chimie a` linterface fluide/ solide

Examinons le cas dune reaction chimique qui se produit effectivement uni-quement a` la surface (pour fixer les idees). Dans le fluide, on a seulement trans-port et diffusion de la concentration :

dc

dt DUL

2c = 0

A la surface, on peut imaginer, pour fixer les idees, quil se produit une reactionchimique directe du premier ordre. Lespe`ce chimique Ac dont la concentration

Fig. 1 Une espe`ce chimique Ac de concentration volumique en solution est cse rapproche de la paroi ou` sa concentration surfacique est notee Ac, elle reagitavec une espe`ce en surface AS pour donner le produit en surface As

volumique en solution est c se rapproche de la paroi ou` sa concentration surfa-cique est notee Ac, elle reagit de manie`re directe uniquement avec une espe`ceen surface A (de jauge A0) pour donner le produit en surface As :

Ac +A > As.la cinetique a` la paroi est simplement :

Ast

= At

= Act

= kdirectAcA.

On peut definir une constante de reaction kD telle que kdirectAc = kDc(x, 0)(kdirect et kD nont pas la meme dimension car Ac est surfacique et c(x, 0) est

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Transferts de masse

volumique, 1/(kDc(x, 0)) est le temps caracteristique chimique). Le nombre departicules sortant du fluide (allant vers la paroi) est ( n normale exterieure ey)flux de concentration a` la paroi :

n (Dc) = ey(Dc) = Dc

y,

cest le nombre de particule de c en solution passant par unite de temps a`la paroi (formant lespe`ce fictive Ac) et reagissant avec A, cest exactement letaux de creation de As :

Ast

= Dc

y,

et par la constante de la cinetique du premier ordre :

Dc

y= kDc(x, 0)A.

On a une expression de type mixte liant la derivee normale et la valeur a` laparoi. Le rapport :

Da =temps diffusiftemps chimique

=L2/D

1/(kDA0L1)).

permet de definir un nouveau nombre de Damkohler.- si Da > 1, la reaction chimique est tre`s tre`s rapide, alors c = 0, la paroi

sera dite paroi totalement catalytique pour lespe`ce consideree, la reaction esttotale.

- si Da = 0(1), il faut resoudre la chimie parietale. Remarquons que si A esttre`s dominant, il varie peu, alors kDA est une constante, que lon peut poseregale a` h, ou` h est un coefficient dechange massique, b = h/D est un nombrede Biot massique :

Dc

y= bc.

Nous nen dirons pas plus sur ce sujet des ecoulements reactifs... Si ce nestquils sont importants dans les reacteurs chimiques ( !) mais aussi pour letudedes corps de rentree (dissociation de lair entre londe de choc et la paroi de lanavette...), voire lexplication des taches de couleurs sur la peau des ze`bres oudes leopards (reactions chimiques avec diffusion).

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Transferts de masse

7.3. Analogie avec la thermique

7.3.1. Equations

On a remarque lanalogie entre :

dc

dtD2c = 0, et dT

dt kcp

2T = 0, et dudt

2u = ...

Lequation etant la meme, on reprendra certaines conclusions (en gardant a`lesprit les hypothe`ses de faible concentration et dincompressibilite, tout commelequation de la chaleur ci dessus est valable pour les faibles echauffements eten incompressible), dont celle sur le decouplage entre le flot et la diffusion demasse. Les nombres sans dimension sont calques sur ceux de la thermique : Laconcentration est sans dimensions... On voit que D est homoge`ne a` . On pose :

S =

D.

le nombre de Schmidt (analogue de Prandtl). Il sera aussi dordre un dans lesgaz. On peut definir un nombre de Peclet massique (Qui sera donc le nombrede Reynolds fois le nombre de Schmidt). On definit aussi le nombre de Lewis :

Le =S

Pr=

kcp

D.

Le flux de concentration a` la paroi permet de definir le nombre de Sherwood(analogue du Nusselt) :

Sh = L cn

.

Comme en thermique on pourra donc definir le regime de convection forceemassique qui correspond a` lentranement par lecoulement impose.

7.3.2 Convection forcee massique

Placons nous dans le cadre de la mecanique des fluides incompressibles,- equations dynamiques

u = 0

(u

t+ (u )u) = p+ f + 2u.

- equation de la chaleur en incompressible

(T

t+ (u )T ) = k2T + 2(D : D) + r.

- equation de bilan de masse

(c

t+ (u )c) = D2c.

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Transferts de masse

Pour les conditions aux limites, soit n la coordonnee normale a` la paroi :cas sans transfert de masse a` linterface :

c

n= 0.

