UV Traitement du signalCours 8Systmes linaires discretsDfinition et caractrisations (temporelle et frquentielle)ASI 32TdSContenu du cours Introduction Dfinition d'un systme discret Classification des systmes discrets Caractrisation temporelle des systmes linaires discrets Notion de convolution linaire de signaux discrets Rponse impulsionnelle d'un systme (stabilit, rponse une entre quelconque)Systme linaire discret dcrit par une quation aux diffrences Rponse frquentielle des systmes linaires discrets Caractrisation des SLID par la fonction de transfert Transforme en z Dfinition Proprits SLID et Transforme en z Ples et zros Stabilit d'un SLID3TdSIntroduction Dfinition d'un systme discret Classification des systmes Systme statique ou sans mmoireSystme dynamique ou avec mmoire Signal dentre x(n) Systme discret T Signal de sortie ou rponse y(n) Un systme discret est une entit qui ralise la conversion d'une suite discrte {x(n)} en entre en une autre suite discrte {y(n)} en sortie.Notation :[ ] ) ( ) ( n x n y T b n ax n y + ) ( ) (2ExempleL'chantillon y(n) est fonction des chantillons de l'entre aux instants antrieurs ou gaux n et/ou des chantillons de sortie antrieurs l'instant n) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) (120 2 1 + + + n x b n x b n y a n y a n y ExempleL'chantillon de sortie y(n) l'instant n ne dpend que de l'chantillon de l'entre x(n) au mme instant4TdSIntroductionClassification des systmes Linarit Causalit Invariance temporelle Stabilit BIBO (Bounded Input, Bounded Output)) ( ) ( ) (2 2 1 1n x a n x a n x + [ ] [ ] ) ( ) ( ) (2 2 1 1n x a n x a n y T T + Si alorsLa rponse y(n) du systme l'instant n=k0 ne dpend que des entres x(n) aux instants nk0Si alors[ ] ) ( ) ( n x n y T [ ] ) ( ) (0 0n n x n n y T ? 0, n n) 1 ( ) ( ) ( n x n x n yExemples est un systme invariant) ( ) ( n nx n y est un systme variantUn systme discret est dit stable si en rponse une entre borne, sa sortie est borne[ ]y y x xM n x n y M M n x M < < ) ( ) ( / ) ( / T ? n5TdSConvolution linaire de signaux discrets Dfinition ExempleOn appelle produit de convolution linaire de deux signaux discrets x(n) et h(n), l'expression + kk n h k x n h n x ) ( ) ( ) ( ) ( Cas de signaux causaux 0 ) ( , 0 ) ( n h n x (pour n < 0)Calculer le produit de convolution linaire des signaux suivants1 0 avec) ( ) (< < an a n hn nkk n h k x n h n x0) ( ) ( ) ( ) (Ne pas confondre la convolution linaire et la convolution circulaire des signaux discretsh (n)1n1nx(n)N-16TdSConvolution linaire de signaux discrets Exemple (suite et fin)Posons .Les 2 signaux tant causaux, on a

On distingue 3 cas 0 < n0 ) ( n z1 0 < N n On trouve11) (11) () 1 (1) 1 ( ++ aan zaaa n zn nn) ( ) ( ) ( n h n x n z nkk n h k x n z0) ( ) ( ) (h (-k)11kx(k)N-1x(k) et h(nk) n'ont pas d'chantillons non nuls en commun. ) (0nkk na n z1 N n h (n-k)1kx(k)N-1h (n-k) 1kx(k)N-1. ) (10Nkk na n z On trouve111) (aaa n zNn7TdSConvolution linaire de signaux discrets Proprits Commutativit Associativit Distributivit par rapport l'addition Elment neutre du produit de convolution : impulsion de DiracDure d'un signal issu du produit de convolution linaire) ( ) ( ) ( ) ( n h n x n h n x ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n z n h n x n z n h n x n z n h n x ) ( ) ( ) ( n x n n x ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n z n h n x n h n z n x n h + + Si x(n) est de dure N1 et h(n) de dure N2, alors x(n)*h(n) est de dure N1+N218TdSEtude de systme linaire invariant discret (SLID) Caractrisation d'un SLID : rponse impulsionnelle Avantages de la rponse impulsionnelle caractrisation complte du systmepermet de calculer la sortie du systme discret pour des signaux dentrequelconques en utilisant la convolution linaire de signaux discretsLa rponse impulsionnelle d'un systme discret est sa rponse une entre sous forme d'impulsion de Dirac Systme discret T n (n) n h(n) [ ] ) ( ) ( n n h T 9TdSRponse d'un SLID une entre quelconque Application de la convolution linaireSystme Tx(n)? ) ( n yLa rponse d'un systme discret linaire invariant une entre quelconque x(n) est la convolution linaire de x(n) avec la rponse impulsionnelle h(n) du systme. Dcomposition du signal discret x(n)[ ] ) ( ) ( n x n y T Rponse du systmeProprit de linarit du systme discretProprit d'invariance temporelle du systme[ ] ) ( ) ( k n h k n T Rponse impulsionnelle dcaleOn en dduit) ( ) ( ) ( n h n x n y kk n k x n x ) ( ) ( ) ( ]]]

