COTTAZ Céline DESVIGNES Emilie ANTHONIOZ-BLANC Clément VUILLERMET DIT DAVIGNON Nicolas

Quelle est la trajectoire de la Lune autour de la Terre ?

Terminale S1 Lycée Elie Cartan

Olympiades de Physiques 2003-2004

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Sommaire

INTRODUCTION 1. Caractéristiques de la Lune et hypothèse

émise.

a. Les caractéristiques de la Lune. b. Notre hypothèse simplificatrice.

2. Protocole expérimental. 3. Étude expérimentale.

a. Première étape : mesure avec nos photos. b. Deuxième étape : calcul des valeurs

théoriques.

c. Troisième étape : mesures avec des photos prises avec le logiciel «Carte du ciel».

CONCLUSION

Sources

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Introduction

La Lune, seul satellite naturel de la Terre, est en orbite autour de celle-ci depuis des milliards d’années. Quatre fois plus petite que la Terre, elle met environ 27,3 jours pour en faire le tour, soit 27 jours 7 heures et 43 minutes. C’est ce que l’on appelle sa période sidérale. Mais son mouvement ne se limite pas à cette simple révolution. Elle tourne aussi sur elle-même. Ce mouvement s’effectue aussi en 27,3 jours ; c’est pourquoi de la Terre, on observe toujours la même face.

Selon M. BIBLE : « La Lune a été créée pour compter les jours » et selon M. FLAMSTEED : « La Lune, sur le fond du ciel étoilé donne l’heure ». Le mouvement de la Lune est si complexe que Newton disait lui-même qu’il lui donnait mal à la tête.

Quelle est la nature de la trajectoire de la Lune autour de la Terre ? Pour répondre à cette question nous ferons tout d’abord une

hypothèse simplificatrice. Ensuite nous analyserons le protocole expérimental que nous avons utilisé pour répondre à notre interrogation, puis nous appliquerons ce protocole à nos mesures expérimentales, pour enfin conclure sur la nature ce mouvement.

1. Caractéristiques de la Lune et hypothèse émise. a. Les caractéristiques de la Lune.

Carte d’identité de la Lune

? Distance Terre-Lune :

? minimale : 356 410 km ; ? moyenne : 384 400 km ; ? maximale : 406 740 km ;

? Diamètre équatorial : 3 476 km ; ? Rayon : 1 738 km soit 0,2725 le rayon de la Terre ; ? Circonférence 10 927 km ; ? Masse 1/83 de celle de la Terre ; ? Volume 1/50 de celui de la Terre.

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La Lune est aussi appelée : la blonde Phoébé, l’aimable Isis, la charmante Astardé ou encore la Reine des nuits.

La densité moyenne de l’aimable Isis (3,34) ne représente que les trois cinquièmes de la planète bleu, et la force de gravitation n'atteint qu'un sixième de celle observée sur celle-ci. Enfin l'atmosphère lunaire est quasi inexistante. La température à la surface est variable de 117° Celsius à -173° Celsius.

La Reine des nuits tourne autour de la Terre à une distance moyenne

de 384 400 km et à une vitesse variable, moyenne de 3700 km/h. La Lune parcourt en une heure une distance équivalente à celle qui sépare New York de Los-Angeles. Mais attention, la Lune ne tourne pas autour du centre de la terre mais autour du centre de gravité du système Terre-Lune, situé à environ 4600 km du centre de le terre. Ainsi, la distance Terre-Lune varie. Elle est en moyenne de 384 400 km, soit environ trente diamètres terrestres. Lorsque la distance Terre-Lune est minimale (356 410 km), la Lune est au périgée. Quand notre satellite est au plus loin de la Terre (406 740 km), il est à l’apogée. La droite qui joint l’apogée et le périgée est appelée ligne de apsides. A noter que selon les époques, les distances minimales et maximales entre la Terre et la Lune varient : les valeurs citées ci-dessus correspondent aux extrema possibles.

