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Wie erstellt man ein gutes FEM‐Modell?

Autorin: Cornelia Thieme

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Comment concevoir un bon modèle Eléments

Finis ?

Auteur: Cornelia Thieme

Comment concevoir un bon modèle Eléments Finis?

www.mscsoftware.com/ Page 1 sur 12


La méthode des éléments finis (MEF) est de plus en plus utilisée pour les calculs de structures. La plupart du

temps, elle permet de calculer des déformations, des contraintes, une durée de vie, des vibrations ou des

températures. D’autres caractéristiques d’un produit peuvent être simulées, comme l’acoustique, le

comportement en cas de collision et de nombreux autres effets. La méthode Eléments Finis permet de répondre

à des questions telles que: “Le produit répondra‐t‐il aux exigences de conception?”, “Le produit va‐t‐il tenir?” ou

a posteriori “Pourquoi le produit n’a pas tenu?”.

La MEF convient pour les structures qui sortent du cadre de la simple géométrie dont les résultats peuvent être calculés avec une formule analytique. La forme géométrique complexe est maillée, c’est à dire divisée en petites parties. Ces parties sont appelées “éléments finis”. Ce ne sont donc pas de petits éléments infiniment petits, ils sont petits et finis. Le modèle est représenté, en interne, par des équations différentielles et résolu par des méthodes numériques.

Il n’y a pas que les experts du MEF qui peuvent obtenir des résultats rapidement, les concepteurs et les développeurs le peuvent également. Toutefois, une certaine expérience est nécessaire pour que les résultats soient fiables.

Les données minimum requises pour un calcul de statistique linéaire MEF sont: La géométrie sous forme d’un maillage Des valeurs matériaux définies (module d’Young et coefficient de Poisson) Des charges, par exemple la pression ou la force Des supports. Normalement, le modèle MEF doit être maintenu afin de préserver son support

Un calcul linéaire statistique du MEF donne comme résultats: Des déplacements Des contraintes. Pour les pièces métalliques, des contraintes équivalentes de Von Mises sont évaluées. Des forces d’appui Des déformations, des forces internes et autres dérivés des résultats cités plus haut

Avec l’optimisation, il y a des déviations de ce système, par exemple: On peut déterminer la force maximale que le design peut supporter On peut spécifier un espace de conception, ou une sorte d’ébauche de la structure et le logiciel propose la

meilleure conception

Souvent, la modélisation commence par l’import d’une forme géométrique CAO dans un pré‐processeur MEF et par la mise en place d’un maillage de la structure. Différents types d’éléments peuvent être utilisés.

Figure 1: Les types d’éléments les plus utilisés

Poutre Triangle Quadrilatère Ressort

Tétraèdre Pentaèdre Hexaèdre



Figure 2: Utilisation d’éléments en 1D



Pour les structures, où une dimension est clairement plus grande que les deux autres, des éléments de type poutre sont utilisés. Parmi les exemples, on trouve des grues, des entrepôts très haut ou des armatures (longerons, couples) dans le fuselage d’un avion ou la coque d’un navire. Pour les structures, où une dimension est clairement plus petite que les deux autres, on utilise des éléments coque. Ces structures se retrouvent très souvent dans: le fuselage d’un avion, la coque d’un bateau, une carrosserie automobile, les constructions soudées dans la fabrication de machines. Si aucune des dimensions n’est clairement plus petite que les autres, alors on utilise des éléments en 3D.



Normalement, une forme géométrique en 3D issue de la CAO, peut être maillée automatiquement avec des éléments tétraédriques, en faisant un seul clic sur l’outil de maillage. Pourquoi ne choisit‐on pas toujours cette manière de mailler?

‐ A cause des critères de calcul et de précision.

Les éléments tétraédriques permettent une mise en maillage extrêmement fine de la structure et donnent assurément des résultats fiables (en dehors des zones de flexion, voir ci‐après). Avec un nombre croissant d’éléments dans le modèle, le temps de calcul est également augmenté. Il est à peu près proportionnel au carré du nombre de degrés de liberté. Les degrés de liberté sont les directions autorisées de mouvement des nœuds. Tout d’abord, chaque nœud a 6 mouvements possibles: 3 translations et 3 rotations. En fonction des éléments qui sont connectés à ce nœud, il y a une certaine rigidité dans les degrés de liberté. Normalement, quand il n’y a pas de rigidité dans les degrés de liberté, ceux‐ci sont éliminés du calcul en interne, de sorte qu’ils n’engendrent presque pas de temps de calcul. Ensuite, il a d’autres cas particuliers: Les éléments solides (tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres): 3 degrés de liberté (3 translations) Éléments coques (triangles, quadrilatères): 6 degrés de liberté. La rotation autour de la normale d’un