* cas avec reaction chimique sur une paroi non catalytique (cest la meme chose) :

c

n= 0.

* cas avec reaction chimique sur une paroi totalement catalytique (reactiontotale) :

c = 0.

* cas avec reaction chimique partielle :

c

n+ bc = 0.

7.3.3. Convection libre massique

Tout comme il y a convection forcee massique, on peut examiner le casde la convection libre massique. Donc de meme ladjonction dun constituantsupplementaire augmente la densite selon :

= 0(1 + ac)

a coefficient de densification. On pourra construire un nombre de Grashof mas-sique :

Gm = 0(ac)gL3/2.

Et en definissant un exce`s de pression (p)p :

- equations dynamiques u = 0

((ut

+ (u )u) = (p)p+ acg + 2u.- equation de bilan de masse

(c

t+ (u )c) = D2c.

On peut aussi envisager des cas du couplage thermique et massique (convec-tion libre thermosolutale)

= 0(1 + ac (T T0))

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Transferts de masse

7.4. Proble`mes de sedimentation erosion

7.4.1. Introduction

Il sagit du proble`me general de transport de sediments (de particules, desable, dalluvions de boues, de dechets) dans un ecoulement de fluide (deau oudair). Les ecoulements envisages sont tous ceux lies aux fleuves et a` la mer, ouau deplacement des dunes de sable. Les ordres de grandeurs vont des rides desable sur la plage qui sont de quelques centime`tres aux bancs de sable (megaripples) de plusieurs centaines de me`tres sous la Manche. Les dunes du Saharavont de 5m a` plusieurs centaines de me`tres.

La complexite vient ici en plus du fait que la presence des particules modifiela viscosite de lecoulement, mais surtout, que le deplacement des particulesmodifie le fond de lecoulement et modifie donc aussi lecoulement lui meme.

On simplifiera en supposant que les sediments sont emportes comme desscalaires passifs par la couche limite (turbulente) avec en plus une vitesse dechute de sedimentation. On netudiera pas ici le proble`me des avalanches quiest un proble`me de transport dans un milieu granulaire.

7.4.2. Mouvement Brownien/ chute de particules : suspension

Prenons un fluide au repos avec des particules en suspension. Sous lac-tion des chocs des molecules une particule solide est animee dun mouvementaleatoire (Brown 1827)... Si les particules sont en plus soumises a` une forceexterieure, la gravite (g), a` letat stationnaire, il y a equilibre entre la tranee(force de frottement fluide sur la particule) et le poids. La tranee est la forcede Stokes (si la vitesse est faible), d est le diame`tre :

F = 6pi(d/2)v.Soit b le coefficient de mobilite, si on pose b = 1/(6pmd/2), alors cv = dbg.dou`

j = Dc+ cbg.comme le potentiel est = TLog(c) + F (p, T ) (cas dilue)

j = DT1+ cbg.

A` lequilibre thermodynamique le flux sannule, or la condition dequilibre est+Ep = constante (Ep energie potentielle), or = g, donc D = Tb. Cestla relation dEinstein (1906).

La description nest pas toujours si simple !Il est convenu de simplifier au maximum en ne faisant apparatre quune

vitesse de chute (settling velocity). On la notera Vf . Nous avons donc :

Vf =(s )gd2

18

Une estimation simpliste de Vf est souvent presentee sous la forme dun equilibreentre la tranee aerodynamique (attention ici prise en V 2f , Stokes netant quune

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Transferts de masse

approximation a` faible vitesse), la poussee dArchime`de et le poids de la particule(d diame`tre, cd coefficient de tranee..).

Vf =

4(s/ 1)gd

3cd.

Par la suite nous prendrons cette vitesse comme un des parame`tres du proble`me.On peut cependant imaginer que cette vitesse nest pas constante, quelle varieavec la densite...

7.4.3. mise en suspension

Mais le vrai proble`me est celui de la mise en suspension. Comment des par-ticules qui etaient initialement posees les unes sur les autres vont brusquementsauter en lair ?

Des arguments du meme type que precedemment laissent penser que = uy(qui est la contrainte de cisaillement au fond, la` ou` est la particule) provoquela force dordre d2 qui entrane la particule si elle est dordre de grandeur deson poids apparent (1/6)(s/ 1)gpid3. On comprend alors limportance duparame`tre de Shields (1936) qui est par definition proportionel au rapport deces deux effets :

S =

(s )gdExperimentalement on mesure une valeur du parame`tre de Shields critique (noteSc) a` partir duquel il peut y avoir mise en suspension et deplacement des parti-cules... Ce phenome`ne a deja` ete remarque par du Boys en 1879 un caillou poseau fond dun courant liquide, peut etre deplace par limpulsion des filets qui lerencontrent : le mouvement aura lieu si la vitesse est superieure a` une certainelimite (...) [qui] depend de la densite, du volume et de la forme du caillou ; elledepend aussi de la densite du liquide.

