Traitement du signal - généralités - Bienvenue sur...
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Cours de mathématiques du signal I.U.T. de Blois Année universitaire 2000 Page : 1 Traitement du signal - généralités I - Les séries classiques : 1) Les définitions : Définition : Soit (u n ) une suite numérique et (s n ) la suite des sommes partielles : s u n i i i n = = = ∑ 0 . On appelle série de terme général (u n ) que l'on note : u n n= ∞ ∑ 0 la limite (si elle existe) de la suite (s n ) u u n n n i i i n = ∞ →∞ = = ∑ ∑ = 0 0 lim Les u n sont les termes de la série, la limite (si elle existe) est la somme de la série... Remarque : • Si la suite (s n ) converge vers S alors : u S n n = = ∞ ∑ 0 • Si la suite (s n ) diverge vers +∞ ou - ∞ alors la série est divergente vers +∞ ou - ∞ • Si la suite (s n ) n'a pas de limite alors la série est aussi divergente Exemple 1 : Considérons la suite (u n ) des nombres impaires qui est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2 alors u n =2n+1. Alors s u u n n i i i n i i in = = = = = = = ∑ ∑ 0 0 2 1 ( ) et donc lim n n s →∞ = ∞ et la série est divergente.. Exemple 2 : Considérons la suite géomètrique (u n ) de premier terme a et de raison q ( ) q ≠ ±1 alors : u aq aq a q q n n i i n n = = = - - = ∑ et s n 0 1 1 1 • Si q a q < = - ∞ ∑ 1 1 alors u et la série converge n n=0 • Si q > = ∞ ∞ ∑ 1 alors u et la série diverge n n=0 • Si q <- ∞ ∑ 1 alors u n' a pas de limite et la série diverge n n=0
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Traitement du signal - généralités
I - Les séries classiques :
1) Les définitions :
Définition : Soit (un) une suite numérique et (sn) la suite des sommes partielles : s un ii
i n
==
=
∑0
.
On appelle série de terme général (un) que l'on note : u nn=
∞
∑0
la limite (si elle existe) de la suite
(sn)
u unn
n ii
i n
=
∞
→ ∞ =
=
∑ ∑=0 0
lim
Les un sont les termes de la série, la limite (si elle existe) est la somme de la série... Remarque :
• Si la suite (sn) converge vers S alors : u Snn
==
∞
∑0
• Si la suite (sn) diverge vers +∞ ou -∞ alors la série est divergente vers +∞ ou -∞
• Si la suite (sn) n'a pas de limite alors la série est aussi divergente Exemple 1 : Considérons la suite (un) des nombres impaires qui est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2 alors un=2n+1.
Alors s u u nn ii
i n
ii
i n
= = = +=
=
=
=
∑ ∑0 0
21( ) et donc limn ns→ ∞
= +∞ et la série est divergente..
Exemple 2 : Considérons la suite géomètrique (un) de premier terme a et de raison q ( )q ≠ ±1 alors :
u aq aq aqqn
n i
i
n n
= = =−−=
+
∑ et sn0
111
• Si qa
q< =
−
∞
∑11
alors u et la série convergenn=0
• Si q > = + ∞∞
∑1 alors u et la série divergenn=0
• Si q < −∞
∑1 alors u n' a pas de limite et la série divergenn=0
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2) Propriétés : Théorème :
(i) Si u nn=
∞
∑0
est convergente alors limn nu→ ∞
= 0 (condition nécessaire mais non suffisante)
(ii) Si limn nu→ ∞
≠ 0alors la série u nn=
∞
∑0
est divergente
(iii) Si u nn=
∞
∑0
et v nn=
∞
∑0
sont convergentes alors : ( )u vn nn
+=
∞
∑0
et λu nn=
∞
∑0
(λ∈R) sont
convergentes et ( )u v u vn nn
nn
nn
+ = +=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑0 0 0
et λ λu unn
nn=
∞
=
∞
∑ ∑=0 0
(iv) Si, à partir d'un certain rang, 0≤un≤vn et si v nn=
∞
∑0
converge alors u nn=
∞
∑0
converge (si de plus
pour toutes valeurs de n : 0≤un≤vn alors u nn=
∞
∑0
≤ v nn=
∞
∑0
)
(v) Si, à partir d'un certain rang, un≤vn≤wn et si u nn=
∞
∑0
et w nn=
∞
∑0
converge vers le même limite
alors v nn=
∞
∑0
est convergente(si de plus pour toutes valeurs de n un≤vn≤wn alors
u nn=
∞
∑0
= v nn=
∞
∑0
= w nn=
∞
∑0
)
(vi) Si la suite (sn) des sommes partielles est une suite croissante majorée alors u nn=
∞
∑0
est
convergente (ce sera le cas en particulier pour les séries à termes positifs , auquel cas la croissance est assurée) Remarque : les critères classiques de convergence seront vus ultérieurement dans le cours de mathématiques...
3) Les séries absolument convergente :
Définition : Une série u nn=
∞
∑0
est absolument convergente si : unn=
∞
∑0
est une série convergente
Remarques : - toute série absolument convergente est évidemment convergente - la condition (vi) du théorème précédent donne une condition de convergence absolue qui permet de conclure rapidement dans la plupart des cas, il suffira en effet de chercher un
majorant (indépendant de n) des sommes partielles s un ii
n
==∑
0
pour montrer que la série est
absolument convergente.
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- Attention : il existe des séries convergentes mais non absolument convergentes....
II - Les séries de fonctions :
1) Généralités : Le terme général d'une série peut dépendre de la variable réelle x. On a alors une série de
fonctions u xnn=
∞
∑0
( ) . Pour chaque valeur de x, on est ramené à une série numérique ordinaire.
Si, pour chaque x appartenant à un ensemble D, u xnn=
∞
∑0
( ) est convergente alors la série définit
une fonction : fD R
x f x u xnn
→
→ =
=
∞
∑( ) ( )0
Exemple : Considérons la série de fonctions : u xxn n( ) =1
défine sur R* alors pour chaque
valeur de x (un(x)) est une série géomètrique de premier terme la fonction u0(x)=1 et de raison
qx
=1
. D'après l'étude faite au premier paragraphe la série géomètrique converge pour
q < >1 1 c' est à dire pour x ( ] [ ] [D = −∞ − ∪ +∞; ;1 1 )
Sur D on a : f(x)= u x
x
xxn
n
( )=
∞
∑ =−
=−0
1
11 1
Remarque : Le terme général de la série est défini sur R* et la somme de la série sur ] [ ] [D = −∞ − ∪ +∞; ;1 1 sous ensemble de R*
Définition : On dit qu'une série de fonctions u xnn=
∞
∑0
( ) est majorable sur un domaine D si et
seulement si il existe une série numérique αnn=
∞
∑0
convergente telle que :
∀ ∈ ∀ ∈ ≤n N x D x nu n ( ) α (en d'autres termes chaque fonction un(x) est majorée par le terme constant d'une série numérique convergente)
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2) Propriétés Théorème : (i) Si la série de fonctions (un(x)) est majorable sur D sur lequel les fonctions un(x) sont
définis et continues alors la série u xnn=
∞
∑0
( ) est convergente sur D vers une fonction f
continue sur D
(ii) Si f x u xnn
( ) ( )==
∞
∑0
sur D et si les fonctions un(x) sont définies et dérivables et si la série
u xnn
' ( )=
∞
∑0
est majorable alors la série u xnn
' ( )=
∞
∑0
est convergente sur D vers f' fonction dérivée
de f x u xnn
'( ) ' ( )==
∞
∑0
(iii) Si u xnn=
∞
∑0
( ) est une série de fonctions continues et majorable sur D alors u x dxna
b
n
( )∫∑=
∞
0
est convergente et égale à : u x dxnn
a
b
( )=
∞
∑∫0
u x dx u x dxna
b
nn
na
b
( ) ( )∫∑ ∑∫=
∞
=
∞
=0 0
Remarque : Attention cette inversion des symboles de sommations n'est valable que lorsque la série est majorable....
