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MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FERHAT ABBAS - SETIF 1 FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT D'ELECTROTECHNIQUE TRAITEMENT DU SIGNAL ANALOGIQUE ET NUMERIQUE COURS DE MASTER AUTOMATIQUE ET SYSTEMES MAS71 Réalisé en 2017/2018 par Dr. LATRECHE Samia Maître de Conférences Classe B

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MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE FERHAT ABBAS - SETIF 1

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT D'ELECTROTECHNIQUE

TRAITEMENT DU SIGNAL

ANALOGIQUE ET NUMERIQUE

COURS DE MASTER AUTOMATIQUE ETSYSTEMES – MAS71

Réalisé en 2017/2018 par

Dr. LATRECHE SamiaMaître de Conférences Classe B

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FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT D'ELECTROTECHNIQUE

TRAITEMENT DU SIGNAL

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TABLE DES MATIERES

Sommaire PageAvant-proposChapitre 1 : CLASSIFICATION DES SIGNAUX 011.1 INTRODUCTION 011.2 DEFINITIONS 011.2.1 Signal 011.2.2 Bruit 011.2.3 Théorie du signal 011.2.4 Traitement de signal 021.2.5 Domaines d'application 031.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX 031.3.1 Classification phénoménologique 031.3.2 Classification énergétique 041.3.3 Classification morphologique 041.4 SIGNAUX USUELS 051.4.1 Fonction signe 051.4.2 Fonction échelon 051.4.3 Fonction rampe 051.4.4 Fonction rectangulaire 051.4.5 Fonction triangulaire 061.4.6 Impulsion de Dirac 061.4.7 Peigne de Dirac 061.4.8 Fonction sinus cardinal 071.4.9 Application 07Chapitre 2 PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THEORIE DU SIGNAL 082.1 INTRODUCTION 08

2.2 PROPRIETES TEMPORELLES 08

2.2.1 Corrélation 08

2.2.2 Produit de convolution 09

2.2.3 Résolution graphique 10

2.2.4 Application 10

2.3 PROPRIETES FREQUENTIELLES 10

2.3.1 Transformation de Fourier des fonctions périodiques-Série de Fourier 102.3.2 Transformation de Fourier des fonctions 13

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2.3.3 Transformée de Fourier du produit de convolution 15EXERCICES 16Chapitre 3 ANALYSE ET SYTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES 18

3.1 INTRODUCTION 18

3.2 FILTRAGE DES SIGNAUX ANALOGIQUES 20

3.2.1 Filtres idéaux (Gabarits) 20

3.2.2 Filtres réels 20

3.2.3 Types de filtres 21

3.2.4 Circuit d’un filtre passe-bas 22

3.2.5 Circuit d’un filtre passe-haut 23

3.2.6 Circuit du filtre passe-bande 24

3.2.7 Filtre de Butterworth à partir du gabarit 263.2.8 Filtres de Tchebychev 283.3 SYNTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES 30EXERCICES 31Chapitre 4 ECHANTILLONNAGE DES SIGNAUX 33

4.1 INTRODUCTION 33

4.2 NUMERISATION 33

4.2.1 Echantillonnage 33

4.2.2 Quantification 36

4.2.3 Codage 38

EXERCICES 39

Chapitre 5 TRANSFORMEE DISCRETE ET FENETRAGE 40

5.1 INTRODUCTION 40

5.2 REPRESENTATION DES SIGNAUX ET SYSTEMES DISCRETS 40

5.3 TRANSFORMEE EN Z 41

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5.3.1 Définition41

5.3.2 Propriétés de la transformée en Z 41

5.3.3 Quelques exemples de transformées en Z (signaux causaux) 43

5.4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES DISCRETS 435.4.1 Définition 43

5.4.2 Représentation fréquentielle 44

5.5 TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL DISCRET 45

5.5.1 Définition 46

5.5.2 Propriétés 46

5.5.3 Egalité de Parseval 46

5.6 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE -TFD 46

5.6.1 Fenêtrage 46

5.6.2 Echantillonnage en fréquence 48

5.7 TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE – TFR (FFT) 49

EXERCICES 50

Chapitre 6 : ANALYSE ET SYNTHESE DES FILTRES NUMERIQUES52

6.1 FILTRAGE DES SIGNAUX NUMERIQUES 52

6.1.1 Représentation d'un filtre numérique 52

6.2 CLASSIFICATION DES FILTRES 536.2.1 Structure des filtres non récursifs RIF 536.2.2 Structure des filtres récursifs RII 546.3 SYNTHESE DES FILTRES RIF 556.3.1 Méthode de la fenêtre 566.3.2 Méthode de la fenêtre : méthodologie 566.3.3 Exemple 576.3.4 Réalisation de filtres RIF 57

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6.4 SYNTHESE DES FILTRES RII 586.4.1 Méthode de l'invariance impulsionnelle 596.4.2 Transformation bilinéaire 596.4.3 Exemple 606.4.4 Réalisation d'un filtre RII 616.5 CONCLUSION SUR LES FILTRES 626.5.1 Filtre de réponse impulsionnelle finie RIF 626.5.2 Filtre de réponse impulsionnelle infinie RII 62EXERCICES

Bibliographie

Résumé

63

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Avant-propos

Le module « Traitement du signal analogique et numérique » est destiné à faire connaitre à

l’apprenant des concepts sur la représentation temporelle et fréquentielle des signaux et des

systèmes analogiques et numériques et effectuer les traitements de base tels que le filtrage et

l’analyse spectrale numérique. Pour ces raisons et par le biais de ce module, nous allons

rendre service à l’apprenant ou au futur master d’avoir une solide formation en Automatique

grâce à un certain nombre de lois et des théorèmes fondamentaux afin d’assimiler et

comprendre ultérieurement une technologie qui évolue et se complique chaque jour.

Public cible : Ce cours s'adresse à l’ensemble des étudiants de 1ère Année Master

Automatique Option: Automatique et Systèmes.

Prérequis : Pour bien suivre le module « Traitement du signal analogique et

numérique » avec succès, l’étudiant devra posséder les connaissances suivantes :

Théorie du signal,

Les bases mathématiques.

Objectifs pédagogiques :

Objectif principal : A l'issu de ce module, l’apprenant sera en mesure effectuer les

traitements de base tels que le filtrage et l’analyse spectrale numérique.

Objectifs spécifiques : A l'issu de ce module, l’apprenant sera en mesure :

D’appliquer les méthodes d’analyse et de synthèse des filtres analogiques à savoir les

filtres passifs, actifs, passe-bas, passe-haut, passe-bande, Tchebyshev et Butterworth;

De bien assimiler le passage du signal continu au signal discret à savoir

l’échantillonnage, la reconstruction et la quantification :

Découvrir les notions sur les transformées de Fourrier TFTD (Transformée de Fourier

à Temps Discret), la TFD (Transformée de Fourier Discrète) et la TFR (Transformée

de Fourier Rapide) ;

D’analyser et de synthétiser les filtres numériques ;

Le filtrage et l’analyse spectrale sont des techniques de base dans le traitement

numérique du signal. Leur principale fonction est d’isoler, de renforcer ou d’atténuer

certaines composantes fréquentielles d’un signal numérique.

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Chapitre 1 CLASSIFICATION DES SIGNAUX

1.1 INTRODUCTION

Les applications de l'électricité sont généralement regroupées en deux domaines principaux

largement indépendants : les techniques de l'énergie et les techniques de l'information.

La théorie et le traitement des signaux est une discipline appartenant aux deuxièmes

techniques particulières.

L'universalité de la théorie et le traitement des signaux, est attestée par la diversité des

secteurs d'application : industriels, scientifiques, biomédicaux, militaires, spatiaux, etc...

Le mot signal vient de signe - signum en Latin - qui dénote un objet, une marque, un élément

de langage, un symbole convenu pour servir à une information. [1]

1.2 DEFINITIONS [1]

1.2.1 Signal : Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de

sa source à sa destination. C’est une expression d’un phénomène qui peut être mesurable

par un appareil de mesure. Bien que la plupart des signaux soient des grandeurs électriques

(généralement courant, tension, champ, …) la théorie du signal reste valable quelle que soit

la nature physique du signal. La description mathématique des signaux est l'objectif de la

théorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des

systèmes de traitement de l'information.

1.2.2 Bruit : Un bruit est un phénomène perturbateur gênant la transmission ou

l'interprétation d'un signal.

1.2.3 Théorie du signal : La théorie du signal fournit la description mathématique (ou

modélisation) des signaux. C'est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire

les signaux et les bruits émis par une source, ou modifiés par un système de traitement. La

théorie de l’information est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire la

transmission de messages véhiculés d’une source vers un destinataire.

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Figure 1.1 Ressources scientifiques de la théorie du signal

1.2.4 Traitement de signal : C’est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources

de l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou

l’interprétation des signaux porteurs de l’information. Son application se situe dans tous les

domaines concernés par la transmission ou l’exploitation des informations transportées par

ces signaux.

Un système de mesure a de façon générale la structure de la figure ci-dessous, le phénomène

physique que l’on veut étudier est présenté par un capteur qui le transforme en un signal

électrique tension ou courant, à ce niveau un bruit s’ajoute. Le signal transmit à travers le

canal de transmission atteint le récepteur, puis il subit un traitement pour extraire

l’information utile sans bruit.

Figure 1.2 Chaine de transmission d’un signal analogique

Les ressources technologiques du traitement du signal sont :

Figure 1.3 Ressources technologiques de la théorie du signal

Processus aléatoires Algèbre linéaire et

Analyse fonctionnelle

Electricité générale

Théorie du signal et de l'information

Physique AppliquéeTechniques ElectroniquesInformatique

Traitement des signaux

Systèmephysique

Capteur Canal de transmission Récepteur Traitement

Bruit

Signal électrique + bruit Bruit

Information utile

et bruit résiduel

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1.2.5 Domaines d'application

Télécommunication ; Technique de mesures ; Etude de vibrations mécaniques ; Surveillance

de processus industriels ; Radar ; Acoustique ; Reconnaissance de formes ; Traitement

d'images ; Analyses biomédicales ; Géophysique ; Astronomie…

1.3 CLASSIFICATION DES SIGNAUX [1]

On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés.

1.3.1 Classification phénoménologique

1.3.1.1 Définitions : On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il

apparaît deux types de signaux :

- Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps

peut être parfaitement modélisée par une fonction mathématique. On retrouve dans cette

classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires,

etc…

- Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel

à leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont

invariantes dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires.

