Traçage en chaudronnerie ettuyauterie/Raccordement de deux sections

En chaudronnerie et en tuyauterie, on doit assembler despièces par soudage. Ces pièces ont une base simple —cylindre, cône, pyramide, …— mais il faut les découperpour qu'elles s’adaptent avant soudure. La base de cettetechnique est l'intersection d'un solide avec un plan.Pour pouvoir travailler les pièces, il faut d'abord « mettreà plat » leurs surfaces. Cette technique, appelée dévelop-pement d'une tôle, est un élément de base du traçage,une application importante de la géométrie descriptive.Ces méthodes permettent de fabriquer des éléments pourraccorder deux sections : trémies (entonnoirs), hottesd'aspiration, coudes de tuyauteries, réducteurs, …

1 Connaissances préliminaires

Un certain nombre de pièces chaudronnées sont obtenuespar déformation — pliage, roulage — de tôles. On partd'une tôle rectangulaire, appelée « flanc capable » ; cettetôle est ensuite découpée, puis formée et enfin soudée.

1.1 Technologie du roulage

Vue en perspective d'une rouleuse à trois rouleaux

Le roulage est la technique qui consiste à mettre en formeune tôle , initialement plate, pour former un cylindre ouun tronc de cône. On utilise pour cela une rouleuse.On part d'une tôle à plat (calcul de la longueur déve-loppée). On trace (au feutre ou à la pointe à tracer) les

rouleau entraîneuret serrage

rouleau cintreur

tôle

Principe d'une rouleuse à trois rouleaux.

« quatre axes principaux » du futur cylindre ou cône,c'est-à-dire trois génératrices équidistantes des bords, laquatrième génératrice étant la ligne de soudure. Cela per-mettra de se repérer pour les opérations ultérieures.Si les bords sont droits et la tôle pas trop épaisse, la tôleest découpée avec une cisaille guillotine.Si la forme est complexe, la tôle est tracée : on trace lescontours puis on la pointe, c'est-à-dire que l'on met descoups de pointeau tous les 1 à 2[cm . les coups de poin-teau forment des cuvettes ; le contraste entre la lumièreréfléchie par un côté et l'ombre portée de l'autre côté dela cuvette permet de bien voir le contour lors du décou-page. Puis, la tôle est découpée :

• si l'épaisseur est faible, on utilise une cisaille ou« grignoteuse » ;

• si l'épaisseur est importante, on utilise une torcheplasma ou chalumeau, soit manuelle, soit à com-mande numérique.

La tôle est ébavurée : on lime ou on meule les bords pourqu'ils ne soient pas coupants.Il existe plusieurs types de rouleuse ; nous décrivons ici larouleuse à trois rouleaux également appelée « planeur ».Le principe est de déformer la tôle plastiquement parflexion, l'effort étant exercé par trois rouleaux (flexiontrois points simple). La rotation des rouleaux permet dedéformer la totalité de la tôle de manière (presque) uni-forme. Le rouleau entraîneur est mobile verticalement

1

2 1 CONNAISSANCES PRÉLIMINAIRES

pour pincer la tôle. Le rouleau cintreur est mobile pourrégler la flexion.Il faut s’assurer que les quatre axes principaux tracés setrouvent à l'extérieur.

1.2 Technologie du pliage

poinçon(contre-vé)

tôle

butée

matrice(vé)

Principe de la presse plieuse.

Exemple de pliage en l'air ; cliquer pour voir l'animation.

Le pliage est la technique qui consiste à mettre en formeune tôle métallique, initialement plate, pour former undièdre (angle entre deux plans). On utilise pour cela unepresse plieuse.Le principe est de déformer la tôle plastiquement parflexion, l'effort étant exercé par un poinçon, ou contre-vé,et une matrice, ou vé (la matrice est parfois un U).Le pliage est limité par deux facteurs :

• la forme de la matrice :

• dans le cas d'un vé, on ne peut plier qu'à unangle inférieur à 90 ° (pliage en l'air, la tôlene vient pas en contact avec le fond du vé),on atteint 90 ° en faisant un pliage en frappe(le contre-vè pousse le tôle au fond du vé etl'emboutit légèrement),

• dans le cas d'un U, c'est le rapport largeur-profondeur qui détermine l'angle ;

• le repli de la tôle : la tôle ne doit pas venir buter surl'outil.

Avant de plier la tôle, on trace les plis ; c'est ce qui permet-tra de positionner la tôle sur la presse plieuse. Le traçagese fait donc sur le côté intérieur (TI : tracé intérieur).

1.3 Surfaces développables

Les formes obtenues par roulage et pliage sont des sur-faces gauches (c'est-à-dire non plane) dite « dévelop-pables ». les surfaces développables peuvent être « misesà plat ».Toutes les surfaces gauches ne sont pas développables.C'est le cas en particulier des surfaces qui comportent unecourbure selon deux directions : sphère, ellipsoïde de ré-volution (galet, ballon de rugby), tore (pneu), paraboloïdede révolution (miroir parabolique, parabole), hyperbo-loïde de révolution (tabouret), paraboloïde hyperbolique(selle de cheval) …

Exemple de surfaces non développables

• Sphère

• Ellipsoïde de révolution (galet)

• Ellipsoïde de révolution (ballon de rugby)

• Tore

• Paraboloïde de révolution (parabole)

• hyperboloïde de révolution (tabouret)

• paraboloïde hyperbolique (selle de cheval)

Ces surfaces ne peuvent pas s’obtenir par roulage oupliage.Dans ce chapitre, nous étudions exclusivement des sur-faces développables.

