Traitement Numérique du Signal (Partie 2)...Notes : 15 IV Filtrage Numérique 3.2 Filtres...

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EII2 Traitement Numérique du Signal (Partie 2) Support de cours Olivier SENTIEYS [email protected] http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns/Tns.php

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  • EII2

    Traitement Numérique du Signal

    (Partie 2)

    Support de cours

    Olivier [email protected]

    http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns/Tns.php

  • 2

    Plan du cours Partie II

    IV. Analyse des filtres numériques 1. Spécification, classification, représentation

    2. Analyse fréquentielle

    3. Structures des filtres RII et RIF

    V. Transformées en TNS 1. TFD, convolution linéaire

    2. TFR : Transformée de Fourier Rapide

    VI. Quantification - évaluation de la précision 1. Quantification

    2. Effets de la quantification en TNS

    3

    Plan du cours Partie II (suite)

    VII. Synthèse des filtres numériques RII 1. Invariance Impulsionnelle

    2. Transformation Bilinéaire

    VIII. Synthèse des filtres numériques RIF 1. Introduction

    2. Filtres à Phase Linéaire

    3. Méthode du Fenêtrage

    4. Échantillonnage en Fréquence

  • 4

    Plan du cours (fin)

    IX. Analyse spectrale 1. Effets de la troncature

    2. Caractéristiques des fenêtres

    3. Influence sur l'analyse

    X. Systèmes multi-cadences1. Définition

    2. Décimation

    3. Interpolation

    5

    IV. Analyse des filtres numériques

    1. Spécification, classification, représentation

    2. Analyse fréquentielle

    3. Structures des filtres RII et RIF

  • Notes :

    6

    Définition – Système Linéaire Discret (SLD) modifiant la représentation

    temporelle et fréquentielle de signaux

    1. IntroductionUn filtre numérique peut être représenté par :

    – une fonction de transfert en z : H(z) = Y(z) / X(z)

    Filtre Numérique

    x(n) X(z)y(n) Y(z)

    h(n) H(z)

    IV Filtrage Numérique1 Introduction

    H(z)X(z) Y(z)

  • Notes :

    7

    H(z)X(z) Y(z)

    a) Forme directe

    H1(z)

    X(z)Y(z)

    b) Forme parallèle

    H2(z)

    HM(z)

    . . .

    H1(z)X(z) Y(z)

    c) Forme cascade

    H2(z) HM(z). . .

    IV Filtrage Numérique1 Introduction

    h(n)x(n) y(n)

    ∑∞

    =

    =

    −=

    −=

    0

    0

    )()()(

    ])[()()(

    k

    k

    knhkxny

    TknhkTxnTy

    +

  • Notes :

    8

    IV Filtrage Numérique1 Introduction

    si x(n) = δ(n) alors y(n) = h(n)

    – une équation aux différences (récursive ou non récursive)

    ∑∑==

    −−−=N

    i

    i

    M

    i

    i inyainxbny10

    )(.)(.)(

  • Notes :

    9

    IV Filtrage Numérique2 Spécification d’un filtre numérique

    2. Spécification d’un filtre numérique

    – Gabarit fréquentiel

    Passe-Bas (ou Passe-Haut) défini par sa sélectivité, son ondulation

    en BP et son atténuation en BA

    fFe/2fp

    1

    |H(f)|

    1-δ1

    1+δ1

    δ2

    fa

    f

    fp

    0 dB

    |H(f)| (dB)

    20log(1-δ1)

    20log(1+δ1)

    20logδ2

    fa

    a) Gabarit fréquentiel linéaire b) Gabarit fréquentiel en dB

    Bande passanteBande de transition

    Bande atténuée

  • Notes :

    10

    IV Filtrage Numérique2 Spécification d’un filtre numérique

    Passe-Bande (ou Réjecteur de Bande) défini par sa fréquence

    centrale, sa sélectivité, son ondulation en BP et son atténuation

    en BA

    ffe/2fp+

    1

    |H(f)|

    1-δ1

    1+δ1

    δ2

    fa+fa- fp-

  • Notes :

    11

    IV Filtrage Numérique3 Classification des filtres numériques

    3 Classification des filtres numériques

    Un filtre numérique peut être classé selon :

    – la durée de sa réponse impulsionnellefinie : les filtres RIF ont leur réponse impulsionnelle à support fini i.e. h(n) = 0 pour nN

    infinie : les filtres RII ont leur réponse impulsionnelle à support infinii.e. h(n) ≠ 0 ∀n

    – le type de représentation temporellerécursifs : la sortie y(n) dépend de l’entrée courante, des entrées précédentes et

    des sorties précédentes

    non récursifs : la sortie y(n) ne dépend que de l’entrée courante et des entrées

    précédentes

  • Notes :

    12

    IV Filtrage Numérique3.1 Filtres numériques non récursifs

    3.1 Filtres numériques non récursifs(ou transversaux)

    Les coefficients bn du filtre sont les valeurs de la RI (h(n) = bn). Ceci

    montre qu'un filtre non récursif est à Réponse Impulsionnelle

    Finie (RIF).

    M est appelée la longueur du filtre.

    )()(

    )()(

    )()()(

    )()(

    0

    00

    0

    inbnh

    znhzbzH

    zXzHzY

    inxbny

    M

    i

    i

    M

    n

    nM

    i

    i

    i

    M

    i

    i

    −=⇒

    ==⇒

    =

    −=

    ∑∑

    =

    =

    =

    =

    δ

  • Notes :

    13

    IV Filtrage Numérique3.1 Filtres numériques non récursifs

    • Principales propriétés

    – Les RIF sont toujours stables (pas de pôles)– Les RIF peuvent avoir une caractéristique de phase linéaire

    • Retard constant en fréquence (temps de propagation de groupe)• Pas de distorsion harmonique• Symétrie de la RI

    – A sélectivité équivalente, ils sont toujours plus coûteux (en temps de calcul) que leur équivalent RII

  • Notes :

    14

    IV Filtrage Numérique3.2 Filtres numériques récursifs

    3.2 Filtres numériques récursifs

    En pratique on a N=M, N est appelée l'ordre du filtre.

    )(

    )(

    1

    )(

    )()()(

    1

    0

    10

    zD

    zN

    za

    zb

    zH

    inyainxbny

    N

    i

    i

    i

    M

    i

    i

    i

    N

    i

    i

    M

    i

    i

    =+

    =⇒

    −−−=

    ∑∑

    =

    =

    ==

  • Notes :

    15

    IV Filtrage Numérique3.2 Filtres numériques récursifs

    – Si N(z) n'est pas divisible par D(z) (cas général), on a un nombre

    infini de termes dans la division polynomiale.

    Les coefficients cn sont les valeurs de la RI (h(n) = cn). Ceci montre

    qu'un filtre récursif est, dans le cas général, à Réponse

    Impulsionnelle Infinie (RII).

    – Si N(z) est divisible par D(z) (cas particulier), on a un nombre fini de

    termes dans la division polynomiale. Dans ce cas, le filtre est RIF.