1.3.1.2 Sous classes de signaux déterministes : Parmi les signaux déterministes, on

distingue :

-Les signaux périodiques, satisfaisant à la relation : x(t) = x(t + kT) où k est un entier qui

obéit à une loi de répétition cyclique régulière de période T.

-Les signaux non périodiques, qui ne jouissent pas de cette propriété.

1.3.1.3 Exemples de signaux déterministes : Les signaux sinusoïdaux sont un cas

particulier de ces signaux qui sont périodiques : s(t) = A. sin[(2π/T)t + φ] avec A : amplitude

et φ : la phase

Figure 1.4 Signal sinusoïdal

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Les signaux non périodiques suivants sont des cas particuliers :( ) = pour > 0 ( ) = pour > 0 ( ) = 1

Figure 1.5 Exemples de signaux déterministes

1.3.2 Classification énergétique

Dans la classification énergétique, on considère l'énergie des signaux. On distingue :

- Les signaux à énergie finie possèdent une puissance moyenne nulle et une énergie finie.

-Les signaux à puissance moyenne finie possèdent une énergie infinie et sont doncphysiquement irréalisables.

Energie d'un signal x(t)⇒

dttxWx

2)(

Puissance d'un signal x(t)⇒

2/

2/

2)(

1lim

T

TT

dttxT

Px

1.3.3 Classification morphologique

On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que

ceux dont l'amplitude est discrète ou continue.

On obtient donc 4 classes de signaux :

- Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus.

- Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu.

- Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret.

- Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets.

Figure 1.6 Classification morphologique

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1.4 SIGNAUX USUELS [1]

1.4.1 Fonction signe

La fonction signe, notée sgn est une fonction réelle de la

variable réelle définie par :( ) = −1 < 01 > 0Par convention, on admet pour valeur à l'origine :

sgn (t) =0 pour t=0.Fonction signe

1.4.2 Fonction échelon

La fonction échelon unité, ou simplement échelon est une

fonction réelle de la variable réelle définie par :( ) = 0 < 01 ≥ 0Fonction échelon

1.4.3 Fonction rampe

La fonction rampe, notée r, est une fonction réelle de la

variable réelle définie par : ( ) = . ( )D ou: ( ) = 0 ≤ 0> 0Fonction rampe

1.4.4 Fonction rectangulaire

On l'appelle aussi fonction porte

( ) = 1 | | < 20 | | > 2Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire.

D’une manière générale pour une impulsion rectangulaire

d’amplitude A, de durée T centrée en = :( ) = . [( − )/ ]

Fonction rectangulaire

Fonction rectangulaire décalée

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1.4.5 Fonction triangulaire

Cette fonction est définie par

( ) = 1 − | | | | ≤ 10Fonction triangulaire

1.4.6 Impulsion de Dirac

L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont

la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à 1.( ) = 1 = 00 ≠ 0On peut considérer δ(t) comme la dérivée de la fonction

échelon ( ) = ( ) Impulsion de Dirac

Figure 1.7 Signaux usuels

Propriétés :

Intégrale∫ ( ) = 1∫ ( ). ( ) = (0)∫ ( ). ( − ) = ( )Produit( ). ( ) = (0). ( ) = (0)( ). ( − ) = ( ). ( − ) = ( )

Identité( ) ∗ ( ) = ( ) Translation( ) ∗ ( − ) = ( − )( − ) ∗ ( − ) = ( − − )1.4.7 Peigne de Dirac

On appelle peigne de Dirac une

succession périodique d’impulsions de

Dirac.

( ) = ( − )T est la période du peigne.

Peigne de Dirac

Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage.

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1.4.8 Fonction sinus cardinal

La fonction sinus cardinal est définie par :( ) = sin( )Avec lim → =1

Cette fonction joue un rôle très important en

traitement du signal.

Fonction sinus cardinal

Propriétés :( ) = 1 ( ) = 11.4.9 Application

Représenter les signaux suivants :

δ(t+2), δ( t-3) , 2δ( t-1), x(t) = δ( t+1)- δ( t) + δ( t-2) , u(t – 1) et 2u(t + 2)

Correction :

δ(t+2) δ(t-3)

2δ(t-1)x(t) = δ(t+1)- δ(t) + δ(t-2)

u(t – 1)2u(t +2)

1 -2

-2 1 3 -1 2

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Chapitre 2 PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THEORIE DU SIGNAL

2.1 INTRODUCTION

Un signal est décrit par une fonction mathématique et il est régit par deux représentations:

La représentation temporelle dont la variable est : y= f(t)

La représentation fréquentielle dont la variable est : y= F(f).

Un signal est caractérisé par sa durée, sa période si elle existe, et son amplitude. Ces trois

paramètres conduisent à la représentation temporelle du signal. Il est aussi caractérisé par sa

fréquence, sa bande passante, et sa phase c’est-à-dire la représentation fréquentielle ou la

représentation spectrale. La transformée de Fourier permet le passage de la représentation

temporelle à la représentation fréquentielle. C'est une généralisation de la série de Fourier pour des

signaux non périodiques [2],[3].

2.2 PROPRIETES TEMPORELLES [2],[3]

2.2.1 Corrélation

Pour comparer deux signaux entre eux, ou faire ressortir une caractéristique d’un signal noyé dans

le bruit, on compare le signal x(t) pris à un instant « t », à un signal y(t) pris à un instant « t’= t -τ

».

2.2.1.1 Inter corrélation

L'inter corrélation compare deux signaux réels x(t) et y(t) retardée, elle traduit la ressemblance

entre deux formes : Cx,y (τ) = ∫-∞ x(t)y(t- τ)dt

Pour les signaux complexes : Cx,y (τ) = ∫-∞ x(t)y*(t- τ)dt

Exemple : Si y(t) est une version retardée de t0

de x(t), donc C x,y(t) sera maximale pour t = -t0

; en examinant son temps de pic, on peut estimer le décalage entre x et y

2.2.1.2 Auto corrélation

L’auto corrélation réalise une comparaison entre un signal x(t) et ses copies retardées. Pour les

signaux réels : Cx,x(τ) = ∫-∞ x(t)x(t- τ)dt

Propriétés de la corrélation

C x,x (t) est maximale pour t = 0.

C x,y (t) = C x,y(-t) : c'est une fonction paire.

C x,y (t) = x( t ) * y( -t ) et C x,x (t) = x( t ) * x( -t ).

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2.2.2 Produit de convolution

2.2.2.1 Définition

On appelle produit de convolution de deux fonctions x(t) et h(t) pour t Є [0 ∞]

x(t) Système h(t) y(t)= x(t)*h(t)

Figure 2.1 Réponse du système

Equation générale de la convolution :

Y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x (t-τ).h(τ).dτ = ∫ x (t-τ).h(τ).d τ

2.2.2.2 Propriétés du produit de convolution

Soit les trois signaux continus : f1[t], f2[t] et f3[t]

a- La commutativité :

f1[t] * f2[t] = f2[t] * f1[t]

b- La distributivité

(f1[t] + f2[t])* f3[t] = (f1[t] * f3[t]) + (f2[t] * f3[t])

c- L’associativité

f1[t] * f2[t] * f3[t] = f1[t] * (f2[t] * f3[t]) = (f1[t] * f2[t]) * f3[t]

d- L’élément neutre

f[t] * δ[t] = ∫ f (τ). δ(t- τ). dτ = f[t]

e- Soit le signal d’entrée f(t), s(t) est la réponse du système telle que :

f(t) * δ(t-t0) = s(t) = f(t - t0)

f(t) δ(t-t0) f(t-t0)

t

t t0 t t0

t

Figure 2.2 Réponse du système à l’instant t0

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2.2.3 Résolution graphique

Le calcul du produit de convolution de deux fonctions x(t) et h(t) s’effectue comme suit :

1. Représentation de x(τ)

2. Représentation de h(τ)

3. Prendre l’image de h(τ) par rapport à l’axe des ordonnées c’est-à-dire représenter h(-τ)

4. Effectuer la translation sur l’axe du temps, c’est-à-dire représenter h(t-τ)

5. Effacer l’axe horizontal à l’aide de h(-τ) et calculer le produit de convolution y(t) en limitant

les bornes de l’intégrale par la surface commune entre x(τ) et h(-τ) :

y(t) = x(t)*h(t) = ∫x(τ). h(t-τ) dτ

2.2.4 Application

Soit un système S, caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t). Si on excite ce système par un

signal x(t), on aura une réponse y(t). Soient les deux signaux continus x(t) et h(t) telle que :

x(t) = 1 pour 0 ≤ t ≤ 4 sinon x(t) = 0

h(t) =1 pour -2 ≤ t ≤ 2 sinon h(t) = 0

a - Déterminer le produit de convolution y(t) = x(t) * h(t).

b - Représenter le produit de convolution y(t).

2.3 PROPRIETES FREQUENTIELLES [2],[3]

2.3.1 Transformation de Fourier des fonctions périodiques-Série de Fourier

L’introduction de la transformée et de la Série de Fourier permet de donner une autre

représentation des signaux très intéressante pour la théorie de l’information et du

signal. Cette décomposition exponentielle ou trigonométrique permet d’exprimer le signal en

fonction de ses harmoniques.

2.3.1.1 Décomposition sous une forme trigonométrique

Un signal continu périodique s(t) de période T, continu par morceaux et vérifiant les conditions

de Dirichlet, peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition trigonométrique

suivante : Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s(t + T0), on peut écrire :

1

000 )2sin()2cos()(n

nn tnfBtnfAAts

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0

0

0 )(1T

dttsTA A0 est la valeur moyenne de s(t)

0

0

0 )2cos().(2T

n dttfntsTA pour n≥1

0

0

0 )2sin().(2T

n dttfntsTB pour n≥1

Si s(t) est paire => Bn = 0 pour n ϵ N*

Si s(t) est impaire => An = 0 pour n ϵ N (A0 = 0)

L’expression de s(t) peut s’écrire :

1

00 )2cos()(n

nn tnfCAts

avec22

nnn BAC et φn= arctg(-Bn/An)

2.3.1.2 Spectre du signal périodique

Le spectre en fréquence d’un signal périodique est constituer de la composante continue avec à la

fréquence nulle d’amplitude A0, du fondamental à la fréquence f0 d’amplitude C1 et des différents

harmoniques situés aux fréquences f = nf0 d’amplitudes respectives Cn.

Le spectre d’une fonction périodique, de période T0 avec T0 = 1/f0, est discontinu et composé de

raies dont l’écart minimum est, sur l’axe des fréquences, f0.

