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Traitement du Signal (2008-2009) - FIP 1A Christophe DOIGNON Maˆ ıtre de Conf´ erences HdR Universit´ e Louis Pasteur de Strasbourg Bureau C418 - ENSPS, Pˆole API Boulevard Brant, 67412 Illkirch, France 03 90 24 43 41 courriel : [email protected]

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Traitement du Signal(2008-2009) - FIP 1A

Christophe DOIGNON

Maıtre de Conferences HdR

Universite Louis Pasteur de StrasbourgBureau C418 - ENSPS, Pole API

Boulevard Brant, 67412 Illkirch, France

� 03 90 24 43 41courriel : [email protected]

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(a) (b)

Figure 1 – (a) Tour de Chappe. (b) Claude Chappe.

La tour de Chappe (a) est le premier reseau de telecommunications au monde. Lastation de Saverne, reconstruite en 1968, faisait partie de la ligne telegraphiquequi reliait Paris a Strasbourg a partir du 31 mai 1798. Claude Chappe (Fig. 1-b),ne le 25 decembre 1763 a Brulon en France et mort le 23 janvier 1805 a Paris,fut un inventeur qui demontra la communication pratique par semaphore. Il futle premier entrepreneur des telecommunications dans l’histoire de l’humanite.Avec son frere Ignace, il determina par experimentation que les angles d’uneperche etaient plus faciles a voir que la presence ou l’absence de panneaux. Lesemaphore etait constitue de deux bras connectes par une traverse (Fig. 1-a).Chaque bras avait sept positions et la traverse quatre soit un code total de 196positions. Les bras avaient de un a quatre metres de long, noirs, avec des contre-poids deplaces par deux poignees. Des lampes montees sur les bras ne furentpas d’une utilisation nocturne satisfaisante. Les tours de relais etaient placeesde 12 a 25 km entre elles. Chaque tour avait deux telescopes pointant de chaquecote de la ligne. En 1791, les premiers messages furent envoyes avec succes entreParis et Lille par l’intermediaire de quinze stations. Le 1er septembre 1794, laligne de semaphore informa les Parisiens de la victoire de Conde-sur-l’Escautsur les Autrichiens moins d’une heure apres l’evenement.

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Table des matieres

Bibliographie 7

1 Introduction 9

2 Representation des Signaux Deterministes 152.1 Signaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Fonction echelon (unite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Fonction rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Fonction triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.5 Fonction sinus cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.6 Impulsion unite (distribution de Dirac) . . . . . . . . . . 182.1.7 Fonction ”peigne de Dirac” (fonction d’echantillonnage) . 20

2.2 Energie et Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1 Analogie electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Energie d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Puissance moyenne d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Classification des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Signaux a energie finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Signaux a puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Causalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4 Parite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Transformations frequentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2 Theoreme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3 Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Correlation et densites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.1 Signaux a energie finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7.2 Signaux a puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . 322.7.3 Densites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.4 Theoreme de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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ULP TABLE DES MATIERES

3 Filtrage analogique 373.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Filtres stables physiquement realisables . . . . . . . . . . 393.1.2 Frequence de coupure et bande passante . . . . . . . . . . 403.1.3 Transformations de frequences . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Synthese des filtres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1 Les filtres ideaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Les filtres realisables classiques . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.3 Gabarits normalises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.5 Filtres polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.6 Filtres elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Modulation, demodulation 634.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Modulation d’amplitude (AM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2 Spectre du signal module . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.3 Puissance moyenne transmise . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.4 Demodulation AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.5 Modulation sans porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.6 Modulation a bande laterale unique (BLU) . . . . . . . . 69

4.3 Modulation de frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3.2 Spectre du signal module . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.3 Modulateurs FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.4 Demodulateurs FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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Bibliographie

[1] B. Picinbono, Theorie des signaux et des systemes, 1989, 260 pages, DunodUniversite. ISBN 2-04-018837-1.

[2] F. de Coulon, Theorie et traitement des signaux, Dunod, Paris, 1985.

[3] J. Max et J.-L. Lacoume, Methodes et techniques de traitement du signal et

application aux mesures physiques, Masson, Paris, 1996.

[4] J.-P. Delmas, Elements de theorie du signal : les signaux deterministes, El-lipses, Paris, 1991.

[5] M. Labarrere, J.-P. Krief et B. Gimonet, Le filtrage analogique, Cepadueseditions, Toulouse, 1982.

[6] P. Duvaut, Traitement du signal : concepts et applications, Hermes, Paris,1991.

[7] J. Wade, Codage et traitement du signal, Masson, Paris, 1991.

[8] S. Wilson, Digital modulation and coding, Prentice-Hall, Upper Saddle River,1996.

[9] M. Kunt, Traitement numeriques des signaux, Dunod, Paris, 1991.

[10] M. Bellanger, Traitement numeriques des signaux, Masson, Paris, 1991.

[11] R. Boite et H. Leich, Les filtres numeriques, Masson, Paris, 1990.

[12] T. Parks et C. Burros, Digital filter Design, John Wiley & Sons, 1987.

[13] K. Castleman, Digital Image Processing, Prentice Hall, 1996.

[14] A. Bovik, Handbook of Image and Video Processing, Academic Press, 2000.

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ULP TABLE DES MATIERES

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Chapitre 1

Introduction

Joseph Fourier (21 mars 1768 a Auxerre - 16 mai 1830 a Paris) est unmathematicien et physicien francais connu pour ses travaux sur la decompositionde fonctions periodiques en series trigonometriques convergentes appelees seriesde Fourier. Il a ete instruit par les Benedictins a l’ecole militaire d’Auxerre.Il etait destine a l’etat monastique, mais il prefera s’adonner aux sciences. Ila participe a la revolution francaise, manquant de peu de se faire guillotinerdurant la Terreur, il a ete sauve de justesse par la chute de Robespierre. Ilintegre l’Ecole Normale Superieure, ou il aura comme professeur entre autresJoseph-Louis Lagrange. Fourier est connu pour sa theorie analytique de la cha-leur (1822). C’est a Grenoble qu’il conduit ses experiences sur la propagationde la chaleur qui lui permettront de modeliser l’evolution de la temperatureau travers de series trigonometriques. Ces travaux qui apportent une grandeamelioration a la modelisation mathematique de phenomenes ont contribue auxfondements de la thermodynamique.

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ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Le Traitement du Signal (TdS) est une discipline indispensable que toutingenieur doit connaıtre. L’amelioration des performances des systemes au coursdes trente dernieres annees est due, pour une grande part, a l’application destechniques de traitement du signal. C’est le cas notamment en imagerie medicale,en telephonie et telecommunication. Un systeme d’imagerie echographique parultra-sons, l’IRM ou encore les RADAR actuels sont des inventions dont lesperformances (en termes de precision et de rapidite) sont sans commune mesureavec les premiers prototypes apparus. Les structures materielles sont sensible-ment les memes, mais les techniques de traitement de signal faisant appel a destraitements numeriques sophistiques ont ete integrees pour permettre d’extrairede l’echo sonore ou de l’image reconstituee une quantite plus grande d’informa-tions. Les implications en ce qui concerne un diagnostic medical, la surveillanced’une zone aerienne ou sous-marine ou encore la localisation de pannes sontimmediates. L’objectif du traitement du signal apparaıt alors comme un ou-til mathematique employe pour extraire un maximum d’informations utiles surun signal perturbe par du bruit. Les signaux utiles sont souvent perturbes pardes signaux parasites (le bruit) qui les masquent parfois completement. Pourattenuer, sinon supprimer, ce bruit il faut en connaıtre les caracteristiques ainsique celles du signal utile. C’est pourquoi le traitement du signal est une disci-pline tres mathematique. Les techniques utilisees peuvent etre appliquees a unsignal analogique (continu) mais compte tenu de leur complexite, un traitementnumerique s’impose presque toujours. Il est rendu possible grace a la puissancedes circuits de calculs et des ordinateurs modernes.

En ce qui concerne ce cours, nous allons tout d’abord fournir quelquesdefinitions. Dans une premiere partie (Chapitre 2) nous verrons comment estdecrit un signal a temps continu et quels sont les parametres qui le definissent.Nous etudierons ensuite le comportement d’un signal applique a l’entree d’unsysteme lineaire et comment on peut modifier ce comportement par filtragelineaire (Chapitre 3) ou par l’emploi de la modulation (Chapitre 4). Le traite-ment numerique du signal sera aborde en deuxieme annee.

Signal : Support de l’information transmise de sa source a sa destimation. Enfonction de la nature du support, on parle par exemple de :

– signal electrique (telephonie),– onde electromagnetique (telecommunication),– onde acoustique (sonar),– onde lumineuse (fibre optique),– signal binaire (ordinateur).

On parle egalement de signal de mesure, de commande, de signaux video, audio,etc...en fonction de la nature de l’information transmise.

Theorie du signal : C’est la description mathematique des signaux quelle quesoit leur nature et quel que soit le support physique. L’objectif est d’etablir unerepresentation d’un signal en fonction du temps ou de l’espace contenant uneinformation a stocker, a transformer, a transmettre ou a recevoir. La theorie du

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ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION

signal ne prejuge pas de la nature physique du signal.

Bruit : Toute perturbation superposee a un signal et genant la perception dece signal.

Traitement du signal : A l’aide d’une formulation mathematique adequate,le traitement du signal a pour principales fonctions de (voir Fig. 1.1) :

– Filtrer : eliminer d’un signal des composantes indesirables,

– Detecter : Extraire une composante utile d’un signal et/ou du bruit defond qui lui est superpose,

– Analyser : Isoler les composantes et les caracteristiques essentielles d’unsignal pour mieux en comprendre la nature,

– Mesurer : Estimer la valeur d’une grandeur caracteristique associee ausignal.

– Regenerer Redonner a un signal qui a ete distordu sa forme initiale.

– Identifier : Classer un signal observe.

– Synthetiser : Creer un signal de forme appropriee.

– Moduler : Modifier les caracteristiques d’un signal pour l’adapter a unevoie de transmission ou un support d’enregistrement.

– Codage : Traduire le signal en langage numerique, reduire les redondancesd’informations et lutter contre l’influence du bruit.

Domaine d’application

– Telecommunications,– Telephonie,– Radar,– Sonar,– Traitement d’images,– Astronomie,– Geophysique,– Automatique,– ....

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ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Dans les telecommunications, que ce soit dans le domaine de la telephonie oudans le transfert de donnees numeriques terrestres ou via des satellites, la com-pression des donnees est primordiale pour exploiter au mieux la bande passantedisponible, et minimiser les pertes. La suppression d’echos est un autre domained’application.

Dans le domaine tres specifique des signaux audio, on cherche a ameliorer lestechniques d’enregistrement et de compression pour obtenir la plus grande qua-lite sonore possible. Les techniques de correction d’echo permettent de reduireles effets de reflexions acoustiques dans la piece. Le traitement du son s’est lar-gement ameliore grace aux ordinateurs. La synthese sonore permet en outre decreer des sons artificiels ou de recreer les sons d’instruments naturels. Elle a etea l’origine de nombreux bouleversements en musique.

L’analyse des echos permet d’obtenir des informations sur le milieu sur lequelles ondes se sont reflechies. Cette technique est exploitee dans le domaine del’imagerie radar ou sonar. En geophysique, en analysant les reflexions d’ondesacoustiques, on peut determiner l’epaisseur et la nature des strates du sous-sol.Cette technique est utilisee dans le domaine de la prospection miniere et dansla prediction des tremblements de terre.

En imagerie, on trouve des applications dans le domaine medical (reconstruc-tion tomographique, imagerie par resonance magnetique - IRM), dans le spatial(traitement de photos satellites ou d’images radar). Ce domaine inclut aussi lestechniques de reconnaissance de formes et de compressions.

Le traitement de sequences video concerne la compression, la restauration,la realisation d’effets speciaux, l’extraction de descripteurs (reconnaissance deformes et textures, suivi de mouvements, caracterisation, etc...) afin de pro-duire des annotations automatiques dans une perspective de bases de donnees(recherche par le contenu).

physique

SystèmeCapteur

BruitBruit

Canal detransmission Récepteur Traitement

Bruit

Informationutile +

bruitrésiduel

Figure 1.1 – Synoptique d’une chaıne classique de traitements d’un signal.

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ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION

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ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION

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Chapitre 2

Representation des SignauxDeterministes

Heinrich Rudolf Hertz (22 fevrier 1857 - 1er janvier 1894), etait un ingenieuret physicien allemand. Hertz mit en evidence en 1888 l’existence des ondeselectromagnetiques imaginees par James Maxwell en 1873. Il a decouvert laphotoelectricite et il donne son nom aux ondes radio dites ondes hertziennesainsi qu’a l’unite de mesure des frequences.

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

Les signaux deterministes renferment une information dont l’evolution enfonction du temps peut etre parfaitement predite par un modele mathematique(au contraire des signaux aleatoires/stochastiques).

2.1 Signaux particuliers

Nous presentons dans cette section quelques fonctions mathematiques ainsique leurs proprietes, supports de signaux elementaires et utilisees tout au longdu cours de traitement du signal.

2.1.1 Fonction signe

sgn(t) =

−1 si t < 0a si t = 01 si t > 0

(2.1)

avec a quelconque (par convention a = 0). On a alors :

sgn(t) =t

|t| ∀ t 6= 0 . (2.2)

sgn(t)

1

−1

0

t

2.1.2 Fonction echelon (unite)

Γ(t) =

1 si t > 00 si t < 0a si t = 0

(2.3)

avec a quelconque (par convention a = 1/2). On a alors :

Γ(t) =1

2+

1

2sgn(t) . (2.4)

1

0

t

Γ( )t

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.1.3 Fonction rectangle

rect(t) =

0 si |t| > 1/21 si |t| < 1/2a si |t| = 1/2

(2.5)

avec a quelconque (par convention a = 1/2). On a alors :

rect(t) = Γ(t + 1/2)− Γ(t − 1/2) (2.6)

0

t

1

rect(t)

1/2−1/2

Propriete : la fonction rect(t) est normalisee, car la surface (sous la courbe)est unitaire.