Sur ce dessin, l’échelle n’est pas respectée et l’excentricité de l’orbite de la

Lune est exagérée (en réalité, l’orbite de le lune est presque circulaire). (Http://lecleire.chez.tiscali.fr/guide/extraits.htm)

Son mouvement, défini par la deuxième loi de Kepler, est plus rapide

au périgée et plus lent à l’apogée. Le rapprochement et l’éloignement de la Lune au cours de sa

révolution autour de la Terre se traduisent par une variation maximale de

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12% du diamètre apparent de la Lune vue de la Terre. Au périgée, le diamètre apparent de notre satellite est de 33’32’’ (33 minutes et 32 secondes d’angle) : à l’apogée, il est de 29’23’’. Pour simplifier, on peut dire que le diamètre apparent de la Lune dans le ciel est de l’ordre de 30 minutes, soit ½ degré.

Apogée : diamètre apparent : 29’23’’ - Périgée : diamètre apparent : 33’32’’

L’orbite décrite par la Lune ne se trouve pas sur le même plan que l’écliptique qui est le plan contenant l’orbite terrestre autour du Soleil. Elle est un peu inclinée, d’environ 5°, par rapport à ce plan. Si l’orbite de la Lune n’était pas inclinée de 5°, par rapport à celle de la Terre, il y aurait chaque mois une éclipse lunaire et une éclipse solaire. Les deux points sur lesquels l’orbite de la Lune coupe l’écliptique s’appellent les nœuds (ascendant et descendant) ; la ligne qui les relie se nomme la ligne des nœuds. La Lune est donc tantôt au-dessus de l’écliptique, tantôt au-dessous. Lorsque la Lune se situe à l'un de ces nœuds, une éclipse totale de Soleil ou de Lune peut se produire puisque les trois objets célestes, Terre, Lune et Soleil sont alignés. D'où le nom du plan de l'écliptique !

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Le plan de l’orbite de la Lune est incliné de 5° par rapport au plan de l’écliptique. Sur ce dessin, l’inclinaison a été volontairement exagérée.

(Http://lecleire.chez.tiscali.fr/guide/extraits.htm)

La Lune parcourt son orbite en 27 jours 7 heures 43 minutes. C'est la période de révolution Sidérale, soit le temps mis par la lune pour se retrouver dans une position identique par rapport aux étoiles (vient du Latin " sidus " : étoile). Par contre, pendant ce temps, la Terre continue à tourner autour du Soleil et c'est donc au bout de 29 jours 12 heures 44 minutes que la Lune se retrouve exactement à la même position par rapport au Soleil, c'est le mois lunaire ou lunaison, autrement dit c'est la période de révolution Synodique. Pendant qu'elle effectue une révolution entière autour de la Terre, la Lune accomplit exactement une rotation sur elle-même, cette rotation est dite " synchrone ", ce qui explique pourquoi la Lune présente toujours la même face, cet hémisphère est la partie éclairée par le Soleil. La partie invisible de la Lune depuis notre planète ayant été baptisée la face «cachée» de la Lune.

La Lune n’est pas une étoile car elle n’émet pas sa propre lumière. Elle réfléchit la lumière qu’elle reçoit du Soleil et la diffuse jusque vers la Terre. La lumière met environ une seconde pour nous parvenir de sa surface. Sans la Lune la duré e du jour sur terre serait de 15 heures (vitesse multipliée par 1,6). La Lune évolue sur une trajectoire elliptique comme la quasi totalité des corps en orbite autour d’un astre et présente une excentricité moyenne de 0,05. La Terre, comme le veut la première loi de Kepler occupe l'un des foyers de cette ellipse. Le demi-grand axe de l'ellipse mesure environ 384 400 km, et les deux foyers sont éloignés de 21 100 km environ, soit un peu moins de deux fois le diamètre de la terre.

5°09’

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b. Notre hypothèse simplificatrice.

Ainsi nous avons décidé de vérifier par nous même que la trajectoire de la Lune est elliptique. Mais comme son mouvement autour de la Terre est extrêmement complexe, à cause de la présence du Soleil (problème à trois corps, classique et difficile de mécanique céleste), nous négligerons l’effet du Soleil.

