UV Traitement du signal

Cours 8

Systèmes linéaires discretsDéfinition et caractérisations (temporelle et fréquentielle)

ASI 3

2TdS

Contenu du cours Introduction

Définition d'un système discret

Classification des systèmes discrets

Caractérisation temporelle des systèmes linéaires discrets Notion de convolution linéaire de signaux discrets

Réponse impulsionnelle d'un système (stabilité, réponse à une entrée quelconque)

Système linéaire discret décrit par une équation aux différences

Réponse fréquentielle des systèmes linéaires discrets Caractérisation des SLID par la fonction de transfert

Transformée en z Définition

Propriétés

SLID et Transformée en z

Pôles et zéros

Stabilité d'un SLID

3TdS

Introduction

Définition d'un système discret

Classification des systèmes Système statique ou sans mémoire

Système dynamique ou avec mémoire

Signal d’entrée x(n)

Système discret T

Signal de sortie ou réponse y(n)

Un système discret est une entité qui réalise la conversion d'une suite discrète {x(n)} en entrée en une autre suite discrète {y(n)} en sortie.

Notation : [ ])()( nxny T=

bnaxny += )()( 2

Exemple

L'échantillon y(n) est fonction des échantillons de l'entrée aux instants antérieurs ou égaux à n et/ou des échantillons de sortie antérieurs à l'instant n

)1()()2()1()( 12

021 −++−+−= nxbnxbnyanyanyExemple

L'échantillon de sortie y(n) à l'instant n ne dépend que de l'échantillon de l'entrée x(n) au même instant

4TdS

Introduction Classification des systèmes

Linéarité

Causalité

Invariance temporelle

Stabilité BIBO (Bounded Input, Bounded Output)

)()()( 2211 nxanxanx += [ ] [ ])()()( 2211 nxanxany TT +=Si alors

La réponse y(n) du système à l'instant n=k0 ne dépend que des entrées x(n) aux instants n≤k0

Si alors [ ])()( nxny T= [ ])()( 00 nnxnny −=− T ?∈∀ 0,nn

)1()()( −−= nxnxny

Exemples

est un système invariant

)()( nnxny = est un système variant

Un système discret est dit stable si en réponse à une entrée bornée, sa sortie est bornée

[ ] yyxx MnxnyMMnxM <=∃⇒<∃ )()(/)(/ T ?∈∀n

5TdS

Convolution linéaire de signaux discrets

Définition

Exemple

On appelle produit de convolution linéaire de deux signaux discrets x(n) et h(n), l'expression

∑∞+

−∞=−=∗

kknhkxnhnx )()()()(

Cas de signaux causaux 0)( ,0)( == nhnx( pour n < 0)

Calculer le produit de convolution linéaire des signaux suivants

10avec)()(

<<Γ=ananh n

∑=

−=∗n

kknhkxnhnx

0)()()()( Ne pas confondre la convolution linéaire et la

convolution circulaire des signaux discrets

h (n)1

n

1

n

x(n)

N-1

6TdS

Convolution linéaire de signaux discrets Exemple (suite et fin)

Posons . Les 2 signaux étant causaux, on a

On distingue 3 cas

0<n

0)( =nz

10 −<≤ Nn

On trouve

11)(

11)(

)1(1

)1(

−−=→

−−=

+−

+−

aanz

aaanz

nnn

)()()( nhnxnz ∗=

∑=

−=n

kknhkxnz

0)()()(

h (-k)

1 1

k

x(k)

N-1

x(k) et h(n−k) n'ont pas d'échantillons non nuls en commun

.)(0

∑=

−=n

k

knanz

1−≥ Nn

h (n-k)

1

k

x(k)

N-1

h (n-k)1

k

x(k)