Question 1 : Tracer la fonction (porte) A rect( t−τT ) .

Question 2 : Calculer∫ +∞−∞ rect(t) dt .

2.1.4 Fonction triangle

tri(t) =

{1 − |t| si |t| ≤ 1

0 si |t| > 1(2.7)

0

t

1

−1 1

tri(t)

La fonction triangle est elle aussi normalisee :∫ +∞−∞ tri(t) dt = 1 .

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.1.5 Fonction sinus cardinal

sinc(t) =sin(π t)

π t(2.8)

−4 −2 0 2 4−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a)

−4 −2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

Figure 2.1 – (a) fonction sinc(t). (b) fonction sinc(t)2.

La fonction sinus cardinal est elle aussi normalisee :∫ +∞−∞ sinc(t) dt = 1 .

D’autre part, on a :∫ +∞−∞ sinc2(t) dt = 1.

2.1.6 Impulsion unite (distribution de Dirac)

Mathematiquement, c’est une fonction (distribution) definie par

∫ +∞

−∞f(t) δ(t) dt = f(0) , (2.9)

quelle que soit la fonction f(t).

1

t

0

δ( )t

La fonction de Dirac est normalisee :

∫ +∞

−∞δ(t) dt = 1 . (2.10)

D’autre part, on a :

∫ t

−∞δ(τ) dτ =

{0 si t < 01 si t > 0

= Γ(t) (2.11)

On dit que Γ(t) est la primitive de δ(t) ou bien que δ(t) est la derivee de Γ(t)(au sens des distributions). L’impulsion de Dirac est un signal non realisable.Physiquement, on a coutume de modeliser une impulsion de Dirac par un signal

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

rectangle (porte) dont la largeur tend vers 0 et l’amplitude tend vers l’infini.

Impulsion dediee A δ(t − T ) :

t

0

A

A (t−T)δ

L’impulsion de Dirac est egale a la limite de nombreuses familles de fonctions,ainsi :

δ(t) =

limT→+∞1T rect( t

T )

limT→+∞1T tri( t

T )

limT→+∞1T sinc( t

T )

(2.12)

Propretes de la fonction de Dirac

1. δ(t) = 0 si t 6= 0,

2. f(t) δ(t) = f(0) δ(t) et f(t) δ(t − T ) = f(T ) δ(t − T ),

3. δ(k t) = 1|k| δ(t) .

Reponse impulsionnelle

La reponse impulsionnelle est simplement definie comme etant la reponse d’unsysteme physique dont l’entree est une impulsion de Dirac. Elle permet de ca-racteriser les systemes lineaires dans le domaine temporel.

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.1.7 Fonction ”peigne de Dirac” (fonction d’echantillonnage)

La fonction δT (t) est definie par :

δT (t) =

k=+∞∑

k=−∞δ(t − kT ). (2.13)

Cette fonction est appelee ”fonction d’echantillonnage” car selon la propriete 2(voir ci-dessus) on a, pour tout signal f(t) :

f(t) δT (t) =

k=+∞∑

k=−∞f(kT ) δ(t − kT ). (2.14)

1

tδ ( )

t

T

0−3T −2T −T T 2T 3T

(a)

tδ ( )T

f(t)

1

t0

f(−3T) f(−2T)f(−T)

f(T)f(2T)

f(3T)

−3T −2T −T T 2T 3T

(b)

Cela revient a ne retenir que les valeurs de la fonction continue f(t) aux instantsd’echantillonnage, a savoir aux instants t = T , 2T , 3T ...

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.2 Energie et Puissance

2.2.1 Analogie electrique

R=1

i(t)

v(t)

Puissance instantanee : p(t) = v(t) i(t) = v(t)2 si R = 1 Ohm. Ainsi, l’energiedissipee par un courant pendant un intervalle [t1, t2] est definie par :

W(t1, t2) =

∫ t2

t1

p(t) dt . (2.15)

La puissance moyenne pendant ce meme intervalle est P(t1, t2) = W(t1,t2)t2−t1

.

2.2.2 Energie d’un signal

Soit x(t) un signal quelconque (fonction complexe),

– L’energie sur [t1, t2] est definie par :

Wx(t1, t2) =

∫ t2

t1

|x(t)|2 dt . (2.16)

– L’energie totale est definie par :

Wx =

∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt . (2.17)

ou la notation |x(t)|2 signifie x(t) x?(t) .

2.2.3 Puissance moyenne d’un signal

Soit x(t) un signal quelconque (fonction complexe),

– La puissance moyenne sur [t1, t2] est definie par :

Px(t1, t2) =1

t2 − t1

∫ t2

t1

|x(t)|2 dt . (2.18)

– La puissance moyenne totale est definie par :

Px = limT→+∞

1

T

∫ +T/2

−T/2

|x(t)|2 dt . (2.19)

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

Cas particulier des signaux periodiques de periode T0

x(t) =

k=+∞∑

k=−∞xp(t − kT0) , (2.20)

ou xp(t) est le signal sur une periode T0, alors la puissance moyenne sur uneperiode est egale a :

Px =1

T0

∫ +T0/2

−T0/2

|x(t)|2 dt =1

T0

∫ +∞

−∞|xp(t)|2 dt . (2.21)

2.3 Classification des signaux

2.3.1 Signaux a energie finie

Un signal x(t) est dit a energie finie s’il est de carre sommable, c’est-a-dire si

Wx =

∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt < ∞. (2.22)

Ce qui implique que Px = 0 .

2.3.2 Signaux a puissance moyenne finie

Un signal x(t) est dit a puissance moyenne finie si

Px = limT→+∞1

T

∫ +T/2

−T/2

|x(t)|2 dt < ∞. (2.23)

Cas des signaux periodiques de periode T :

Px =1

T

∫ t0+T/2

t0−T/2

|x(t)|2 dt < ∞ . (2.24)

Si Px 6= 0, alors Wx = ∞ (signal a energie totale infinie).

Exemple : Calculer la puissance moyenne du signal reel et sinusoıdal representepar la fonction x(t) = A cos(ωt + φ).

Px =ω

∫ π/ω

−π/ω

A2 cos2(ωt + φ) dt =A2

2.

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2.3.3 Causalite

Un signal x(t) est dit causal ssi x(t) = 0 , ∀ t < 0 .Un signal x(t) est dit anti-causal ssi x(t) = 0 , ∀ t > 0 .

t

partie anti−causale de x(t)

0

partie causale de x(t)

0t

signal complet

x(t)

t0

Remarque : Dans le cas d’un filtre que l’on veut realiser en temps reel, il va desoit que sa reponse ne peut etre que posterieure a l’excitation. C’est pourquoi,on imposera que sa reponse impulsionnelle soit causale.

2.3.4 Parite

Un signal x(t) est pair si x(t) = x(−t).

Un signal x(t) est impair si x(t) = −x(−t).

Tout signal reel x(t) est la somme d’un signal pair xp(t) et d’un signal im-pair xi(t) :

– x(t) = xp(t) + xi(t),

– xp(t) = x(t)+x(−t)2 ,

– xi(t) = x(t)−x(−t)2 ,

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Exemples :- Quelle est la parite des signaux x(t) = e−αt sin(ωt + φ) (sinusoıde attenuee)

(gauche) et x(t) = e−αt2 sin(ωt + φ) (droite) representes ci-dessous pour lesvaleurs α = 0.25, φ = π/6 et ω = 3 rad/s :

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10

15

−10 −5 0 5 10−1

−0.5

0

0.5

1

- Quelle la parite du signal bi-dimensionnel z(x, y) = sin(x2+y2)x2+y2 represente

ci-dessous :

05

1015

2025

0

5

10

15

20

25−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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2.4 Produit de convolution

On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t), l’operation? (notee egalement ⊗) definie par :

(x ? h)(t) =

∫ +∞

−∞x(τ) h(t − τ) dτ (2.25)

Si la reponse impulsionnelle d’un systeme lineaire (comme un filtre, par exemple)est representee par la fonction h(t), la sortie du signal y(t) s’obtient comme leproduit de convolution de l’entree x(t) avec la reponse implusionnelle h(t).

Système linéaire

h(t) : réponse impulsionnelle

y(t)x(t)

y(t) = x(t) * h(t)

La convolution est l’effet que produit un instrument de mesure qui donne d’unphenomene physique non pas une reponse nette, mais un peu floue. L’imaged’un point dans un instrument d’optique n’est jamais reellement un point maisune tache. Dans le domaine electronique, on retrouve le meme phenomene : uneimpulsion infiniment breve appliquee a l’entree d’un amplificateur ne donne ja-mais en sortie une impulsion breve, mais un signal de duree non nulle (d’autantplus etroite que la bande passante de l’appareil est plus elevee).

Le produit de convolution represente l’evolution de la valeur de l’aire contenuesous le produit des deux fonctions en fonction du temps. Il exprime la quantitede recouvrement de la fonction x(t) lorsqu’on la deplace sur la fonction h(t).

Figure 2.2 – Interpretation du produit de convolution entre f(t) et g(t).

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Proprietes

– Le produit de convolution est une operation commutative et distributivepar rapport a l’addition.

– La fonction de Dirac est l’element neutre du produit de convolution :

δ(t − τ) ? f(t) = f(t − τ) (2.26)

– Le produit de convolution de deux signaux representes par leurs fonctionstemporelles correspond dans le domaine frequentiel au produit de leurstransformees de Fourier respectives (Theoreme de Plancherel).

– Si x(t) et y(t) sont des signaux causaux, en ecrivant les inegalites qu’ilsverifient {

x(τ) = 0 ∀ τ < 0y(t − τ) = 0 ∀ τ > t

on obtient une expression simplifiee et tres utile de la convolution :

(x ? y)(t) =

∫ t

0

x(τ) y(t − τ) dτ (2.27)

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2.5 Transformations frequentielles

2.5.1 Transformee de Fourier

La representation temporelle peut etre suffisante dans les cas ou la forme dusignal et la nature du traitement restent simples. Dans la realite, les signauxn’ont pas toujours une forme simple soit en raison de la nature de l’informa-tion qu’ils portent, soit en raison du traitement qu’ils doivent subir. L’uniquerepresentation du signal en fonction du temps s’avere insuffisante : elle ne permetplus d’interpreter correctement l’information. Dans de tels cas, la representationdu signal en fonction de la frequence est tres utile.La transformee de Fourier est un outil mathematique qui permet d’etablir unedualite entre deux representations differentes d’un signal mais complementairesau niveau de l’interpretation des resultats. Elle effectue le passage du domainetemporel au domaine spectral (frequentiel). Son resultat est appele spectre d’unsignal.La transformee de Fourier du signal x(t) , notee F [x(t)] = X(ω), est definiepar :

F [x(t)] = X(ω) =

∫ +∞

−∞x(t) e−2jπft dt , (ω = 2πf) (2.28)

Elle existe si x(t) est de classe L1 (∫ +∞−∞ |x(t)|dt < +∞) et si le signal presente

un nombre fini de discontinuites.

La transformee de Fourier inverse de X(ω) est le signal x(t) = F−1[X(ω)] definipar :

x(t) = F−1[X(ω)] =1

∫ +∞

−∞X(ω) ejωt dω (2.29)

X(ω) est une fonction qui est independante du temps. C’est une fonction com-plexe que l’on peut ecrire sous la forme module et phase : X(ω) = |X(ω)| exp(jφ(ω))ou sous la forme de partie reelle et de partie imaginaire :X(ω) = Re(X(ω)) + j Im(X(ω)) avec

Re(X(ω)) =

∫ +∞

−∞x(t) cos(ωt) dt et Im(X(ω)) =

∫ +∞

−∞x(t) sin(ωt) dt .

(2.30)On enonce ci-dessous quelques proprietes importantes concernant la transformeede Fourier :

1. La transformee de Fourier est inversible si x(t) est un signal a energie finie.

2. Linearite : F [a x(t) + b y(t)] = a X(ω) + b Y (ω)

3. Changement d’echelle : F [x(at)] = 1|a| X(ω

a )

4. Translation en temps : F [x(t − a)] = X(ω) e−jωa (retard, si a > 0),

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

5. Translation en frequence : F [x(t) ejω0t] = X(ω − ω0) ,

6. Derivation : F [dnx(t)dtn ] = (jω)n X(ω),

7. Integration : X(ω) = 1jω F [dx(t)

dt ] + 2π x δ(ω) ou x est la valeur moyenne

de x(t) (x = limT0→+∞1

T0

∫ T0/2

−T0/2 x(t) dt),

8. Conjugaison : F [x?(t)] = X?(−ω),

9. Dualite : F [x(t)] = Y (ω) → F [y(t)] = 2πX(−ω),

10. Parite : x(t) = xp(t) + xi(t) → X(ω) = F [xp(t)] + F [xi(t)],

11. Si x(t) est reel, alors Re(X(ω)) = F [xp(t)] est une fonction reelle etj Im(X(ω)) = F [xi(t)] est une fonction imaginaire.