III - Calcul de quelques intégrales :
1) Formules de trigonomètrie et analyse de fourier
[ ]
[ ]
[ ]
( )
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos cos cos( cos( )
sin sin cos( ) cos( )
sin cos sin( ) sin( )
cos cos ² sin² cos ² sin ²
cos ² cos ( cos )
sin sin cos
cos
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a a a a a
a a a
a a a
a x
+ = −− = ++ = +− = −
= + + −
= − − +
= + + −
= − = − = −
= + −
=
12
1212
2 2 1 1 2
12
1 2 1 2
2 2
et sin²a=12
+ = + −b x a b xba
sin ² ² cos( )ϕ ϕ avec tan =
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2) cos cospx qxdxa
a+∫ 2π
(p et q étant deux entiers)
a) p#q
cos cos cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
sin( )( ) sin( ) sin( )( ) sin( )
px qxdx p q xdx p q xdxp q
p q xp q
p q x
p qp q a
p qp q a
p qp q a
p qp q a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + + + +
∫ ∫ ∫= + + −
=+
+
+
−−
=+
+ + −+
+
+
−− + −
−−
=
2 2 2 2 212
12
1 1
12
12
1 12
10
π π π π π
π π
cos cospx qxdxa
a+
∫ = ≠2
0π
pour p q
b)p=q#0
[ ] [ ] [ ]cos cos sin sin ( ) sin2
2 2 22 21
22
12
12
212
12
2 2 2 2pxdx pxdx dxp
px xp
p a paa
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + +
+ +∫ ∫ ∫= +
= +
= + − +
=
π π ππ π π π π
cos ²pxdxa
a+
∫ =2π
π
c)p=q=0
cos cos cos( ) cos( )0 012
0 0 0 012
22 2 2 2 2
x xdx xdx xdx dx dxa
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + + −
= +
=
π π π π π
π
3) sin sinpx qxdx−
∫π
π (p et q étant deux entiers)
a) p#q
sin sin cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
sin( )( ) sin( ) sin( )( ) sin( )
px qxdx p q xdx p q xdxp q
p q xp q
p q x
p qp q a
p qp q a
p qp q a
p qp q a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + + + +
∫ ∫ ∫= − − +
=
−−
−
++
=−
− + −−
−
−
++ + −
++
=
2 2 2 2 212
12
1 1
12
12
1 12
10
π π π π π
π π
sin sinpx qxdxa
a+
∫ = ≠2
0π
pour p q
b)p=q#0
[ ] [ ] [ ]sin cos sin sin ( ) sin22 2 2
2 212
212
12
212
12
2 2 2 2pxdx pxdx dxp
px xp
p a paa
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + +
+ +∫ ∫ ∫= − +
= − +
= − + − +
=
π π ππ π π π π
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sin2
2
pxdxa
a+
∫ =π
π
c)p=q=0
sin sin cos( ) cos( )0 012
0 0 0 012
02 2 2 2 2
x xdx xdx xdx dx dxa
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫= − − +
= −
=
π π π π π
4) cos sinpx qxdx−
∫π
π (p et q étant deux entiers)
a) p#q
sin cos sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
cos( )( ) cos( ) cos( )( ) cos( )
px qxdx p q xdx p q xdxp q
p q xp q
p q x
p qp q a
p qp q a
p qp q a
p qp q a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a+ + + + +
∫ ∫ ∫= + + −
= −
++
+ −
−−
= −+
+ + ++
+
+ −
−− + +
−−
=
2 2 2 2 212
12
1 1
12
12
1 12
10
π π π π π
π π
sin cospx qxdxa
a+
∫ = ≠2
0π
pour p q
b)p=q#0
[ ]sin cos sin cospx pxdx pxdxp
pxa
a
a
a
a
a+ +
+∫ ∫=
= −
=
2 221
22
12
12
2 0π π
π
sin cospx pxdxa
a+
∫ =2
0π
c)p=q=0
sin cos sin0 012
0 02 2
x xdx dxa
a
a
a+ +
∫ ∫=
=
π π
Remarque : sin cospx qxdxa
a+
∫ =2
0π
pour p et q quelconque
IV - Les fonctions de variable réelle à valeurs dans C
1) Exemples : Vous connaissez les fonctions classiques de R vers R mais on peut aussi définir des fonctions de R vers C (fonctions de variable réelle à valeurs complexes) Exemple : f(x)=eix=cosx+isinx est la plus classique f(x)=lnx-i(tanx+sinx)
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Remarque : Toute fonction de R vers C s'écrit sous la forme f(x)=g(x)+ih(x) où g et h sont deux fonctions de R vers R g est la fonction partie réelle et h la fonction partie imaginaire...
2) Définition et calcul d'intégrales de fonction de R dans C :
Par définition si f est une fonction de R vers C on pose :
f x dx g x dx i h x dxa
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( )∫ ∫∫= + (g et h sont deux fonctions réelles de la variable réelle)
Exemple :
[ ] [ ]
[ ] [ ] ( )
e dx xdx i xdx x i x i i i
e dxi
ei
e ei i
i
ix
ix ix i
0 0 0 0 0
0 0
0
0
0 0 1 1 2
1 1 11 1
22
π π π π π
π π π π
π π∫ ∫ ∫
∫
= + = + − = − + − + = + =
= = − = − − =−
=
cos sin sin cos (sin sin ) ( cos cos ) ( )
On utilisera fréquemment : [ ]e dxik
eikx
a
b
ikx
a
b=∫ 1 formule analogue au calcul de la primitive
d'une exponentielle dans R....
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Séries de Fourier
I - Généralités :
1) Les séries de Fourier : Définition : On appelle série de Fourier ou série trigonométrique toute série de fonctions définie par : N deent mélé npour tout ntsinbntcosa)t(u nnn += En tout point t où la série converge on note S(t) sa somme.....
