Traitement Numerique des Signaux -...

Traitement numérique. Cl Lahache 1

Traitement Numérique des Signaux

Architecture dArchitecture d’’une Chaune Chaîîne de Traitement Numne de Traitement Numéériquerique

Cadencement : Horloge fréquence fE

Acquisition Programme de Calcul Restitution

e(t) s(t){eN} {s N}

Analogique Numérique Analogique


Acquisition : De lAcquisition : De l’’Analogique au NumAnalogique au Numéériquerique

Filtrepasse bas

(Anti repliement)

Echantillonnageblocage

QuantificationCAN

Codage

e(t) {eN}

Restitution : Du NumRestitution : Du Numéérique rique àà ll’’AnalogiqueAnalogique

Décodage

{sN} s(t)

Blocage

CNA Filtre passe bas(Lissage)


ÉÉchantillonnage du Signal Analogiquechantillonnage du Signal Analogique

e* = e(t)×p(t)

e(t)

TE 2TE 3TE 4TE 5TE …..

p(t)

e*(t) t0

t01

0

0

0

e(t) e* (t)

fE

ExemplesExemples

e(t) = 5xsin(260πt)échantillonnage à 1500Hz

0 0 .0 0 2 0 .0 0 4 0 . 0 0 6 0 . 0 0 8 0 .0 1 0 .0 1 2 0 .0 1 4 0 .0 1 6 0 .0 1 8 0 .0 2T i m e (s)

0

-2

-4

2

4

V e c h V e

Signal quelconqueéchantillonnage à 1500Hz

0 .0 0 2 0 .0 0 4 0 .0 0 6 0 .0 0 8 0 .0 1 0 .0 1 2 0 .0 1 4 0 .0 1 6 0 .0 1 8T i m e (s)

0

-5

5

V e c h V e


Spectre du Signal Spectre du Signal ÉÉchantillonnchantillonnéé

Décomposition du signal d’échantillonnage p(t) :p(t) = <p> + p1.cosωEt + p2.cos2 ωE t + p3.cos3ωEt + … + pN.cosNωEt + …avec : <p> = t0.fE

pN = (2/Nπ).sin(Nπt0fE)

Exemple : Représenter le spectre de p(t) si fE = 8 kHz et t0 = 10 µs

p10p9p8p7p6p5p4p3p2p1<p>

Ampl (V)

Fréq (kHz)

ÉÉchantillonnage dchantillonnage d’’un Signal Sinusoun Signal Sinusoïïdaldal

e(t) =Ê.cosωte* = e(t)×p(t)e* = Ê.cosωt ×[<p> + p1.cosωEt + p2.cos2ωEt +…+ pN.cosNωEt ..]

Ex : e=2cos2000πt

fE = 8kHz ; t0 = 10µs

e* = p.Ê.cosωt + 0,5.p1.Ê[cos(ωE - ω )t+cos(ωE+ ω)t] + 0,5.p2.Ê[cos(2ωE - ω )t+cos(2ωE+ ω)t] + …..+ 0,5.pN.Ê[cos(NωE - ω )t+cos(NωE+ ω)t] + …..

0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0F r e q u e n c y ( H z )

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

0 . 0 8

0 .1

0 . 1 2

0 . 1 4

0 . 1 6

V e c h


ÉÉchantillonnage dchantillonnage d’’un Signal Quelconqueun Signal Quelconque

Dans le signal échantillonné, on retrouve le spectre du signal e(t), ainsi que ses répliques de part et d’autre des multiples de la fréquence d’échantillonnage

Spectre de e(t)

Spectre de e*(t)

fE 2fE

fMAX Hz

Hz

V

V

Choix de la FrChoix de la Frééquence dquence d’’ÉÉchantillonnagechantillonnage

On doit pouvoir retrouver le spectre de e(t) à partir du spectre de e*(t)

fE > 2fMAX

Bon choix

V

fE 2fE HzfMAX

fE < 2fMAX

Mauvais choix

fE 2fE HzfMAX 3fE

Th de SHANNON : f E doit au moins être égale au double de la fréquence maximale contenue dans le signal