12. Si x(t) est reel pair, alors X(ω) est reel pair.Si x(t) est reel impair, alors X(ω) est imaginaire impair.

13. F [δ(t)] = 1,

14. F [1] = 2π δ(ω),

15. F [δ(t − τ)] = e−jωτ ,

16. F [ejω0t] = 2π δ(ω − ω0),

17. F [cos(ω0 t)] = π δ(ω − ω0) + π δ(ω + ω0),

Ainsi, la translation temporelle (propriete 4) ne change pas le module de latransformee de Fourier, mais introduit un dephasage sur le spectre complexe.On appelle egalement cette propriete ”propriete de modulation”.

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

La transformee de Fourier d’un signal gaussien est une gaussienne :

F [e−at2 ] =

√π

ae−

π2

af2

=

√π

ae−

1

4aω2

(2.31)

−4 −2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Transformee −1 −0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figure 2.3 – Transformee de Fourier d’un signal gaussien (a = 1).

2.5.2 Theoreme de Plancherel

Ce theoreme met en exergue la dualite entre temps et frequence. Il s’enonceainsi :

La transformee de Fourier d’un produit de convolution de leurs fonctions tem-

porelles est le produit des transformees de Fourier :

{

x(t) ? y(t)TF−−→ X(f) Y (f)

x(t) y(t)TF−−→ 1

2π X(f) ? Y (f)(2.32)

2.5.3 Transformee de Laplace

A l’origine de la transformation de Laplace, on trouve l’idee que, si une fonctionx(t) n’est pas sommable en valeur absolue, il est neanmoins interessant de definirla transformee de Fourier du produit x(t) e−σt, du moins s’il existe un nombrereel σ tel que le produit ci-dessus soit sommable en valeur absolue. Consideronsdonc une fonction x(t) et un intervalle Σ, tels que pour le reel σ ∈ Σ, l’integrale

∫ +∞

−∞|x(t) e−σt| dt (2.33)

converge. On definit alors la transformee de Laplace bilaterale X(s) de x(t) :

L[x(t)] = X(s) =

∫ +∞

−∞x(t) e−st dt (2.34)

ou s est une variable complexe s = σ + jω.

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.6 Serie de Fourier

Soit une fonction complexe x(t) representant. x(t) peut se decomposer en unesomme infinie de fonctions sinusoıdales dependants du temps qui peut etre ex-primee par une combinaison lineaire de fonctions exponentielles complexes surl’intervalle temporel [0, T0 = 1/f0] :

x(t) =

+∞∑

−∞cn ej2πnf0t , ∀ t ∈ [0, T0] , (2.35)

n etant une valeur entiere. Les coefficients de la serie de Fourier, cn, sontindependants du temps et s’expriment de la maniere suivante :

cn =1

T0

∫ T0

0

x(t) e−j2πnf0t dt =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t) e−j2πnf0t dt . (2.36)

Si x(t) est periodique de periode T0 = 1f0

, f0 represente la frequence du fonda-

mental et nf0 (n > 1) represente la frequence des differents harmoniques.

Dans un contexte d’etude reduit aux signaux a energie finie, on introduit ici unebijection entre deux representations de ces signaux : l’une temporelle et l’autrefrequentielle. Si ces signaux sont periodiques et donc a energie infinie sur R, iln’existe plus de transformee de Fourier au sens des fonctions, mais ces signaux,pourvu qu’ils soient continus, admettent une decomposition en serie de Fourier ;ce qui nous permet de conserver une representation frequentielle aux moyens descoefficients descriptifs de la serie. Mais au-dela de ses applications en traitementdu signal, la serie de Fourier est un outil mathematique puissant pour approchern’importe quelle fonction (voir Fig. 2.4 pour un exemple avec la fonction porte).L’ensemble des valeurs cn (en general complexes) constitue le spectre du signal ;qui est alors discret. Ces valeurs designent l’amplitude et la phase des harmo-niques (multiples du fondamental). L’exemple type est la fonction sinus qui n’apas de transformee de Fourier au sens des fonctions, mais qui se decomposeaisement (et pour cause) en serie (trigonometrique) de Fourier pour obtenirdeux coefficients (b1 et b−1) qui correspondent a deux Dirac frequentiels.

Remarques :

– c0 = 1T0

∫ T0

0 x(t) dt = valeur moyenne de x(t) sur [0, T0] .

– Si x(t) est un signal reel, alors c−n = c?n .

– Si x(t) est periodique de periode T0, alors x(t) = x(t + T0) et

x(t) =+∞∑

−∞cn ej2πnf0t , ∀ t . (2.37)

– On peut decomposer x(t) sous la forme equivalente a (2.35) :

x(t) = a0 +

+∞∑

1

(an cos(2πnf0 t) + bn sin(2πnf0 t)) (2.38)

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

avec– an = 2

T0

∫ T0

0 x(t) cos(nω0t) dt = 2T0

∫ T0/2

−T0/2 x(t) cos(nω0t) dt

– bn = 2T0

∫ T0

0 x(t) sin(nω0t) dt = 2T0

∫ T0/2

−T0/2 x(t) sin(nω0t) dt avec

ω0 = 2πf0.

et cn = an−jbn

2 pour n > 0, cn = an+jbn

2 pour n < 0 et c0 = a0.

– Si le signal x(t) est pair, alors les coefficients bn sont tous nuls. Si le signalx(t) est impair, alors les coefficients an sont tous nuls.

– Interpretation : la forme complexe de la decomposition en serie de Fourierest la formulation la plus usuelle. Elle fait apparaıtre des harmoniquesde frequences positives et negatives qui servent mathematiquement a re-constituer l’ensemble du signal. Neanmoins, cette decomposition n’a pasde realite physique en ce qui concerne la partie associee aux frequencesnegatives. Elle est utilisee en traitement du signal car elle permet biensouvent une simplification des calculs.

– On peut montrer que si x(t) de periode T0 est continue et que sa deriveepremiere temporelle x′(t) est continue par morceaux, alors la serie de Fou-rier de x(t) converge uniformement vers x(t).

– La notion de spectre d’un signal periodique est bien connue des musiciens :deux instruments jouant la meme note fournissent deux signaux de memefrequence ; ils sont identifiables parce que les amplitudes des harmoniquessont differentes. C’est la repartition des amplitudes sur les divers harmo-niques qui est caracteristique d’un instrument : c’est son timbre.

(a) (b)

Figure 2.4 – Fonction porte approchee par une decomposition en serie de Fou-rier. Ceci permet de mettre en exergue le phenomene de Gibbs (effet de bordobserve au voisinage d’une discontinuite). (a) Approximation a l’ordre n = 10.(b) Approximation a l’ordre n = 50.

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.7 Correlation et densites spectrales

2.7.1 Signaux a energie finie

La correlation est une mesure energetique de la similitude de forme et de posi-tion entre deux signaux decales. Pour des signaux reels a energie finie, on definitl’autocorrelation et l’intercorrelation de la maniere suivante :

Autocorrelation : correlation entre le signal x(t) et lui-meme :

γxx(τ) =

∫ +∞

−∞x(t) x?(t − τ) dt . (2.39)

Intercorrelation : correlation entre le signal x(t) et le signal y(t) :

γxy(τ) =

∫ +∞

−∞x(t) y?(t − τ) dt . (2.40)

2.7.2 Signaux a puissance moyenne finie

Pour des signaux x(t) et y(t) a puissance moyenne finie, on definit l’auto-correlation par la relation :

γxx(τ) = limT→+∞

1

T

∫ +T/2

−T/2

x(t) x?(t − τ) dt . (2.41)

et de meme, on definit la fonction d’intercorrelation par :

γxy(τ) = limT→+∞

1

T

∫ +T/2

−T/2

x(t) y?(t − τ) dt . (2.42)

Propretes :

– γxx(τ) et γxy(τ) sont homogenes a une energie (energie croisee entre unsignal et un autre retarde) ou a une puissance (deuxieme definition).

– γxy(τ) = 0 , signifie que les signaux sont totalement decorreles (signauxorthogonaux),

– |γxy(τ)|2 ≤ γxx(τ) γyy(τ) (inegalite de Schwartz),

– |γxx(τ)| ≤ γxx(0) , ∀ τ : la fonction d’autocorrelation admet une valeurmaximale en τ = 0. Comme la fonction d’autocorrelation sert a mesurer ledegre de ressemblance entre un signal et sa version decalee dans le temps,intuitivement, on concoit que la ressemblance est maximale lorsqu’on com-pare le signal avec lui-meme, i.e., lorsque l’on compare le signal avec saversion non decalee dans le temps.

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.7.3 Densites spectrales

En un mot, il s’agit des transformees de Fourier des fonctions de correlation quel’on vient d’aborder (appeles aussi relations de Wiener-Khintchine). On definitalors :

Densite interspectrale de puissance :

D.S.P.{x(t)} = F [γxx(τ)] = Γxx(f) . (2.43)

Densite spectrale de puissance :

D.S.P.{x(t), y(t)} = F [γxy(τ)] = Γxy(f) . (2.44)

2.7.4 Theoreme de Parseval

L’identite de Parseval traduit la conservation de l’energie lors du passage a latransformee de Fourier. On a donc :

E =

∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt

︸ ︷︷ ︸

Domaine temporel

=

∫ +∞

−∞|X(f)|2 df

︸ ︷︷ ︸

Domaine frequentiel

(2.45)

Pour les signaux periodiques qui sont a energie infinie, on calcule dans ce cas lapuissance sur une periode T0. En utilisant le developpement en serie de Fourierqui existe en vertu de la periodicite, on trouve :

P =1

T0

∫ T0

0

x(t) x?(t) dt =+∞∑

−∞cnc?

n . (2.46)

On en deduit le theoreme de Parseval pour des signaux periodiques et qui traduitcette fois-ci la conservation de la puissance :

P =

∫ +∞

−∞Γ(f) df =

+∞∑

−∞|cn|2 (2.47)

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

2.8 Exercices

1. Que represente la composante continue d’un signal ? Calculer la moyennedu signal x(t) = A + B sin(2πνt + φ) illustre ci-dessous

Composante continue

A

t

Quel est le lien entre le premier terme de la decomposition en serie deFourier d’un signal x(t) et la valeur moyenne de ce signal ?

Rep :

– 12π

∫ 2π

0(A + B sin(2πνt + φ) dt = A .

– a0/2 = 1T

∫ T

0 x(t) dt .

2. Quelle est la transformee de Fourier de la fonction porte illustree ci-dessous(et correspondant a la fonction A rect( t

2T )) ?

x(t)

t0

A

−T T

Rep : X(f) = 2 A T sin(2πfT )2πfT .

3. Decomposer en serie de Fourier le signal x(t) illustre ci-dessous :

x(t)

T

t0

−τ/2 τ/2

ε

Rep : ak = 2ετT sinc

(kτT

); bk = 0 .

4. Montrer que la transformee de Fourier de sign(t) est 2jω .

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ULP CHAPITRE 2. REPRESENTATION DES SIGNAUX DETERMINISTES

5. Montrer que la transformee de Fourier du signal x(t) = exp(−at) Γ(t) estX(f) = 1

a+j2πf ou a est un reel strictement positif.

6. Quelle la transformee de Fourier de la fonction sin(2t). Representer sonspectre.

7. Quelle la transformee de Fourier du produit d’un signal periodique par unsignal a energie finie : z(t) = x(t) y(t) avec x(t) = x(t + T0) ?

Rep : Z(ω) =∑+∞

n=−∞ cn Y (ω − 2πnT0

) ou les coefficients cn representent lespectre du signal x(t) sur une periode.

8. Calculer l’integrale suivante (ou T = 2π/ω > 0)

∫ T

−∞

δ(x)

1 + xcos(ωx) dx

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Chapitre 3

Filtrage analogique

Ne a Beaumont-en-Auge (Normandie), le Marquis Pierre Simon de Laplace(1749-1827), fils de cultivateur, s’initia aux mathematiques a l’Ecole militaire decette petite ville. Il y commenca son enseignement. Il doit cette education a sesvoisins aises qui avait detecte son intelligence exceptionnelle. A 18 ans, il arrivea Paris avec une lettre de recommandation pour rencontrer le mathematiciend’Alembert, mais ce dernier refuse de rencontrer l’inconnu. Mais Laplace in-siste : il envoie a d’Alembert un article qu’il a ecrit sur la mecanique classique.D’Alembert en est si impressionne qu’il est tout heureux de patronner Laplace.Il lui obtient un poste d’enseignement en mathematique. En 1783, il devint exa-minateur du corps de l’artillerie et fut elu, en 1785, a l’Academie des Sciences.A la Revolution, il participa a l’organisation de l’Ecole Normale et de l’EcolePolytechnique, et fut membre de l’Institut, des sa creation. Bonaparte lui confiale ministere de l’Interieur. L’oeuvre la plus importante de Laplace concernele calcul des probabilites et la mecanique celeste. Il etablit aussi, grace a sestravaux avec Lavoisier entre 1782 et 1784 la formule des transformations adia-batiques d’un gaz, ainsi que deux lois fondamentales de l’electromagnetisme. Enmecanique, c’est avec le mathematicien Joseph-Louis de Lagrange qu’il resumeses travaux et reunit ceux de Newton, Halley, Clairaut, d’Alembert et Euler,concernant la gravitation universelle, dans les cinq volumes de sa mecaniqueceleste (1798-1825).

37

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

3.1 Introduction

Nous allons aborder dans ce chapitre le filtrage des systemes lineaires conti-nus et invariants dans le temps (stationnaires). Le filtrage consiste a attenuercertains signaux et a en laisser ”passer” d’autres. Cette selection s’opere bienevidemment en fonction des caracteristiques du signal recherchees en sortie.Un filtre modifie (ou filtre) certaines parties d’un signal d’entree dans le do-maine temporel et dans le domaine frequentiel. D’apres la theorie de Fourier,tout signal reel peut etre considere comme compose d’une somme de signauxsinusoıdaux (en nombre infini si necessaire) a des frequences differentes ; le roledu filtrage est alors de modifier la phase et l’amplitude de ces composantes. Parexemple, agir sur la representation frequentielle pour la modifier : le filtre ajouteou enleve des graves ou des aigus en traitement de la parole, il corrige la reponseen frequence d’un appareil (microphone, telephone,...).