∑∑∞
=
∞
=
++=+=1n
nn00n
nn ntsinbntcosaantsinbntcosa)t(S
Remarque : si la fonction S existe alors elle est nécessairement 2π périodique
2) Des exemples : Exemple 1 : Considérons la série de Fourier : un(t)=cos nt+sin nt Déterminez le domaine de convergence D de cette série ? Etant donné que 0)t(ulim nn
≠∞→
pour toute valeur de t réelle le domaine de convergence D est
vide !
Exemple 2 : Considérons la série de Fourier :!nntcos
)t(un =
Déterminez le domaine de convergence D de cette série ?
On remarque "immédiatement" que : !n
1!nntcos
)t(u n ≤= pour tout t réel et que la série de
terme général αn n=
1! est une série convergente vers e donc la série (un(t)) est majorable et
convergente sur R
II - Développement en série de Fourier d'une fonction : Le problème de la décomposition en séries de Fourier est l'inverse du précédent c'est à dire étant donné une fonction 2π périodique peut-on trouver une série trigonométrique dont la somme est la fonction f donnée.... La réponse générale est NON... et oui avec certaines conditions que l'on appelle les conditions de Dirichlet
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1) Les coefficients : Soit x(t) un siganl 2π périodique, supposons qu'il existe une décomposition en série de Fourier de x(t) majorable alors :
∑∞
=
++=1p
pp0 ptsinbptcosaa)t(x donc
0
2a
a1pp
2a
a1pp
2a
a0
2a
a
a2ptdtsinbptdtcosadtadt)t(x π=++= ∫∑∫∑∫∫π+∞
=
π+∞
=
π+π+
et donc : ∫π+
π=
2a
a0 dt)t(x
21
a
Soit n un entier fixé supérieur ou égal à 1 :
∫
∫∑∫∑∫∫π+
π+∞
=
π+∞
=
π+π+
π=
=++=
2a
an
2n
2a
a1pp
2a
a1pp
2a
a0
2a
a
antdtcosa
ntdtcosptsinbntdtcosptcosantdtcosantdtcos)t(x
et donc : ∫π+
π=
2a
an ntdtcos)t(x
1a
Soit n un entier fixé supérieur ou égal à 1 :
∫
∫∑∫∑∫∫π+
π+∞
=
π+∞
=
π+π+
π=
=++=
2a
an
2n
2a
a1pp
2a
a1pp
2a
a0
2a
a
bntdtsinb
ntdtsinptsinbntdtsinptcosantdtsinantdtsin)t(x
et donc : ∫π+
π=
2a
an ntdtsin)t(x
1b
Remarque : Si f est développable en série de Fourier alors la série est unique Si x(t) est paire les coefficients bn sont nuls en effet x(t)sin(nt) est une fonction impaire
intégrée sur une période de plus ∫π+
π=
a
an ntdtcos)t(x
2a en effet x(t)cos(nt) est une fonction
paire intégrée sur une période
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Si x(t) est impaire les coefficients an sont nuls en effet x(t)cosnt est une fonction impaire
intégrée sur une période de plus ∫π+
π=
a
an ntdtsin)t(x
2b en effet x(t)sinnt est une fonction paire
intégrée sur une période
2) Théorème de Dirichlet :
Soit x(t) un signal 2π périodique. Si x(t) est de classe C1 par morceaux sur R alors la série de Fourier converge vers x(t) si
x(t) est continue en t et vers ( ))t(x)t(x21 −+ + si x(t) n'est pas continue en t.
Définition : Si un signal x(t) est développable en série de Fourier alors :
ntsinbntcosa)t(h nnn += est la n ième harmonique du signal (n>0)
tsinbtcosa)t(h 111 += est le fondamental
3) Des exemples : Exemple 1 : x(t)=-1 sur ]-π ,0[ et x(t)=1 sur [0,π[, x(t) est continue par morceaux sur [-π ,π] et dérivable à gauche et à droite en tout point, d'autre part x(t) est impaire donc tous les coefficients an sont nuls.
4...
1p2)1(
....71
51
31
-1 : donc et
.....1p2
)1(....
51
3)1(
114
=1et 12
xobtient on 2
=x Pour
:Remarque
.....1p2
t)1p2sin(....
5t5sin
3t3sin
1tsin4
=x(t) Donc
)1p2(4
b : alorsimpair est 12pn Si
0b : alorspair est 2pn Si
))1(1(n2
n1
ncosn12
ntcosp12
ntdtsin2
dtntsin)t(x1
b
p
p
12p
2p
n
00
2
0
n
π=++
−++−+
+
+−+++−+
π=
ππ
+++++++
π
π+=+=
==
−−π
=
+π−
π=
−π
=π
=π
=
+
πππ
∫∫
Exemple 2 : x(t)=t² sur [-π ,π], x(t) est continue par morceaux sur [-π ,π] et dérivable à droite et à gauche en tout point de plus x(t) est paire donc les coefficients bn sont nuls...
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11
n222
22
0n
2
00
)1(n4
ncosn4
ntcosnt2
ntsinn2
tn1
ntdtcos²t1
a
3²
dt²t21
a
−=π=
+
−
π=
π=
π=π
=
π
π−
π
π
∫
∫
après deux intégrations par parties successives permettant d'abaisser le degré de la partie polynomiale, on obtient alors :
....ntcos)1(n4
......t4cos41
t3cos94
t2costcos43
²t)t(x n2
2
+−+++−+−π==
Remarque : en prenant des valeurs particulières de t on obtient des sommes de séries classiques.... Exemple 3 : x(t)= t sur [-π ,π], x(t) est continue sur R et dérivable à gauche et à droite en tout point donc x(t) vérifie les conditions de Dirichlet de plus x(t) est paire donc les coefficients bn sont nuls...