    • Exemple : filtre moyenneur

    ∑∑∞

    =

    −∞

    =

    − ==00

    )()(n

    n

    i

    i

    i znhzczH

  • Notes :

    16

    IV Filtrage Numérique3.2 Filtres numériques récursifs

    – Si N(z)=1 : filtre tout-pôle

    – Si D(z)=1 : filtre RIF

    • Principales propriétés

    – Les RII peuvent être instables : structure à base de pôles et de zéros

    – Bande de transition faible

    – Synthèse par réutilisation des méthodes analogiques

    – Instabilité numérique due au rebouclage : forme cascade plus stable

    )(

    )(

    1

    )(

    1

    0

    zD

    zN

    za

    zb

    zHN

    i

    i

    i

    M

    i

    i

    i

    =+

    =

    =

    =

    =

    =−

    −=

    N

    i

    i

    M

    i

    i

    MN

    pz

    zz

    zbzH

    1

    10

    )(

    )(

    )(

  • Notes :

    17

    IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

    4. Analyse fréquentielleL'analyse fréquentielle est l'étude du module, de la phase et du temps

    de propagation de groupe du filtre H.

    Ω est la pulsation relative : Ω = ωT = 2πfT

    La fonction de transfert en fréquence H(ejΩ) est périodique de période

    2π.

    Ω2π

    |H(ejΩ)|

    π

    ΩΩ

    == j

    j

    ezzH

    eH)(

    )(

  • Notes :

    18

    IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

    ConclusionTrois domaines de représentation

    – Temporel h(n), équation aux différences

    – Fonction de transfert en z, diagramme des pôles/zéros

    – Fréquentiel H(Ω), module, phase

    ΩΩ

    == j

    j

    ez

    zHeH

    )()(

    0 1

    ( )

    ( ) . ( ) . ( )M N

    i i

    i i

    h n

    y n b x n i a y n i= =

    = − − −∑ ∑

    ∑∑∞

    =

    −∞

    =

    − ==00

    )()(n

    n

    i

    i

    i znhzczH

    TZ

    TZI

    jz e Ω=

    TF TFI

  • Notes :

    19

    IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

    Exemple 1

    pordre1.avi

    ( )

    1 1

    zH z

    z a

    a

    a

    =−

    − ≤ ≤

  • Notes :

    20

    IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

    Exemple 2

    pzordre1.avi

    ( )

    ,

    0.9 , 0.9

    zH z

    z a

    a b

    a b

    =−

    − ≤ ≤

  • Notes :

    21

    IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

    Exemple 3

    paordre2.avi

    ( )( )( *)

    1

    zH z

    z p z p

    p

    p

    =− −

  • Notes :

    22

    IV Filtrage Numérique4 Analyse fréquentielle

    Exemple 4

    prordre2.avi

    ( )( )( *)

    0.9

    zH z

    z p z p

    p

    p

    =− −

    =

  • Notes :

    23

    IV Filtrage Numérique5 Structures de réalisation

    5. Structures de réalisation– Filtres RIF

    ∑=

    −=N

    i

    i inxbny0

    )()(

    +

    +

    +

    Z-1

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    x(n-1)

    x(n-N)

    x(n) y(n)b0

    +

    Z-1

    +

    Z-1

    +

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    y(n)b0

    x(n)

    a) Structure directe b) Structure transposée

  • Notes :

    24

    IV Filtrage Numérique5 Structures de réalisation

    – Filtres RII

    ∑∑

    ∑∑

    =

    −=

    ==

    +×=×==⇒

    −−−=

    N

    i

    i

    i

    N

    i

    i

    i

    N

    i

    i

    N

    i

    i

    za

    zbzD

    zNzD

    zNzH

    inyainxbny

    1

    0

    10

    1

    1

    )(

    1)(

    )(

    )()(

    )()()(

    RII

    Z-1

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    x(n-1)

    x(n-N)

    x(n) y(n)

    Z-1

    Z-1

    -a1

    -aN-1

    -aN

    y(n-1)

    y(n-N)

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Z-1

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    x(n) y(n)

    Z-1

    Z-1

    -a1

    -aN-1

    -aN

    +

    +

    +

    RIF

    a) Structure directe

    b0 b0

  • Notes :

    25

    IV Filtrage Numérique5 Structures de réalisation

    – Filtres RII

    −=

    −−=

    =

    =

    ×+

    =×=

    ∑∑

    =

    =

    =

    =

    N

    i

    i

    N

    i

    i

    N

    i

    i

    iN

    i

    i

    i

    inwbny

    inwanxnw

    zWzNzY

    zXzD

    zW

    zb

    za

    zNzD

    zH

    0

    1

    0

    1

    )()(

    )()()(

    )().()(

    )(.)(

    1)(

    1

    1)(

    )(

    1)(

    x(n) y(n)

    RII

    Z-1

    Z-1

    -a1

    -aN-1

    -aN

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Z-1

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    RIF

    b0w(n)

  • Notes :

    26

    IV Filtrage Numérique5 Structures de réalisation

    – Filtres RII

    – Forme cascade de filtres du second ordreb) Structure canonique transposée

    +

    Z-1

    +

    Z-1

    -a1

    -aN-1

    -aN

    +

    +

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    y(n)b0

    x(n)y(n)

    Z-1

    Z-1

    -a1

    -aN-1

    -aN

    Z-1

    b1

    bN-1

    bN

    b0x(n) +

    +

    +

    +

    +

    +

    w(n)

    w(n-1)

    w(n-N)

    ∏∏+

    =−−

    −−+

    = ++

    ++==

    2

    1

    12

    2,

    1

    1,

    2

    2,

    1

    1,0,2

    1

    1 1)()(

    N

    i ii

    iii

    N

    i zaza

    zbzbbzHizH

    H1(z)X(z) Y(z)

    H2(z) HK(z). . .

    a) Structure canonique directe

  • Notes :

    27

    V. Transformées en TNS

    1. TFD, convolution linéaire

    2. TFR : Transformée de Fourier Rapide

  • Notes :

    28

    V Transformées en TNS1 Rappels

    • TFSD : Transformée de Fourier d'un Signal Discret

    x(nT) non périodique

    • Propriétés– Linéarité

    – Décalage en temps/fréquence

    – Produit de convolution en temps/fréquence

    – Théorème de Parseval

    – Transformées de fonctions réelles

    Ω=

    =

    =

    −∞=

    Ω−Ω

    −∞=

    deeXnTx

    enTxeX

    enTxeX

    jnj

    n

    jnj

    n

    TjnTj

    π

    π

    ωω

    π)(

    2

    1)(

    )()(

    )()(

  • Notes :

    29

    V Transformées en TNS2 Transformée de Fourier Discrète

    • TFD– En pratique, on prend seulement un nombre fini d'échantillons de

    x(nT). On ne peut donc obtenir qu'un nombre fini d'échantillons

    fréquentiels de X(ejΩ).