Un moyen de caracteriser un filtre est sa reponse impulsionnelle h(t), c’est-a-dire le signal en sortie du filtre lorsque le signal d’entree est une impulsionde Dirac, c’est-a-dire lorsque toutes les frequences sont presentes a son entree(F [δ(t)] = 1). Un autre moyen de caracteriser un filtre est de fournir sa fonction

de transfert H(ω), qui peut etre obtenue en divisant le spectre frequentiel dusignal de sortie avec celui du signal de l’entree du filtre

y(t) = h(t) ? x(t) → Y (ω) = H(ω) X(ω) (3.1)

Tout filtre lineaire est entierement decrit par sa reponse frequentielle en ampli-tude |H(ω)| (le gain) et sa reponse de phase arg H(ω)

|Y (ω)| = |H(ω)| |X(ω)| et arg Y (ω) = arg H(ω) + arg X(ω) (3.2)

liee a sa reponse impulsionnelle. Du point de vue mathematique, un filtre continua reponse impulsionnelle infinie peut etre decrit en terme d’equations differen-tielles lineaires. Il est egalement possible d’exprimer la fonction de transfert dufiltre a l’aide de la transformee de Laplace de leur reponse impulsionnelle ; cettemethode permet d’analyser simplement le filtre en considerant les poles et leszeros de la transformee de Laplace.

On definit le delai de groupe comme la quantite τ(ω) definie par

τ(ω) = −∂ (argH(ω))

∂ω. (3.3)

ExempleSoit x(t) = ejω0t un signal a l’entree d’un filtre lineaire continu caracterise par sareponse frequentielle {|H(ω)| , arg H(ω)}. Quelle est l’expression de la reponsetemporelle y(t) en sortie du filtre ?

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Rep : y(t) = |H(ω0)| e(jω0t + j arg H(ω0)).

ExempleA l’aide du logiciel Matlab, les reponses en amplitude et en phase et le delaide groupe d’un filtre dont on connaıt la fonction de transfert H(ω) = 1/1 + jωpeuvent etre evalues et visualises de la maniere suivante :

freqs([1],[1 1],logspace(-2,+2))

montre la reponse de 1/(1 + jω) entre 10e − 2 et 10e2 rad/s. Pour obtenir ledelai de groupe, il faut demander explicitement :

[H,w]=freqs([1],[1 1],logspace(-2,+2));

subplot(2,1,1)

semilogx(w,-20*log10(abs(H)));

xlabel(’Frequency (radians)’); ylabel(’Attenuation (dB)’); grid ;

subplot(2,1,2)

semilogx (w(1 :length(w)-1), -diff(unwrap(angle(H)))./diff(w));

xlabel(’Frequency (radians)’); ylabel(’Group delay (s)’) ; grid ;

3.1.1 Filtres stables physiquement realisables

Un filtre est physiquement realisable si sa reponse en frequence H(ω) corresponda sa transformee de Laplace pour un signal d’entree sinusoıdal :

H(ω) = L[h(t)](s=jω) . (3.4)

Il existe plusieurs types de filtres lineaires realisables :

– Les filtres passe-bas laissent passer les basses frequences, et coupent leshautes,

– Les filtres passe-haut laissent passer les hautes frequences et coupent lesbasses,

– Les filtres passe-bande ne laissent passer qu’une bande limitee de frequences,– Les filtres coupe-bande, a l’inverse, laissent passer toutes les frequences,

sauf une bande specifique.

Certains filtres ne sont pas concus pour arreter une frequence, mais pour modi-fier legerement le gain a differentes frequences, comme les egaliseurs. Differentesmethodes de conception de filtres analogiques ont ete mises au point, chacuneoptimisant un point specifique, comme par exemple des filtres exhibant des ca-racteristiques particulieres :

– Les filtres de Butterworth,– Les filtres de Tchebyshev,– Les filtres elliptiques (filtres de Cauer).

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 39

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

La conception des filtres lineaires fait appel a un gabarit, qui rassemble les ca-racteristiques du gain frequentiel desire.

3.1.2 Frequence de coupure et bande passante

La definition generale de la frequence de coupure d’un filtre de fonction de trans-fert H(f) (sortie sur l’entree) est la frequence fc telle que :

|H(fc)|max {|H(f)|} =

1√2

. (3.5)

Dans le cas d’un filtre passe-bas du premier ordre, la fonction de transfert estmaximale a l’origine, donc :

|H(fc)| =1√2|H(0)| ⇔ 20 log10 |H(fc)| − 20 log10 |H(0)| = −3dB . (3.6)

La bande passante (BP) d’un filtre analogique est l’intervalle [finf, fsup] defrequences dans lequel le gain 20 log10 |H(ω)| (ici exprime en decibels) restesuperieur ou egal a une valeur de reference (par exemple −3 dB, correspondanta une attenuation du gain de

√2). Ainsi, pour les filtres les plus courants, on a :

– Le filtre passe-bas : BP = [0, fsup],– Le filtre passe-haut : BP = [fsup, +∞],– Le filtre passe-bande : BP = [finf, fsup],– Le filtre coupe-bande : BP = [0, finf] ∪ [fsup, +∞] (appele aussi filtre

rejecteur de bande).

3.1.3 Transformations de frequences

A partir de la connaissance de la fonction de transfert d’un filtre passe-basnormalise (de frequence de coupure unite a -3 dB), on peut construire par trans-formation du plan complexe et a partir de ce filtre de nouveaux filtres.

– Le filtre passe-haut de pulsation de coupure ωc sera donne par la trans-formation :

H(ω) −→ H(ωc

ω

)

,

– Le filtre passe-bande de pulsation de coupures basse ωl et haute ωu seraobtenu par :

H(ω) −→ H

(ω2 + ωl ωu

ω (ωu − ωl)

)

,

– Le filtre coupe-bande de pulsation de coupures basse ωl et haute ωu seraobtenu par :

H(ω) −→ H

(ω (ωu − ωl)

ω2 + ωl ωu

)

,

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 40

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

3.2 Synthese des filtres analogiques

Les specifications qui definissent un gabarit sont les caracteristiques du filtre.On doit preciser :

– le gain du filtre dans la bande passante (≈ 0 dB),– l’attenuation du filtre en bande occupee (typiquement 30 dB → 90 dB),– la frequence de coupure (une dans le cas d’un passe-bas ou d’un passe-haut

et deux dans le cas d’un passe-bande ou d’un coupe-bande),– la largeur de bande de transition souhaitee qui generalement doit etre la

plus petite possible,– les eventuelles oscillations en bande passante et/ou attenuee (typiquement

1 dB → 0.01 dB).

3.2.1 Les filtres ideaux

Une transformation n’apporte pas de distorsion du signal auquel elle est ap-pliquee si elle restitue en sortie un signal y(t) de meme forme que le signald’entree x(t) . Le signal d’entree peut par contre avoir subi une amplification Kou un delai T :

y(t) = K x(t − T ) (3.7)

Ceci correspond, en transformee de Fourier, a une amplification du spectre d’am-plitude et a un dephasage lineaire :

Y (jω) = K X(jω) exp(−jωT ) , (3.8)

et donc a une fonction de transfert :

H(ω) = K exp(−jωT ) . (3.9)

Si on considere que le role d’un filtre est de produire un signal de sortie corres-pondant a une plage de frequences du signal d’entree, il est clair que le filtredoit, si on veut eviter toute distorsion, verifier (3.9). Il doit donc presenter unereponse en amplitude constante et une reponse en phase lineaire et passant par0, du moins dans la plage de frequences utile, appelee bande passante.

Filtre passe-bas ideal

H(ω) =

{K e−jωT si |ω| < ωc = 2 πfc

0 ailleurs(3.10)

Filtre passe-haut ideal

H(ω) =

{K e−jωT si |ω| > ωc = 2 πfc

0 ailleurs(3.11)

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

−ω ω ω

K

c c

ω|H( )|

Figure 3.1 – Reponse frequentielle (gain) du filtre passe-bas.

−ω ω ω

K

c c

ω|H( )|

Figure 3.2 – Reponse frequentielle (gain) du filtre passe-haut.

Filtre passe-bande ideal

H(ω) =

{K e−jωT si ωl < |ω| < ωu

0 ailleurs(3.12)

−ω ω

ω|H( )|

−ω ωωu ll u

K

Figure 3.3 – Reponse frequentielle (gain) du filtre passe-bande.

Filtre coupe-bande ideal

H(ω) =

{K e−jωT si |ω| < ωl ou |ω| > ωu

0 ailleurs(3.13)

Les filtres ideaux presentent un dephasage lineaire et ne sont pas physiquementrealisables, car les reponses frequentielles ideales (ci-dessus) correspondent a unereponse temporelle non-causale. Par exemple, en considerant le filtre passe-basou H(ω) = K e−jωT rect( ω

2ωc), on a : h(t) = K ωc

π sinc(ωc

π (t − T )) representeeci-dessous :Il s’ensuit que les filtres qui vont pouvoir etre reellement synthetises n’ont pasde reponse frequentielle correspondant a la fonction porte, mais pourront s’en

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 42

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

−ω ω

ω|H( )|

−ω ωωu ll u

K

Figure 3.4 – Reponse frequentielle (gain) du filtre coupe-bande.

ωcT− π

h(t)

Kωc

tT

Figure 3.5 – Reponse temporelle du filtre passe-bas ideal : une partie du signaln’est pas nulle pour t < 0.

rapprocher. Des caracteristiques qui exhibent ces differences plus ou moins fortesvis-a-vis de la fonction porte sont principalement les ondulations dans la bandepassante et dans la bande attenuee ainsi que la largeur de la transition. Les filtresque l’on realise sur les signaux continus (c’est-a-dire non echantillonnes) sontcomposes de resistances, de capacites, de self-inductances et d’amplificateursoperationnels. De tels filtres realisent entre les representations temporelles e(t)(l’entree) et s(t) (la sortie du filtre) une relation integro-differentielle lineaire acoefficients constants. Par transformation de Fourier, cette relation conduit aun gain complexe qui est une fraction rationnelle, quotient de deux polynomesen ω :

H(ω) =N(ω)

D(ω). (3.14)

Il ne faut pas perdre de vue que la classe des filtres realisables sur des signauxcontinus sont ceux qui sont definis par l’equation fractionnelle (3.14).N’importequelle fonction de transfert de ce type peut etre realisee par une association dequatre fonctions de transfert elementaires : les filtres passe-bas du premier etdu second ordre, les filtres passe-haut du premier et du second ordre.

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

K2

ondulations (ripple) dans la bande passante|H( )|ω

ω ωul

K

AK

ωbande passante

bande atténuée bande atténuée

bande de transition bande de transition

ondulations dansla bande atténuée la bande atténuée

ondulations dans

Figure 3.6 – Definitions et exemple de reponse frequentielle d’un filtre reel.

3.2.2 Les filtres realisables classiques

Plusieurs parametres vont caracteriser les gabarits des filtres reels classiques. Ils’agit de la selectivite k qui represente un rapport de frequences (ou de pulsa-tions) caracterisant la bande passante, la pulsation centrale qui est la moyennegeometrique ω0 des pulsations de coupures ou la largeur de bande relative B0.

Filtre passe-bas reel

H(ω) =1

1 + jωT(ordre 1) ; Selectivite : k =

ωl

ωu(0 < k < 1) (3.15)

ω l ωu

|H( )|ωG(dB)= 20 log10

ωbande atténuée

0

Figure 3.7 – Reponse frequentielle (gain en dB) d’un filtre passe-bas reel ca-racterise par la selectivite k.

Filtre passe-haut reel

H(ω) =jωT

1 + jωT(ordre 1) ; Selectivite : k =

ωl

ωu(0 < k < 1) (3.16)

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

ω l ωu

|H( )|ωG(dB)= 20 log10

ωbande atténuée

0

Figure 3.8 – Reponse frequentielle (gain en dB) d’un filtre passe-haut reelcaracterise par la selectivite k.

Filtre passe-bande reel

Selectivite : k =ωl+ − ωu−ωu+ − ωl−

(0 < k < 1) (3.17)

Pulsation centrale : ω0 =√

ωl+ ωu− (3.18)

Largeur de bande relative : B0 =ωl+ − ωu−

ω0(3.19)

|H( )|ωG(dB)= 20 log10

bande atténuée

0

ωω ω ω ωl− u− l+ u+

Figure 3.9 – Reponse frequentielle (gain en dB) d’un filtre passe-bande reelcaracterise par k, ω0 et B0.

Filtre coupe-bande reel

Selectivite : k =ωl+ − ωu−ωu+ − ωl−

(0 < k < 1) (3.20)

Pulsation centrale : ω0 =√

ωl− ωu+ (3.21)

Largeur de bande relative : B0 =ωu+ − ωl−

ω0(3.22)

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

|H( )|ωG(dB)= 20 log10

0

ωω ω ω ωl− u− l+ u+

bande atténuée

Figure 3.10 – Reponse frequentielle (gain en dB) d’un filtre coupe-bande reelcaracterise par k, ω0 et B0.

3.2.3 Gabarits normalises

Normalisation : ωl = 1.