3

Couper un cercle en 12 parties égales

1.4 Couper un cercle en parts égales 4 à 24parts égales

Pour tracer des intersections de solides de révolution (cy-lindres, cônes), il faut savoir couper un cercle en partségales.Avant de tracer le cercle, on trace les diamètres horizon-tal et vertical (droites horizontale et verticale passant parle centre) ; ce sont les « traits d'axe du cercle ». Ainsi,lorsque l'on trace le cercle, celui-ci est séparé en 4 quar-tiers.Pour le séparer en 12 parts égales, on place la pointedu compas sur l'intersection d'un axe et du cercle, touten gardant un écartement égal au rayon. Puis, on traceles arcs de cercle coupant le cercle. On procède ainsipour chaque intersection axe-cercle, on obtient au total12 parts égales.On peut encore placer un point entre chaque point déjàplacé : on place la pointe du compas sur un des pointset l'on trace un arc de cercle à l'extérieur du cercle debase, et l'on fait demême sur le point voisin ; l'intersectiondes deux arcs définit un point. Puis, on trace à la règlele diamètre passant par ce point-là ; elle coupe l'arc decercle en deux parts égales (bissectrice de l'angle). Ainsi,si le cercle est déjà coupé en 4 parts, on en obtient 8 ; sile cercle est déjà coupé en 12 parts, on en obtient 24.On peut recouper les arcs en 2 par la même méthode,et multiplier ainsi le nombre d'arcs par 2, pour obtenirencore plus d'arcs.Le nombre de points à utiliser dépend du périmètre : ilfaut suffisamment de points pour pouvoir faire un tracé« précis » et lisse. Disons que jusqu'à un diamètre de 100mm, on peut se contenter de 12 points (ce qui fait un point

Le tracé des bissectrices permet de doubler le nombre de parts

tous les 26 mm sur la circonférence).

2 Intersection d'un cylindre avecun plan

2.1 Cylindre droit

LT

Raccordement de deux tuyaux identiques d'axe sécants.

Application

Considérons deux tuyaux de même diamètre et d'axe sé-cants, les axes faisant un angle faible. La jonction peutêtre décrite par deux cylindres coupés par un plan. Lessections sont appelées « pénétrations », puisque c'est parlà que pénètre le fluide.

Travail demandé

4 2 INTERSECTION D'UN CYLINDRE AVEC UN PLAN

LT

(π)

(π')

Plan de coupe et ébauche du cylindre.

Le dessin ci-contre représente un cylindre ∅320 mm in-complet, et un plan Π de traces (π) et (π'). Tracer le cy-lindre coupé par Π et faire le développement de la pièce.

LT

1'

2'

3'4'

5'

6'

7'

8'

9'10'

11'

12'

1

7

4

3

21

5

67

8

9

10

11

12

4

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

6

5

(π)

(π')

Cylindre coupé par le plan et développement de la tôle.

Démarche

La première chose est de placer des génératrices, c'est-à-dire des droites placées sur la surface du cylindre et paral-lèles à son axe. On veut que les génératrices soient répar-ties régulièrement, ce qui permet d'avoir un tracé régu-lier. Pour cela, on réalise une vue de droite (changementde plan), le cylindre est vu comme un cercle (en haut àgauche) que l'on coupe en 12 part égales. On numéroteles génératrices afin de pouvoir se repérer.Sur la vue de face (plan vertical), les génératrice sont tra-cées jusqu'à la trace du plan (π').Sur la vue de dessus (plan horizontal), on reporte les gé-nératrices. On peut se contenter d'une demie-section ra-

battue pour les tracer ; on peut aussi renvoyer les pointsdu cercle par une charnière, mais attention, il n'y a pas decorrespondance des numéros.La vue de face (plan vertical) donne la position en x desintersections entre les génératrices et le plan Π. On re-porte ces positions sur les génératrices de la bue de dessus(plan horizontal).On obtient ainsi 12 points (en vert), que l'on relie à mainlevée pour avoir une ellipse lisse.Nous allons maintenant développer la tôle : on imagineque le cylindre tronqué est en papier, que l'on coupe lepapier et qu'on le met à plat. On coupe en général selonla génératrice la plus petite : s’il faut fabriquer la pièce àpartir d'une tôle à plat, on aura le cordon de soudure leplus petit, soit :

• un temps de fabrication plus court ;

• une économie de matériau et de consommationd'énergie ;

• une déformation moindre de la pièce.

La longueur développée de la base droite est le périmètredu cercle p = π×D = π×320 = 1004,8. Les génératricessont des segments de droite séparés de p/12 = 83,73mm.On repère les génératrices, en s’assurant qu'elle se re-trouvent à l'extérieur lorsque l'on roule (pour que l'onpuisse voir le tracé après roulage), et on reporte leur lon-gueur à partir de la vue de face ou de dessus. On traceensuite une courbe lisse pour joindre les points.Notons que pour faire le développement de la tôle, on n'apas besoin de la vue horizontale : la vue de face fournit lalongueur des génératrices.

Mise en œuvre concrète

Supposons que l'on veuille fabriquer un tube coupé aveccet angle. Trois solutions sont possibles.Première solution : on découpe une tôle, on la roule et onla soude. On trace la forme développée sur la tôle puison la pointe : les coups de pointeau forment des cuvettesque l'on verra malgré la lumière du chalumeau (contrastezone d'ombre-zone réfléchissant la lumière). On découpela forme au chalumeau, on la roule et on la soude.

Gabarit permettant de tracer une tôle à plat.