    −==

    −==

    ∑−

    =

    +

    =

    1

    0

    2

    1

    0

    2

    1..0)(1

    )(

    1..0)()(

    N

    k

    N

    nkj

    N

    n

    N

    nkj

    NnekXN

    nx

    NkenxkX

    π

    πx(n) est considéré comme périodique de période N, x(n) = x(n+qN)

    X(k) est donc également périodique de période N, X(k) = X(k+qN)

    n

    x(n)

    N-1

    Pas temporel : T=1/Fe

    k

    X(k)

    N-1

    Pas fréquentiel : 1/NT=Fe/N

    TFD

  • Notes :

    30

    V Transformées en TNS2 Transformée de Fourier Discrète

    • Propriétés– Linéarité

    – Décalage en temps/fréquence

    – Produit de convolution en temps/fréquence• Convolution discrète

    • Convolution circulaire (ou périodique)

    – Théorème de Parseval

    – Transformées de fonctions réelles

    • Relation entre TFSD et TFD– Signaux de durée finie ou périodique

    – Cas général ?

  • Notes :

    31

    TFD

    X(k) ⇔x(n)

    x(n) et X(k) sont, dans le cas général, des nombres complexes.

    X = W . x (2)

    X(0)

    X(1)

    .

    .

    X(N-1)

    =

    1 1 . . 1

    1 WN1

    WN2

    . WNN-1

    . WN2

    WN4

    . WN2(N-1)

    . . . . .

    1 WNN-1

    WN2(N-1)

    . WN(N-1) 2

    × x(0)

    x(1)

    .

    .

    x(N-1)

    • Définition

    • Forme Matricielle

    V Transformées en TNS2 Transformée de Fourier Discrète

    −==

    −==

    ∑−

    =

    +

    =

    1

    0

    2

    1

    0

    2

    1..0)(1

    )(

    1..0)()(

    N

    k

    N

    nkj

    N

    n

    N

    nkj

    NnekXN

    nx

    NkenxkX

    π

    π

    nkN

    j

    kn

    N

    N

    j

    N

    eW

    eW

    π

    π

    2

    2

    =

    =

  • Notes :

    32

    V Transformées en TNS2 Transformée de Fourier Discrète

    La TFD revient à calculer un produit matrice-vecteur où chaque élément est de type complexe. La complexité de calcul de la TFD est de N2 multiplications, et de N(N-1) additions sur des nombres complexes. Ceci revient à une complexité de 4N2

    multiplications réelles et N(4N-2) additions réelles. Cet algorithme se comporte donc en O(N2), mais ne possède pas de problèmes d'adressage car les x(n) et les Wi sont rangés dans l'ordre en mémoire.

    Complexité de calcul

    – En 1965, Cooley et Tuckey [COOLEY 65] ont publié un algorithme applicable quand N est le produit de 2 ou plusieurs entiers dont la complexité est en O(Nlog2N)

    Wk(N-n)N = (W

    knN )* (3.1)

    WknN = W

    k(n+N)N = W

    (k+N)nN (3.2) Périodicité

    Wn+N/2N = -W

    nN (3.3) Symétrie

    W2knN = W

    knN/2 (3.4)

    Propriétés des Wn

    N = e -2jπ

    nN

  • Notes :

    33

    En exploitant la propriété 3.4, on obtient :

    (4)

    où G(k): TFD sur N/2 points d'indices pairs,H(k): TFD sur N/2 points d'indices impairs.

    X(k)= x(n).WNnk

    n pair

    ∑ + x(n).WNnknimpair

    X(k)= x(2n)n=0

    N/2−1

    ∑ .WN2nk + x(2n +1)n=0

    N/2−1

    ∑ .WN(2n+1)k

    X(k)= x(2n)n=0

    N/2−1

    ∑ .WN/2nk +WNk. x(2n+ 1)n=0

    N/2−1

    ∑ .WN/2nk

    X(k)= G(k) + WNk .H(k) k =0,1,...., N−1

    X(k +N

    2) = x(2n)

    n=0

    N/2−1

    ∑ .WN/2n(k+N/2) + WNk+N/2. x(2n +1)n=0

    N/2−1

    ∑ .WN/2n(k+N/2)

    X(k +N

    2) = G(k)−WN

    k.H(k)

    V Transformées en TNS3 Transformée de Fourier Rapide

    • TFR (FFT) partagée dans le temps (DIT)

  • Notes :

    34

    ••• TFR DIT •••

    x(0)

    x(2)

    x(4)

    x(6)

    x(1)

    x(3)

    x(5)

    x(7)

    TFD

    N/2 pts

    TFD

    N/2 pts

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    W80

    W81

    W82

    W83

    W84

    W85

    W86

    W87

    O(N )2 O(N)

    Xm(p)

    Xm(q)

    Xm+1 (p)

    Xm+1 (q)

    -1WNr

    Xm+1 (p) = X m(p) + WrN Xm(q)

    Xm+1 (q) = X m(p) - WrN Xm(q) (6)

    Complexité d'un papillon : 1 multiplication complexe, 2 additions/soustractions complexes

    Papillon DIT

    N/2 papillons2 TFD de taille N/2

  • Notes :

    35

    ••• TFR DIT •••

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    so

    rtie

    ord

    re n

    orm

    al

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    en

    tré

    e o

    rdre

    bit-r

    eve

    rse

    d

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    0

    2

    4

    6

    0

    2

    4

    6

    0

    2

    FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 points

    A

    B

    A'

    B'

    FFT FFT inverse

    A' = A + BW B' = A - BW W= e

    A' = A + BW B' = A - BW W= e

    k -kk

    k -k

    DIT:

    (Décimation en

    temps)

    -2j π

    N

    -2j π

    N

    0

    2

    0

    2

    0

    2

    N2

    log2N multiplications de nombres complexes,

    N log2N additions/soustractions de nombres complexes, ou,

    2 N log2N multiplications de nombre réels,3 N log2N additions/soustractions de nombre réels.

  • Notes :

    36

    ••• TFR DIF •••

    X(0)

    X(2)

    X(4)

    X(6)

    X(1)

    X(3)

    X(5)

    X(7)

    TFD N/2 pts

    TFD N/2 pts

    x(0)

    x(1)

    x(2)

    x(3)

    x(4)

    x(5)

    x(6)

    x(7)

    W80

    W81

    W82

    W83

    Xm(p)

    Xm(q)

    Xm+1 (p)

    Xm+1 (q)

    -1 WNr

    Xm+1(p) = Xm(p) + Xm(q)

    Xm+1(q) = [Xm(p) - Xm(q)] WrN (8)

    • TFR (FFT) partagée dans les fréquences (DIF)

    (7)

    X(k) = x(n)n=0

    N/ 2−1

    ∑ .WNnk + x(n)n=N/ 2

    N−1

    ∑ .WNnk

    X(k) = x(n)n=0

    N/ 2−1

    ∑ .WNnk + WNk.N/ 2

    . x(n +N

    2)

    n=0

    N/2-1

    ∑ .WNnk

    X(k) = x(n) + (−1)k .x(n +N

    2)

    n=0

    N/ 2−1

    ∑ WNnk[ ]