– Taux d’ondulation dans la bande passante (dB) : 20 log10

√1 + ε2,

– Attenuation (dB) : 20 log10A,

– Selectivite : k = ωl

ωu= 1

ωu(0 < k < 1),

– Constante d’attenuation : η = ε√A2−1

,

– δ1 = 2δ1

1+δ1

= 1 − 1√1+ε2

,

– δ2 = δ2

1+δ1

= 1A ,

– δ1 = δ1

2−δ1

,

– δ2 = 2δ2

2−δ1

,

3.2.4 Methode

D’une maniere generale, la synthese d’un filtre analogique requiert la connais-sance des caracteristiques frequentielles que l’on vient de voir dans la sectionprecedente ou la representation graphique du gain de sa fonction de transfertpar le gabarit.

De plus, comme tout filtre lineaire continu verifie l’equation (3.14), la combi-naison de filtres elementaires peut permettre la realisation de filtres en cascade,donc de filtres d’ordres superieurs. La synthese de tels filtres ne peut pas sefaire aisement si on considere l’ensemble des filtres elementaires un a un. D’unemaniere generale, on prefere decomposer l’equation (3.14) en deux categories :

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

|H( )|ω |H( )|ω

|H( )|ω

������������������������������������������

������������������������������������������

������������������������������������

������������������������������������������������������

������������������������������������������������������

������������������������������������������������

������������������������������������������������

����������������������������������������

������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������

������������������������������������������

������������������������������������������

���������������������������

���������������������������

������������������������������������������������������

������������������������������������������������������

ω ω

1

ul ω ω ωul ω

1−δ1

δ2

11+ δ1

1−δ1

δ2

ω ω

1

1+

ul

2ε1

1A

ω

Figure 3.11 – Gabarit normalise.

– les filtres polynomiaux, dont le gain de la fonction de transfert est de laforme :

|H(ω)|2 =K0

p(ω)

ou p(ω) est un polynome.

– les filtres elliptiques.

3.2.5 Filtres polynomiaux

Filtres de Butterworth

La famille des filtres de Butterworth presente les caracteristiques communessuivantes :

– Pas d’ondulation, ni dans la bande passante, ni dans la bande attenuee,– Attenuation la plus constante possible dans la bande passante (reponse la

plus ”plate”).

La forme generale du gain (au carre) d’un filtre de Butterworth d’ordre n est lasuivante :

|H(ω)|2 =1

1 + (ε ω/ωc)2n; n > 0 (3.23)

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 47

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Figure 3.12 – Comparaison des principaux filtres analogiques.

���������������������������

���������������������������

��������������������������������

��������������������������������

���������������������������

���������������������������

|H( )|

ω

ω

1+ ε 2

11

A

1

Figure 3.13 – Gabarit d’un filtre de Butterworth.

En general, on considere ε = 1, ce qui conduit a 20 log10 (1 + ε2)1/2 = 3 dB.

Pour qu’a la frequence normalisee ωu = 1/k, on ait une attenuation du gain de1/A, on peut montrer qu’il faut verifier l’inegalite suivante :

n ≥ ln η

ln k(3.24)

ou η est la constante d’attenuation η = ε/√

A2 − 1. Ceci permet d’obtenir unemethode de determination de l’ordre (minimum) du filtre.

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 48

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Figure 3.14 – Filtres de Butterworth d’ordre 1 a 5.

Generiquement, la transformee de Laplace H(s) d’un filtre de Butterworth estde la forme :

H(s) =K0

∏ni=1(s − pi)

, (3.25)

c’est-a-dire constituee de n poles pi situes (dans le plan complexe) sur un 1/2arc de cercle de rayon ε−1/n, c’est-a-dire tels que :

pi = ε−1

n ejπ ( 1

2+ 2i−1

2n)

et K0 =∏

(−pi) = 1/ε.

Figure 3.15 – Poles d’un filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 4.

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 49

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Ci-apres sont representes les gains en frequence des filtres de Butterworth res-pectivement d’ordre 8 et d’ordre 20 synthetises avec Matlab, avec un taux d’on-dulations de 3 dB dans la bande passante et de 50 dB dans la bande attenuee.

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 8 Butterworth IIR Filter

(a)

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 20 Butterworth IIR Filter

(b)

Figure 3.16 – Filtres de Butterworth. (a) ordre 8. (b) ordre 20.

La courbe d’affaiblissement des filtres de Butterworth varie d’une facon mono-tone, ce qui implique que l’ecart entre les specifications et la courbe de gain dansla bande passante sera toujours minimal a la frequence de coupure et maximala l’origine.

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 50

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Filtres de Bessel

Une fonction de transfert ayant une phase rigoureusement lineaire auraitcomme fonction de transfert A e−jωτ ou τ est le retard inflige au signal d’entree.Mais ce n’est pas une fonction rationnelle, un tel filtre n’est donc pas realisable.Les filtres de Bessel sont des filtres dont la fonction de transfert pour un degredonne est la meilleure approximation possible de l’exponentielle precedente. Ense limitant au troisieme ordre dans le developpement de Taylor de l’exponen-tielle, on a l’approximation suivante de l’exponentielle

e−jω ≈ 1

(jω)3 + 6 (jω)2 + 15 jω + 15(3.26)

La fonction de transfert doit avoir un gain unite pour le continu (ω = 0), d’oula fonction de transfert du filtre de Bessel du troisieme ordre :

H(ω) =15

(jω)3 + 6 (jω)2 + 15 jω + 15(3.27)

On voit que pour une frequence elevee, le gain tend vers 15/(jω)3 est 15 foissuperieur a celui du filtre de Butterworth de meme degre. Les filtres de Besselont une attenuation qui varie au-dela de la frequence de coupure beaucoup pluslentement que ceux de Butterworth. Pour cette raison, ils sont rarement utilisessauf lorsque la linearite de la phase est essentielle.La famille des filtres de Bessel presente les caracteristiques communes suivantes :

– Pas d’ondulation, ni dans la bande passante, ni dans la bande attenuee,– Attenuation faible,– Approxime le mieux possible un retard pur.

La transformee de Laplace H(s) d’un filtre de Bessel est de la forme :

H(s) =K0

Bn(s); n > 0 , (3.28)

ou Bn(s) est un polynome de Bessel d’ordre n. C’est-a-dire, defini de maniererecurrente par :

Bn(s) = (2n − 1) Bn−1(s) + s2 Bn−2(s)

B0(s) = 1, (3.29)

B1(s) = s + 1 .

et K0 =2n!

2n n!

Les filtres de Bessel (appeles aussi de Thomson) ne presentent que des poles etcorrespondent au cas d’un filtrage a dephasage lineaire. Comme les filtres deButterworth, les filtres de Bessel demandent des ordres importants pour verifierdes specifications sur l’affaiblissement, ce qui les rend difficiles a realiser avecdes composants analogiques. La pulsation de coupure ωc varie avec l’ordre dufiltre, et on montre que :

limn→∞

ωc = K1/n0 . (3.30)

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 51

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Figure 3.17 – Filtre de Bessel, de Butterworth et de Tchebycheff.

Figure 3.18 – Poles d’un filtre passe-bas de Bessel d’ordre 4.

Filtres de Tchebycheff (ou Chebyshev)

Les filtres de Chebychev conduisent a une diminution de l’ordre pour lesmemes specifications que pour les filtres que nous venons de voir. Il en resulteune realisation plus aisee. Cette famille de filtres est decomposee en deux sous-familles : les filtres de type I qui correspondent a des ondulations uniquementdans la bande passsante et les filtres de type II qui, a l’oppose, presentent desondulations seulement dans la bande attenuee.

Filtres de type I

La famille des filtres de Chebyshev de type I presente les caracteristiques com-munes suivantes :

– Ondulations dans la bande passante mais pas dans la bande attenuee,

– Fitres optimaux au sens ou il n’existe pas d’autres filtres polynomiaux dumeme ordre avec des performances superieures ou egales dans la bandepassante ET dans la bande attenuee.

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 52

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

���������������������������

���������������������������

������������������������

������������������������

���������������������������

���������������������������

|H( )|

ω

ω

1+ ε 2

11

A

1

(a)

���������������������������

���������������������������

��������������������������������

��������������������������������

������������������������������������

������������������������������������

|H( )|

ω

ω

1+ ε 2

11

A

1

(b)

Figure 3.19 – Gabarit et filtres de Tchebycheff de type I. (a) ordre impair. (b)ordre pair. La forme des ondulations dans la bande passante depend de la paritede l’ordre du filtre.

La forme generale du gain frequentiel (au carre) d’un filtre de Chebyshev detype I est la suivante :

|H(ω)|2 =1

1 + ε2 T 2n(ω/ωc)

; n > 0 (3.31)

n est l’ordre du filtre. ε est le taux d’ondulations ripple factor) et caracterisel’amplitude des oscillations dans la bande passante. Tn(ω) est un polynome deChebyshev d’ordre n, qui est defini par

Tn(ω) =

cos(n arccos(ω)) si |ω| ≤ 1

cosh(n arccosh(ω)) si |ω| ≥ 1(3.32)

Contrairement a ce qu’il parait de prime abord, ce sont bien des polynomes. Onpeut en effet montrer a l’aide de formules trigonometriques classiques que l’ona :

Tn+1(x) = 2 x Tn(x) − Tn−1(x) (3.33)

avec T0(x) = 1 et T1(x) = x . Les polynomes de Chebyshev passent par les pointscaracteristiques suivant Tn(1) = ±1 et Tn(0) = ±1 si n est pair, Tn(0) = 0 si nest impair. Pour |x| ≤ 1, Tn(x) oscille n fois entre 1 et −1 (ou, ce qui revientau meme, T 2

n(x) presente n extrema entre 0 et 1) tandis que pour |x| ≥ 1, cespolynomes sont monotones croissants.

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 53

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Figure 3.20 – Reponse frequentielle (gain) d’un filtre de Tchebycheff de type Id’ordre 4 pour ε = 1.

On peut montrer que l’ordre n du filtre doit etre choisi tel que :

n ≥ln ( 1

η +√

1η2 − 1)

ln ( 1k +

√1k2 − 1)

(3.34)

ou k est la selectivite du filtre (et correspond a la largeur de la bande de tran-sition) et η est la constante d’attenuation η = ε/

√A2 − 1.

Generiquement, la transformee de Laplace H(s) d’un filtre de Chebyshev I estde la forme :

H(s) =K0

∏ni=1(s − pi)

, (3.35)

c’est-a-dire constituee de n poles pi situes (dans le plan complexe) sur une 1/2ellipse, c’est-a-dire tels que :

pi =γ−1 − γ

2sin

(2i − 1)π

2n+ j

γ−1 + γ

2cos

(2i − 1)π

2n

et

γ = (1+√

1+ε2

ε )1

n et K0 =

∏ni=1(−pi) si n est pair

1√1+ε2

∏ni=1(−pi) si n est impair

(3.36)

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 54

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Figure 3.21 – Poles d’un filtre passe-bas de Tchebycheff (type I) d’ordre 4.

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 8 Chebyshev Type I IIR Filter

(a)

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 16 Chebyshev Type I IIR Filter

(b)

Figure 3.22 – Filtres de Tchebycheff de type I. (a) ordre 8. (b) ordre 20.

Filtres de type II (Tchebycheff inverse)

La famille des filtres de Chebyshev de type II presente les caracteristiques com-munes suivantes :

– Meme optimalite que le filtre de Chebyshev de type I,

– Ondulations dans la bande attenuee mais pas dans la bande passante.

La forme generale du gain frequentiel (au carre) d’un filtre de Chebyshev detype II d’ordre n est la suivante :

|H(ω)|2 =1

1 + 1ε2 T 2

n(ωc/ω)

(3.37)

ou Tn(ω) est un polynome de Chebyshev d’ordre n. Dans la bande attenuee, lepolynome de Chebyshev oscillera entre 0 et 1, et donc le gain oscillera entre 0

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

1+ ε 2

1

��������������������������������

��������������������������������

���������������������������

���������������������������

������������������������

������������������������

|H( )|

ω

ω

1

(a)

��������������������������������

��������������������������������

���������������������������

���������������������������

������������������������

������������������������

|H( )|

ω

ω

1

(b)

Figure 3.23 – Gabarit et filtres de Tchebycheff de type II. (a) ordre impair.(b) ordre pair. La forme des ondulations dans la bande passante depend de laparite de l’ordre du filtre.

et 1√

1+ 1

ε2

.

Figure 3.24 – Reponse frequentielle (gain) d’un filtre de Tchebycheff de typeII d’ordre 5 pour ε = 0.01.

Generiquement, la transformee de Laplace H(s) d’un filtre de Chebyshev II estde la forme :

H(s) =K0

∏ni=1,i6=(n+1)/2 (s − zi)∏n

k=1(s − pk), (3.38)

c’est-a-dire constituee de zeros situes (dans le plan complexe) sur l’axe imagi-naire et de n poles pi situes sur un 1/2 cercle de rayon ωc.

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 8 Chebyshev Type II IIR Filter

(a)

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 16 Chebyshev Type II IIR Filter

(b)

Figure 3.25 – Filtres de Tchebycheff de type II. (a) ordre 8. (b) ordre 20.

3.2.6 Filtres elliptiques

Les filtres elliptiques (appeles egalement filtres de Cauer) correspondent aune famille de filtres dont les ondulations sont presentes dans la bande passanteet dans la bande attenuee. Les taux d’ondulations sont des parametres a valeursdifferentes dans chacune des deux bandes Aucun autre filtre d’ordre identiquen’a une largeur de transition (de gain) aussi faible. C’est pour cette raison queles filtres elliptiques sont parfois appeles filtres optimaux.

Quand le taux d’ondulations (ripple) de la bande attenuee tend vers zero, le filtreelliptique correspond a un filtre de Chebyshev de type I. A l’oppose, quand letaux d’ondulations dans la bande passante tend vers zero, le filtre elliptiquecorrespond a un filtre de Chebyshev de type II. Si les deux taux d’ondulationstendent vers zero, le filtre elliptique correspond a un filtre de Butterworth.