2.2 Cylindre oblique 5

Pour tracer et pointer la tôle, on peut utiliser un gabarit :c'est une tôle tracée et découpée comportant des perçage.On donne les coups de pointeau au travers des perçagesdans la tôle située en dessous.Deuxième solution : on part d'un tube existant, et l'on en-roule la papier autour. On peut ainsi tracer et pointer letube, ce qui permet de découper au chalumeau. Si l'on abeaucoup de pièces identiques à faire, on peut faire un ga-barit en tôle mince que l'on réutilise. Cela implique quele tube a une tolérance suffisamment précise pour que lafeuille s’enroule bien.Troisième solution : on trace directement sur un tube exis-tant. On remesure le périmètre (avec un décamètre) pourprendre en compte les éventuels défauts de fabrication ;on divise ce périmètre par 12 pour pouvoir placer les gé-nératrices. On trace un cercle droit que l'on découpe en12, et l'on trace les génératrices ; on utilise pour cela unecornière pour être sûr d'être parallèle à l'axe. On reporteles longueurs des génératrices, on pointe et on découpe.

2.2 Cylindre oblique

LT

Cylindre oblique, raccordement de sections circulaires identiqueet parallèles.

Application

Le cylindre oblique permet de raccorder deux sectionscirculaires de même diamètre, sur des plans parallèles,mais qui ne sont pas coaxiales.

Travail demandé

Développer le cylindre oblique ci-contre.

LT

1

23

45

6

7

8

9

10

11

12

a

b

cd

e

f

g

h

i

j

k

l

1'7' 8' 9' 10' 11' 12'

g' h' i' j' k' l' a'

r

13'

14''

15''

16''

17''18''

19'

14'

15'

16'

17'

18'

13 1914 1615 17 18

J

10

G

1

7

A

8

L

12

H

9

K

11

I

Développement du cylindre oblique.

Démarche

Le cylindre n'est pas une forme de révolution, il ne peutdonc pas s’obtenir par roulage. Il s’obtient par pliage, doncil faut réaliser deux demi-cylindres (pour éviter la colli-sion tôle-contre-vè lors du pliage) puis les souder. On fa-brique deux demi-cylindres identiques, ce qui permet dene faire qu'un seul développement.On définit une famille de génératrices [1.A] à [12.L] encoupant le cercle de base en 12 parties égales et en traçantles génératrices.Puis, on trace une section droite ; il s’agit d'une ellipsedont le petit axe est perpendiculaire aux génératrices, etdont le grand axe est le diamètre du cercle de base. Poursimplifier, on choisit la section droite qui passe au centredu cylindre. Les génératrices coupent une demie ellipseaux points numérotés de 13 à 19.Cela permet d'avoir la longueur développée de la tôle. Ici :

p ≃ π

√2(252 + 212)− 1

2(25− 21)2 = 145 mm

On commence donc le tracé par une droite de longueurp = 145 mm. Le point de gauche est le point 13, puis onplace les points suivants en reportant les distances mesu-rées sur la section rabattue (qui est en vraie grandeur) :13'.14'' permet de placer le point 14 sur le développe-ment, …

Ce faisant, on remplace l'ellipse par un poly-gone, puisque l'on remplace des arcs par descordes. Pour limiter la propagation d'erreur, onpeut se recadrer sur les points particulier (point16 milieu, point 19 à l'extrémité droite). Onpeut également diviser les arcs d'ellipse pluspetit, et reporter ainsi des cordes plus petites(l'écart entre arc et corde étant ainsi moinsgrand) ; par exemple, on place quatre points in-termédiaires entre les points 13 et 14.

6 3 PYRAMIDE TRONQUÉE

On trace le développement de la section droite horizon-talement, les génératrices sont donc verticales. Les géné-ratrices sont en vraie grandeur sur la vue frontale ; on re-porte donc la longueur 14'.h' pour avoir 14.H sur le dé-veloppement, … On remarque que, par symétrie, 14.H =18.12, 14.8 = 18.L, …

3 Pyramide tronquée

Pour fabriquer la pyramide tronquée, on commence parfaire deux demies pyramides (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis on les soude. Il faut doncdévelopper deux demies pyramides.Lorsque l'on prolonge les plis, ils se rencontrent à l'apex(sommet haut de la pyramide). Par ailleurs, si la base dela pyramide est un polygone régulier (les côtés ont tous lamême longueur) et que la troncature est droite, on obtientdes trapèzes tous identiques.

Application

Une pyramide raccorde deux sections carrées placées surdes plans parallèles. Si l'axe reliant les centres des car-rés est perpendiculaire aux plans, il s’agit d'une pyramidedroite. Ce raccordement peut être par exemple une trémie(entonnoir) ou une hotte d'aspiration.

3.1 Pyramide droite à base carrée tron-quée

Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite. Déve-lopper la demie-pyramide.

Démarche

LT

a

s

s'

a

bc

d

ef

1

23

4

56

VG

arêtes

A1, B2, C3, D

4

hauteurs des

trapèzes

C B

3 2

C B

3 2

S

AD

EF

14

56

Développement d'un demi tronc de pyramide à base carrée

Les grande et petite bases du trapèze sont vues en vraiegrandeur sur les plans frontal et horizontal. On déterminela vraie grandeur des côtés non-parallèles, ainsi que la

vraie grandeur de la hauteur d'un trapèze, par la méthodede la droite carrée. Rappelons que l'on trace sur les facesintérieures pour le pliage. Comme les moitiés sont sy-métriques, cela n'a aucune importance ici, mais c'est unebonne habitude à prendre.Pour tracer le premier trapèze :

1. On trace la grande base [BC] et sa médiatrice, quiest l'axe de symétrie du trapèze.

2. On trace un arc de cercle centré sur le milieu dela grande base, et ayant pour rayon la hauteur d'untrapèze ; l'intersection avec la médiatrice donne lemilieu de la petite base. On trace une parallèle à lagrande base passant par ce point, cela donne la droite(2,3) supportant la petite base.