2. Protocole expérimental Tout d’abord, nous nous sommes proposés de prendre des photographies de la Lune avec un appareil numérique. Mais avec les caprices de mère nature, cette tâche n’a pas été des plus simples. Parfois pendant une semaine le temps ne s’y prêtait pas, ce qui explique certaines discontinuités dans notre schéma. Ainsi nous avons pris plusieurs clichés de la Lune.

A partir de ces photographies, nous avons mesuré le diamètre de la Lune en essayant d’être le plus précis possible. Cette fois le problème rencontré s’est produit quand nous avons voulu mesurer le diamètre de la lune alors que seulement un quartier était visible sur le cliché. Il a fallu continuer le cercle en obtenant ainsi une valeur approximative. Ce diamètre mesuré correspond au diamètre apparent de la Lune. Une fois que nous avons mesuré le diamètre de la Lune, nous avons calculé la distance Terre/Lune par la relation suivante :

Avec : d : diamètre apparent de la lune mesuré sur les clichés D t/l : distance Terre-Lune Dl : diamètre de la Lune

d = Dl / (D t/l) donc : D t/l = Dl / d avec : Dl = 3476 km Ainsi la distance Terre-Lune se calcule par la relation : D l = 3476 / d

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Ainsi nous pourrons replacer la Lune sur le tracé de son orbite selon le jour et l’heure (à 12h près) à laquelle nous avons pris les photos. Une fois toutes ces données en main, nous avons tracé l’orbite de la Lune. Depuis un point situé au centre d’une feuille de papier, nous avons d’abord tracé une ligne de référence pour notre première photo, puis avec un rapporteur nous avons divisé un cercle de 360 degrés en 28 parties égales (car la Lune faisant le tour de la Terre en 27 jours 7 heures et 43 minutes nous avons arrondi à 28). Chaque division correspond à un jour. Le long de chaque direction où nous avons pris une photo, nous avons tracé un point à la distance R correspondante (en millimètre) que nous avons calculée. Chacun de ces points représente un point de l’orbite de la Lune. En supposant que l’ellipse de l’orbite est assimilable à un cercle décentré, nous avons trouvé du mieux que nous avons pu le centre du cercle. Ensuite, nous avons ouvert notre compas pour qu’il ait le même rayon que la moyenne de toutes nos valeurs de D et nous avons tracé un cercle qui passe le plus près possible de nos points de l’orbite. Ce cercle représente l’orbite de la Lune. Ce n’est pas une ellipse, mais c’est une bonne approximation.

La Terre est située au niveau du point autour duquel on a mesuré les angles sur notre schéma. Ce point est l’un des deux foyers de l’ellipse. Nous avons tracé son grand axe qui passe par son foyer, et par son centre, qui est aussi le centre du cercle.

Schéma représentant les différents axes de l’orbite

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Enfin nous avons calculé l’excentricité de la Lune à l’aide de la relation suivante :

e = f / a e étant l’excentricité, a la longueur du demi-grand axe et f la distance

entre le centre de l’ellipse et l’un des foyers. L’excentricité est comprise entre 0 et 1. Si l’on obtient une excentricité de 0, l’orbite obtenue est un cercle. Si l’on obtient une excentricité de 1, l’orbite obtenue est une ellipse aplatie, c’est-à-dire un segment. Si l’excentricité obtenue est comprise entre 0 et 1 alors l’orbite est une ellipse plus ou moins arrondie allant d’un cercle bien rond jusqu’à une ellipse bien plate.

Pour finir nous avons construit une maquette représentant la position de la Lune afin de modéliser tout notre travail.