π+−
=+=
==
−−π
=−ππ
=π
=π
=
π=π
=
+
ππ
π−
π
∫∫
∫
212p
2p
n22
0n
00
)1p2(4
a : alorsimpair est 12p n Si
0a : alorspair est 2pn Si
parties)par rationg(inté )1)1((n2
)1n(cosn2
ntdtcost2
ntdtcost1
a
2tdt
22
a
....t)1p2cos()1p2(
4......t5cos
254
t3cos94
tcos4
2)t(x
2++
π+−−
π−
π−
π−π=
4) Transformation de l'écriture de l'harmonique de rang n :
2n
2nn
n
nnnnnnn baAet
ab
= tanavec )ntcos(Antsinbntcosa)t(h +=ϕϕ−=+=
x(t) apparaît donc comme la somme : • d'un terme constant a0 qui représente la valeur moyenne de x(t) sur une période • d'une infinité de signaux sinusoïdaux de pulsations 1,2,.....,n,.... et d'amplitudes
A1,A2,....,An,.... qui sont les harmoniques de rang n La représentation en bâtons des valeurs de An en fonction de n est le spectre d’amplitude du signal. La représentation en bâtons des valeurs de ϕn en fonction de n est le spectre de phase du signal
5) Forme complexe d'une série de Fourier :
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int
nn
intn
int
1nn0
intnnint
1n
nn0
1n
intint
n
intint
n00n
nn0
ecececae2
ibae
2iba
a
i2ee
b2ee
aantsinbntcosaa)t(x
∑∑∑
∑∑∞
−∞=
−∞
=
−∞
=
∞
=
−−∞
=
=++=
++
−+
=
−+
++=++= avec :
( ) ( ) nnnnnnnnnn-nnn00 icicbet ccaiba21
cc iba21
c ac −− −=+=⇔+==−==
et )cIm(2bet )c(Ré2a nnnn −== de plus :
( )
( ) ∫∫∫
∫∫∫π+π+π+
−
π+−
π+π+
π=
π
+π
=+=
π=
π
−π
=−=
2a
a
int2a
a
2a
a
nnn
2a
a
int2a
a
2a
annn
dte)t(x21
ntdxsin)t(x1
intdtcos)t(x1
21
iba21
c
dte)t(x21
ntdxsin)t(x1
intdtcos)t(x1
21
iba21
c
donc dans
tous les cas, c'est à dire pour n quelconque entier relatif :
∑
∫∞
∞−
π+− ∈
π=
+int
n
2a
a
intn
ec=f(t)
Zn dte)t(x21
c
Remarques : Vous pouvez calculer les coefficients de Fourier an et bn OU calculer cn sous forme complexe à partir de la formule précédente, le résultat est évidemment identique - An=2 c Arg cn n et nϕ = ( )
III - Propriétés fondamentales :
1) Formule de Parseval : Si x(t) un signal 2π périodique développable en série de Fourier
∑∞
=
++=1n
nn0 ntsinbntcosaa)t(x alors :
∑∑∑∫+∞
−∞=
∞
=
∞
=
π
π−
=+=+
+=π n
2
n1n
2
n2
01n
2n
2n2
02 cc2a
2ba
adt)t(x21
Démonstration :
∑∑∑∑ ∫∫ ∑∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−−
+∞
∞−
∞+
∞−
π
π−
+∞
∞−
π
π−====
π
=π
2
nnnnnint
nint
n2 cccccdte)t(xcdtec)t(x
21
dt)t(x21
Remarque : cette formule traduit le fait que l'énergie du signal est égale à la somme des énergies des harmoniques...
2) Quelques définitions utilisées en électronique :
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Facteur de forme d'un signal : 0
n
2n
moy
eff2
f a
c
ff
F∑∞
−∞===
Taux d'ondulation : 0
n
2
n
a
c∑∞
−∞==β
Taux de distribution harmonique : 1
n
2n
c
c21
Z∑
∞
−∞==
3) Cas d'un signal périodique de période T quelconque :
Les conditions de décomposition de Dirichlet sont évidemment identiques sur [a,a+T]
Soit x(t) un signal T périodique définissons le signal
ω= t
x)t(y avec T2π=ω alors le signal
y(t) est 2π périodique en effet )t(yTt
x2t
x2t
x)2t(y =
+
ω=
ωπ+
ω=
ωπ+=π+ alors :
∑∑∞
=
∞
=
++=+=1n
nn00n
nn ntsinbntcosaantsinbntcosa)t(y et
∑∞
=
ω+ω=ω=0n
nn tnsinbtncosa)t(y)t(x avec :
( ) ( )∫∫∫∫++π+π+
=π
ω=
ωπ=
π=
Ta
a
Ta
a
2a
a
2a
a0 duux
T1
duux2
dtt
x21
dt)t(y21
a en posant ω
= tu et
ω= dt
du
( ) ( )∫∫∫∫++π+π+
ω=ωπω
=
ωπ=
π=
Ta
a
Ta
a
2a
a
2a
an uduncosux
T2
uduncosuxntdtcost
x1
ntdtcos)t(y1
a en
posant ω
= tu et
ω= dt
du
( ) ( )∫∫∫∫++π+π+
ω=ωπω
=
ωπ=
π=
Ta
a
Ta
a
2a
a
2a
an udunsinux
T2
udusinuxntdtsint
x1
ntdtsin)t(y1
b en
posant ω
= tu et
ω= dt
du on obtient finalement :
∫+
=Ta
a0 dt)t(x
T1
a
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∫+
ω=Ta
an tdtncos)t(x
T2
a
∫+
ω=Ta
an tdtnsin)t(x
T2
b
et :
∑∑∞
=
∞
=
ω+ω+=ω+ω=1n
nn00n
nn tnsinbtncosaatnsinbtncosa)t(x avec T2π=ω
Remarque : par un calcul analogue on obtient : ∫+
ω−=Ta
a
tinn dte)t(x
T1
c et ∑∞
−∞=
ω=n
tinnec)t(x
Exemple : x(t)=0 si -5≤t≤0 et x(t)=3 pour 0<t<5 (T= 10) Déterminer la série de Fourier de x(t).
23
1015
dt3101
dt)t(x101
dt)t(xT1
a5
0
5
5
T
00 ===== ∫∫∫ −
0t5
nsinn5
53
tdt5
ncos53
tdt5
ncos)t(x51
a5
0
5
0
5
0n =
π
π=π=π= ∫∫
( ) ( )( )π−−=
ππ−=
ππ
−=π=π= ∫∫ n11
3n
ncos13t
5ncos
p5
53
tdt5
nsin53
tdt5
nsin)t(x51
bn5
0
5
0
5
0n
Par conséquent si n est pair alors bn=0 et si n est impaire alors an=6nπ
donc
+π+π+π
π+= .....
5t5
sin51
5t3
sin31
5t
sin6
23
)t(x
4) Séries de Fourier en cosinus et sinus :
Le développement d'un signal T périodique x(t) en série de Fourier en cosinus, est un développement où seuls sont présents les termes en cosinus. Pour obtenir ce genre de développement on décompose y(t) définie par y(t)=x(t) sur [0,T/2] et y(t)=x(-t) sur [-T/2,0] le
signal y(t) est alors pair (bn=0) il ne reste donc que les coefficients : ∫= 2
T
00 dt)t(xT2
a ;
∫ ω= 2
T
0n tdtncos)t(xT4
a et x(t)=∑∞
=
ω0n
n tncosa
Remarque : Pour une décomposition en sinus : ∫ ω= 2T
0n tdtnsin)t(xT4
b et x(t)=∑∞
=
ω1n
n tnsinb
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Exemple : décomposer le signal x(t)=sin t en une série de Fourier en cosinus
T=2π et ω=1 (a1=0 et a0=2π
) donc pour n#1
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( ))1n(
)11(21n
11n
11n
11n
11
1nnttcos
1nnttcos1
dtnttsinnttsin1
ntdtcostsin2
a
2
n1nn
000n
−π−+−=
−−
++
−−+
+−
π
=
−−+
++−
π=−++
π=
π=
+
πππ
∫∫Si
n est impair alors an=0 et si n est pair alors ( )ann =−
−4
12π et donc
x(t)=
+
−+
−π−
π....