3. À partir des extrémités de la grande base, on traceun arc de cercle dont le rayon est la longueur descôtés non-parallèles ; l'intersection de ces arcs avecle support de la petite base donne les extrémités 2 et3 de la petite base.

4. On prolonge les côtés non parallèles, (B.2) et (C.3),pour déterminer l'apex S.

5. Pour tracer les deux trapèzes adjacents, on traceun cercle dont le centre est l'apex S et passant parles extrémités de la grande base. On reporte sur cecercle les longueurs des grandes bases. On procèdede même pour les petites bases.

3.2 Troncature inclinée

Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite, tronquéepar un plan incliné.Compléter la vue horizontale, et développer la demie-pyramide.

Démarche

Si le plan de troncature est incliné, on développe le troncde pyramide droit, puis on retire les longueurs man-quantes, en partant de l'apex — on pourrait reporter leslongueurs d'arêtes, mais habituellement on reporte ce quel'on enlève, ce qui permet de travailler avec les pyramidesinclinées.On choisit les lignes de soudure, [E.5] et [F.6], demanièreà avoir deux moitiés symétriques : on fabrique ainsi deuxfois la même pièce, en utilisant un seul gabarit.

3.3 Apex inaccessible

Si la différence entre la grande base et la petite base estfaible, l'apex se retrouve très loin, et l'on ne peut l'utiliserpour tracer la développée.

7

LT

Pyramide à base carrée tronquée : représentation partielle

LT

s

s'

a

bc

d

ef

1

23

4

56

VG des arêtes

S1 = S2

D A

4

1

S

C

EF

2

3

5

6

S3 = S4

SA = SD

B

Construction de la développée

Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite, tron-quée.Compléter la vue horizontale, et développer la demie-pyramide.

Démarche

Le premier trapèze 2.3.C.B est construit de manière clas-sique.Pour construire les trapèzes adjacents, on utilise le faitque les diagonales ont toutes les mêmes longueur, celle-ci étant déterminée sur le premier trapèze tracé. Ainsi, lepoint A se trouve

• sur le cercle de centre B et de rayon A.B ;

• sur le cercle de centre 2 et de rayon A.2 = B.3 ;

LT

Pyramide à base carrée tronquée, l'apex étant inaccessible : re-présentation partielle

LT

a

bc

d

ef

1

23

4

56

C B

3 2

AD

EF

14

56VG deshauteurs

VG desarêtes

Construction de la développée

donc à l'intersection des deux cercles. De même, le point1 est construit en considérant que A.1 = B.2 et longueurdu segment 1.2 = longueur du segment 2.3.

4 tronc de cône

Sur un cône, toutes les génératrices passent par le sommetS.Un tronc de cône est l'intersection d'un cône avec un plan.

Applications

Un tronc de cône droit peut servir de trémie (entonnoir),de réducteur (raccordement de deux tuyaux coaxiaux dediamètre différent, de hotte d'aspiration, …

8 4 TRONC DE CÔNE

4.1 Développement d'un tronc de cônedroit

On considère dans un premier temps un tronc de cônedroit, c'est-à-dire que le plan d'intersection est perpendi-culaire à l'axe du cône.

Applications

Le tronc de cône droit raccorde deux sections circulairessur des plans parallèles, et coaxiales : l'axe passant par lecentre des cercles est perpendiculaire aux plans. Il peuts’agir de raccorder deux tuyaux coaxiaux mais de dia-mètre différent.

Travail demandé

Développer un tronc de cône droit.

LT

a

a'

R

r

S

a

a'

L = 2πR

l = 2πr

s

s'

Développement d'un tronc de cône droit.

Démarche

Soit un tronc de cône ; R est le rayon de la base, r est lerayon du cercle supérieur, a est l'apothème, c'est-à-dire lalongueur d'une génératrice prolongée jusqu'au sommet S.On appelle a' l'apothème du cône complémentaire (partiequi a été tronquée).Le développement du tronc de cône est une portiond'anneau. L'arc extérieur se situe sur un cercle dont lecentre est le sommet S, et dont le rayon est l'apothèmea ; sa longueur L est le périmètre de la base du tronc decône, 2πR. Pour le tracer, on trace un grand arc de cerclede rayon a, puis on délimite un arc de longueur L en uti-lisant un réglet que l'on courbe à la manière d'une cerce(curvigraphe). Si cela n'est pas possible, ou si l'on veutêtre plus précis, on peut déterminer l'angle α que repré-sente la portion d'anneau :

α(o) =Ra× 360

L'arc intérieur est sur un cercle de centre S et de rayon a'.

butée(cornière)

tôle

Roulage d'un tronc de cône.

Mise en œuvre concrète

Pour rouler le tronc de cône, il faut engager la tôle en s’as-surant que la génératrice est parallèle à l'axe des rouleaux.On place une cornière en butée pour guider la tôle.

4.2 Section d'un cône droit par un plan in-cliné

Considérons un cône de révolution coupé par un plan in-cliné Π perpendiculaire au plan (x, z), dont la trace sur laplan vertical est (π'). Il s’agit d'un raccordement entre unesection circulaire et une section elliptique sur des plansconcourants, mais ces sections ne sont pas quelconques.

travail demandé

Terminer la vue de dessus et faire le développement dutronc de cône.