  • Notes :

    37

    ••• TFR DIF

    A

    B

    A'

    B'

    FFT FFT inverse

    A' = A + B B' = (A-B) W W= e

    A' = A + B B' = (A-B) W W= e

    k -k k

    -2j π

    N

    -2j π

    N

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    0

    2

    4

    6

    0

    2

    4

    6

    0

    4

    0

    4

    0

    4

    0

    4 0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    FFT DIF RADIX-2 en place sur 16 points

    entr

    ée:

    ord

    re n

    orm

    al

    sort

    ie:

    ord

    re b

    it-r

    ever

    sed

    DIF: (Décimation en

    fréquence)

  • Notes :

    38

    Transformée de Fourier Rapide

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    4

    4

    4

    4

    0

    0

    0

    0

    7

    3

    5

    1

    6

    2

    4

    0

    6

    6

    2

    2

    4

    4

    0

    0

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    en

    tré

    e:

    ord

    re n

    orm

    al

    so

    rtie

    : o

    rdre

    bit-r

    eve

    rse

    d

    FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 points

    A

    B

    A'

    B'

    FFT FFT inverse

    A' = A + BW B' = A - BW W= e

    A' = A + BW B' = A - BW W= e

    k -kk

    k -k

    DIT:

    (Décimation en

    temps)

    -2j π

    N

    -2j π

    N

  • Notes :

    39

    Transformée de Fourier Rapide

    A

    B

    A'

    B'

    FFT FFT inverse

    A' = A + B•W B' = A - B•W W= e

    A' = A + B•W B' = A - B•W W= e

    k -k

    -2jš

    N

    FFT GEOMETRIE CONSTANTE sur 16 points

    entr

    ée:

    ord

    re b

    it-r

    ever

    sed

    sort

    ie:

    ord

    re n

    orm

    al

    Géométrie

    Constante

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    k-2jš N

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    4

    4

    4

    4

    0

    2

    4

    6

    0

    2

    4

    6

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    k -k

  • Notes :

    40

    Transformée de Fourier Rapide

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    X(0)

    X(1)

    X(2)

    X(3)

    X(4)

    X(5)

    X(6)

    X(7)

    X(8)

    X(9)

    X(10)

    X(11)

    X(12)

    X(13)

    X(14)

    X(15)

    FFT DIF RADIX-4 en place sur 16 points

    entr

    ée:

    ord

    re n

    orm

    al

    sort

    ie:

    ord

    re b

    it-r

    ever

    sed

    0

    1

    2

    3

    0

    0

    0

    0

    FFT FFT inverse

    A' = A+B+C+D B' = (A-jB-C+jD)W C' = (A-B+C-D)W D' = (A+jB-C-jD)W W = e

    k

    2k

    -2jš N

    A

    D

    B

    C

    A'

    D'

    B'

    C'

    k

    2k

    3k

    3k

    A' = A+B+C+D B' = (A-jB-C+jD)W C' = (A-B+C-D)W D' = (A+jB-C-jD)W W = e

    -k

    -2k

    -2jš N

    -3k

  • Notes :

    41

    V.4 Convolution et corrélation1 Définitions

    • Corrélation– Soit x1 et x2, 2 signaux de durée finie [0 ... N-1], la corrélation est :

    • Convolution linéaire– Soit x et h, 2 signaux de durée finie respectivement N et M, la

    convolution est définie par :

    Le signal y(n) est de durée [0 ... N+M-2]

    ∑−

    =

    +=1

    0

    21 )()()(N

    i

    nixixny

    ∑∑∞

    =

    =

    −=−=

    ∗=

    00

    )()()()()(

    ))(()(

    ii

    inxihinhixny

    nhxny

  • Notes :

    42

    V.4 Convolution et corrélation1 Définitions

    • Exemple de convolutionN > M

    i

    x(i)

    N-1 i

    h(i)

    M-1

    i

    h(-i)

    *

    ∑=

    −=n

    i

    inhixny0

    )()()(

    n

    y(n)

    in

    h(n-i)

    n-M+1

    N+M-2

    ∑∞

    =

    −=0

    )()()(i

    inhixny

  • Notes :

    43

    V.4 Convolution et corrélation1 Définitions

    • Propriétés– Y(z) = H(z) X(z) (TZ)

    – Y(k) ≠ H(k) X(k) (TFD)

    • Vue matricielle de la convolution

    � O(N2)

    ×

    −=

    −+ )1(

    .

    .

    )1(

    )0(

    )1(..00

    )0(...0

    0...)1(

    0..)0(.

    0..0)0(

    )2(

    .

    .

    )1(

    )0(

    Nx

    y

    x

    Mh

    h

    Mh

    h

    h

    MNy

    y

    y

  • Notes :

    44

    V.4 Convolution et corrélation2 Convolution circulaire

    • Convolution circulaire– Soit x et h, 2 signaux périodiques de période N, la convolution

    circulaire est définie par :

    Le signal y(n) est de période N

    h(n-i) est évalué modulo N

    TFD : Y(k) = H(k).X(k)

    )()()(

    )()()(1

    0

    nhnxny

    inhixnyN

    i

    ∗=

    −= ∑−

    =

  • Notes :

    45

    V.4 Convolution et corrélation2 Convolution circulaire

    • Convolution circulaire– On passe de la convolution circulaire à la convolution linéaire en

    remplissant de zéros chaque séquence jusqu'à M+N-1

    *

    {x(n)}{0….0}

    N+M-1

    {h(n)}{0….0}

    {y(n)}

  • Notes :

    46

    V.4 Convolution et corrélation3 Convolution rapide

    • Convolution rapide– Passer dans le domaine de Fourier par une TFD : la convolution se

    transforme en produit

    – Utiliser la FFT sur P points pour accélérer les calculs

    – Compléter les suites x(n) et h(n) par des zéros jusqu’à P >

    N+M-2, avec P = 2p.

    � O(Nlog2N)

    X

    {x(n)}{0….0}

    Longueur P

    {h(n)}{0….0}

    {y(n)}

    FFT

    FFT

    FFT-1

  • Notes :

    47

    V.4 Convolution et corrélation3 Convolution rapide

    – Problème : h(n) et x(n) doivent être de durée finie

    – Application : FIR rapide• h(n) de durée M : H(k) peut être calculé une fois pour toute

    • x(n) de durée infinie

    • Convolution sectionnée– x(n), de durée infinie, est découpé en blocs xk de taille M

    ∑∞

    −∞=

    −∞=

    =

    =

    +

  • Notes :

    48

    V.4 Convolution et corrélation3 Convolution rapide

    • Méthode OLA (Overlap Add)– Blocs xk de taille M

    – Addition des recouvrements entre les yk

    • Méthode OLS (Overlap Save)– Blocs xk de taille N+M avec recouvrement

    – Troncature des yk sur M points, addition entre les yk

  • Notes :

    49

    VI QuantificationÉvaluation de la précision

    Introduction : pourquoi la quantification ?