2.3.1.3 Représentation spectrale unilatérale

A partir de l’expression de s(t), on peut construire la représentation spectrale du signal dans un

plan amplitude –fréquence.

C’est la succession de pics ou raies d’amplitude Cn et positionnés aux fréquences nf0.

s(f)

C1 C3 Cn

C2

0 f0 2f0 3f0 nf0 f

Figure 2.3 Représentation spectrale du signal s(t)

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2.3.1.4 Décomposition sous une forme exponentielle

Un signal périodique s(t) de période T0, peut être décomposé en Série de Fourier selon la

décomposition exponentielle suivante :

L’expression de s(t) peut se mettre sous la forme complexe suivante :

1

20

0)()(n

tnfjenfSts

Avec S(nf0) = ½(An – jBn) =1/T0 s(t ) ejn2πf0t dt pour n≥1 et S(0) = A0

Les valeurs négatives de n sont introduites dans un but de simplification, s(t) étant réel d’où nous

avons : A-n = An et B-n = - Bn

S(nf0) représente les composantes du spectre en fréquence de s(t), grandeur complexe, qui a pour

module 220 2

1)( nn BAnfS et phase φ(nf0) = arctg(-Bn/An).

L’expression du spectre S(f) est :

S(f)=∑S(nf0)δ(f-nf0) avec S(nf0)=׀ S(nf0) ׀.ejφ(nf0

)

S(f)

S(-nf0) S(-3f0) S(-2f0) S(-f0) S(f0) S(2f0) S(3f0) S(nf0)

S(0)

- nf0 -3f0 -2f0 -f0 0 f0 2f0 3f0 nf0 f

Figure 2.4 Représentation bilatérale du spectre d’un signal périodique

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2.3.1.5 Propriétés

Si s(t) est paire => Bn = 0 et Sn = S-n

Si s(t) est impaire => An = 0 et Sn = -S-n

2.3.2 Transformation de Fourier des fonctions

La transformée de Fourier permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation

spectrale) des signaux déterministes, continus et non périodiques. Elle exprime la répartition

fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des signaux

considérés.

2.3.2.1 Définition

Soit x(t) un signal déterministe non périodique, sa transformée de Fourier est :

x(t) TF X(f)

+∞

X(f) =TFx(t) ; X (f) = ∫ x(t).e-j2π ft dt

-∞

X(f) indique quelle "quantité" de fréquence f est présentée dans le signal x(t) sur l’intervalle]-∞ +∞

[. X(f) est une fonction de f, généralement complexe :

X(f) = RéelX(f) + j.ImagX(f) = X(f).ejφ(f) = X(f) cos(φ(f)) + j X(f).sin(φ(f))

Le module est l’amplitude du spectre :

Argument de φ(f) = arg(X(f)) = arctg(I[X(f)] / R[X(f)])

La transformation inverse est donnée par :

X(f) TF-1 x(t)

x(t)= TF-1X(f) ;

dfefXtx ftj 2)()(

2.3.2.3 Propriétés de la TF

Soit les deux signaux analogiques s(t) et r(t) à partir de lesquels on définit les propriétés de la

transformée de Laplace suivantes :

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s(t) S(f)

Linéarité α.s(t) + β.r(t) α.S(f) + β.R(f)

Translation s(t - t0) e-2jπft0 S(f)

e-2jπf0t s(t) S(f – f0)

Conjugaison s*(t) S*(-f)

Dérivation dns(t)/dtn (j2πf)nS(f)

Dilatation s(at) avec a≠0 (1/|a|)S(f/a)

Convolution s(t)*r(t) S(f).R(f)

s(t).r(t) S(f)*R(f)

Dualité S(t) s(-f)

2.3.2.4 Cas particulier : Transformée de Fourier de Dirac

Le signal : s(t) Transformée de Fourier du signal : S( f )

δ(t) 1

δ(t – τ) e j 2 π f τ

e j 2 π

f0t

δ ( f + f0 )

2.3.2.5 Application :

Calculer et représenter la transformée de Fourier d’un signal sinusoïdale s(t) d’amplitude S

et de fréquence f0 telle que : s(t) = S cos(2πf0t)

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Correction:

S(f)=∫ s(t )e-j2πft dt =S. ∫ cos(2πf0t)e-j2πftdt

or cos(2πf0t)=(ej2πf0t + e-j2πf0t)/2 formule d’Euler

S(f)=S. ∫ e-j2πft (ej2πf0t + e-j2πf0t)/2dt = S/2[ ∫ e-j2πft ej2πf0t dt+ ∫ e-j2πft e-j2πf0tdt]

= S/2[ ∫ e-j2π(f-f0)t dt+ ∫ e-j2π(f+f0)tdt]

S(f)= S/2[δ(f-f0)+δ(f+f0)]

TF[S. cos(2πf0t)]= S/2[δ(f-f0)+δ(f+f0)]

Figure 2.5 Représentation temporelle et fréquentielle du signal cosinus

Remarque :

La transformée de Fourier d’une fonction cosinus de fréquence f0 et d’amplitude S,

est la somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0 ; et

d’amplitude la moitié de celle du signal : S /2.

La transformée de Fourier d’une fonction sinus de fréquence f0 et d’amplitude S, est la

somme de deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 avec une amplitude S/2 et

sur +f0 avec une amplitude -S /2.

2.3.3 Transformée de Fourier du produit de convolution

TF [ a(t) * b(t)]=A( f ).B( f )

Remarque :

TF [ h(t) *δ(t)]=TF[h(t)] .TF[δ (t)] = TF[h(t)] = H ( f )

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EXERCICES

Exercice 1

Soit le signal v(t) ci-contre :

1. Donner sa décomposition en série de Fourier jusqu’à

l’ordre 9.

2. Dessiner son spectre en amplitude jusqu'à l'ordre 9.

Pour un signal triangulaire s(t) alternatif d'amplitude E on

a :

...5cos

5

13cos

3

1cos

2

8)(

22wtwtwt

Ets

Exercice 2

Soit le signal v(t) dont la décomposition en série de Fourier est (en Volts) :

...7sin

7

15sin

5

13sin

3

1sin25)( wtwtwtwttv

1- Donner sa valeur moyenne V0.

2- Dessiner son spectre en amplitude jusqu’à l’ordre 7.

3- Calculer sa valeur efficace Veff.

4- Calculer son taux de distorsion harmonique D.

On donne :8

...7

1

5

1

3

11

2

222

Exercice 3 Calculer la transformée de Fourier des signaux :

1- rec(t/2T) ;

2- tri(t) ;

3- δT(t)

Exercice 4

Montrer que la transformée de Fourier de la fonction signe est

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Exercice 5

La transformée de Fourier du signal sinusoïdal : s(t)=cosw0t est S(f)=1/2[δ (f+f0)+ δ (f-f0)]

Déduire la transformée de Fourier du signal sinusoïdal : s(t)=sinw0t (utiliser la propriété de

translation).

Exercice 6

Calculer et représenter la fonction de convolution x(t) et h(t) représentées par les figures suivantes

en fixant x(t) et en balayant par h(t).

x(t) h(t)

2A

A

0 T t 0 2T t

Exercice 7

a. Calculer la transformée de Fourier les signaux x(t) et y(t) représentés par :

x(t) y(t)

1 1

-τ/2 τ/2 -τ/2 τ/2

b. Déduire la TF de z(t) représentée par la figure suivante:

2

1

τ 2τ t

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Chapitre 3 ANALYSE ET SYTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES

3.1 INTRODUCTION

En électronique, on a besoin de traiter des signaux provenant de différentes sources (capteurs

de température, signaux audio…). Un bruit indésirable provenant soit du canal de

transmission, soit des composants qui constituent le circuit électronique, peut se superposer à

ces signaux.

Il n’y a pas un système électronique qui ne fasse appel à, au moins, un filtre. La

plupart en comporte de grande quantité. Le filtrage est une forme de traitement de signal, qui

consiste à séparer les composantes spectrales de ce signal selon leurs fréquences, il est obtenu

en envoyant le signal à travers un ensemble de circuits électroniques, qui modifient son

spectre de fréquence et/ou sa phase et donc sa forme temporelle. Il peut s’agir soit :

- d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables

- d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.

3.1.1 Applications : [4], [5]

-Systèmes de télécommunication (téléphone, télévision, radio, transmission de

données…).

- Systèmes d’acquisition et de traitement de signaux physiques (surveillance

médicale, ensemble de mesure, radars…)

- Alimentation électrique….

3.1.2 Les types de filtres [6]

On classe les filtres en deux grandes familles :

A. Les filtres numériques : ils sont réalisés à partir de la structure intégrée micro-

programmable. Ils sont totalement intégrables, souples et performants. Ils sont utilisés chaque

fois que c’est possible. Ils sont pour l’instant limités à des fréquences pas trop élevées (f <

100MHz). On ne les utilisera pas si on doit limiter la consommation et ils nécessitent un pré-

filtrage pour éviter le repliement spectral avant la numérisation du signal et un post-filtre de

lissage.

B. Les filtres analogiques : ils se divisent en plusieurs catégories :

Les filtres passifs qui font appels essentiellement à des inductances, des résistances et des

condensateurs. Jusqu’aux années 70, c’était les seuls filtres conçus. Ils sont actuellement

utilisés pour les hautes fréquences.

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Les filtres actifs sont constitués de condensateurs, de résistances et d’éléments actifs qui

sont essentiellement des AOP (Amplificateur Opérationnel). Ils sont moins encombrants,

faciles à concevoir et moins coûteux que les filtres passifs mais restent limités en fréquence

(f < 1MHz à cause de l’AOP). Ils consomment plus et nécessitent une source

d’alimentation

C. Circuits passifs vs circuits actifs

Filtres passifs

Inconvénients :

- nécessitent parfois des composants volumineux (condensateurs et bobines).