Démarche

On commence par diviser le cercle de base en 12 arcségaux, et l'on trace les génératrices que l'on repère (nu-mérote). On remarque que les génératrices [a'.1'] et [g'.7'](en bleu sur la figure) sont en vraie grandeur (VG) dansle plan frontal.Sur le plan vertical, l'intersection des génératrices avecla trace du plan incliné (π') donne l'abscisse x du pointd'intersection, abscisse que l'on reporte sur le plan hori-zontal : la projection dudit point sur le plan horizontal estsur la projection de la génératrice, et sur la même verti-cale (ligne de rappel, on « descend » le point).

4.3 Tronc de cône oblique 9

LT

(π')

s'

s

Section d'un cône par un plan incliné : représentation partielle.

LT

1

2

34

5

6

7

8

910

11

12

7

11

12

11

109

865

4

3

2

(π')

s' S

s a

bcde

fgh

i j kl

AB

C D E F G H I J K LA

a'b'

, l'

c', k

'd', j

'

e', i

'f',

h'

g'

1'2'

, 12'

3', 1

1'

4', 1

0'

5', 9

'

6', 8

'7'

Section d'un cône par un plan incliné : solution et développementde la tôle.

Cela ne marche pas avec les génératrices [D.4] et [J.10],puisque la projection des génératrice est parallèle à la ver-ticale. Pour obtenir ces points, il faut faire une projectionsur le plan (O, y⃗, z⃗) , ce qui revient à faire tourner le côned'un quart de tour autour de son axe. Or, comme l'axe est

vertical, les point restent à la même hauteur, et la géné-ratrice prend la place des génératrices (a'.1') et (g'.7') quisont en vraie grandeur.Il suffit donc de :

• tracer, sur la vue frontale, l'horizontale entre lespoints d'/j' du plan de section et la génératrice [g'.7']ou [a'.1'] (nous avons choisi [g'.7']) ;

• mesurer la distance rd'/j' entre cette projection etl'axe ;

• reporter cette distance sur le plan horizontal (aucompas, ou en utilisant une charnière).

Pour développer la tôle, on utilise la même propriété : sil'on fait tourner le cône pour mettre la génératrice n à laplace de [a'.1'] ou [g'.7'], le point garde la même hauteursur le plan vertical. On projette donc tous les points sur lagénératrice [g'.7'] ou [a'.1']. On obtient ainsi la VG sansutiliser de droite carrée.On développe la tôle comme s’il s’agissait d'un cône droit,et l'on trace les génératrices (en reportant la longueur del'arc de base divisé par 12, ou bien l'angle total divisé par12). La longueur des génératrices est la longueur proje-tée sur 7' ou 1' obtenue précédemment. Mais plutôt quereporter la longueur des génératrices depuis le cercle debase, on préfère reporter la distance enlevée depuis lesommet (SA, SB, …, SL) ; en effet, cela sera indispen-sable avec un cône oblique, on travailler alors toujoursavec la même méthode.

(π')

s' S

Développement du tronc de cône en n'utilisant que la vue frontale.

Notons que le tracé de la section sur la vue horizon-tale n'est pas indispensable pour le développement ; et, laforme étant symétrique, il n'est pas non plus nécessaire derepérer complètement les génératrices. On peut donc secontenter de travailler uniquement avec la vue frontale ;on construit un système régulier de génératrices à partird'une demie section rabattue.

4.3 Tronc de cône oblique

Considérons maintenant le raccordement entre deux sec-tions circulaires sur des plans parallèles, mais qui ne sont

10 4 TRONC DE CÔNE

LT

Cône oblique et sa section droite.

pas coaxiales. C'est un tronc de cône oblique à base cir-culaire. L'axe du cône passe par le centre de la base ; cen'est pas la bissectrice du secteur angulaire. Les sectionsdroites (perpendiculaires à l'axe) sont des ellipses, ce n'estpas un cône de révolution, on ne peut pas le réaliser parroulage. Par ailleurs, l'axe passe par les centre des sec-tions circulaires, il ne passe pas par le centre des sectionsdroites.

Application

Cela permet de raccorder deux sections circulaires sur desplans parallèles, qui n'ont pas le même diamètre et ne sontpas coaxiales. C'est le cas par exemple de deux tuyaux dediamètres différents et d'axes parallèles non confondus.

Travail demandé

Faire le développement du tronc de cône.

Démarche

Comme précédemment, comme on ne veut que le déve-loppement de la tôle, on peut se contenter de travaillersur la vue frontale. Mais nous travaillerons aussi sur lavue horizontale pour nous habituer à bien repérer les gé-nératrices, ce qui servira si l'on a une section inclinée.On commence par déterminer la position s’ en prolon-geant les génératrices connues. Puis, on divise la sectiondu bas en 12 parties égales ; les points sont repérés de1 à 12 (sur la vue frontale, on ne voit que la moitié despoints, 1', 7' à 12'). Sur la vue horizontale, on trace lesgénératrices s.1 à s.12, elles coupent la section supérieureaux points repérés a à l. Sur la vue frontale, on trace lesgénératrices s’.1 et s’.7 à s’.12.Comme précédemment, on remarque que sur la vue fron-tale, les droites (s’.1) et (s’.7) sont en vraie grandeur (VG).Le cône incliné ne peut se faire que par pliage, il fautdonc développer en deux parties. On coupe la pièce afind'avoir deux parties identiques. On choisit de démarrerpar une génératrice enVG sur la vue frontale, par exemple[G.7], que l'on peut donc directement tracer, et l'on placele sommet S.On sait que l'arcs [6.7] a pour longueur 1/12 du périmètre,soit πD/12 = π×50/12 = 13 mm. Sur le développement,on trace donc un cercle dont le centre est le point 7, et derayon 13 mm ; on sait que le point 6 est sur ce cercle.