(Claude Elwood Shannon ; 1916 – 2001)


NNéécessitcessitéé du Filtre Antidu Filtre Anti--RepliementRepliement

fE est fixée. L’échantillonneur est précédé d’un filtre passe bas à coupure très raide. Ce filtre élimine tous signaux de fréquence supérieure à fE/2Il est nommé « filtre anti repliement » (anti aliasing filter)

Sans filtre anti repliement

Avec filtre anti repliement

filtre antirepliement échantillonneur

échantillonneur

e(t)

e(t) e*(t)

e*(t)spectre de e(t)

spectre de e(t)

Partie basse du spectre de e*(t)

Partie basse du spectre de e*(t)

fC

fC

LL’’ééchantillonneur Bloqueurchantillonneur Bloqueur

Le bloqueur maintient la valeur de e* constante pendant TE à l’entrée du CAN

e(t) e*(t)

eEB (t)eN

Signal analogiqueSignal échantillonné

et bloqué

e(t)

eEB (t)

K1

K2C


RRééponse en Frponse en Frééquence du Bloqueurquence du Bloqueur

Attaqué par une impulsion, le bloqueur répond par un créneau de largeur TE

1

0TE

1

0TE t t

Bloqueur

e(t) = δ(t)E(p) = 1

s(t) = U(t) - U(t-TE)

S(p) = (1 – e-Te.p)/p

Spectre du Signal Spectre du Signal ÉÉchantillonnchantillonnéé et Bloquet Bloquéé

Le bloqueur atténue fortement les répliques du spectre placées autour des multiples de fE

Réponse du bloqueur

fE 2fE HzfMAX

Spectre de e(t)

V

Le bloqueur introduit également un retard constant de TE/2 (retard de phase proportionnel à la fréquence)


Quantification du Signal et BruitQuantification du Signal et Bruit

En sortie du CAN, le signal échantillonné et bloqué est converti en une suite de nombres binaires, codés sur N bits.Si E est la pleine échelle à l’entrée du CAN, le quantum q vaut q = E/(2N – 1)

Entrée

Sortie

Erreur

q

q

0

0

Signal échantillonné

et bloqué

Bruit dequantification

Signalnumérisé

Le rapport signal/bruit est d’autant meilleur que le nombre de bits de codage est élevé

Bruit de Quantification Exemples Bruit de Quantification Exemples

Signal codé sur 8 niveaux (3 bits)

Signal codé sur 32 niveaux (5bits)


Le Calcul NumLe Calcul Numéériquerique

L’unité de calcul traite la suite binaire {eN} et élabore la suite binaire {sN}, grâce àun programme.Opérations réalisables :

AdditioneN

eP

eN + eP

KeN sN = KeN

TE

eN sN = eN-1

Multiplication par une constante

Retard d’une période d’échantillonnage

LL’É’Équation de Rquation de Réécurrencecurrence

L’équation de récurrence définit le nombre de sortie du calculateur à la date nTE(soit sN) en fonction de nombres d’entrée présents ou antérieurs (eN, eN-1 …) et éventuellement de nombres de sortie antérieurs (sN-1, sN-2 ….)

sN = 0,5.eN + 0,5.eN-1

sNeN0,5

TE

Algorithme non récursif : Ne dépend que des échantillons d’entrée

eN

TE

TE0,5

sN

sN = eN + eN-1 + 0,5.sN-1

Algorithme récursif : Dépend des échantillons d’entrée et d’échantillons de sortie antérieurs


Tests de lTests de l’é’équation de rquation de réécurrencecurrence

On teste l’équation de récurrence par des séquences de nombres particulières :(Généralement causales)

Séquence impulsion unité :

N=0 ; e0= 1 N ≠ 0 ; eN = 0

Séquence échelon unité :

N<0 ; eN= 0 N ≥ 0 ; eN = 1

Séquence sinusoïdale :