������������������������������������

������������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

������������������������������������

������������������������������������

|H( )|

ω

ω

1

(a)

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

��������������������������������

|H( )|

ω

ω

1

(b)

Figure 3.26 – Gabarit et filtres elliptique. (a) ordre impair. (b) ordre pair. Laforme des ondulations depend de la parite de l’ordre du filtre.

La forme generale du gain frequentiel d’un filtre elliptique est la suivante :

|H(ω)|2 =1

1 + ε2 R2n(ω/ωc, k)

(3.39)

ou Rn est une fonction rationnelle (parfois appelee fonction rationnelle de Che-

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 57

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 5 Elliptic IIR Filter

(a)

0 200 400 600 800 1000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)

Order 8 Elliptic IIR Filter

(b)

Figure 3.27 – Filtres elliptiques. (a) ordre 8. (b) ordre 20. Les amplitudes desondulations dans les bandes passantes et attenuees sont variables.

byshev) d’ordre n. k est la selectivite et est egalement lie a l’ondulation de Rn.Des tables sont utilisees ou des abaques sont employees pour determiner l’ordren du filtre. Des logiciels sont utilises pour synthetiser ce type de filtre (commeMatlab). En effet, l’expression litterale de la fonction rationnelle Rn est com-plexe et seule une synthese numerique est possible, car cette fonction corresponda :

Rn(ω, ξ = k) = sne(n sne−1(ω, ξ), ξ) , (3.40)

ou sne(u, y) est un sinus elliptique, c’est-a-dire sne(u, y) =sin(φ(u, y)) ou φ(u, y)est tel que

u(y) =

∫ φ

0

dx√

1 − y2 sin2x(3.41)

Dans la bande passante, la fonction rationnelle elliptique varie entre 0 et 1. Legain dans cette bande varie alors entre 1 et 1/

√1 + ε2.

Dans la bande attenuee, la fonction rationnelle elliptique varie entre l’∞ etL = Rn(ξ, ξ). Dans cette bande, le gain varie alors entre 0 et 1/

√1 + ε2L2,

comme cela est illustre ci-dessous :

L’ordre n du filtre est tel que :

n ≥ K(k) K(√

1 − η2)

K(η) K(√

1 − k2)(3.42)

ou k est la selectivite du filtre (et correspond a la largeur de la bande de tran-sition) et η est la constante d’attenuation η = ε/

√A2 − 1.

L’expression de la fonction K() est :

K(y) =

∫ π/2

0

dx√

1 − y2 sin2 x(3.43)

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 58

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Figure 3.28 – Reponse frequentielle d’un filtre elliptique passe-bas d’ordre 4pour ε = 0.5 et ξ = k = 1.05.

Figure 3.29 – Poles et zeros d’un filtre passe-bas de Cauer d’ordre 4.

3.3 Exercices

1. Montrer que la fonction de transfert du filtre passe-bas realisable est uneapproximation du filtre passe-bas ideal.

2. Quel est le type de filtre qui correspond le mieux au diagramme en gainet en phase (Bode) represente ci-dessous ? Quelle est la bande passante ?

3. Synthetiser un filtre de Butterworth afin que l’attenuation (A) soit de 40dB a 2 fois la frequence de coupure (normalisee) et de 3 dB dans la bandepassante (ripple).

4. Determiner la fonction de transfert H(ω) d’un filtre dont le gain frequentielest illustre ci-dessous. Quelle est la valeur de |H(+∞)| ? Quelle est l’allurede la phase ? Quelle est la valeur de la phase en 0 ? Quelle est la valeurmaximale de la phase ? A quelle frequence est-elle atteinte (correspondanta la pulsation centrale) ?

5. Determiner le filtre de Butterworth tel que 20 log10 |H(ω)| s’inscrive dansle gabarit normalise suivant (b = −30 dB et x1 = 2) :

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 59

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

0

50

Frequency (radians)

Pha

se (

degr

ees)

100

101

102

103

10−2

10−1

100

101

Frequency (radians)

Mag

nitu

de

Figure 3.30 – Diagramme en gain et phase d’un filtre inconnu.

|H( )|dB

ω

ωωω dc

20 dB/décade

3 dB

0

7 dB

Figure 3.31 – Gains frequentiels (en dB) asymptotiques et reels d’un filtre pourωc = 6 rad/s.

100

101

102

103

0

2

4

6

8

10

12

14

Frequency (radians)

Pha

se (

degr

ees)

100

101

102

103

100

101

Frequency (radians)

Mag

nitu

de

Figure 3.32 – Filtre a avance de phase.

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

|H( )|ωdB

x x10

a

b

1

Figure 3.33 – Gabarit normalise x = ω/ωc.

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 61

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ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE

Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 62

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Chapitre 4

Modulation, demodulation

4.1 Introduction

Toute chaıne de transmission d’informations comporte necessairement unmilieu de transmission, un emetteur et un recepteur. La propagation a traversle milieu va entraıner des modifications du signal transmis. Contrairement auvide qui presente les memes caracteristiques quelque soit la frequence du si-gnal et dans lequel aucune puissance n’est dissipee, tous les autres milieux sontabsorbants et dispersifs.

• absorption : par suite d’une dissipation de puissance, les ondes se pro-pageant dans un milieu materiel s’attenuent : on dit que l’onde est ab-sorbee par le milieu. Dans le cas d’une onde plane, l’attenuation se tra-duit generalement par une amplitude S decroissant exponentiellementavec la distance x : S(x) = S0 exp(−α x) . La constante d’attenuationα depend en general de la frequence, si bien que les differentes com-posantes frequentielles d’un signal transmis ne subissent pas le memeaffaiblissement.

• dispersion : la celerite des ondes dans un milieu depend generalement dela frequence : cet effet, appele dispersion, introduit une distorsion dans lesignal transmis dans la mesure ou ses divers composantes frequentiellespresentent, lors de la reception, un retard different.

Il convient de noter que, meme dans le cas du vide, milieu non dispersif, lapresence d’antennes d’emission et de reception va introduire une forte variationdes caracteristiques de la transmission avec la frequence. En outre, on montreque la directivite et la puissance emise par des antennes augmentent lorsque lafrequence augmente, tandis que la taille de l’antenne diminue.

Pour limiter les distorsions introduites par le milieu et pour etre capable derealiser des antennes de taille raisonnable, on doit dans le cas de la transmissionradiophonique (signal a transmettre de basse frequence : 20 Hz-20 KHz), envi-sager une transformation du signal utile afin de transmettre un signal de hautefrequence. On parle alors d’operation de modulation.

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

Fondamentalement, l’operation de modulation consiste a adapter le messagea transmettre au canal de transmission et au systeme d’emission/reception.L’operation de modulation ou de transmission d’une information par une por-

teuse se traduit par le fait que le signal transmis se situe dans une gamme defrequences beaucoup plus elevee que celle du signal de depart. La modulationprovoque une translation du spectre. Afin d’illustrer la necessite de cette trans-lation spectrale, prenons le cas d’un signal audio (spectre dans la gamme defrequences [20 Hz - 20 KHz]) a transmettre par voie aerienne. Pour obtenirun rayonnement satisfaisant, il faudrait utiliser une antenne dont les dimen-sions atteindraient plusieurs kilometres (a titre d’exemple, pour transmettre unefrequence de 10 KHz, il faudrait utiliser une antenne de 30 km de diametre !).De plus, sans modulation (i.e. sans translation spectrale), les differentes sta-tions emettrices se confondraient chez le destinataire puisque tous les spectresemis se retrouveraient dans la gamme de frequence audio. La figure 4.1 donnele synoptique d’une chaıne de transmission dans laquelle on voit apparaıtre uneetape de modulation et egalement l’etape inverse de demodulation. Le messagea transmettre de la source est module, puis il est emis. Apres transmission etreception, il est demodule puis recupere par le destinataire.

source modulateur Canal detransmission démodulateur destinataire

Figure 4.1 – Chaıne de transmission avec modulation/demodulation du signal.

Pour la transmission de signaux analogiques, il existe essentiellement deux typesde modulations , a savoir la modulation d’amplitude et la modulation de frequence.Le choix d’un type de modulation pour la transmission d’une information se faiten tenant compte des criteres suivants :

• Largeur de bande occupee par le signal transmis : l’objectif est de mi-nimiser l’encombrement frequentiel du signal a transmettre.

• Complexite des circuits de l’emetteur et du recepteur : autant les cir-cuits de l’emetteur peuvent etre complexes et couteux si necessaires caril existe un nombre relativement faible d’emetteurs, autant les circuitsdu recepteur doivent absolument etre bon marche car ils sont destinesa etre fabriques en grande quantite pour le grand public.

• Le rapport signal sur bruit apres la demodulation.

La modulation peut etre definie comme le processus par lequel le message esttransforme de sa forme originale en une forme adaptee a la transmission. C’estun processus qui peut etre realise en utilisant une porteuse haute frequence,dont les parametres varient suivant des fonctions lineaires du message a trans-mettre. Au niveau du recepteur, ce processus est inverse par des methodes dedemodulation. Le processus de modulation permet egalement des transmissionsmultiplexees a travers un moyen de propagation commun, c’est-a-dire, des trans-missions simultanees de messages differents ayant des spectres disjoints durantla propagation.

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

4.2 Modulation d’amplitude (AM)

4.2.1 Principe

Soit x(t) le signal de basse frequence a transmettre. x(t) est appele le signalmodulant. Ce signal doit etre eventuellement transforme avant la transmissionafin qu’il verifie les hypotheses suivantes :

• |x(t)| ≤ 1,

• x = 1T

∫ t0+T

t0x(t) dt = 0 ,

• |X(ω)| = 0 , ∀ |ω| > W = 2πF (largeur de bande limitee).

ω|X( )|

ωW=2 Fπ−W

p(t)

+

*

1

1+ x(t)µµ

cx (t)

x(t)

Figure 4.2 – Principe de la modulation d’amplitude.

En modulation d’amplitude, le message x(t) passe d’abord par un attenuateurvariable µ compris entre 0 et 1 afin que la quantite |µ x(t)| ≤ 1. Une composantecontinue est ensuite ajoutee au signal µ x(t) avant de le multiplier par la porteuse(le signal porteur correspond a un signal sinusoıdal dont la frequence correspondau deplacement frequentiel souhaite, en fonction des caracteristiques du milieuou a lieu la transmission) p(t) = Ap cos(ωp t).

Le signal module en amplitude xc(t) s’ecrit alors :

xc(t) = Ap [1 + µ x(t)]︸ ︷︷ ︸

variation lente

cos(ωp t)︸ ︷︷ ︸

variation rapide

(4.1)

et µ est le taux ou indice de modulation.

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

t

1

−1

A (1+ )µ

−A (1+ )µ

A (1− )µ

−A (1− )µ

A

−A

x (t)c

A (1+ x(t)) = enveloppe

−A (1+ x(t)) = enveloppeµ

µ

t

x(t)

Figure 4.3 – (Gauche) : signal modulant. (Droite) : Signal module. En modu-lation d’amplitude, l’enveloppe du signal module reproduit la forme du signalmodulant.

4.2.2 Spectre du signal module

Soit X(ω), la transformee de Fourier du signal modulant, alors le signal modulexc(t) = Ap cos(ωpt) + Ap µ x(t) cos(ωpt) a pour transformee de Fourier (voirexercice 7 du chapitre 2) :

Xc(ω) = Ap π (δ(ω − ωp) + δ(ω + ωp)) +Ap µ

2(X(ω − ωp) + X(ω + ωp))

(4.2)Il s’agit donc a la fois d’un dedoublement de la bande frequentielle et d’unetranslation de la quantite ωp = 2πfp comme cela est illustre sur la figure 4.4.

−W

ω

+W ωω− pωpp ω

|X ( )|c

ωp

Figure 4.4 – Spectre du signal module : C’est une double bande laterale delargeur B = 2F = W/π.

La largeur de bande du signal module est de plus ou moins la frequence dusignal modulant (source) autour de la porteuse, soit pour une source a 3 KHz etune porteuse a 600 KHz une largeur de bande de 6 KHz (de 597 a 603 KHz).Al’analyseur de spectre, 3 raies sont observees ; 2 petites raies laterales (597 et603 KHz) et une grande raie a 600 KHz. Les 2 bandes laterales contiennentl’ensemble des informations du signal source. On peut donc transmettre uneseule bande laterale. Dans ce cas, on parle alors de modulation a bande lateraleunique (BLU).

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Exemple :

En radiodiffusion longue portee, les signaux radiophoniques sont transmis dansla gamme [148.5 − 285.0 KHz ] (pour les grandes ondes - GO). La bande alloueepour une station emettrice est de 9 KHz, donc ceci ne peut se faire que si onlimite le spectre du signal basse frequence a F ≤ 4.5 KHz.

4.2.3 Puissance moyenne transmise

La puissance moyenne transmise du signal module est Pxctelle que

Pxc= lim

T→+∞

1

T

∫ +T/2

−T/2

|xc(t)|2 dt (4.3)

avec x2c(t) =

A2

p

2 (1 + 2µx(t) + µ2x2(t)) +A2

p

2 (1 + µx(t)) cos (2ωpt).