Note En faisant ceci, on remplace un arc courbe par unsegment de droite (une corde) de même longueur.Si l'on a découpé le cercle en suffisamment d'arcs,l'erreur commise est négligeable. On vérifiera quandmême sur le développement final que la longueur dé-veloppée totale est correcte.

On détermine la VG de la distance S.6, par la méthodede la droite carrée ; on trouve 95 mm. Sur le développe-ment, on trace un cercle de centre S et de rayon 95 mm ;l'intersection avec le cercle précédent donne le point 6.On trace ensuite la génératrice (S.6). Le point F se trouvesur cette droite. La VG de la distance SF est déterminéepar la droite carrée, ce qui permet de placer F sur le dé-veloppement.On construit les points suivants de la même manière.Un tronc de cône incliné permet de raccorder deux tuyauxd'axes parallèles et de diamètres différents.

4.4 Cas d'un sommet inaccessible

Si l'apothème est très importante, et en particulier si lediamètre du cercle du haut est peu différent de celui dubas, il n'est pas possible de faire figurer le sommet sur lafeuille. Si l'on veut travailler graphiquement, il faut donctrouver une alternative.Nous prenons ci-dessous le cas de cônes droits, mais laméthode peut se généraliser aux cônes obliques.

11

4.4.1 Approximation des trapèzes

La première méthode consiste à considérer une tôle pliéeen 3 inscrite dans le cône. Chaque portion est un trapèzedont la grande base a pour longueur le diamètre D dugrand cercle, et la petite base celui du petit cercle, d. Lalongueur des côtés est celle d'une génératrice. Un tel tra-pèze est simplement la vue frontale du tronc de cône.Si l'on place ces trois trapèzes l'un à côté de l'autre, alorson voit que l'on a une approximation du développé réel :

• la longueur de la ligne de base est 3×D ≃ π×D, lalongueur développée de la base ;

• la longueur de la ligne du haut est 3×d ≃ π×d, lalongueur développée de cercle supérieur ;

• la longueur des génératrices est respectée.

Pour améliorer le tracé, il faut :

• rallonger la figure d'une quantité (π−3)×D ≃0,14×D, réparti équitablement à gauche et à droite ;

• doubler le nombre de points : on rajoute des pointsintermédiaires en prenant l'intersection entre :

• l'axe de symétrie du trapèze, et• la bissectrice entre la base et la perpendiculaireau pli.

4.4.2 Approximation des diagonales

La deuxième méthode consiste à construire les généra-trices l'une après l'autre, de proche en proche, en considé-rant que les diagonales qui joignent les génératrices sontrectiligne (alors qu'elles suivent en réalité la courbe ducône). Cela revient à remplacer le cône par une pyramideà base n-gonale (dodécagonale si l'on prend 12 généra-trices).Sur le vue horizontale, on sépare le grand cercle en 12parts égales, on trace les génératrices, puis on les reportesur la vue frontale. Les points sont numérotés de 1 à 12sur le grand cercle et de a à g sur le petit cercle.La génératrice [10'.j' ] est en vraie grandeur ; si le plan decoupe était incliné, on pourrait projeter toutes les géné-ratrices sur celle-ci, ou bien utiliser une droite carrée.On trace une diagonale, par exemple [12.a] et [12'.a' ].On détermine la vraie grandeur de cette diagonale, à l'aided'une droite carrée. Là encore, si le plan de coupe étaitoblique, on déterminerait la VG de toutes les diagonalesséparément.Pour développer le tronc de cône :

1. On trace la génératrice du milieu (la plus longue sile plan de coupe est oblique), [1.A], verticale et aucentre.

2. On reporte la longueur de la diagonale depuis A(arc de cercle de centre A et de rayon la VG de ladiagonale) ; on reporte la longueur développée d'unarc du grand cercle compris entre deux génératrices(arc de cercle de centre 1 et de rayon π×D/12) ;l'intersection des deux donne le point 12 (ainsi quele point 2 de l'autre côté).

3. On reporte la vraie grandeur d'une génératrice de-puis 12 (arc de cercle de centre 12 et de rayon laVG de la génératrice) ; on reporte la longueur déve-loppée d'un arc du petit cercle compris entre deuxgénératrices (arc de cercle de centre A et de rayonπ×d/12) ; l'intersection des deux donne le point L.

On continue ainsi de proche en proche. Dans l'idéal, onutilise trois compas qui gardent la même ouverture.Cette méthode permet de tracer directement la dévelop-pée d'un cône tronqué par un plan oblique. Pour une tellesituation, on peut aussi développer un cône droit par laméthode des trapèzes, puis reporter les génératrices.

5 Raccordements plus complexes

5.1 Raccordement d'un carré à un cercle

Prenons un exemple courant : une trémie a une extrémitécarrée, l'autre est circulaire (ce qui permet de s’adapter àun tuyau). On parle de « raccordement de deux sectionsparallèles, l'une circulaire, l'autre polygonale. »La pièce finale peut se décomposer en quatre trianglesplans, et quatre quarts de cône obliques. Les quarts decône sont en fait réalisées par pliage ; ce sont des pyra-mides qui approchent des cônes. De fait, la trémie est réa-lisée en deux parties qui sont ensuite soudées.

Travail demandé

Développer un trémie a base rectangle.