N-1

.)(1

0∑

−

=

−=N

k

knanz On trouve

111)( −

−

−−=

aaanz

Nn

7TdS

Convolution linéaire de signaux discrets

Propriétés

Commutativité

Associativité

Distributivité par rapport à l'addition

Elément neutre du produit de convolution : impulsion de Dirac

Durée d'un signal issu du produit de convolution linéaire

)()()()( nhnxnhnx ∗=∗

( ) ( ) )()()()()()()()()( nznhnxnznhnxnznhnx ∗∗=∗∗=∗∗

)()()( nxnnx =∗δ

( ) )()()()()()()( nznhnxnhnznxnh ∗+∗=+∗

Si x(n) est de durée N1 et h(n) de durée N2, alors x(n)*h(n) est de durée N1+N2−1

8TdS

Etude de système linéaire invariant discret (SLID)

Caractérisation d'un SLID : réponse impulsionnelle

Avantages de la réponse impulsionnelle

caractérisation complète du système

permet de calculer la sortie du système discret pour des signaux d’entréequelconques en utilisant la convolution linéaire de signaux discrets

La réponse impulsionnelle d'un système discret est sa réponse à une entrée sous forme d'impulsion de Dirac

Système discret T

n

δ(n)

n

h(n)

[ ])()( nnh δT=

9TdS

Réponse d'un SLID à une entrée quelconque Application de la convolution linéaire

Système Tx(n) ?)( =ny

La réponse d'un système discret linéaire invariant à une entrée quelconque x(n) est la convolution linéaire de x(n) avec la réponse impulsionnelle h(n) du système.

Décomposition du signal discret x(n)

[ ])()( nxny T= ⇒Réponse du système

Propriété de linéarité du système discret

Propriété d'invariance temporelle du système [ ] )()( knhkn −=−δT Réponse impulsionnelle décalée

On en déduit ⇒ )()()( nhnxny ∗=

∑∈

−=k

knkxnx )()()( δ

−= ∑

∈kknkxny )()()( δT

[ ]∑∈

−=k

knkxny )()()( δT L'opérateur T [.] agit sur les termes dépendant de la variable temporelle n

∑∈

−=k

knhkxny )()()(

10TdS

Réponse impulsionnelle d'un SLID

Stabilité et réponse impulsionnelle

Causalité et réponse impulsionnelle

Exemple

Stabilité = garantir que la sortie d'un système est bornée si son entrée est bornée

Un système linéaire discret invariant est stable ssi sa réponse impulsionnelle est absolument sommable

+∞<∑∈n

nh )(

Un système linéaire discret invariant est causal ssi sa réponse impulsionnelle h(n) est causale 00)( <∀= nnh

Etudier la causalité et la stabilité du système linéaire caractérisé par la réponse impulsionnelle

)()( nanh nΓ=

Remarque : si le système est causal, on a

∑−∞=

−=∗=n

kknhkxnhnxny )()()()()(

11TdS

Autre caractérisation d'un SLID

Equation aux différences linéaire à coefficients constants

Exemple

Système régi par une équation aux différences d'ordre N

∑∑==

−=−M

rr

N

kk rnxbknya

00)()( ∑∑

==−+−−=

M

r

rN

k

k rnxabknya

any0 01 0

)()()(

Calcul de la sortie du système sans connaissance de la réponse impulsionnelle h(n)

Calcul de la sortie y(n) à partir des N sorties décalées y(n−k), des M entrées décalées x(n−r) et de l'entrée courante x(n). Mais ceci nécessite la connaissance des conditions initiales du système

Avantages

Quelque soit la longueur de la réponse impulsionnelle h(n) (finie ou infinie), le nombre d'opérations nécessaires au calcul de y(n) est fini (comparativement au calcul par convolution linéaire)

)()1()( ncxnayny =−−

12TdS

Autre caractérisation d'un SLID

Equation aux différences linéaire à coefficients constants

N=0

y(n) dépend de l'entrée courante x(n) et des M entrées précédentes x(n−r)

Système à réponse non récursive

La réponse impulsionnelle est finie

On parle de système à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

N≥1

y(n) dépend de l'entrée courante x(n) , des M entrées précédentes x(n−r) mais aussi des N sorties précédentes y(n−k)