14t4cos
12t2cos42
22 sur [0,T/2]
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Les séries de Fourier (TD) I - On considère le signal 2π périodique x(t) défini par : x(t) 1 -3π -π π 3π t -2π 0 2π 4π -1 II - On considère le signal 2π périodique x(t) défini sur une période par : x(t) 1 - π 0 t -2 III - On considère le signal T périodique x(t) défini sur une période par : x(t) A 0 T/2 T t -A IV - On considère le signal T périodique x(t) défini sur une période par : x(t) B 0 T/2 T t -B
1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t) 2) En déduire les valeurs des sommes des séries :
( )
p=
∞
∑0
-1
2p + 1
p
et ( )p=
∞
∑0
1
2 p + 1
2
Déterminer son développement en série de Fourier
1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t) 2) Calculer et représenter graphiquement le spectre de ce signal
1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t) 2) Calculer et représenter graphiquement le spectre de ce signal
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V - On considère le signal T périodique x(t) défini sur une période par : x(t) E 0<a<1 0 t aT T VI - On considère le signal T périodique x(t) défini sur une période par : x
0 T/4 T/2 3T/2 T t
VII - On considère le signal T périodique x(t) défini sur une période par : x(t) = cos ωt 1 t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2
VIII - On considère le signal T périodique x(t) = 2t sin 1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t)
2) Déterminer le développement se série de Fourier de sa dérivée
IX - On considère le signal 2-périodique défini sur une période par : x(t) 1 0 1 2 X - On considère le signal T-périodique x(t) défini de la manière suivante : x(t) a
1) a)Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t) b) Que devient ce développement lorsque a tend vers 0 ? vers 1 ? 2) Calculer et représenter graphiquement le spectre de ce signal
1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t) 2) Calculer et représenter graphiquement le spectre de ce signal 3) Puissance de ce signal
1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal x(t) 2) Calculer et représenter graphiquement le spectre de ce signal 3) Puissance de ce signal
1) Déterminer, en utilisant la notation complexe, le développement en série de Fourier du signal x(t) 2) Déduire du résultat précédent le facteur de forme, de distorsion et d’ondulations.
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0 T/3 2T/3 T t
Déterminer la série de Fourier de ce signal
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La transformée de Fourier
I - Généralités :
1) Le produit de convolution : Définition : Soient x(t) et y(t) deux signaux définis sur R et à valeurs dans C, on appelle produit de convolution de x par y, la fonction, si elle existe définie par :
∫+∞
∞−τττ−= d)(y)t(x)t)(y*x(
Exemple : calculer le produit de convolution de y(t)= 0 si t<0 et y(t)= e-t pour t≥0 par x(t)=0 si t<-1 ou t>1 et x(t)=1 pour -1≤t≤1 (signal rectangle) La fonction x(t-τ) est le signal translaté de t et symétrique du signal rectangulaire centré à l’origine. 1er cas : 1t01t −<⇔<+
t-1 t t+1 0 τ x(t-τ)y(t)=0 et (x*y)(t)=0 2ième cas : t+1≥0 et t-1≤0 1t1 ≤≤−⇔
t-1 0 t t+1 τ
[ ] 1eeded)(y)t(x)t)(y*x( 1t1t
0
1t
0+−=−=τ=τττ−= −−+τ−+ τ−+∞
∞− ∫∫
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3ième cas : t-1>0 1t >⇔
0 t-1 t t+1 τ
[ ] 1t1t1t
1t
1t
1teeeded)(y)t(x)t)(y*x( +−−−+
−τ−+
−
τ−+∞
∞−+−=−=τ=τττ−= ∫∫
Représentation de (x*y)(t) :
-1 0 1 t Propriétés élémentaires : On montre aisément à partir de la définition que lorsque le produit de convolution existe : x*y=g*f x*(y*z)=(x*y)*z x*(y+z)=x*y+x*z
2) Des signaux particuliers :
a) Le signal exponentiel : Il est définit par : x(t)=0 pour t<0 et x(t)=ceat pour t≥0
b) L'échelon unité : Il est définit par : Γ(t)=0 pour t<0 et Γ(t)=1 pour t≥0 Remarque : x(t)=ceatΓ(t) permet de définir globalement le signal exponentiel
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c) L'impulsion de Dirac :
L'impulsion de Dirac n'est pas une fonction à proprement parler mais une "distribution" qui un ensemble plus vaste que celui des fonctions. On peut la définir intuitivement comme la limite
lorsque a tend vers 0 d'un "signal porte" défini par : ∆(t) =1a
pour − ≤ ≤a
ta
2 2 et ∆(t)=0 pour
lequel : ∆ ( )t dt =−∞
+∞∫ 1 et lim ( ) lim ( )t a t
t t→ →
= ≠ = +∞∆ ∆00
pour t 0 et , on admettra donc que
l'impulsion de Dirac noté δδ est égal à l'infini en 0, nulle ailleurs et que δ( )t dt =−∞
+∞∫ 1
Remarques : - l'intégrale ne signifie rien au sens de Riemann, puisque δ n'est pas une fonction.. - on définit δ(t-t1) comme le translaté de δ en t1
- on convient de représenter une impulsion de Dirac par une flèche vertical de longueur égale à 1 Propriétés : (i) Pour toute fonction f indéfiniment dérivable :
)t(xd)(x)t(et )0(xdt)t()t(x ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−=τττ−δ=δ
(ii) Pour tout x etλ réel non nul : x*δ=δ*x=x Démonstration : (i)
( )
moyenne)la de rèmeo(thé 2a
t2a
)0(x)t(xlima)t(xa1
limdt)t(xa1
limdt)t()t(xlimdt)t()t(x
a
a0aa0a
2a
2
a0a0a
≤≤−
====∆=δ→
∞+
∞− →−→→
∞+
∞− ∫ ∫∫
( )
2a
tt2a
-car t )t(x)t(xlim)t(axa1
limdu)u(xa1
lim
d)t(xa1
limd)()t(xlim)t(*xlimd)(x)t()t)(*x(
aa0aa0a
2a
t
2a
t0a
2a
2a
0aa
0a0a
+≤≤===
=ττ−=ττ∆τ−=∆=τττ−δ=δ
→→
+
−→
−→
∞+
∞−→→
∞+
∞−
∫
∫∫∫
Remarque : δ(t)=d t
dtΓ( )
et Γ(t)= δ( )t dtt
−∞∫
(ii) x*δ= δ*x=x résulte du résultat précédent et de la commutativité de *
II - Transformation de Fourier :
1) Définition :
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(i) Soit x(t) une fonction de R vers C telle que ∫+∞
∞−dt)t(x
2<∞ (signal à énergie finie) ; on
appelle transformée de Fourier de x(t), la fonction : F ( )( ) $( ) ( )x f x f x t e dti ft= = −
−∞
+∞∫ 2 π
(ii) On appelle transformée de Fourier inverse de $x la fonction définie par :
y t x f e dfi ft( ) $( )=−∞
+∞∫ 2 π Remarques : - y(t)=x(t) si x est continue en t, si f admet une limite à droite et à gauche en t alors
y(t)=x t x t( ) ( )+ −+
2
- La condition ∫+∞
∞−dt)t(x
2<∞ est une condition suffisante d’existence de la transformée de
Fourier (Théorème de Plancherel) elle implique en particulier que : 0)t(xlimt
=±∞→
- De nombreux signaux de carré non intégrable admettent cependant des
transformées de Fourier (signaux périodiques, impulsion de Dirac …) qui ne sont plus des fonctions classiques mais des distributions.