Comme on a : x = 0 et 2πF = W � ωp, alors :

Pxc=

A2p

2(1 + µ2 Px

︸ ︷︷ ︸

≤ 1

) = Pc + 2 Pbl , (4.4)

ou :

– Pc =A2

p

2 est la puissance porteuse,

– Pbl =µ2A2

p

4 Px est la puissance par bande laterale.

On definit egalement le rendement de puissance lors de la modulation d’ampli-tude par la quantite η suivante :

η =2 Pbl

Pc + 2 Pbl=

µ2Px

1 + µ2Px≤ 50 % (4.5)

4.2.4 Demodulation AM

Alors que la modulation modifie une des caracteristiques (amplitude ou frequence)d’un signal haute frequence appele porteuse, la demodulation consiste a extrairel’information qui avait ete confiee a la porteuse et permet d’obtenir une copiefidele du signal original (musique, paroles...). La demodulation AM (Ampli-tude Modulee) effectue une detection crete du signal car le signal modulant estentierement defini par l’enveloppe du signal module. On peut tres simplementrealiser la demodulation par un redressement simple alternance suivi d’un fil-trage passe-bas (voir la figure 4.5 ci-dessous) et d’un filtrage passe-haut (poureliminer la composante continue introduite lors de la modulation). On obtientalors un signal r(t) proportionnel au signal modulant.

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x (t)c r(t)R C

Figure 4.5 – Schema electronique simple de demodulation AM(W � 1

RC � ωp).

Domaines d’utilisation de la modulation AM :

– Radiodiffusion :

– Petites Ondes : PO [2.3 − 26.1] MHz,– Ondes moyennes : MO [525.5 − 1606] KHz (bande 9 KHz),– Grandes Ondes : GO [148.5− 285] KHz (bande 9 KHz),

– Television hertzienne [47 − 68] MHz (TV bande I - 8 MHz).

La modulation d’amplitude est donc tres simple a realiser. La realisation dela demodulation est egalement facile a mettre en oeuvre. L’association d’unediode et d’un dipole RC parallele constitue un detecteur d’enveloppe. C’est unquadripole La tension de sortie obtenue est l’enveloppe de la tension moduleeen amplitude. La premiere partie du montage ci-dessus est un montage redres-seur. La diode ne laisse passer le courant que dans un seul sens. Cela elimine lapartie negative de la tension. En y ajoutant un condensateur C, on elimine lesvariations rapides de la tension dues a la porteuse.Le condensateur initialement decharge se charge tant que la tension d’entree,xc(t), croıt jusqu’au maximum, avec une constante de temps tC quasi nulle.Lorsque xc(t) decroıt, uC > xc(t) , la diode est bloquee, le condensateur sedecharge dans la resistance avec une constante de temps tD = RC grande parrapport a la periode Tp de la porteuse (si R et C sont bien choisis). Lorsquexc(t) atteint de nouveau uC , la diode est a nouveau passante et le condensateurse charge.Pour obtenir une demodulation de qualite, il faut que la constante de tempst du dipole RC soit tres superieure a la periode Tp de la porteuse, en restantinferieure a la periode du signal modulant (s’il est sinusoıdal). A la sortie dudetecteur d’enveloppe, la tension a encore une composante continue due a latension de decalage utilisee lors de la modulation, que l’on supprime par unfiltrage passe-haut.

L’inconvenient majeur de la modulation d’amplitude est sa sensibilite aux per-turbations electromagnetiques qui peuvent modifier l’amplitude de la porteuseet donc du signal modulant lors de la demodulation.

4.2.5 Modulation sans porteuse

Dans certains cas, les signaux transmis sont modules sans qu’il y ait adjonc-tion d’une composante continue. On dit abusivement qu’il s’agit d’une modula-

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tion sans porteuse. L’expression du signal module xc(t) est simplement :

xc(t) = Ap x(t) cos(ωp t) (4.6)

retournementde phase

x (t)c

p

t

A |x(t)|

Figure 4.6 – Signal module sans composante continue.

Cette modulation d’amplitude fournit egalement une double bande spectrale.Ici, la demodulation necessite la connaissance des retournements de la phase.

−W

ω

+W ωω− pωpp ωωp

|X ( )|c

Figure 4.7 – Spectre du signal module (sans porteuse) : C’est une double bandelaterale de largeur B = 2F = W/π.

Xc(ω) =Ap

2(X(ω − ωp) + X(ω + ωp)) (4.7)

La demodulation est realisee par une synchronisation indispensable (voir exer-cice 4.4). En effet, s’il existe un dephasage δφ dans le signal de la porteuse, celaentrainera une attenuation du signal demodule, car2 cos(ωp t + δφ) xc(t) = Ap x(t) (cos(δφ) + cos(2ωp t + δφ)),puis apres le passage par l’element F (voir figure 4.18), le signal demodule vautAp cos(δφ) x(t).

4.2.6 Modulation a bande laterale unique (BLU)

Pour certains types de transmissions, notamment en radio-communicationsou en telephonie, on effectue de nombreux multiplexages frequentiels pour trans-mettre plusieurs signaux de natures differentes. Poursuivant cette politiqued’economie de bande, toute bande de frequences inutiles est egalement a eliminer.Cette limitation de bande consiste tout simplement a ne conserver qu’une desdeux bandes laterales frequentielles (voir les figures 4.4 et 4.8). Soit la bandesuperieure a ωp est eliminee ([ωp, ωp + W ] et bien evidemment [−ωp −W,−ωp])et on parle de BLU inferieure (celle qui est conservee), soit a l’inverse la bande

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

inferieure a ωp est eliminee ([ωp, ωp − W ] et bien evidemment [−ωp + W,−ωp])et on parle de BLU superieure. Les spectres obtenus par filtrage sont

ω|X ( )|c

−W +W ωω− pωpp ωωp

(a)

ω|X ( )|c

−W +W ωω− pωpp ωωp

(b)

Figure 4.8 – Spectre du signal module a bande laterale unique (BLU) B =W/2π. (a) BLU inferieure. (b) BLU superieure.

Finalement, la puissance moyenne transmise est egalement reduite puisqu’ellevaut Pxc

= Pc + Pbl .

4.3 Modulation de frequence

4.3.1 Principe

La modulation de frequence d’un signal basse frequence x(t) consiste a em-ployer une porteuse dont la frequence depend directement de x(t). Dans le prin-cipe, on associera la modulation de frequence et la modulation de phase quisont tres interdependantes l’une de l’autre. Pour une porteuse sinusoıdale defrequence centrale de fp = ωp/2π et d’amplitude Ap, le signal module xc(t)s’exprime donc sous la forme generique :

xc(t) = Ap cos(ωp t + φ(t)) (4.8)

ou la phase instantanee est definie par θc(t) = ωpt+φ(t) et la frequence instantaneef(t) vaut :

f(t) =1

dθc(t)

dt=

ωp

2π+

1

dφ(t)

dt= fp +

1

dφ(t)

dt. (4.9)

A partir de ces definitions, on distingue

• la modulation de phase ou la phase de la porteuse est proportionnelleau signal modulant

φ(t) = µφ x(t) (4.10)

µφ est appele indice de modulation de phase et on choisit µφ tel queµφ < π pour eviter les ambiguıtes de phase. Pour ce type de modula-

tion, la frequence instantanee vaut f(t) = fp +µφ

2πdx(t)

dt.

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• la modulation de frequence ou la frequence de la porteuse est pro-portionnelle au signal modulant

f(t) = fp + µf x(t) = fp + ∆f (4.11)

µf est appele l’excursion maximale de frequence (µf � fp). Pour cetype de modulation, la phase instantanee θc(t) est egale a

θc(t) = ωp t + 2π µf

∫ t

0

x(τ) dτ

︸ ︷︷ ︸

φ(t)

. (4.12)

La modulation de phase est equivalente a une modulation de frequence par laderivee du signal modulant et la modulation de frequence est equivalente a unemodulation de phase par l’integrale du signal modulant. L’une et l’autre per-mettent de preserver l’enveloppe ce qui abouti a une meilleure resistance aubruit (l’enveloppe du signal module reste constante) et permet un dimensionne-ment optimal des recepteurs. En effet, pour ce second point, si on s’interesse a la

puissance moyenne transmise, celle-ci vaut Pxc=

A2

p

2 , elle est donc constantequel que soit le signal modulant x(t).

4.3.2 Spectre du signal module

Afin d’expliciter une transformee de Fourier des signaux usuellement em-ployes en modulation de frequence, nous allons nous attacher a etudier le spectred’un signal module pour deux situations pratiques qui reduisent tres peu le cadrede l’etude : la modulation a bande etroite et la modulation d’une sinusoıde (sa-chant que tout signal a energie finie peut se decomposer en une serie de Fourier).

Modulation a bande etroite

Ceci consiste a considerer les signaux pour lesquels le second terme de droitedans l’equation (4.12) est d’amplitude faible. C’est-a-dire quand l’excursion dephase |φ(t)| � 1 . On a alors :

xc(t) = Ap cos(ωp t + φ(t)) = Ap cos(ωp t) cos φ(t) − Ap sin(ωp t) sin φ(t)

≈ Ap cos(ωp t) − Ap φ(t) sin(ωp t) . (4.13)

Il s’ensuit que la transformee de Fourier de xc(t) peut alors s’exprimer par

Xc(ω) = Ap π (δ(ω − ωp) + δ(ω + ωp))−Ap

2j(Φ(ω − ωp) − Φ(ω + ωp)) (4.14)

ou

Φ(ω) =

µφ X(ω) pour la modulation de phase,

2π µfX(ω)

jω pour la modulation de frequence.(4.15)

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Figure 4.9 – (Haut) : Signal modulant (en rouge) et porteuse sinusoıdale (envert). (Bas) : Signal module en frequence. L’amplitude de l’enveloppe du signalmodule reste constante.

Les spectres obtenus sont semblables a ceux correspondant a une modulationd’amplitude. C’est aussi une double bande laterale de largeur B = 2F = W/π.Precisement, le profil de l’amplitude du spectre est identique pour une modula-tion d’amplitude et pour une modulation de phase (le signe est inverse avec lesigne de ω cependant si on affiche Xc(ω) et non |Xc(ω)|). Pour la modulation defrequence, l’amplitude |Xc(ω)| diminue legerement en fonction de la frequence.

Modulation par une sinusoıde

On suppose que la restriction suivante sur le signal a transmettre x(t) est :

|x(t)| ≤ 1 . (4.16)

On decrit alors x(t) par une sinusoıde x(t) = sin ωmt. La phase φ(t) = β x(t).La porteuse sinusoıdale est xp(t) = Ap cos(2πfpt), et par consequent le signalmodule s’exprime par :

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

xc(t) = Ap cos(2πfpt + β sin(2πfmt))

= Ap cos(2πfpt) cos(β sin(2πfmt)) − sin(2πfpt) sin(β sin(2πfmt))

= Ap

+∞∑

n=−∞Jn(β) cos(2π(fp + nfm)t) (4.17)

ou β est l’indice de modulation qui vaut :

β =

{µφ (modulation de la phase),

2πµf

ωm=

µf

fm(modulation de frequence)

(4.18)

Figure 4.10 – Les trois premieres fonctions de Bessel de premiere espece.

Les fonctions de Bessel de premiere espece Jn(β) correspondent aux coefficientsdans le developpement en serie de Fourier de :

cos(β sin(2πfmt)) = J0(β) + 2

+∞∑

n=2,n pair

Jn(β) cos(nωmt) (4.19)

sin(β sin(2πfmt)) = 2

+∞∑

n=1,n impair

Jn(β) sin(nωmt) (4.20)

Cette famille de fonctions est definie explicitement par une integrale complexe :

Jn(x) =1

∫ +π

−π

e(j x sin θ−j n θ) dθ . (4.21)

Proprietes

• Jn(x) = (−1)n J−n(x)

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• Jn(x) = (−1)n Jn(−x),

• Jn−1(x) + Jn+1(x) = 2nx Jn(x) (n > 0).

La puissance moyenne transmise du signal module Pxcvaut (d’apres Parseval) :

Pxc=

A2p

2

+∞∑

n=−∞|Jn(β)|2 =

A2p

2

(

J20 (β) + 2

+∞∑

n=1

J2n(β)

)

=A2

p

2. (4.22)

Le spectre harmonique d’un signal FM (module en frequence) reel possede descomposantes qui vont jusqu’a des frequences infinies, bien qu’elles deviennentrapidement negligeables. De facon simplifiee, le spectre s’une sinusoıde moduleeen FM par un signal sinusoıdal peut etre represente par une fonction de Bessel, cequi permet de modeliser formellement l’occupation spectrale d’une modulationFM, et on a :

Xc(ω) = π Ap

+∞∑

n=−∞Jn(β) δ(ω − (ωp + n ωm)) (4.23)

Ce qui correspond a un spectre de raies :

ω

ωω−

|X ( )|c

ω

π p 0 βA J ( )

π A J ( )p −1 β A J ( )π 1 βp

p pω − ω + ω ωm m

p p

Figure 4.11 – Spectre du signal module : Les amplitudes des raies diminuentrapidement a partir de la frequence centrale du signal module fc = ωc/2 π.

dont la largeur de bande B vaut :

• β � 1 ⇒ |Jn(β)| ≈ 0 si |n|β > 1 ⇒ B ≈ 2 β fm = 2µf

,

• β � 1 (bande etroite) ⇒ B ≈ 2 fm,

• β quelconque ⇒ Regle de Carson B ≈ 2 (β +1) fm = 2 (fm +µf )

La regle de Carson indique qu’a peu pres toute la puissance ( 98%) d’unsignal module en frequence est comprise dans la bande B.

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4.3.3 Modulateurs FM

Un signal module en frequence peut etre realise a l’aide d’un circuit oscilla-teur commande en tension (OCT ou VCO pour Voltage Controlled Oscillator,en anglais). L’oscillateur est generalement constitue d’un quartz et d’une diodevaricap, qui, en fonction de la tension appliquee a l’entree verra sa capacitevarier et cette variation provoquera dans le circuit oscillateur des variationsde frequence. La diode est commandee par la tension du signal modulant Latension en sortie est finalement amplifiee, puis reliee a une antenne pour unetransmission Hertzienne.