kk n k x n y ) ( ) ( ) ( T[ ] kk n k x n y ) ( ) ( ) ( TL'oprateurT[.]agitsurlestermes dpendantdelavariabletemporelle n kk n h k x n y ) ( ) ( ) (10TdSRponse impulsionnelle d'un SLID Stabilit et rponse impulsionnelle Causalit et rponse impulsionnelle ExempleStabilit = garantir que la sortie d'un systme est borne si son entre est borneUn systme linaire discret invariant est stable ssi sa rponse impulsionnelle est absolument sommable+ < nn h ) (Un systme linaire discret invariant est causal ssi sa rponse impulsionnelle h(n) est causale0 0 ) ( < n n hEtudier la causalit et la stabilit du systme linaire caractris par la rponse impulsionnelle) ( ) ( n a n hn Remarque : si le systme est causal, on a nkk n h k x n h n x n y ) ( ) ( ) ( ) ( ) (11TdSAutre caractrisation d'un SLID Equation aux diffrences linaire coefficients constants Exemple Systme rgi par une quation aux diffrences d'ordre N MrrNkkr n x b k n y a0 0) ( ) ( + MrrNkkr n xabk n yaan y0010) ( ) ( ) ( Calcul de la sortie du systme sans connaissance de la rponse impulsionnelle h(n) Calcul de la sortie y(n) partir des N sorties dcales y(nk), des M entres dcales x(nr) etdel'entrecourantex(n).Maiscecincessite la connaissancedesconditions initiales du systme AvantagesQuelquesoitlalongueurdelarponseimpulsionnelleh(n)(finieouinfinie),lenombre d'oprationsncessairesaucalculdey(n)estfini(comparativementaucalculpar convolution linaire)) ( ) 1 ( ) ( n cx n ay n y 12TdSAutre caractrisation d'un SLID Equation aux diffrences linaire coefficients constants N=0y(n) dpend de l'entre courante x(n) et des M entres prcdentes x(nr) Systme rponse non rcursive La rponse impulsionnelle est finieOn parle de systme Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) N1y(n) dpend de l'entre courante x(n) , des M entres prcdentes x(nr) mais aussi des N sorties prcdentes y(nk) Systme rponse rcursive Systme Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) MrrNkkr n x b k n y a0 0) ( ) ( Mrrr n x b n y0) ( ) ( Mrrr n b n h0) ( ) ( + MrrNkkr n x b k n y a n y0 1) ( ) ( ) (avec a0=113TdSSLID et Transforme de Fourier Temps Discret Rponse frquentielle des SLIDSystme T) (n y ) (n x) ( ) ( ) ( n x n h n y ) ( f H: TFTD de la rponse impulsionnelle ou fonction de transfert du systme discretEn utilisant le thorme de Plancherel, on a) ( ). ( ) ( f X f H f Y ) ( f HModule ) ( f HArgument ( ) ) ( arg ) ( f H f : spectre d'amplitude: spectre de phase14TdSTransforme en z (TZ) Dfinition Condition d'existence de la TZ ExempleLa TZ est la gnralisation de la TFTD. Soit un signal discret x(n). Sa TZ est dfinie parCalculer la TZ de avecLa transforme existe si la srie converge. L'ensemble des valeurs de la variable complexe z pour lesquelles la srie converge est appele Rgion De Convergence (RDC) + nnz n x z X ). ( ) ( ? z''+ < + nnz n x z RDC ). ( /) ( ) ( n n x + nnz n x z X ). ( ) ( +0) (nnz z X+ 10lim ) (NnnNz z X111lim ) (+ zzz XNNLa limite est finie sii.e.11 z111) (zz Xpour 1 > z15TdSTransforme en z Rgion de convergence RemarquesSignal dfini droite Signal dfini gauche0 00 ) ( / n n n x n < (signal causal pour n0=0)De faon gnrale, on montre que la RDC est un anneau de convergence dfini par + 2 10 r z ravecnnn x r/ 11) ( lim+ etnnn x r/ 12) ( lim+ Re(z)Im(z)RDCr1r2RDC = rgion extrieure au cercle de rayon r1+ 2r0 00 ) ( / n n n x n > (signal anticausal pour n0=0)01 rRDC = disque de rayon r2Re(z)Im(z)RDCr2Re(z)Im(z)r1RDC16TdSTransforme en z : proprits Linarit) ( ) ( ) ( ) ( z bY z aX n by n ax + +? 0 0) ( ) (0n z X z n n xnSoit x(n), un signal discret. Soit X(z) sa TZ avec la RDC :2 1r z r La RDC est au moins l'intersection de la RDC de X(z) et de la RDC de Y(z) Dcalage temporel Changement d'chelle en z

,`

.|azX n x an) (RDC : 2 1r a z r a Drivation en zdzz dXz n x n) () ( LaRDCestidentiquel'exceptionde restrictions ventuelles en z=0 et z=LaRDCestidentiquel'exceptionde restrictions ventuelles en z=0 et z= Thorme de la valeur finale Produit de convolution) ( ). ( ) ( ) ( z Y z X n y n x La RDC est au moins l'intersection de la RDC de X(z) et de la RDC de Y(z)) ( ) 1 ( lim ) ( lim1z X z n xz n + Retournement du temps) ( ) (1 z X n x1 21 1rzr RDC : 17TdSTransforme en z : proprits Transforme en z inverse Intgrale de Cauchy Dcomposition en lments simples Dveloppement en srie de puissance TZ et Transforme de Fourier Temps Discret (TFTD)Cdz z z Xjn xn1) (21) (iiz X z X ) ( ) ( iin x n x ) ( ) ( Les Xi (z) sont des fonctions TZ-1 connues + nnnz c z X ) (n c n xn ) (SiX(z)peuttredcomposensrie alors x(n) est le coefficient associ z-n Hypothse : on suppose que le cercle unit (|z|=1) RDC de X (z).On restreint le calcul de X(z) au cercle unit en posantf je z 2) ( ). ( ) (2f X e n x z Xnfn j + La transforme de Fourier temps discret (TFTD)d'unsignalestsatransformeen z value sur le cercle unitf je zz X f X 2) ( ) ((|z|=1) RDC18TdSTransforme en z Exemples Calculer la TZ et la rgion de convergence associe des signaux suivants : + ? a n a n xn), ( ) ( b an bn an xnn