- Le signal x(t) est dans le "domaine" temporel et la transformée de Fourier permet de voir le même signal dans le "domaine spectral" ; cette transformation a de multiples applications notamment en Télécommunication.... Exemple 1 : Soit x(t) défini par : x(t)=0 si t>T ou t<-T et x(t)=1 pour -T≤t≤T alors :
[ ] ( )$( ) sin sinx f e dti f
ei f
e ee e
i f ffT Ti ft
T
Ti ft
T
T i fT i fTi fT i fT
= =−
=−
− =−
= =−
−
−
−
−−
∫ 2 2 2 22 21
21
2 21
2 2π π π ππ π
π π π ππ πc(2 fT)
en définissant la fonction sinc(t) (sinus cardinal) par : sin ( )sin
c xx
x= (x#0) prolongée par
continuité par sin c(0)=1 Exemple 2 : x(t)=e-t pour t≥0 et x(t)=0 pour t<0
F t +
t +
( )( ) lim
lim
x f e e dt e dti f
ei f
cari f
e
ei f
t i ft t i ft t i ft t i ft
tt
= = = −+
=+
−+
=
+=
− −+∞ − −+∞ − −+∞
→ ∞
− −
→ ∞
−
∫ ∫2
0
2
0
2
0
211 2
11 2
11 2
1 20
π π π π
π π π
π
2) Propriétés et définitions immédiates : Soit x(t) un signal réel ou complexe admettant une transformée de Fourier
alors :
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(i) ( ))f)(x(Fdte)t(xdte)t(x)f)(x(F fti2fti2 =
==− ∫∫+∞
∞−
π−+∞
∞−
π
(ii) )f)(x(ifti2 e)f(x̂ftdti2sin)t(xiftdti2cos)t(xdte)t(x)f(x̂)f)(x(F θ+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
π− =π−π=== ∫∫∫
$ ( )x f est le spectre d’amplitude du signal
θ( )( )x f est le spectre de phase du signal
3) Propriétés de la transformée de Fourier : (i) La transformée de Fourier est linéaire : Pour tous réels a et b et signaux x et y :F(ax+by)=aF(x) +b F(y) (ii) Transformée de Fourier et convolution : Pout tous signaux x et y : F(x*y)= F(x) F(y) (iii) Transformée de Fourier et dérivation : Pour tout signal x n fois dérivable : F(x(n))=(2iππ f)n F(x) En particulier : F(x') =(2iπf)F(x) (iv) Théorème du retard : Pour tout signal x et tout réel a : F(x(t-a))= e-2i ππ faF(x(t)) (v) Produit par une exponentielle : Pour tout signal x et tout réel a : F(x(t)e-2i ππ at)(f)=F(x(t))(f+a)) (vi) Produit par le temps :
Pour tout signal x :F(tx(t))=-1
2id x f
dfπ( ( ))( )F
(vii) Changement d'échelle :
Pour tout signal x et tout réel non nul a : F(x(at))=1a
F(fa
)
Démonstration : (i) La linéarité se montre simplement en utilisant la linéarité de l'intégrale
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(ii)
[ ] [ ][ ] [ ]
F ( * )( ) ( * )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
$ ( ) $( )
( )
x y f x y t e dt x t u y u du e dt x t u e dt y u du
x v e dv y u du x v e dv e y u du x v e dv e y u du
x f y f
i ft i ft i ft
i f u v i fv i fu i fv i fu
= = − = − =
= =
=
−
−∞
+∞
−∞
+∞−
−∞
+∞−
−∞
+∞
−∞
+∞
− +
−∞
+∞
−∞
+∞ −
−∞
+∞ −
−∞
+∞ −
−∞
+∞ −
−∞
+∞
∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2 2 2 2
π π π
π π π π π
(iii)
[ ]$ ' ( ) ' ( ) $
' ' ( ) (int
x f x t e dt e e dt i
car u x t e é gration pa
e dt
i ft i ft i ft
i ft i ft
i ft
= = + = +
= =
= =
−
−∞
+∞ −−∞
+∞ −
−∞
+∞
− −
→∞
−
→∞ −∞
+∞
∫ ∫
∫
2 2 2
2 2
2
0 2
0
π π π
π π
π
π π
π
x(t) 2i x(t) x(f)
et v alors u = x(t) et v' = -2i fe r partie) et
lim x(t) lim x(t) car l' intégrale x(t ) est convergentex x
Par dérivation successive on obtient la formule prévue (iv) $( )( ) ( ) $( )( )( )x t a f x t a e du e du e e du e x t fi ft i f a u i fa i fu i fa− = − = = =−
−∞
+∞ − +
−∞
+∞ − −
−∞
+∞ −∫ ∫ ∫2 2 2 2 2π π π π πx(u) x(u)
car u = t - a et t = a + u
(v)
F F( ( ) ))( ) ( ) ( )x t e f x t e e dt e dti at i at i ft i t a f− − −
−∞
+∞ − +
−∞
+∞= = =∫ ∫2 2 2 2π π π πx(t) (x(t))(a + f)
(vi)
( ) ( )d x fdf
d x t e dt
dfx t
d edf
dt i tx t e dt i tx t
i fti ft
i ftFF
( )( ) ( )( ) ( ) ( ( ))= = = − = −
−
−∞
+∞−
−∞
+∞ −
−∞
+∞∫∫ ∫
22
22 2
ππ
ππ π
(vii)
a) de signe lesuivant bornes des (inversionadt =du alors atu
af
))t(x(a1
due)u(xa1
dte)at(x)f))(at(x( au
fi2fti2
=
=== ∫∫
∞+
∞−
π−∞+
∞−
π−F
3) Corrélation, relation de Parseval et dualité :
a) Corrélation,densité spectrale d’énergie :
Définition :
(i) On appelle fonction d'intercorrélation de deux signaux réels x et y de carré
sommable : ∫+∞
∞−τ+=τφ dt)t(y)t(x)(xy et fonction d'autocorrélation :
∫+∞
∞−τ+=τφ dt)t(x)t(x)(xx
(ii ) On appelle densité spectrale d’énergie ou spectre d’énergie du signal réel x la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation:
∫+∞
∞−
π−φ=Φ dte)t()f( fti2xxX
Remarques :
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25
- La fonction d’autocorrélation est paire en effet :
)(du)u(x)u(xdt)t(x)t(x)( xxxx τφ=τ+=τ−=τ−φ ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
- La valeur à l’origine (τ=0) de la fonction d’autocorrélation est égale à l’énergie du signal :
Wdt²)t(xdt)t(x)t(x)0(xx ===φ ∫∫+∞
∞−
∞+
∞−
- D'après la définition du produit de convolution : φ τ τ τ φ τ τ τxy xxx y x x( ) ( )* ( ) ( ) ( )* ( )= − = − et
- Les fonctions d’inter et d’auto-corrélation de signaux périodiques de période T sont également périodique de même période
Propriété fondamentale : Pour tout signal x : ΦΦ x(f)= ||F(x(ττ ))(f))|| ² Ce qui peut s’exprimer par : la densité spectrale d’énergie d’un signal est égale au carré du module de sa transformée de Fourier En effet :
2)))((())(())(()))((()))((()))((*)(()))((()(Ö fxFxFxFfxFfxFfxxFfFf xxx ττττττττφ ==−=−==
b) Relation de Parseval :
Pour tous signaux x à énergie finie :
( ) ∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−Φ=== dffdffxdttxW x )()()(
22F
D’après la définition de la densité spectrale :
∫+∞
∞−
τπ− τΦ=τΦ=τφ de)f()))(f((F)( fi2xx
1xx d’autre part :
Wdt²)t(xdt)0t(x)t(x)0(xx ==+=φ ∫∫+∞
∞−
∞+
∞−et ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
π Φ=Φ=φ df)f(dfe)f()0( x0fi2
xxx
On obtient alors : ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−Φ== df)f(dt)t(xW x
2or d’après le paragraphe précédent :
( ) ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−Φ= df)f(df)f(xF x
2finalement : ( ) ∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−Φ=== df)f(df)f(xFdt)t(xW x
22
Remarques :
- L’énergie totale du signal se calcule soit en intégrant sa distribution temporelle |x(t)|² ou en intégrant sa densité spectrale d’énergie : Φx(f)
- De la relation 2x )f)(x(F)f( =Φ on en déduit que la densité spectrale d’énergie
est indépendante du spectre de phase, donc insensible, en vertu du théorème du retard à toute translation du signal sur l’axe des temps.