Démarche

On divise le cercle en parties égales. On détermine leslignes de soudure, F.1 et C.7.On trace le triangle (partie plane) : le côté [AB] est enVG sur les deux vues, en déterminant sa hauteur, qui estaussi la VG de [F.1] et de [C.7].Puis, on développe les quarts de cône obliques, de sommetrespectifs A et B, de la manière habituelle. La longueurAF est en VG sur la vue horizontale, la distance F.1 adéjà été déterminée, ce qui permet de tracer F à partirdes points A et 1.Pour réaliser les portions de cônes, on utilise en général12 plis de 7,5 ° chacun, on divise donc chaque quart decercle en 12 parties (et non en 3 comme ici).

12 5 RACCORDEMENTS PLUS COMPLEXES

• Trémie idéale, raccordant une section carrée à unesection parfaitement circulaire.

• Trémie réelle, réalisée par pliage

Les techniques de traçage vues permettent de résoudretous les cas : raccordement de deux sections polygonales,raccordement de sections non parallèles, …

5.2 Raccordement de sections sur desplans concourants

Nous avons vu le développement d'un cylindre et d'uncône biseautés. Ce sont des formes simples à développeret à fabriquer (roulage), donc si possible, on essaie de seramener à un de ces cas. Mais ce n'est pas toujours pos-sible.

5.2.1 Coude en plusieurs parties

Méthode des sphères sécantes Considérons deuxtuyauteries d'axes tangents que l'on veut raccorder par uncoude. On utilise la propriété suivante :Si les cercles sont parallèles, alors il s’agit d'un cylindreou d'un cône de révolution. Si les cercles ne sont pas pa-rallèles, alors il s’agit d'un cylindre ou d'un cône oblique.Ces théorèmes sont à la base de la méthode des sphèresauxiliaires.

Exemple

Considérons deux tuyaux de diamètre différent à raccor-der. Ils ont des axes concourants ; la longueur d'un destuyaux est indéfinie.

Démarche

Nous utilisons la méthode dite des « sphères sécantes ».

1. Les axes sont reliés par un arc de cercle de centre I.Le point I est sur le plan du haut du tuyau horizon-tal. Il est à équidistance des axes des deux tuyaux,qui est ici la distant du haut du tuyau vertical à l'axedu tuyau horizontal. Cela définit l'extrémité du tuyauhorizontal.

2. L'arc de cercle est coupé en 3×2 = 6 parties égales,ce qui permet de définir 3 secteurs angulaires demême angle et leurs bissectrices.

3. Les sphères coupant les tuyaux sont centrées sur lesaxes des tuyaux, ce qui permet d'avoir une sectionde sphère circulaire correspondant à la section dutuyau. Ces sphères sont également centrées sur lesbissectrices des secteurs angulaires. Les centres detoutes les sphères sont sur un arc de cercle de centreI.

4. La sphère du milieu est donc sur l'arc de cercle dé-finit ci-dessus, et sur la bissectrice du secteur angu-laire central. Son rayon est déterminé par une pro-gression linéaire (loi proportionnelle) ; dans le casprésent, c'est simplement la moyenne des rayons dessphères extrêmes, mais on peut l'obtenir graphique-ment en traçant deux segments parallèles de rayonR1 et R3, le segment de longueur R2 se situant entreles deux.

Grâce aux sphères, nous pouvons tracer trois parties decoudes qui seront faciles à développer puisque, en vertuedu théorème vu précédemment, nous savons que ce sontdes troncs de cône obliques.Bien évidemment, si les deux tuyaux sont de même dia-mètre, la méthode nous donne trois cylindres obliquestronqués. Mais pour les coudes cylindriques, on utiliseune autre méthode.

Méthode des sphères tangentes Mentionnonsquelques propriétés :

5.2.2 Raccordement de sections circulaires quel-conques

Si l'on doit raccorder deux sections circulaires quel-conques, rien ne garantit que l'on a un cylindre ou un cône.Il faut alors préciser la notion de génératrice, sachant qued'un point de vue pratique, les pièces seront réalisées parpliage et qu'une génératrice correspond à un pli.On ne peut pas définir de génératrice pour toutes les sur-faces gauches ; mais nous pouvons toujours définir des gé-nératrices pour les surfaces développables, voir pour celal'article de Wikipédia Surface réglée > Plan tangent.

5.3 Raccordement d'une section circulaireet d'une section elliptique

Pour pourvoir tracer le raccordement d'un cercle à uneellipse, il faut s’intéresser à quelques propriétés géomé-triques.Ceci vient du fait que l'on utilise une surface développablepour le raccordement.C'est une propriété bien connue du cercle.Cela va servir à diviser l'ellipse en parties égales.Ainsi, si l'on a une tangente au cercle qui est parallèle àune tangent à l'ellipse, elles définissent un plan tangent auraccordement.

Travail demandé

Dessiner le raccordement de deux tuyaux d'axes non co-planaires et de diamètres différents, et développer la tôle.