Système à réponse récursive

Système à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

∑∑==

−=−M

rr

N

kk rnxbknya

00)()(

∑=

−=M

rr rnxbny

0)()(

∑=

−=M

rr rnbnh

0)()( δ

∑∑==

−+−−=M

rr

N

kk rnxbknyany

01)()()(

avec a0=1

13TdS

SLID et Transformée de Fourier à Temps Discret

Réponse fréquentielle des SLID

Système T

)(ny)(nx

)()()( nxnhny ∗=

)( fH : TFTD de la réponse impulsionnelle ou fonction de transfert du système discret

En utilisant le théorème de Plancherel, on a

)().()( fXfHfY =

)( fH

Module )( fH

Argument ( ))(arg)( fHf =φ

: spectre d'amplitude

: spectre de phase

14TdS

Transformée en z (TZ)

Définition

Condition d'existence de la TZ

Exemple

La TZ est la généralisation de la TFTD. Soit un signal discret x(n). Sa TZ est définie par

Calculer la TZ de

avec

La transformée existe si la série converge. L'ensemble des valeurs de la variable complexe z pour lesquelles la série converge est appelée Région De Convergence (RDC)

∑∞+

−∞=

−=n

nznxzX ).()( ?∈z

+∞<∈= ∑∞+

−∞=

−

n

nznxzRDC ).(/

)()( nnx Γ=

∑∞+

−∞=

−=n

nznxzX ).()( ∑∞+

=

−=0

)(n

nzzX ∑−

=

−+∞→

=1

0lim)(

N

n

nN

zzX

111lim)( −

−

+∞→ −−=

zzzX

N

N La limite est finie si i.e. 11 <−z 1>z 111)( −−

=z

zX pour 1>z

15TdS

Transformée en z

Région de convergence

Remarques

Signal défini à droite

Signal défini à gauche

00 0)(/ nnnxn <∀=∃(signal causal pour n0=0)

De façon générale, on montre que la RDC est un anneau de convergence défini par

∞+≤≤≤≤ 210 rzr

avecn

nnxr /1

1 )(lim+∞→

= etn

nnxr /1

2 )(lim −

+∞→−=

Re(z)

Im(z)

RDC

r1

r2

RDC = région extérieure au cercle de rayon r1

+∞=2r

00 0)(/ nnnxn >∀=∃

(signal anticausal pour n0=0)

01 =rRDC = disque de rayon r2

Re(z)

Im(z)

RDC

r2

Re(z)

Im(z)

r1

RDC

16TdS

Transformée en z : propriétés

Linéarité

)()()()( zbYzaXnbynax +→+ ?∈∀→− −00 )()( 0 nzXznnx n

Soit x(n), un signal discret. Soit X(z) sa TZ avec la RDC : 21 rzr ≤≤

La RDC est au moins l'intersection de la RDC de X(z) et de la RDC de Y(z)

Décalage temporel

Changement d'échelle en z

→ azXnxan )(

RDC : 21 razra ≤≤

Dérivation en z

dzzdXznxn )()( −→

La RDC est identique à l'exception de restrictions éventuelles en z=0 et z=∞

La RDC est identique à l'exception de restrictions éventuelles en z=0 et z=∞

Théorème de la valeur finale

Produit de convolution

)().()()( zYzXnynx →∗

La RDC est au moins l'intersection de la RDC de X(z) et de la RDC de Y(z)

)()1(lim)(lim1

zXznxzn

−=→+∞→

Retournement du temps)()( 1−→− zXnx

12

11rzr ≤≤RDC :

17TdS

Transformée en z : propriétés

Transformée en z inverse

Intégrale de Cauchy

Décomposition en éléments simples

Développement en série de puissance

TZ et Transformée de Fourier à Temps Discret (TFTD)

∫ −=C

dzzzXjnx n 1)(21)( π

∑=i

i zXzX )()( ∑=i

i nxnx )()( Les Xi (z) sont des fonctions à TZ-1 connues

∑∞+

−∞=

−=n

nn zczX )( ncnx n ∀=)( Si X (z) peut être décomposé en série

alors x(n) est le coefficient associé à z-n

Hypothèse : on suppose que le cercle unité (|z|=1) ∈ RDC de X (z).