N<0 ; eN= 0

N ≥ 0 ; eN = a.sinωNTE

1

N

eN

1

N

eN

N

eN

RRééponse Impulsionnelle des Systponse Impulsionnelle des Systèèmes Nummes Numéériquesriques

Algorithme non récursif : Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

sN=0,5.eN+eN-1+0,2.eN-2

Algorithme récursif : Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

eN

sN

N

N

sN=eN+0,8.sN-1eN

sN

N

N


ÉÉquation de rquation de réécurrence vs currence vs ÉÉquation Diffquation Difféérentielle rentielle

Équation différentielle Équation de récurrence (monde analogique) (monde numérique)

Exemple de la Dérivation

e(t)eN

tps

Analogique:

S(t) =K.de/dt

Numérique

sN = K.(eN-eN-1)/TE

Algorithme de dérivation numérique : Du type sN = a.eN – a.eN-1

TransformTransforméée en Z de en Z d’’une Sune Sééquence de Nombresquence de Nombres

Soit la séquence causale suivante

Séquence impulsion 1

xN

N0 2 4

La transformée en Z de cette séquence est le polynôme de la variable (complexe) z défini par :

X(z) = x0.z0 + x1.z-1 + x2.z

-2 + x3.z-3 + … + xN.z-N + … = Σ xN.z-N

Séquence échelon 1

1

N

eN

1

N

eN


TransformTransforméée en Z vs Transforme en Z vs Transforméée de Laplacee de Laplace

Un signal échantillonné x* s’écrit comme une somme d’impulsions de Dirac de hauteurs xN et retardées de N.TE :x* = x0.δ(t) + x1. δ(t-TE) + x2. δ(t-2TE) + … + xN. δ(t-N.TE) + …

Sa transformée de Laplace est:X*(p) = x0.1 + x1.1.e-pTe + x2.1. e-2pTe + … + xN.1. e-NpTe + …

Avec le changement de variable : z ⇔ epTe on retrouve la transformée en Z

X(z) = x0.z0 + x1.z-1 + x2.z

-2 + x3.z-3 + … + xN.z-N + … = Σ xN.z-N

Transformée en Z et transformée de Laplace ont des propriétés mathématiques équivalentes

Transformée de Laplace Transformée en Z (monde analogique) (monde numérique)

Table de TransformTable de Transforméées en Zes en Z


Fonction de Transfert en ZFonction de Transfert en Z

Soit un système numérique générant une séquence de nombres {sN} à partir d’une séquence {eN}

{eN} Système Numérique

{sN}

(E(z)) (S(z))

La transmittance en Z est définie par : T(z) = S(z) / E(z)

- c’est un rapport de 2 polynômes en z- le polynôme de degré le plus élevé donne l’ordre du système- les racines du numérateur se nomment les zéros- les racines du dénominateur se nomment les pôles

Exemple: Filtre passe-bas du 1er ordre T(z) = 0,1.(z-1)/(z-0,8)

StabilitStabilitéé dd’’un Systun Systèème Numme Numéériquerique

Rappel : En analogique, un système de transmittance T(p) est stable si les pôles de T(p) sont à partie réelle négative.Ce critère reste valable pour un système échantillonné. Soit un pôle pI = a + jb, avec a < 0 ; transposons cette condition dans l’espace Z.

Plan « p »

EEEE jbTe.aTeT)jba(epTez =+==Mod(z) = e aTe avec a < 0 ; donc mod (z) < 1

Critère de stabilité: Un système échantillonné est stable si les pôles de sa transmittance en z sont à l’intérieur du cercle unité (⇔ ont un module < 1)

0 R 0 R

I

Plan « z »

I

1

1


De lDe l’É’Équation de Rquation de Réécurrence currence àà la Transmittance en Zla Transmittance en Z

Rappel : En analogique, si f(t) ⇒ F(p) alors f(t - θ) ⇒ F(p).e- pθ

Dans le monde échantillonné, e- pθ devient e- pTe soit z -1 .