    1. Formats de codage (rappels)Virgule fixe, complément-à-2

    2. Modèle de quantificationCaractéristiques de quantificationModèle de bruit, caractéristiques de dépassement

    3. Bruit de conversionFiltrage d’un bruit

    4. Limitation des chemins de données

    5. Effets en TNSFiltrage RIF, RII, cycles limites, quantification des coefficients

  • Notes :

    50

    Codage en virgule fixe complément à 2

    • Rappel codage en virgule fixe

    • m : distance (en nombre de bits) entre la position du bit le plus significatif pMSB et la position de la virgule pV

    • n : distance entre la position de la virgule pV et la position du bit le moins significatif pLSB

    S bm-1 bm-2 b1 b0 b-1 b-2 b-n+2 b-nb-n+1

    2-n

    2-121 20

    Partie entière Partie fractionnaire

    ∑−

    −=

    +−=1

    22m

    ni

    i

    i

    mbSx

    m npMSB

    pLSB2m-1-2m

  • Notes :

    51

    Qx(n) xQ(n) = Q[x(n)] = k.q x(n) xQ(n)+

    e(n) = Q[x(n)] - x(n)

    VI Quantification2 Modèle en VFCG

    • Modèle bruit additif

    – Définition : approximation de chaque valeur d’un signal x(n) par un

    multiple entier du pas de quantification élémentaire q.

    – e(n) est l’erreur de quantification

    • Sources de bruit– Bruit de conversion A/N

    – Limitation des chemins de données de l’architecture cibleÉlimination de bits lors d’un changement de format

  • Notes :

    52

    VI Quantification2 Caractéristiques de quantification

    (a) Arrondi

    Q(x) = k.q si (k-0.5).q ≤ x < (k+0.5).q

    (b) Troncature

    Q(x) = k.q si k.q ≤ x < (k+1).q

    Q(x)

    3q

    2q

    q xq 2q

    Q(x)

    3q

    2q

    q xq 2q

    P(e)

    1/q

    q/2-q/2

    e

    P(e)

    1/q

    0-q

    e

    Etude statistique

    • {e(n)} est une séquence d’un processus aléatoire continu et stationnaire

    • {e(n)} est décorrélée de {x(n)}

    • {e(n)} est un bruit blanc additif

    • la distribution de probabilité de {e(n)} est uniforme sur l’intervalle de quantification

    • ergodicité : moyennes temporelles = moyennes statistiques

    • moyenne me = moyenne temporelle

    • variance σe2 = puissance du bruit

    variance = q2/12

  • Notes :

    53

    VI Quantification2 Caractéristiques de quantification

    • Bruit lié à l’élimination de k bits

    • Processus aléatoire discret

    • Moments

    S bm-1 b0 b-1 b-n+2 b-nb-n+1b-j-1b-j

    2-n2-120

    n

    2m-1 2-j-12-j

    j k

    Bits restants Bits supprimés

    )( ep

    ne 2.

    )( ep

    ne 2.

    (a) Arrondi (b) Troncature

    ( )kbb

    q 22

    2 2112

    0 −−== σµ ( ) ( )kbkb qq 22

    2 2112

    212

    −− −=−= σµ

    ( )jq −= 2

  • Notes :

    54

    VI Quantification2 Caractéristiques de dépassement

    Dx(n) D[x(n)]

    – Valeurs de x(n) lorsqu'il sort de la dynamique de codage

    Saturation

    – Complexe

    – Moins d'effets indésirables

    Modulaire

    – Effets indésirables

    Xmax

    XmaxXmax

    D(x) D(x)

  • Notes :

    55

    VI Quantification2 Caractéristiques de dépassement

    – Afin d'éviter le dépassement, on diminue l'amplitude avant ou

    pendant le traitement par un facteur d'échelle A < 1 (scaling).

    • A peut être combiné avec les valeurs des coefficients• A puissance de 2 (en pratique)

    • Critères– Critère du pire-cas (ou norme L1)

    Pas de dépassement tant que |x(n)|

  • Notes :

    56

    VI Quantification3 Bruit de conversion A/N

    xQ(n) = Q[x(n)]

    e(n) = xQ(n) - x(n)

    |e(n)| ≤≤≤≤ q/2

    Quantification en conversion A/N Quantification d'une sinusoïde

    n

    x(n)

    3q

    2q

    q

    n

    xQ(n)

    3q

    2q

    q

    n

    e(n)

    q/2

    - q/2

    CANx(n) xQ(n)

  • Notes :

    57

    CAN

    Q

    x(n) x(n) xQ(n)+

    e(n)

    Filtre

    H(z)

    xQ(n) y(n)Filtre

    H(z)

    y(n)

    Filtrage d'un bruit

    • Exemple : filtrage du bruit de conversion

    • En entrée du filtre– Signal x(n) + Bruit de conversion e(n)

    Le RSB augmente de 6dB par bit ajouté

    2

    2)1(2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    log1077.402.6log10

    2.1212/

    ',12

    xdB

    x

    bx

    e

    x

    xe

    bRSBRSB

    qRSB

    entréedsignaldupuissanceq

    σ

    σσ

    σσ

    σσ

    ++==

    ===

    =

  • Notes :

    58

    VI Quantification4 Limitation des chemins de données

    • Limitation des chemins de données de l’architecture cible– Multiplication => Quantification

    – Addition => Débordement

    0,1101 0,8125

    + 0,1001 + 0,5625

    01,0110 1,375

    0,1101 0,8125

    x 0,1001 x 0,5625

    00,0111 0101 0,4570 3125

  • Notes :

    59

    Exemple du filtre FIR

    • Sources de bruit :

    ×c0

    +

    z-1 z-1 z-1

    bg mem

    +bgm0

    +

    bx

    ×c1

    +

    +bgm1

    ×cN-2

    +

    +bgm N-2

    ×cN-1

    +

    +bgm N-1

    +

    x (n)

    y (n)

    )(nx )(nyh+

    bx

    bg mem

    +

    N.bgm

  • Notes :

    60

    Exemple du filtre FIR

    • Puissance du bruit en sortie (arrondi)

    ∑−

    =′ ++=

    1

    0

    2222

    .

    N

    i

    bbbb igmmemeyσσσσ

    ∑∑−

    =

    +∞

    −∞=

    ++=1

    0

    22222

    .)(

    N

    i

    bb

    m

    bb igmmemeymh σσσσ

    12.

    1212

    221

    0

    22

    2 mimemN

    m

    me

    b

    qN

    qc

    qy

    ++= ∑−

    =

    σ

  • Notes :

    61

    VII. Synthèse des filtres numériques RII

    1. Introduction

    2. Rappels sur la synthèse des filtres analogiques

    3. Invariance impulsionnelle

    4. Transformation bilinéaire

  • Notes :

    62

    VII Synthèse des filtres RII1 Introduction

    • Recherche de H(z) correspondant aux spécifications (gabarit)– Transposition des méthodes de synthèse applicables aux filtres

    analogiques, puis transformation de H(p) vers H(z)Invariance impulsionnelle

    Transformation bilinéaire

    – Synthèse directe en z

    – Méthodes d'optimisation : minimiser un critère d'erreur entre courbe

    réelle et courbe idéale

  • Notes :

    63

    VII Synthèse des filtres RII2 Synthèse de filtre analogique

    Spécification

    Gabarit analogique

    Gabarit normalisé

    Normalisation

    Ordre du filtre

    HNorm(p)

    Approximation de H(p)

    Types de filtre

    (Butterworth, Chebyshev,...)

