TP5_1314
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École des Mines de Nantes Année 1 Méthodes Numériques TP n˚5 : Méthode des éléments finis appliquée aux poutres version numérique Le but de ce TP est de mettre en œuvre la méthode des éléments finis dans un cas simple, en profitant de la puissance des méthodes numériques. Il ne porte dès lors pas sur l’acquisition de nouvelles méthodes numériques mais bien sur l’utilisation de plusieurs d’entre elles en vue d’une application pratique. À la lecture du document relatif à la méthode des éléments finis, et après avoir répondu aux différentes questions, il apparaît que pour parvenir à calculer la dynamique d’une poutre après un lâcher, il faut résoudre le système suivant : (1) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ M · ¨ q + K · q = 0 q (t = 0) = K -1 · Q 0 ˙ q (t = 0) = 0 où q =(u 1 ,u 2 ,...,u N ) t est le vecteur des déplacements de l’extrémité du 1 er , 2 me ,. . . N me élément et où M = ρAΔx ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2/3 1/6 0 1/6 2/3 1/6 . . . . . . . . . 1/6 2/3 1/6 0 1/6 1/3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ et K = EA Δx ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 -1 0 -1 2 -1 . . . . . . . . . -1 2 -1 0 -1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ sont les matrices de masse et de raideur (Δx = l/N est la longueur de chaque élément, tandis que les paramètres physiques ρ, A et E sont définis ci-dessous). Au moment initial, la poutre est statique et déformée sous l’action des forces externes Q 1 , Q 2 ,... Q N appliquées aux nœuds libres avec ici Q 0 = (0, 0,..., 0,T 0 ) t . Méthode : En introduisant le vecteur x =(q 1 , ..., q N , ˙ q 1 ,..., ˙ q N ) t , on peut mettre le système (1) sous la forme (2) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ dx dt = f (x) x(t = 0) = x 0 . Pour calculer q (t = 0), on pourra tout aussi bien résoudre le système algébrique linéaire K · q (t = 0) = Q 0 . Travail demandé : Il est attendu que vous traitiez le problème en résolvant le système différentiel de type Cauchy (2) à l’aide de la méthode Runge-Kutta 4. Dans un premier temps, on analysera et on structurera le problème ; on établira notamment les algorithmes des divers scripts et on identifiera soigneusement les variables d’entrée et de sortie. Dans un second temps on codera le scripts identifiés, en commençant par celui de la fonction directrice f (x). On procèdera enfin à l’application numérique (voir ci-dessous). 1
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École des Mines de Nantes Année 1
Méthodes Numériques
TP n̊ 5 : Méthode des éléments finis appliquée aux poutresversion numérique
Le but de ce TP est de mettre en œuvre la méthode des éléments finis dans un cas simple, en profitantde la puissance des méthodes numériques. Il ne porte dès lors pas sur l’acquisition de nouvelles méthodesnumériques mais bien sur l’utilisation de plusieurs d’entre elles en vue d’une application pratique.
À la lecture du document relatif à la méthode des éléments finis, et après avoir répondu aux différentesquestions, il apparaît que pour parvenir à calculer la dynamique d’une poutre après un lâcher, il fautrésoudre le système suivant :
(1)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
M · �̈q +K · �q = �0
�q (t = 0) = K−1 · �Q0
�̇q (t = 0) = �0
où �q = (u1, u2, . . . , uN )t est le vecteur des déplacements de l’extrémité du 1er, 2me,. . .Nme élément et où
M = ρAΔx
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2/3 1/6
01/6 2/3 1/6
. . .. . .
. . .
1/6 2/3 1/6
01/6 1/3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
et K =EA
Δx
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −1
0−1 2 −1
. . .. . .
. . .
−1 2 −1
0−1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
sont les matrices de masse et de raideur (Δx = l/N est la longueur de chaque élément, tandis que lesparamètres physiques ρ, A et E sont définis ci-dessous). Au moment initial, la poutre est statique etdéformée sous l’action des forces externes Q1, Q2, . . .QN appliquées aux nœuds libres avec ici
�Q0 = (0, 0, . . . , 0, T0)t .
Méthode : En introduisant le vecteur
�x = (q1, . . . , qN , q̇1, . . . , q̇N )t ,
on peut mettre le système (1) sous la forme
(2)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
d�xdt
= �f(�x)
�x(t = 0) = �x0 .
Pour calculer �q(t = 0), on pourra tout aussi bien résoudre le système algébrique linéaire K ·�q(t = 0) = �Q0.
Travail demandé : Il est attendu que vous traitiez le problème en résolvant le système différentielde type Cauchy (2) à l’aide de la méthode Runge-Kutta 4. Dans un premier temps, on analysera eton structurera le problème ; on établira notamment les algorithmes des divers scripts et on identifierasoigneusement les variables d’entrée et de sortie. Dans un second temps on codera le scripts identifiés, encommençant par celui de la fonction directrice �f(�x). On procèdera enfin à l’application numérique (voirci-dessous).
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École des Mines de Nantes Année 1
Application numérique : Pour traiter un cas pratique, on pourra, par exemple, prendre comme donnéesdu problème :
– l = 30 cm (longueur de la poutre au repos),– T0 = 1000 N (traction à l’extrémité à l’instant initial),– A = 1 cm2 (aire de la section),– ρ = 7, 8 103 kg ·m−3 (masse volumique de l’acier)– E = 21 1010 Pa (module d’Young de l’acier).
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