Certaines photos se sont avérées défectueuses pour la suite de notre travail. Cela provient du fait que l’appareil numérique utilisé n’était pas dédié à ce genre de photographies ; c’est-à-dire qu’il a subi une saturation due au trop plein de lumière. Ainsi les photographies se sont avérées floues donc difficilement exploitables. Nos photos étant difficilement exploitables nous avons cherché dans un premier a trouver les valeurs que l’on aurait du logiquement avoir par rapport à la photo la plus juste que nous avons obtenue car nous l’avons prise de jour. Et dans un second temps nous avons pris contact avec un astronome amateur (M. Monchanin), qui nous a montré un logiciel nommé « Carte du Ciel ». Après prise en main du logiciel, nous avons ainsi pu obtenir des photographies de la Lune à la date choisie (du 04 au 31 Janvier 2004). Ensuite par l’intermédiaire d’un logiciel d’image (Adobe ImageReady 7.0.1) nous avons mesuré le diamètre apparent de la Lune (à 10-1mm près). Nous avons ensuite appliqué le même raisonnement que pour les photographies prises dans un premier temps.

3. Étude expérimentale

a. Première étape : mesure avec nos photos.

Voir nos photos page suivante.

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02/10/2003 à 21h46 09/10/2003 à 21h40

10/10/2003 à 20h14 11/10/2003 à 21h45

15/10/2003 à 7h16 16/10/2003 à 7h16

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20/10/2003 à 7h10 29/10/2003 à 17h40 Tableau des mesures de l’orbite de la Lune : dates, diamètre d et distance

Terre-Lune D l/t

Date Heure Diamètre d (en mm) D t/l distance Terre Lune (mm)

02/10/2003 21 h 40 13 267 09/10/2003 21 h 40 24 145 10/10/2003 20 h 14 23 151 11/10/2003 21 h 45 22 158 15/10/2003 7 h 16 15 232 16/10/2003 7 h 16 14 248 20/10/2003 7 h 10 13 277 29/10/2003 17 h 40 12 290

Moyenne de toutes les distances D Terre/Lune : 219,75 mm

Mesure de "a" et "f" : f = 3,0 cm et a = 28,6 cm

calcul de "e" : e = f / a ; e = 3,0/28,6 ; soit : e = 0,10 La valeur théorique étant de 0,05 ; nous obtenons le double donc une incertitude relative de 100%, ce qui est inacceptable ! Avec le schéma nous voyons que cette erreur provient de nos photographies.

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Schéma de l’orbite de la Lune par rapport aux photographies que nous avons prises.

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b. Deuxième étape : calcul des valeurs théoriques.

Nous avons décidé de vérifier avec des calculs faits à partir de

valeurs de distance réelle entre la Terre et la Lune. Pour mettre ces valeurs à l’échelle de notre schéma nous les avons converties avec une relation de proportionnalité entre nos valeurs et celle de la distance Terre-Lune réelle avec un coefficient nommé « K » et on obtient la relation :

Dr = k Dt Avec : Dr : distance réelle Terre-Lune en kilomètre

Dt : distance Terre -Lune théorique sur notre schéma en millimètre.

Pour obtenir le coefficient K il faut que l’une de nos valeurs de distance Terre-Lune, que l’on a calculée soit utilisée pour la distance Terre-Lune théorique d’un jour que l’on notera Ds. En prenant Ds le 9 octobre on a Ds= 290 mm

K = Dr/Ds = 366925 / 290 = 1265 Pour calculer toutes les autres distances Terre-Lune théoriques des autres jours nous avons pris notre formule et on obtient :

Dt = Dr / K Pour une meilleure précision de nos mesures sur notre schéma nous avons rajouté des mesures même si nous n’avions pas fait de photo ces jours là.

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Date D réel (en km) D schéma (en mm) D théorique (en mm) 02/10/200

3 374343 267 296

06/10/2003 386590 … 306

09/10/2003 395063 145 312

10/10/2003 397533 151 314

11/10/2003 399962 158 316

15/10/2003 405021 232 320

16/10/2003 403278 248 319

20/10/2003

384474 267 304

23/10/2003 368965 … 292

26/10/2003 362643 … 290

29/10/2003

366925 290 290

k = 1265 MOYENNE : 277

Schéma de l’orbite de la Lune par rapport aux valeurs théoriques (voir page suivante).