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26
- La densité spectrale est une fonction positive
- La fonction d’autocorrélation est paire par conséquent la densité
spectrale d’energie est aussi une fonction réelle paire.
c) Dualité : D’après la définition de la transformée de Fourier et de sa réciproque on obtient le « Principe de dualité » : si (x(t)) = y(f) alors (y(t)) = x(-f)F F Application du principe de dualité : F(x.y)= F(x)* F(y)
4) Les exemples fondamentaux :
a) Transformée d'une fenêtre rectangulaire :
Traité en exemple :
F ( sinRect) T= 2 c(2 fT)π
b) Transformée des impulsions :
1edt)t(e)f)((F 0fi2fti2 ==δ=δ π−+∞
∞−
π−∫
c) Transformée d'une constante :
En toute rigueur, une constante n'a pas de transformée de Fourier au sens des fonctions puisque une fonction constante n'est pas intégrable sur R, cependant elle admet une transformée de Fourier au sens des distributions à savoir : Soit xa(t)=e a t− intégrable sur R, alors lim ( )
a ax t→
=0
1pour tout t réel.
$ ( )x f e e dt e e dt e dt e dta i f
ea i f
e
a i f a i fa
a fa
a fa
aa
a f
aat i ft at i ft at i ft at i ft at i ft at i ft= + = + =
−
+− −
=−
++
=+ +
= ≠ = +∞
+
−
−∞
− −+∞ −
−∞
− −+∞ −
−∞
− −+∞
→ →
∫ ∫ ∫ ∫20
2
0
20 2
0
2
0
2
0
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
12
12
12
12
24
24
02
24
π π π π π π
π π
π π π π
π
or lim pour f 0 et lim pour f = 0 de plusa 0 a 0
[ ]dfa f
a
dfu
du Arc uf
a adf=
+
=+
= =−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞∫ ∫ ∫2 1
12
1 11
11
2 22 2π π π
π πtan avec u = et du =
Par conséquent : si 1 désigne la fonction constante égale à 1 :
F(1)=δ Remarque : on obtient ce résultat de façon plus évidente par dualité
d) Transformée de la fonction signe :
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La fonction signe est définie par : Sgn(t)=1 si t>0 et Sgn(t)=-1 si t<0. De même que pour la fonction constante, il n'y a pas de transformée de Fourier au sens des fonctions cependant la démarche d'approximation précédente peut être utilisée et on obtient par un calcul analogue :
F(Sgn(t))=fi
1π
e) Transformée de l'échelon :
L'échelon noté Γ(t) est défini par : Γ(t)=0 si t<0 et Γ(t)=1 si t≥0. De même que pour la fonction constante ou la fonction signe, il n'y a pas de transformée de Fourier au sens des
fonctions cependant Γ(t)=21
)tSgn(21 + donc par linéarité et d'après le calcul précédent :
F(Γ(t))= δ+π
=+21
fi21
)1(F21
))t(sgn(F21
F(Γ(t)) δ+π
=21
fi21
f) Transformée du signal harmonique :
- Commençons par déterminer la transformée de Fourier de x(t)=e i f t2 0π :
F(x(t))(f)= F(e i f t2 0π 1)(f)= F(1)(f-f0))=δ f f− 0
- Le résultat de ce calcul et les formules d'Euler permettent d'écrire :
F(cos(2πf0t)= Fe ei f t i f t2 20 0
2
π π+
−
=12
120 0
δ δf f f f− ++ finalement :
F(cos(2πf0t))=12
120 0
δ δf f f f− ++
g) Transformée de : x(t)=e ts t0 Γ( ) (s0 est réel ou complexe)
00
fti2ts
00
fti2ts
sfi21
efi2s
1dtee)f))(t(x(F 00
−π=
π−
==+∞
π−∞+ π−∫ ce calcul n'est possible que pour
Réel(s0)<0 afin que la limite en +∞ soit nulle. Remarque : Dans le cas ou Réel(s0)=0 (s0=2iπf0)
F(e i f t2 0π Γ(t))(f)= F(Γ(t))(f-f0)) ( ) )ff(21
ffi21
00
−δ+−π
=
- Si a est réel strictement positif :
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F(e at− Γ(t))(f)= 12a i f+ π
- Si a est réel strictement positif :
F(e at− cos (2πf0t) Γ(t))(f)= ( )
a i fa i f f
++ +
22 22
02
ππ π( )
Remarque : les transformées de nombreux autres signaux se calculent à partir des fonctions fondamentales et des propriétés ....