    H(p)

    Dénormalisation

    Filtrage numérique Filtrage analogique

    Transformation p=f(z)

    invariance impulsionnelle,

    bilinéaire

    Choix d’une structure Rauch, Sallien-Key,

    Biquadratique

  • Notes :

    64

    VII Synthèse des filtres RII2 Synthèse de filtre analogique

    • Normalisation– Calcul de la sélectivité s

    ω1

    1

    |HNorm(p)|

    1-δ1

    1+δ1

    δ2

    1/s

    ω0

    |HNorm(p)| (dB)

    −∆1

    ∆1

    ∆2

    a) Gabarit prototype linéaire b) Gabarit prototype en dB

    1 s

  • Notes :

    65

    VII Synthèse des filtres RII2 Synthèse de filtre analogique

    • Ordre du filtre et fonction de transfert normalisée– Butterworth, Chebyschev, Elliptique, Bessel, Legendre, ...

    – HNORM(pN)

    • Dénormalisation– Passe-bas : pN = p / ωc– Passe-haut : pN = ωc / p

    – Passe-bande : pN = 1/B (p / ω0 + ω0 / p)

    • On obtient une fonction de transfert H(p) respectant le gabarit analogique spécifié

    ⇒ Passage vers H(z)

  • Notes :

    66

    VII Synthèse des filtres RII3 Invariance impulsionnelle

    • Le filtre numérique et le filtre analogique ont la même réponse impulsionnelle

    t

    ha(t)

    Ha(p)x(t) y(t)

    filtre analogique

    t

    h(nT)

    H(z)x(nT) y(nT)

    filtre numérique

    T

    h(nT) = ha(t) / t = nT

  • Notes :

    67

    VII Synthèse des filtres RII3 Invariance impulsionnelle

    • Le filtre numérique et le filtre analogique ont la même réponse impulsionnelle

    – Conserve la réponse temporelle et la stabilité

    – Phénomène de recouvrement de spectre du à l'échantillonnage

    – Non respect de la spécification fréquentielle

    {{{{ }}}}∑∑∑∑

    −−−−====

    →→→→ →→→→→→→→

    −−−−

    ====−−−−

    )(1

    ,1

    )()(

    )()()()(1

    pHdeppôles

    ipT

    a

    TznTt

    a

    L

    a

    ai

    pez

    pHRésiduszH

    directenformulatioou

    zHnThthpH

    ( )∑ +=Ωk

    T

    k

    a

    jjjH

    TeH

    πω 21

    )(

  • Notes :

    68

    • Réponse fréquentielle

    – Normalisation(xT) ou (/H(0))

    VII Synthèse des filtres RII3 Invariance impulsionnelle

    1

    Ha(p)

    1/T

    p

    2Π−2Π Π

    H(Ω)

  • Notes :

    69

    VII Synthèse des filtres RII4 Transformation bilinéaire

    • Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles1

    1

    1

    1

    12−

    +−

    =z

    z

    Tp

    t

    e(nT)

    nT(n-1)T

    S(n) = S(n-1) + T[e(n) + e(n-1)]/2

    H(z)e(n) s(n)

    1/pe(t) s(t)

    Intégrateur

    analogique

    Intégrateur

    numérique

    1Appelée également, selon les sources, méthode des trapèzes

  • Notes :

    70

    VII Synthèse des filtres RII4 Transformation bilinéaire

    – Conservation de la stabilité

    – Relation entre fréquences numériques et analogiques

    plan p

    p = jωa

    plan z

    z = ejωT

    π 0

  • Notes :

    71

    VII Synthèse des filtres RII4 Transformation bilinéaire

    – Distorsion en fréquence connue

    fe/2

    filtre analogique filtre numérique

    fe/2

    π

    π/Tω

    a

    ωT

    −π

    =22

    Ttg

    Tnumériqueanalogique ωω

  • Notes :

    72

    VII Synthèse des filtres RII4 Transformation bilinéaire

    • Procédure de synthèse

    – A partir du gabarit en fréquence numérique ωn– Effectuer une prédistorsion en fréquence

    – Synthèse de H(p) par méthodes du chapitre V.2

    – Transformation bilinéaire

    =22

    Ttg

    Tna ωω

    1

    1

    1

    12)(

    )(

    +−

    ==

    z

    z

    Tp

    pHzH

  • Notes :

    73

    ΩπΩp

    1

    |H(ejΩ)|1-δ1

    1+δ1

    δ2

    Ωa

    ωa

    p

    1

    |Ha(

    j ωa)|

    1-δ

    1

    1+

    δ 1

    δ 2

    ωa

    a

    π

    ωaωa

    ωa=2/T tan(Ω/2)

  • Notes :

    74

    VII Synthèse des filtres RIIExemple

    • Filtre numérique analogique du premier ordre

    – Invariance impulsionnelle : Hi(z)

    – Transformation bilinéaire : Hb(z)

    CR

    ppH

    c

    c

    .

    1

    1

    1)(

    ====

    ++++====

    ω

    ω

    fc = 1 KHz, fe = 10 Khz

  • Notes :

    75

    VIII. Synthèse des filtres numériques RIF

    1. Introduction

    2. Filtres à Phase Linéaire

    3. Méthode du Fenêtrage

    4. Échantillonnage en Fréquence

  • Notes :

    76

    VIII Synthèse des filtres RIF1 Introduction

    • Recherche de H(z) correspondant aux spécifications (gabarit)– Synthèse directe en z

    – Filtres à phase linéaire ou minimale

    • 3 méthodes de synthèse– Méthode du fenêtrage

    – Méthode de l'échantillonnage fréquentiel

    – Méthodes d'optimisation : minimiser un critère d'erreur entre courbe

    réelle et courbe idéale

  • Notes :

    77

    VIII Synthèse des filtres RIF2 Phase linéaire

    • Filtre à phase minimale– Zéros dans le cercle unité

    • Filtre à phase linéaire

    – Condition pour avoir une phase linéaireSymétrie ou antisymétrie par rapport à α = (N-1)/2

    Ω−=Ω

    −Ω

    Ω= ΩΩ

    αβϕ

    ϕ

    )(

    )(:)(

    ).()( )(

    amplitudemodulepseudoAavec

    eAeHjj

  • Notes :

    78

    VIII Synthèse des filtres RIF2 Phase linéaire

    réponse impulsionnelle symétrique

    β=0réponse impulsionnelle antisymétrique

    β=±π/2

    N impair

    α entier

    N pair

    α non entier

    h(n)

    α N-1

    h(n)

    α N-1

    h(n)

