PCSI 803 Lyce Dodat de SveracAnne 2013 - 2014 Toulouse

TP no 9 : Rsolution de systmes linaires Pivot de Gauss

Buts du TP

Implmenter et tudier la mthode du pivot de Gauss en Python

Utiliser les fonctions ad hoc en Python et Scilab

Dans ce TP, on sintresse la rsolution des systmes linaires dquations de la forme :

(S) : AX = B,

o :

A Mn(K) est donne B Mn,1(K) est donne X Mn,1(K) est linconnue.

1 Matrices en Python

En Python, une matrice est simplement une liste de listes (cest la liste de ses vecteurs-lignes).

La matrice M =

3 6 7 1

2 5 6 2

3 1 4 2

sera par exemple code sous la forme :>>> ligne1=[3,6,7,1]>>> ligne2=[2,5,6,2]>>> ligne3=[3,1,4,2]>>> M=[ligne1,ligne2,ligne3]>>> M[[3, 6, 7, 1], [2, 5, 6, 2], [3, 1, 4, 2]]>>> M[1][2] #expliquer le rsultat6

Ainsi, on pourra donc utiliser tout ce que lon connat sur les listes afin de travailler au mieux avecles matrices. Par exemple,

Exercice 1. crire en Python une fonction taille(M) qui prend en entre une matrice M et quirenvoie sa taille (m,n), o m est le nombre de lignes de M et n son nombre de colonnes.La tester sur la matrice M prcdente.

1

Exercice 2. Comment crer le plus simplement possible en Python la matrice M suivante ?

M =

1 2 3 . . . 10

11 12 13 . . . 20

21 22 23 . . . 30

Exercice 3. crire une fonction echange(M,i,j) qui change les lignes Li et Lj de la matrice M(la fonction echange ne renvoie rien : elle modifie en place la matrice M donne en argument).

Exercice 4. crire une fonction transvection(M,i,j,x) qui remplace la ligne Lj de la matriceM par la ligne Lj xLi.

2 Pivot de Gauss

On rappelle le principe de la mthode du pivot de Gauss pour la rsolution dun systme dquationsdu type (S), que lon supposera de Cramer (il existe une et une seule solution (S) ) : On utilise la matrice augmente M = A | b On commence par mettre le systme sous forme triangulaire :

Algorithme (Mise sous forme triangulaire).Entre(s): une matriceM Mn,n+1(K) pour laquelle on suppose que les pivots qui apparaissentsont tous non nuls

Sortie(s): la matrice M mise sous forme triangulaire (du moins sa partie non augmente...)

Pour i de 1 jusqu n FairePour k de i+ 1 n 1 Faire

Lk Lk ak,iai,i LiFin Pour

Fin Pour On effectue la mthode de la remonte :

On suppose que lon a obtenu un systme de Cramer triangulaire suprieur de la forme :11x1 + 12x2 + + 1nxn = 1

22x2 + + 2nxn = 2...

nnxn = n

.

Lunique solution est donne par :xn =

nnn

i Jn 1, 1K, xi = 1ii

(i

nj=i+1

ijxj

)

2

Exercice 5. Coder la mthode du pivot de Gauss dcrite ci-dessus.

Exercice 6. La tester avec le systme suivant :`x+ 3y + 2z = 7

2x+ y + 4z = 8

x+ 2y + 3z = 0.1,

o ` = 1016.Rsoudre ce systme la main : que sest-il pass ?

Exercice 7. Pour viter cet cueil, on choisit ltape i le pivot de module maximal dans la colonnei partir de la ligne i. crire une version modifie de la mthode du pivot de Gauss prenant encompte cette amlioration. La tester avec le systme prcdent.

Indication : on pourra fabriquer une fonction pivotmax(A,i) qui prend en arguments une matriceA et un indice i, et retourne lindice de la ligne du pivot maximal (en module) de la colonne i surles lignes i et suivantes.

Cette mthode est alors appele algorithme du pivot de Gauss avec recherche du pivot partiel.

3 Et en Python ?

numpy dispose dune fonction solve dans la bibliothque numpy.linalg pour rsoudre les systmeslinaires. On lutilise de la manire suivante :

>>> from numpy.linalg import solve>>> solve([[10**(-16),3,2],[2,1,4],[-1,2,3]],[[7],[8],[0.1]])array([[ 3.7 ],

[ 2.68],[-0.52]])

4 Et en Scilab ?

On crira en Scilab par exemple :

-->A = [10^(-16) 3 2;2 1 4;-1 2 3]A =

1.000D-16 3. 2.2. 1. 4.

- 1. 2. 3.

--> B = [7;8;0.1]B =

3

7.8.0.1

-->A\Bans =

3.72.68

- 0.52

5 Complexit

Exercice 8. valuer la complexit de lalgorithme du pivot de Gauss avec recherche de pivot partiel.

Exercice 9. On considre les matrices Mn suivantes :

Mn =

2 1 (0)1 2 1

. . . . . . . . .

1 2 1(0) 1 2

Coder une fonction M(n) qui renvoie la matrice correspondante de taille n.

Exercice 10. En chronomtrant le temps ncessaire pour rsoudre MnX = t(1, . . . , 1) pour n {50, 100, 200, 400}, valider (ou invalider) le calcul de la complexit effectu auparavant.

Lillustrer graphiquement.

Comparer avec les commandes ad hoc en Python ou en Scilab.

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