élément coque n’entraîne pas de rigidité. Le nombre de degrés de liberté est ainsi réduit à 5 Les éléments de poutre: 6 degrés de liberté. Il y a aussi des éléments de poutre qui n’ont que 2 degrés

de liberté (translation dans la direction longitudinale et torsion) Un modèle maillé avec des tétraèdres et des hexaèdres qui aurait 10.000 nœuds possèderait donc 30.000 degrés de liberté. Si pour un modèle avec hexaèdre, on divise chaque côté de l’élément de moitié, on double le nombre d’éléments dans chacune des 3 directions et on obtient 8 fois plus d’éléments. Il y a aussi des éléments quadratiques qui ont des nœuds non seulement dans les coins, mais aussi au milieu de chaque arête et ils utilisent une méthode de calcul quadratique. Selon le logiciel, les éléments quadratiques sont utilisés plus ou moins souvent. Cependant, dans la pratique, avec les modèles de tétraèdres, il est presque toujours recommandé d’utiliser les éléments quadratiques pour le calcul de la structure, étant donné la trop grande rigidité du tétraèdre linéaire.

Pour une structure à forme géométrique à paroi fine, par principe, il faut au moins 3 éléments solides pour représenter l’épaisseur de la paroi. Ceci permet de prendre en compte la flexion de la structure. L’exemple dans la figure 5 montre une plaque encastrée à ses deux extrémités et une charge apposée sur toute la surface. Les déformations qui en résultent ont été amplifiées afin d’être mieux visualisées. On évalue les contraintes de flexion au milieu de la plaque (flèche blanche).

Figue 5: Exemple de figure géométrique à paroi fine – Modèle et résultat



Les figures montrent les différents résultats avec plusieurs éléments héxaédriques dans l’épaisseur de la paroi. Ces résultats sont comparés pour 1, 3, 6 et 8 éléments héxaèdres dans l’épaisseur et pour 1 élément coque.

Figure 6: Contrainte de flexion dans l’épaisseur de la forme géométrique à paroi fine de la figure 5 Remarque: dans l’exemple. On utilise la flexion calculée dans l’élément central. La flexion extrapolée n’est cependant pas toujours utilisée, par exemple, pour le calcul non linéaire, la déformation plastique est évaluée en fonction de la flexion dans l’élément central.

L’exemple montre que les éléments coques, dans ce type de modèles, à faible nombre d’éléments, donnent de très bon résultats.

La figure 7 montre une structure à paroi fine. Si ce modèle était réalisé avec des éléments tétraèdres, on obtiendrait environ 2 millions d’éléments – et toutefois, comme le montre la figure jaune détaillée, on n’aurait pas encore trois éléments à travers l’épaisseur de la paroi dans toutes les zones. Si on utilise des éléments coques, on obtient 13.000 éléments et le temps de calcul se mesure en secondes.

Figure 7: Exemple d’une cloison. Vue du dessus de la forme géométrique, et du dessous, avec le maillage des éléments solides et des éléments coques qui est juxtaposée

Hexaèdre

Elément

Contrainte de

flexion

Epaisseur

2.200.000 éléments solides 13.000 éléments d’enveloppe



Par conséquent, l’utilisation d’éléments coques est recommandée pour les structures à paroi fine. Mais comment réaliser un modèle surfacique, à partir d’un modèle CAO en 3D? Les éléments coques doivent être situés au milieu de chaque parois, sinon il y aura des effets d’inertie artificiels selon le théorème de Steiner. Par conséquent, la génération des surfaces moyennes est un problème important dans le calcul MEF.

Avec le logiciel MSC Apex, il existe plusieurs méthodes efficaces pour générer des surfaces moyennes. Dans cet exemple, on utilise la méthode d’extraction de surface moyenne incrémentale. L’utilisateur sélectionne le solide, Apex propose des couples de surface, parmi lesquels des zones de surface moyenne sont générées. L’utilisateur peut modifier, ou simplement confirmer, comme c’est le cas ici. Les zones de surface moyenne sont alors créées et étendues automatiquement les unes aux autres.