    α N-1

    h(n)

    α N-1

    Type I

    Type II

    Type III

    Type IV

  • Notes :

    79

    VIII Synthèse des filtres RIF2 Phase linéaire

    N impair

    N pair

    ααα

    αα

    …1),(2),(

    )cos()(

    0

    0

    =−==

    Ω= ∑=

    Ω−Ω

    nnhaha

    naeeH

    n

    n

    n

    jj

    0)(

    2/1),2/(2

    ])cos[()(2/

    1

    2/1

    =

    =−=

    Ω−= ∑=

    Ω−Ω

    π

    α

    H

    NnnNhb

    nbeeH

    n

    N

    n

    n

    jj

    0)()0(

    1),(2

    )sin()(1

    2

    ==

    =−=

    Ω= ∑=

    Ω−Ω

    π

    αα

    αα

    π

    HH

    nnhc

    nceeeH

    n

    n

    n

    jj

    j

    0)0(

    2/1),2/(2

    ])sin[()(2/

    1

    2 2/1

    =

    =−=

    Ω−= ∑=

    Ω−Ω

    H

    NnnNhd

    ndeeeH

    n

    N

    n

    n

    jj

    j

    απ

    Tout filtre

    Passe Haut

    Passe Bande

    Dérivateur

    Passe Haut

    Dérivateur

    Type I

    Type II

    Type III

    Type IV

    Réponses fréquentielles

  • Notes :

    80

    VIII Synthèse des filtres RIF2 Phase linéaire

    N impair

    N pair

    Tout filtre

    Passe Haut

    Passe Bande

    Dérivateur

    Passe Haut

    Dérivateur

    π 2π

    Type I

    Type II

    Type III

    Type IV

    π 2π

    π 2π

    π 2π

    Réponses fréquentielles

  • Notes :

    81

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    • Développement en série de Fourier du filtre idéal

    – Filtre non causal, de type RII

    • Passage de h(n) idéal au RIF approché par fenêtrage de h(n)

    ∫−ΩΩ Ω=

    π

    ππdeeHnh jnj ).(

    2

    1)(

    ∑∞

    −∞=

    Ω−Ω =n

    jnjenheH )()(

    )().()( nwnhnha =

  • Notes :

    82

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    • Exemple : filtre passe-bas idéal

    Filtre passe-bas idéal

    c

    cc

    n

    nnh

    ΩΩΩ

    =)sin(

    )(π

    ΩπΩc

    1

    −Ωc−π

    |H(ejΩ)|

  • Notes :

    83

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    • Prise en compte d'une condition de phase linéaire par décalage de αααα

    • Fenêtrage de h(n))()()()().()( ΩΩΩ ∗=⇔= jjjaa eWeHeHnwnhnh

    H(Ω) W(Ω)*

    =

    H(Ω)^

  • Notes :

    84

    ∆Ω

    ∆A

    1+∆A

    H(Ω)^

    H(Ω)

    W(Ω)

    11−∆A

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    – Largeur de la zone de transition ∆Ω ⇔ 1/2 largeur du lobe principal

    – Atténuation ∆A ⇔ amplitude du premier lobe secondaire

  • Notes :

    85

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    • Fenêtres usuelles– Rectangle, Triangle, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, ...

    – Réponses temporelles

    0 10 20 30 40 50 600

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    n

    w(n

    )

    RectangulaireBartlettHanningHammingBlackman

  • Notes :

    86

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    • Fenêtres usuelles– Réponses fréquentielles (linéaire, dB)

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre rectangulaire

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Bartlett

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Hanning

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Hamming

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Blackman

    0 0.1 0.20

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    |W| l

    inea

    ire

    Fenêtre rectangulaire

  • Notes :

    87

    VIII Synthèse des filtres RIF3 Méthode du fenêtrage

    • Influence de la fenêtre

    – Le type de fenêtre influe sur ∆A et ∆Ω

    – Le nombre de points influe sur ∆Ω

    Fenêtre Lobesecondaire

    Demi largeur dulobe principal

    Atténuationminimum

    Rectangulaire -13dB 2π/N -21dBTriangulaire -25dB 4π/N -25dBHanning -31dB 4π/N -44dBHamming -41dB 4π/N -53dBBlackman -57dB 6π/N -74dB

  • Notes :

    88

    VIII Synthèse des filtres RIF4 Méthode de l'échantillonnage

    • Échantillonnage en fréquence– Échantillonnage du filtre idéal

    – TFD inverse de H(kΩe)

    – Méthode valable pour tout type de filtre

    – Possibilité d'utiliser un fenêtrage

    ΩπΩc

    1

    H(ejΩ)

    H(kΩe)

    ∑−

    =

    Ω=1

    0

    .2

    )(1

    )(N

    k

    knN

    j

    e ekHN

    nh

    π

  • Notes :

    89

    IX. Analyse spectrale

    1. Effets de la troncature

    2. Caractéristiques des fenêtres

    3. Influence sur l'analyse

  • Notes :

    90

    IX Analyse spectrale1 Définition

    • Analyse spectrale de signaux continus– Etude du contenu fréquentiel (spectre) d'un signal continu xc(t)

    – Nombre limité d'échantillons du signal d'entrée pour la TFD

    • Troncature temporelle– xN(n) = x(n) . wN(n) avec wN(n) fenêtrage sur N points

    – T0 = N.T : horizon d'observation

    xc(t)Filtre P.Bas

    anti-repliement

    Ωc = π

    CAN

    Fe

    x(n)x

    fenêtre wN(n)

    xN(n)FFT

    ||2

    φ

  • Notes :

    91

    IX Analyse spectrale2 Troncature temporelle

    • Troncature temporelle– xN(n) = x(n) . wN(n) avec wN(n) fenêtrage sur N points

    • Influence sur le spectre– Convolution fréquentielle

    • TFD du signal tronqué

    Lk

    j

    NN

    L

    n

    L

    nkj

    NN

    eXkX

    NL

    LkenxkX

    /2

    1

    0

    2

    )()(

    1..0)()(

    π

    π

    =Ω

    =

    =

    −== ∑

    )(*)()( ΩΩΩ = jNjj

    N eWeXeX

  • Notes :

    92

    IX Analyse spectrale2 Troncature temporelle

    • Exemple – Fenêtre rectangulaire, N=31

    0 5 10 15 20 25 300

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1fenêtre rectangulaire

    n

    w r[n

    ]

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    f

    Ampl

    itude

    |Wr(e

    (j.2.pi.f))|

  • Notes :

    93

    IX Analyse spectrale3 Influence de la fenêtre

    0 5 10 15 20 25 30 35−1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    (a) : Fonction cos(2pi fo n) échantillonnée tronquée sur N=32 points

    x N(n

    )

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

    15

    (c) : XN

    (k)=TFD{xN

    (n)}−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

    15

    20

    (b) : XN

    (ej2pif

    )=TF{xN

    (n(}

    – fonction cosinus fenêtrée sur N=32 points

  • Notes :

    94

    • Influence de la fenêtre

    – Le type de fenêtre influe sur λ et ∆Ωm

    – Le nombre de points influe sur ∆Ωm

    IX Analyse spectrale3 Influence de la fenêtre

    Fenêtre Lobe secondaire λ = 20log|W(fs)/W(0)|

    Largeur du lobe principal LLP = ∆Ωm

    Rectangulaire -13dB 4π/N Triangulaire -25dB 8π/N Hanning -31dB 8π/N Hamming -41dB 8π/N Blackman -57dB 12π/N

    W(Ω)

    f∆Ωm

    ∆Ωm/2

    λ

    fs1/NT

    π

    fe/2

  • Notes :

    95

    IX Analyse spectrale3 Influence de la fenêtre

    • Fenêtres usuelles– Rectangle, Triangule, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, ...