Avantages :

- passifs, donc ne nécessitent pas d'alimentation (exemple : enceintes acoustiques)

Filtres actifs

Inconvénients :

- nécessitent une alimentation

- bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses

- sensibles à leurs composants passifs (condensateurs et résistances)

- produisent du bruit

- limités en tension

Avantages :

- permettent une intégration à grande Échelle (et notamment dans les processeurs)

TYPE COMPOSANTS SPECIFITES

Filtrenumérique

Circuits logiques intégrés

Signaux numérisés F < 100MHz convient en grande série entièrement programmable

Filtres passifsR, L et C, Composants

piézoélectriques (quartz) F élevée pas d’alimentation non intégrable

Filtres actifs AOP, R et C F < 1 MHz besoin d’alimentation tension filtrée faible < 12V

Filtres àcapacité

commutée

AOP, Interrupteur commandéMOS, R et C intégrées

F < qq MHz besoin d’alimentation intégrable fréquence programmable

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- fiables

- coût de fabrication réduit

3.2 FILTRAGE DES SIGNAUX ANALOGIQUES

3.2.1 Filtres idéaux (Gabarits)

Le cas idéal est un filtrage qui élimine totalement les bandes indésirables sans transition et

sans introduire de déphasage dans les bandes conservées.

Figure 3.1 Filtrage idéal d’une composante fréquentielle

Selon la bande rejetée, on rencontre les 4 grandes catégories de filtres.

Figure 3.2 Catégories des filtres

3.2.2 Filtres réels

En pratique il n’est pas possible d’atteindre parfaitement les performances précédentes.

Comme tout système linéaire, un filtre obéît à une équation différentielle linéaire :( ) + ⋯+ ( ) + ( ) = ( ) + ⋯+ ( ) + ( );… ; sont des coefficients réels.

Exemple : Considérons le circuit R-L-C de la figure suivante

Figure 3.3 Circuit RLC

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On peut écrire : ( ) = ( ) + ( ) + ( )( ) = ( )

Donc( )+ ( ) + ( ) = ( )

Cas général :

En régime harmonique permanent, le signal d’entrée s’écrit ( ) = sin( ). La solution

de l’équation est du type ( ) = sin( + ). Le rapport exprime l’action du filtre sur

l’amplitude et représente le déphasage introduit par le filtre sur la composante de pulsation

ω.

Figure 3.4 Opération du traitement du signal

3.2.3 Types de filtres

Un filtre est un circuit électronique qui réalise une opération de traitement du signal. Il atténue

certaines composantes d'un signal et en laisse passer d'autres. Il existe plusieurs types de

filtres, dont les plus connus sont :

Filtre passe-bas : Il ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de

coupure. C'est un atténuateur d'aiguës pour un signal audio.

Filtre passe-haut : Il ne laisse passer que les fréquences au-dessus d'une fréquence

déterminée, appelée "fréquence de coupure". Il atténue les autres (les basses fréquences).

Filtre passe-bande : Il ne laisse passer qu'une certain bande de fréquences (et atténue tout ce

qui est au-dessus ou en-dessous). Il est très utilisé dans les récepteurs radio, tv… pour isoler le

signal que l'on désire capter.

Filtre rejecteur de bande : aussi appelé filtre trappe, cloche ou coupe-bande, est le

complémentaire du passe-bande. Il atténue une plage de fréquences. Cela peut être utile pour

diminuer certains parasites par exemple.

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3.2.4 Circuit d’un filtre passe-basLe concept de filtre passe-bas est d'atténuer les fréquences supérieures à sa fréquence de coupure

fc et ce, dans le but de conserver uniquement les basses fréquences. La fréquence de coupure du

filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre: passant ou

bloquant, il peut être du premier ou deuxième ordre.

Figure 3.5 Filtre passe-bas du premier ordre

La fonction de transfert de ce filtre est :

jRCwV

VA

in

outV

1

1

Fonction de transfert harmonique :

)(log20)(;1

1)( jwHwH

wwjjwH dB

c

Figure 3.6 Diagramme de Bode (Amplitude)

Fonction de transfert harmonique du deuxième ordre :

2

2

21)(

cc

c

wjwwjw

wjwjwH

Avec =1/Q coefficient d’amortissement, Q facteur de qualité

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Figure 3.7 Gain en Décibels du passe-bas de 2ème ordre

3.2.5 Circuit d’un filtre passe-haut

Le concept de filtre passe-haut est d'atténuer les fréquences inférieure à sa fréquence de

coupure fc et ce, dans le but de conserver uniquement les hautes fréquences. La fréquence de

coupure du filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre:

bloquant ou passant.

Figure 3.8 Filtre passe-haut du 1er ordre

La fonction de transfert du filtre et de l’harmonique sont données comme suit :

jRCw

jRCw

V

VA

wjw

wjwjwH

in

outv

c

c

1

1)(

Figure 3.9 Diagramme de Bode d'amplitude

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3.2.6 Circuit du filtre passe-bande

Un filtre passe-bande est un filtre ne laissant passer qu’un intervalle de fréquences, celui-ci

étant limité par la fréquence de coupure basse et la fréquence de coupure haute du filtre.

Les applications en électronique sont multiples. Un circuit passe-bande peut servir à éliminer

le bruit du signal, si l'on sait que le signal a des fréquences comprises dans une gamme de

fréquences déterminée. C'est aussi un circuit passe-bande qui permet, en radiocommunication,

de sélectionner la fréquence radio écoutée.

Figure 3.10 Filtre passe-bande du deuxième ordreFonction de transfert harmonique :

2

2

21)(

cc

c

wjwwjw

wjwjwH

La bande passante :Q

ff 0

La fréquence centrale : 210 cc xfff

Figure 3.11 Diagramme de Bode

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Formes canoniques des filtres du 1er et du 2ème ordre

1er ordre

Passe-bas :

cw

wj1

1Passe-haut :

c

c

w

wj

w

wj

1

2ème ordre

Passe-bas :2

21

1

cc w

wj

w

wj

Passe-haut :2

21

2

cc

c

w

wj

w

wj

w

wj

Passe-bande :2

2

21

cc

c

w

wj

w

wj

w

wj

Coupe-bande :2

2

21

1

cc

c

w

wj

w

wj

w

wj

Le passage d'un type à l'autre s'effectue facilement par changement de variable.

Passe-bas vers Passe-haut :s

s1

Passe-bas vers Passe-bande :0

12;11

f

fcfcB

ss

Bs

avec B : bande passante ;

fc1 et fc2 : fréquences de coupure ; f0 : fréquence centrale du filtre

1er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

2ème ordre

Passe-bas: Passe-bande: Passe-haut:

Figure 3.12 Réalisation par circuits passifs

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Décomposition sous forme de produit : Une fonction de transfert d'ordre n quelconque peut

se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires d'ordres 1 et 2 (les ordres

s'ajoutent) : )()...().()( 21 jwHjwHjwHjwH n

Quand les modules élémentaires (schémas-blocs ou modules électroniques) sont mis en

cascade (en série), les ordres s'ajoutent. Exemple pour l'ordre N=5 :

=

Dans les diagrammes de Bode, les courbes de gain (en dB) s'additionnent :

3.2.7 Filtre de Butterworth à partir du gabarit : On part du gain en Décibels

pN w

wH

;

1

1log20)(log20

22

Soit Ap le gain à la pulsation w=wp, soit Ω=1, on peut démontrer que l’on a : 110 10 Ap

On peut démontrer que l’ordre du filtre est donné par :a

Ap

N

log2

log210log 10

avec

p

aa w

w ; le résultat peut être fractionnaire et l’ordre choisi est l’entier supérieur. On peut

démontrer que la fréquence de coupure à -3dB est liée à la fréquence fp par la relation:

N

pc

ww

; il suffit d’imposer que le gain soit –Ap (dB) pour w=wp ; on a alors Ω2N=1 et la

seule inconnue est ε ; on impose que la courbe passe par le point (wp, -Aa)et la seule inconnuesera N.

H1 H2 H3 H

N=2 N=2 N=1 N=5

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Une fois les pôles de la fonction de transfert calculés, les pôles complexes conjugués sont

regroupés ensemble. Chaque paire correspond ‡ une cellule élémentaire (passe-bas) du 2ème

ordre. Le pôle simple réel, s'il existe (ordre impair), correspond à la cellule élémentaire

(passe-bas) du 1er ordre.

Forme développée :

n=1 : s+1

n=2 : s2+1.41s+1

n=3 : s3+2s2+2s+1

n=4 : s4+2.6131s3+3.4142s2+2.6131s+1

n=5 : s5+3.2361s4+5.2361s3+5.2361s2+3.2361s+1

n=6 : s6+3.8537s5+7.4741s4+9.1416s3+7.4741s2+3.8537s+1

Forme factorisée :

n=1 : s+1

n=2 : s2+1.41s+1

n=3 : (s+1)(s2+s+1)

n=4 : (s2+0.765s+1)(s2+1.848s+1)

n=5 : (s+1) (s2+0.618s+1)(s2+1.618s+1)

n=6 : (s2+1.932s+1)(s2+1.414s+1) (s2+0.518s+1)

3.2.8 Filtres de Tchebychev : Il existe deux types :

Type 1 : 1;

1

1)(

22

2

p

N w

wT

wH et Type 2 : 1;

1

)(22

22

2

pN

pN

w

wT

w

wT

wH avecpw

w

le polynôme d’ordre N est désigné par TN (w) comme suit : N

N wjwwT 21Re)(

Caractéristiques

Type 1 : Oscillations dans la bande passante :

1)(1

12

wH

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Figure 3.13 Diagramme d’oscillation de la bande type 1

Type 2 : Oscillations dans la bande atténuée :21

)(0

wH

Figure 3.14 Diagramme d’oscillation de la bande type 2

On part du gain en dB :p

N w

wH

;

1

1log20)(log20

22. On peut montrer que le

paramètre est défini par : 110 10 Ap

où Ap est l’atténuation à wp et que l’ordre N du filtre

est donné par :)(arg

110arg

10

a

Ap

ch

ch

N

avecp

aa w

w est la pulsation réduite d’atténuation

minimale en bande atténuée. Les coefficients du polynôme sont donnés en fonction du gain Ap

(en général, on prend 0,5 ou 1) et de l’ordre du filtre N. Pour Ap=1dB on a:

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Forme développée :

n=1 : 0.509s+1

n=2 : 0.907s2+0.9957s+1

n=3 : 2.0353s3+2.0116s2+2.5206s+1

n=4 : 3.628s4+3.4568s3+5.2749s2+2.6942s+1

n=5 : 8.1415s5+7.6271s4+13.75s3+7.933s2+4.7264s+1

n=6 : 14.512s6+13.47s5+28.02s4+17.445s3+13.632s2+4.456s+1

Forme factorisée :

n=1 : 0.509s+1

n=2 : 0.907s2+0.996s+1

n=3 : (2.024s+1)(1.006s2+0.497s+1)

n=4 : (3.579s2+2.411s+1)(1.014s2+0.283s+1)

n=5 : (3.454s+1) (2.329s2+1.091s+1)(1.012s2+1.81s+1)

n=6 : (8.019s2+3.722s+1)(1.793s2+0.609s+1) (1.009s2+0.126s+1)

3.3 SYNTHESE DES FILTRES ANALOGIQUES [7] , [8]

Selon un gabarit donné du filtre, on est capable de dimensionner ce filtre. Pour faire la

synthèse d'un filtre on suit l'organigramme suivant :

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Et puis on passe à la réalisation électronique. On souhaite réaliser un filtre passe-hautsatisfaisant les contraintes suivantes : en bande passante Ap=1dB à fp=4kHz et en bandeatténuée Aa=40dB à fa=2kHz pour lesquelles on accepte une ondulation dans la bandepassante de 1dB.