7.4. deplacement : flux sature

Pre`s du fond il existe une couche tre`s fine nommee bed load. Pour ladefinition de cette couche de charriage, il y a un proble`me : il ny a pasde definition precise... Dans cette couche on a des particules qui se deplacenta` une vitesse qui est encore grosso modo Vf , soit ((s/ 1)gd)1/2 ; le flux departicules (note qs) est environ cette vitesse fois lepaisseur de lecoulement quiest une couche de quelques diame`tres (d). Les correlations en regime turbulentsont donc faites en utilisant cette echelle de flux.

La loi importante, obtenue a` partir de mesurees experimentales, est celle deMeyer Peter & Muller, donne le flux en fonction de lecart au seuil du parame`trede Shields :

qs = ((s/ 1)gd3)1/28( (s )gd 0.047)3/2+ .

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Transferts de masse

Mais il nexiste pas de vrai consensus est des lois de la forme

qs = q0(S Ss) , si S > Ss, et sinon : qs = 0avec differents q0, Ss et , sont utilisees.

7.5 Loi de conservation des sediments

7.5.1 Conservation des sediments

Il nous faut maintenant assembler les differents elements et ecrire une loi deconservation pour les sediments. Soit c la concentration en mouvement, lexpres-sion generale est que la variation est egale au flux et a` la creation interieure :

t

cdV =

q dS + s.

Il modeliser cette conservation, par exemple, si on suppose que la vitesse des

qq

rosion

sdimentation

f(x,t)

Fig. 2 La quantite de materiaux en mouvement varie par le flux en-trant/sortant lerosion et la sedimentation.

sediments en mouvement est la vitesse du fluide plus une vitesse de sedimentationdans le sens de la gravite : u, vVf , et que lon admet lexistence dun courantde diffusion satisfaisant a` la loi de Fick, lequation de conservation de la massepeut secrire :

tc+ u

xc+ (v Vf )

yc =

xDc

x+

yDc

y.

ou` D(c) et Vf (c) sont donnees...Le flux a` la paroi donne la variation du sol f(x) :

f

t= D

c

y|0 + Vfc|0.

sous laction de la deposition Vfc|0 et de lerosion D cy |0. Il faut enfin se donnerune loi derosion sous la forme :

Dcy

|0 = Q0(( s(s )gd )+) , = 3/2

la notation + represente la valeur positive et 0 sinon. Cest ce syste`me quilfaudrait resoudre

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Transferts de masse

7.5.2 Resolution couplee

Se donnant une premie`re forme de fond f(x, t = 0), on doit suivre lademarche suivante :

calcul de lecoulement par resolution des equations de Navier Stokes in-compressibles avec une viscosite corrige de la presence des sediments ensolution

calcul du transport des sediments actualisation du fond.

On voit quil sagit dun proble`me tre`s fortement couple. Il peut etre simplifieen supposant que le temps devolution de la topographie est bien plus long quele temps hydrodynamique, que la viscosite ne varie pas avec la concentration.

7.5.3 Equation integrale simplifiee pour le milieu granulaire

On peut en considerer une version integrale ou globale de la loi de conser-vation. Soit la quantite integrale n qui represente

0

cdy, q represente le fluxtotal en mouvement

0

cudy, on identifie la deposition a` nd = Vfc|0 et lerosiona` ne = D cy |0, dou` :

n

t= nd + ne q

x, et

f

t= nd ne

11

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 0 2 4

Bumpcase p= Acase p=-A

PSfrag

replacem

ents

x

FIG. 3: The linear solution (in the Triple Deck scales) forthe perturbation of the wall shear function of x, in the p = Acase, and in the p = A. The bump perturbation is here epix

2.

The case p = A (subcritical) leads to no upstream influence,the case p = A (supercritical) leads to a strong upstreaminfluence: the skin friction anticipates the bump. The skinfriction is extreme before the maximum of the bump only inthe fluvial case.

qAr

-Vf

qAr

-Vf

c

FIG. 4: The concentration of sediments c (decreasing withaltitude) is passively transported in the flow, it is submitted todiffusion and to a constant falling velocity V f < 0. The skinfriction puts sediments in suspension (source term Ar), thosetwo contributions change the total flux of convected sedimentsq (left figure). A simplified view is displayed on the rightpart where a simple mass balance is done (in a small controlvolume): the sediment flux q is changed by loss proportionalto q (due to sedimentation) and by gain proportional to Arthe pick up function.