    – Réponses temporelles

    0 10 20 30 40 50 600

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    n

    w(n

    )

    RectangulaireBartlettHanningHammingBlackman

  • Notes :

    96

    IX Analyse spectrale3 Influence de la fenêtre

    • Fenêtres usuelles– Réponses fréquentielles (linéaire, dB)

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre rectangulaire

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Bartlett

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Hanning

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Hamming

    0 0.2 0.4−80

    −60

    −40

    −20

    0

    W d

    B

    Fenêtre de Blackman

    0 0.1 0.20

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    |W| l

    inea

    ire

    Fenêtre rectangulaire

  • Notes :

    97

    IX Analyse spectrale4 Paramètres de l'analyse

    • Finesse en fréquence– Capacité de l'analyseur à détecter 2 raies proches

    – Masquage fréquentiel

    – Largeur du lobe principal : LLP = 2∆Ω

    – Dépend de N et du type de fenêtreExemple sur transparent 9

    • Finesse en amplitude– Capacité de l'analyseur à détecter des raies de faibles amplitudes ou

    masquée par une autre raie proche

    – Masquage d'amplitude ou bruit de l'analyse

    λ = 20log|W(fs)/W(0)|

    – Dépend du type de fenêtreExemple sur transparent 10

  • Notes :

    98

    IX Analyse spectrale4 Paramètres de l'analyse

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    0.5

    1Spectre théorique

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    0.5

    1

    1.5Spectre pour N=21

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    0.5

    1

    1.5Spectre pour N=41

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    0.5

    1

    1.5Spectre pour N=121

    Fenêtre rectangulaire

  • Notes :

    99

    IX Analyse spectrale4 Paramètres de l'analyse

    0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

    0.5

    1Spectre théorique

    0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

    0.5

    1Spectre pour N=128, fenetre rectangulaire

    0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

    0.2

    0.4

    0.6Spectre pour N=128, fenetre de Hamming

    0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

    0.2

    0.4

    0.6Spectre pour N=256, fenetre de Hamming

  • Notes :

    100

    IX Analyse spectrale5 Zero-padding

    – Ajout de L-N zéros à la suite de x(n) avant TFD sur L points

    0 1 2 3 4 5 6 70

    0.5

    1

    wr[n] (N=8 points)

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

    5

    10

  • Notes :

    101

    X. Systèmes multi-cadences

    1. Définition

    2. Décimation

    3. Interpolation

  • Notes :

    102

    X Systèmes multi-cadences1 Définition

    • Systèmes multi-cadences– Systèmes dans lesquels on pourra avoir plusieurs fréquences

    d'échantillonnage dans une même chaîne de traitement

    – Ils tirent partie de la forme spectrale d'un signal en gardant Fe

    toujours à sa valeur optimale-> Réduction de la complexité

    ωω0

    1

    −ω0

    Xc(ω)

    t

    xc(t)

  • Notes :

    103

    X Systèmes multi-cadences1 Définition

    t

    x(nT)

    T ωω0

    1/T

    −ω0

    X(ejΩ)

    π/T−π/T

    t

    xd(nT')

    T' ω

    1/T' Xd(ejΩ)

    π/T'−π/T'

  • Notes :

    104

    X Systèmes multi-cadences2 Décimation

    • Décimation d'un facteur M

    – Pour éviter le recouvrement de spectre, le signal xc(t) doit être à

    bande limitée et respecter le théorème de Shannon par rapport à T'

    ↓Mx(nT) xd(nT')

    T' = MT

    ↓Mx(nT) xd(nT')

    T' = MT

    F'e = Fe/M

    t t

    ∑−

    =

    −ΩΩ =

    =1

    0

    )/2/( )(1

    )(

    )()(

    M

    i

    MiMjj

    d

    d

    eXM

    eX

    nMxnx

    π

    00

    0

    /'/(MT) = /T'

    0)(

    ωωππ

    ωωω

    ≥=≥

    ≥=

    MFeeFouet

    pourX c

  • Notes :

    105

    • Filtres à décimation– Filtre suivi d'un décimateur

    T' = MT

    • Optimisation du filtre à décimation

    X Systèmes multi-cadences2 Décimation

    x(nT) Filtre Passe BasGain = 1

    ΩΩΩΩc = ππππ/M↓M

    v(nT) y(nT')

    x(nT)T T T

    b1

    +

    b2

    +

    b3

    +

    b0

    ↓2v(nT) y(nT')

  • Notes :

    106

    X Systèmes multi-cadences3 Interpolation

    • Interpolation d'un facteur L– Objectif : augmenter la fréquence d'échantillonnage d'un signal x(n)

    échantillonné à la période T d'un facteur L

    • Elévateur de fréquence– Ajout de L-1 zéros entre 2 échantillons de x(n)

    LTTavecnTxLnxnx ci /'),'()/()( ===

    ↑Lx(nT) xe(nT')

    tt

    )()(

    )()(

    0

    ...,2,,0),/()(

    '

    Ljj

    e

    TjTj

    e

    e

    eXeX

    eXeX

    ailleurs

    LLnLnxnx

    ΩΩ =

    =

    ±±=

    =

    ωω

    Pas d'effet sur le spectre

  • Notes :

    107

    X Systèmes multi-cadences3 Interpolation

    • Interpolateur– Succession d'un élévateur de fréquence et d'un filtre passe-bas idéal

    de gain L, de période d'échantillonnage T' et de fréquence de coupure

    Fc = 1/2T (i.e. Ωc = π/L).

    ω

    1/T X(ejΩ)

    π/T−π/Tt

    1/T' Xe(ejΩ)

    π/T−π/T π/T'−π/T'

    ↑Lx(nT) xe(nT')

    Filtre Passe BasGain = L

    ΩΩΩΩc = ππππ/L

    xi(nT')

  • Notes :

    108

    X Systèmes multi-cadences3 Interpolation

    • Optimisation du filtre à interpolation

    • Multiplication de Fe par un facteur rationnel R=L/M– T' = T.M/L

    x(nT)T T T

    b1

    +

    b2

    +

    b3

    +

    b0

    ↑2v(nT')

    y(nT')

    ↓My(nT')

    ↑Lx(nT) Filtre Passe Bas

    Gain = LΩc = min(π/L, π/M)