Normalisation du gabarit : on normalise les fréquences par rapport à fp comme suit :

f → F = f/fp ; fp → Fp = fp/fp=1 ; fa → Fa = fa/fp=0.5

Pour le gabarit passe-bas normalisé correspondant, on fait le changement de variable de latransposition Passe-bas vers Passe-haut suivant :

s → 1/s ↔ (jw/wp) → (wp/jw)

Pour f=fa :

(jfa/fp) → (-jfp/fa) ↔ j0.5 →-j2

Détermination de l’ordre du filtre :

)(arg

110arg

10

a

Ap

ch

ch

N

avec 509.0110110 10

1

10 Ap

et 2p

aa w

w

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5.4)2(arg

509.0/110arg 10

ch

ch

N

Aa

on prend N=5

La fonction de transfert normalisée à partir de la table des polynômes de Chebyshev est :

1181.0012.11091.1329.21454.3

1)(

22

ssssssH

Transposition vers le type de filtre de départ (passe-haut) :

s → 1/s →1179.0988.0

988.0

1468.0429.0

429.0

129.0

29.0)(

2

2

2

2

ss

sx

ss

sx

s

ssH

Dénormalisation :

2

33

2

3

2

22

2

2

321

212111

1

)()()()()(2

wc

wj

wc

wj

wc

wj

x

wc

wj

wc

wj

wc

wj

x

wc

wj

wc

wj

jwxHjwxHjwHjwHsHf

wj

w

wjs

pp

Identification :

wc1=86.665rd/s ; wc2=38.372rd/s ; wc3=25.285rd/s

fc1= 13.8Hz ; fc2=6.1Hz ; fc3=4Hz

ξ2=0.357 ; ξ3=0.09

EXERCICES

Exercice 01 : Soit le filtre RC suivant :

1. Exprimer la fonction de transfert (G = Us / Ue) en fonction de R et C.2. Quel est le type de ce filtre et quel son ordre ?3. Exprimer la fréquence de coupure fc en fonction de R et C.

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4. Calculer la valeur du condensateur ainsi que la valeur de la tension de sortie du filtrepour fc = 627 kHz, R = 6,8 kΩ et Ue = 2 V

Exercice 02 :

1. Donner le schéma d’un filtre RL passe-haut 1er ordre. Exprimer sa fonction de transfert G

= tension de sortie / tension d’entrée.

2. La résistance R est de 10 kΩ et la fréquence de coupure fc est de 3,5 KHz. Une tension de

1,6 V est mesurée à la sortie du filtre lorsqu'un signal de K MHz est appliqué à l'entrée.

Calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du filtre.

3. Dessiner les diagrammes de Bode de la phase et de l'amplitude.

Exercice 03 :

1. Donner le schéma d’un filtre RL passe-bas 1er ordre. Exprimer sa fonction de transfert

G = tension d’entrée / tension de sortie.

2. La résistance R est de 820Ω et la fréquence de coupure fc est de 10kHz. Une tension

de 1,91V est mesurée à la sortie du filtre lorsqu'un signal de 1kHz est appliqué à l'entrée,

calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du filtre.

Exercice 04 :

Soit le circuit suivant : Ue = 10V ; R = 10kΩ ; L = 100mH.

1. Calculer l’impédance totale (ZT) vue par la source alternative si elle génère un sinus ayant

une fréquence de 100kHz? Quelle est la fréquence de coupure du circuit ?

2. Que valent Us, Av (dB) et le déphasage φ à la fréquence de coupure?

3. Si on branche en parallèle avec L une charge de 4k7, quelle sera la tension Us maximale

possible et la nouvelle fréquence de coupure?

4. Que valent Us, Av (dB) et le déphasage φ à la fréquence de coupure?

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Chapitre 4 ECHANTILLONNAGE DES SIGNAUX

4.1 INTRODUCTION

La conversion d’un signal analogique sous forme numérique implique une double approximation.

D’une part, dans l’espace des temps, le signal fonction du temps ( ) est remplacé par ses valeurs( ) à des instants multiples entiers d’une durée T; c’est l’opération d’échantillonnage. D’autre part,

dans l’espace des amplitudes, chaque valeur ( ) est approchée par un multiple entier d’une quantité

élémentaire q; c’est l’opération de quantification. La valeur approchée ainsi obtenue est ensuite

associée à un nombre ; c’est le codage, ce terme étant souvent utilisé pour désigner l’ensemble, c’est-à-

dire le passage de la valeur ( )au nombre qui la représente.

4.2 NUMERISATION [8], [9]

La conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le signal analogique :

- l’échantillonnage pour rendre le signal discret.

- la quantification pour associer à chaque échantillon une valeur.

- le codage pour associer un code à chaque valeur.

4.2.1 Echantillonnage

4.2.1.1 Définition

L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les valeurs

instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors représenté par un

ensemble de valeurs discrètes : ( ) = ( ) avec n entier et la période d’échantillonnage.

Cette opération est réalisée par un circuit appelé « préleveur ou échantillonneur» symbolisé souvent

par un interrupteur.

Figure 4.1 Echantillonnage

L’intervalle entre deux échantillons successifs est appelé pas d’échantillonnage et = 1/ fréquence

d’échantillonnage.

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4.2.1.2 Echantillonnage idéal

L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu ( )et d’un peignede

Dirac de période .

( ) = ( ). ( ) = ( ) ( − ) = ( ) ( − )Le spectre du signal échantillonné est donc le suivant :

La transformée de Fourier d'un peigne de Dirac (en temps) est un peigne de Dirac (en fréquence).

( ) = 1 ( − )( ) = [ ( )] ∗ ( )

Donc : ( ) = ∑ ( ) ∗ ( − )⇒ ( ) = ∑ ( − )On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine

autourdes multiples de la fréquence d’échantillonnage.

Figure 4.2 Echantillonnage idéal

Si , la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à /2, la restitution

du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement spectral lors de

l’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage.

Figure 4.3 Recouvrement spectral

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Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la

fréquence d’échantillonnage soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des

fréquences du spectre du signal : > 24.2.1.3 Echantillonnage réel

En pratique, l’échantillonnage s’effectue en commandant un interrupteur par un train d’impulsions

étroites. Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment nulle. La modélisation de

l’échantillonnage par un peigne de Dirac est donc erronée. En fait, chaque impulsion va avoir une

durée très courte . L’échantillonnage peut donc être modélisé par la multiplication dusignal par une

suite de fonction rectangle (ou porte) de largeur.

Figure 4.4 Echantillonnage réel

L’expression du signal d’échantillonnage devient donc :

( ) = − = ( ) ∗ ( − )Et par conséquent, sa transformée de Fourier est égale à : ( ) = ( ). ∑ ( − )Comme l’expression du signal échantillonné est : ( ) = ( ). ( )Sa transformée de Fourier devient :( ) = ( ) ∗ ∑ ( ). ( − ) donc ( ) = ( ).∑ ( − )On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus cardinale.

Figure 4.5 Reconstitution du signal

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Pour se rapprocher d’un échantillonnage idéal et qu’ainsi le signal soit facilement reconstructible, il

faut que soit le plus petit possible.

Dans le cas où est du même ordre de grandeur que , il faudra >> 2 .

4.2.1.4 Echantillonnage-blocage

En pratique, on n'échantillonne pas un signal pour le reconstruire juste après. L'échantillonnage est

utilisé pour prélever le signal à des instants multiples de et ensuite convertirles échantillons sous

forme d'un code binaire (8, 12, 16 bits, ...). Cette conversion est effectuée par l’intermédiaire d’un

convertisseur analogique-numérique (CAN). Cette conversion n’est pas instantanée. Si le signal à

convertir varie trop rapidement, il est nécessaire de procéder au blocage du signal pour avoir une

conversion sans erreur. On utilise donc un échantillonneur-bloqueur qui mémorise la tension à

convertir et la maintient constante pendant toute la durée de conversion.

L’effet de blocage peut être modélisé par une fonction porte décalée de /2 :

( ) = − −= ( − ) ∗ ( − )

Echantillonnage-blocage consiste donc à la multiplication du signal par y(t). La transformée de Fourier

du signal échantillonné est donc :

( ) = ( ). ( − ) .Le spectre est identique au précédent. Le terme en – traduit un déphasage entre le signalinitial et

le signal échantillonné. En principe, on maintient la valeur de l’échantillon sur toute la période

d’échantillonnage donc égale à . Ainsi, pour = , on a un déphasage de – .

4.2.2 Quantification

3.3.2.1 Définition

La quantification consiste à associer à une valeur réelle x quelconque, une autre valeur appartenant à

un ensemble fini de valeurs et ce suivant une certaine loi : arrondi supérieur, arrondi le plus proche,

etc…

L’écart entre chaque valeur est appelé pas de quantification.

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Le fait d’arrondir la valeur de départ entraîne forcément une erreur de quantification que l’on appelle

le bruit de quantification.

3.3.2.2 Quantification uniforme

La loi de quantification uniforme utilise un pas de quantification (∆) constant entre chaquevaleur .

Figure 4.6 Quantification

Le bruit de quantification est dans ce cas un signal aléatoire. Ces caractéristiques sont doncdéfinies

par ses propriétés statistiques. On peut alors démontrer que la puissance du bruit dequantification est

égale à : = ∆12Le rapport signal sur bruit dû à la quantification est donc égale à := 10La puissance du signal à quantifier est égale à sa valeur efficace au carré:= 10 12 ∆Si l’on décompose la plage de variation du signal à quantifier en 2 intervalles de largeur ∆(avec

nle nombre de bits utilisés pour coder le signal quantifié).