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5) Tableau récapitulatif :
Signal Transformée de Fourier Commentaire δ(t) 1 Le signal n’est pas une fonction
δ(n)(t) (2iπf)n Le signal n’est pas une fonction
e a t− 22a
a f² ( )²+ π
La transformée de Fourier n’existe que pour a>0
2te π− 2fe π− Signal Gaussien
1 δ(f) Transformée de Fourier au sens des distributions
Sgn(t) fi
1π
Transformée de Fourier au sens des
distributions
e i f t2 0π δ(f-f0) Transformée de Fourier au sens des distributions
δ( )t nT−−∞
+∞
∑ 1T
fnT
δ( )−−∞
+∞
∑ Le signal est le peigne de Dirac
Transformée de Fourier au sens des distributions
cos(2πf0t) 12
120 0δ δ( ) ( )f f f f− + +
Transformée de Fourier au sens des distributions
sin(2πf0t) 12
120 0i
f fi
f fδ δ( ) ( )− − + Transformée de Fourier au sens des
distributions
Rect(t/T) 2Tsinc(2πfT) Fenêtre rectangulaire sinc(t)=sint/t
2f0sinc(2πf0t) Rect(f/f0)
Γ(t) )f(
21
fi21 δ+π
Transformée de Fourier au sens des
distributions
estΓ(t) sfi2
1−π
La transformée de Fourier existe au sens
des fonctions pour Re(s)<0 (s est un complexe)
e-atΓ(t) 12i f aπ +
La transformée de Fourier existe au sens
des fonctions pour a>0 (a réel)
te-atΓ(t)
( )1
2i f aπ + ²
La transformée de Fourier existe au sens des fonctions pour a>0 (a réel)
sin(2πf0t) Γ(t) [ ])ff()ff(i4
1²f²f
f21
000
0 +δ−−δ+−
Transformée de Fourier au sens des distributions
e i f t2 0π Γ(t) )ff(21
ff1
i21
00
−δ+−π
Transformée de Fourier au sens des distributions
e-at sin(2πf0t) Γ(t)
( )2
2 22
02
ππ π
f
i f a f+ + ( )
La transformée de Fourier exis te au sens des fonctions pour a>0 (a réel)
e-at cos(2πf0t) Γ(t)
( ) 20
2 )f2(afi2
af2
π++π+π
La transformée de Fourier existe au sens
des fonctions pour a>0 (a réel)
Transformation de fourier (TD)
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I – 1) On considère le signal x(t) défini par : x(t)=0 si Tt > et x(t)=1 si Tt ≤ Déterminer à partir de la définition le produit de convolution x*x 2) En déduire la transformée de Fourier du signal : 2T -2T 2T II - On considère les signaux x(t) et y(t) définis de la manière suivante : x(t) 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t
-1 y(t) 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t
-1
Calculer les transformées de Fourier de x(t) et de y(t). III - Calculez en utilisant les propriétés classiques, les transformées de Fourier de :
11
12 2 1 2
2 2
+ − + +− −
t t ttt
tt
te e tt t
²;
²;( ² )
;sin
; ; sinπ
ππ ππ π
IV - Calculer les produits de convolution suivants :
1) 1 1
a t b tat
atbt
bt² ²*
² ²;sin
*sin
+ +π
ππ
π
2) x(t) * x(t) lorsque x(t) = e 21 2
t-
2
π.
3) h(t) =
π∗
π2
2
2
2
b2
t-a2
t-e
2b
1 e
2a
1
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V - Soit x(t) = (t)Ã e-at où Γ(t) est l’échelon unité et soient les signaux y(t)=x(t)+x(-t) z(t)=x(t)-x(-t) (a>0) 1) a) Déterminez les graphes et les transformées de Fourier de x, y et z
b) En déduire la valeur des intégrales : cos
²;
sin²
;ω ωtt
dtt t
tdt
1 10 0+ +
+∞ +∞
∫ ∫
2) Déterminer la fonction d’autocorrélation φ xx
3) Calculer la densité spectrale d’énergie de x(t) et verifier la formule :
( ) )f(Ö)f(xF x
2 = VI - On considère les signaux x et y définis par : [ [∞= + 0,pour e = et y(t) ex(t) -2at -at avec a>0 1) Calculer la fonction d’intercorrélation : xyφ et le produit de convolution x*y 2) Calculer la densité interspectrale d’énergie des signaux x et y , c’est à dire calculer la transformée de Fourier de la fonction d’intercorrélation de x et y VII - Montrez qu’un signal x(t) et x(t-t0) ont la même fonction d’autocorrélation...
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- TABLE DES MATIERES -
TRAITEMENT DU SIGNAL - GENERALITES........................................................................... 1 I - Les séries classiques : .................................................................................................... 1
1) Les définitions :....................................................................................................................................................1 2) Propriétés : ............................................................................................................................................................2 3) Les séries absolument convergente : ................................................................................................................2
II - Les séries de fonctions :................................................................................................ 3 1) Généralités : ..........................................................................................................................................................3 2) Propriétés ..............................................................................................................................................................4
III - Calcul de quelques intégrales : ................................................................................... 4 1) Formules de trigonomètrie et analyse de fourier............................................................................................4
2) cos cospx qxdxa
a+∫ 2π (p et q étant deux entiers).............................................................................................5
3) sin sinpx qxdx−
∫π
π (p et q étant deux entiers)............................................................................................5
4) cos sinpx qxdx−
∫π
π (p et q étant deux entiers) ...........................................................................................6
IV - Les fonctions de variable réelle à valeurs dans C ........................................................ 6 1) Exemples :.............................................................................................................................................................6 2) Définition et calcul d'intégrales de fonction de R dans C : ..........................................................................7
SERIES DE FOURIER .......................................................................................................... 8
I - Généralités :.................................................................................................................. 8 1) Les séries de Fourier : .........................................................................................................................................8 2) Des exemples : .....................................................................................................................................................8
II - Développement en série de Fourier d'une fonction :..................................................... 8 1) Les coefficients : ..................................................................................................................................................9 2) Théorème de Dirichlet : ....................................................................................................................................10 3) Des exemples : ...................................................................................................................................................10 4) Transformation de l'écriture de l'harmonique de rang n : ...........................................................................11 5) Forme complexe d'une série de Fourier : .......................................................................................................11
III - Propriétés fondamentales :....................................................................................... 12 1) Formule de Parseval : ........................................................................................................................................12 2) Quelques définitions utilisées en électronique : ...........................................................................................12 3) Cas d'un signal périodique de période T quelconque : ................................................................................13 4) Séries de Fourier en cosinus et sinus : ...........................................................................................................14
LES SERIES DE FOURIER (TD)......................................................................................... 16
LA TRANSFORMEE DE FOURIER....................................................................................... 19
I - Généralités :................................................................................................................ 19 1) Le produit de convolution : ..............................................................................................................................19 2) Des signaux particuliers : .................................................................................................................................20
II - Transformation de Fourier :...................................................................................... 21 1) Définition : ..........................................................................................................................................................21 2) Propriétés et définitions immédiates : ............................................................................................................22 3) Propriétés de la transformée de Fourier :.......................................................................................................23 3) Corrélation, relation de Parseval et dualité : .................................................................................................24 4) Les exemples fondamentaux : .........................................................................................................................26 5) Tableau récapitulatif : .......................................................................................................................................29
TRANSFORMATION DE FOURIER (TD).............................................................................. 29
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