OCTp

1−1

f

x

ff + fµ

f − fµx (t)x(t) c

f

OCT

p

pp

p

Figure 4.12 – Schema electronique simple de modulation FM. Le signal moduleest xc(t) = Ap cos(ωp t + 2 π µf

∫ tx(τ) dτ).

4.3.4 Demodulateurs FM

Nous allons aborder la demodulation de frequence en examinant deux methodes.La premiere methode est appelee ”discriminateur” et se refere a la demodulationd’amplitude. La second methode, plus precise, est la boucle a verrouillage dephase.

Le discriminateur

Le discriminateur est un mecanisme de demodulation qui correspond a un en-semble de deux fonctions en cascade : un differentiateur et un detecteur d’en-veloppe. Le detecteur d’enveloppe revient a effectuer une demodulation AM(voir section 4.2.4). En effet, le signal modulant etant de la forme suivantexc(t) = Ap cos(ωp t + φ(t)), sa derivee vaut :

dxc(t)

dt= − (ωp +

dφ(t)

dt) Ap sin(ωp t + φ(t))

= −Ap (ωp + 2π µf x(t))︸ ︷︷ ︸

enveloppe

sin(ωp t + φ(t)) (4.24)

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

Filtredérivateur

Détecteur d’enveloppe

Démodulation AM

x (t) r(t)c

Figure 4.13 – Demodulation de frequence par discriminateur.

La boucle a verrouillage de phase

Une boucle a verrouillage de phase (PLL - Phase Locked Loop) est un systemeasservi qui permet, dans certaines conditions, de synchroniser le signal delivrepar un oscillateur variable par rapport a un signal de commande. Cette pro-priete est mise a profit dans les demodulateurs de frequence, les decodeursstereophoniques ou pour synthetiser des ondes de tres haute purete spectrale,controler la vitesse de rotation d’un moteur, decoder des informations codeespar un saut de frequences (ou FSK pour Frequency Shift Keying),...Ce dispositif est constitue principalement de trois composants : un detecteur dephase, un filtre passe-bas de transmittance F (s) et un oscillateur controle en ten-sion (OCT). L’OCT produit un signal avec une frequence bien determinee dontla valeur peut changer suivant la tension appliquee a son entree. Le detecteur dephase produit un signal dont l’amplitude depend du dephasage entre le signald’entree et celui produit par l’OCT. Il est realise le plus souvent par un circuitanalogique multiplieur. Le role du filtre passe-bas est de conserver les variationsde phase (BF) tout en supprimant les hautes frequences et de produire ainsiune tension proportionnelle aux deviations de frequences.

Comparateur

de phase

OCT

x (t)c

x (t)

r(t)

o

FiltreF(s)

Figure 4.14 – Demodulation de frequence par boucle a verrouillage de phase.

L’OCT ajuste la frequence instantanee de xo(t) jusqu’a ce que la phase de xo(t)soit egale a celle de xc(t). A ce moment-la, r(t) est egal a la derivee de l’excur-sion de phase instantanee de xc(t), c’est-a-dire au signal modulant.

Etant donne l’importance de l’emploi de la PLL, nous allons l’etudier plus endetails, afin de preciser le mode de fonctionnement de ce dispositif, de determinerun modele lineaire et d’analyser les proprietes essentielles du systeme. Dans uncadre general, nous prendrons les notations suivantes indiquees sur la figure(4.15) :

Le principe de fonctionnement simplifie de cet ensemble peut etre resume commesuit : en l’absence de signal d’entree vi(t), la tension de sortie vr(t) est nulle :

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

v (t) = V sin[ (t)]θi i i

Filtre passe−bas

v (t) = V sin[ (t)]

v (t)v (t)

Détecteurde phase

F(s)

Oscillateur variable

s

o o

r

θo

SortieEntrée

Figure 4.15 – Synoptique de la boucle a verrouillage de phase (PLL).

l’oscillateur fonctionne alors a sa frequence propre f ′0. Dans le cas contraire, le

detecteur de phase compare la phase instantanee θi(t) de vi(t) a celle θ0(t) del’onde issue de l’oscillateur et delivre un signal ”d’erreur” vs(t) qui depend del’ecart θi(t)− θ0(t). Celui-ci filtre par le circuit passe-bas fait varier la pulsationω0 de la tension vo(t) de facon a assurer son synchronisme avec le signal d’entree(ou de commande) vi(t), c’est-a-dire l’egalite des frequences fo et fi definies parles relations :

fi =ωi

2π=

1

dθi(t)

dt

fo =ωo

2π=

1

dθo(t)

dt(4.25)

Precisons des maintenant que la condition fo = fi ne demeure verifiee que dansune bande spectrale finie, dite ”de verrouillage”.

Le detecteur de phase : son role est d’elaborer un signal dit ”d’erreur” qui refletel’ecart θi(t)−θo(t). La methode couramment employee pour parvenir a cette finconsiste a multiplier les signaux vi(t) (d’amplitude Vi susceptible de varier dansle temps, mais lentement par rapport a la frequence f ′

o) et vo(t) d’amplitude Vo

constante. Le resultat de cette operation est la tension vs(t) donnee par :

vs(t) = KVi Vo

2{cos[θi(t) − θo(t)] − cos[θi(t) + θo(t)]} (4.26)

ou K est une constante caracteristique du circuit multiplieur. Dans le cas d’uneentree sinusoıdale, on peut, grace a un choix judicieux de l’origine du temps,mettre la phase instantanee θi(t) sous la forme θi(t) = ωi t − π/2 . En ad-mettant, de plus, que celle de l’oscillateur s’ecrit θo(t) = ωo t − Φ , nous endeduisons que :

vs(t) = KVi Vo

2{sin[(ωi − ωo) t + Φ] − sin[(ωi + ωo) t − Φ]} (4.27)

Cette derniere expression montre que la tension ”d’erreur”, disponible a la sortiedu detecteur de phase, est la somme de deux composantes :

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ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DEMODULATION

• l’une de frequence fi + fo elevee,

• l’autre de frequence |fi − fo| beaucoup plus faible.

La deuxieme composante peut donc etre facilement isolee a l’aide d’un filtrepasse-bas.

Le filtre passe-bas : Ce circuit lineaire est destine a eliminer la composante spec-trale fi + fo. Sa frequence de coupure fc doit donc etre telle que

fc � fi + fo . (4.28)

En mettant sa fonction de transfert F (jω) sous la forme F (jω) = |F (jω)| ej φ(jω)

avec φ(0) = 0 , et en choisissant un gabarit tel que |F (j (ωi + ωo)| ≈ 0 (voirfigure 4.16), il est clair qu’en regime stationnaire, le signal vr(t) resultant dufiltrage de vs(t) s’ecrit :

vr(t) ≈ KVi Vo

2|F (j(ωi − ωo)| {sin[(ωi − ωo) t + Φ + φ(ωi − ωo)]} (4.29)

Cette tension constitue la grandeur de sortie ; de plus, elle commande la frequencefo delivree par l’oscillateur variable.

|F(j )|

F(0)

F(0)

2

Cas

Cas Composantes H.F.

β

α

ωc ωoω + ωi

ω

Figure 4.16 – Gabarit pour le filtre passe-bas de la boucle a verrouillage dephase.

L’oscillateur commande : dans un souci de simplicite, nous admettrons que laloi de variation de la pulsation ωo en fonction de vr est pratiquement lineaire :

ωo = ω′o + Ko vr + · · · (4.30)

ou ω′o designe la pulsation d’oscillation libre (pour vr = 0) et Ko la sensibilite

de l’oscillateur commande en tension :

Ko =

(dωo

dvr

)

|vr=0 ou ωo=ω′

o

(4.31)

Verrouillage-capture Considerons a present le systeme complet. En regime sta-tionnaire (c’est-a-dire pour ωo constant), il est caracterise par l’equation non-lineaire deduite de (4.29) et de (4.31)

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ωo − ω′o =

Ko K

2Vi Vo |F (j(ωi − ωo)| {sin[(ωi − ωo) t + Φ + φ(ωi − ωo)]}

(4.32)qui doit etre independante du temps conformement a l’hypothese de stationarite.Il en resulte deux solutions :

• |ωi − ωo| � ωc :Comme |F (j(ωi−ωo)| ≈ 0, on en deduit que ωo = ω′

o, ∀ t. L’oscillateurest en ”mode libre”, car sa frequence f ′

o est independante des signauxexterieurs : on dit que la boucle n’est pas verrouillee.

• |ωi − ωo| < ωc :La composante basse frequence de vs(t) est transmise par le filtre et agitsur l’oscillateur de facon a diminuer l’ecart en frequence |fi − fo|. Onpeut donc ecrire (en supposant que F (0) = 1) :

|F (j(ωi − ωo))| → F (0) = 1 , (4.33)

et il est clair que l’equation (4.32) admet comme solution ωo = ωi.On dit alors que la boucle est verrouillee : l’oscillateur fonctionne en”mode force”, car sa frequence fo est forcee de rester egale a fi. Pourcette solution reportee dans (4.32), et en rappelant que φ(0) = 0 (valeurde la phase du filtre-passe-bas dans la bande passante), on obtient

ωo − ω′o =

Ko K

2Vi Vo sin Φ . (4.34)

Cette relation est interessante, car elle revele que le verrouillage de la boucle(ωo = ωi) n’est conserve que tant que l’on a :

|ωi − ω′o| = |ωo − ω′

o| ≤ |Ko K

2Vi Vo| (4.35)

C’est-a-dire tant que la pulsation ωi demeure comprise dans une bande spec-trale centree par rapport a la pulsation libre ω′

o et de largeur definie par (4.34) :a l’exterieur de ce domaine, il y a perte de synchronisme. Si tel est le cas,on concoit, en considerant l’equation (4.32) que le ”reverrouillage” de la bouclen’est possible que si l’ecart initial |ωi−ω′

o| est inferieur a la pulsation de coupureωc, c’est-a-dire si le signal de frequence |fi − f ′

o| a une amplitude suffisante pouragir de facon sensible sur l’oscillateur. Cette remarque aide a comprendre que lesynchronisme entre la tension d’entree et celle delivree par l’oscillateur ne peutre-apparaıtre que dans une bande spectrale de capture, beaucoup plus etroite quecelle de verrouillage : sa largeur depend essentiellement de la selectivite du filtre.

Les figures suivantes illustrent la disposition relative de ces deux domaines par-ticuliers en representant la variation de fo lorsque la frequence d’entree fi croıt.D’apres (4.34), on voit que l’angle Φ est nul lorsque la frequence fi du signalde commande est egale a celle d’oscillation libre f ′

o ; en nous reportant a θi(t) =ωi t − π/2 et θo(t) = ωo t − Φ , il apparaıt que, dans ce cas, le signal d’entreeest en quadrature arriere par rapport a celui de l’oscillateur.

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déverrouillagecapture

décroit

croitf

f

f

f

f

f’

f’

o

o

o

i

f i

i

io

bande de

capture

capture

f’o

f’o

bande de verrouillage

Figure 4.17 – Domaines de verrouillage et de capture lors de la variation defo.

Table 4.1 – Standards FM de la radiodiffusion.

La bande FM est de 20 MHz 88.0 - 108.0

100 canaux dont la largeur de bande est 200 KHz

Stations non-commerciales 88.1 − 91.9 MHz

Stations commerciales 91.9 − 107.9 MHz

Stabilite de la porteuse ±2 KHz

Deviation maximale de frequence ∆f = ±75 KHz

Frequence du signal audio 50 − 15 KHz

Indice de modulation β = ∆f/fm 5 (∆f = 75 KHz, fm = 15 KHz)

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4.4 Exercices

1. Soit un signal module en amplitude xc(t) = 10 cos(106t) (1+0.5 sin(103t) .Donner la frequence du signal modulant, de la porteuse et l’indice de mo-dulation.

Rep : Ap = 10 ; fx = 159.55 Hz, fp = ωp/2π = 106/2π = 159.55 KHz,µ = 0.5.

2. Calculer la puissance moyenne transmise du signal module sans porteusePxc

, en fonction de Ap et de la puissance du signal modulant Px. Pouraborder cet exercice, on se placera dans les cas suivants :

• le signal modulant est constant : x(t) = C .

• le signal modulant est une sinusoıde : x(t) = cos(ω0t) .

Rep : Pxc≈ A2

p

2 Px.

3. Calculer le rendement de puissance η, maximal, lors de la transmission dusignal x(t) = sin(ω0t) dans un milieu ou il a ete necessaire de le moduleren amplitude avec la pulsation de porteuse ωp = 100 ω0 ? Representer lespectre du signal module (sans et avec porteuse).

4. La demodulation coherente consiste a multiplier un signal module en am-plitude (sans porteuse) par le signal s(t) = 2 cos(ωpt) appele synchroni-sateur, puis a faire passer le signal obtenu a travers un element F . Onobtient alors le signal demodule r(t) proportionnel au signal modulantx(t). Expliquer le role du synchronisateur et le role de l’element F . Endeduire l’element F .

x (t)

2 cos( t)

c

ω

*

∼ p

F

synchronisation

r(t)

Figure 4.18 – Schema de principe de la demodulation coherente.

5. On considere un signal xc(t) module en frequence dont l’expression estxc(t) = 10 cos[6283200 t − 5 cos(3141 t)] . Determiner :

• l’expression de la frequence instantanee,

• la frequence fp de la porteuse,

• la frequence fm du signal modulant,

• l’excursion en frequence µf ,

• l’indice de modulation β,

• l’encombrement spectral (bande) B du signal module.

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