Alors = 2 . ∆ et ∆= Ainsi : = 10 12 + 20 log 2= 10 12 + 20 2 + 20≈ 6.02 + 10.8 + 20

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Ainsi, le cas d’un convertisseur analogique-numérique, chaque fois que l’on rajoutera un bit dans le

résultat de conversion, on améliorera le rapport signal sur bruit dû à la quantification d’environ 6dB.

Exemple

Si l’on veut numériser une sinusoïde et que l’on fixe = 2.Dans ce cas, = √ et

≈ 6.02 + 10.8 + 20 2√2≈ 6.02 + 1.77

4.2.3 Le codage

Il existe diverses façons d’établir la correspondance entre l’ensemble des amplitudes quantifiées et

l’ensemble des nombres binaires qui doivent les représenter.

Les signaux à coder ayant des amplitudes en général positives et négatives, les représentations

préférées sont celles qui conservent l’information de signe. Les plus courantes pour les codages à

échelon constant sont les suivantes :

– signe et valeur absolue

– binaire décentré

– complément à 1

– complément à 2.

Les représentations en signe et valeur absolue et en binaire décentré sont les plus commodes pour la

conversion Analogique/Numérique ; les deux autres sont surtout utilisées dans les circuits de calcul

numérique.

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EXERCICES

Exercice 1

Soit ( ) = 2 cos(2 ) échantillonné à = 4 .

Calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné ( ).Exercice 2

Calculer la transformée de Fourier du même signal échantillonné à = .Exercice 3

Soit ( ) à support spectral borné et la fréquence maximale. On échantillonne ( ) à= 2 et on bloque chaque échantillon pendant une durée = 1/ .

Ecrire le signal ( ) échantillonné et calculer sa transformée de Fourier.

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Chapitre 5 TRANSFORMEE DISCRETE ET FENETRAGE

5.1 INTRODUCTION

Les systèmes linéaires discrets constituent un domaine très important du traitement numérique

du signal. Ces systèmes se caractérisent par le fait que leur fonctionnement est régi par une

équation de convolution. L’analyse de leurs propriétés se fait à l’aide de la Transformation en

Z, qui joue pour les systèmes discrets le même rôle que la transformée de Laplace ou de

Fourier pour les systèmes continus.

5.2 REPRESENTATION DES SIGNAUX ET SYSTEMES DISCRETS [10], [11]

Un système discret est un système qui convertit une suite de données d’entrée x(n) en une

suite de sortie y(n). Il est linéaire si la suite x1(n) + ax2(n) est convertie en la suite y1(n) +

ay2(n). Il est invariant dans le temps si la suite x(n – n0) est convertie en la suite y(n – n0) quel

que soit n0 entier.

Soit u0(n) la suite unitaire définie par :( ) = 1 pour = 0( ) = 0 pour ≠ 0Toute suite x(n) peut se décomposer en une somme de suites unitaires convenablement

décalées :

( ) = ( ) ( − )

Figure 5.1 Décalage des échantillons

D’autre part soit h(n) la suite qui constitue la réponse du système à la suite unitaire ( ). Ala suite ( − ) correspond la réponse h(n – m) en raison de l’invariance temporelle. La

linéarité entraîne alors la relation suivante :

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( ) = ( )ℎ( − ) = ℎ( ) ( − ) = ℎ( ) ∗ ( )C’est l’équation de convolution qui caractérise le système linéaire invariant dans le temps. Un

tel système est donc complètement défini par la donnée de la suite h(n), qui est appelée

réponse impulsionnelle du système.

Ce système possède la propriété de causalité si la sortie à l’indice n = n0 ne dépend que des

entrées aux indices : ≤ . Cette propriété implique que h(n) = 0 pour n<0, et la sortie est

donnée par :

( ) = ℎ( ) ( − )5.3 TRANSFORMEE EN Z [11], [12]

5.3.1 Définition

La transformée en z est un outil particulièrement pratique lorsqu’on veut résoudre des

équations récurrentes linéaires à coefficients constants. Elle ne constitue pas un outil

indispensable pour le traitement du signal mais offre des interprétations très utiles du

comportement des systèmes à temps discret en termes de pôles et zéros.

Donc la transformation en z est une application qui transforme une suite ( )(définie sur

les entiers) en une fonction ( ) d'une variable complexe nommée z, telle que :

( ) = ( ) = ( ) , ∈ ℂLa variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z ne représente

rien de particulier, il s'agit d'une création purement abstraite.

Lorsqu'on analyse le signal ( ), on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on

étudie ( ), le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.

5.3.2 Propriétés de la transformée en Z

Linéaire : ( ) + ( ) = ( ) + ( ) , ∀( , ) ∈ ℝ Théorème du retard : ( − ) = ( )

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Théorème de l'avance : ( + ) = ( ) − (0) − (1) − ⋯ ( − 1) Multiplication par n :

( ) = − ( ) Modulation : ( ) = ( )Cette propriété permet, en multipliant le signal par un signal exponentiel , de modifier la

position des pôles et des zéros de sa transformée en z. La valeur du paramètre a découle de la

modification particulière choisie.

Théorème de la convolution discrète (Théorème de Borel) : ( ) ∗ ( ) = ( ). ( ) Théorème de la valeur initiale (signaux causaux) :lim→ ( ) = lim→ ( ) Théorème de la valeur finale (signaux causaux) :lim→ ( ) = lim→ ( − 1) ( ) Théorème : Retard

Soit x un signal discret causal. Le signal retardé de n0 (n0∈N) est le signal y défini par :

y(n) = x(n − n0)u(n − n0). On a :

( ) = ( ) Théorème : Avance

Soit x un signal discret causal. Le signal avancé de n0 (n0∈N) est le signal y défini par :

y(n) = x(n + n0). On a :

( ) = ( ( ) − ( ) )

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5.3.3 Quelques exemples de transformées en Z (signaux causaux)

La transformée en z de la suite canonique, ou suite de Dirac, ou impulsion unité discrète est : ( ) = ( ) = 1La transformée en z de l’impulsion unité discrète retardée de l est : ( − ) = ( − ) =On constate que si la séquence ( ) est retardée de l échantillons, sa transformée en z est

multipliée par . La transformée en z de l’échelon unité discret est :

( ) = = − 1La transformée en z de la rampe unité causale est : ( ) = = ( − 1)5.3.4 Transformée en Z inverse

Il s'agit de retrouver les valeurs aux instants d'échantillonnage ( ) à partir de la

transformée en Z ( ). La transformée en z inverse est donnée par l'expression :

( ) = ( ) = 12 ( )Ou C est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et

appartenant entièrement au domaine de convergence (chemin entourant tous les pôles de

F(z)). En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide du théorème des résidus et la formule

devient dans le cas d'un signal causal :( ) = ( )( )5.4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES DISCRETS [10]

5.4.1 Définition

Un signal analogique est défini à tout instant t et est donc représentable mathématiquement

par une fonction continue du temps f(t). Contrairement au signal analogique, un signal à

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temps discret n'est défini qu'aux instants d'échantillonnage nTe, multiples entiers de la période

d'échantillonnage Te. Les valeurs qu’il prend à ces instants sont notés f(n) et appelés

échantillons.

5.4.2 Représentations fréquentielles

L’analyse fréquentielle des signaux apporte une information supplémentaire importante.

Pour les différents cas de signaux, classés selon les caractéristiques continu ou discret et

périodique ou transitoire, la représentation fréquentielle possède des propriétés particulières

équivalentes continue ou discrète et périodique ou non périodique. De plus les méthodes,

utilisées pour calculer ces représentations spectrales, ne sont pas les mêmes selon ces

différents types de signaux.

Signal Spectre

Méthode de calcul Caractéristiques

Continu et périodique

Continu et non

périodique

Discret et non périodique

Discret et périodique

Série de Fourier

Transformée de Fourier

Transformée de Fourier

Transformée de Fourier

discrète (TFD)

Discret et non périodique

Continu et non périodique

Continu et périodique

Discret et périodique

Figure 5.2 Représentation fréquentielle

En effet, le spectre d’un signal continu est non périodique. Que le signal soit périodique (cas

1) ou non (cas 2), il est obtenu à partir du développement en série de Fourier pour le cas 1 et

de la transformée de Fourier pour le cas 2. Le spectre d’un signal discret et non périodique

(cas 3) est continu et périodique et obtenu à partir de la transformée de Fourier. Par contre le

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calcul du spectre d’un signal périodique et discret (cas 4) utilise une nouvelle transformée : la

transformée de Fourier discrète (TFD).

D’une façon générale, si l’on désire avoir une représentation spectrale numérique (calcul par

ordinateur), le calcul des raies spectrales implique une discrétisation en fréquence, ce qui a

pour conséquence de rendre le signal temporel périodique et discret. Le calcul de façon

pratique est limité à une tranche du signal, ce qui revient à des transformées identiques pour

un signal non périodique et un signal périodique, c’est-à-dire que le signal transitoire doit être

considéré comme périodiquement répété en dehors de son domaine d’existence.

5.5 TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL DISCRET [10], [11], [12]

5.5.1 Définition

Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période Te. La

transformée de Fourier appliquée à un signal discret x(n) devient donc :

n

FenfjenxfX /2)()(

Si cette série converge, la transformée de Fourier inverse est définie par :

dfefXFe

nxFe

Fe

Fenfj

2/

2/

/2)(1

)(

Remarques

On vérifie bien que X(f) est une fonction périodique de période Fe (à cause de

l’échantillonnage). Si on remplace f par (f + kFe) :

ee

e

ee

e

F

nfj

F

nkFj

F

nfj

F

kFfnj

eeee 2222

5.5.2 Propriétés

x(n) X(f)

Linéarité αx(n) + βy(n) αX(f) + βY(f)

Translation x(n – n0) e-j2πn0f/Fe X(f)

Modulation e-j2πnf0 x(n) X(f – f0)

Dilatation x(an) avec a ≠ 0 1/ X(f/a)׀a׀

Convolution x(n)*y(n) X(f).Y(f)

x(n).y(n) X(f)*Y(f)

Conjugaison x*(n) X*(-f)

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5.5.3 Egalité de Parseval

En utilisant la propriété de convolution, on obtient l’expression de conservation de l’énergie :

dffXnxn

Fe

Fe

2/

2/

22)()(

5.6 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE –TFD [10], [11], [12]

5.6.1 Fenêtrage

Avec un ordinateur, il est impossible de calculer la transformée de Fourier d’un signal

discret. En effet il faudrait un temps et une mémoire infinie. Pour ces raisons, on est toujours

amené à travailler avec un nombre fini de points N. Cela revient à dire que les signaux

exploités numériquement sont toujours une troncation de signaux réels.