5.3 Raccordement d'une section circulaire et d'une section elliptique 13

Démarche

La première étape consiste à déterminer un système degénératrices. Pour cela, on détermine un système de planstangents au cercle et à l'ellipse. Il est facile de tracer la tan-gente à un cercle ayant une orientation donnée ; on com-mence donc par tracer les tangentes à l'ellipse.On divise l'ellipse en 12 arcs égaux, donc de longueur

p/12 ≃ π

√2(252 + 17, 52)− 1

2(25− 17, 5)2/12 ≃ 11mm

que l'on reporte au compas. On numérote les points de 1à 12.Les tangentes aux points 1, 4, 7 et 10 sont horizontalesou verticales ; les points correspondant sur le cercle setrouvent donc sur les axes horizontaux et verticaux. Celadéfinit les points a, d, g et j, et donc les génératrices [a.1],[d.4], [g.7] et [j.10].Considérons un autre point de l'ellipse, par exemple lepoint 2. On trace sa tangente avec la méthode du cercleinscrit. Puis, on trace la perpendiculaire à cette tangentequi passe par le centre du cercle. Cela définit le point b.La pièce n'est ni un cylindre, ni un cône, elle va donc s’ob-tenir par pliage, et doit être en deux parties. La pièce neprésente pas de symétrie. Pour éviter de souder le long desgénératrices les plus longues, [G.7] et [H.8], on choisitcomme lignes de soudure les génératrices [D.4] et [J.10].On commence le développement par [G.7] (choix arbi-traire).On utilise la méthode des diagonales.Traçage en chaudronnerie et tuyauterie < ↑ > Jonction dedeux solides

Raccordement de tuyaux d'axes parallèles par un tronc de côneincliné.

14 5 RACCORDEMENTS PLUS COMPLEXES

LT

Tronc de cône oblique

LT

s

s'

1

2

34

5

6

7

8

9

1011

12

a

bc

de

f

g

h

ij

kl

1'7' 8' 9' 10' 11' 12'

g' h' i' j' k' l' a'

SF, S

HS

E, S

I

S6, S

8

S5, S

9

SD

, SJ

S4, S

10

S3, S

11

S2, S

12

SC

, SK

SB

, SL

S

F G

67

E

5

4

D

3

2

C

B

1

A

Développement du tronc de cône oblique.

S

DD

ddd

D

LT

développéréel

approximation

Développement d'un tronc de cône par approximation des tra-pèzes

développéréel

approximation

bissectrice

0,07×D

développé réelapproximation

Améliorations du tracé

LT

12

3

4

5

67

8

9

10

11

12

a b

c

d

e

fg

h

i

j

k

l

1' 2' 3' 4'12'11'10'

j' k' l' a' b' c'd'

VGgénératrices

1a

VGdiagonales

haut

eur

haut

eur

12a 1

A

R : πD/12

R : πd/12

12

B

1

A

12

LKJ

1110

9

I

8

H

7

G

BC

DE

F

G

23

4

5

6

7

développé réelapproximation

Développement d'un tronc de cône par approximation des diago-nales.

5.3 Raccordement d'une section circulaire et d'une section elliptique 15

LT

Raccordement d'une section carrée à une section circulaire

LT

1

a b

a' b'

d

23

4 567

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7'

cf

e

VG

C7, F1

A2, A

3, B5, B

6A

1, A4, B

4, B7

A B

4 532 6

1 7

F C

Développement d'une demie trémie

LT

s'

s

S S

S S

Sections circulaires d'un cylindre et d'un cône avec une sphère.

Tuyaux à raccorder

I

==

==

= =

=

=

Traçage des sphères auxiliaires

I

Dessin du coude

16 5 RACCORDEMENTS PLUS COMPLEXES

Surface développable tangente à deux sphères.

F

(d)

h c

b

aO

p

Grand rayon a et petit rayon b

A

A

Méthode des cercles inscrit (haut) ou circonscrit (bas)

LT

Tuyaux d'axes non coplanaires et de diamètres différents à rac-corder.

5.3 Raccordement d'une section circulaire et d'une section elliptique 17

LT

1

2

345

6

7

8

910

11

12

a

bcdef

g

hi

jk

l

1'

a'

10'

j'

12'

i'

11'

k'

7'

g'

8'

h'

9'

i'

Détermination d'un système de génératrices.

LT

1

2

345

6

7

8

910

11

12

a

bcde

f

g

hi

jk

l

1'

a'

10'

j'

12'

i'

11'

k'

7'

g'

8'

h'

9'

i'

VG des diagonalesVG des génératrices

A.1

B.2

C.3

D.4

E.5 F.6

G.7

L.12

K.1

1

J.10 I.9 H.8

1.B

3.B

3.D

5.D

5.F

7.F

L.1

11.L

11.J 9.J

9.H

7.H

J

1011

9

KL

121

A

B

2

3

C

4

D

IH

87

G

F

6

5

E

D

4

J

10

9

IH

87

G

F

6

5

E

D

4

J

1011

KL

121

A

B

2

3

C

4

D

Traçage de la tôle développée

18 6 SOURCES, CONTRIBUTEURS ET LICENCES DU TEXTE ET DE L’IMAGE

6 Sources, contributeurs et licences du texte et de l’image

6.1 Texte• Traçage en chaudronnerie et tuyauterie/Raccordement de deux sections Source : https://fr.wikibooks.org/wiki/Tra%C3%A7age_en_

chaudronnerie_et_tuyauterie/Raccordement_de_deux_sections?oldid=460919 Contributeurs : Cdang, Perditax, JackPotte, Dumontierc,JackBot et Anonyme : 8

6.2 Images• Fichier:Biegeanimation_3D.gif Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/Biegeanimation_3D.gif Licence : Pu-

blic domain Contributeurs : Travail personnel Artiste d’origine : Borowski• Fichier:Cone_oblique_section_droite_geometrie_descriptive_vierge.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/

0/0b/Cone_oblique_section_droite_geometrie_descriptive_vierge.svg Licence : CC BY-SA 3.0 Contributeurs : Travail personnel Artisted’origine : Cdang

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cone.svg Licence : CC0 Contributeurs : Travail personnel ; inspired by the document Roulage d'un tronc de cône by Walid RIAHI (Édu-cation nationale (France)) [1] Artiste d’origine : Cdang

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6.3 Licence du contenu 19

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