Fig. 3 Dans un ecoulement avec erosion et sedimentation, la concentration cen suspension tombe par sedimentation, elle est generee par lerosion (notee Ar,i.e. ne).

Cette equation sert de base a` dautres simplifications. Manifestement, onpeut en premie`re approximation dire que n est a` peu pre`s proportionel a` laconcentration au fond : n = hc(x, 0), h constante. De meme, q =

0

cudy estest a` peu pre`s proportionel a` la concentration au fond et donc a` n : q = hn, constante. La deposition est ainsi proportionelle a` la concentration moyenneen solution, et donc au flux nd = Vfq/(h2). Lerosion est choisie en supposantque lerosion est proportionelle a` lecart du frottement au seuil. Ce choix esttel qua` lequilibre stationnaire et invariant par translation (lorsque lerosion estexactement compensee par la deposition nd ne = 0) on obtienne que le flux

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Transferts de masse

qui circule est exactement le flux sature, qs = q0((S Ss)+) Donc on prend(Q0 = (Vf/h2)q0) :

ne = (Vfh2

)q0((S Ss)+) ,

Lequation de q est alors

(h

Vf)q

t+ (

h2

Vf)q

x+ q = q0((S Ss)+)

En general, le temps mis en jeu est tre`s lent, et lequation secrit :

lsq

x+ q = q0((S Ss)+)

Linterpretation de cette equation est quil faut une certaine distance ls =h2

Vfavant que le flux sature ne soit atteint.Cette formule peut se resumer par les phrases de du Boys, 1879. Commen-

tant la vitesse limite dentranement evoquee par ces predecesseurs, il evoque lanotion de saturation de flux en ces termes une fois une certaine quantite dematie`res en mouvement sur le fond du lit, la vitesse des filets liquides devienttrop faible pour entraner davantage : le cours deau est alors sature. Lexistencedune longueur de saturation est traduite par : un cours deau non sature tenda` le devenir en entranant une partie des materiaux qui composent son lit, et enchoisissant de preference les plus petits.

Dans le cas ou` le temps derosion est tre`s lent, on remarque incidemmentque lequation de levolution du fond secrit aussi (equation dExner 1925) :

f

t= q

x.

7.5.4 Resolution couplee simplifiee

Se donnant une premie`re forme de fond f(x, t = 0), on doit suivre lademarche suivante :

calcul de lecoulement par resolution des equations de Navier Stokes in-compressibles stationnaires, a` viscosite constante, obtention de le frot-tement au fond :

f , par NS calcul du transport des sediments par la relation integrale simplifiee :

q, par ls qx

+ q = qs, & qs = q0(( s)+)

calcul du nouveau fond apre`s erosion et sedimentation par actualisationdu fond,

q f, par lequation dite dExner : ft

= qx

.

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Transferts de masse

On voit quil sagit dun proble`me couple, mais moins que le precedent. Ce typede formulation permet le calcul du deplacement de dunes eoliennes ou sousmarines. 92

u=y

Abbildung 8: A dune in a shear flow,

animation

Carry 2004 / 10. Juni 2004 back to start

Fig. 4 Un exemple de dune numerique. Solution 3D des equations sim-plifiees dans le cas dun ecoulement cisaille.

7.5. Conclusion

- retenons la loi de Fick.- retenons lanalogie formelle (dans le cadre des simplifications faites) entre ladiffusion de la masse et lequation de la chaleur et les nouveaux nombres sansdimensions.- les ecoulements avec reactions chimiques sont tre`s complexes et nont ete qua`peine deflores.- les ecoulements avec erosion et sedimentation, tre`s complexes eux aussi.

7.5 Bibliographie 1

H. Gersten & H. Herwig (1992) Stromungsmechanik Ed. Viewig.J. Fredse and R. Deigaard (1992), Mechanical of coastal sediment transport,Advanced Series on Ocean Engineering World Scientific, Singapore, Vol. 3.P.-Y. Lagree, cours ENSTA, Transferts de masse.L. Landau & E. Lifshitz (1989) Mecanique des fluides ed MIR.A. Leontiev (1985) Theorie des echanges de chaleur et de masse ed. MIR.P. Nielsen (1992), Coastal bottom boundary layers and sediment transport,Advanced Series on Ocean Engineering World Scientific, Singapore, Vol. 4.C.T. Yang, Sediment Transport : Theory and Practice McGraw-Hill, NewYork,1995, p. 480.

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