On construira donc un signal tronqué xT(n). Il résulte de la multiplication des échantillons de

x(n) par une fenêtre d'analyse (ou encore fenêtre de troncature) qui limitera xT(n) à N

échantillons. En pratique, on calcule donc :

1

0

/2)()(N

n

FenfjTT enxfX

La fenêtre d’analyse est définie par une suite d’échantillons y[n] tels que :

100

10.

Nnetnpournx

Nnpournxnynx

T

T

Mais le fait de tronquer un signal peut notablement affecter son spectre.

Exemple

Troncature d’une sinusoïde par un fenêtrage rectangulaire.

Soit x(t) = S cos(2πf0t) et y(t) = rect(t/T).

On sait que X(f) = ½ S [δ(f - f0)+ δ(f + f0)]

et que Y(f) = T. sinc(Tf)

Donc si on effectue la troncature de x(t) sur une durée T :

)()()().()( fYfXtytxtx TT

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Figure 5.2 Troncature des signaux

Remarques

On constate que le fait de tronquer le signal tend à élargir les raies contenues dans le

spectre. Plus la fenêtre sera large plus les raies seront étroites et tendront vers les Dirac

originaux. On le conçoit aisément dans le domaine temporel puisque plus la fenêtre est large,

plus le signal tronqué se rapproche du signal d’origine.

Si on ne conserve qu’une période de la sinusoïde, les deux sinus cardinaux se

chevaucheront bien avant d’avoir atteint des amplitudes négligeables. Ainsi, plus on voudra

une résolution importante en fréquence plus il faudra conserver un nombre important de

périodes temporelles du signal à analyser. La qualité de la représentation spectrale sera

d'autant plus grande que la période d'acquisition T sera longue.

La fenêtre rectangulaire n'est pas forcément la meilleure. Dans le domaine temporel, elle

interrompe brusquement le signal à ces extrémités générant des hautes fréquences. Dans le

domaine fréquentiel, la fonction sinc a des lobes non négligeables loin de f = 0 qui déforme le

spectre.

Afin de compenser ces défauts, toute une série de fenêtres ont été imaginées. Aucune n'est

idéale, toutes ont leurs qualités et défauts suivant les applications voulues.

Par exemple, la fenêtre de Hanning présente dans le domaine fréquentiel des lobes

secondaires qui deviennent vite négligeables, mais au prix d'un lobe principal plus large.

Ainsi, le spectre sera moins précis au voisinage de f0 mais moins bruité dans les hautes

fréquences.

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Figure 5.4 Décalage des échantillons

5.6.2 Echantillonnage en fréquence

En fait, lorsque l’on veut représenter le spectre XT(f), il faut calculer XT(f) pour toutes les

valeurs de f qui est une variable continue. Ceci est impossible avec un ordinateur qui ne peut

traiter que des valeurs de f discrètes. Comme XT(f) est périodique de période Fe, on découpe

donc cet intervalle en M parties égales et on ne calcule XT(f) que pour les multiples de Fe/M :

on effectue un échantillonnage fréquentiel de pas ∆f=Fe/M.

On remplace donc par ∆f et le calcul de la transformée de Fourier devient :

1,...,0)()(1

0

/2

MpourkenxfXN

n

FefnkjTT

1,...,0)()(1

0

/2

MpourkenxfXN

n

MnkjTT

On vient ainsi d'introduire la transformée de Fourier discrète, le problème réside dans le choix

du pas d’échantillonnage en fréquence et donc du choix de M. En effet, le fait

d’échantillonner en fréquence revient à périodiser dans le domaine temporel la partie du

signal qui a été tronquée :

kT

TF

kTT fkttxfkffXkX )/().()().()(

1

Ainsi, suivant le choix de ∆f , plusieurs cas peuvent se présenter lors de la reconstitution du

signal dans le domaine temporel à partir de son spectre échantillonné :

∆f >1/T : La résolution spectrale ∆f est trop grande. On a un recouvrement dans le domaine

temporel. Si on choisit une résolution spectrale trop grande, on ne peut pas reconstituer le

signal dans le domaine temporel correctement.

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∆f <1/T Il n’y aura plus de repliement temporel, mais des intervalles durant lesquels lesignal dont on calcule le spectre sera nul.

∆f =1/T On a un signal périodique idéal. On périodise la fenêtre temporelle choisie avant lecalcul spectral.

En pratique, on choisira donc toujours ∆f de telle sorte à avoir ∆f = 1/T. Comme T = N Te et

∆f = Fe/M, on en déduit que Fe/M = 1/NTe⇒ M = N:

Ainsi, la définition de la transformée de Fourier discrète devient :

1,...,0)()(1

0

/2

NpourkenxkXN

n

NnkjTT

Remarques

A Fe fixe, plus la durée d’acquisition sera longue et plus la résolution en fréquence sera fine.

A N fixe, plus Fe sera importante et plus la condition de Shannon sera respectée mais moins la

résolution en fréquence sera fine et la durée d’acquisition longue.

5.7 TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE – TFR (FFT) [10], [11], [12]

Pour obtenir une valeur particulière de XT(k), il faut par exemple :

Pour n = 0 : )0sin()0()0cos()0()( TTT jxxkX

2 produits complexes et 1 somme complexe.

Pour n = 1 : )/2sin()1()/2cos()1()0sin()0()0cos()0()( NkjxNkxjxxkX TTTTT

4 produits complexes et 3 sommes complexes

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Pour n = N-1 :

2N produits complexes et 2(N-1) sommes complexes

Ainsi, pour obtenir les N valeurs de XT[k], il faut donc 2N2 multiplications et 2(N-1)N

additions. Par exemple, un signal où N = 1024 échantillons (soit 1ko en mémoire si chaque

échantillon est codé sur 8 bits), le nombre de multiplications est de 2097152 et celui des

additions de 2095104. On arrive très vite à des temps de calcul très longs. Si ces durées ne

sont pas gênantes pour des traitements en temps différé, il n’en est pas de même en temps

réel. En effet, plus le temps de calcul sera important et plus la fréquence maximale du signal à

analyser sera réduite (Shannon).

Pour pouvoir utiliser la transformée de Fourier discrète en temps réel, on dispose

d’algorithmes de calcul permettant d’obtenir les résultats beaucoup plus rapidement sous

certaines conditions. Ces algorithmes sont connus sous le nom de Transformée de Fourier

Rapide (TFR) ou Fast Fourier Transform (FFT).

EXERCICES

Exercice 1

Donner la transformée en z de la fonction numérique discrète x(n) représentée par le

graphique ci-contre (elle est aussi nulle dans les parties non représentées).

Exercice 2

Calculer la transformée en z de la fonction causale suivante et calculer ses zéros et/ou ses

pôles

0 1 2 3 4 5…∞( ) 1 4 6 4 1 0… 0

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Même question pour la fonction causale suivante.

0 1 2 3 4 5 6 7 8…∞( ) 0 0 0 1 4 6 4 1 0… 0

Exercice 3

Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes.

- 1( ) = 0.2 ( )- 2( ) = 0.2 ( )Vérifier que les théorèmes de la valeur initiale et finale s’appliquent

Exercice 4

Trouver l’original des fonctions suivantes :( ) = . et ( ) = .( . )Exercice 5

Calculer la transformée en z de la fonction discrète suivante.

( ) = 1( − 2)( − 3)Exercice 6

Calculer la transformée de Fourier discrète du signal suivant :[ ] = 1, 2, 1, 0 .Exercice 7

Calculer la transformée de Fourier discrète de la suite suivante :[0] = [1] = 1, [2] = [3] = −1Exercice 8

Calculer la transformée de Fourier discrète inverse du signal suivant :[ ] = 40,−29.11 + 22.86, 17.63 + 10.72, 5.47 − 8.77, 5.47 + 8.77,17.63 − 10.70 ,−29.11 − 22.86 .

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Chapitre 6 : ANALYSE ET SYNTHESE DES FILTRES NUMERIQUES

6.1 FILTRAGE DES SIGNAUX NUMERIQUES [6], [12]

Un filtre numérique est une combinaison linéaire d’échantillons. Le filtrage et l’analyse

spectrale sont des techniques de base dans le traitement numérique du signal. Leur principale

fonction est d’isoler, de renforcer ou d’atténuer certaines composantes fréquentielles d’un

signal numérique.

6.1.1 Représentation d'un filtre numérique :

Un filtrage numérique peut être représenté en utilisant plusieurs types de spécifications.

a. Fonction de transfert en z :

2 ( ) = ( )( ) = ∑∑Exemple :

19428.0333.0

0976.0195.0097.0

)(

)()(

12

12

zz

zz

zX

zYzH

b. Réponse impulsionnelle (transformée en z inverse de H(z)) :

0

).()(n

nznhzH

Exemple :

Soit donc un filtre numérique dont la relation de récurrence s'écrit :

2

)1()()(

nynxny

La fonction de transfert en Z de ce filtre est donnée par :

12

1

)(

)()(

zzX

zYzH

La transformée inverse de H(z) donne les éléments h(n) suivants :

)(2

1

2

1)( nUnh

n

Donc

00

)(2

1

2

1)()(

n

nn

n

n znUznhzH

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c. Equation aux différences :

N

i

N

iii nyanxbny

0 0

)1()1(.)(

Exemple :

)2(333.0)1(9428.0)2(097.0)1(1952.0)(0976.0)( nynynxnxnxny

d. Représentation d'un filtre numérique

a- forme directe

b- Forme parallèle

Figure 6.1 Représentations sous forme de fonctions de transfert en z

6.2 CLASSIFICATION DES FILTRES [12], [13], [14]

Il existe deux sortes de filtres numériques : RIF et RII, ils peuvent être classés selon plusieurs

critères :

1) La longueur de la réponse impulsionnelle implique deux types de filtres :

RIF, i.e. h(n) = 0 pour n <0 et n >N

RII, i.e. h(n) ≠ 0 q soit n,

2) Le type de représentation, ou de structure, implique deux types de filtres récursifs (ai = 0)

et non récursifs.

A l'exception de cas particuliers, les filtres récursifs et non récursifs sont respectivement

équivalents aux filtres RII et RIF.