Un retard d’une période d’échantillonnage correspond à une multiplication par z-1

Soit l’équation de récurrence : sN = a0.eN +a1.eN-1 +a2.eN-2 + b1.sN-1 + b2.sN-2 + …

On en prend la transformée en Z :

S(z) = a0.E(z) + a1.z-1.E(z) + a2.z-2.E(z) + b1.z-1.S(z) + b2.z-2.S(z) + …

Regroupage des termes S(z) (à gauche) et E(z) (à droite) :

S(z).(1 – b1.z-1 – b2.z-2 …) = E(z).(a0 + a1.z-1 + a2.z-2 …)

D’où on tire enfin la transmittance en Z :

...2zb1zb1

...2za1zaa

)z(E

)z(S)z(T

21

210

−−−−−

+−+−+==

De la Transmittance en Z De la Transmittance en Z àà ll’É’Équation de Rquation de Réécurrencecurrence

Exemple : Soit le filtre numérique de transmittance

On effectue le produit en croix:

S(z).(2 + z-1) = E(z).(1 + 2.z-1 + z-3)

On développe et on isole S(z) :

2.S(z) = E(z) + 2z-1.E(z) + z-3.E(z) –z-1.S(z)

On repasse au domaine temporel (z-1 correspond à un retard de TE) :

2.sN = eN + 2.eN-1 + eN-3 – sN-1

Et finalement, l’équation de récurrence est :

sN = 0,5.eN + eN-1 + 0,5.eN-3 – sN-1

1z2

3z1z21

)z(E

)z(S)z(T −+

−+−+==


Filtres NumFiltres Numéériquesriques

Comme en analogique, un filtre numérique est chargé de transmettre certaines fréquences et d’en éliminer d’autres.C’est un système échantillonné qui peut présenter des propriétés calquées sur un filtre analogique modèle, ou bien posséder des caractéristiques originales, impossibles à réaliser dans le monde analogique

On rencontre des filtres numériques :

- non récursifs, ou encore à réponse impulsionnelle finie (FIR filters)

ex : sN = 0,2(eN + eN-1 + eN-2 + eN-3 + eN-4) passe bas

soit T(z) = 0,2.(1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4)

- récursifs, ou encore à réponse impulsionnelle infinie (IIR filters)

ex : sN = eN + 1,5.sN-1 -0,85.sN-2 passe bande

soit T(z) = 1 / (1 – 1,5.z-1 + 0,85.z-2)

RRééponse harmonique dponse harmonique d’’un filtre numun filtre numéériquerique

Il faut disposer de sa transmittance en z.On passe à une « transmittance harmonique » grâce au changement de variable:

z e pTe e jωTe

Exemple : Filtre moyenneur à 2 termes sN = 0,5.(eN + eN-1)

Transmittance en z : T(z) = 0,5.(1 + z-1)

Transmittance en jω: T(jω) = 0,5.(1 + e -jωTe)

Factorisation de e -jωTe/2 : T(jω) = e -jωTe/2.0,5.(e +jωTe/2 +e -jωTe/2)

Finalement : T(jω) = cos(ωTe/2).e -jωTe/2


SynthSynthèèse dse d’’un Filtre Numun Filtre Numéérique (1)rique (1)

On se propose de trouver la transmittance d’un filtre passe-haut numérique qui répond à un échelon comme un filtre passe-haut analogique du 1er ordre, de constante de temps τ=10 ms, soit de fréquence de coupure fc = 15,9 Hz

Cette méthode s’appelle « Identification de la réponse indicielle »

On peut aussi partir de la réponse impulsionnelle; ceci consistera en la méthode « d’identification de la réponse impulsionnelle »

Exemple de SynthExemple de Synthèèse dse d’’un Filtre Numun Filtre Numéérique (2)rique (2)

La fréquence d’échantillonnage doit être choisie très supérieure à 15,9 Hz ; prenons fe = 1kHz

Numérique

Analogique

fe/2 = 500Hz

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