Avec ces valeurs nous obtenons une nouvelle excentricité. En calculant cette excentricité nous obtenons :

e = 1,5 / 30,9 = 0,048

Notre incertitude relative est alors de : 4 % ???

????

? ?100*

05,0

05,0048,0

Ce taux d’erreur étant bien plus faible que celui calculé avec nos mesures issues des photographies, nous avons décidé de faire une maquette de la position de la Lune les jours où nous avons pris nos photos avec ces valeurs théoriques.

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Schéma de l’orbite de la Lune par rapport aux valeurs théoriques.

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c. Troisième étape : mesures avec des photos prises avec le logiciel «Carte du ciel».

4-1-2003 5-1-2004 6-1-2004 7-1-2004 8-1-2004 9-1-2004

10-1-2004 11-1-2004

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12-1-2004 13-1-2004 14-1-2004 15-1-2004 16-1-2004 17-1-2004 18-1-2004 19-1-2004

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20-1-2004 21-1-2004 22-1-2004 23-1-2004 24-1-2004 25-1-2004 26-1-2004 27-1-2004

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28-1-2004 29-1-2004 30-1-2004 31-1-2004

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Tableau des valeurs avec ces nouvelles photos

Date Diamètre de la lune (mm) Distance Terre-Lune (cm) 04/01/2004 158,8 21,89 05/01/2004 159,1 21,85 06/01/2004 160,0 21,72 07/01/2004 160,4 21,67 08/01/2004 161,6 21,51 09/01/2004 161,6 21,51 10/01/2004 163,2 21,3 11/01/2004 163,8 21,22 12/01/2004 165,4 21,02 13/01/2004 166,6 20,86 14/01/2004 167,8 20,71 15/01/2004 169,1 20;56 16/01/2004 170,3 20,41 17/01/1900 171,3 20,29 18/01/2004 172,2 20,29 19/01/2004 172,8 20,12 20/01/2004 172,8 20,12 21/01/2004 171,3 20,29 22/01/2004 170,3 20,41 23/01/2004 168,5 20,63 24/01/2004 167,2 20,79 25/01/2004 165,0 21,07 26/01/2004 162,9 21,34 27/01/2004 161,3 21,55 28/01/2004 160,0 21,72 29/01/2004 159,4 21,81 30/01/2004 158,8 21,89 31/01/2004 158,8 21,89

Excentricité f = 1,2 a = 22,2 e = f /a = 0,054 Nous avons donc une incertitude relative de 8%.

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Schéma de l’orbite de la Lune par rapport aux photographies du logiciel « carte du ciel »

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Conclusion

En conclusion les trois séries de mesures donnent toujours une excentricité strictement supérieure à zéro (comprise entre 0,048 et 0,10) à un pourcentage de marge d’erreur près variant de 100% à 4%. Ainsi ayant une excentricité comprise entre 0 et 1 l’orbite suit une trajectoire elliptique dans tous les cas. Mais cette ellipse est vraiment très proche du cercle…

Sources Sources Internet :

http://www.geospace-online.com/gol-fr/sav/fic/sav-fic-lune-fr.htm document sur l’observation de la Lune

http://lecleire.chez.tiscali.fr/guide/extraits.htm schéma + valeur de l’excentricité de la Lune

http://www.imcce.fr/ longitudes de la Lune+distance Terre-Lune

http://lamap93.free.fr/cours/fjm/chap9.htm document sur le calcul de l’excentricité de la Lune

+ schéma http://astrosurf.com/astropc/cartes/telecharg.html Carte du ciel http://www.telecharger.com Adobe ImageReady 7.0. Sources sur ordinateur :

Encyclopédie ENCARTA 2003

Aide extérieur :

M. BERNARD de l’observatoire de Lyon-Saint-Genis-Laval. M. de SAINTE FOY, M. ROCCHI, Mme MICHEL, professeurs du lycée Elie Cartan. M. MONCHANIN, Astronome amateur.