Figure 8: Couples de surface identifies par MSC Apex, pour la création de surfaces moyenne

Figure 9 : Surfaces moyennes

Figure 10: Surfaces moyennes maillées avec éléments coques



L’épaisseur de la paroi doit être affectée aux éléments coques. Cependant, si on veut diviser les maillages coques, où si les épaisseurs de la paroi sont différentes, il faut qu’il y ait une délimitation correcte entre les différentes épaisseurs de paroi. Dans la figure 11, par exemple, la surface rose est divisée par la ligne noire. Le maillage se met à jour directement.

Figure 11: Surfaces divisées

MSC Apex détecte automatiquement les épaisseurs de paroi.

Figure 12 : Représentation en 3D de l’épaisseur de la paroi

La modélisation des structures poutres se présente de façon analogique avec des éléments poutres, beaucoup moins d’éléments sont nécessaires et on obtient un résultat clair concernant la force des poutres et les couples.

Même si on a une véritable forme géométrique en 3D et un maillage avec des tétraèdres, il y a un ajustement de la forme géométrique avant le maillage, pour réduire le nombre d’éléments et ainsi augmenter la vitesse de maillage et aussi pour améliorer la qualité des éléments. MSC Apex montre les arêtes, les petites surfaces, les surfaces divisées et les autres problèmes géométriques et les supprime si on le souhaite. La figure 14 montre le maillage avant et après les rectifications de la forme géométrique. Avant correction, on peut voir un très petit élément sur l’arête courte, après correction, cet élément a été supprimé.



Figure 13 : Identification des problèmes géométriques

Figure 14: Influence de la correction géométrique sur le maillage

En plus de l’élimination des très petites caractéristiques, il est également utile de supprimer les détails qui n’ont

pas un poids important dans le calcul. Par exemple, la suppression des congés, des chanfreins ou des petits

trous allègent le maillage, du fait d’un nombre d’éléments réduit. La figure 15 montre l’identification

automatique des congés avec MSC Apex. On peut retirer l’intégralité des congés ou seulement une partie de

ces derniers.

Figure 15: Identification et suppression des filets

D’autre part, dans les zones où les contraintes ont besoin d’être calculées avec précision, le maillage sera

affiné, par exemple, en créant un maillage uniforme régulier autour des trous.

Maillage avant correction Maillage après correction

Identifier les congés Supprimer les congés



Figure 16: A gauche un maillage concentrique autour du trou, à droite un maillage affiné autour du trou

Les éléments doivent être de bonne qualité, en particulier dans les zones qui présentent un intérêt pour le calcul

en flexion. De nombreux solveurs sont certes robustes et peuvent fonctionner avec des éléments de mauvaise

qualité, mais en cas de charges spécifiques et avec un maillage grossier, la qualité des éléments peut fausser le

résultat. Les exemples NAFEMS ont compilé des exemples analogues. Un exemple est illustré dans la figure 17,

où on voit une plaque fine qui est chargée à son extrémité.

Figure 17: Modèle d’exemple concernant l’influence de la qualité des éléments sur le résultat

Si des éléments de quadrilatères rectangulaires sont utilisés, le résultat est correct (il correspond à la

solution analytique calculée). Cependant, si des éléments quadrilatères obliques ou triangulaires sont

utilisés, alors il en résulte une très grande différence.

Figure 18: Résultats pour le modèle d’exemple de la figure 17 (échelle de déformation amplifiée)

Support fixe Force



Ce problème peut être résolu de plusieurs manières:

Un maillage plus fin L’utilisation d’éléments quadrilatères avec une forme idéale (éléments de haute qualité)

Sur cet exemple académique, on constate que le modèle est maillé de façon trop grossière. De façon empirique, on en aurait environ 5 ici. Utiliser des éléments dans la largeur. Mais il faut également prêter attention à la qualité des éléments, étant donné que de tels effets peuvent se produire dans des modèles rééls. La figure 19 montre les critères typiques de qualité.

Figure 19: Les variations de qualité les plus courantes dans les éléments quadrilatères

MSC Apex montre la qualité des éléments avec des couleurs. On distingue quatre catégories: Qualité des éléments invalide, mauvaise, pauvre et bonne. On peut afficher différents critères ou un index de qualité global, qui est une moyenne pondérée des critères individuels. Ensuite, MSC Apex peut améliorer la qualité des éléments, de manière automatique, pour le modèle global ou pour certaines zones. On peut également déplacer les noeuds individuellement ou raffiner les surfaces.