6.2.1 Structure des filtres non récursifs RIF [14]

N

iNNi NnxbNnxbnxbnxbnxbny

0110 )(.)1(....)1()(.)1(.)(

Ou bien :

( ) =

S(z)

HM(z)

H2(z)

H1(z)

E(z)S(z)E(z) H(z)

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Figure 6.2 Structure des filtres RIF

Exemple de filtre RIF :

Soit le filtre obéissant à la relation suivante : y(n) = ½ [x(n) + x(n+1)], seuls les deux

premiers coefficients b0 et b1 sont différents de zéro. La réponse impulsionnelle de ce filtre

est représentée ci-dessous.

Figure 6.3 Réponse impulsionnelle du filtre RIF

6.2.2 Structure des filtres récursifs RII

( ) = ( − ) − ( − )

N

i

ii

N

i

ii

zazb

zDzN

zD

zNzH

1

0 .1

1.

)(

1.)(

)(

)()(

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Figure 6.4 Structure des filtres RII

Exemple de filtre RII :

Soit un filtre obéissant à la relation suivante : y(n) = ½ [x(n) + y(n -1)]. La transformée en Z

de ce filtre s’écrit : Y(z) = 1/[2 – z-1]. La transformée en Z inverse permet de déterminer

l’élément h(n) de la réponse impulsionnelle : h(n) = ½(1/2)n. Il s’agit bien d’une réponse

impulsionnelle infinie, le système est stable h(n) = 0 quand n→ ∞.

La réponse impulsionnelle du filtre est donnée ci-dessous :

Figure 6.5 Réponse impulsionnelle du filtre RII

6.3 SYNTHESE DES FILTRES RIF [6]

Il existe de nombreuses méthodes

- Méthode de la fenêtre

- Optimisation par moindres carrés

- Calcul des coefficients par approximation de Tchebychev

- Par TFD récursive etc.....

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6.3.1 Méthode de la fenêtre [14]

A partir du gabarit fréquentiel, effectuer la synthèse d'un filtre RIF réalisable (causalité) à

phase linéaire → contrainte de symétrie des coefficients :

h(n) = h(N – 1 - n) avec 0 ≤ n ≤ (N-1)/2

Figure 6.6 Gabarit réel continu

∆F = fs - fc : largeur de la bande de transition

Le filtre est caractérisé par :

- la bande passante BP

- la bande atténuée (ou coupée)

- la largeur ∆F de la zone de transition

- l'amplitude des oscillations en bande passante d1

- l'amplitude des ondulations en bande atténuée d2

6.3.2 Méthode de la fenêtre : méthodologie

1. A partir du gabarit réel du filtre, déterminer la longueur de la RIF :

f

FN e

2110 10

1log

3

2

Remarque : La bande de transition est plus importante que les oscillations.

2. A partir du gabarit idéal du filtre, on peut déterminer les coefficients du filtre par TFD-1.

21

21

2)()( dfefHnh fnj

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h(n) est symétrique car H(f) réel linéaire, en revanche h(n) est potentiellement infini.

3. Limitation de la réponse impulsionnelle à N échantillons (troncature) : La pondération de

la réponse impulsionnelle idéale h(n) par une suite discrète w(n) : hN(n) = h(n).w(n)

6.3.3 Exemple :

w(n) est la fenêtre rectangulaire en fréquence, on a donc :

)sin(

)sin()()(*)()(

f

fNfWavecfWfHfH N

Figure 6.7 Pondération de la réponse impulsionnelle

n

Bnnh

ffBavecdfefHnhdfefHnh

B

B

fnjFe

Fe

fnj

sin)(

2

21)()()()(

2/

2/

22/

2/

2

Figure 6.8 TF de la réponse impulsionnelle

6.3.4 Réalisation des filtres RIF

Filtre causal à réponse impulsionnelle finie de longueur N :

1

0

)()()(N

k

khknxny

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Trois opérations élémentaires permettent de réaliser le filtre RIF:

1- Retard (registre à décalage).

2- Opérateurs arithmétiques + et *

3- Registres pour la pondération

Figure 6.9 Réalisation non récursive

6.4 SYNTHESE DES FILTRES RII [6], [13], [14]

Principe

- Calculer un filtre analogique H(s)

- Transformer le filtre analogique en un filtre numérique équivalent H(z)

Contraintes

• Transformer une fonction rationnelle H(s) en une fonction rationnelle H(z)

• Conserver la stabilité du filtre analogique

- Transformer le demi-plan complexe gauche en l'intérieur du cercle unité

- Transformer l'axe des imaginaires en cercle unité

Figure 6.10 Méthode de réalisation

Méthode

- Conservation de la réponse impulsionnelle du filtre analogique ("numérisation").

- Transformation bilinéaire

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6.4.1 Méthode de l'invariance impulsionnelle

Principe : On échantillonne la réponse impulsionnelle d'un filtre analogique connu

enTtaednnageEchantillo

aTL

a thnThthsH

)()()()(1

Réponse en fréquence

L'échantillonnage de ha(t) entraîne une périodisation du spectre

k ea

ed T

kfH

TfH

1)(

Condition de Shannon à respecter par conséquent

Pôles : Correspondance entre les pôles de H(s) et les pôles de H(z) : b →ebTe

Exemple : soit le filtre analogique défini par :

ee bTbTTZbnTe

ennageEchantillobtTL

ez

z

zezHenTheth

bssH

11

1)()()(

1)(

1

Si Re(b) < 0, alors |exp(b)| < 1 : le pôle du filtre numérique appartient au cercle unité. On a

donc bien une conservation de la stabilité

Précautions

La réponse du filtre numérique sera proche de celle du filtre analogique dans la bande [-Fe/2,

Fe/2]. Si le filtre analogique a une réponse fréquentielle nulle en dehors de cette bande. Cette

méthode est utile seulement dans le cas de filtres analogiques à bande limitée.

6.4.2 Transformation bilinéaire

Pour passer de H(s) → H(z) avec Te : fréquence d'échantillonnage

1

1

1

1.

2

z

z

Tes

Pôles

Tes

Tesz

2

2

Si s a une partie réelle négative, z est de module inférieur à 1 → conservation de la stabilité.

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Figure 6.11 Passage de H(s) → H(z)

Déformation des fréquences

La transformation entraîne une relation non linéaire entre les fréquences fa du domaine

analogique et les fréquences fd du domaine numérique.

)(tan1

)tan(1 1

eae

dede

a TfT

fTfT

f

Distorsion harmonique

- Définir le gabarit du filtre numérique

- Convertir ce gabarit en un gabarit correspondant au filtre analogique par la relation (2)

- Faire la synthèse du filtre analogique (Butterworth, Tchebychev …) →Ha(s)

- Transformer Ha(s) en Hd(z).

6.4.3 Exemple

On utilise des fonctions modèles classiques de types filtres de Butterworth, Tchebychev…

Soit un filtre de Butterworth analogique défini par la fonction H(s) suivante :

22

2

2)(

cc

c

wsws

wsH

On applique la transformation bilinéaire :1

1

1

1.

2

z

z

Ts

e

Après calcul et en prenant wc = 2 Te = 2 on obtient :

5724.04514.1

120302.0)(

2

2

zz

zzzH

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Fréquence de coupure du filtre analogique Fc = 0.318 Hz

Fréquence de coupure du filtre numérique

HzFcFc 176.02*318.0tan2

1 1

Figure 6.12 Bande passante du filtre

6.4.4 Réalisation d'un filtre RII

Filtre causal à réponse impulsionnelle infinie :

M

rr

N

kk rnxbknyany

01

)()()(

Figure 6.13 Réalisation récursive

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6.5 CONCLUSION SUR LES FILTRES

6.5.1 Filtre de réponse impulsionnelle finie RIF :

- Toujours stable

- Phase linéaire

- Facile à concevoir

- La durée des transitoires = longueur du filtre.

6.5.2 Filtre de réponse impulsionnelle infinie RII :

- Peuvent être instables

- Phase non linéaire

- Nécessitent moins d’opérations et de places mémoires

- Plus efficaces que RIF.

x(n) X(z) Région de convergence

δ(n) 1 Tous z

u(n) 1/(1-z-1) ׀z׀ ˃1

an.u(n) 1/(1-az-1) ׀z׀ ˃ ׀a׀

nan.u(n) az-1/(1-az-1)2 ׀z׀ ˃ ׀a׀

-an.u(-n-1) 1/(1-az-1) ׀z׀ ׀a׀˂

-nan.u(-n-1) az-1/(1-az-1)2 ׀z׀ ׀a׀˂

EXERCICES

Exercice 1

1- Préciser la nature du filtre (RIF/RII) représenté

sur la figure suivante et donner son équation aux

différences.

2- Calculer et représenter la réponse impulsionnelle

h(n).

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Exercice 2

1- Donner l’équation aux différences du

filtre représenté sur la figure suivante, puis

calculer sa fonction de transfert.

2- Calculer les pôles et les zéros de ce

filtre.

3- A quelle condition est-il stable.

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REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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[2] - Tahar Neffati, Traitement du signal analogique : Cours, Ellipses Marketing, 1999.

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Traitement du signal analogique et numérique Module MAS71

Dr. S. LATRECHE Master 1 Automatique et Systèmes

RESUME

Le traitement du signal est la discipline technique qui a pour objet l’élaboration ou

l’interprétation des signaux porteurs de l’information. Son application se situe dans tous les

domaines concernés par la transmission ou l’exploitation des informations transportées par

ces signaux.

Ce manuscrit traite tout d’abord la classification des signaux sous forme

phénoménologique (déterministes et aléatoires), sous forme énergétique (énergie et puissance)

et sous forme morphologique (analogique, quantifié, échantillonné et numérique).

La deuxième partie donne un aperçu sur les propriétés temporelles (corrélation, inter-

corrélation, l’autocorrélation et la convolution) et les propriétés fréquentielles (série de

Fourier, transformée de Fourier, analyse spectrale).

La troisième partie porte sur les filtres analogiques qui consistent à séparer les

composantes spectrales du signal selon leurs fréquences, d’éliminer ou d’affaiblir les

fréquences parasites indésirables et d’isoler dans un signal complexe les bandes de fréquences

utiles.

La quatrième partie traite le passage de l’analogique au numérique en échantillonnant

les signaux continus, en les quantifiant et en les codant à partir des différents types

d’échantillonneurs.

La représentation des signaux numériques et l’analyse fréquentielle sont traitées dans

la cinquième partie de ce manuscrit. La transformée en z - TZ, la transformée de Fourier

discrète- TFD et la transformée de Fourier rapide - TFR sont les outils pratiques dans ces

opérations.

La dernière partie porte sur l’analyse et la synthèse des filtres numériques. Le filtrage

et l’analyse spectrale sont des techniques de base dans le traitement numérique du signal.