On restreint le calcul de X(z) au cercle unité en posant fjez π2=

)().()( 2 fXenxzXn

fnj == ∑∞+

−∞=

− π La transformée de Fourier à temps discret (TFTD) d'un signal est sa transformée en z évaluée sur le cercle unité

fjezzXfX π2)()( ==

(|z|=1) ∈ RDC

18TdS

Transformée en z

Exemples Calculer la TZ et la région de convergence associée des signaux suivants :

+∈Γ= ?ananx n ),()(

banbnanx n

n<

−≤−≥= avec

1,0,)(

)()()( nNnnx −Γ−Γ=

19TdS

∑

∑

=

−

=

−

== M

r

rr

N

k

kk

zb

za

zXzYzH

0

0)()()(

Transformée en z et systèmes linéaires discrets

Caractérisation par la réponse impulsionnelle

Caractérisation du SLID par une équation aux récurrences

Equation aux récurrences :

La fonction de transfert H(z) a la forme d'une fraction rationnelle : )()()( zD

zNzH =

N(z) et D(z) : polynômes en z-1 de degrés respectifs M et N

Système T

)(ny)(nx

h(n) : réponse impulsionnelle du système

)()()( nxnhny ∗=

)().()( zHzXzY =

∑∑==

−=−M

rr

N

kk rnxbknya

00)()(

En utilisant la propriété de décalage temporel de la TZ, on a : )()(00

zXzbzYzaM

r

rr

N

k

kk

=

∑∑=

−

=

−

01

1

01

1)(azazabzbzbzH N

N

MM

++++++= −−

−−ou

20TdS

Pôles et zéros – stabilité d'un système discret causal

Fonction de transfert H(z) et stabilité d'un système discret causal

Causalité

Stabilité

Conclusion

Un système discret linéaire et causal est stable ssi tous les pôles de H(z) sont à l'intérieur du cercle unité

Le système est causal ssi la RDC de H(z)est l'extérieur d'un disque ⇒ λi ∈ au disque

{ }rzzRDC >∈= ,?

Un système linéaire discret est stable ssi sa FT H(z) converge sur le cercle unité

{ } RDCzz ∈=∈ 1,?+∞<∑∈n

nh )( ⇔

)()()( zD

zNzH = Les pôles sont les racines λi ∈ du polynôme D(z)

Pôles d'un système discret

H(z) diverge (H(z) = ∞) pour z=λi ⇒ λi ∉ RDC de H(z)

Remarque : Les zéros sont les racines du polynôme N(z)

Zéros d'un système discret

{ }rzzi ≤∈∈ ,?λ

21TdS

Réponse d'un système LTI par la TL

Exemple

Soit le système caractérisé par : . Déterminer)()(6)()(2

2txtydt

tdydt

tyd =++

la réponse impulsionnelle du système

la réponse indicielle (réponse à l'échelon). Dans ce cas, préciser la valeur de la sortie y∞

22TdS

Réponse d'un système LTI par la TL

Exemple (suite et fin)

23TdS

Conclusion

Caractérisation d’un système linéaire continu par :

relation entre x(t) et y(t) [équation différentielle]

réponse impulsionnelle h(t)

réponse fréquentielle H( f )

transmittance complexe H(s)

Fonction de transfert H(s)

Réponse impulsionnelle

h(t)

Equation différentielle

ububyayay 0101 +=++

24TdS

)()()()()()( 0)1(

1)(

0)1(

1)( txbtxbtxbtyatyatya m

mn

n +++=+++

aveci

ii

dttydy )()( =

)()()()( tutVdttdiLtRi c =++

On en déduit :)()( tutx =Entrée du système :

Lois de l'électricité

∫= tc diCtV 0 )(1)( ττ ⇒ )()( tVCti c=

)()()()( tutVtVRCtVLC ccc =++

R

u(t)

i(t)

C Vc(t)

L

)()( tVty c=Sortie du système :

(dérivée d'ordre i)

25TdS

Convolution

Propriétés (suite et fin)