Figure 20: Affichage de la qualité des éléments dans MSC Apex

Idéal Aspect long Distorsion Conicité long Déformation



Figure 21: Amélioration de la qualité des éléments dans MSC Apex

Maintenant que vous avez créé le maillage, vous pouvez effectuer les saisies restantes: Valeurs du matériau Charges Supports

Si le modèle de calcul est valide, MSC Apex affiche un symbole vert, jaune ou rouge. Le vert indique que toutes

les données nécessaires ont été saisies et sont valides. Le jaune informe que le modèle sera aussi calculé

efficacement, cependant, il faut vérifier la raison, par exemple, l’absence de charge, ce qui fait qu’au final il n’y

aura pas de déformation. Avec du rouge, le modèle ne sera pas calculé – (par exemple, s’il n’y a pas de support,

de sorte que le modèle dans son ensemble se déplace comme un corps rigide). Apex donne dans

l’arborescence une indication au problème.

Figure 22: Vérification, si le modèle peut être calculé ou non

Maintenant le modèle est calculé et le résultat affiché. Ensuite, il est recommandé de tester à nouveau différentes probabilités, par exemple:

Comprendre l’ampleur de la déformation avec un calcul manuel Vérifier, si les charges et les forces de réaction sont en équilibre, voir figure 23

Figure 23: Comparaison des charges appliquées et des forces de réaction

Les résultats en contraintes doivent être appréhendés avec plus de prudence que les résultats de déformation. Généralement, pour la représentation, c’est une moyenne des résultats, en réalité calculés pour chaque élément, qui est donnée, au niveau des noeuds. Ainsi, la présentation des résultats ne montre souvent pas seulement les valeurs maximales réelles. Il est recommandé d’afficher les différences de contraintes entre les éléments.

Charges Forces du support



Dans le modèle de la figure 24, c’est la différence entre la valeur la plus grande et la plus petite, qui arrive à un noeud d’éléments adjacents. Quand les différences sont importantes – supérieures à 5‐10% de la valeur de la contrainte, c’est une valeur indicative, qui n’a pas une portée générale – le maillage a besoin d’être affiné.

Figure 24 : Contraintes et différences de contraintes

Figure 25: Contraintes avec maillages fortement et très fortement affinés (à droite, les arêtes de l’élément ne sont pas représentées)

Il est intéressant aussi de tester, pour les nouveaux modèles, à quel point les valeurs de contraintes peuvent changer, quand on affine le maillage. La figure 25 montre des résultats de contraintes pour le modèle de la figure24 avec un maillage affiné. Les contraintes semblent converger vers une valeur d’environ 165 MPA.

Cependant, dans de nombreux modèles, les contraintes ne convergent pas, mais elles augmentent davantage avec un maillage plus affiné. Les causes sont par exemple: Des arêtes internes pointues (contre‐dépouilles) La charge est appliquée à un seul noeud Le point de contact

La figure 27 montre un exemple dans lequel la contrainte du support ne converge pas.

Contraintes de Von

Mises

Différences de contraintes

de Von Mises

Maillage affiné 3 fois ‐ contraintes de

Von Mises (3200 éléments)

Maillage affiné 6 fois ‐ contraintes de

Von Mises (204800 éléments)



Figure 27: Exemple de singularité de tension

Que peut‐on faire dans de tels cas? De considérer les résultats de la force plutôt que des résultats de contraintes au support et de tirer des conclusions sur la durée de vie D’arrondir les arêtes concernées, car, en réalité, elles ne sont pas infiniment pointues Considérer le comportement de la matière plastique Néanmoins, quand on est conscient de la singularité, on peut utiliser les contraintes pour des comparaisons de variante qualitative (avec toujours la même taille d’élément) La valeur de contraintes selon FKM ou des procédés similaires, dans lesquels on évalue la contrainte à une distance définie de l’arête

Pour plus d’information sur la création de modèles MEF aller sur www.mscsoftware.com.

Pour trouver plus d’informations sur MSC Apex: http://mscapex.fr.

Nous répondrons volontiers à vos questions à l’adresse suivante: [email protected].

Pression

Appui solide

Elément à tétraèdres à

10 noeuds

Résultat de contraintes

Contraintes

Taille de l’élément

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