Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 1)

SpectreSpectre

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 2)

Spectre

• Représentation de la fonction f(t) par les raies traduisant les modules (amplitudes) de Sn en fonction de F ou

• Spectre en puissance par les carrés de Sn

• Rare mais essentiel: le spectre des phases

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 3)

Spectre fonction f(t)

• Abscisse: axe • Raies: modules de Sn • En amplitude en puissance des phases

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 4)

Symétrie et changement de l’origine des temps

• Fonction paire: f(-t)=f(t)– Tous les bn sont nuls, il ne reste que les cosinus– On pose:

– on a: 20Tt

2

0

2

2

)cos()(4)cos()(2TT

T

n dttntfT

dttntfT

a

nn

nn

nn

aSCaCC

2

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 5)

Fonction impulsions périodiques

2

2

0

0

)cos(2)cos()(2

dttnET

dttntfT

aTt

t

n

)sin(2T

nnEan

TEa 0

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 6)

Spectre en amplitude

• Amplitude des harmoniques:

• Fonction sinus cardinal TnT

n

TEan

)sin(2

xxsin

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 7)

Fonction impaire

• Alors: f(-t)=-f(t)

• Tous les an sont nuls: il n’y a que des sinus

2

0

)sin()(4T

n dttntfT

b

nn

nn

nn

bSjCbCC

2

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 8)

Fonction dents de scie:

• intégration par partie de:

2

02

2

0

)sin(4)sin(4TT

n dttntTEdttn

TEt

Tb

ntnv

tu)cos(

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 9)

Spectre:

• )cos(2 nnEbn k

Eb k 22

2

)12(2

12 kEb k

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 10)

Fonction anti-périodique:

• Si:

• Pour n pair n=2k:

• Pour n impair:

• Il n’y a que des harmoniques impairs: les coefficients sont calculés sur une demi-période seulement

)()2

( tfTtf

20

0

)sin()(4Tt

t

n dttntfT

b

20

0

)cos()(4Tt

t

n dttntfT

a

00 nn baa

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 11)

Fonction impulsions périodiques avec:

• Valeur moyenne nulle et Rapport cyclique de 0,5

...)12cos(

12)1(

...)3cos(31)cos(2)( tk

kttEtf

k

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 12)

Décroissance des harmoniques

• On prend: t0=0 0

Sn

T

tnjT

tjnn edtf

njdtetf

TC

00

)()(21)(1

tnCn

Dérivées successives de f(t) périodiques de période T

t

dtetfnj

CT

tnjn

0

)(21

bornéedtetf tnj )(

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 13)

Reconstitution de fonction

• Par addition des ordonnées représentatives de tous les signaux sinusoïdaux constituant le signal original avec les bonnes phases à l’origine on obtient la représentation temporelle de la fonction de départ

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 14)

Signal carré symétrique limité à l’harmonique 3 (objet du déphasage de ou non

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 15)

Phénomène de Gibbs

• Il traduit l’impossibilité de faire coïncider une fonction discontinue avec une fonction continue

• La fonction continue est une somme de fonctions sinus et cosinus continues

• Pour une fonction présentant une discontinuité en t=t0 , la série de Fourier représente la valeur moyenne:

apparition d’oscillations près de la discontinuité

)()(21

00 tftf

Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 16)

Fonction carré

• En t=0 il y a une discontinuité

• Développement de Fourier:

• Primitive de

12

)12sin(2)(0

ktktf

k

12

)12sin(k

tk )12cos( tk

f(t)f(t)