Distributivité par rapport à l'addition

⇒

26TdS

Etude d'un système linéaire invariant discret (SLID) Caractérisation d'un SLID : réponse impulsionnelle

La plus courante : équation différentielle linéaire à coefficients constants

Généralement m ≤ n Caractérisation complète du système par la connaissance des coefficients

Sortie y(t) calculable par la connaissance de x(t)

Exemple

27TdS

Systèmes et transformée de Fourier

Réponse fréquentielle des systèmes LTI

Système)(ty)(tx

Si le signal d'entrée est quelconque, on peut l'exprimer sous la forme d'une somme infinie d'exponentielles complexes : c'est la TF inverse

[ ])()( txty S= ⇒

)( fY

∫+∞

∞−= dfefXtx ftj π2)()(

[ ]∫∞+

∞−= dfefXty ftj π2)()( S (linéarité du système)

En vertu du résultat précédent [ ] ftjftj efXfHefX ππ 22 ).().()( =S

∫∞+

∞−= dfefXfHty ftj π2).().()( (définition de la TF inverse de Y)⇒

)().()( fHfXfY =)()()( txthty ∗= ⇒ H ( f ) : fonction de transfert

(TF de la sortie y)

28TdS

Systèmes et transformée de Fourier

Représentation fréquentielle des systèmes LTI

Relations entrée-sortie en fréquentiel

Système)(ty)(tx

)().()( fHfXfY =

H ( f ) : représentation fréquentielle du système

Simplicité de la relation entrée/sortie en fréquentiel La représentation fréquentielle illustre l'aptitude du système à faire passer une

composante fréquentielle présente dans le signal d'entrée

)( fH

Module )( fH

Argument ( ))(arg)( fHf =φ

)().()( fHfXfY = ⇒

)(.)()( fHfXfY =

( ) ( ))(arg)()(arg fXffY += φ

Densité spectrale d'énergie )().()( fSfSfS hhxxyy =

Module

Argument

29TdS

Théorème de Plancherel

La transformée de Fourier d'un produit de convolution est un produit simple et réciproquement

Systèmes et transformée de Fourier

)().()()( fYfXtytx ↔∗

)()()().( fYfXtytx ∗↔

30TdS

Exemples

Tachymètre

Entrée : Vitesse d'un véhicule v(t)

Sortie : Position angulaire de l'aiguille θ (t)

Propriétés : linéaire, causal, invariant

Exemple de système

non linéaire : hauteur d’une vague en fonction du vent non causal : retour vers le futur non invariant : parcmètre, modulation d'amplitude

Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus linéaires à temps invariant (systèmes LTI)

31TdS

TL de quelques signaux usuels

Impulsion de Dirac δ(t)

Echelon unité Γ(t)

( ) 1)( =tδL

Rampe ou échelon de vitesse

Signal sinusoïdal

≥

<=Γ

01

00)(

t

tt

)(tΓ

1

)(tδ

( ) st 1)( =ΓL

)()( tttv Γ=v(t)

( ) 21)(s

tv =L

( ) 0sin)( ≥+= tttx ϕω

( ) 22cossin)(

ωϕωϕ

++=

sstxL

t

t

t

t

32TdS

Classification des systèmes Linéarité

Si alors

Causalité

Invariance temporelle

Stabilité BIBO (Bounded Input, Bounded Output)

)()()( 2211 nxanxanx += [ ] [ ])()()( 2211 nxanxany TT +=

Si alors [ ])()( nxny T= [ ])()( 00 nnxnny −=− T

Un système discret est dit stable si en réponse à une entrée bornée, sa sortie est bornée

[ ] yyxx MnxnyMMnxM <=∃⇒<∃ )()(/)(/ T

La réponse du système y(n) à l'instant n=k0 ne dépend que des entrées x(n) aux instants n≤k0 et des sorties passées y(n) telles que n<k0

33TdS

Divers

Soit x(n) un signal discret de support [a, b]Soit h(n) un signal discret de support [c, d]x(n)*h(n) est un signal discret de support [a+c, b+d]

Systèmes Linéaires Discrets

Aspects fréquentiels des SLID