TP sur Numbers : Les lapins de FIBONACCI.

Objectif : Résoudre, à l’aide d’un tableur, un problème qui date du moyen-âge.

Problème : Leonardo Fibonacci (1175-1250) est un mathématicien italien né à Pise.

Fibonacci décrit un problème exprimant la reproduction des lapins et menant à la suite dite de Fibonacci :

Voici le problème des lapins de Fibonacci qui fut proposé en 1202 :

« Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois

sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après

deux mois. »

Compléter : Reproduire le tableau ci-dessous dans numbers (ne pas compléter) :

En janvier : 1 couple (lapereaux)

En février : 1 couple

En mars : …. couples

En avril : .... couples

En mai : …. couples

En juin : …. couples

En juillet : …. couples

…etc…

Les réponses constituent les nombres

de la suite de Fibonacci :

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 ...,

Questions : 1) Comment peut-on calculer un nombre quelconque de la suite connaissant les deux précédents ?

……………………………………………………………………………………………………………………

2) Ecrire une formule qui permet de calculer le nombre de couples de lapins en mars puis copier vers la bas cette

formule avec le remplissage.

3) En utilisant le tableur, donner le nombre de couples de lapins après 3 ans :…………………………………..

4) a) Ecrire une formule qui permet de calculer le quotient d’un nombre par son précédent pour le mois de Février.

Utiliser le remplissage pour compléter le tableau.

b) Quelle conjecture peut-on émettre sur les quotients calculés ?

……………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Pour terminer, regardons une petite vidéo.

Prolongement : Le nombre d’or φ (lettre grecque : phi, en capitale Φ)

Construisant le rectangle d’or (A faire sur votre cahier d’exercice) :

1) Construire un carré ABCD de côté 2 cm et le point I milieu du côté [CD]. Tracer [BI] puis calculer IB.

2) Construire le point F sur la demi-droite [DC) tel que IF = IB.

3) Construire le point E tel que AEFD soit un rectangle : ce rectangle est « beau » ! C’est un rectangle d’or.

4) Le nombre d’or φ est donné par φ =

. Calculer φ. Donner la valeur exacte.

Pour finir, regardons une vidéo sur le nombre d’or.

Suite de Fibonacci

(nombre de couples)

Quotient d'un nombre

par son précédent

Janvier Février Mars Avril Mai Juin

Juillet Août

Septembre Octobre

Novembre Décembre

Janvier

Correction : Questions :

1) Comment peut-on calculer un nombre quelconque de la suite connaissant les deux précédents ?

Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. 2) Ecrire une formule qui permet de calculer le nombre de couples de lapins en mars puis copier cette formule avec

le remplissage. =B2+B3

3) En utilisant le tableur, donner le nombre de couples de lapins après 3 ans : 24 157 817 (si on prend le

mois de Janvier) 4) a) Ecrire une formule qui permet de remplir le quotient d’un nombre par son précédent pour le mois de Février.

Utiliser le remplissage pour compléter le tableau. =B3/B2

b) Quelle conjecture peut-on émettre sur les quotients calculés ?

Pour des nombres de plus en plus grands de la suite de Fibonacci,

les quotients calculés semblent se rapprocher du nombre 1,618.

Ce nombre s’appelle le nombre d’or, il est présent dans la nature

et dans de nombreuses créations humaines (pyramide de Khéops,

Parthénon, Église romane …voir vidéo)

Prolongement : Le nombre d’or φ (lettre grecque : phi) Le rectangle d’or.

φ =

φ =

Avec DF = DI + IF = DI + IB = 1 + et AD = 2

φ =

soit, au millième, φ ≈ 1,618

Le triangle BIE est rectangle en C.

Or, d’après le théorème de Pythagore, on a :

IB2 = CI

2 + CB

2

IB2 = 1

2 + 2

2

IB2 = 1 + 4

IB2 = 5

IB =

La valeur exacte de la longueur IB est cm.

Plusieurs explications pour le rythme de reproduction des lapins :

Le lapin domestique vit en moyenne entre 5 et 8 ans, avec un

maximum de 15 ans (wikipédia).

Le mot «lapin» se retrouve dans plusieurs expressions entendues

couramment.

Ça ne vaut pas un pet de lapin: ça n'a aucune valeur

c'est un chaud lapin: c'est un séducteur

détaler comme un lapin: s'enfuir

recevoir le coup du lapin: recevoir un coup mortel sur les

vertèbres cervicales

poser un lapin: ne pas se présenter à un rendez-vous

être une mère lapine: avoir beaucoup d'enfants

Impact du nombre d'or :

Le nombre d'or est un rapport précis grâce auquel on peut construire, peindre, sculpter en

enrichissant son œuvre d'une forme cachée.

A partir de ce nombre ont été construits

la pyramide de Kheops,

le temple de Salomon,

le Parthénon,

et la plupart des églises romanes

etc.

Beaucoup de tableaux de la Renaissance respectent aussi cette proportion.

C'est aussi le rapport d'écartement entre les feuilles des arbres

afin d'éviter que, mutuellement, elles ne se fassent de l'ombre.

C'est le nombre qui caractérise l'emplacement du nombril

par rapport à l'ensemble du corps humain.

Proportion entre la population des ouvrières d’une ruche et celle des faux-bourdons.

Deux rectangles d’or (cartes bancaires).

Si nous traçons la diagonale de la première carte et la

prolongeons sur la deuxième, aussi incroyable que cela paraisse,

elle aboutit pile au sommet opposé de cette dernière.

Essayer avec vos manuels de mathématiques !

Architecture : le Parthénon.

Coquille d’un escargot.

Suite de Fibonacci.

Oreille dans un rectangle d’or.

Phalanges :

hauteur de la tête : 110 px

largeur de la tête : 70 px

hauteur du nez à la bouche : 45 px

hauteur du menton à la bouche : 27 px

En faisant le rapport de ces mesures, l’on trouve :

110/70=1.57

70/45=1.55

45 / 27=1.66

L’ananas.

Un Ananas…

5 écailles…

8 écailles…

Et 13 écailles

5,8,13.. encore des termes successifs de la suite de Fibonacci.

La pomme de pin.